DE DERIVA AS Y SUS APLICACIONES UNIDAD GRUPAL ANEXO 5
JOS MAURICIO JIMÉNEZ VENEGAS SANDRA LILIANA PEÑA GRUP0 551109A_33
SA!L ENRI"UE VIDES TUTOR
UNIVESIDAD ACIONAL ABIERTA Y DISTANCIA # UNAD CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN LICENCIATURA EN MATEM$TICAS LA DORADA CALDAS NOVIEMBRE DE %01&
FICHA 2 – Trabajo colaborativo
La pendiente de una curva () en el punto
( ,( )) es el número
( + ℎ) −( ) = → lim ℎ
(siempre y cuando el límite exista)
La recta tangente a la curva es la recta que pasa por pendiente, representada en la Fig. 1.
1. Sea la gráica de la unci!n () = −5 + 3 en el punto
airmar" a. La pendiente está dada por"
= → lim
5(− 1 + ℎ) + 3 − 8 ℎ
#. . $l proceso para %allar la pendiente es"
= → lim
5+ ℎ −5 = → lim(5 − 5) = 0 ℎ
c. La pendiente está dada por"
= → lim
−5(− 1 + ℎ) + 3 − 8 ℎ
d. . $l proceso para %allar la pendiente es"
= → lim
5 + 5ℎ − 5 5ℎ = → lim = 5 ℎ ℎ
de acuerdo al procedimie!o por la de"iici# de l$mi!e%
con
esta
(−1,8), es correcto
lim →
( + ℎ) − () −5(− 1 + ℎ) + 3 − (−5 + 3) 5 − 5ℎ + 3 + 5 − 3 = = ℎ ℎ ℎ 5(1 − ℎ) + 3 + 5 − 3 = ℎ 5 + 3 + 5 − 3 = 5 + 5(−1) = 5 − 5 = 0
2.&n o#'eto es lanado desde una torre de 1 metros de altura. *espu+s de & segundos, la altura del o#'eto es 100−'%& % ara %allar su velocidad
en * segundos de %a#er sido lanada es necesario"
a. -eemplaar & = * en la !rmula 100−'%& % #. allar la velocidad como una ra!n de cam#io dada por"
100−'%(* + ℎ) − (100 − '%(*)) lim → ℎ
c. -eemplaar & = * − '%& . d. allar la velocidad como una ra!n de cam#io dada por
-/. 0ínguna porque la velocidad es constante luego de ser el valor de la gravedad, lo que se puede %allar es la altura en cualquioer racci!n de tiempo. *e acuerdo al gráico de la unci!n mostrado en la Fig.
3. 2l traar una recta entre cada par consecutivo de puntos, se puede
airmar que"
/ 2 / a. La pendiente es negativa para las rectas -. / es una recta tangente a la unci!n #. La recta 2 c. La recta /.4 es una recta secante a la unci!n d. La pendiente de la recta /42 es menor que . -/. $ntre 3 y 4 %ay una curva entre este par de puntos la recta los toca a los dos, constituy+ndose en una recta secante a los puntos 3 y 4 de la unci!n.
4. $l proceso #ien realiado para encontrar la derivada de
aplicando el concepto del límite es" 67(9:); <79 ;> 9:; = lim → →
a. () = lim
= → lim(* + ℎ) = −*
() = 1 −
67:(9:); <7:9 ; > 9; = lim → →
#. () = lim
= → lim(−* − ℎ) = −*
67(9:); <79 ; > 9; = lim → →
= → lim(−* − ℎ) = −*
67(9); <7:9 ; > 9:; = lim → →
= → lim(−* − ℎ) = −*
c. () = lim
d. () = lim -/.
= lim→ (9:)?(9)
1 − ( + ℎ) − ( 1 − ) = lim → ℎ 1 − − *ℎ − ℎ − 1 + = lim → ℎ −*ℎ − ℎ ℎ(−* − ℎ) (−* − ℎ) = −* = = lim lim → → ℎ ℎ Sean los gráicos de las unciones ilustrados en la Fig. 5
5. $l gráico de la derivada de las unciones
a.
#.
c.
= 7 () y = () son"
d.
Sea el gráico de la Fig. 6
6. *e acuerdo al gráico de la Fig. 6 es also airmar"
a. $s deriva#le en el intervalo ( −* , *) #. 0o es deriva#le en los puntos que %acen discontinua la unci!n. c. $s deriva#le en el intervalo −* , ' >. d. $n el intervalo (3,') su derivada es 7. Sea la unci!n
@() = ' + + 1, no es
correcto airmar"
a. @() representa una línea recta cuya pendiente es 8. #. ara %allar @ () es posi#le %acerlo aplicando las reglas de derivaci!n de la suma, múltiplo constante y constante. c. @ () representa una línea recta cuya pendiente es 8. d. @() representa una unci!n cuadrática. Las siguientes instrucciones corresponden a una unci!n " i) La unci!n se encuentra en el intervalo −* , 5 >. ii) La gráica de se compone de segmentos de recta cerrados, unidos por sus extremos. iii) La gráica empiea en el punto (−* , 3 ). iv) La derivada de es la unci!n escalonada que se muestra en la Fig. 7.
8. *el gráico
= () se puede inerir"
a. La unci!n = () es deriva#le en todo el intervalo. #. 8oda unci!n deriva#le es continua. c. La unci!n = () es deriva#le en el intervalo ( 0 , 3 ). d. La unci!n () no es deriva#le en los puntos donde %ay picos. 9. Sea la unci!n () =
9:A , si se quiere %allar () aplicando la regla del B9
cociente, la !mula que se de#e utiliar es" C
ℎ D 0 entonces =
C%E CE % ;
C
ℎ D 0 entonces =
C% E:CE % ;
a. Si = con #. Si = con c. Si
= C con ℎ D 0 entonces = C
d. Si = con
%CEE %C ;
ℎ D 0 entonces =
%CE :E%C ;
-/" *e acuerdo con c corresponde con la regla que dice que es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos la derivada del denominador por el numerador, todo dividido por el denominador elevado al cuadrado 10. Sea la unci!n
F() = (* − G)7% ( + 5)
, si se quiere %allar aplicando la regla del producto, la !rmula que se de#e utiliar es" a. Si F = % ℎ entonces #. Si F = % ℎ entonces c. Si F = % ℎ entonces d. Si F = % ℎ entonces
F ()
F = %ℎ + % F = %ℎ − % F = % ℎ + % F = %ℎ − ℎ %
orque cumple la regla que dice que la 19 unci!n derivada multiplicada por la :9 unci!n, más la 19 unci!n multiplicada por la derivada de la :a unci!n Sea H unciones deriva#les de entonces"
I (H)> = (H)% H I
11. *ada la siguiente unci!n
= (5 − 8)J,
para derivar es necesario %acer
un cam#io de varia#le donde" a. H = 5 − 8 y = H J #. H = 5 y = H J c. H = 5 − 8 y = 'HB d. H = 5 − 8 y = −'HB La regla de la cadena esta#lece que para derivadas compuestas como esta, se cam#ia de varia#le lo que %ay dentro del par+ntesis por la derivada de su exponente que en este caso es ;HB. orque yu<; HB K 2H *x=(u)><; HB K (5 − 8) ?(x)<;(5x@7)B K (5) 12. Sea () una unci!n deriva#le, las notaciones correctas para la tercera
derivada son" MN L M9N
a. () ,
, 2LB ,
#. () ,
((3)) , 9B ,
c. () ,
, 29B ,
MN9 MLN
d. () ,
, 29B ,
MN L M9N
MN L M9N
de acuerdo a la notaci!n de Lei#ni la cual permite especiicar la varia#le de dierenciaci!n en el denominador muy pertinente en la dierenciaci!n parcial.
Teorema de Rolle:
continua en el intervalo cerrado O, P > y deriva#le en el intervalo ( O, P ). Si (O) = (P) entonces existe al menos un número en Q en ( O, P ) tal que (Q) = 0 Sea
13. 8eniendo en cuenta el gráico de la unci!n () = + * − 3 ilustrado
en la Fig. 1
$s correcto airmar" a. Los valores de Q tales que (Q) = 0 son −3 3, ya que son los puntos que se intersectan en el e'e . #. $l valor de Q tal que (Q) = 0 es −', ya que este es el valor que intersecta el e'e . c. La pendiente de la recta tangente de (Q) es positiva puesto que la pará#ola a#re %acia arri#a d. (−1) = 0, siendo este el valor de Q. *e aucerdo al 8eorema de -olle la recta tangente es %oriontal a la curva en x<(@1) y c, desde luego qen este caso se %alla en el íntervalo =@,1>, además
+ * − 3 = 0 ( K 3)( − 1) = 0 = −3 = 1 4ompro#ando" (@) + *(−3) − 3 = 0 (1) + *(1) − 3 = 0
Sustituyendo c en la derivada :xA: → :cA:< :c<@: → c<@:/:<@1 que eectivamente en este valor @1 c es un mínimo siendo este valor de c< en la imagen de la unci!n.
$n gráico de la de la Fig. 1; se muestran las unciones (), () , ℎ() ()
14. $s correcto airmar"
a. $l valor de (0) correponde a un mínimo puesto que (0) R () para toda en el intervalo −* , *>% #. $l valor de (−*) correponde a un mínimo puesto que (−*) R () para toda en el intervalo −' , −1>%
c. $l para d. $l para
valor de (*) = 0, el cual correponde a un mínimo ya que (*) S () toda en el intervalo 0 , T>% valor de ℎ (−1) = 0, el cual correponde a un mínimo ya que (−1) S () toda en el intervalo −* , *>%
15. &na ca'a rectangular se a#rica con una piea de cart!n de :; pulgadas
de largo por B de anc%o, de la cual se cortan cuadrados id+nticos a partir de las cuatro esquinas y se do#lan los lados %acia arri#a. Se pretende %allar las dimensiones de la ca'a que %acen un volumen V máximo. *e este pro#lema es correcto airmar" a. La unci!n que permite determinar los puntos críticos es" MU = *1T − 13* + 1* . M9 #. La unci!n V que se de#e derivar para %allar los puntos críticos es"
V = ( − )(*' − )
c. $l volumen máximo de la ca'a es de : pulgadas cú#icas d. Las dimensiones de la ca'a que %acen máximo el volumen es de : pulgadas de largo, 5 de anc%o y de proundidad. Largo<:;@:x 2nc%o
W = 1* − 13* + *1T 1* − 13* + *1T = 0 −(−13*) X Y (−13*) − '(1*)(*1T) = *(1*) 13* X Z 1G'*' − 5T8 = *' 13* X Z G85T = *' 13* + 8 **1 = = = ,* *' *' 13* − 8 '3 = = = 1,G [ * *' *' WW = *' − 13*
2 Es la profundidad de la caja 24-2(2)=20 9-2(2)=5 El máximo volumen de la caja es: Vmax =5202=200
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