CURSO: AJUSTES Y BALANCES EN PLANTAS METALURGICAS NIVEL EXPERTO TABLAS DINAMICAS Las tablas dinámicas combinan y comparan en forma rápida grandes volúmenes de datos permitiendo el análisis de los datos al girar las filas y las columnas creando diferentes formas de visualización de reportes con los datos de origen, desde lo general a lo específico. Podemos ordenar los datos, filtrarlos, añadir subtotales, pero la estructura en filas y columnas es inalterable. Uno de los objetivos de las tablas dinámicas es la posibilidad de alterar esa estructura y a la vez resumir datos. Funcionamiento de las tablas dinámicas Supongamos que tienes una tabla de datos que contiene mucha información sobre las ventas de la compañía entre las cuales se encuentra una columna con los productos de la empresa, también la ciudad donde se vende y las ventas correspondientes para cada ciudad.
Te han solicitado un reporte con el total de ventas por ciudad y el total de ventas por producto. Lo que necesita hacer es sumar las ventas para cada ciudad y sumar las ventas de cada producto para obtener el reporte. Una tabla dinámica nos permite hacer una comparación entre diferentes columnas de una tabla.
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Lo primero que debemos hacer es especificar los campos de nuestra tabla de datos que vamos a comparar. Elegimos las ciudades como las filas de nuestra tabla dinámica:
Excel tomará todos los valores de ciudades de nuestra tabla de datos y los agrupará en la tabla dinámica, es decir, colocará los valores únicos de la columna de datos eliminando las repeticiones. Ahora hacemos lo mismo para especificar las columnas de la tabla dinámica.
Finalmente elegimos una columna de valores numéricos que serán calculados y resumidos en la tabla dinámica:
Así tendrás un reporte que compara las ciudades y los productos y para cada combinación obtendrás el total de ventas. Lo más importante que quiero transmitir con este artículo es que las tablas dinámicas te permiten elegir entre todas las columnas www.intermetperu.com
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de una tabla de datos y hacer comparaciones entre ellas para poder realizar un buen análisis de la información.
Crear una tabla dinámica Haz clic sobre cualquier celda de la tabla de datos que se desea considerar en la nueva tabla dinámica.
Ahora selecciona el comando Tabla dinámica que se encuentra dentro del grupo Tablas de la ficha Insertar.
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Se mostrará el cuadro de diálogo Crear tabla dinámica. Si es necesario podrás ajustar el rango de datos que se considerará en la tabla dinámica.
En este mismo cuadro de diálogo se puede elegir si se desea colocar la tabla dinámica en una nueva hoja de Excel o en una ya existente. Haz clic en el botón Aceptar y se creará la nueva tabla dinámica.
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Excel agregará en la parte izquierda del libro la tabla dinámica y en la parte derecha la lista de campos. Esta lista de campos está dividida en dos secciones, primero la lista de todos los campos de los cuales podremos elegir y por debajo una zona a donde arrastraremos los campos que darán forma al reporte ya sea como columna, fila, valor o como un filtro. Para completar la tabla dinámica debemos arrastrar los campos al área correspondiente. Siguiendo el ejemplo propuesto del artículo anterior, colocaré como columna el campo Producto y como fila al campo Ciudad. Finalmente como valores colocaré el campo Ventas.
De manera predeterminada Excel aplica la función Suma a los valores y la tabla dinámica que resulta después de hacer esta configuración es la siguiente:
Utilizando una tabla dinámica fue posible crear un reporte de una manera fácil y sin la necesidad de utilizar fórmulas.
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Partes de una tabla dinámica Justo cuando se ha creado una tabla dinámica se muestra en la parte derecha de la hoja la lista de campos disponibles y por debajo las áreas donde podemos arrastrar dichos campos. Estas áreas denotan cada una de las partes de una tabla dinámica.
•
Filtro de informe. Los campos que coloques en esta área crearán filtros para la tabla dinámica a través de los cuales podrás restringir la información que vez en pantalla. Estos filtros son adicionales a los que se pueden hacer entre las columnas y filas especificadas.
•
Etiquetas de columna. Esta área contiene los campos que se mostrarán como columnas de la tabla dinámica.
•
Etiquetas de fila. Contiene los campos que determinan las filas de la tabla dinámica.
•
Valores. Son los campos que se colocarán como las “celdas” de la tabla dinámica y que serán totalizados para cada columna y fila.
Una vez especificados los campos para cada una de las áreas, la tabla dinámica cobra vida. Puedes tener una tabla dinámica funcional con tan solo especificar las columnas, filas y valores. Los filtros son solamente una herramienta para mejorar el análisis sobre los datos de la tabla dinámica.
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Formato de valores en una tabla dinámica Supongamos la siguiente tabla dinámica:
Para dar formato a los valores numéricos debes hacer clic sobre el campo correspondiente dentro del área Valores.
Del menú mostrado debes seleccionar la opción Configuración de campo de valor.
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Se mostrará el cuadro de diálogo Configuración de campo de valor.
Debes hacer clic en el botón Formato de número y se mostrará el cuadro de diálogo Formato de celdas donde podrás seleccionar el formato deseado:
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Después de hacer la selección adecuada acepta los cambios y de inmediato se aplicará el nuevo formato a todos los valores de la tabla dinámica:
Filtrar una tabla dinámica Al seleccionar cualquier de las opciones del filtro, la información será resumida y solamente mostrará un subconjunto de los datos de la tabla dinámica.
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Una vez que se ha aplicado un filtro, Excel reemplaza el icono predeterminado para indicar que ese campo está siendo actualmente filtrado.
Para mostrar de nuevo todos los valores de los campos filtrados debes hacer clic en el botón de filtrado y seleccionar la opción Borrar filtro de.
De igual manera puedes ordenar instantáneamente los valores de la tabla dinámica. Solamente haz clic sobre el botón de Etiquetas de fila o Etiquetas de columna y elige la opción Ordenar de A a Z o la opción Ordenar de Z a A.
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Segmentación de datos en tablas dinámicas Permite hacer un filtrado de los datos dentro de una tabla dinámica. De esta manera puedes filtrar fácilmente la información por más de una columna. En primer lugar debes hacer clic sobre cualquier celda de la tabla dinámica y posteriormente en la ficha Opciones y dentro del grupo Ordenar y filtrar deberás hacer clic sobre el comando Insertar Segmentación de datos.
Excel mostrará el cuadro de diálogo Insertar segmentación de datos.
En este cuadro deberás seleccionar los campos que deseas utilizar como filtros en la tabla dinámica y Excel colocará un filtro para cada campo seleccionado:
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Para filtrar la información de la tabla dinámica es suficiente con hacer clic sobre cualquiera de las opciones del filtro.
Excel ajustará la información de la tabla dinámica de acuerdo a las opciones seleccionadas. Para mostrar de nuevo toda la información puedes hacer clic en el botón Borrar filtro que se encuentra en la esquina superior derecha de cada panel.
Podrás agregar tantos filtros como campos disponibles tengas en la tabla dinámica, lo cual te permitirá hacer un buen análisis de la información.
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Crear un gráfico dinámico Un gráfico dinámico es un gráfico que está basado en los datos de una tabla dinámica y que se ajusta automáticamente al aplicar cualquier filtro sobre la información. Con este tipo de gráfico podrás ayudar en la compresión de los datos de una tabla dinámica. Para crear un gráfico dinámico debes hacer clic sobre cualquier celda de la tabla dinámica que servirá como base del gráfico y posteriormente hacer clic sobre el comando Gráfico dinámico que se encuentra dentro del grupo Herramientas de la ficha Opciones.
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Se mostrará el cuadro de diálogo Insertar gráfico de donde podrás seleccionar el tipo de gráfico que deseas utilizar.
Una vez que has seleccionado el gráfico adecuado Excel lo insertará en la hoja de trabajo. Observa cómo el gráfico se modifica al momento de aplicar algún filtro sobre la tabla dinámica:
De igual manera puedes filtrar la información utilizando los botones de filtrado que aparecen dentro del gráfico dinámico:
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Para eliminar un gráfico dinámico solamente debes seleccionarlo y pulsar la tecla Suprimir. Cambiar origen de datos de una tabla dinámica Es probable que el origen de datos de una tabla dinámica haya cambiado de ubicación y ahora tengas que considerar este cambio en tu tabla dinámica. Hacer click sobre la tabla dinámica y selecciona el comando Cambiar origen de datos que se encuentra en la ficha Opciones dentro del grupo Datos.
Se mostrará el cuadro de diálogo Cambiar origen de datos de tabla dinámica el cual te permitirá ampliar, reducir o cambiar el rango de los datos de la tabla dinámica.
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Acepta los cambios y la tabla dinámica reflejará el nuevo rango de datos que has especificado.
DESARROLLAR EJERCICIO: 1-TABLAS DINAMICAS.XLS
FUNCIONES MATRICIALES Las matrices se denotan usualmente por letras mayúsculas, A, B, C,……., y los elementos de las mismas por letras minúsculas, a, b, c,….. A continuación se presenta las operaciones con matrices: S uma y res ta
Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo orden, es decir, deben tener el mismo número de filas y de columnas. Para sumar o restar se suman o restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices. www.intermetperu.com
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Ejemplos ilustrativos
Los cálculos en Excel se muestran a continuación: a) Escribir las matrices A y B. Seleccionar las casillas en donde se calculará la respuesta, que para este ejemplo es E4:F5
b) Digitar el =, seleccionar las celdas de la matriz A (B1:D2), digitar el +, y seleccionar las celdas de la matriz B (G1:I2), es decir, digite la fórmula =B1:D2+G1:I2
c) Presione CTRL+SHIFT+ENTER al mismo tiempo
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d) Los demás cálculos se muestran en la siguiente figura:
Multiplicaci ón de un es calar por una matri z
Ejemplos ilustrativos
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Los cálculos en Excel se muestran a continuación: a) Escribir la matriz y el escalar. Seleccionar las casillas donde se calculará la multiplicación
b) Escribir la fórmula B4*B1:C2, que representa la multiplicación de 2 (B4) por la matriz A (B1:C2)
c) Presione CTRL+SHIFT+ENTER al mismo tiempo www.intermetperu.com
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d) Los demás cálculos se muestran en la siguiente figura:
Multiplicaci ón entre matrices
Para poder multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera matriz deber ser igual al número de filas de la segunda matriz. La matriz resultado del producto quedará con igual número de filas de la primera matriz y con igual número de
columnas de la segunda matriz.
Propiedades de la multiplicación de matrices: www.intermetperu.com
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Ejemplos ilustrativos
Los cálculos en Excel se muestran a continuación: a) Escribir las matrices. Seleccionar las celdas donde se calculará la multiplicación
b) Insertar función. En la ventana de Insertar función, En seleccionar una categoría, escoger Matemáticas y trigonométricas. En Seleccionar una función, escoger MMULT.
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c) Clic en Aceptar en la ventana de Insertar función para que aparezca la ventana Argumentos de función. En la ventana Argumentos de función, en la casilla Matriz 1, seleccionar las celdas de la matriz A (B1:D2), y en la casilla Matriz 2, seleccionar las celdas de la matriz B (G1:H3).
d) Presione CTRL+SHIFT+ENTER al mismo tiempo
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Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
3) Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
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Potencia de matric es
La potencia es una multiplicación abreviada Ejemplo ilustrativo Dada la matriz
Solución: Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
EJERCICIO:2-CALCULOS MATRICIALES.XLS
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Cinética de Flotaci ón
FLOTACION Flotación. "Operación física unitaria", esto es, un método de tratamiento en el que predominan los fenómenos físicos, que se emplea para la separación de partículas de una fase líquida. En otras palabras, se trata de un proceso de separac ión de materias de distinto origen que se efectúa desde sus pulpas acuosas por medio de burbujas de gas y a base de sus propiedades hidrofílicas e hidrofóbicas. Característica de la flotación La flotación puede ser definida como un proceso de separación de partículas (o agregados) o gotas vía adhesión a burbujas de aire. Las unidades burbujas - partículas (gotas) presentan una densidad aparente menor al del medio acuoso y "levitan" o "flotan" hasta la superficie de un reactor (celda de flotación) o interfase líquido/aire, de donde son removidos. Según la definición, la flotación contempla la presencia de tres fases: sólida, líquida y gaseosa. La fase sólida está representada por las materias a separar, la fase líquida es el agua y la fase gas es el aire. Los sólidos finos y liberados y el agua, antes de la aplicación del proceso, se preparan en forma de pulpa con porcentaje de sólidos variables pero normalmente no superior a 40% de sólidos. Una vez ingresada la pulpa al proceso, se inyecta el aire para poder formar las burbujas, que son los centros sobre los cuales se adhieren las partículas sólidas. Tipos Existen tres tipos de flotación natural, flotación ayudada y flotación inducida. Flotación natural: Válido si la diferencia en la densidad natural es suficiente para la separación. Flotación ayudada: Ocurre cuando se utilizan los medios externos para promover la separación de las partículas que están flotando de forma natural. Flotación inducida: Ocurre cuando la densidad de las partículas es artificialmente disminuida para permitir que las partículas floten. Esto se basa en la capacidad de ciertas partículas sólidas y líquidas para unirse con las burbujas de gas (usualmente aire) para formar
con una densidad menor que el líquido. Generalmente el equipo consiste en un recipiente cilíndrico (cerrado o abierto), y un agitador mecánico, montado en un eje y accionado por un motor eléctrico. Las proporciones del tanque varían ampliamente, dependiendo de la naturaleza del problema de agitación. El fondo del tanque debe ser redondeado, con el fin de eliminar los bordes rectos o regiones en las cuales no penetrarían las corrientes del fluido. La altura del líquido, es aproximadamente igual al diámetro del tanque. Sobre un eje suspendido desde la parte superior, va montado un agitador. El eje está accionado por un motor, conectado a veces, directamente al mismo, pero con mayor frecuencia, a través de una caja de engranajes reductores.
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Reactivos usados
Los reactivos de flotación corresponden a sustancias orgánicas que promueven, intensifican y modifican las condiciones óptimas del mecanismo físico-químico del proceso. Pueden clasificarse en:
Colectores: Son sustancias orgánicas que se adsorben en la superficie del mineral, confiriéndole características de repelencia al agua (hidrofobicidad). Error al crear miniatura: Falta archivo Espumantes: Son agentes tensoactivos que se adicionan a objeto de: 1. Estabilizar la espuma 2. Disminuir la tensión superficial del agua 3. Mejorar la cinética de interacción burbuja – partícula 4. Disminuir el fenómeno de unión de dos o más burbujas (coalescencia) Los reactivos Modificadores, por otro lado, tales como activadores, depresores o modificadores de pH, se usan para intensificar o reducir la acción de los colectores sobre la superficie del material. Mecanismos
Mecanis mo de Flotaci ón
Para estudiar el mecanismo de la flotación es necesario conocer lo que sucede con la partícula de mineral y una burbuja de aire para que ellos formen una unión estable. El proceso de flotación está basado sobre las propiedades hidrofílicas e hidrofóbicas de los sólidos a separar. Se trata fundamentalmente de un fenómeno de comportamiento de sólidos frente al agua, o sea, de mojabilidad de los só lidos. www.intermetperu.com
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Los metales nativos, sulfuros de metales o especies tales como grafito, carbón bituminoso, talco y otros, son poco mojables por el agua y se llaman minerales hidrofóbicos. Por otra parte, los minerales que son óxidos, sulfatos, silicatos, carbonatos y otros son hidrofílicos, o sea, mojables por el agua. Se puede observar además que los minerales hidrofó bicos son aerofílicos, es decir, tienen gran afinidad por las burbujas de aire, mientras que los minerales hidrofílicos son aerofóbicos, o sea, no se adhieren normalmente a ellas. En resumen, es necesario incrementar la propiedad hidrófoba en las partículas minerales de una pulpa para facilitar la flotabilidad. Esto se efectúa con los reactivos llamados colectores, que son generalmente compuestos orgánicos de carácter heteropolar, o sea, una parte de la molécula es un compuesto evidentemente apolar (hidrocarburo) y la otra es un grupo polar con las propiedades iónicas, es decir, con carga eléctrica definida. La partícula queda cubierta por el colector que se adhiere a su superficie por medio de su parte polar, proporcionándole con la parte polar propiedades hidrofóbicas. El agregado de espumantes, como se ha dicho, permite la formación de burbujas de tamaño y calidad adecuada para el proceso. Pues bien, el contacto entre las partículas y las burbujas requiere que las primeras estén en constante agitación, la cual la otorga el rotor de la máquina de flotación, de modo que para realizar la unión con las burbujas son necesarios: a) su encuentro y b) condiciones favorables para formar el agregado. El contacto partícula-burbuja se acerca hasta el punto en que la película de agua que las separa es muy fina. En este momento para que la partícula pueda acercarse más a la burbuja tiene que superar lo que se considera una barrera energética. Para las partículas hidrofílicas, en que la asociación de la partícula con las moléculas de agua es muy firme, esta barrera nunca se supera y las partículas no flotan. Para las partículas hidrofóbicas, la barrera queda repentinamente rota por fuerzas no bien conocidas, permitiendo un contacto trifásico (sólido-líquido-gas)
Principales variables operacionales Algunas de las variables de mayor importancia para el proceso de flotación son: Granulometría: Adquiere gran importancia dado que la flotación requiere que las especies minerales útiles tengan un grado de liberación adecuado para su concentración. Tipo de Reactivos: Los reactivos pueden clasificarse en colectores, espumantes y modificadores. La eficiencia del proceso dependerá de la selección de la mejor fórmula de reactivos. Dosis de Reactivo: La cantidad de reactivos requerida en el proceso dependerá de las pruebas metalúrgicas preliminares y del balance económico desprendido de la evaluación de los consumos. www.intermetperu.com
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Densidad de Pulpa: Existe un porcentaje de sólidos óptimo para el proceso que tiene influencia en el tiempo de residencia del mineral en los circu itos. Aireación: La aireación permitirá aumentar o retardar la flotación en beneficio de la recuperación o de la ley, respectivamente. El aire es uno de los tres elementos imprescindibles en el proceso de flotación, junto con el mineral y el agua. Regulación del pH: La flotación es sumamente sensible al pH, especialmente cuando se trata de flotación selectiva. Cada fórmula de reactivos tiene un pH óptimo ambiente en el cual se obtendría el mejor resultado operacional. Tiempo de Residencia: El tiempo de residencia dependerá de la cinética de flotación de los minerales de la cinética de acción de reactivos, del volumen de las celdas, del porcentaje de sólidos de las pulpas en las celdas y de las cargas circulantes. Calidad del Agua: En las Plantas la disponibilidad de agua es un problema. Normalmente se utiliza el agua de recirculación de espesadores que contiene cantidades residuales de reactivos y sólidos en suspensión, con las consecuencias respectivas derivadas por este flujo de recirculación. Evaluación Los índices de evaluación del proceso de flotación son: recuperación metalúrgica, recuperación en peso, razón de concentración, razón de enriquecimiento.
Recuperación metalúrgica: Es la razón entre la masa del material útil obtenido en el concentrado y la masa de material útil de la alimentación. Recuperación en peso: Es la razón entre la masa del concentrado y la masa de la alimentación. Razón de concentración: Es la razón entre la masa de alimentación y la masa de concentrado. Razón de enriquecimiento: Es la razón entre la ley del componente deseado en el concentrado y la ley del mismo componente en la alimentación.
Aplicaciones Tratamiento de minerales (Separación diferencial de partículas minerales): Sulfuros, (Cu, Pb, Zn, Mo, etc.), Oxi-Minerales, (Mn, Nb, Arcillas, etc.), Minerales no metálicos, fosfatos, fluorita, etc., Metales nativos: Au, Ag, Hg, Carbón "metalúrgico", Sales soluble: KCl, NaCl, Yodo, Ácido Bórico. Beneficio (adecuación) de materias primas (pigmentos, caolín, arcillas para cerámica). www.intermetperu.com
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Medio Ambiente (separación sólido/líquido o líquido/líquido). Tratamiento de compuestos orgánicos (plantas de extracción por solvente), aceites, grasas y colorantes (ágatas). Tratamiento de efluentes que contienen metales pesados (ver abajo), aniones (CN, CrO4, AsO4, SO4, P04, MoO4, F), complejos y quelatos (galvanoplastia, siderúrgicas, industria minero- metal-mecánica) Metales pesados "removibles" (recuperables) por flotación: Ag+1, Sn+2, As+3, Cr+3/Cr+6, Au+2/Au+4 Be+2, Cd+2, Co+2, Ga+2, Ge+4, Hg+2, Pb+2, Mn+2, Ni+2, Cu+2, Zn+2, Sb+3, Se+2.
EJERCICIO:3-CINETICA DE FLOTACION.XLS
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EJERCICIOS METALURGICOS CON LA HERRAMIENTA SOLVER El balance de materia es uno de los métodos más útiles y potentes de evaluar la unidad y las operaciones integradas en una planta metalúrgica. Se utiliza para calcular las recuperaciones y distribuciones valiosas de un determinado componente o varios componentes al final de un periodo mensual o contable, que a la vez son fuertemente influenciadas por la exactitud del muestreo del flujo. Las hojas de cálculos s on ideales para estos cálculos partiendo desde balances básicos hasta sistemas más complejos en contrastes con el método tradicional que resulta a través de formulaciones largas ó por el método matricial que termina siendo similar al a nterior. La herramienta SOLVER de Microsoft Excel resulta una buena alternativa estableciendo el planteamiento necesario para hacer un balance metalúrgico realizándolo todo en una única plantilla sin la necesidad de hacer cálculos secundarios como habitualmente se realiza. Introducción
La forma tradicional de desarrollar este tipo de balances cuando existen dos o tres productos y un relave es través de arreglos matriciales convencionales que resultan tediosos y engorrosos, Para una solución más reducida y rápida recurrimos a la herramienta SOLVER de Microsoft Excel complemento que resuelve problemas de programación lineal y no lineal a través de interacciones en sus celdas. SOLVER es una herramienta con fines de optimización aplicada a diferentes disciplinas y la metalurgia no es ajena a estos procesos El algoritmo y método utilizados por SOLVER utiliza el código de optimización no lineal (GRG2) desarrollado por la Universidad León Lasdon de Austin (Texas) y la Universidad Allan Waren (Cleveland), Los problemas lineales y enteros utilizan el método más simple con límites en las variables y el método de ramificación y límite, implantado por John Watson y Dan Fylstra de FrontlineSystems, Inc SOLVER ajusta los valores en las celdas cambiantes que se especifiquen,
denominadas celdas ajustables ó celdas cambiantes, para generar el resultado especificado en la fórmula de la celda objetivo. Pueden aplicarse restricciones para limitar los valores que puede utilizar SOLVER en el modelo y las restricciones pueden hacer referencia a otras celdas a las que afecte la fórmula de la celda objetivo, los componentes básicos de la herramienta SOLVER son:
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C elda objetivo: Celda que se desea definir con un valor determinado o que se
desea maximizar o minimizar. Valor de la celda objetivo: Específica si se desea maximizar o minimizar la
celda objetivo, o bien definirla con un valor específico el cual se introducirá en el cuadro. C ambiando las celdas : Celdas que pueden ajustarse hasta que se satisfagan
las restricciones del problema, pueden especificarse 200 celdas como máximo. S ujeto a las s ig uientes res tri cc iones : Muestra una lista de las restricciones
actuales en el problema, permitiéndose editar dichas restricciones. Resolver: Inicia el proceso de solución del problema definido. B alance Metalúrg ico
Cualquiera que sea el tratamiento de una planta concentradora; sea esta grande, pequeña, automatizada o rustica, al final de la operación diaria, semanal, mensual, anual etc. ó por campañas requiere la presentación de los resultados en forma objetiva, en la que incluye los cálculos para determinar el tonelajes de los productos de la flotación, contenido metálico de los elementos valiosos en cada uno de los productos, la distribución porcentual y los radios de concentración todo ellos condensado en lo que se denomina “Balance Metalúrgico” que muestra también la eficiencia del proceso. Cabe hacer notar que la suma del contenido metálico de los productos (concentrado y relave) debe ser exactamente igual al contenido metálico de la cabeza; de no ser así debe efectuarse cálculos de reajuste para cumplir con la ley de conservación de la materia. Otra cuestión importante es que las leyes que se reporten en porcentaje deben dividirse entre 100 para hacer el reemplazo en la relación para determinar el contenido metálico. Cuando las leyes se reportan en Onzas/TC, el tonelaje de cabeza, concentración y relave deben convertirse en TC, si estuvieran expresados en TM. Fórmula para dos Productos
La manera tradicional para dos productos en flotaciones diferenciales donde dos concentrados y un desecho se pueden obtener de una alimentación dada. Consideremos una flotación diferencial en la cual una alimentación con un peso F da
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PRODUCTOS Alimentación Concentrado (a) Concentrado (b) Relave
PESOS F A B T
ENSAYES DE (a) a1 a2 a3 a4
ENSAYES DE (b) b1 b2 b3 b4
Un concentrado de peso A que es rico en metal a, y un concentrado de peso B que es rico en mineral b. Los resultados de análisis obtenidos fueron como sigue: El balance de pesos se puede escribir como: F A B T
(1)
El balance por contenido metálico para el mineral(a) Fa1
Aa2 Ta4
(2)
Igualmente, el balance por contenido para el mineral (b) Fb(3) 1 Ab2 Bb3 Tb4
Las soluciones simultáneas de las ecuaciones (1), (2) y (3) dan: A F
B
F
a1 a3 b3 b4 b1 b3 a3. a4 a2 a3 b3 b4 b2 b3 a3 a4
a a
2
T
F
a a
2
2
2
a b
a1 b1 3
3
b
a3 b3
a3
3
b b b
b4
4
2
2
b b b b1
4
2
3
3
b a
b3 a3.
2
b a
b1 a1.
3
3
a
(5)
(6)
a4
(4)
4
a1
a4
Por definición, la recuperación de metal (a) en A se da como: Ra
100 x
Aa2 Fa1
(7)
Por sustitución, el valor de A, Ra
a a
a2 a1 1
2
b
a3 b3
a3
3
b b b
b4
4
1 2
b a
b3 a3.
3
3
a4
a4
x100
(8)
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Igualmente, la recuperación del metal b en B se da por, Rb
b a
b3 a2 1
2
b
a1 b1 a3
3
b b b
b4
4
2 2
b a
b1 a1. 3
3
x100 a
a4
(9)
4
El radio de concentración respecto a metales (a) y (b) es: Ka
F
Kb
A
F
B
Para el caso de alimento, tres productos y un relave. El procedimiento es similar,El planteamiento se puede obtener también bajo concepción matricial sea uno otro método la solución convencional resulta en muchas forma un proceso largo.
Desarrollo matricial Balance para tres Productos: dos Concentrados y un Relave
F,A,B,R: Tonelaje de Alimento, Concentrado A, Concentrado B, Relave TMSD f 1,f 2 : Leyes de los elementos valioso 1,2 en el alimento a1,a2 : Leyes de los elementos valioso 1,2 en el Concentrado A b1,b2 : Leyes de los elementos valioso 1,2 en el Concentrado B r 1,r 2 : Leyes de los elementos valioso 1,2 en el Relave Balance Total F=A+B+R Balance del Elemento 1:f 1F=a1 A+b1B+r 1R Balance del Elemento 1:f 2F=a2 A+b2B+r 2R Balance para tres Productos: dos Concentrados y un Relave
1 1 1 f 1 a1 b1 f a b 2 2 2
1
r 1 r 2
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A
1
1
1
1
1
1
f 1
b1
r 1
f 1
a1
r 1
f 2
b2
r 2
f 2
a2
r 2
1
1
1
1
1
1
a1
b1
r 1
b1
a1
r 1
a2
b2
r 2
b2
a2
r 2
B
( F )
( F )
El procedimiento para desarrollar es por determinantes, el cual es el siguiente
A
A
1
1
1
f 1
b1
r 1
(b1 f 1 )
(r 1
f 2
b2
r 2
(b2
f 2 )
(r 2 b 2 )
(b1
a1 )
(r 1
b1 )
(b2
a2 )
(r 2
b2 )
1
1
1
a1
b1
r 1
a2
b2
r 2
B
A
( F )
(b1 f 1 ) * (r 2 b 2 )
(b2
(b1
(b2
a1 ) * (r 2 b 2 )
1
1
1
f 1
a1
r 1
f 2
a2
r 2
1
1
1
b1
a1
r 1
b2
a2
r 2
( F )
A
f 2 ) * (r 1
b1 )
a2 ) * (r 1
b1 )
b1 )
F
( a1 f 1 )
( r 1 a1 )
( a 2 f 2 ) ( a1 f 1 )
( r 2 b 2 ) ( F ) ( r 1 a1 )
(b2 b2 )
( r 2 a 2 )
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( F )
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B
(a1 f 1 ) * (r 2
(a1
b1 ) * (r 2
a2 )
(a2
a2 )
(a2
f 2 ) * (r 1 b2 ) * (r 1
a1 ) a1 )
F
Como F es un dato conocido, el valor A,B,R se obtiene por desarrollo de sistemas De ecuaciones lineales.
Balance para cuatro Productos: Tres Concentrados y un Relave F,A,B,C,R: Tonelaje de Alimento, Concentrado A, Concentrado B, Relave TMSD f 1,f 2,f 3 : Leyes de los elementos valioso 1,2,3 en el alimento a1,a2,a3 : Leyes de los elementos valioso 1,2,3 en el Concentrado A b1,b2,b3 : Leyes de los elementos valioso 1,2,3 en el Concentrado B c1,c2,c3 : Leyes de los elementos valioso 1,2,3 en el Concentrado C r 1,r 2 ,r 3 : Leyes de los elementos valioso 1,2,3 en el Relave
Balance Total:F=A+B+C+R Balance del Elemento 1:f 1F=a1A+b1B+c1C+r 1R Balance del Elemento 2:f 2F=a2A+b2B+c2C+r 2R Balance del Elemento 3:f 3F=a3A+b3B+c3C+r 3R Balance para tres Productos: dos Concentrados y un Relave
1 1 1 f 1 a1 b1 f a b 2 2 2 f a b 3 3 3
1
c1 c2 c3
1
r 1 r 2 r 3
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1 f 1 f 2 f 3 A 1 a 1 a2 a3
1
1
b1
c1
b2
c2
b3
c3
1
1
b1
c1
b2
c2
b3
c3
1 f r 1 1 f 2 r 2 r 3 f 3 ( F ) B 1 1 b r 1 1 b2 r 2 r 3 b3 1
1
1
a1
c1
a2
c2
a3
c3
1
1
a1
c1
a2
c2
a3
c3
1 f r 1 1 f 2 r 2 r 3 f 3 ( F ) C 1 1 c r 1 1 r 2 c2 r 3 c3 1
1
1
a1
b1
a2
b2
a3
b3
1
1
a1
b1
a2
b2
a3
b3
1
r 2 r 3 ( F ) 1 r 1 r 2 r 3 r 1
Para el Concentrado A:
1 f 1 f 2 f A 3 1 a 1 a 2 a3
1
1
b1
c1
b2
c2
b3
c3
1
1
b1
c1
b2
c2
b3
c3
1
r 2 r 3 ( F ) 1 r 1 r 2 r 3 r 1
b1 f 1 b f 2 2 b3 f 3 b1 a1 b a 2 2 b3 a3
c1 f 1 c2 b2 c3 b3 c1 b1 c2 b2 c3 b3
a1 f 1 a f 2 2 a3 f 3 a1 b1 a b 2 2 a3 b3
c1 a1 c2 a2 c3 a3 c1 a1 c2 a2 c3 a3
r 1 c1 r 2 c2 r 3 c3 ( F ) r 1 c1 r 2 c2 r 3 c3
Para el Concentrado B:
1 f 1 f 2 f B 3 1 b 1 b2 b3
1
1
a1
c1
a2
c2
a3
c3
1
1
a1
c1
a2
c2
a3
c3
1
r 2 r 3 ( F ) 1 r 1 r 2 r 3 r 1
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r 1 c1 r 2 c2 r 3 c3 ( F ) r 1 c1 r 2 c2 r 3 c3
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Para el Concentrado C: 1 f 1 f 2 f C 3 1 c 1 c2 c3
1
1
a1
b1
a2
b2
a3
b3
1
1
a1
b1
a2
b2
a3
b3
1
r 2 r 3 ( F ) 1 r 1 r 2 r 3 r 1
a1 f 1 a f 2 2 a3 f 3 a1 c1 a c 2 2 a3 c3
b1 a1 b2 a2 b3 a3 b1 a1 b2 a2 b3 a3
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r 1 c1 r 2 b2 r 3 b3 ( F ) r 1 b1 r 2 b2 r 3 b3
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Planteamiento de la Herramienta S OL VE R en un B alance Metalúrg ic o.
Con fines de reducir el cálculo de toda una planta solo nos limitaremos a un reporte metalúrgico de una guardia, En una de Hoja de Excel se crea una plantillamuy similar alsiguiente balance que se tiene en la figura nro. 1, Las concentraciones de Cobre, Plomo y Zinc son nuestras celdas cambiantes porque ellas son nuestras respuestas que se obtendrán al utilizar las interacciones que realizará el S OL VE R , (podemos asumirlas como el valor de “ 1”)
Figura Nro 1
El relave se obtiene como la diferencia entre el tonelaje de la cabeza y los concentrados asumidos, se realizará, los demás cálculos como determinación del contenido metálico, las distribuciones porcentuales y el ratio de concentración en forma habitual. Como celda objetivo será nuestro relave el cual es definido como el menor posible, debido a que queremos que todo se asigne a los concentrados, Nuestras restricciones serán los porcentajes de distribución en cada elemento (Cu,Pb,Zn y Ag), que Sumando los concentrados junto Figuracon Nroel 2 relave deberá ser 100% Al invocar la herramienta SOLVER obtendremos el siguiente balance metalúrgico como se muestra en la figura 2 www.intermetperu.com
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El relave se obtiene como la diferencia entre el tonelaje de la cabeza y los concentrados asumidos, se realizará, los demás cálculos como determinación del contenido metálico, las distribuciones porcentuales y el ratio de concentración en forma habitual. Como celda objetivo será nuestro relave el cual es definido como el menor posible, debido a que queremos que todo se asigne a los concentrados, Nuestras restricciones serán los porcentajes de distribución en el nuevo relave y los nuevos concentrados están ajustados en función a las distribuciones de Cu, Pb, Zn y Ag. En el caso de existir un concentrado B ulk se haría en forma similar que el balance anterior (Figura Nro. 3) Las condiciones son las mismas en la celda objetivo, establecer el relave como el mínimo posible, celdas cambiantes son los concentrados y las restricciones nuestra distribución porcentual.
Figura Nro 3
Figura Nro 3
Al realizar el ajuste se obtendría el siguiente balance, pero si revisamos la distribución de Cu tenemos una suma porcentual igual al “87.67 %”, como se muestra en la figura 4; esto es debido a que no tenemos leyes para el concentrado de Cu, solo existe para el concentrado Bulk, para ello tenemos que hacer un reajuste en la ley de Cu (en términos comunes es castigar la cabeza).
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Figura Nro 4 Figura Nro 4
Para ello invocamos a la función Goal Seek (Buscar Objetivo), colocando como: definir la celda el valor que contiene el Porcentaje de: 87.673 igualándolo a 100 y para cambiar la celda escogemos la ley de Cu en la cabeza, obteniendo la siguiente distribución ver figura 5 Como se muestra en la figura 5, se realizó el nuevo ajuste estableciéndose el 100% en todas las distribuciones y colocando una Nueva ley en la Cabeza de Cu con “1.32%”
Figura Nro 3 Figura Nro 5
Figura Nro 5
DESARROLLAR EJERCICIO:4-SOLVER I.XLS EJERCICIO:5-SOLVER II.XLS www.intermetperu.com
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Balance Ajustado de Materiales usando la técnica de Los Multiplicadores de Lagrange MINIMIZACIÓNDE LA SUMA DE CUADRADOS DE LOS RESIDUOS En este método, el mejor valor se calcula a partir de datos experimentales, después de los cuales los datos se ajustan para acomodarse a estos estimados, como los flujos son separados y ensayados por “n” componentes, por tanto. Reemplazados los valores de F, C y T con los valores asignados obtenemos: f K
Cc K
1
C t K r K
(1)
Donde: k 1... n
f k Valor del componentek en el flujo de a lim entación
ck Valor del componentek en el flujo de concentrad o
t k Valor del componentek en el flujo de relave
r K Es el residuoen la ecuación generada por los errores
exp erimentale s en las medicionesdel componente k .
Ecuación 1 puede escribirse como: (2) f K t K C c K t K r K
Luego el objetivo de este método es escoger un valor de C, tal que minimice la suma de los cuadrados de los errores, es decir “S” (suma), donde: 2
n
S
(r ) K
(3)
K 1
Y por sustitución de la ecuación 2: n
2
S ( f K t K ) C
2
K 1
(c K t K )
n
2
2C ( f K t K )(c K t K )
(4)
K 1
El valor de S no puede ser cero para cualquier valor de C, a no ser que las medidas de los experimentos sean perfectos. Sin embargo, tiene un mínimo valor cuando dS/dC =0
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2
(rk)
C Ploteo de la suma de los cuadrados de los errores de los componentes vs. Los valores de C Derivando la ecuación (4) con respecto a c se obtiene: 2
n
n
2 C (c K t K ) 2 ( f K t K )(c K t K ) 0 K 1
K 1
Donde Ĉ es el mejor valor ajustado de C. Por consiguiente: n
C ( f t )(c K
K
2
n
K
t K ) / (c K t K )
K 1
(5)
K 1
Una vez que hemos determinado Ĉ, la siguiente etapa es ajustar los valores de componentes para hacerlos consistentes con los flujos calculados. Los errores de la ecuación (1) debe ser distribuida entre los valores de los componentes, tal que: f c y t son los valores ajustados del componente K en los tres flujos Donde: y sabiendo que: ˆ
,
ˆ
f K
f K
f K f ka
ˆ
(6)
f Ka C c K c Ka (1 C )(t K t Ka )
f Ka c Ka y t Ka ,
0
(7)
Donde,
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son los ajustes de los valores de los elementos K en los tres flujos. La ecuación (1) puede ser escrito como: f k C ck 1 C t k r k (8)
Y haciendo la diferencia de las ecuaciones (8) – (7), muestra como resultado:
r K f Ka C c Ka 1 C t Ka
(9)
Luego aplicando mínimos cuadrados; la suma de los cuadrados a ser minimizado es Sa: n
2
2
2
t Ka ) Sa ( f c Ka Ka K 1
(10)
Sujeta a la ecuación 9 condicionada. Este problema de minimización puede ser resuelto más convenientemente por el método de los Multiplicadores de Lagrange. En este método, la ecuación condicionadaes igualada a cero, Es decir la ecuación 9 es: r K f Ka C c Ka 1 C t Ka 0
(11)
Este problema de minimización requiere que todos los ajustes sean tan pequeños como sea posible, y el método Lagrange involucra minimización de la función “L” definida como: n
L f
n
2 Ka
c
2 Ka
K 1
Donde: Así:
2 Ka
t
2 condición K K
| K 1
2 K
es el multiplicador de Lagrange para la ecuación condiciónada k.
^ ^ L S a 2 K r K f Ka C c Ka 1 C t Ka K 1 n
(12)
Luego L es derivado parcialmente con respecto a cada uno de las incógnitas (ajustes y multiplicadores) y las derivadas son igualadas a cero. Asi: www.intermetperu.com
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¶ L
(13)
2 f Ka 2 K 0
¶ f Ka
Es decir: (14) ¶ L
^
¶c Ka
2c Ka 2 K C 0
Es decir: (15) ¶ L
^
¶t Ka
2t Ka
2 K (1 C )
0
Es decir: K 1 C ^
t Ka
¶ L
(16)
^
¶ K
f Ka
2 (r K
^
C c Ka
(1 C )t Ka ) 0
Sustituyendo los valores
f Ka , c Ka , t Ka : r K
K
1
^
C
2
1 C ^
2
r K h K , Donde hacemos que: ^ 2
2
^ h 1 C 1 C . (17) Finalmente se obtiene: www.intermetperu.com
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f Ka
r K
(18)
h ^
c Ka
C r K
(19)
h
1 C ^
t Ka
h
r K
(20)
Como Ĉ ya fue determinado, h es calculado con la ecuación 17, y r k es calculado de la ecuación 8. Los valores ajustados de los componentes son calculados con las ecuaciones 18 al 20.
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Fórmulas matemáticas para molienda circuito Directo R=1
D=-1
A= M=
P=
mn
F M ( x)
z
F A ( x) Rcc * F D ( x) Rcc
1 n
Rcc
Rcc
Rcc
FR (x)
FD (x)* FD (x) - FP (x)
1
D
m
FA (x)
E 1
FA (x) FD (x) FD (x) - FM (x)
E 2
FR (x) FD (x) FD (x) - FP (x)
FD (x)* FD (x) - FM (x)
1 2 ( 1) 2
( 1) 2
2
E 1
1 2 ( 1) 2
2
E 2
1
R
F R ( x)
F P ( x)
F P ( x)
F D ( x)
z
FD (x) FM (x)2 FD (x) - FP (x)2
FA (x)C FA (x) - 1
FP (x)C
FM (x)C FM (x) - 1
FR (x)C
( 1) 2
1
FP (x) - 2 FR (x) - 2
FD (x)C FD (x) - ( - 1)( 1 2 )
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