Acotado Donato Di Pietro

Donato Di Pietr Pietro o

1 r a . Edición 2001

L I B R E R I A Y E D I T O R I A L A LS I N A

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I.S.B.N 950-553-085-4 La reproducción total o parcial de este libro en cualquier forma que sea, idéntica o modificada, no autorizada por el Editor, viola los derechos reservados, incluído su uso por Internet o cualquier otro medio electrónico. Cualquier utilización debe ser previa- mente solicitada

INDICE GENERAL CAPITULO I EL PUNTO 1.1. REPRESENTACIÓN DEL PUNTO .......................... pág. 5 1.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ...................... pág. 7

CAPITULO II LA RECTA 2.1. REPRESENTACIÓN DE LA RECTA .................... pág. 10 2.2. RELACIONES ENTRE DISTANCIAS OBJETIVA HORIZONTAL Y VERTICAL DE PUNTOS DE UNA RECTA ........... pág. 11 2.3. APLICACIONES ............................................ pág. 13 2.4. PENDIENTE INTERVALO Y GRADUACIÓN DE UNA RECTA ............................................ pág. 15 2.5. APLICACIONES ............................................ pág. 16 2.6. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS ........ pág. 19 2.7. APLICACIONES ............................................ pág. 23 2.8. EJERCICIOS ................................................ pág. 25

CAPITULO III REPRESENTACIÓN DEL PLANO 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8.

ESCALA DE PENDIENTE ................................. pág. 27 APLICACIONES ............................................ pág. 32 PARALELISMO E INTERSECCIONES ................. pág. 36 APLICACIONES ............................................ pág. 41 RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO .............. pág. 43 REBATIMIENTO DE UN PLANO ........................ pág. 47 APLICACIONES ............................................ pág. 49 EJERCICIOS .................................................pág. 52

Indice General

CAPÍTULO IV REPRESENTACIÓN DE SUPERFICIES 4.1. SUPERFICIES POLIÉDRICAS Y CURVAS ............ pág. 54 4.2. SUPERFICIE TOPOGRÁFICA ........................... pág. 56 4.3. INTERSECCIÓN DE UNA SUPERFICIE TOPOGRÁFICA CON UN PLANO O CON UNA RECTA O CON UNA SUPERFICIE CILÍNDRICA VERTICAL .................................. pág. 61 4.4. APLICACIONES ............................................ pág. 64 4.5. EJERCICIOS ................................................ pág. 70

5

COMENTARIO EDITORIAL Proyecciones Acotadas Este libro escrito por el Ingeniero Industrial Donato Di Pietro, ha sido editado sucesivas veces desde su aparición, encontrándose en la actualidad agotado. Se ha decidido incorporarlo a la biblioteca electrónica Alsin@, en formato de e-book , ya que el mismo es un clásico de la serie de libros que la editorial posee referentes a geometría descriptiva y temas afines utilizando métodos de representación gráfica. Este ha sido el primero de la serie con formato de libro electrónico, aunque el autor posee varios trabajos realizados, los que se irán incorporando sucesivamente. De los libros escritos por el autor se encuentran: ✏ ✏ ✏ ✏ ✏

Ejercicios de Cálculo Infinitesimal Geometría Analítica Geometría Descriptiva Geometría Analítica del plano, del espacio y Nomografía Mecánica Técnica

Esperando que esta incorporación sea evaluada como de importante consideración para el ámbito de la enseñanza técnica y profesional, nos complacemos en brindar continuamente material para la formación de nuestros profesionales. Buenos Aires, Mayo de 2001 Librería y Editorial Alsina

CAPITULO I

EL PUNTO 1.1

REPRESENTACIÓN DEL PUNTO

1.1.1. El método de representación de las figuras por medio de sus proyecciones acotadas , o método de los planos acotados, utiliza, a diferencia del método de Monge, un solo plano de proyección. Su empleo resulta ventajoso cuando deben representarse figuras de gran extensión horizontal y escaso relieve. Es lo que ocurre, por ejemplo, cuando se hace la representación de la superficie del terreno, cuyo relevamiento, por medio de las proyecciones acotadas, permite construir los planos topográficos de la superficie considerada. Los planos topográficos muestran la forma aproximada del terreno y proporcionan todos aquellos detalles indispensables para proyectar la construcción de caminos, canales, obras de fortificación, etc. 1.1.2. El plano único de proyección utilizado en el método de las proyecciones acotadas, casi siempre horizontal, recibe el nombre de plano de comparación, o cuadro. Lo indicaremos, generalmente, por medio de la letra π y, salvo indicación especial, lo supondremos siempre horizontal. P

π

π

P1 1

P1(5) 1

Representación Espacial

Representación Acotada

F IG. 1.1

Geometría Descriptiva - Proyecciones Acotadas - Di Pietro

8

Considerado, entonces, un cuadro π, el punto arbitrario P queda individualizado mediante su proyección ortogonal P 1, sobre π y el número relativo n, que da, en cierta unidad, la distancia P 1P , del punto P al cuadro π. En la figura 1.1 el número n vale 5. El número n, positivo, nulo o negativo, según que el punto esté encima del cuadro, en el cuadro o debajo del cuadro, constituye la cota o la altitud del punto objetivo P y se escribe al lado de su proyección P 1 tal como se indica en la figura 1.1 para el punto P de cota 5. 1.1.3. En la figura 1.2 al punto A corresponde la cota negativa −3, mientras al punto B, que pertenece al plano π, corresponde la cota cero.

A1 π

B

h

A1(−3)

B1

π

B1(0) 1

1

A Representación Espacial


F IG. 1.2

1.1.4. Resulta, entonces, que un punto (propio) cualquiera, P , queda perfectamente determinado mediante su proyección y su cota. A la inversa, un punto cualquiera del cuadro y un número real (cota) pueden representar siempre un punto único del espacio. 1.1.5. Para indicar el punto objetivo P , de proyección P 1, y cota 3,25; por ejemplo, escribiremos PP 1 (3,25) o, simplemente, P 1 (3,25). 1.1.6. Un plano en el cual se indicaron, al lado de las proyecciones de puntos distintos, las cotas respectivas, se llama plano acotado. Tal es, por ejemplo, el plano n dado en la figura 1.2. A todo plano acotado debe acompañar, siempre, la escala, gráfica o numérica utilizada para representar las longitudes. Solamente así podrá reemplazarse, cuando sea necesario, un número (cota) por un segmento o un segmento por un número.

Capítulo I: El Punto

9

En general, indicaremos la escala gráfica mediante un pequeño segmento que representará 1 m de la figura espacial. La escala numérica será una fracción que dará la razón entre un segmento del dibujo y el segmento espacial correspondiente. 1.1.7. La elección del cuadro es, naturalmente, arbitraria. No obstante, en trabajos topográficos de nivelación para caminos, canales, obras de salubridad, etc., se adopta suficientemente bajo con respecto al terreno, de modo que los puntos representados queden encima de él. Así, Obras Sanitarias de la Nación ha adoptado como cuadro, es decir, como plano de cota cero, el que está a 30,479 m debajo de la estrella central del peristilo de la Catedral de Buenos Aires (fig. 1.3). La Municipalidad de Buenos Aires utiliza como plano de comparación para trabajos de nivelación el mismo cuadro establecido por Obras Sanitarias. Con respecto a él pueden considerarse otros Peristilo de la Catedral planos de comparación, de Buenos Aires m de modo que, aun tratán m 5 0 7 dose de trabajos subterrá m 0 , 4 , 7 m 9 9 neos, las cotas resultan 1 1 7 4 4 Línea de la ribera positivas. En la nivelación 4 , 1 0 , Cero del Mareógrafo 6 3 para caminos se adopta, 3 del Riachuelo generalmente, como plano de comparación, el coCero de las Obras de Salubridad rrespondiente al cero del mareógrafo del RiachueCero de las Obras del Puerto de Buenos Aires lo, situado 11,479 m más alto que el de Obras SaF IG. 1.3 nitarias. 1.2

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

1.2.1. Puntos A, B, C , ..., que pertenecen a un mismo plano paralelo al cuadro (fig. 1.4), tienen, evidentemente, la misma cota. Y viceversa.

Geometría Descriptiva - Proyecciones Acotadas - Di Pietro

10

La distancia entre dos de tales puntos, A y B, por ejemplo, es igual a la distancia entre sus proyecciones, es decir, AB = A1B1 C

D A

π

D1

B

C1

B1(3)

1

B1

π

A1(3)

A1 Representación Espacial


F IG. 1.4 B

A π

π

A1 B1 h

A1(2)

1

B1(3)

Representación Espacial


F IG. 1.5

1.2.2. Puntos A, B, C , ..., pertenecientes a una misma recta, r , perpendicular al cuadro, tienen la misma proyección. Y viceversa. La distancia entre dos de tales puntos es dada, en la escala adoptada, por la diferencia entre sus cotas. Así, por ejemplo, la distancia entre los puntos A y B (fig. 1.5) es AB = (5−2) unidades. 1.2.3. Sean A y B dos puntos cualesquiera del espacio (fig. 1.6). Llamaremos distancia horizontal entre A y B la distancia A1B1 entre sus proyecciones, y distancia vertical entre los mismos puntos A y B el segmento B’B = B1B − A1 A medido por la diferencia entre sus cotas. Conducida por A la paralela a la recta A1B1; es fácil notar, en seguida, que la distancia AB

Capítulo I: El Punto

11

entre los dos puntos consideraB dos es dada, mediante la escala utilizada, por la hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene como catetos las distanA B’ cias horizontal y vertical entre los dos puntos objetivos A y B. Conocidas, pues, las proyecciones acotadas de los punA1 π B1 tos, así como la escala (gráfica o numérica), podemos hallar su 1 distancia objetiva. Sean A1(10) y B1(4), por ejemplo, los dos puntos (ver fig. F IG. 1.6 1.7). Conducida por A1 la perpendicular a la recta A1 B1, se marca el segmento A1C igual a (10 −4 = 6) veces la unidad de medida.El segmento CB1 da, con aquella unidad, la distancia objetiva AB. C

_ CB = AB 1

_

B1(4)

90° 1

A1(10)

F IG. 1.7

Hemos hallado gráficamente la distancia AB. Podemos hallarla, también, numéricamente. Se mide, utilizando la unidad adoptada, el segmento A1B1. Sea 8 unidades la longitud obtenida. La diferencia entre las cotas de los extremos del segmento es (10 −4 = 6) unidades. Entonces, AB = 82 + 62 unidades, o sea, AB = 10 unídades.

CAPITULO II

LA RECTA 2.1.

REPRESENTACION DE LA RECTA

2.1.1. Consideremos una recta arbitraria, r (fig. 2.1). Su proyección sobre el cuadro es r 1. Es evidente que el conocimiento de r 1 no basta para individualizar la recta r del espacio. Pero si conocemos, además, las cotas de dos de sus puntos, de los que A se proyectan en A1 y B1, por ejemplo, la recta objetiva queda r perfectamente determinada. En efecto, bastaría llevar B sobre las perpendiculares al cuadro, por A1 y B1, los segmentos A1 A y B1B, que corresA1 ponden, en escala, a las cotas r 1 B1 del primer punto y del segundo, respectivamente. Una recta se representa, π pues, mediante su proyección sobre el cuadro y las cotas de F IG. 2.1 dos de sus puntos. La figura 2.2 da la representación acotada de la recta cuyos puntos A y B distan 2,5 m y 4 m del plano de comparación. 2.1.2. Resulta, entonces, que una recta, AB, por ejemplo, queda determinada cuando se dan las proyecciones acotadas de dos de sus puntos (fig. 2.2). Si las cotas de los dos puntos son iguales, la recta es paralela al plano de comparación. Tal es, por ejemplo, la recta determinada por los puntos C 1(2) y D1(2).

Proyecciones Acotadas - Donato Di Pietro

13

Una recta paralela al cuaC1(2) dro puede ser dada, también, mediante su proyección y la D1(2) π única cota común a todos sus B1(4) E1 puntos. Si las proyecciones de los A1(2,5) 1 puntos de la recta coinciden, la recta es perpendicular al plano π, bastando el único punto de F IG. 2.2 coincidencia, E 1, por ejemplo, sin cota, para determinarla. El punto E 2 es la traza de la recta. Si se quiere individualizar un segmento de esta perpendicular, habrá que dar, además de E 2 , las cotas de los extremos del segmento. 2.2. RELACIONES ENTRE DISTANCIAS OBJETIVA HORIZONTAL Y VERTICAL DE PUNTOS DE UNA RECTA

2.2.1. Al referirnos, en el parágrafo 2.1.2., a las distancias objetivas, horizontal y vertical de dos puntos, hemos prescindido del signo que puede darse a cada una de aquéllas. Tratándose de más de dos puntos de una misma recta, dispuestos en un orden cualquiera, conviene considerar también el sentido según el cual es recorrido cada segmento determinado. 2.2.2. Dada una recta, r (fig. 2.3), puede imaginarse que un punto móvil la recorre en dos sentidos distintos, opuesto uno al otro. Elegido arbitrariamente uno de los sentidos como positivo, el otro es negativo. Toda recta en la cual se ha fijado el sentido positivo, y en consecuencia también el negativo, recibe el nombre de recta orientada. u r

A

B

F IG. 2.3

FIG. 2.4

Capítulo II: La Recta

14

2.2.3. Sean A y B dos puntos de una recta orientada (fig. 2.4) en la cual se ha fijado, en forma arbitraria, como sentido positivo, el que va desde A hacia B. Si se mide el segmento AB con una unidad gráfica, u, establecida también arbitrariamente, se obtiene un número real, al cual se asignara el signo positivo porque adnútimos que el segmento es recorrido desde A hacia B. El número real obtenido constituye el valor o medida del segmento (orientado) AB, o también distancia AB, y se representa escribiendo, simplemente, AB. Resulta que, cualquiera sea el sentido positivo establecido, los números AB y BA son de igual valor absoluto, pero de signos distintos. Es decir, AB = −BA 2.2.4. Si A A1 (a), B h

h

C A F

α

A1

C1

B1 (b) y C C 1 (c) son puntos de una misma recta, los segmentos AB, BC y B CA son proporcionales a sus proyecciones A1B1, B1C 1 y C 1 A1, es decir, a las distancias E horizontales de sus extremos. D En efecto, si α es el ángulo agudo que la recta objetiva forma con su proyección sobre el cuadro (fig. 2.5), puede escribirse, recordando nociones B1 elementales de trigonometría, h

A1B1 = AB cos α π

B1C 1 = BC cos α

F IG. 2.5

C 1 A1 = CA cos α

de donde AB A1B1

BC

=

B1C 1

=

CA

[2.1]

C 1 A1

que es lo que queríamos demostrar. En forma análoga puede demostrarse que los segmentos AB, BC y CA son proporcionales a las distancias verticales de sus extremos. Bastaría proyectar los segmentos sobre la recta B1B. Se obtendría, sin dificultad,


AB

=

DB

BC

=

BE

15

CA ED

o sea, AB b−a

=

BC c −b

=

CA

[2.2]

a−c

que es la relación buscada ( *). Una tercera relación puede obtenerse dividiendo, ordenadamente, [2.2] por [2.1]. Resulta, en seguida, A1B1 b−a

=

B1C 1 c −b

=

C 1 A1

[2.3]

a−c

que puede expresarse diciendo que las proyecciones de segmentos de una misma recta son proporcionales a las distancias verticales de sus extremos . 2.3. APLICACIONES

2.3.1. Representada la recta en la forma ya establecida, determinemos la cota de uno cualquiera de sus puntos, del cual se da la proyección . Trátese de la recta cuya (B) representación acotada es da(C) da por la figura 2.6, y sea C 1 la (A) proyección del punto cuya cota quiere hallarse. B1(3) Girando alrededor de 90° A1B1 construyamos el rebatiC1 miento, sobre el plano π, del u A1(5) plano que proyecta ortogonalmente la recta AB. El punto A F IG. 2.6 se coloca en ( A), sobre la perpendicular por A1 a la proyección A1B1, a una distancia A1 ( A) = 5 unidades. El punto B se coloca en ( B), sobre la perpendicular por B1 a la A1B1, a una distancia B1 (B) = 3 unidades. (*) Téngase presente que AB, BC, CA, han sido considerados como segmentos orientados.


16

La recta ( A)(B) constituye, así, el rebatimiento de la recta objetiva AB. Si a continuación se conduce por C 1 la perpendicular a la A1B1, su intersección ( C ) con ( A)(B) da el rebatimiento del tercer punto C y, entonces, el segmento C 1(C ), medido mediante la unidad fijada, de la cota c = ~ 4,1 del tercer punto C . Hemos procedido gráficamente. Veamos ahora la resolución numérica. La relación [2.3] establecida en el punto 2.2 anterior, entre las distancias horizontales de puntos de una misma recta y las distancias verticales correspondientes, permite escribir A1B1 b−a

=

A1C 1

[2.4]

c −a

Utilizando la unidad adoptada podemos medir A1B1 y A1C 1. Se obtiene A1B1 = 9 y A1C 1 = 4. Reemplazando, entonces, en [2.4] resulta 9 4 = c −5 3−5 de donde c =

−8 + 45 9

es decir, c = ~ 4,11 (A)

(C)

(B) D

A1(6) C1

u B1(10)

F IG. 2.7


17

2.3.2. Como problema recíproco, dada una recta, mediante las proyecciones acotadas de dos de sus puntos, A y B (fig. 2.7), encontrar la proyección de otro de sus puntos, C, del cual se conoce la cota c = 7,5. Marcado, mediante la escala de dibujo, B1D = 7,5 se conduce por D la paralela a la proyección A1B1, hasta encontrar en ( C ) el rebatimiento ( A)(B) de la recta. El pie C 1 de la perpendicular por ( C ) a la A1B1 da la proyección buscada. Esto gráficamente. Para la resolución numérica escribamos otra vez la relación [2.4], es decir, A1B1

=

b−a

A1C 1 c −a

Determinado, mediante la escala del dibujo, A1B1 = 18, puede escribirse 18 10−6

=

A1C 1

7,5−6

de donde A1C 1 = 6,75

Marcado, entonces, con la escala, A1B1 = 6,75, se tiene en C 1 la proyección buscada. 2.4.

PENDIENTE INTERVALO Y GRADUACION DE UNA RECTA

B

F IG. 2.8

r C A π

B1

α

A1

2.4.1. Se llama ángulo de inclinación, o simplemente inclinación, de una recta que no es ni horizontal ni vertical, el ángulo agudo que esa recta forma con el cuadro (o sea, con su proyección sobre el cuadro). Así, la inclinación de la recta r (fig. 2.8) es el ángulo α. Y se llama pendiente de una recta la tangente trigonométrica de aquel ángulo. Indicando con p la pendiente se tiene, entonces: p = tg α


18

2.4.2. Sean A y B dos puntos cualesquiera de la recta r . Puede escribirse: p = tg α =

CB AC

=

B1B

−

A1 A

A1B1

es decir, la pendiente de una recta es el cociente que se obtiene al dividir la distancia vertical de dos de sus puntos por la distancia horizontal de los mismos.

2.4.3. Si la distancia vertical, B1B− A1 A, de los dos puntos vale 1, la distancia horizontal correspondiente, A1B1 se llama intervalo o módulo de la recta r . Lo indicaremos con la letra i . Se comprende, recordando nociones elementales de geometría, que, cualesquiera sean los dos puntos de la recta, cuya distancia vertical vale 1, el intervalo es constante. 2.4.4. De cuanto precede resulta, entonces, que p = 1 / i , es decir, para una misma recta, los números que expresan, en la escala adoptada, la pendiente y el intervalo, son recíprocos. Así, por ejemplo, si p = 3 / 5, el intervalo vale 5 / 3 de la unidad de longitud. 2.4.5. Dada una recta mediante las proyecciones acotadas de dos de sus puntos, se puede, evidente5 mente, como caso particular del 4 problema 2 del parágrafo anterior , 3 encontrar las proyecciones de los 2 puntos de la recta que tienen cota 1 entera. Cuando en la proyección de una recta se ha marcado una serie 0 de puntos de cota entera (fig. 2.9), se dice que la recta ha sido graF IG. 2.9 duada. El punto de cota cero, o sea, la intersección de la recta y del plano de comparación, constituye la traza de la recta. 2.5.

APLICACIONES

2.5.1. Graduar una recta dada mediante las proyecciones acotadas de dos de sus puntos.


19

F IG. 2.10

Sean A1 (7,6) y B1 (1,2) los dos puntos (fig. 2.10). Rebatida sobre el cuadro la recta AB, se tiene el trapecio A1B1 (B)( A). Sobre A1( A) se llevan, a partir de A1, segmentos, A11’ , A12’ , A13’ , ..., que representen las cotas 1, 2, 3, ... Procediendo como en 2.3.2 se obtienen, sobre A1B1, las proyecciones de los puntos de cotas 0, 1, 3, ..., −1, −2, −3, ... El punto de cota cero es, como ya se sabe, la traza de AB sobre el plano de comparación. La construcción efectuada puede ser más simple si se piensa que dos puntos consecutivos cualesquiera, de cota entera, determinan sobre la recta objetiva segmentos iguales, cuyas proyecciones sobre A1B1 son también iguales.

F IG. 2.11


20

Cualquiera de estas proyecciones iguales constituye, tal como se estableció en 2.1, el intervalo de la recta. Hallados, entonces, dos puntos consecutivos arbitrarios (pero convenientes para el dibujo) de cota entera, C 1 (6) y D1 (5), por ejemplo, basta llevar a uno y otro lado de C 1, o de D1, segmentos consecutivos iguales al intervalo C 1D1. La figura 2.11 obtenida es, evidentemente, más simple que la anterior.

7 ,6 − 1 2 , U n i d a d e s

9

8

7

6

5

3

4

2

1

0

−1

−2

B1(1,2)

A1(7,6)

F IG. 2.12

Otro procedimiento consiste en utilizar una regla graduada, tal como lo indica la figura 2.12. Suministre el alunmo la explicación correspondiente. 2.5.2. Dada una recta graduada y la cota de uno de sus puntos, determinar la proyección de este punto . Trátese (fig. 2.13) de la recta r r 1 y sea 3,8 la cota del punto. La proh


21

1: 200 F IG. 2.13

yección del punto estará, evidentemente, entre las proyecciones acotadas con 3 y 4. Con más precisión, estará a una distancia de 3 igual a 8 / 10 del intervalo.Y así para otros puntos. 2.5.3. Dada la proyección graduada de una recta, determinar la pendiente y la inclinación. Trátese de la recta considerada en el número anterior. En el dibujo la distancia horizontal de dos puntos consecutivos de cota entera, o sea, el intervalo, es 11 mm, que en la escala 1 : 200 vale 2,2 m. La distancia vertical correspondiente es 1 m. Entonces, la pendiente vale: p =

1 2,2

= 0,454

y la inclinación es dada por el ángulo agudo cuya tangente trigonométrica vale 0,454. Resulta, recurriendo a una tabla de valores naturales, α = 27°. 2.6.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

2.6.1. Si dos rectas son paralelas, sus proyecciones son paralelas, y como forman igual ángulo con el cuadro, sus pendientes son iguales, y en consecuencia también sus intervalos. Además, sus cotas crecen en el mismo sentido. Puede establecerse, entonces, que la condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas es que sus proyecciones F IG. 2.14 sean paralelas, que sus


22

pendientes sean iguales y que sus graduaciones tengan el mismo sentido. Así, por ejemplo, las rectas a y b (fig. 2.14) son paralelas, pues a1 es paralela a b1, sus pendientes (2 -1) / 3 y (6 – 5) / 3 son iguales, y sus graduaciones crecen en el mismo sentido.

2.6.2. Estamos en condiciones, ahora, de resolver el siguiente problema. Por un punto dado conducir la paralela a una F IG. 2.15 recta dada. Sea AB la recta dada y P el punto (fig. 2.15). Por P 1 se traza la paralela a la proyección A1B1 de la recta. Se marca, sobre la paralela, P 1Q1 = A1B1

y se acota Q1 con 2,4 + (9 − 4) = 7,4 La recta PQ es la paralela buscada. 2.6.3. Si dos rectas, a y b, se cortan, su punto de intersección, P , tendrá como proyección la intersección, P 1, de las dos proyecciones, a1 y b1; además, al punto P 1, considerado como perteneciente a una de las rectas y a la otra, debe corresponder la misma cota (fig. 2.16). Recíprocamente, si las dos condiciones enunciadas se cumplen, las dos rectas tienen un punto común.

1

6 5

2

4 3

2 4

1 0

5

a1 F IG. 2.16

b1

6

2.6.4. Lo establecido en el número anterior permite indagar si dos rectas cuyas proyecciones tienen un punto común se cortan. Sean A1B1 y C 1D1 las proyecciones acotadas de las dos rectas (fig.


23

2.17). Y sea P 1 su intersección. Procediendo gráficamente, se rebaten las dos rectas en ( A)(B) y (C )(D). Se determina sobre cada recta la cota del punto que se proyecta en P 1. Si P 1(P ) = P 1(P )’, las dos rectas objetivas se cortan en P y son, naturalmente, coplanares.

D1

A1 (A)

(D)

P1

(P)’

(P)

B1

C1 (C) (B)

F IG. 2.17

Procediendo en forma numérica se determina la cota del punto P como perteneciente a la recta AB, primero, y a la recta CD, después. Si los dos números obtenidos son iguales, las rectas AB y CD se cortan. 2.6.5. Cuando dos rectas objetivas, a y b, se encuentran, o sea, cuando son coplanares, las rectas que unen los puntos de igual cota, de a y de b, son horizontales del plano determinado.Sus proyecciones son, entonces, todas paralelas entre sí (fig. 2.18). Si no lo son, las rectas dadas no son coplanares y, por lo tanto, no se cortan.Tenemos así, a nuestra disposición, otro procedimiento para reconocer si dos rectas cuyas proyecciones tienen un punto común se cortan.Este procedimiento resulta útil cuando las proyecciones a1 y b1 de las dos rectas se cortan fuera de los límites del dibujo (fig. 2.19).Cuando las dos rectas objetivas se encuentran en un punto impropio, es decir, cuando son paralelas, las proyecciones de sus horizontales


24

siguen siendo, naturalmente, paralelas.

b

a

2.6.6. Recíprocamente, si las rectas que unen las proyecciones de puntos de igual cota de dos rectas son paralelas, las dos rectas se cortan si se cortan sus proyecciones, y son paralelas si sus proyecciones son paralelas.

π

F IG. 2.18 2.6.7. De cuanto precede resulta que dos rectas, ni horizontales ni verticales, son coplanares cuando las rectas que unen las proyecciones de sus puntos de igual cota son paralelas (*). 5 4 2

3 5

2 1

4

a1

4 2

3

b1

3

c1 d1

5 6

3 2

4

1

5 6

F IG. 2.19

(*) Se comprende que basta que sean paralelas dos de las rectas que unen proyecciones de puntos de igual cota. Todas las demás serán también paralelas.


0

1 3

2 4

3 5

4 6

a1

5 7

25

8

b1

F IG. 2.20

2.6.8. Si dos rectas, que no son verticales, pertenecen a un plano perpendicular al cuadro, sus proyecciones coinciden.Si las dos rectas objetivas son, además, paralelas, tienen el mismo intervalo y están graduadas en el mismo sentido (fig. 2.20). Si las dos rectas objetivas pertenecientes a un plano perpendicular al cuadro se cortan, puede obtenerse la cota del punto común rebatiendo sobre el cuadro el plano que las contiene. Procediendo así se ha obtenido (fig. 2.21) la cota, 4,3 del punto común 1, de las rectas AB y CD. (D)

u

(A) (I) (C) (B)

A1(5,8)

C1(3)

I1

B1(2,1) D1(8,6)

F IG. 2.21 2.7

APLICACIONES

2.7.1. Verificar, gráfica y analíticamente, que las rectas AB y CD, cuyas proyecciones acotadas son dadas (fig. 2.22), se cortan. Dar, además, la cota del punto de intersección. En forma gráfica, el rebatimiento de las dos rectas muestra que I 1 (I)’ = I 1 (I) = 1,5 unidades. Las rectas dadas son, pues, concurrentes y, en consecuencia, coplanares; la cota del punto co-mún es 1,5.En forma analítica se tiene, considerando la recta AB y recordando que las distancias horizontales de pares de puntos de una misma recta son pro-


26

porcionales a las correspondientes distancias verticales, A1B1

4− 0

=

A1I 1 x − 0

de donde: x =

4 A1I 1 A1B1

o sea, después de medir A1I 1, y A1B1 con la unidad establecida, x =

4 x 1,1 2,9

= 1,5

Considerando la otra recta, es decir, la CD, se tiene: C 1D1

2,5− 2,5 − 0,5

=

C 1I 1 x − 0,5

de donde: x =

2 C 1I 1

+ 0,5

C 1D1

F IG IG. 2.22

o sea, después de medir C 1I 1, y C 1D1 x =

4 4

+ 0, 0,5 5 = 1, 1,5 5

resultado igual al obtenido antes. 2.7.2. Determinar el ángulo formado por dos rectas. Se comprende que si se rebate el plano de las dos rectas sobre el cuadro, o sobre un plano paralelo al cuadro, el ángulo formado aparecerá en verdadera magnitud (*). Sean, entonces, AB y AC las dos rectas (fig. 2.23). Señalemos la proyección D1 del punto que pertenece a la recta AC y tiene su cota igual a 2. La recta B1(2)D1(2) será una horizontal del plano de las dos rectas dadas. Podemos rebatir este plano sobre el plano horizontal que pasa por BD.


27

Durante la rotación, B y D no se mueven. El punto A, en cambio, gira, manteniéndose en un plano perpendicular a la horizontal BD, y su posición final A) estará, como se sabe, sobre la perpendicular por A1 a la horizontal B1D1 ( A y a una distancia dada por la hipotenusa del triángulo rectángulo NA1M 1 cuyos catetos son la porción A1N de aquella perpendicular y la distancia A1M = 5− 5−2 del punto A1(5). al plano horizontal (cota 2) sobre el cual se s e rebate. Se obtiene obtiene así, mediante mediante los los puntos ( A), B1 y D1, el ángulo α formado por las dos rectas dadas. (*) Recordemos lo establecido en el capítulo IX del tomo primero acerca del rebatimiento de una figura perteneciente a un plano cualquiera, α, sobre P α otro plano, β. El eje de rotación es la intersección del plano α y el plano β. 90° Al rebatir un punto, P , de α sobre β P1 (ver la figura), el punto P describe un Q arco de circunferencia de radio QP (igual a la distancia de P al eje de (P) rotación), situado en un plano perβ pendicular a ese eje. La posición final (P ) está sobre la perpendicular por Q al eje, y a una distancia Q(P ) que es dada por la hipotenusa del triángulo rectángulo QP 1P , cuyos catetos son: P 1P = distancia de P al plano β, y QP 1 = distancia entre el pie P 1 de la perpendicular por P al plano β y el centro Q del arco que describe P al rebatir el plano α. 2.8

EJERCICIOS

2.8.1. Hallar, analítica y gráficamente, la traza de una recta dada. 2.8.2. Sobre una recta graduada hallar, analítica y gráficamente, la cota de un punto cuya proyección es dada. 2.8.3. Dadas las proyecciones acotadas de dos puntos cualesquiera, determinar la pendiente de la recta que los une. 2.8.4. Dada la pendiente p de una recta que pasa por el punto A1(a), así como su proyección r 1, hallar la cota b de otro punto, B, de la recta, conociendo su proyección B1.


28

F IG IG. 2.23

2.8.5. Dada la proyección de una recta, determinar su graduación sabiendo que la recta pasa por un punto dado y tiene una pendiente también dada. 2.8.6. Dar las proyecciones acotadas de dos rectas paralelas cualesquiera.

CAPITULO III

REPRESENTACIÓN DEL PLANO 3.1

ESCALA DE PENDIENTE

3.1.1. Se sabe que, geométricamente, tres puntos no colineales, dos rectas que se cortan, o dos rectas paralelas, determinan un plano. La representación de esas figuras da, pues, la representación del plano determinado. B1(−1)

B1(3)

A1(4)

F IG. 3.1

Así, por ejemplo, la figura 3.1 da la representación acotada del plano que pasa por los, puntos A, B y C . 3.1.2. Dado un plano, ABC (fig. 3.2), individualizado en la forma indicada, podemos determinar uno cualquiera, P 1 de sus puntos, del cual se conoce la proyección P 1’ . Para esto consideremos la recta CP , que pertenece, evidentemente, al plano. Ella corta la recta AB en D, que es. otro punto del plano. Rebatiendo AB puede hallarse la cota 0,33 del punto D; después, rebatiendo la recta CD puede encontrarse la cota 1,17 de P 1 que queda, así, perfectamente determinado. 3.1.3. En el mismo plano ABC podemos representar, también, cual-


−2

D1 Recta de Máxima Pendiente

4

30

B1

O T r a z a d e l P l a n o A B C

E1 90°

5 A1

C1(4)

F IG. 3.2

quiera de. sus horizontales, la de cota 4, por ejemplo. Basta unir C 1 con la proyección E 1 del punto de cota 4 que pertenece a la recta AB. La recta EC es, pues, la horizontal pedida. Todas las horizontales de un plano son paralelas, pues ellas son intersecciones de ese plano con distintos planos horizontales. La horizontal de cota cero es la traza del plano sobre el cuadro.

Capítulo III: Representación del Plano

31

Las rectas de un plano, perpendiculares a una de sus horizontales (en consecuencia a todas), constituyen las rectas de máxima pendiente del plano. El ángulo recto que forma una recta de máxima pendiente con una de las horizontales se proyecta, horizontalmente, en verdadera magnitud. La proyección de una recta de máxima pendiente arbitraria es, en consecuencia, perpendicular a la proyección de cualquiera de las horizontales del plano. Rectas de Máxima Pendiente del plano Horizontales del Plano

α 5 4 3 2

π

1 0

a z a r t

Representación Espacial Proyecciones de las Rectas de Máxima Pendiente del Plano

5 4 3 2 1 Proyecciones de las Horizontales del plano


0

F IG. 3.3


32

Tal es lo que ocurre, por ejemplo, con la proyección r 1 de la recta de máxima pendiente que pasa por el punto P del plano considerado en la figura 3.2. 3.1.4. En general, en todo plano pueden considerarse dos haces de rectas paralelas notables. El primero es el que está formado por todas las horizonα tales del plano; el segundo es el formado por todas sus rectas de máxima pendiente. Las rectas de uno de los t π 90° haces son perpendiculares a las rectas del otro (fig. 3.3). Además, atento a lo establecido en el número anterior, las proyecciones de las horizontales de un plano son F IG. 3.4 perpendiculares a las proyecciones de sus rectas de máxima pendiente. 3.1.5. En general, un plano queda perfectamente determinado mediante una de sus rectas de máxima pendiente . En efecto (fig. 3.4), la perpendicular t, en el plano π, a la recta de máxima pendiente, r 1 por la traza T de r 1 r es la traza del plano α, que queda, así, determinado por sus rectas r y t . π Como excepción, si la recta de máxima pendiente es perpendicular al cuadro (fig. 3.5), hay un número infinito de planos que tienen como recta de máxima penF IG. 3.5 diente la dada.


33

3.1.6. En el método de las proyecciones acotadas un plano, que no es ni vertical ni horizontal, se representa, casi siempre mediante la proyección acotada de una de sus rectas de máxirna pendiente . Esta recta puede llevar las cotas de dos de sus puntos o, más, comúnmente, ser graduada.

5

α

4 3 2

π

1 0

5 4 3 2

u

1 0

F IG. 3.6

Para significar, en el dibujo, que con la proyección acotada de la recta de máxima pendiente quiere representarse no la simple recta, sino el plano del cuál ésta es recta de máxima pendiente, se la dibuja con doble trazo rectilíneo, tal como indica, por ejemplo, la figura 3.6. Esta doble línea, graduada, constituye la escala de pendiente del plano. Se comprende que siendo infinito el número de rectas de máxima pendiente de un plano (todas mutuamente paralelas), infinito es, también, el número de sus escalas de pendiente. El intervalo y la pendiente de una recta de máxima pendiente constituyen el intervalo y la pendiente del plano representado . 3.1.7. En los mapas geológicos la representación del plano de un estrato se hace, en general, como indica la figura 3.7.


34

N D i r e c c i ó n

° 8 2 = n ó i c a n i l c n I

.

28°

S

F IG. 3.7

Una horizontal del plano (intersección del estrato con un plano horizontal), da la dirección del estrato. La recta de máxima pendiente, en vez de estar acotada, lleva indicado el ángulo de inclinación del plano del estrato. 3.1.8. Un plano horizontal queda perfectamente individualizado mediante la cota de uno cualquiera de sus puntos. Un plano vertical queda individualizado, en cambio, mediante su traza. En adelante, salvo indicación especial, nos referiremos a planos que no son ni horizontales ni verticales.

3.2

APLICACIONES

3.2.1. Dado un plano mediante una recta de máxima pendiente, hallar la cota de uno de sus puntos, del cual se conoce la proyección P 1 (fig. 3.8). La perpendicular por P 1 a la recta de máxima pendiente da la horizontal del plano, que pasa por P . Entonces, la cota de esta horizontal, o sea, de su pie Q, es la cota de P . Para obtenerla puede hacerse el rebatimiento de la recta de máxima pendiente. Resulta, aproximadamente, el valor 1,7. 3.2.2. Dado un plano mediante una recta y un punto situado fuera de ella, dibujar su escala de pendiente. Sean AB la recta y P el punto (fig. 3.9). Graduada la recta AB se traza la horizontal PQ, de cota 2. La perpendicular a esta horizontal por P 1(2) da la imagen de la recta de máxima pendiente del plano.


1,7 u 5

(Q) 4

Q1

3 2

1 0

u P1

F IG. 3.8

5 4

A1(0,5)

1

1

P1(2)

Q1(2)

3

3

4

5

F IG. 3.9

6

B1(6)

35


36

Las paralelas a P 1Q1 por los puntos de cota entera de la recta, permiten completar la escala de pendiente del plano. 3.2.3. Conducir en un plano, por uno de sus puntos, una recta de pendiente dada. A1

8

C1 7 6 5 4

B1 1

3 2

( α)

F IG. 3.10

Sean α el plano, A1 la proyección de uno de sus puntos y ¾ la pendiente de la recta que pasa por A y está contenida en el plano (fig. 3.10). Determinemos, en primer lugar la cota 7¼ del punto. Considerada ahora una de las horizontales del plano, la de cota 4, por ejemplo, tratemos de hallar el punto, B, en él cual esta horizontal es cortada por la recta pedida. La diferencia de alturas entre los puntos objetivos A y B es: (7,25 − 4) m = 3,25 m Como la pendiente de AB debe ser ¾, puede escribirse 3,25 m

3 =

A1B1

4


de donde

37

A1B1 = 4,33 m

Es ésta la longitud, en el terreno, de A1B1. En el dibujo se tiene, en cambio, teniendo en cuenta que el segmento unitario que representa 1 m mide 1 cm, A1B1 = 4,33 x 1 cm = 4,33 cm Entonces, con centro en A1 y radio igual a 4,33 cm, se describe un arco que corte la horizontal de cota 4. Los puntos determinados son dos, B1 y C 1; dos son, pues, las rectas que satisfacen el problema propuesto. La pendiente de las rectas es, en este caso, menor que la del plano.Habrá una sola si el arco de circunferencia resulta tangente a la horizontal 4; la recta y el plano tendrían, entonces, la misma pendiente.No habrá ninguna solución si el arco no corta la horizontal; la pendiente de la recta sería, en tal caso, mayor que la del plano.

0

3.2.4. Conducir por una recta dada, a, un plano de pendiente dada, p. Consideremos (fig. 3.11) los 3 puntos A1(O) y B1(1) de la recta. Las proyecciones de las horizonta2 a 1 les de cotas 0 y 1 del plano pasa2 rán, respectivamente, por las proyecciones A1 y B1 de los puntos de la recta. Por otra parte, el intervalo 1 (o módulo) de la recta de máxima 2 3 pendiente del plano vale: B1

1 i= p Se comprende, entonces, 0 que si con centro en B1 se consA1 truye la circunferencia de radio i , F IG. 3.11 la tangente por A1 da la posición de la horizontal de cota 0 (traza) del plano. Este queda, así, perfectamente determinado.El problema admite dos soluciones, una o ninguna, según que puedan trazarse, desde A1, dos, una o ninguna tangente a la circunferencia, esto es, según que la pendiente del plano sea superior, igual o inferior que la de la recta.


3.3

38

PARALELISMO E INTERSECCIONES

3.3.1. Si dos planos, α y β, son paralelos h' (fig. 3.12), sus rectas de máxima pendiente, r y r’ , r' son paralelas. En efecto, h esas rectas pueden ser obtenidas cortando aquéβ π r llos mediante un tercer γ plano, Y, perpendicular a α las horizontales h y h’ de α y β. Y recíprocamente. En consecuencia, para que dos planos sean paF IG. 3.12 ralelos es necesario y suficiente que sus escalas de pendiente sean paralelas, sus intervalos sean iguales y las graduaciones tengan el mismo sentido. 1

La figura 3.13 da la representación acotada de dos planos paralelos. 3.3.2. Dados dos planos, α y β, mediante sus escalas de pendiente (figura 3.14), nos proponemos encontrar su recta de intersección. Si las dos escalas no son paralelas, las horizontales de uno de los planos no son paralelas a las horizontales del otro. Si consideramos, entonces, dos horizontales de igual cota, 1, por ejemplo, una de cada plano,

2 3

2

4 5

3

r'

4 5

6

r

F IG. 3.13


39

ellas se encontrarán en un punto P 1(1), que pertenece, evidentemente, a la recta de intersección. Consideradas, del mismo modo, otras dos horizontales de igual cota 5, por ejemplo, su punto común Q1(5) es otro punto de la intersección de los dos planos. La recta P 1(1)Q1(5) es, pues, la recta pedida. 6 Q1(5) 5 4 4 5

3 3 4 2 2

3 P1(1)

2 1

1

0

α

0

β

F IG. 3.14

Si se quiere, puede graduarse la proyección P 1Q1 conduciendo las otras horizontales de igual cota. El procedimiento es análogo al establecido en el método Monge. En efecto, las horizontales de cotas 1 y 5 no son sino las intersecciones de α y β con los planos auxiliares, paralelos al cuadro de cotas 1 y 5. 3.3.3. Si las escalas de pendiente de los planos α y β son paralelas (fig. 3.15), las horizontales de los dos planos son paralelas y la recta de intersección (supuestos α y β no paralelos) es horizontal. Basta encontrar, entonces, uno solo de sus puntos. Se puede cortar mediante un plano auxiliar, γ, dado por una escala de pendiente arbitraria. Las proyecciones A1B1 y C 1D1 de las rectas, según las cuales γ corta


40

α y β, se encuentran procediendo como en el número anterior. El punto M 1, común a las proyecciones A1B1 y C 1D1, es la proyección de un punto de la horizontal según la cual se cortan α y β. Conducida, entonces, por M 1 la perpendicular a las escalas de pendiente de esos planos, se tiene la intersección pedida. Su cota puede ser obtenida considerando el punto M como perteneciente a la recta AB o a la CD. 0 I n t e r s e c c i ó 2 n d e

3

1

4 4 3

α

3

y

4 B1 5

2

2

M1

(α) 1

D1

β

A1 1

C1

(γ) (β) F IG. 3.15

3.3.4. Si se observa la figura 3.15, se nota que la parte útil del plano auxiliar es la constituida por los segmentos A1C 1 y B1D1 de sus horizontales. De aquí una construcción simplificada del problema anterior. Se trazan, refiriéndonos, por ejemplo, a los planos α y β dados en la figura 3.16, dos paralelas cualesquiera, a las cuales consideraremos como las horizontales 1 y 2, por ejemplo, del plano auxiliar. Se limita la primera en los puntos A1 y C 1 sobre las horizontales de cota 1, y la segunda en los puntos B1 y D1 sobre las horizontales de cota 2. La recta AB es la intersección del plano auxiliar y el plano α; la recta CD es la intersección del plano auxiliar y el plano β. Se sigue, después, como en el número anterior.


41

3.3.5. Los puntos P y Q de los planos α y β, considerados en el número anterior, tienen la misma cota, c , porque son puntos de la recta de intersección, que es horizontal. Resulta, entonces, refiriéndonos a las rectas de máxima pendiente de los dos planos, y recordando que las distancias verticales entre puntos de una misma recta son proporcionales a las distancias horizontales correspondientes, 2−c

F 1P 1

= c−1

P 1E 1

2−c

H 1Q1

y = c−1

Q1G1

F 1P 1

H 1Q1

de donde: =

c−1

[3.1]

Q1G1

Los puntos P 1 y Q1 dividen, pues, los segmentos E 1F 1 y G1H 1 en partes proporcionales.

3 2 Q1 G1

1

0

A1

M1

1

D1

E1

C1 0

B1

P1 2 F1

(β) (α) 3 F IG. 3.16


42

La relación [3.1] nos proporciona otra construcción, muy sencilla, para encontrar la intersección de des planos cuyas escalas de pendiente son paralelas. 0

E1

1 P1 2

4

F1 3

3

M1

H1 2 Q1

(α) 1

G1 0

(β) F IG. 3.17

Unidos los puntos de igual cota se obtienen rectas, tales como E 1G1 y F 1H 1 (fig. 3.17), cuyo punto común, M 1, es un punto de la intersección. En efecto, la perpendicular por M 1 a las escalas de pendiente divide en partes proporcionales los segmentos E 1F 1 y G1H 1 (para demostrarlo bastaría considerar los triángulos semejantes formados). 3.3.6. El punto de intersección de una recta, r , y un plano, α, se encuentra, como en el método Monge, haciendo pasar por r un plano auxiliar cualquiera, β. Este corta el plano dado según una recta, AB, que encuentra la r en el punto buscado, P . La figura 3.18 da la representación espacial y acotada del problema. Como plano auxiliar se ha elegido el que tiene la recta r como recta de máxima pendiente. Trazadas dos de sus horizontales fue fácil la obtención de la recta de intersección, AB, de los dos planos, primero, y del punto buscado, P , después.


(α)

r

β

43

r1

4 3 3

B1 2

2

B

A1

P

A

1

1 0

α 0

P1

F IG. 3.18 3.4

APLICACIONES

3.4.1. Por un punto dado conducir el plano paralelo a un plano dado . 3 A1

4 5

1,2 P1

6 7 B1 5,2 Q1

F IG. 3.19

Sea P 1(1,2) el punto y A1(3)B1(7) la escala de pendiente del plano (fig. 3.19). Por P 1 se traza la paralela a la recta A1B1, y se toma P 1Q1 = A1B1. La distancia vertical entre A y B es 7 − 3 = 4. Cuatro será, también, la distan-


44

cia vertical entre P y Q. Se acota, entonces, con 1,2 + 4 = 5,2 la proyección Q1 del punto Q. La recta P 1Q1, así acotada, es la recta de máxima pendiente del plano buscado. 3.4.2. Hacer pasar por una recta dada un plano paralelo a otra recta dada. B1 5 4 3 1 1

A1

C1(2)

2 2

3

4

5 6 D1(5)

E1(4)

F IG. 3.20

Sean AB y CD las dos rectas (fig. 3.20). Por un punto, A, por ejemplo, de AB, se conduce la paralela AE a la CD. El plano determinado por las rectas AB y AE es el buscado. 3.4.3. Hacer pasar por un punto una recta que corte dos rectas dadas alabeadas que no contienen aquel punto . Trátese del punto P 1(2) y sean a1 y b1 las proyecciones acotadas de las dos rectas (fig. 3.21). La recta r , que constituye la solución del problema, debe pertenecer, simultáneamente, al plano definido por P y a y al definido por P y b. Será,


45

5 4

5

3 2 4 4

Q1(3)

1 P1(2)

3

1

0

a1 2

b1 1

F IG. 3.21

entonces, la intersección de ambos planos. La construcción es simple. Uniendo P 1 con los puntos de cota 2 de ambas rectas se tienen dos horizontales, una de cada plano auxiliar. Trazadas otras dos horizontales, las de cota 3, por ejemplo, se halla enseguida la recta buscada r . Una interesante aplicación del problema resuelto es ésta: encontrar una recta que corte tres rectas alabeadas dadas, a, b y c . Por un punto cualquiera, A, de a, por ejemplo, se conduce una recta que corte b y c , tal como se hizo antes. Considerando otros puntos de a se obtienen otras tantas rectas que satisfacen al problema. Hay, pues, un número infinito de soluciones. Ellas definen un sistema de generatrices de la superficie de un hiperboloide. 3.5

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO

3.5.1. Consideremos una perpendicular, a, al plano ∆ (fig. 3.22). La recta a es perpendicular, entonces, a todas las rectas del plano ∆ que pasan por el pie P . En particular, es perpendicular a la horizontal h. El ángulo recto θ determinado por a y h se proyecta en verdadera


46

magnitud por tener uno de sus lados, el h, paralelo al cuadro. La proyección a1 de a será, así, perpendicular a la proyección, h1, de h y también, entonces, a la proyección de cualquiera de las horizontales (entre ellas la traza) del plano.

∆ P

h θ

t h1

a

P1 90°

a1

r1 π F IG. 3.22

Por otra parte, la escala de pendiente de un plano también es perpendicular a la proyección de cualquiera de las horizontales de aquél. Resulta, en consecuencia, que la proyección, a1 de a, es paralela a la escala, r 1, del plano ∆. 3.5.2. Volvamos a considerar una recta, a, perpendicular al plano ∆ (fig. 3.23). Hemos visto que su proyección a1 es paralela a la escala de pendiente del plano. Podemos tomar como escala de pendiente la que es proyección de la recta de máxima pendiente, r , que pasa por el pie P de la perpendicular. Las proyecciones a1 y r 1, por tener, entonces, el punto común P 1, formarán una sola recta perpendicular a la traza t de ∆. Por otra parte, la pendiente p de a es igual a tg α y la pendiente p’ de r es igual a tg β. Y como α + β = 90°, porque al ser a perpendicular al plano α lo es a r (el ∆ QPR es, así, rectángulo), puede ponerse:


47

a ∆ P

90°

r

a1 t

Q

β

r1 P1

π

α R

F IG. 3.23 p = tg α

y

p’ = ctg α = 1 / tg α

es decir, p’ = 1 / p

[3.2]

i’ = 1 / i

[3.3]

y también, en consecuencia,

siendo i e i’ los intervalos de a1 y r 1, respectivamente.Es fácil notar, además, que las graduaciones de a1 y r 1 crecen en sentidos contrarios. 3.5.3. La relación [3.3] puede ponerse, si se quiere, en la forma i i’ = 1

[3.4]

y tanto [3.3] como [3.4] muestran que la unidad es media proporcional entre i e i’ . 3.5.4. De lo establecido en 3.5.1 y 3.5.2 resulta, entonces, que la condición necesaria y suficiente para que una recta y un plano sean mutuamente perpendiculares es que al mismo tiempo:


48

1° La proyección de la recta y la escala dependiente del plano sean paralelas. 2° Sus intervalos sean dados por números recíprocos. 3° La proyección de la recta y la escala de pendiente del plano sean graduadas en sentidos contrarios.

3.5.5. Como problema, supongamos (fig. 3.24) el plano a dado por su escala de pendiente. Se quiere conducir desde el punto P P 1 (3,5) la perpendicular al plano. h

5 C1 D1 B1

A1

(α)

4 3

2

−1

1 P1(3,5)

0

10

9

8

7

6

5

4

3

2

−2

0

1

1

F IG. 3.24

La perpendicular por P al plano α tendrá como proyección la paralela por P 1 a la escala de pendiente del plano. Para graduarla consideremos un intervalo cualquiera, A1B1, de la escala de pendiente de α. Marcado B1C 1 = 1, perpendicular a la escala mencionada, y construido el triángulo rectángulo A1C 1D1, se tiene, recordando la propiedad de la altura B1C 1, A1B1 . B1D1 = 1

o sea, indicando con i el intervalo de la escala de pendiente del plano, i . B1D1 = 1

De acuerdo con [3.4], el segmento B1D1 es, así, en la escala adoptada, el intervalo de la proyección de la perpendicular pedida. Es fácil, enton-


49

ces, graduar esta proyección en sentido contrario al de la escala de pendiente del plano. Si se quiere calcular numéricamente el intervalo de la proyección de la perpendicular por P , se puede determinar primero el intervalo de la escala de pendiente del plano. Como en el dibujo A1B1 = 12,5 mm y la escala gráfica adoptada equivale a la numérica 1 : 125, el valor real del intervalo de la escala de pendiente es dado, en metros, por: 12,5 x 125 1.000

= 1,56625

El intervalo de la perpendicular pedida es, entonces, en metros, 1 1,5625

= 0,64

que, expresado en la escala establecida, da, en milímetros, 0,64 x 1.000 125

= 5,12

3.5.6. Procediendo en forma análoga se puede hacer pasar por un punto dado, P, el plano perpendicular a una recta dada, a. Todo se reduce a determinar la escala de pendiente del plano buscado. En particular, puede determinarse la escala de pendiente que pasa por la proyección P , del punto. Si se vuelve a la figura del número anterior y se considera la escala de pendiente del plano α como la proyección graduada de la recta dada a, la paralela por P 1, con su graduación, constituirá la escala de pendiente del plano perpendicular a la recta a. 3.6

REBATIMIENTO DE UN PLANO

3.6.1. Cuanto se ha establecido en el método de Monge acerca del rebatimiento de un plano es válido para el método de las proyecciones acotadas.Para hallar el rebatimiento de un punto, P , perteneciente a un plano genérico, α, dado por su escala de pendiente, se puede considerar corno


50

eje de rotación una cualquiera, h, de sus horizontales, rebatiendo, entonces, sobre el plano horizontal que corresponde al eje de rotación elegido. La posición final ( P ) del punto estará sobre la perpendicular por la proyección P 1 al eje h y a una distancia dada por la hipotenusa del conocido triángulo rectángulo que tiene como catetos la distancia de P 1 al eje de rotación y la cota de P (con respecto al plano sobre el cual se rebate).

(α)

1 2

1 3

(P)

4 5 Q

6 P1(4,5) (P)

h

R

F IG. 3.25

En la figura 3.25 el punto P 1 (4,5) del plano a ha sido rebatido sobre el plano horizontal de cota 3. El cateto QP 1 del triángulo rectángulo QP 1R es la distancia de P1 al eje de rotación; el otro cateto, P 1R , es, en escala, la cota (4,5 − 3) del punto P con respecto al plano horizontal de cota 3. La posición final del punto es ( P ), en un sentido u otro con respecto a Q. 3.6.2. Corno caso particular, si un punto pertenece a un plano perpendicular al cuadro, su rebatimiento sobre éste se encuentra, directamente, sobre la perpendicular a la traza del plano y a una distancia igual a la cota del punto. Es lo que hemos hecho, por ejemplo, en la figura 2.20. 3.6.3. Obtenido mediante el conocimiento de su proyección acotada el rebatimiento ( P ) de un punto del plano genérico α, se puede, por afinidad, encontrar el rebatimiento de cualquier figura del plano α.


A1

1

D

51

1

2 C1 3 B1

Eje de Afinidad

4

O (B)

5 (C)

6

7 (A)

F IG. 3.26 Recordemos que la proyección ortogonal de una figura plana y su rebatimiento sobre el correspondiente plano de proyección son figuras afines. El eje de afinidad es la traza del plano que contiene la figura; la dirección de afinidad es dada por la perpendicular a esa traza. En la figura 3.26 hemos determinado el rebatimiento, sobre el plano horizontal de cota 4, del triángulo ABC perteneciente al plano α.Rebatido el punto A, mediante la construcción del triángulo rectángulo OA1D, se obtuvieron por afinidad los vértices ( B) y (C ). La figura ( A)(B)(C ) da la verdadera magnitud del triángulo considerado. 3.7

APLICACIONES

3.7.1. Determinar la distancia de un punto a un plano . Sabemos que si desde un punto, P , se conduce la perpendicular a un plano, α, y Q es el pie de esa perpendicular, QP es la distancia del punto al plano. Trátese, entonces, de un plano, α, dado por su escala de pendiente, y sea P 1(1) el punto (fig. 3.27).Se determina la perpendicular por P al plano


52

α. Su proyección es la paralela a1 por P 1 a la escala de pendiente del plano. El intervalo correspondiente es dado, en forma gráfica, por el ya conocido triángulo rectángulo. La graduación es orientada en sentido contrario al de la escala dada. 1

6 5 4 3

1

2

P1

1 0

Q1

(a) P

α

a1

Q

8

7

6

5

4

3

0 1 (P) 2

(a)

(Q)

F IG. 3.27

Determinada así la perpendicular por P , debe hallarse su intersección Q con el plano α. Para esto, se considera el plano auxiliar que tiene como recta de máxima pendiente la perpendicular a antes individualizada. Se encuentra su intersección, b, con α. El punto Q1 común a las proyecciones a1 y b1 es la proyección del pie de la perpendicular por P al plano α, y el segmento P 1Q1 es la proyección de la distancia pedida. Rebatiendo, entonces, el plano vertical que contiene la recta a sobre un plano horizontal conveniente para el dibujo, el de cota cero, por ejemplo, se encuentra en ( P )(Q) la verdadera magnitud (en la escala adoptada) de la distancia del punto P al plano α.


53

3.7.2. Conducir por un punto dado la perpendicular a una recta dada . Por el punto se puede hacer pasar el plano perpendicular a la recta; determinada la intersección de la recta y del plano, la recta que une esa intersección y el punto dado es la perpendicular pedida. Trátese, por ejemplo, de la recta cuya proyección es a1 y sea P 1(6) el punto (fig. 3.28).

(Q)

0

90° 2 1

3

7

6 5 Q1

4

8

3 4

a1

5

P1(6)

7

(R)

(a)

S

a R1 T

Q P

1

α F IG. 3.28

Se determina la escala de pendiente del plano, α, que pasa por P y es perpendicular a la recta a. Se sabe:


54

1° Que su proyección es paralela a la a1. 2° Que su intervalo es el recíproco del intervalo de a1. 3° Que su graduación crece en sentido contrario a la de a1.

Se determina luego la intersección Q de a y α recurriendo al plano auxiliar que tiene a como recta de máxima pendiente. La recta P 1Q1 es la proyección de la perpendicular por P 1, a la recta a. El problema puede ser completado hallando la distancia del punto P a la recta a. Habrá que encontrar, entonces, la verdadera magnitud del segmento QP , rebatiendo el plano α (al cual pertenece QP ) sobre un plano horizontal, el que contiene P , por ejemplo. Como la cota del punto Q no aparece, numéricamente, en la figura, se puede rebatir otro punto cualquiera de cota entera de la recta QP ; por ejemplo, el R , de cota 7, intersección de QP y la horizontal de cota 7 del plano α. Construyendo el conocido triángulo rectángulo se obtiene en ( R ) el rebatimiento de R . Como el punto P no se mueve, por estar en la horizontal a cuyo alrededor se gira, la recta ( R )P 1 da el rebatimiento de la RP . Y como Q es uno de sus puntos, es fácil determinar, sobre la perpendicular por Q1 a la horizontal 6, su rebatimiento ( Q). El segmento P 1(Q) es, así, la distancia del punto P a la recta dada a. 3.8

EJERCICIOS

3.8.1. Graduar una recta conociendo su proyección y la escala de pendiente de uno de los planos que la contienen. 3.8.2. Dada la proyección de un hexágono, así como las cotas de tres de sus puntos (no colineales), hallar las cotas de los vértices, graduar los lados y dar la escala de pendiente del plano que lo contiene. 3.8.3. Hacer pasar por una recta dada un plano de pendiente dada. 3.8.4. Por un punto dado hacer pasar un plano paralelo a dos rectas dadas. 3.8.5. Encontrar la intersección de un plano dado por su traza, y un plano arbitrario dado por tres de sus puntos no colineales. 3.8.6. Encontrar el punto común a tres planos.


55

3.8 7. Encontrar la intersección de un plano vertical y una recta arbitraria. 3.8.8. Construir la representación de un triángulo equilátero contenido en un plano dado, conociendo la proyección de uno de sus vértices. Sugestión: Determinar la cota del vértice dado; rebatir sobre un plano horizontal el plano que contiene el triángulo; construir sobre el plano abatido el triángulo; por afinidad encontrar, después, las proyecciones de los otros dos vértices. 3.8.9. Determinar el ángulo de dos rectas concurrentes dadas. 3.8.10. Determinar el ángulo formado por dos planos dados. Sugestión: Conducir un plano perpendicular a la arista del diedro formado por los dos planos dados; determinar, después, por rebatimiento la verdadera magnitud del ángulo formado por las intersecciones de ese plano auxiliar con cada uno de los dados. 3.8.11. Determinar el ángulo de una recta dada y un plano también dado.

CAPITULO IV

REPRESENTACIÓN DE SUPERFICIES 4.1

SUPERFICIES POLIEDRICAS Y CURVAS

4.1.1. Las superficies poliédricas quedan determinadas, evidentemente, si se conocen las proyecciones acotadas de todos sus vértices. Las superficies poliédricas más usadas son la de la pirámide y la del prisma. La primera es dada, en general, mediante su base, situada en el cuadro, y la proyección acotada de su vértice. La segunda es dada, casi siempre, mediante una de sus bases, situada en el cuadro, y la proyección acotada de una de sus aristas laterales.

0

M M’’

G1(7)

M’

M’’’

H1(7)

1

F1(7)

C1’ 2

C1(0)

D1’

3 D1(0)

4

B1(0)

B1’

E1(7)

A1’

5 A1(0)

6 7

(α)

N’ N’’

N

8

F IG. 4.1


57

4.1.2. En la figura 4.1 se tiene la representación de una superficie prismática. Como ejercicio determinemos la sección producida por un plano dado, α. Para obtenerla basta hallar la intersección de α con cada una de las caras de la superficie. Consideremos, por ejemplo, la cara lateral cuya traza es A1D1. Trazadas, en el plano α y en la cara, horizontales de igual cota, 0 y 7, por ejemplo, la recta MN , determinada por los puntos comunes a las horizontales trazadas, da la recta según la cual se cortan el plano α y la cara cuya traza es A1D1. Se marca la parte útil A’ 1D’ 1. En la misma forma se determinan los segmentos D’ 1C’ 1 C’ 1B’ 1 y B’ 1 A’ 1 correspondientes a las otras caras. El cuadrilátero A’ 1B’ 1C’ 1D’ 1 da la sección pedida. 4.1.3. En la figura 4.2 se tiene la representación de una superficie cónica de base c y vértice V . V

P

V1(9)

t' c

t

Q P1(4) t'1

R’1(0)

Q1(0) R1(0)

C1(0)

t1

F IG. 4.2

Como ejercicio determinemos el plano tangente a la superficie por un punto exterior dado. El plano buscado debe contener, como se sabe, el punto exterior P , el vértice V de la superficie y la tangente por la traza Q de la recta VP a la traza c 1 de la superficie. Sean V 1(9) el vértice y P 1(4) el punto exterior. Sobre la recta V 1P 1 se marca Q1(0). Se traza una de las tangentes, t 1, a la base c 1.

Capítulo IV: Representación de Superficies

58

El plano determinado por los puntos V 1(9) y P 1(4) y la horizontal t 1 es el plano buscado. Puede trazarse, si se quiere, su escala de pendiente conduciendo por V 1 la perpendicular a t 1. Se comprende que si se conduce por Q1 la otra tangente, t’ 1 a la traza c 1, se obtiene el otro plano tangente a la superficie por el punto exterior P . 4.2

SUPERFICIE TOPOGRAFICA

4.2.1. Las proyecciones acotadas encuentran su aplicación más importante en la representación de la superficie irregular del terreno. Una representación simple de la superficie del terreno es dada por el plano acotado constituido por las proyecciones acotadas de puntos, convenientemente elegidos, de la superficie. Tal es, por ejemplo, la figura 4.3. C(6,3) A(4,2)

D(5,9)

F(6,4) B(5,1) E(5,6)

Escala 1 : 5.000 G(6,6)

H(4,8)

F IG. 4.3

Esta representación no constituye, en verdad, más que un registro de cotas y no suministra al ojo, de un modo bien visible, la forma de la superficie. Se prefiere, por lo antedicho, recurrir a un plano a curvas horizontales, que se concibe imaginando la superficie del terreno cortada por planos horizontales equidistantes y las líneas de intersección proyectadas ortogonalmente sobre uno de aquellos planos, generalmente el de cota cero, y acotadas con respecto a él (fig. 4.4). Las líneas de intersección son las curvas de nivel , o las curvas horizontales, de la superficie. La distancia entre dos planos secantes consecutivos es la equidistancia de las curvas de nivel.


59

1° plano secante 2° plano secante

3° plano secante cuadro

F IG. 4.4

4.2.2. Veamos cómo se construyen las curvas de nivel. Supongamos poseer un plano acotado, obtenido mediante trabajos topográficos, y sean, por ejemplo, A1(29,62) y B1(34,15) dos de sus puntos. Considerado rectilíneo el recorrido sobre el terreno, entre A y B, se 34 B1(34,15) determinan los puntos de cota entera 33 pertenecientes al segmento AB (fig. 32 4.5). Repetida la operación para otros 31 pares consecutivos de puntos del pla30 1 no acotado, se obtienen las curvas de A1(29,62) nivel uniendo mediante trazos continuos todos los puntos que tienen la F IG. 4.5 misma cota (fig. 4.6). 4.2.3. En una representación a curvas de nivel es fácil reconocer la forma característica del terreno. Se recorre una cresta cuando moviéndose desde las curvas de nivel de cota más alta hacia aquellas de cota más baja,


60

34 34

34

33

33

33

32

34 32

32

31

33 31

32

30

33

32 31

30 34

33 30

30

31

34

31

B1(34,15)

32

30

31

30

A1(29,62)

1

F IG. 4.6

éstas aparecen presentando su concavidad. Es lo que ocurre, por ejemplo, al ir desde A hacia B (fig, 4.7). 50 60

B A(115) 110 100 90 80 70 60

C(36) 50

40

F IG. 4.7

70

80

90

100


61

Se recorre, en cambio, un valle, cuándo procediendo como en el caso anterior las curvas van mostrando su convexidad. Tal es lo que ocurre, por ejemplo, al ir desde B hacia C . La línea AB de menor pendiente de una cresta se llama línea divisoria. En ella se dividen las aguas pluviales hacia una y otra ladera. La línea BC de menor pendiente de un valle se llama vaguada y hacia ella van las aguas provenientes de los terrenos inmediatos. 4.2.4. La representación mediante un número finito, grande como se quiera, de curvas de nivel, determina en forma solamente aproximada la superficie irregular del terreno. Pero es evidente que disminuyendo, tanto como sea necesario, la distancia entre los planos secantes consecutivos, o sea, dando, para una zona determinada, un número suficiente de curvas de nivel, la aproximación que puede obtenerse satisfará las exigencias de todas aquellas cuestiones de interés práctico, De cualquier modo, la superficie irregular del terreno no admite una definición rigurosa porque sus distintos puntos no satisfacen ninguna ley geométrico. Pero, con adecuadas convenciones, puede reemplazarse la superficie dada por otra que difiera tan poco como se quiera de aquélla y sea capaz de ser definida analíticamente. Consideremos, con tal 4 propósito, las dos curvas de nivel determinadas por dos planos 3 B1 horizontales consecutivos (fig. 4.8) e imaginemos la superficie 90° engendrada por el segmento de recta, AB, de longitud variable, A1 que apoyándose en las dos curvas se mueve manteniéndose t constantemente normal a una de ellas, a la inferior, por ejemplo. La F IG. 4.8 superficie geométrica, así engendrada, es una zona de la superficie reglada cuya generatriz es la entera recta AB, que puede, prácticamente, substituir a la superficie verdadera del terreno comprendida entre aquellas dos curvas de nivel. Y toda la superficie del terreno puede ser sustituida por una serie de zonas análogas, capaces


62

de ser definidas rigurosamente y que pueden permitir, en consecuencia, la exacta resolución de todos los problemas relativos a las superficies. La superficie convencional que, con la aproximación deseada, reemplaza a la irregular del terreno recibe el nombre de superficie topográfica. 4.2.5. Resulta, entonces, que una superficie topográfica puede ser considerada como engendrada por una poligonal variable que se mueve de modo que cada vértice se desliza, en la forma establecida, a lo largo de una de las curvas de nivel. 4.2.6. Dada la proyección, P 1, sobre el cuadro, de un punto de la superficie del terreno, es fácil encontrar su cota.

A1

5

P1 B1

6

F IG. 4.9

Supongamos P 1 comprendido entre las curvas de nivel de cotas 5 y 6 (figura 4.9). Tratemos de conducir por P 1 la normal a una de las curvas de nivel, a la de cota 5, por ejemplo. Para esto, con centro en P 1 y radio arbitrario, pero conveniente, se describe un arco. que corte en dos puntos la curva de cota 5. Por tanteos, es fácil encontrar el radio necesario para que el arco toque en un solo punto, A1, la línea de nivel. La recta A1P 1 es la normal buscada. Entonces, si B1 es el punto común a esta normal y a la curva de cota 6, el segmento A1B1, no es sino una de las posiciones del segmento generador de la superficie reglada que reemplaza, con aproximación suficiente, a la superficie real del terreno comprendida entre las dos curvas de nivel dadas. Basta determinar, entonces, mediante procedimientos ya conocidos, la cota del punto P 1 del segmento A1B1.


4.3

63

INTERSECCION DE UNA SUPERFICIE TOPOGRAFICA CON UN PLANO O CON UNA RECTA O CON UNA SUPERFICIE CILIN- DRICA VERTICAL

4.3.1. Queremos determinar la intersección de una superficie topográfica con un plano dado por su escala de pendiente. Los puntos comunes a cada curva de nivel de la superficie y a cada horizontal, de igual cota, del plano, son, evidentemente, puntos de la intersección. Trátese, entonces, de la superficie representada por las curvas de cotas 19, 20, 21, 22, 23 y 24, y del plano α dado por su escala de pendiente (fig. 4.10).

F1 E1 D1 C1

G1

24 23 H1

22

24 21 20

I1 J1 L1

A1

19

22 21

K1

B1

23

20 19 18

F IG. 4.10

Trazadas las horizontales del plano, de cotas iguales a las de las curvas de nivel, los puntos, A1, B1, C 1, ..., L1, son las proyecciones de los puntos de intersección. Las respectivas cotas son, como es natural, las cotas de las curvas de nivel o, lo que es lo mismo, de las horizontales del plano, a las cuales pertenecen. Unidos A1, B1, ..., L1, mediante un trazo continuo, se tiene, aproximadamente, la intersección buscada. 4.3.2. Cuando el plano secante es horizontal, la intersección que se obtiene constituye una curva de nivel de la superficie. Si la cota del plano es la de una de las curvas de nivel dadas, ésta es la intersección. Si, en cam-


64

bio, se halla comprendida entre las cotas de dos de las curvas dadas, se determinan, primero, una serie de puntos de cota igual a la del plano secante, empleando el procedimiento indicado en 4.2.2; se unen, después, mediante un trazo continuo. 4.3.3. Particular interés tiene la intersección determinada por un plano vertical. Trátese del plano vertical dado por su traza t y sean 20, 25, 30, 35 y 40 las cotas de las curvas de nivel de la superficie (fig. 4.11).

A1

B1 C1 40

35

D1 E1 F1 30

G1 H1 I1 J1 K1

L1 45 40

25

M1

N1

35

20 15

20

25

30

1 : 5.000

F IG. 4.11

Los puntos A1, B1, C 1, ..., comunes a la traza t y a las distintas curvas de nivel, son, sin duda, las proyecciones de puntos de la intersección buscada. Para obtener la forma de esta línea se rebate el plano secante sobre el plano de comparación u otro horizontal conveniente. En la figura se ha rebatido sobre el plano horizontal de cota 25. La línea obtenida constituye un perfil de la superficie topográfica dada. A veces resulta útil destacar bien las diferencias de cotas entre los distintos puntos de intersección. Se representan, entonces, las alturas con una unidad mayor que la empleada para las distancias horizontales. El rebatimiento aparecerá, naturalmente, deformado, pero en perfiles de gran extensión destaca los desniveles del terreno que, de otro modo, resultarían imperceptibles. En la figura 4.11 se ha empleado, para las cotas, una unidad que es


65

cinco veces la unidad dada por la escala 1 : 5.000 correspondiente a las distancias horizontales. La traza t del plano vertical puede ser, por ejemplo, la proyección del eje de una carretera, o de una vía ferroviaria, o de un oleoducto, etc. Tratán-dose de una carretera o de una vía ferroviaria, se, determinan, casi siempre, otras intersecciones de la superficie del terreno utilizando planos verticales perpendiculares al eje longitudinal. Se obtiene, entonces, una serie de perfiles transversales, o secciones. 4.3.4. La intersección de una recta con una superficie topográfico se encuentra haciendo pasar por la rectta un plano cualquiera. Determinada la intersección de la superficie con el plano auxiliar, los eventuales puntos comunes a la recta y a la intersección hallada son los puntos buscados.

i1

0 10 20

30

40

I1

50 50

40

30

20

10

1

F IG. 4.12

En la figura 4.12 la recta dada es r . Por ella se hizo pasar el plano cuya recta de máxima pendiente es la propia r . La intersección del plano con la superficie topográfico es la línea i . Ella encuentra r en I , que es el punto de intersección buscado. 4.3.5. Dada una superficie cilíndrica vertical, mediante su traza sobre el plano de comparación, es fácil determinar la línea según la cual corta una superficie topográfico. Sea t la traza de la superficie cilíndrica y sean dadas las curvas de nivel de la superficie topográfica (fig. 4.13).


t1

D1

C1

B1

E1

A1

F1

G1

3

66

H1

2 1

Escala Horizontal 1 : 1.000 Escala de Alturas 1 : 400

A A1

B B1

C

C1

D

D1

E

E1

F

F1

G G1

H H1

F IG. 4.13

Lo mismo que en la intersección de una superficie topográfica con un plano, que no es sino un caso particular del problema que estamos considerando, los puntos A1, B1, C 1, ..., comunes a la traza t 1 y a las curvas de nivel, son las proyecciones de otros tantos puntos de la intersección. Para evidenciar, gráficamente, las cotas de estos puntos, se puede rectificar la traza t 1, marcar sobre la recta obtenida las posiciones asumidas por A1, B1, C 1, .., y llevar, luego, sobre la posición de cada punto, la, cota correspondiente. Se obtiene, entonces, la línea ABC ... que da el perfil , sobre un plano, de la intersección buscada. 4.4

APLICACIONES

4.4.1. Determinar la parte del terreno visible desde un punto dado. Trátese de la superficie del terreno dada por la figura 4.14, y sea P 1(12), por ejemplo, el punto. Considerado un plano vertical, arbitrario, por P 1(12), construyamos el perfil correspondiente y marquemos sobre su rebatimiento la posición P del punto dado. A partir de P , sobre la recta P 1P , indiquemos la distancia PQ del


67

punto de observación al terreno. Las tangentes QRS y QT al perfil separan en éste, las partes PR y ST visibles de la RS invisible. T

Escala Horizontal 1 : 2.000 Escala de Alturas 1 : 200

Q

R

P

S

T1 P1(12,6)

S1

R1 13 12

12

13

14

15

16

17

11 10 9

F IG. 4.14

Deshecho el rebatimiento se tiene en el plano a curvas de nivel las proyecciones P 1R 1 y S1T 1 de las porciones de perfil, visibles desde P . Haciendo pasar por P otros planos verticales se obtienen otros tantos segmentos análogos a los P 1R 1 y S1T 1 que permiten limitar la zona visible pedida. 4.4.2. Dadas dos curvas de nivel de cotas dadas, a y b, respectivamente, interesa a veces unirlas mediante un segmento de recta de pendiente dada, p, que parte de un punto dado, A, de la primera curva (o de la segunda). Si llamamos d la longitud de la proyección del segmento buscado, se tiene:


p =

68

a−b d

de donde: d=

a−b p

Entonces, si con centro en A1 (fig. 4.15) y radio d se corta en B1 la imagen de la curva de nivel de cota b, el segmento A1B1, es la proyección del segmento buscado.

b a

C1 B1 d

1 A1

F IG. 4.15

En la figura considerada hay dos segmentos, A1B1 y A1C 1 que son proyecciones de dos soluciones del problema. En general, hay tantas soluciones como puntos comunes tienen el arco de circunferencia y la segunda curva de nivel. Si no tienen ningún punto común, significa que la zona del terreno comprendida entre las dos curvas de nivel tienen poca inclinación como para admitir un segmento cuya pendiente es p. 4.4.3. La repetición del problema anterior permite hacer, sobre una superficie topográfica, el trazado de una curva de pendiente constante, es decir, de una curva cuyas tangentes forman un ángulo constante con el plano horizontal. Trátese, por ejemplo, de la superficie topográfica representada en la figura 4.16. Sean, además, A1(25) el punto inicial de la curva pedida, p = 1/100 la pendiente dada y, tal como lo muestra la figura, e = 5 m la equidistancia entre las curvas de nivel.


69

25

C1

20

A1

15

B1

D1

10 5

E1 Escala 1 : 20.000

F IG. 4.16

Procediendo como en el número anterior, unamos mediante un segmento de pendiente, 1/100, las dos primeras curvas de nivel, partiendo desde el punto dado A1(25). Se tiene: (25 - 20) m d =

1/ 100

= 500 m

Con centro en A1 y radio igual a 500 m (en la escala del dibujo) se corta en B1 la curva que sigue a la que contiene el punto inicial. En forma análoga, partiendo desde B1 se determina sobre la curva de nivel siguiente, con el mismo radio ya hallado, el punto C 1. Y así sucesivamente. Uniéndolos mediante un trazo continuo se obtiene una línea que, en forma aproximada, tanto más aproximada cuanto menor es la equidistancia, constituye la curva pedida. Si recordamos lo establecido al final del número anterior, se comprende que para cada punto, sucesivamente hallado, los caminos posibles son dos, uno o ninguno. 4.4.4. Sobre un terreno cuya superficie es dada mediante un número suficiente de curvas de nivel, se debe construir una explanada rectangular, horizontal, de la cual se dan la proyección horizontal A1B1C 1D1 (fig. 4.17) y la cota, 52. Alrededor de la explanada el terreno será desmontado, o terra-


70

plenado, según sea necesario, debiendo ser 1 la pendiente en el primer caso y 2/3 en el segundo. Determinar las líneas que limitan los planos de los eventuales desmontes y terraplenes que rodearán la explanada. 58

57

56

P 55

C1

Q

54

D1

E1

53

Sección PQ P

52

52 M1

R

52 Q

N1

51

S Sección RS

50

49

B1 48

A1

R

47 46

S 45

Escala 1 : 500

F IG. 4.17


71

Notemos, en primer lugar, que como la curva de nivel 52 pertenece a la explanada, la parte M 1N 1C 1D1 de ésta será obtenida por desmonte, pues el terreno afectado es más alto que la horizontal M 1N 1. La parte A1B1N 1M 1 será obtenida, en cambio, rellenando el terreno, que ahí es más bajo que aquella horizontal. De lo que precede resulta, entonces, que la primera parte será rodeada por tres tramos de taludes de desmonte, siendo los segmentos M 1D1, D1C 1 y C 1N 1 sus límites inferiores respectivos. La segunda parte será rodeada, en vez, por tres tramos de taludes de terraplén, de los cuales M 1 A1, A1B1 y B1N 1 son los límites superiores respectivos. Se trata de hallar las intersecciones de los planos de esos taludes, considerados dos a dos, así como las de cada uno de ellos con la superficie actual del terreno. Los planos de los taludes para el desmonte tienen como pendiente 1; el intervalo correspondiente a 1 m de desnivel será, así, también 1 m, que, en la escala de dibujo adoptada, vale 2 mm. Si se trazan, entonces, con ese intervalo, tres sistemas de rectas paralelas, respectivamente, a M 1D1, D1C 1 y C 1N 1 y se las considera acotadas en sentido ascendente, comenzando con la cota 52, que corresponde a M 1D1, D1C 1, y C 1N 1, se tienen las representaciones, mediante sus horizontales, de los planos de los taludes para el desmonte. Los puntos comunes a esas horizontales y a las curvas de nivel de igual cota, el E 1, por ejemplo, permiten determinar las intersecciones de los planos del desmonte con la superficie del terreno. En cuanto a las intersecciones de cada plano con el siguiente, como sus pendientes son iguales, quedan determinadas por las bisectrices de los ángulos rectos de vértices D1 y C 1. Para la determinación de las líneas que limitan sobre el terreno los tres tramos de terraplenes, se procede en forma análoga. Como la pendiente de sus taludes es 2/3, el intervalo es 3/2. A 3/2 m corresponde, así, en la escala gráfica del dibujo, 3 mm. Es fácil, entonces, después de trazar las horizontales de los tres planos y de considerarlas acotadas en sentido descendente, hallar las líneas de intersección con la superficie del terreno. En la figura se trazaron también dos secciones transversales: una, PQ, en la zona del desmonte, y otra, RS, en la zona del terraplén. 4.4.5. En la figura 4.18 se da el trazado de una porción rectilínea de


72

carretera. El ancho de la carretera es 12 m; su cota, constante en el tramo considerado, es 395 m. Los planos de los desmontes, indicados con d , tienen una pendiente 1 ( α = 45°); los planos de los terraplenes, indicados con t , tienen una pendiente 2/3 (α = 33° 40’). 405

395 400

400

405

410

415

420

425

430

t 1 2

d 3 4

t

5

d

t 6

7

8

9

10

t

11

d 12

13 14 15

d

370

375

380 385

390

395

Escala 1 : 2.000

1

2

3 4

5

6

7

8 9

10

11

12

13

400 410 405 400 395 14 390 385 380 375

15

Perfil a lo largo del eje de la carretera

F IG. 4.18

El procedimiento utilizado para la determinación de las zonas de desmonte y de terraplén es igual al del número anterior. 4.5

EJERCICIOS

4.5.1. Construir el perfil transversal, según la dirección AB, de la superficie topográfica dada en la figura 4.19. 4.5.2. En el plano topográfico dado en la figura 4.20, hacer el trazado de un camino de pendiente 10%.

Acotado Donato Di Pietro

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