ACTIVIDAD 10. TRABAJO COLABORATIVO.2
PROGRAMACIÓN LINEAL
PRESENTADO POR: SANDRA MILENA MORENO CORDOBA 39.313.491 MARIA INES CABALLERO SANCHEZ 39.100.737 MARIBEL HENAO VALENCIA 39.201.168 SONIA LUZ COGOLLO SALGADO 39.287.705
GRUPO: 100404_69
TUTOR EDGAR MAURICIO ALBA V.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA MAYO DE 2014
INTRODUCCION
Con este trabajo nos permitimos conocer diferentes métodos algebraicos, para tener información fehaciente con terminologías numéricas que nos permitan tomar decisiones precisas, buenas y clasificada en, Método Gráfico, Método Algebraico, Método simplex, los cuales se centran en la búsqueda constante de dar soluciones óptimas, ya sea maximizando o minimizando un problema presente aplicando sus respectivos procedimientos. Se aprenderá a realizar los ejercicios del método gráfico y simplex a través de software que permitirán afianzar conocimientos adquiridos en la unidad
DESARROLLO FASE 1:
Basado en los problemas propios y propuestos en el trabajo colaborativo 1, el grupo debe desarrollarlos por el método simplex y hacer el planteamiento como DUAL a cada uno de los problemas propuestos. Estos problemas deben ser desarrollados sin la ayuda de ningún programa, debe ser con cálculos manuales.
Problema 1. Sonia Cogollo:
La empresa Hierros y Hierros, fabrica dos tipos de productos, el proceso utilizado para su fabricación es: ensamble y prueba, la ganancia obtenida en la venta del producto 1 es de $85 y la del producto 2 es de $63, el tiempo utilizado en cada proceso para cada producto es el siguiente: Proceso
Consumo utilizado para cada producto Pulido
Ensamble Prueba Utilidad
Producto 1
Producto 2
1 2 $63
2 1 $85
Horas disponibles 150 80
El señor Leiner, necesita saber cuándo producir de cada producto, con el fin de obtener mayor ganancia. Variables
A = producto 1 B= producto 2
Función objetivo
Restricciones Ensamble= 1A + 2B ≤150 Prueba= 2A + 1B ≤ 80 A,B≥0
DESPEJAMOS ECUACIONES Z -63A – 85B
=0
1A + 2B + S₁ 2A + 1B
=150 + S₂ =80
TABLA SIMPLEX Z
A
1 -63 1/2
B
S₁
-85 0
S₂
R
0
0
0
1
2
1
0
150
150/2=75
0
1
1
0
1
80
80/1= 80
Columna pivote
renglón pivote
Variable más negativa para este caso es -85 El elemento pivote es el 2 que queda intersectado entre la columna y el renglón pivote Convertir elemento pivote en 1
1 -63
-85 0
0
0
85R₂ + R₁
0
1/2
1
1/2 0
75
0
1
1
0
80
85[ o
½
½
0
75
1 -63 -85 o
0
0
1 -21
1
1
0 42,5 0
-1[ 0 ½ 1 ½ 0 1
1 0
6.375
0 75 ] 1 80
0 ½ 0 -1/2 1 5
+
- 1R₂ + R₃
] +
2R
1
-21
0
42,5
0
6.375
0
1/2
1
1/2
0
75
75/ ½ = 150
0
½
0
-1/2
1
5
5/ ½ = 10
Columna pivote
Renglón pivote
1
-21
0
42,5
0
0
1/2
1
1/2
0
75
0
1
0
-1
2
10
Z
A
B
S₁
S₂
R
1
0
0
62,5
42
6.585
0
0
1
1
-1
70
0
1
0
-1
2
10
6.375
RESPUESTA Z= 6.585 A= 10 B= 70
Problema 2. Maribel Henao
1. MAXIMIZAR
Sujeta a:
21R₃ + R₁
- 1/2 R₃ + R₂
TABLA 1 x
y
1 1 1 -10
1 -2 -1 -12
s1
s2
1 0 0 0
0 -1 0 0
s3
P
0 0 -1 0
0 0 0 1
60 0 0 0
0 0 0 1
60 0 0 0
TABLA 2 x
2 1 -1 -22
y
s1
0 0 1 0
s2
1 0 0 0
0 1 0 0
s3
P
-1 -2 1 12
TABLA 3 x
0 1 0 0
y
s1
0 0 1 0
1 0 0 0
s2
s3
-2 1 1 22
3 -2 -1 -32
P
0 0 0 1
60 0 0 0
TABLA 4 x
0 1 0 0
y
s1
s2
0 0.333333 -0.666667 0 0.666667 -0.333333 1 0.333333 0.333333 0 10.6667 0.666667
2. MAXIMIZAR
Sujeta a:
s3
1 0 0 0
p
0 20 0 40 0 20 1 640
TABLA 1 x
y
s1
1 3 2 1 -5
1 2 3 -1 -6
s2
s3
s4
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 -1 0
s1 1 0 0 0 0
s2 0 1 0 0 0
s3 0 0 1 0 0
s4 -1 -2 -3 1 6
p
0 80 0 220 0 210 0 0 1 0
TABLA 2 x 2 5 5 -1 -11
y 0 0 0 10 0
p 0 0 0 0 1
80 220 210 0 0
TABLA 3 x 1 0 0 0 0
y 0 0 0 1 0
s1 0.5 -2.5 -2.5 0.5 5.5
3. MAXIMAR
Sujeta a:
s2 0 1 0 0 0
s3 0 0 1 0 0
s4 -0.5 0.5 -0.5 0.5 0.5
p 0 0 0 0 1
40 20 10 40 440
TABLA 1 x
y
0 0 0 -4
0 0 0 10
s1
-1 0 0 0
s2
0 1 0 0
s3
0 0 -1 0
Z
0 0 0 1
4 2 0 0
4. MINIMIZAR
Sujeta a:
x
0 1 0 1 0 7
y
0 1 0 -1 0 3
s1
-1 0 0 0 0 0
s2
s3
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
s4
0 0 0 -1 0 0
s5
0 0 0 0 -1 0
-z
0 0 0 0 0 1
2 9 -1 0 -1 0
Problema 3. María Caballero
En una Finca se elaboran dos clases de queso; un queso Costeño y Queso Campesino. Para ello requiere la combinación de dos ingredientes M y N; El Queso Costeño incluye 5kg de M y 3 kg de N; y el Queso Campesino incluye 7kg de M y 4kg de N. la venta de cada queso costeño es por valor de $500, y la venta de cada queso Campesino es por valor de $400. Además en la finca hay una existencia de 60kg de M y 20kg de N. ¿Cuantos Quesos de cada tipo deberá producir la Finca, si su objetivo es obtener máximos ingresos?
X = Queso Costeño Y = Queso Campesino
Forma Canónica:
Función objetivo:
Maximizar
500x + 300y
Restricciones 5x + 7y ≤ 60 3x + 4y ≤ 20 X ≥, y ≥ 0
Forma estándar
Maximizar
500x + 300y
Restricciones: 5x + 7y + Z = 60 3x + 4y + Z1 = 20 x≤, y ≤ 0 Problema 4. Sandra Moreno
Doña Susana, decide montar una venta de cds y dvd grabados con videos musicales y mp3 en su casa (para todas las suposiciones del ejercicio la señora paga todos los aranceles y derechos de autor a sayco y acinpro), para lo cual compra un computador con quemador y una impresora, el proceso tiene dos etapas claves, quemar los cd y los dvd y etiquetarlos, como la señora Susana está empezando su negocio solo ella es la responsable por ambos procesos por lo que decide dedicar horas de la mañana y parte de la tarde a quemar los cd de 8 am a 12m y de 2pm a 4 pm 5 días de la semana para un total 6 horas, y solo dos horas de la tarde de 4 a 6 pm. El computador es de baja gamma por lo que se demora 30 minutos en quemar un cd y 1 hora en quemar dvd, mientras que doña Susana se ha vuelto una experta en etiquetar los cd. Lo que le toma solo 15 min etiquetar (seleccionar canciones, imprimir etiqueta, empacar cd) un cd o un dvd indistintamente. Doña Susana quiere saber cuál debe ser el número de cd y de dvd que debe quemar para maximizar su ganancia si ella los vende a: $700 cd y $1200 dvd C=cd D=dvd Forma canónica
Z= ganancia Maximizar Z=700*C+1200*D Restricciones Quema: 0.5*C + D <= 6 Etiqueta 0.25 C + 0.25 D <=2 C >= 0; D>= 0 Forma estándar Z= ganancia Maximizar Z=700*C+1200*D Restricciones Quema: 0.5*C + D = 6 Etiqueta 0.25 *C + 0.25 * D =2 C >= 0; D>= 0
MAXIMIZAR: 700 X1 + 1200 X2 + 0 S1 + 0S2
0.5 X1 + 1 X2 + 1 S1 = 6 0.25 X1 + 0.25 X2 + 1 S2 = 2
X1, X2, S1, S2 ≥ 0
Dualidad
Maximizar Z=700*C+1200*D Restricciones Quema: 0.5*C + D <= 6 Etiqueta 0.25 *C + 0.25 * D <=2 C >= 0; D>= 0 El dual es: MINIMIZAR: W=6*Y1+2*Y2 0.5 Y1 + 0.25 Y2>=700 Y1 + 0.25 Y2 >= 1200
El problema queda planteado de la forma: MAXIMIZAR: -6 Y1 -2 Y2 + 0 Y3 + 0 Y4 + 0 Y5 + 0 Y6 0.5 Y1 + 0.25 Y2 -1 Y3 + 1Y5 = 700 1Y1 + 0.25 Y2 -1 Y4 + 1 Y6 = 1200
Y1, Y2, Y3,Y4, Y5, Y6 ≥ 0
EJERCICIOS DE PROGRAMACION LINEAL FASE 2:
Problemas para desarrollar con el programa PHPSimplex de forma gráfica y por el método Simplex. Deben hacer un análisis sobre los resultados obtenidos. Envíen pantallazos de la subida de datos y del desarrollo de estos problemas
EJERCICIO1: Un ave de rapiña necesita para subsistir al día 30 unidades de proteínas, 20 de grasas y 8 de vitaminas. Sus presas son dos tipos de animales: ratones que le proporcionan 3 unidades de proteínas, 4 de grasas y 1 de vitaminas y palomas que le proporcionan 6 unidades de proteínas, 2 de grasas y 1 de vitaminas. Si cazar y comer un ratón le cuesta 7 unidades de energía y una paloma le cuesta 12 unidades de energía ¿cuántas presas de cada clase debe cazar para satisfacer sus necesidades con el menor gasto de energía? DATOS Tipo de presas Ratones Palomas Cantidad necesaria
X1 = Ratones X2 = Palomas Función objetivo ( ) Restricciones:
Proteínas Grasas Vitaminas
Cantidad de energía
3
4
1
7
6 30
2 20
1 8
12
Resultado PHPsimplex
Mediante
Programa
Después de haber realizado el problema por el método simplex, se puede observar con el resultado que presenta; el ave rapiña para satisfacer sus necesidades con el menor gasto de energía, debe cazar 6 ratones y 2 palomas, con lo cual solamente se gastaría 66 unidades de su energía, y cumpliría con su alimentación diaria requerida.
METODO GRAFICO
EJERCICIO 2:
Con 80 kg de acero y 120 de aluminio se quieren fabricar bicicletas de montaña y de paseo que se venderán a 200 euros y 150 euros respectivamente. Para la de montaña son necesarios 1 kg de acero y 3 de aluminio y para la de paseo 2 kg de cada uno de los metales ¿cuántas bicicletas de paseo y cuántas de montaña se deben fabricar para obtener el máximo beneficio? DATOS Bicicletas
Acero kg
Aluminio kg
Valor Euros
Bicicletas de Montaña
1
3
200
Bicicletas de paseo
2
2
150
Cantidad Disponible
80
120
X1 = Bicicletas Montaña X2 = Bicicletas Paseo
Función objetivo ( ) Restricciones:
Resultado Mediante Programa PHPsimplex
Se necesita fabricar 20 bicicletas de paseo y 30 bicicletas de montaña; para obtener un beneficio de 8.500 euros.
Método Grafico
EJERCICIO 3:
Para abonar una parcela de huerta se necesitan, por lo menos, 8 kg de nitrógeno y 12 kg de fosforo. Se dispone de un producto M cuyo precio es de 3 euros por kilogramo y que contiene un 10% de nitrógeno y un 30% de fósforo y otro producto N que contiene un 20% de nitrógeno y un 20% de fósforo, y cuyo precio es de 4 euros por kilogramo. ¿Qué cantidades se deben tomar de M y N para abonar la parcela con el menor gasto posible? DA TO S Producto
Nitrógeno
Fosforo
Valor
M
10%
0,10
30%
0,30
3 Euros
N
20%
0,20
20%
0,20
4 Euros
Cantidad necesaria
8k
12 k
X1 = Producto M X2 = Producto N Función objetivo Restricciones:
Resultado Mediante Programa PHPsimplex
Para abonar la parcela con el menor gasto, se debe tomar 20 cantidades de M; y 30 cantidades de N, con un gasto de 180 euros.
Método Grafico
EJERCICIO 4:
Un comerciante desea comprar dos tipos de frigoríficos, F1 y F2. Los del tipo F1 cuestan 300 euros y los del tipo F2, 500 euros. Solo dispone de sitio para 20 frigoríficos y de 7000 euros para hacer las compras. ¿Cuántos frigoríficos ha de comprar de cada tipo para obtener beneficios máximos en la venta posterior, sabiendo que en cada frigorífico gana el 30% del precio de compra? X1 = F1 X2 = F2 Sacando el 30% de ganancia por el valor de cada frigorífico.
Función objetivo
( )
Restricciones:
Resultado Mediante Programa PHPsimplex
De acuerdo a los resultados obtenidos, solo se debe comprar 14 frigoríficos de tipo F2, para obtener un beneficio de 2.100 euros.
METODO GRAFICO
EJERCICIO 5:
Una industria vinícola produce Vino y Vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Además el triple de la producción de vinagre más cuatro veces la producción de vino es siempre menor o igual que 18 unidades. Hallar el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 8 euros y cada unidad de vinagre 2 euros. X1 = Vino X2 = Vinagre Función objetivo ( ) Restricciones:
Resultado Mediante Programa PHPsimplex
Hay que producir 3 unidades de vino y 2 unidades de vi nagre. Para obtener un beneficio de 28 euros.
Método Grafico
CONCLUSION
En el medio de las finanzas los métodos cualitativos han sido de gran utilidad e importancia al momento de la toma de decisiones el motivo de estos procedimientos es que las empresas Adopten esta método dentro de su estructura para mejorar su eficacia y eficiencia y le permita crecer como empresa.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
GLORIA LUCIA GUZMAN ARAGON (2010), Sogamoso, Modulo Programación Lineal.
http://www.youtube.com/watch?v=F_dAUYBjsLQ&feature=relmf u http://www.phpsimplex.com/simplex/simplex.htm?l
