Acilina Azenha, Maria Amélia Jerónimo-Elementos de Calculo Diferencial e Integral Em R e Rn-McGraw-Hill (1995)

sex ~ l se - l
se lxl> 1 sex = ± 1 se -1
do Determine k. Estude a o contradomínio da ou ínfimo todo o seu aormmto

X

EJR.

HnJayc'"

Jr:

em x = -1 e é contínua em lR \

k = -2,· fé descontínua de l.ª

efJ definida em

li: . M 1n.=--. 2

li: . M ax.=-; 2

C.D.=

}.

dada por sex~O

sex
k = l; o supremo de

é l + n e o :ínfimo de 2

éO.

+

Seja y = f(x) uma função definida parametricamente por:

te

que este é

dy

-=

hé

e que o teorema

é

Complementos

= EXEMPLO I.5: y= (tE

Pede-se a derivada da

ou

definida

x =O. Há que determinar o correspo11dente valor de t. Ora

é dada (x-a)

x=O:=:>t=O=}y

=O, a recta

=L

+

18

IR IR"

y=

y.

a se

t, corresa

X

y=

~

X

em tomo

y

uma

EXEMPLO 1º7:

x 1"Y

Calcule

dx

no

are

-

4

+y-

de ordenada l e escreva uma

Derivando toda a

de
dex, vem:

e considerando y como

x 1"Y • lnx · y' + y

tal que o par

x

ln 1 -

are sen ç:,

- l) = tg

are sen

- 1) = O ç:, x 2 - l = O ç:, x = ± 1.

Mas X= -1 não serve, porque a v"''~u.vu,-.~,x lny não está definida é ~N,...~'''~ =

obtém-se:

-2 + y' = y' · sec2

no

y-

4

ç:, -2

+ y' =

<:::::> y' =

x = L A recta tan,geinte neste

(x-1)

<:=;> y-1

=

1) <:=;> y = -2x + 3.

1)

a

Integral em IR e IR11

y

que as

+ l)+x -cosxln2-2xln3 ::::> y'

::::> -

y

l

, ~ e' [ x l+senx· ln2-2ln3 ::::> y = - - + 1 +senx ·ln2-2 +1 2cosx x2 + l

2x

""~--+

2

ema,

que se sentar por:

, ou mesmo

se

a,

Complememtos ~~~~~~~~~~~~-~~~~~~~~·

'ou

ser

seguinte

= p=O

EXEMPLO I.9:

Tem-se

= p=O

= (2x-

as únicas como

1Ji:!li.;c1•w

= 2;

=-2;

-2x)(pl =O,

>2.

do somatório que não se anulam são as corres1po11toe1nes a p = 1 e p = 2.

=

= l

E

= 1000! (-2) + 999!

1000! 2

= 1000 (-2) + 1000 . 999 = -2000 + 999000 = 997000. •

+ EXEMPLOUO: diferencial:

2 vezes diferenciável em

+ Fazendo a

-3 em termos de

=ex, e mostre que a

dx dx dy d

"'4 vem e2x •

16 e-2x

<:::> 16

<:::> 16

outros

diferencial se reduz a

Complementos invertível num. nn•,rn·~•n

EXEMPLO l.U:

e IR. Mostre que sob certas

é dada por:

x= arg

esta fórmula para calcular a 2.ª derivada da

e

Como é sabido

dx dy. dx

d

l

dx

d

dx X=

arg

=:> y = sh x =:>

dx

=

eh x ::::::>

= shx.

Então

shx

ch 2 x -sh2 x

---=

que

EXEMPLO I.12:

uma

definida

= sect =

Calcule dx 2 no

=

dt

·- =---------

1

dx que

= sec t · tg t =>

d 2y

~~=

l +

t

= sec t ·

t

+ sec3 t e

= sec 2 t

sect·tgt·2sec 2 t·tgt-sec 2 t·(sect·tg 2 t+sec 3 t)

=sec2

rc

No

t=~

4'

= 2 sec 2 t · tg t ~

:=?

=

tg 2 t-sec 2 t t

-1

=-~

tg 3 t

= 1,

= f(;;) uma = 3.

Derivando em ordem a x:

2x+2

Em

3), temos

Substituindo

""O.

= O. Derivando novamente:

O ey = 3, vem l+

1.14:

-

-

_2,

2.

•

definida

X

z= uma a 2.ª derivada da

=0 =>

= t + t3 e

por

t+l

duas vezes diferenciável em tal que c01nposta, g no x = Oé 2. +

=Oe

= 2. Mostre que

e e por um

e[

em

um

n,

+

+

+···+

que:

=

+

= =

= O=:> 3 c 1 E =0 =:> 3 C2 E

e[, tal que C1[,

=O =:>3

=O

+ ... +

=

que

·-----

lntegrnl em IR e

+

+

+

, tE

+

+

+ que: ema e q]j,

+

+

, com te ,,ucuu~'-""

resto de ordem n. Este resto "'"U'~"''-'~

de

para o

+ Em

casos tem-se:

de com x->a

=0.

por resto

Complementos

emlR

.~~~~~~·~~~~~~~~~~~~~~-

X

=o ema e

grau

éum

para

a, tem-se

X


xn

• ex =l+x+-+-+ ·+-+ 2! 3! n! 00

+1)=x--+--···+ 2 3 ~

senx = x--+--···+

111

cosx=l--+--···+ 2! 4!

~

(l+

3!

E

5!

+

lntegrnl em IR IRn EXEMPLO 1.15: = cosh X em fórmula de Mac~L:mrin com resto de ordem no

Mostre que para O< x

~

1, se tem:

x 4 <4!

x-l2

<

°COshxº

< Utilizando a alínea ~3,

desenvolva cosh

e mostre que para

ecos

se tem:

cosh

-cos

com

= coshx = senh x = p 2rr-1l(x)

= cosh O= 1, n

E

Il'L

= senh O= Oº

a fórmula de Mai> Laurin só contém termos de ordem parº

b) Tomando n = 4 e t entre O e x , fica

x2 coshx -1- 2! com O < t < x

~

cosht =--x4, 4!

L Para x > O, cosh x é crescenteº

O< t < x

~

x4

cosh O < cosh t < cosh x => 4!

x• x2 x4 < cos x - l - - < - cosh x =:::> x 4< 4! 4! 2! 4!

=> -

cosh t x4 - - x 4 <- coshx=>

4

4!

xz -1 -

2!

< X 4 COSh Xº

/

(ompleme11tos xz e) Dado que se provou anteriormente que para valores de x """"'"""""Q de zero se tem cosh x "" l + com

2!,

< /x/ 3 , tomando x =

temos cosh

""'

<

com

basta substituir x por

Para desenvolver cosh -Laurin de cosh x. x2 2 ·3

x4 3 • 4!

cosht n!

=l+-+ - - - .. · + - 2 4

cosh

Do desenvolvimento conhecido de cos x, obtém-se:

com t entre O e

xz

x4

2. 32

34 • 4!

=!---+~--···.

cos

Tomando n = 5, então

x2 x4 ""l+--+-com 2. 32 34 • 4!,

cosh

<

e

xz x2 ""2·--=com 2. 32 9 ,

-cos

cosh

=are tg x 2 resto de 3. ª ordem.

Escreva a fórmula de Mac-Laurin Usando a aHnea

are

b)

= x2 +

24t 7

-

40t 3 x 3

(1 + t 4 )

3

·-

,

3!

com t e

----

x3

~---=o

.•

<

na fórmufa de Mac-

e lntegrnl em IR

IR~

\ y

y

o

extreextremo num ~ --"---"~~--

a, extremo

31 y y=x

3

X

, com t

ou

E

a[. extremo em a

>O, V x e < Ü,

é extremo ema

X E

> O:::;> f crescente em a <0:::;>/ ema

tem extremo em

n

e



""'14!1 ""1>"

é m º'"""""

EXEMPLOI.17:

os extremos da

definida por:

= 5x3 -3x5 + 10.

= l5x2 -15x4 =O=:>

=o=:> X= O, ±1.

= 30x-60x3

=

;t O,

= 30.

n=2

;to,

=2

=12 é um máximo. = 8 é um mínimo.

que há

= O, há que continuar a derivar para tirar conclusões sobre o = 30-180x2

x=O.

= 30 ;tO, n = 3

que uma

conca-

no

y

)

-a),

\ E

Do mesmo

para

E

X

=2, ... , n~ L

=O, para k

n:

com resto

*O. Então , com t

E

]a,

ou

a[

ou para

n n

=> de inflexão da

EXEMPLO I.18: _,._.,..... - I.17.

Para o estudo dos

onde a 2.ª derivada se anula.

de inflexão interessa achar os

= 30x - 60x 3 = O ~ 30x (1= 30-180x 2

i:O (n

1=

=O:::::>x=O, ±-.

0 (n = 3,

2

:::::;>X

=0é

de inflexão.

de inflexão.

do

e l11tegrnl em IR e IRn ·~~~~~~~--~~~

IR --1' IR uma

EXEMPLOI.19: tal que:

>O,

~~~~-~~~~~~~~-~~~-

contínua em

5 vezes diferenciável em IR\

>O; = l; =-1;

a extremos locais e absolutos e

As

l mostram aíi um de inflexão. 2 mostram aí um máximo focaL de inflexão em -1 e um mínimo focal em -2. só ter extremos em deste se a 1. ª derivada se anular neles. Poderia por isso haver extremo nos teorema de RoUe teria de existir um xE 3[ no =O, o que não se verifica. um máximo em 2, a tem a concavidade para baixo para x E 2 + Como >O, 'ílx >O,

mudasse o sentido da concavidade

de x = 2, então teria de intersectar o eixo dos xx de mudar a concavidade de inflexão. ser x = 3, que será um

y

Em resumo: a de inflexão em x"' O,

tem um máximo absoluto em x = 2, um 1nínimo absoluto em x = -2 e ±3. +

\

Complementos

o com-

~

Lª e 2.ª

x-+a

limite

ser+= ou-= e que a rectax =a -·---------X~ a-.)

m= lim f(x) X-'>+=

X

X~

a+, OU

b=

tal que

e Integral em

e IR[I ~~~~~~~~~~~~~~~

EXEMPLO ll.20: Esboce o o estudo da em IR.

=ln

11:

4

A

2

2

7r

-+kn 4

u ...

E

n:,

de

de fazer

={x:-~+2kn<2x< n: +2kn

cos2x>

--+kn
no intervalo

este é o menor real tal que

= cos 2x~ ln

[2(x + n)]} = ln

Então basta estudar a

não está definida em

Como

f(-x) =ln [cos

par.

para conhecer o gráfico

Não faz sentido procurar as~amptcitras ilimitado.

com o eixo dos yy: x = O com o eixo dos xx: y = O::::::> ln trabalhar apenas no intervalo

-7'4 [.

=ln (cos 2x) = f(x),

estudá-la em [O, : [.

o dominio ?9>P>ri-P''""'

contém u:m intervalo ao

= O ~ cos 2x = 1 ~ x = O, porque estamos a

Complementos =

~2sen2x

cos2x

=-2 tg 2x =O:::::::> tg 2x =O:::::::> x =O;

4 cos 2 2x'


XE

em IR

que nunca se anula e é sempre

a concavidade é sempre para baixo. Não há

inflexão.

o o

X

rd4 \\\\\\

\\\\\\ \\\\\\

y

-11:14

11:/4

311:/4

5nl4 X

A

tem máximo absoluto

EXEMPLO 1.21:

em x = 2kn: (k E .l) e o contradomínio é }---00,

um estudo tão

com se x s; O sex>O

da

de

e lntegrnl em não é par,

x=a.A

nem

se x::;; -2 se -2 < x:::;; O sex >O

m = li.m

X+ e-2-x'

= 1+

X

x-t+oo

lim -~ = l; x~+oo

X

x-->+oo

y =x é

as~>i.rrtptiota

em +oo.

y = mx + b em-oo:

X.-.)-00

X

regra de X~-00

b = Hm ex+Z = O.

Logoy= O é

se x <-2 se-2 O

x<-2

> 0;-2


toma sempre valores maiores que 2x.

x>O

se x < -2

se-2O

X

< -2 , OU -2
>

)=O:::=>x=~.

2

>O.

(ompleme11tos

o

-2

X

f'(x) f"(x)

+ +

Ji 12 +

-

u

1

+ '::,iU

-

,li()

e-2

+

o

+ +

,li

7lU

X

= l. Tem um mínimo

tem um máximo mas não aoi;m111to = e-2• Tem de inflexão em

x=O

e x=-. 2

de não se ter calculado as derivadas nos ae11m,çao de conduir-se do gráfico O domínio de diferenciabfüdade é]-«>, -2[U]

EXERCÍCIO 1.22:

mas não

x = -2 ex = O(o que teria dle ser feito não existem derivadas nesses +oo[. O condomínio é +=[. +

extremos, monotoo seu contradomínio. sex
+ l. sex;;::: O

sex
e lntegrnl em

e lR"

y

m X

Máximo=M Mínimo= m = f(l)

= e-2;

Ponto de inflexão= I = - 2 ·,

C.D. =IR.

y

b) X

m

O, e y =o MlÍnimo ==f(-1) =--e-1;

""mmn·t"t'"'

X=

Ponto de inflexão= -1

C.D.=

e em

Complementos

em IR

y

-2

e)

-+--

-1

M

1 -'13

As:símLOtc~tas

x = O e x = 2;

Mínimo = f(l + Máximo Pontos de inflexão: x = -2, 1, 4 C.D.= IR.

y

X

--oo),y =o =-e-2;

Máximo = 1; Ponto de inflexão = (3, -2e-3); C.D. = ]-oo, l] u ]2,

ex=-1;

y

e) X

As:simllotc,tas y =-x Não tem extremos; Não tem C.D.= IR.

1.23:

= f(x) uma =a

definida

etr1camente por

t + sen t) e

=a

t-t cos

com a, t> O.

1.24:

=O. pmran1eu1ca11m~me

6t l + t3

U5:

=

definida

uma x•eny

Cakule

e

+ cos (x

6t 2 1+ t 3 por

=ln

com

=O.

por

sendo z

b)

uma ""arcsen t e

g. Cakule

e)

e escreva uma

y

1.26:

+ Escreva uma

=In(e+yde ordenada y = 1.

da recta normaJ ao

z=x2 +6xey

1.27:

uma

invertível em

=l

tal

= 2. Calcule a derivada dez

em ordem ay, no X,

y=

1.28: Deduza a

de

= sec 2 y.

1.29:

segtemum emx= O.

e

1.30:

=y

+

e utilize-a para cakular a 2.ª derivada de

1.31:

y vezes diferenciável em JIR.

Calcule Mostre que

em termos das derivadas extremos em O e em 1, então

de inflexão

e mn

e l11tegrnl em

·~~~~~~~~~~~~~~~~~

I.32: Usando a fómmla de

de

a= :rc,

no

I.33: vezes -··-·-..-·.tem um extremo em x = O.

estritamente decrescente em IR Calcule

I.34: Escreva a fórmula de Mac-Laurin

=

3' 0 ~•,

com resto de 3.ª ordem.

Hm 2 · 3seu - 2 - 2x - x 2

= 2(ln 3 -1) . 3

• ~o

1.35:

+ 1) e e escreva 1.36:

das

sendoy

uma

tangente e normal ao

definida implicitamente por: (xy

1.37:

n~ctas

= (t + l )ºº' 1•

+ 1)

+ earc

SO!lX

-y = O.

definida por

sex<2 =

sex>2

x=O.

em

I.38: =

=are sen t e

I.39:

=O.

D= Determine o

=x.

no

I.40: Partindo da fórmula de

no

= ln(x-

a=2

com resto de 4.ª

desen-

volva a

=

ln(x ~

n

x-2

I.41: Sejay =f(x) definida parametricamente por = 2cos t sen t e

= 3 cos 2 t.

Escreva a fórmula de Mac-Laurin def(x), com resto de 3.ª ordem, para t =O. b) Indique um valor aproximado def(0,01), com !enol < (0,01)2 • e) Usando a), seftem mínimo ou de inflexão em (x, y) = I.42: Sejay =f(x) uma função definida por: tg(x + 2)

sex <-2

4a +2xa

e IR\ sex >-2 Determine o domínio de f e estude a descontinuidades. Determine o valor de

I.43:

g(x) vezes diferenciável em de inflexão em x = O.

co11tirmi!1ad.e. classificando as ""''"n;•P.1<: por continuidade ao

a de modo

+are sen

=O

= 2. Mostre que g tem um

l11tegml em IR e IR_n

= tg t;

1.23:

I,24:

=

=

1.25:

=O.

:t26: x=O.

1.27: l

1.28:

1.30:

=

e)

3.

=L

=-1;

t , earcgx

l-2t3

1 l 1 =--=---=-y l+x 2 l+

dx

1.29:

=(a cos 3

V%x - 5 {[-2x- + 1 --

x 2 +1

1.31:

l +x 4

3

coshx

senhx. senhx

1.32:

2n 3

x) senh2 x

2

1.33:

1.34:

3senx

2

O< t
1.36: 1.38:

x2

= l +X ln 3 + -

x3 ln2 3 + ~ 3!

3son1

3 cos3 t- 3 ln2 3 cos t sen t-ln 3 sen

coshx.

(ompleml!mfos

I.39:

1.40:


I.41: b)

z)-3/4

e)

um máximo em x =

1.412:

=3. u

E

por continuidade ao emx=-2+n/2+

-1

x = -2, se a = -1

ln

com x <-2, as descontinuidades são de 2.ª

=

g(x) = -ln(-x), se -2 < x

-ln2tg (x+ 2) x+ 2

~ -1;

' se x <-2·' g(-2) =-ln 2·,

=ln 2x + 1 , se-1 < x <-1 /2; g é diferenciável em Ç!)Jr X

n

1iti•1ri:mrilfl

e Integral em IR e IR"

~~~~~--~~~-~~~~--

-~~~~~~~~~~~

No W.ºano o esse Neste momento e E IR e não são que

·~~~~-

+e= o, em que A e B são

.:i>H.U.UM.
as coinpommt(::s n;;cta na

+

+

+

*

com A, B, D, E, F E IR e A* o V B o. 2. º grau em x e y nem sempre rerífm;enta

+ Ey + F =O,

o r<>.r•1n1rnf"n

uma

As ""'' ''ª""u""

+Byz+

+ Dx + Ey + F = O, coor-

seA=B se A · B > O A ;t: B seA·B
de

X

centro

Para as

e

rna

a

em

EXEMPLO U,l: xz +

-5 =O.

x2 +

-2x+y-3 =O.

x2

+4=0.

que verificam as

o

xz +

=O.

e) 2x2 +

+4x-

2x2 +

-8 =O.

-8 =O.

e) xz +

+2 =O.

x2

-4=0.

i) 2x2 +

+ "'o.

Integral em IR em~ j) 2x 2 +

=O.

l) 4x2

5x2 -

+ lOx-2 =O.

o)

x2 +

-2x +

r) x 2

-5 =O.

+ 8x

-5 =O.

+

4 =O.

x2 +

=5

4x2

+8x-

3x-

+ 4 =O.

O) e raio

é uma circunferência com centro

x2 +

=O

x2 +

=-2

éo

e)

-2x+l)+

+y+l/4)=3+1+1/4<=?(x-

é a circunferência de centro

+(y+

= 17/4

e raio--. 2

+ 2x + l) + (y2 -

e)

é a circunferência de centro

+ 2)

= 4 + 4 + l <=? (x +

+

raio 3. x2

yz

4

4

-~-=l

éa y

X

+4=0.

x2

--=l 4 4 é semelhante ao da

x2 y2 -+-=l

4

éa

8

com semieixos a = 2 e b =

y

o

-a

2x2 +

i) éum

a

X

=-8

vazio.

})

2x2 +y2 =0 éo

+2x+l)-

l)

Ç::>

éa

de centro

+

-(y+

+

+ 1) = 5 + 4 +

~

=8~

-1), semieixos a=

2

8

b=

e

"d

y=-1 ±

+

y

~~~~~~~\~-'c-~--+--1!--~~~~-~-~~~

X

-(y+

Não tem termo Intersecta os eixos em

Y""

e o vértice é

X

x=

éa

+y+2 o

é uma n~cta; y

=

+ 2. -2x+l)+

éa r)

de centro

xz-

+

e semieixos a =

e b = 2.

<=:>x 2 -(y·~

=O<=> [x-(y-

=O

<=::;>

(x - y

formada

+

· (x + y -

· [x + (y-

=O

reunião de duas rectas: y =

+

+

=O<=:>

+ 2, y = -x + 2. •

+D=O,

com é um vector ao Para uma recta que

uma recta.

x-xo =Y-Yo =zu1 um

a

e Integral em IR e IR" da recta que passa por P e contém o vector u:

EXEMPLO H.2: Escreva uma

u=Q-P

e)

Q=

x+l y-1 z-2 --=--=--=rç:;.r= 2

<:::>

3

r

={

-1

3x-

2, O)

.l

+5=0

+ 3z - 7 = O

.l

.l xOz

+5 =O

x+2z-3 =O

x-l

y-2

z-3

o

2

-z+l=O

--=--=--=r~r=

1

x-l

e)

o

x2 +

= 9.

b) z=4-x2 •

=l =0 •

Breves Revisões de Geometria Analítka 57 Resohl!ção a) Em IR2 seria uma circunferência com centro em (O, O) e r = 3. Em :iR3 é uma superfície cilíndrica circular, cujo eixo é o eixo dos zz.

y

b) Em IR2 seria uma parábola com vértice no ponto (x, z) =(O, 4). Em IR3 é uma superfície cilíndrica com directriz parabólica; a geratriz move-se paralelamente ao eixo dos yy.

z

Se a geratriz se move mantendo um ponto fixo (vértice), obtemos uma superficie cónica. Se a directriz for uma circunferência e a recta que une o vértice com o centro da circunferência (eixo) for perpendicular ao plano da directriz, teremos uma superfície cónica ortogonal de revolução. Veremos a caracterização analítica mais à frente. Já vimos a importância destas superfícies em H.2.1. +

em IR IRl!l

2.º

uma

As

+

+

+Exz+

+Gx+

emx,y, z;

+ Iz + J =O,

C não srnmH:arn;arr1ente

nem sempre rer1re1;enta

+

+ qu~táncas

+

+ Iz + J =o,

com

C:;t:OeG=I-I=I=O

xxem

o

yyem

por CUU.HU,,,HoA•

+

o

zz. se escreve

Ili-+

--=l

y

y2

e

-+---=O

lntegrnl em lR e Ill"

®'

-~+

-~=

z

y

=OvB=O

que

1. º grau. Por tomar a

z=

+

+e

y X

no

61 tomar a

ou

éum

yy.

o z

y

e

uma

± (x - h) 2 ± (y- k) 2 + (z -1) 2 = 1 c2

e

centro em

1). No e:xi;rnpJ, v que se segue veremos como '"'"'"•'H"'"" 1

que nos interessam

se seguern.

EXEMPLO 11.4: 5x2 +

definidas por:

= 4z.

=4z.

x2 + y2 + z2 = 4. x2 +

-z2 =O.

e) 5x2 + 5y2 = --4z.

-x2 +

-z2 = 4.

e) x 2

x2 +

= 4.

i) x 2

l) z = 4 - ~ x 2 + y 2 •

j) 2x + y + 3z = 6.

xz

s1l!pç;rt1.c1~~s

+ z2 - 2x + 4z + 6 = O.

z= com a concavidade virada para

x2 +

-x2 =4.

+ eixo zz e vértice

O,

+ z2 = 4. =4.

+ 2z2 -2x-y-3 =O.

•t
~~~--~~~~~

b) Parabolóide

orientado

o eixo dos xx.

e) Parabolóide de

em tomo do eixo dos zz, com vértice

z=

O, O) e virado para baixo:

<0. e raio r = 2.

zz

e)

4

4

-~=I·

4

,

em tomo do eixo dos xx (a= b

=e=

cm torno do eixo dos xx (a= b =e=

x2 +

-z2 =0;

o, em tomo do eixo dos zz e com raio

i)

ciHndrica de

j) Plano

f) Z""4-

Folha inferior da

nos eixos são:

de directriz

O, O)

6, O)

a2.

e

O,

indicados na

z-4::;; OÇ;::>

em tomo do eixo dos zz e vértice

z::;;4.

O,

z z 4

y

y

X

Plano 2x + y + 3z = 6

z=4-

-2x+l)+

emquea=b= eixo dos zz que passa

- 2x +

O- y 2 +

Yz,

+ 4z +

= - 6 + 1+4

(x -1) 2

q

+ (z+

(x -

_(z+2)2_l l - '

~--+

1

em que a = b = e = l. É um ao eixo dos yy e que passa

e

dHndrica com directriz

z

y

X

=-1

q

entre si com vectores

z

y

>···················· (x, y)

ez

º

-------=+-----~----

81

y

X

p""

y, z)

<::;>

P. porra

é,

e r = ~x 2 + y 2 + z 2

r=llrll=

{

xy

= psen8

0

pE

(} E

211:[.

é

""'""'"r" para rectas que passam que passam

EXEMPLO 11.5: y=

y=2x.

x2 +

-2x =O.

e) (x-

y= <::=:> p

=o

<::=:>

COS ()

cos e<::=:> p

p sen 6 =

= sen 8 <::=:> p == Ü V

y = 2x Ç:::} p sen fJ =

=2.

+(y-

=

(J

e-sen 8) =o<::=:>

<:=:>p=O

cos 8 Ç::; tg fJ = 2 com p :;": 0

Q

(J =

e= are tg 2

ve= V

p

n.

= 0.

e)

COS ()

Ora x 2 + - 2x = O <=? (x que p "" 2cos () com fJ E

+ y 2 = 1 é a circunferência de centro

(x-

e)

é a circunferência com centro C (x -

+ (yÇ:;>

= 2 <=? x 2 +

p=0

V

= Ü Ç::i> p = 0 V p = 2COS fJ.

+ (y-

e raio r = 1. Vemos

=2

1) e raio r =

- 2x -

= O Ç::;>

p = 2cos () + 2sen fJ com fJ E

e+ sen

())=o~

cos

pE

=psen

, 8E

ZE

=z z

EXEMPLO II.6:

xz+ 3x 2

A~~"'.,"""'c•v

as

cn~,_,,.i-,"""'"

x2 +

-zZ=O.

+ 3z2 = 3.

que se seguem e mude~as para coordenadas cfündricas:

e) (x-

+z2 =16.

e) - 4x2 -

-z=O.

+z2 = 16.

z2 =x2 + em torno do eixo dos zz.

cónica de z2

absoluto da cota é

=x2 +

qz2 =

+(y+

lzl =p

""2.

b) É uma

esférica de centro +z2 =16. cilíndrica de com ""'~'"h·n "''""'·~•M ao eixo dos zz e eixo que passa Em coordenadas ciHndricas fica

e)

por

x2 +

-2x+

Ç:}

e-- sen 6) "' o .ç::::.

=Qq

p = 0 V p = 2 COS

e- 2 Sen 8, 8 E z2

3

+-=l

1

é um

de uma de em tomo do eixo dos yy. A coordenadas cilíndricas só fica fácil se orientar o cilindro o eixo dos yy, denadas ()) no xOz:

para

= pcose =y =3.ç::::.

+

Teremos:

-y2=3Ç=?

=

+ 3.

x2 y2 z2 ----+-=l 4 4 16

e) é um

"'W•O~lfo~

de duas

de

em tomo do eixo dos zz. A

dada é

valente a:

+ j) Éum

+z2 = 16<=:>-4p2+z2 = 16.ç::::.z2 =

+ 16.

em tomo do eixo dos zz, com a concavidade virada para Em coordenadas cilíndricas será

=z.

+

lntegrnl em IR e mn à em que se vê que z a

fJ,

entre

e

Po

= r cos

em II.2.3.3 nos

con~

na

z

y

X

EXEMPLO II. 7:

x2 + e) x 2 +

ª"""·'"~!""as

sui:1efl]C11es que se seguem e mude~as para coordenadas esféricas:

+z2 =16.

b) x 2 +y2 -z2 =0.

= l.

(x -

''"'"'""""'"' esférica de centro

+

+ (z -

= 2.

O, O) e raio r = 4. Em coordenadas esféricas

eviden~

temente,

cónica de r 2 sen2
em torno do eixo dos zz. Em coordenadas esféricas fica Ç:?

q;= l,(r:;t:O)q

n

3n

4

4


que

e) É uma

cilíndrica de r 2 sen2

em tomo do eixo dos zz. Em coordenadas esféricas fica com

E

=x-1

=y "'z-1 No novo referencial a

da esfera dada é:

x 2 + Y2 + z

2 "'

2.

as coordenadas esféricas convenientes são

=

Nestas coordenadas a

sen

= 1 + r sen qJ cos

fJ

ífJCOS

= r sen qJ sen fJ q

= r sen qJ sen e

= r cos qJ

= 1 + r cos qJ

e

esférica é:

da

r=

U.8:

1.

os seguintes domínios x+y;::;OAy~2AxS:

e) 0J=

2. CZJ)

=

x2 +

;::;OAx2 +y2 -

os

domínios em

::;;

+ 2z2 :2'.

y,

e) 05={(x,y,

-3x2 -3y2 +z2 S:3}.

e) 05= {(x,y,

x2 +

:;;4/\-3'5.z:;;~x 2 +y 2

05 = { ( x, y,

x2 +

+ z2 < 9 A 1/3

+

3.

Caracterize 1.

4.

Caracterize 2. e) em coordenadas ciHndricas.

5.

Caracterize

1.

Domínio limitado

0J =

x2-y2 < l

0J =

x+y<2Ay2

CZJJ={(x,y,

xy<

05"'{(x,y,

X+

}.

::;; z2 ::;; x2 +

em coordenadas

em coordenadas esféricas.

de vértices (-2,

x2 +

z 2 + 1 :2'.

2 1}.

Domínio situado entre os ramos da ferência de centro e raio L

e) Domínio limitado e raio 2.

-y2:

circunferências uma de centro

1

e fora da circun-

l) e raio 1 e outra de centro

""2-x

Domínio limitado

de uma folha com eixo no eixo dos xx.

a) Domínio exterior ao

Domínio situado entre os ramos da IJM•~•~.m ao eixo dos zz.

e

cfündrica de directriz

e) Domínio situado entre os ramos do dos zz.

de duas folhas com eixo no eixo

Domínio exterior da dosyy.

e

um ramo duma

cónica e um cónicas.

3.

E

[0, 3 sec 6] /\ 8 E

[-"/4,

are tg

V

4. 5.

2)

e,

o: :; r :s; 3 /\ o:s; e:::;; 2rr: /\

E

2 cosec &]

(J E

tg

9 -911t e @ ® ® ®@@e() ewo e0•09@0«10@ 00©$@0

lcul

m.1.1. Exemplos.

e «1@êtil @01eoi» ~e o1J® 0®®@0@0tt @oi1fHf1e~oo& ®õ a. @o e e ei

if

,.

CAPITU

11 ~

cial

Defini~ões.

Até agora foram estudadas funções reais de variável natural, as sucessões, e as funções reais de variável real. Em várias áreas da Ciência, em particular em Engenharia, estudam-se problemas onde figuram funções escalares de várias variáveis/(x, y) ouf(x, y, z) que· representam uma função num espaço real de duas ou três dimensões de algumas quantidades físicas tais como áreas, volumes, temperatura, potencial eléctrico, etc. Tais funções chamam-se campos escalares. Em Engenharia são também necessárias funções cujos valores são vectores e não escalares, como é o caso da ve]ocidade dum ponto num fluido em movimento, as forças gravíticas ou magnéticas. Estas funções designam-se por campos vectorfais. Sintetizando: vamos passar do estudo das funções reais de variável real, f IR -o> IR, para o estudo das funções mais geraisfi mn ---7 JRm, com nem números naturais. Tem-se

e l11tegrnl em lR e lR

11

e para

comi= 1, 2, ... , m,

= 1) lR"~

ou

lR. ou

EXEMPLOS de campos escalares: 1) A que a distância de um é dada por

fixo

z) do espaço IR3, a um

f(x, y, z) = ,.j(x -a)2 + (y- b) 2 + (z ~ c) 2

com

y,z) ->

y,z)

O volume dum ciHndro de

num dado focal

Terra:

y, y, EXEMPLOS de campos vecto:riais:

Na Cm1em:at1ca, o

b, e)

Cálculo Diferencial em ran 73 quando se desloca em relação a um referencial). A cada ponto destas trajectórias corresponde um vector posição, que depende portanto do tempo. Teremos um

r(t) = x(t)e1 + y(t)e2 + z(t)e3 dita equação do movimento:

t ~ r(t)

A partir df r(t) podemos obter a velocidade v(t) = r'(t) e depois a aceleração a(t) = v'(t). São dois exemplos de funções cujo domínio está contido em IR3 e com valores em IR3 . 5) Suponhamos um corpo C, que roda em tomo dum eixo. Em cada instante, o conjunto dos vectores que representam a velocidade em cada ponto (x, y, z) de C formam o chamado campo de velocidades, v(x,y, z), da rotação.

6) O campo de forças gravitacional: sejaA uma partícula de massa M fixa num ponto P 0 = (x0 ,y0 , zJ e seja B uma partícula de massa m livre de ocupar qualquer posição P = (x, y, z) no espaço. De acordo com a lei de gravitação de Newton, existe uma força p de atracção entre A e B dirigida de P para P 0 cuja grandeza é proporcional ao inverso do quadrado da distância, r, entre P para P0•

IP! = ~. com e= GMm (G =6, 67.10-S cm3/gm · seg2 - é a constante gravitacional). rz

e ~rir é o corre:si,onde1t1te vector unitário na "'"'""'""'u de actua emB é: c r=--

y-

r3

7)

Então a

eléctricos e campos consideremos um circuito eléctrico alimentado por uma fonte de corrente contínua e por um pequeno espaço entre os fios. A de que a fonte manté1m campo eléctrico linhas de à se unemt as extremidades do fio que estavam as cargas vizinhas de sinais contrários ""'"'"-0v em sob das eléctricas e tendem a neutralizar-se. Este movimento de de cima para baixo cargas age como uma corrente

+ +

Campo electroestá!ico na vizinhança dum circnito aberto.

Desaparecimento do campo eléctrico e aparecimento do campo magnético.

O campo eléctrico ao mesmo que nasce uma corrente de deslocamento de baixo para cima e que fecha a corrente de co1m:tiilç~10 (s,egimalo Esta um campo linhas de círculos que envolvem o fio condutor e constituem um volume sensivelmente esférico.

k

=-r3 Os campos newtonianos são um caso dados por = r, onde r E IR 3.

:r, k

E

IR:.

dos campos centrais que são analiticamente

Para determinar o domínio destas funções fazem-se as restrições habituais: denominadores diferentes de zero, radicandos (de índice par) nã.o negativos, etc. Começaremos por determinar domínios de campos escalares. Para os campos vectoriais basta-nos fazer a intersecção dos domínios dos campos escalares componentes. EXEMPLO IU.1 : Determine analítica e graficamente, quando possível, o domínio de:

a) f(x,y)

b) f(x, y,z)=.j4-x-y - z .

::: x/y.

e) f(x, y ) = ln (x2 - y2)

d) f(x, y,z) = -

1

- - - In(x2 + y2 + z -4)

f) f(x, y, z) =.j9 - x 2 - y 2 -z2 +ln (x-y). h) f (x, y, z) = are cos ln (x + y

g) f(x,y ) = ln cos(x - y).

Resolução a)

~

= {(x,y) E

IR2: y

t:

+ z).

O} = IR2\ {(x, O)}.

Trata-se do plano IR2 com excepção do eixo dos xx. b)

~ ={(x,y,z)eIR3 : 4 - x - y - z2':0}= {(x, y,z) eIR 3 :x + y +z $4}.

Região situada sobre e abaixo do plano

x+y + z = 4.

z

y

e Integral em IR em~ ____

,

>

e)

y, z)

=

E

IR3:z > 4-x2

de IR3 exterior ao com vértice em

com concavidade virada UUllUA\~'-'

de

z = 5 -x2

lnx

e)

que

a=

Trata-se do l.º

da rectay = 1.

y, z)

E

IR3 : 9-x2

-z2 <::0

x-y>

e da esfera de centro ordenada é menor do que a abcissa.

E

E

IR2: cos (x

>

IR2: x - "h + 2kn < y < x + "li +

=

kE

=

O, O) e raio 3 formada

y

X

2/J = {(x, y , z) e IR.3: -1

h)

~ln

(x + y + z) ~ l

1\X

+ y + z >O}

=

= {(x, y, z) EIR.3: 1 /e ~ x +y+z ~ e}. Domínio situado entre os planos x + y + z

=1/ .

e x + y + z =e, incluindo os planos. +

EXEMPLO 111.2: Determine analítica e geometricamente, se possível, o domínio de:

a) F(x, y)=

x e 1 + ,J-x2 + y e2 + x e3 • y 2 - 4x

b) F(x,y,z)=

1

x 2 - y2 - z2 +4

e1 - ,J4-x2 - 2y2 +z e2 •

Resol.ução Na determinação dos domínios poderíamos fazer a intersecção dos domínios das funções coordenadas ou, o que é equivalente, fazer a conjunção das condições que os definem.

2

Zona plana acima e sobre a parábola y

=x 2, excluindo os pontos da parábola x =L. 4

b)

Trata-se da região do espaço acima e sobre o parabolóide elíptico, com concavidade virada para cima, vértice em (O, O, - 4), excluindo o hiperbolóide de uma folha, de revolução em torno do eixo dos xx.

+

78 Elementos de Cólcu!o Diferencial e !retegml em IR e IRº ·~~~~~~~·~~~~~~~~~~~--~~

Recordemos que o gráfico de uma função real de variável real, y = f(x) , é um conjunto de pontos (x, y) E IR2 tais que x E qJJ1 e y =f(x), o que muitas vezes constitui uma linha plana. Para uma função real de duas variáveis reais, z =f(x, y), o gráfiro será um conjunto de pontos (x, y, z) e IR.3 tais que (x, y) e qJJ1 e z =f(x, y), o que muitas'vezes constitui urna superfície no espaço. Nem sempre o gráfico de z = f (x, y) é fácil de executar mas há um método mais simples de o visualizar através das linhas de nível. É o que se passa com os mapas topográficos: linhas que unem pontos com a mesma altitude, sabendo-se que duas linhas consecutivas correspondem, por exemplo, a uma diferença de 1Ometros em altitude. A sua maior concentração corresponde a uma região mais íngreme. Para uma função z =f(x, y) chamamos linha de nível de cota k ao lugar geométrico dado por {(x,y)

E

q/):f(x,y) =k} .

A função que representa a temperatura num ponto (x, y) duma placa plana Pé uma função/' P e IR2 ~IR. Seja f(x,y) = x 2 +y2 e P={(x,y):(x,y)eIR2,x2 +y2 :::; 9} .

O gráfico de z =x 2 + y2 é um parnbolóide. Neste exemplo, as linhas de nível são circunferências e representam conjuntos de pontos nos quais a temperatura é constante (isoténnicas). Por exemplo, é uma linha de nível o conjunto L(4)= {(x,y): x2 + y2 = 4}. z

y

am IR"

em

de

tem-se para k > O, y,

y,

y,

E

E

+ (z~

+

e

as

EXEMPLO Hl,3: Determine o domínio e esboce o e trace ~·,,,·~·m~u das suas linhas de nível. =

dos campos escalares que se seguem

.J1 - x2 - y2 .

= 2-x2

e)

=1-x-y.

e)

=

Escrevendo z=

::::::> x2

+

+ z2 = 1.

h1tegrn! em

n~ em~

Um processo de obter o f IR2 ---'> duma linhas de nível. com os coordenados e Neste caso, a com o (z = rências de raio l e centradas na As Hnhas de nível são da forma = k,

> O)

~

x2 +

= l --

O
São circunferências centradas na

o

e de raio menor com z ;;;:: O, de raio 1 e centrada na

maior for

z

y

X

o

o

z = 2 - x 2 - y 2 tem por domínio IR2 º (z = é a circunferência x 2 + com z = 2 - x 2 e com o (x = éa ~VºV•V•~~ de vértice em O, 2) e com a concavidade virada para baixoº

y

2

y

De forma semelhante se obtêm os

z

y X

cónica. '2ll =

e)

Plano. '2ll =

z

z

y y X

-l::;;x::;;l}.

e)

EXEMPLO IU.4: ~~v,cnAU""' ~V as y, z) =X+ y + Z. e)

y, z) = ~9 - x 2

entre

-

y2

-

z2 •

y, z) =ln (4-x2

+

de nível de cota k são dadas por x + y + z = k. São o de cota zero passa

casos: k>O~

-z2 =O, _ i/-i. + i;_k

em tomo do eixo dos zz. cónica de em torno do eixo dos zz. de 2 folhas de em tomo do eixo dos zz.

e lntegrnl em lR e m.n ~~~~~~~~-~~~~~~·

y,

e)

x2

o contradomínio?

y,

y,

x2 +

-z2 <

+

ln (4-x 2

.As =

y, a discussão sobre o vafor de k?

~L'>dl.!<.il:""-'J'"-'~·"-'""

111,5:

iso,term11~as do campo de ten1perat1 seg;mmttes fimçõe:s. Esboce ""l''"u'"'" dessas Hnhas.

1) Determine as linhas de nível

no

=xy. =are tg

+ Considere o campo de A

rm:ss~Jes

dado

. Determine:

"""'"'u"''" dessas linhas. =3x+ L

Determine as '"'~''" ''"

y,z)=x+y-z. y, z) = x2 + yz.

e) e)

y,z) em JR3 : y,z)=x2

y,z) =x2 +y2 -z.

y,z)=z-

xz

x = y tg k, k ;;1: n:/2 + mr, n E 5x2 +

2,

3,

Planos. e) esféricas. e) Parabolóidles.

=

cfündricas de directriz cfündricas de directriz circular. supericires de cónicas com vértice em

O,

X,yE

... ,

x=

ey=

X

a norma vector x-y. -se 1

Br(a)

= {x E :IR.": d(x, a)< r} j se n

a

= n=2,

éum

centro a e

= 1,

-r, a+

r.

n= 3,

é uma

uma exterior a X sse

menos um

uma

centro em

são

a

int X u ext X u front X"' IR",

o

X

aberto sse

e a sua

1

ao seu Xà

1

X = int X u front X 1 Então 1 ext X = IRn \X 1 centro em a uma sucessão

Prova-se que um

ao seu

uma

uma IRn

que X é

de centro em a,

lfüem"""i"I

em IR"

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

não con-

eB

X e IR.n. Determine o isolados de X

EXEMPLO UI.6: Considere os e conexo.

IR..

-1,

E

xy > l}. e) X= X e IR. 2 é o domínio da

e) X e IR. 2 é o domínio da

X= X=

-1l < X -1l < X

< A < 11:

X

E ()

A

X

\f: ()

A

ext X=]-=, l[ u ]5, +oo X :;t: X~ X não é fechado. X é

y y

E


E

=0. uu,,na
int X= ]-1, O [ :;t: X~ X não é aberto. front X= {-1, u E X= O] U X= 1/n E = E X'= [1, X:;<: X~ X não é fechado. X é não é cornoa1cto nem conexo. xy>l}=X~Xé

e)

xy = 1}; ext X =

xy

< l}.

xy ~ l}. X:;<: X~ X não é fechado.

X não é

=0.

nem conexo. y

X

m>r1~rmm

e Integral em IR e IR" ·~~~--~~~~~~~~

intX = front X"' extX= X = int X u front X

0:::::} X'= X.

X não é

IItl e

se

ou conexos.

São abertos: III. l

m.1

É limitado: IH. l

São fechados: III.1

•

é,

=e, sse

escrever-se:

no caso

=esse

(x,y)~(a,b)

EXEMPLO m:.8: Prove que lim (x,y)ry(0,0)

X

+

=O.

São conexos:

Há que provar que:

>O, 3

Como

lxl::;;

temos

lx se

>0:

+

+

+


+

<

<

então lx

como se ,,,.,.,,t_,,,,-1,. achar e tal que

<

+

<Ó,

Neste

são

8 e

+

se

em

vezes

::;; +

+

::;; etc.

+ y2;

não

X----- a ------X

(x, y)

e para todas as rectas.

e

EXEMPLO UI.9: Calcule os limites direcci.onais em

l) de

umm'!~i1Utlll em

IR"

.~~~~~~~~~~~~~~~~~~·~~~~~~~~~~~~~

., ª·"'"""''ªv de eixos definida por X = x + 2 e Y = y- l, transforma o dos limites direccionais em O) da

dado no cálculo

xyz xz +Yz

Ficará xy2

~--=lim

Hm

X->0 X 2 + yz

X->0

Y=mX

limite ao

EXEMPLO UUO:

o limite na

x-3y

b)

+5x

=

e)

e)

xy

8x 3y

= ~xz + y2

+y2

y,

=

x+y-z

=xsen

-y

Calculemos o limite ao

·

das rectas que passam em

x-3mx

Hm - - - -

2mx + 5x

,_,o

y=mx.

l-3m 2m + 5

de m, não há limite. Este é um em que uma ""'º"',.""'''"" directa concluir que os limites iterados existem e são J:ambém por este meio se conclui que não existe Hmite. Com efeito m::1p1:::rm1:::

nP·nnitP

1 e Hm y->0 5

Hm x->0

O limite ao

das rectas que passam em 2

Hm x->0

x mx -Hm 2 + x2 ) x->0

da formay = mx, é:

Como o limite não entre x e y na

de m,

ou

mas se

é zero. Da

somos levados a tentar o cákufo do Hmite ao

da

y = x2:

1

4 Como o limite ao e) O limite ao

das rectas, não há limite.

das rectas que passam em

y= mx, é:

8x 3mx lim ----=0. x->0 x2 + m2x2

haver limite. Neste caso, como o numerador tem um grau """'"'"""'' que exista limite e O. Vamos tentar

'\ló>

o,

8x3yl

1

~--<ô.

>O:

x2

+

Como

+

<ó,

então xz +

< % =:> , fica

+

< que o limite é O.

Os alunos concluirão facilmente que os limites iterados e direcdonais dão O. Pela"'"'"""'''>'«"·

ô. Basta tomar e:::;; ó. Então: lim (x,y)->(0,0)

9~=0

~ x2 + y2

,

porque

'liô >o, 3

0<

lim

e)

(x,y,zH•(O,O,O)

x+y-z 2x - y

Vamos tentar os limites iterados:

Hm

=lim

x->0

x->0

lim

=Hm

y->0

y->0

1 2 ,,,,_l

Como os limites iterados existem e são diferentes conduimos que não há Hmite. limites iterados ser considerados neste existir limite duma mesmo que não exista um dos limites não existe Hm (x sen

mas existe

y->0

mais

mais de uma num só de uma variável. Com efeito Hm

(x sen

=O,

(x,y)-4(0,0)

porque

basta tomar e : : ; li, para que se tenha

'lio>o,3

>0:

ou

EXEMPLO 111.11:

se as

*

se se

se y ;t. -x 2

= -x 2

se y

+

=

e)

x-y x2 +

se =

se

Conforme vimos na aHnea e) do -···~..·.-·~ -···-···~-,

tem limite O no

=O não tem Hmite no

A

será contínua em

sse

O)= 2.

das rectas y = m x, que passam em

Calculemos o limite ao

li.m

x-mx )

+x

+m 2 x 2

x->0

1-

=2+limx2 m2 - - = 2 . x->0 l+m 2

Provemos

'ífô>

o

x-y 1 ~~-2<8.

>O:

x2 +

~x2 +yz ·y2 lx+(-y)I x2 +

~--~<

=

O) e

+

+

=2

+

)<Ó=?

< !?_ ::::> 2

~ x2 + yz

<

basta tomar

sem;

EXEMPLO 111.12:

indicados:

y, z) *

se

O,

y,z)=

= e)

em

(x + 2)(y- l) 2 -1)2

y)=k-:,-y'

se

y,z)=

O,

se

*

1) '

se se

use a linha x 2 -y +

x2 +

*

1)

=

1)

l)=O;em

em

=

+ z2 = r2 . Então ficamos com o limite duma 2

Hm sen r = 1 =

duma só variável:

O,

r2

r->0

é contínua em

O,

Como se viu no ~, ..-...~·~ da

xyz +Yz

se se

=

Integral em IR e IR" ~~~~~~~~~~·

~~~~·~~~~~~~~~~-

Hm

=0=

(X,Y)->(0,0)

ou

a

dada <1} u

e) será continua em

A

1)

sse

Hm

1)

=o.

(x,y)->(0,l)

Hm x+2

x

~l-x 2 -(mx+1) 2

Consideremos a circunferência de centro x2 -y+

O Hmite ao

y = mx+l:

das rectas que passam em

Calculemos o limite ao

e raio

=O<:::>x=

da semicircunferência x =

é

Hm~=~=Hm y->l

=O.

= 1,

y->l

não há Hmite da

das

no

•

é contínua nesse

em a e

g

n S1lg n

então g,

*O,

. g,

são continuas em

EXEMPLO HI.13: Determine os

b)

+

are tgL

se

X

se

=

O)

""'"'""·"""' em IR"

~~~~--~~~~~~.

= xy é contínua em

é continua em IR 2 é continua em IR2 •

E

'21l = IR 2\ f

do domínio que são diferentes de a é contínua porque é o denominador diferente de O) e c01np1os11;ao de contínuas. ·~~, " 0 ·~ é continua

Nos No

<

X-?@

se

E

q)J f

se x=a

aé

que,

q)j, como

é

que

a

o

que

X---7ll

o

ser um q)j

e IR n

_,,

IR

num

asse não

a esse EXEMPLO IIU4: 1)

<0

se se se xz Estude a

~

>0

nesse

Calculemos o Hmite de Considerando os limites ao

por

tende para

x2m x-.o x x 2 m2

Hm

2 -

tais que x2 -

> O.

m

-~-

1-

do declive das rectas, não existe limite O) nem é por continuidade a é contínua em descontínua neste V.W,JVHMV>.U

xz

front 2ll =

=

o

foi estudado. Analisemos os derando os limites ao das rectas que passam em

X ---------"-~

ª2 o

= ~ = oo,

a) e

a;t:O.

é por continuidade aos O mesmo se passa para os Considerando os limites ao das rectas que passam em -a), y = -a + m (x -

lim _ _.::..._ ___::__~e__= - - =ao,

o

x-M

por continuidade aos 1us.u111cand~J,

se a defini.da fronteiro ao domínio. Em caso afirmativo

O domínio

a:t=

O.

KIVl>rlll"'""I

--------·

'íf a E

=

front 21\ =

das rectas que passam em

os limites ao

+

Hm

em IR"

y =a+ mx,

are tg 1/x =O,

x~O

are

é limitada. Provemos

=O.

Hm (x,y)~(O,a)

vô> O, 3

are tg

J

< ô.

Como

IYI =IY - a + ai :<:; !Y - ai + laj, are tg

1

:::;

+(y-

2

·Ux2 +(y-a)2 +

2

(1 +

+

basta iuu1ar

Note que o resuhado anterior é válido porque como

x2 + (y-

tende para

+

< 1,

A

A l are tgx

se se

então

98 Eleme11tos de Cálculo IJifereíldal e Integral em IR e m.n - --

Consideremos um campo escalar definido em IR",f S1l e JRn -7 1R e seja a E int 91. Pretende-se estudar a taxa de variação do campo a partir de a quando nos deslocamos numa certa direcção. Suponhamos que nos deslocamos de a para a+ v. Cada ponto do segmento que une estes dois pontos é da forma a+ ílv, À E [O, 1] e a distância a aé jjítvj\ = }~\\v\\. A taxa de variação é, portanto,

f(a+Jw)- /(a)

Ji,\\vl\ Def. III,3.3: Seja/
f,'(a)=lim f(a+Âv) - f(a). V

Em particular, se n

À.---;>Ü

À,

= 2, com v =(vi' v2) um vector de IR 2 e (a, b)E

int 91, temos:

EXEMPLO HI.15: Calcule !.,'(a) para a ) f(x, y) = 2x-y, a= (-1, 2), v = (1, l). b) f(x, y)= xy + 2x2 , a = (1 , l), v = (2, 3). 2

e) f (x,y) = ~ sex+y:;1:0, a=(l, - 2), v=(-1,3). x+ y

Resoh1ção a) f(a) = J(-1, 2) = - 4; a + ílv = (-1 + íl, 2 + Â,); f(a + ílv) = f(- 1 +À, 2 + Jl) = =-2 + 2Â-2 - Â= - 4 + ít; f(a + Âv) - f(a)

= Â;

f '(a; v)

= lim)., = li~ l = 1. Â->0

b)

e)

f(a) = f(l, 1) = 1 + 2 = 3; /(a + Àv) = f(l + 2Â, 1 + 3À) = 3

/ '(a,. V ) -- i·l ffi 13À + 14).2 -1 3. Ã....o Â

Â

Â->0

+ 13Â + 14.í\,2;

em

. e)

= À.->0

l

=limÂ

À->0

-8

=lim

+

À->Ü

=

=8.

+

Â

•

+

z

n-~--'~~~~~~~~-~---

y

X

=

e lntegrnl em IR e IRl!l

EXEMPLO HU6:

1,

a

ratura se mantém constante.

1,1)=(1,0, O, no

que a derivada d:ireccional

l

1, l) =

llvll

então l vl = Há que provar A= l, 1) é nula.

1 Hm -------~ À-.>0 íl

""o. uma

uma

um campo

teremos

+

+

=x + ,a =

EXEMPLO IR 17:

2) e a Hnha Y"" x

=

º

= t2 =t

+

4.íl 4.íl .íl2 8JL )L2 =4+--+4+--+-=8+--+-

+

F7

F?

17

ffi

17

íi,2

8+--+--8 =lim ds

J17

17

ít

1..-,0

=lim~--=

8

1_,o

"'""""''., uma

num

µ,_,,,..,-,,..,, tomar u =cos a e] + cos f3 e2 =cos a e] + sen são os cosenos

aE um em que a e f3 são os vector. Em

u = cos a t\ + cos f3 e2 + cos EXEMPLO HU8: Calcule a

se

Ir* o

se

r=O

se

Jr""'

=

e)

(1· =

o

de:

se

r :;
se

Jr

=o

se y ;i<:-x =

se

e)

das derivadas direccionais em

=

r=O

se y=-x

=

+

se x·y:;<:O

+IYI

se x·y=O

= lim - · - - - - - = lim À

A-->o

A--;0

-~-

cosa, íL sen

À

a sena

é contínua em

=

sena

Hm - - - - - - = oo, se À-+0

íl,3

11:

a* 0,-. 2

=O.

e)

= lim - - - - - - - - = Hm - - - - - - - il~O

Â-->0

cos 2 a

--~

sen

que é finito se sen a :;t:, O. Se sen a= O, então = O. Note que esta tem derivada direccional finita em apesar de não ser continua em O) como se viu no "'"''~U-'!Jlv Facilmente se verifica que é descontínua em em O) é

O) e a "'".'""""'

-2 sena = lim ------=O il-->0 Nos restantes casos a derivada direccional não existe. e)

Caso contrário a derivada direccional não existe.

0

Q''"

das derivadas direccionais

se sen a"" O.

+ +

=

EXEMPLO 111.19: Use a

e)

=2x-y

a=

=xy+2x2

a=

, k, r

E

v= v=

1)

IR n e k vector constante.

, em quer,

linear.

+ t, 2 + = 1, mas como

+ t) - 2 -

+ t, 2 + t) =

;;f;;.

1, então

=

t :::::

-4 +

e !ntegrnl em IR e IR" a+ tv = (1 +

+

l +

+ (1 +

llvll=

+

3+

+ escalar

+

= (1 +

+

+ 13

=2+3+8=

e)

A derivada do

1+

+

=

+

é dada por:

+

+ + +

vector (1,

f(a + h, b)- f(a, b) h

outras

= para n = 2, a em ordem aye

vector

+

outras

São

= EXEMPLO Ilt20:

e)

as

2)

e

2)

= y lnx.

O)

e

O)

=

e

O)

derivadas

se

::;t

se

=

se

::;t

O)

=

O)

se

O)

e)

se

e

O)

e

O)

::;t

=

O)

ry

se

O)

se y ::t-x

;+y se y=-x

°\la

e

=

E

{:+

se

::;!:,

se

=

2 = Hm /(e+ h, 2)- /(e, 2) = lim 2 ln (e+ h) - 2 = Hm e+ h = ~. IHO h h-->0 h h-->0 l e 2)=Hm

k

k-->0

O)=lim h-->0

=Hm k-70

h k

l11tegrnl em IR e mn

O)

e) Facilmente concluimos

O)= O. =O.

Facilmente conduimos

_!: _ l e)

l . l- l l' =im--=Im

h

h->0

h

o=.o

h->0

-k

--1 . k -2 =oo. O)= hm-·~~ = l'mak->0 k k->0 k

= Hm - - - - - - - =

h

h->0

1-1 Hm - - =O h->0 h ,

'v' a e IR.

ª2 -k2 l+ak---1 = l:im - - - - - - = lim --~ª~2~+~k=2__ k->0 k k =lim k->0

ª2 -kz

ª2 + kz =a,

Se a= O,

se

a* O.

1-1 = H m - - - - - - = Hm-- =O. k->0

k

k->0

k

+

ser

ser

Tratl:Hle de casos

"""'"'""J'H'"'' feita no ep1:es<:nt:im, ~'"'''"º'~ 0 ~•0 as roxas de considerando agora u "" e1 e u = a, a do eixo dos xx e dos yy, res:pe,cwvarne11te.

z-c=

b)(y-

z-c=

z

b

y

------------ ----------

::;;--t~~:b)- ------

, os vectores u e v u= v=

rectas e s:

e lritegrnl em IR e IRn ·-~~~~~~~~~~~~-

-~~~~~~~~~~~~~~~

vectores u e v

não são

=o, ou

x-a

y-b

1

o

o

1

=O~=+- /(a, b) =1; (a, b)(x -a)+ .fy' (a, b)(y- b).1

determine uma

do

do

uma

ao

2,

será

z- 2 = 2/e (x- e)+ y- 2 <=> 2x + ey- ez- 2e =O. +

EXEMPLO UI.23: Admitindo que nas que se seguem PO(Jen1ü usar as regras de dericakule as derivadas de l .ª ordem de: x lny e) xy sen

-x

l

y2

y

xz +

e)

=y

-

"'

ln X

l+-

xy z2

=x

-

X

--xz=-~

z

=

lnx ·

:::

x)

lny.

•

+

+

+

=

em . (1-

, AE

+

1[

=llCx, determine íL

E

1[ tal 1)

(1,

+

no

-----··--------------------

e "'"'""""~~u

em

e as

por:

Note-se

x'

Y'

x'

=

y·

que as

=

=

e

X

calcule as derivadas lny.

de 2.ª ordem de: e) xy sen

1/,.

derivadas

ô àx

ô

y

ô àx

,

X

=-;

y

o àx

o

=-

àx l

e)

"'sen-; z

z2

X

l

z

z

- - cos-; 2

z

3

cos-·

""º;

z'

1 cos - sen-· z z4 z'

f"""' yz

-1)

y' lny

Calcule as outras derivadas de

EXEMPLO HI.27:

=z

xY'-1

lny. admitindo que

definida por

se se

""

+

z

e Integral em IR e IR

11

=lim h->0

=Hm k->0

= lim k->0

,.

0-0 h

=um~-=

h

h->0

o

0-0

=Hm-~-:o::O

k

k

k-+0

=Hm

e

k

h->0

h

----O = l i m hz+kz =Hm---=l. = lim h-;0 h->0 h h-->0 + k2 h

=lim - - - - - - = l i m k->0 k->0 k

----0 h2 k2 hk ' =Hm---=0. k lHO -\- k 2 J_

1-0 O) = 1i. m -k-+o k

0-0 O)=lim--=0. h->0 h

por

+

zero

EXEMPLO HI.28: y · are tg - X

· are tg y sex·y =O

.

= Hm ~~~~--~-­

0-0

= Hm - - - - - - = hm - - = O

h

h->o

k

k-40

k->0

k

h2 · are tg -kk2 · are tg -h = Hm ' - - - - - - - = lim h k k-+0 lc-+0 k k k are tg= Hm k->0

k

are tg

-Hm

are tg

= Hm h

- O= h · l = h.

k->0

h que a

O) = lim ~!,,_'-----"-k-+o k

0-0

= Hm ~--'-~~~ = Hm - - =O h-+0 h h--;.O h

= Hm - - - - - - = Hm (h are tg h-;0 h h->0

h are tg -limk h k =0-k·l=-k. h->0

k

= lim -"-----"-'-- = Hm --k = -1. k-->0

k

k--;.0

k

nem sempre são ""'"'"' .nv anterior como se verificou no ex1~m'D!O HI.27. É por vezes útil conhecer .,...m.,~~~·~ das derivadas cruzadas. 11

então

em IR e IR"

Por tem-se:

e

=

=

EXEMPI..O Hl,29:

é

e

etc.

=

IR 2 -+ IR definida por 1 seny

sey;t.:O sey= O

Calcule

em todos os

Existem Schwarz?

do

de IR 2 e determine o

Xde

nos

X onde

teorema de

1

sen

ô

=-

ôx

sen-+ y

1

l

cosy

l l sen--x cos y

1 1 sen - -cos-. y y

Para y = O tem-se:

= Hm ------~ = Hm ~º--~º = Hm O= O. h-tO

h

h-+0

l

sen--cos-. y y

h

h->0

=lim k->0

k 2 sen _!__O k =limksen_!_=O. k k->0 k O)

0-0 h

= Hm ~----~-- = Hm - - = lim O= O,

h

h->0

h->0

h-;;O

l

sen--0

= Hm - - - - - - - = lim ---=k~- = Hm ak sen _!_=O. k-00

k

k

k-tO

l

l

y

y

sen--cos-

k-tO

k

sey*O sey=O

.,,,.,,._..,.,,.., não

teorema de Schwarz nos da forma de nenhuma delas é continua em

EXEMPLO UUO: Para a

O)=O,

que O)= 1. Contradiz o teorema de Schwarz?

é contínua em

e h1tegml em IR e IR11

116 =

Hm "--'---'--..:;._~~ = Hm Q = lim O= O. h

h->0

h->0

h

h->0

x2 _ yz = ... =X - - - X2

+

ser* O

--'---

= Hm -----~ = Hm Q= Hm O= O.

k

k--+0

k->0

k

k->0

Então:

ser= O

ser= O

Facilmente se conclui que

e

são contínuas em

iJ2f

O)

~---~--

ôx

k->0

k

-k-0

= lim - - - = -1 k->0

k

x6 _ y6 + 9x4yz _ 9x2y4

+ y2)3 que Schwarz.

e

são descontínuas em

+

llz

+Ax,y+

e por isso não é

o teorema de

mfüe1m,[J11

em 1R"

1

~~~~~~~~~~~~~~--~~~~~~~~~~~~~

z

Az ------

y

a

Pe

cotas

EXEMPLO 111.31: Se z = xy + 2x 2 cakule: A de&. nos deslocamos de

& = (x + = xy

/jz

=X

+x

(y+

+ y IJx + IJx

+ y IJx + IJx

+

1)

use & para calcular

-xy-2x2 =

+

+ 2x 2 + 4x IJx +

+ 4x IJx + =

1) para

+

=x IJx = 0.01

-xy-2x2

+ =-0.l

Az =-0.l + 0.01-0.001+0.04 + 0.0002 = -0.101+0.0502 = -0.0508.

/jz

= 1.01

X

0.9 + 2 X l.0l2 - 1 X 1 - 2 1) + /jz

=3 -

X

l2

0.0508 = 2.9492. •

11iti>r<>m·i11

e Integra! em

e IR"

-------

Hl,5:

e

E

porh ou

e

kou

z éum +h, b+

à

o erro

=lj(x-a,yÉ

z

com

(ólwlo Diferencia! em IR.11 .119 ~~~~~~~~~

variável não basta existirem e serem finitas todas as derivadas parciais def num ponto para quefseja diferenciável nesse ponto. O que é relevante para que uma função seja diferenciável em a é a possibilidade de se poder aproximar a função, em a, por uma aplicação linear. Geometricamente este facto traduz-se por: em IR, que existe recta tangente ao gráfico de/ em a; em IR2, que existe plano tangente ao gráfico de/em a. Seja, por exemplo, a função f JR 2 ----t IR, definida por:

f(x,y)=

{~

sex· y =O sex· y=~ O

Tem-se

J;(o, O)= O e J;(o, O)= O, mas/não é contínua em (O, O), logo não existe plano tangente ao gráfico de/em (O, O), ou seja,fnão é diferenciável nesse ponto.

Def. 111.6: Chama-se diferen cial de z= f(x, y) no ponto (a, b) e representa-se por dz ou df, a

df(a, b) =J;(a, b) · L1x +J;(a, b) · óy. Se considerarmos as funções z = x e z = y concluiremos que dz =L1x = dx /\ dz = Lly = dy, respectivamente, donde, chama-se diferencial de x e de y a L\x e .6.y e representam-se por dx e dy, respectivamente. Teremos então que o diferencial def se pode escrever df(a, b) =f'..(a, b) · dx +J:(a, b) · dy. y X

De forma semelhante se define diferencial duma função escalar diferenciável f de n variáveis, num ponto a

d/(a) =f,'x 1 (a) dx1 + · .. + f'xn (a) · dxn

n

='Lf' (a)· dxk . xk

k=i

e lntegrnl em lR e lR

11

EXEMPLO III.32:

se são diferenciáveis nos

sexy ~O em

z= sexy
=x. Note-se que a

será diferenciável em

sse

lim (Llx,Ay)->(0,0)

Pelo exercício HI.31

8z = X

+ y Llx + AJC

+ 4x AJC +

Então

xAy+y.Llx+AxAy+4xAx+2(Ax) 2 -(y+4x)·Ax-x·Ay =Üq ~(Ax)2 + (Ay)2

Hm <11x.t.yJ-;.(o,oi

.ç::,

. 11m (Llx,t.yHo,oi

a

AxAy+2(.Llx) 2 =O, ~(Ax)2 +(Ay)2

dada é diferenciável em

As derivadas em

O) têm de ser calculadas

0-0

= Hm - - - - - - = lim ~-=O h->0

h

h-->0

h

= Hm /(O, k)- f(O, O) = lim O- O = O. k->0

k

será diferenciável em

lim (h,k)-'>(0,0)

k->0

k

O) sse

l:im (h,k)->(0,0)

-r====O.

Tomando k =

fica

não existe

não é diferenciável em

que a

EXEMPLO IH.33: Cakule o diferencial dz para z = xy + 2x2 º

= (y +

dz

dx+x

exonu EXEMPLO IH.34: Use diferenciais para cakular um vafor apr0ox1m1H:10 da anterior no

(LOl;

Tomando

=(l,

dx=Ofüe

=-0º1,

teremos dz = -0º05º Então

1) + dz

,l)+&

Q

/(LOl;

Note que o erro que se comete tomando dz em vez de & é de

&-dz --- X

1)

n

Para uma

111.7:

f

IRn

~IR

100% = 0º0026%º •

tem-se:

em a e

051' sse

""20950

e Integral em IR ~~~~~~~~--~~~·

por vezes

o ao = 3x 2 - y 2 + X -

+

1

·sen~~

x+y

e)

+ 3.

sex + y :;
ser ""'"""'""'"",ri que não existe é de classe C 1,

um cone com vértice na diferenciável

z

. (x-

b)

b)·(y-

z

2

. /. . ><./

y

o Nos restantes dado por:

de dasse

e 1 em

é diferenciável em IR 2 •

=L

1

=-5. é:

z

O)y~z=

X

3 +x-

é de classe C 1• Para x + y =O:

e)

- a)= lim "-'---'--~-__e_ =0 h-+0 h - a)= Hm "------~-­ =0 k-+O k

+~k-aj-ajk - - - - - - - - r " = = = - - - - - ' - - - - = O~

Hm (h,k)-->(0,0)

l sen-h+k =0

+ ~

li.m

-Jh2 + k2

(h,k)-->(0,0)

.

Temos um limite duma de duas variáveis. Calculemos o Hmite rectas que passam em k = mh.

das

1

·sen---

h+mh _ 0 -

Hm

,Jhz +m2h2

h->0

Então o limite

1 h+k <8

·sen--

+ > O, 3s > O, ,Jh 2 + k 2 < e =:>

1 h+k ,Jh2 + k2

·sen--

l·lsen~1 1~1 h+k

=I

:;:;;

diferenciável em

=

< 8 =:>

o

em

1~ 8

ô 3

-=:>s~-.

é z"'

3

o.

que provar que

ema, então

=0,

e

+ i=I

i=I

+I

I· se tem

+

em

e

l/x-


< E, então

aE E

então IR e tem-se: 11

f(a + Àv) - /(a) À

k->0

ema,

escrever-se

+

+

com

=0.

Então

=

+

num

+

-1

se x 2 +

::: l

se x 2 +

>1

e l11tegrnl em m e 1R" Estude~a

à diferenciabiJidade e continuidade. Calcule a derivada direccional e) Escreva uma do

Para x 2 + Para x 2 +

> 1,

diferenciável

e existem no x2 +

A=

e

<1 diferenciável em A

menos uma delas é continua nos No nem sequer existem as

f

v,,,,,,,,,,,., agora o que se passa nos

=L

tal que a2 + b 2 = 1,

"""O.

= Hm -----~-~ = lim "'----h

h->O

Se h é tal que (a +

+ b 2 < 1, então .

= hm

1-~(a+h) 2 +b 2

•

· = hm

h

h->0

Se h é tal que (a +

h

h->0

I-.J1+2ah+h 2 · · = -a. h

h->0

+ b 2 > 1, então

+ b 2 -1

= Hm - - - - - - = Hm h->0

h

h->0

2ah + h 2 h

=2a.

isto é se os umcos circunferência nos diferenciável são FacHmente se verifica que não existe é diferenciável em nenhum da circunferência. Condusão: B=

x2 +

=lv

=

não é

um desses

é

contínua em B. Nos ou nã.o ser continua. Há que estudar a continuidade na da circunferência x 2 + = L É evidente que a é contínua em numa bola de centro neste

que

uma tais que a2 + b 2 = l, tais que x2 + y 2 :::;; l é zero e o Hmite tais que x2 + > 1 também é zero, em IR 2• diferenciável em ser cakufada por:

""'''"'v''" contínuas. Nos

tende para por

a derivada

se trata duma derivada direccional o vector v tem de ser

No

(1,

temos x 2 +

neste caso será

> 1, =2x e

=

então

=2,

=

donde

e)

é diferenciável neste

a

z-

+

+

ou

+

-<::=?z=--x+~~y+l.

2

2

2

e i11tegrnl em 1R e mn EXEMPLO IIU7: 1)

definida

esboce-o. Determine o domínio 0J ······~,·-~ o o exterior e a fronteira de®. Será 0J aberto? E fechado? 0J não é limitado nem conexo. e) Calcule

com a

E

que

IR e a:;<: O.

Considere uma

x2

~

=l+xy---

x2 +

Sabendo Calcule

contínua na

determine o vafor de

onde a é um número real rendabilidade em

à dife-

Determine o domínio e calcule as rm1c111es. nos em que existem:

de cada uma das

xshy

= ,Jx2 + y2 guma

=

·

diferenciável em IR e dt.

Calcule

dt.

em 5) a) b)

o e) Estude a e calcule

O, 6)

guma

real definida em IR 2

+y

sexy>O sexy:::;o

Calcule

dg e-

Calcule

concluir 7) Considere a

à diferenciabilidade de g em

IR2 ->

definida por

se onde a é um número inteiro.

"'O

à diferenciabilidade em

De 5.1

catetos medem 4±0.01 e 3±0.015

(x;:::: O y >

V

(x ~ 0 AY <

cen-

e lntegml em IR e

int qj) =

Front qj) = =;}

(x < 0 Ay<

y> x:::O

::/= qj) ::::} qj)

não é abe110.

,qj)=

qj) não é fechado.

e)

O)= O.

2.

O)= l,

= 1.

fün (x,y)-t(O,O)

Se

3.

é de classe C 1. Em

=t

qj) f

'li a E IR.

= a,

=0;

y2

=

=shy---~

+y qj)

f

=

=

2)3/2 ,

f.y = x2 e-x'y' .

+ 5. Int qjj =

O,

Ext qj) =

Front qj) =

O,

qj) é conexo.

e)

diferenciável em qj];

+z 2)2 2z

= O, 1) =LO~ 1.0 +e· e- 1 • 2

= 2.

,

=O.

= Hm ~~~~~~ = 2 ;é LO+ 1.0 ~ g 7. Se

não é diferenciável em

À,

À->0

::;; O, então

é diferenciável em

Se a> O, então

O) e prova-se,

O)= O sse a> 2.

diferenciável em

=x z 11Yno

=

3, 8) =

=2;

=5 ·

3, 8) =

3, 8) = 5.1

"'5.

""

· ln 8 · ~1

"" -

2.3 1;

l y

+

"'10 + 2 X 0.1+2.31X0.1- 0.42X0.11z10.39.

5.1

o erro relativo é

10

""10.397. X

100%"" 0.7%. temos z 2 =x 2 + y 2•

X=

3

z=

= ±0.01.

dx"" ±0.015. y = 4

= t = 0.6 =

diz= 0.6

+0.8

X

~

t = 0.8

--0.017
Portanto a 1.up1otenm;a é z tal que 5 ~ 0.017 < z < 5 + 0.017. t

=--0.l;

e lntegrni em

=a e y=

IR

~

~

~

~

z

~

to

que

=

z em t0 e teremos

é

=

emquer0 =

+

ou, como

X

"'.>!

z

t

"'.>!

A

2.ª

y

l1

m"'"'"'"' em IR11

~~~~~~~~~~~~~~~~~~-+~~~~~~--~~

em que

X

X

":>!

":>!

t

":>!

y

t

/1

":>!

y

tem-se:

Se o

dt 2

=

a expressão

dt 2

em ey=

em Então prova-se que

z em

e

=

=a

+

+

=

em que

t

/1

X

':.!

z

u t

':.!

As

se

EXEMPLO III.38:

e)

e

':.!

u

são

que as rur1ço1es dadas são

=xy+2x2 /\X""

ôx

y

calcule:

Ay=

t=xlny.

+

+

+

sendo

y, z)"" ln r, em que r ""

= F

y, z) e

r=

e i' ;to.

em IR"

X

dt

=

dx

= +

-+ dt

":>!

+ ":>!

y

X ~

":>!

ax

Faz~se

v=

y

y

a

=2x

e)

X

lny;

=::> u = x 2

óU

-=2x

ax

iJv -=2xF

+xz

+x 2 F'

ax

iJv = x2 F'

y

-x

e) Há que cakular

õ

iJ

Ô

ax

ax

ax

ar2

X

l·r 2 - x · ---~~-"""'-

r 2 -x 2r-

=

-~-r,,_

r4

r2

-

2x 2

r4

tiramos facilmente as outras duas e, por

+

=

=

+

vem

r 2 - 2x 2 + r 2 - 2y 2 + r 2 - 2z 2

3r 2 -2(x 2 +y2 +z 2 )

r4

X

3r 2 -2r 2

r2

==-

=

ô

=2

;)=

+

Ox

x3 -

2x 3 y3

Ov -+2x Ox

+2x l l --=2 yy

1

-+2x y

+2x

X

em que v=~. y

+

+

l

~-=

y

ox y

4x

+y Ov 2x -ry y3

-x y2

3

y3

Ov l

-+

-=

x4

=-F'(v)+-

x2+x4 +( y2

y4

J

EXEMPLO Ili, 39: Mostre que: w

+

Fazendo x 2 +

=> y

-x

=o

b) u

=x2 F

= u, temos w

2x.

au

=>x-+y-=2u.

y

Fazendo v = obtém-se

temos u = x 2

8u

x3 +-

8u

ax

V=

=O.

Atendendo aos resultados obtidos no

x-+y-=

e) Fazendo

2x-

-X

XJ

y

x;y temos z = xy +X

III.38

=2x 2

y

=2u.

donde

ôz -=y+

1

+x

ax

X

+y

~=y+

y

ôz -=x+x

dz

()z

x-+y-=xy+x

xz

+y

x2 +xy-y

..

=xy+xy+xF

V=(~~ ax , , , a 1

= i=I

=xy+z.

+

e integral em IR e IR

11

ser

momento este

cosa

que

+···+

+

r=

~e~

:1

uma

e

como

ei + ... +

= vem

=

O@Q'

ou

= nos

aem

em

z

u=

num

e v=

l

+

z

e

+ <=:>(F'x' F'y'

=0,

+

z-c

- a F'x F'z

=0.

g

/3 ou

=

E

o constantes.

O seu

+

2,

V

EXEMPLO III, 40:

+

e) e-x. (xz

em que

nos

-4xz + 6z2 •

+

2x2 -

e) ln

em quegot- O.

nos

b)

z xz +

X

---+-+

dos campos: y)

,

2

+y +z2)3/2,

+

ln r, em que r =

e

se em quer=

;i:

z

+z,

+

o

e reIRn.

lf E

y)

;;t.

=

h)

no

se

+ y 2 -4xz +

;;t.

- 4z , -3x +

-4x +

-x 2 + y 2 - 2xz -2xy- 2yz 1 -----e+ e+--+y2)2 i +y2)2 2 x2 +

e)

+

+

+

2x 2y =--e +--e+ x2 + 1 xz + 2

(z X

== -3 r

-4x

- z e -3 r

r

i

3xz

=-~e

rs

1

-

+

-4y

- ze +

r

-3

z

r' e z

e3 =

+(~--) r3 rs

+

+

+

+

=V

+

+

=

Cak:ula-se

1

X

X

r r

r2

e daqui deduzem-se as outras duas. X

V ln r = - e + rz

1

Z

r2

e +- e = z

r2

3

l

r2

e1 + y e 2 + z

<=:> V ln r = -

1

rz

:r.

Tal como na alínea anterior basta calcular

5r

De modo uu•"'-'l''" se calculavam as derivadas µ~·-·~·u em ordem às restantes n - l variáveis. Então

r

f'(r) x e +--x e 11

r

22

f'(r)

+···+~-x

r

e <:=:>'V

nn

r

= O cálculo destas derivadas foi feito no HI.27. Note que este vector não tem não é diferenciável em por um lado é o vector nulo e por outro a

EXEMPLO m:.41:

Como dois vectores são

tem-se:

=

::=';Jf=

=

~!=

xz

+

dx=2

y2

=xz-+ 2

z2

dz=-+ 2

o

é dado

reunião destes três resultados: z2

=

+-+C<::=> 2 2

+zz

=--~+e.

2

Doutro modo:

8f

ax =

dx=-

2

+

z)=:>

conclui-se que

z)= O, z)

=

que

0i

=

8 +-

=z,

zz =-+ 2

z2

y,z)=

+-+e. 2 2 Conduimos que se

l r=-r<:=> r3

r

=2x-y,

a=

V=

=xy+x2,

a=

v= v=

e) f(x, y, z) = ln

y, z) = e-x = ln r, r

E

1

=--+C. • r

para calcular a derivada

EXEMPLO IH.42: Use o

e)

l

=J-dr~ r2

+

+z,

a= (-1, 1,

+

+

ema=

IR 3, r ;i, o,

a=

para: (1,

l,l)ena 1,

e

de b =

u vector unitário

=2;

1)

=-·-

2

2,

=x;

l\wll =

+ 1,

3)

2x

+ z) =~~e + xz 1 x2

13

e2 +

=

llvl\=

l,

=

1, 1):::

1,1)=~.

3

+

+

2,

1,

=O.

vemos que

\7/(1, 1, r = 2. Os vectores unitários de IR 3 são dados por u = cos a e 1 + cos em que cos

a, cos f3 e cos

f3 e2 + cos

r são os cosenos directores.

1,

a, cos

cos a + cos /3 + .fi. cos r

cos

4

EXEMPLO IH.43: Para o campo x2

=-+ 16

z2

25

9

em a= """"""".v. sentido e valor da máxima do campo a UUvv"w•«U, Sentido e Valor da mínima vmmc;;u1 do Cru!lp0 !l

'"~'"'~~,

c.u""""''v de

nula do campo a

de a.

de a. de a.

O vector u terá de ter a

e sentido de

isto é,

u=

= 3. e sentido contrário e

=

=-3.

e)

EXEMPLO HIA4: Calcule a = e-x seny

entre

=

=e-xcosy

= -sen 30º e1 + cos 30° ez =

1 2

2

1 2

-~e

1

+ 2 e,•

do

EXEMPLO HI.45: Escreva uma definida por xz

-+ 16

da meta normal à

z2

--=20 25 9

no

a dessa

Trata-se da de nível de cota 20 do campo Já sabemos que

conforme vimos = O <::? 1 (x - 8) + 2 (y -

A recta normal num

+ 2 (z +

= O ~ x + 2y + 2z - 40 = O.

é dada por

a=

-8 y-25 z+9 ""--=--=

2

2

•

EXEMPLO 111.46: Determine o xz

- + 16

no

por z2

25

- - = 20 e 2x + y- z - 50 = O 9

a=

ALª é o eixo dos zz e a 2.ª a será o menor temo-lo por a.

s1 =~·~+ 16

de uma folha

z2

25

--=20

9

~

y, z)

=O~

+

y,z) =O=>

1--0===-o===-1

=

~

:::::>

9

= rurc cos

EXEMPLO IU.47: Considere a

z

+

com

Determine: O domínio de z anaHti.cru e sentido e valor da mínima de z a do e) do e uma Pm11<>1'<1n da recta normal ao

E

no

IR 2: y > - 2x

y ;;::

3 14'

3 14

11

28

~

11

= - -28-

=--e +-e=> e)

o

1

28

2

Â=

é b=

A

eu"' Â

que é o

=

5, ln 7 +

ser dada por uma

y,z) =O, com

y,z) =

da forma

+

-z.

1

e lntegrnl em IR IRn

o

A recta normal é dada por: x-1

y-5

z-ln7-2

11

-1

28

que se ~V"""'"''~ que g)j/= g)Jli n em termos

111.9:

= .e, sse

l '\/8> O3e(8) >O: x

E

211\{a}

A

l~-al\
no

acumu.e sse

aé

=

...

e

f: S1l

e IR"~ mm e a E

ou matriz derivada

ser expressas

em a. Nesse caso,

a

e l11tegrnl em

e lR"

~~~-~~~--~~~~~~~

~~~~-

EXEMPLO IHAS: Determine a derivada direccional

y, z) = (x-y + z) e 1 +

= (1, 1,

4,

V=

v=

=ln e)

y, z)

= (x-y + z,

O,

3,

V=

a indicado e calcule

e) J"'".,"''I""' que o campo vectorial da alínea anterior é diferenciável no

o seu diferencial nesse

~L"=[:

-1

Tem-se

llvll = 5,

-1

2

V u=~=

a matriz coluna

-1 2

-1

l. 2

X

y cos

_l. 2

x-y X COS

-2 e- 1

x2 ex'y (l,-1)

e-1

l

Cákulo Diferencia! em IR11 151 --·----- - - -- - - - -- -- -- - - - - - - -- - - - --"---

=

l

2

1

1 cos l [e1 e2 e3 ] - cos r; e, r; e 2 1 1 = [ -v 5 3 2-v 5 " '\/ 5 r;

3 -

r;; e3 •

e-v 5

e

[

e)

d)

J (a)

J,.,+~=

[4 4]

y2

2.xy ] X+ 2y ( I,i) = 2

= Y

-1 x 2z

yz

ffi

llvll= 1::::> l.ll = v;

-1

x 12 y ]

xz

F'(•; o) =

5 ;

xy

= (-1,0,1)

[ O 1

1

o

-1

-1

[e, e, e,] [ :

ffi

v·

14 '

:[ ]= ffi [e,•,·{:]=

l -1

2

:J

llvll = -J14. => u =

3

3

-- - 04e1 +-.Jl4 e2 - ,[14e3" e) Fé diferenciável em todo o seu domínio, que é IR 3 porque é de dasse C 1 (IR 3) . l

dF(a)

=[e

1

-1

e2 e3] [ O

l

o

-1

EXEMPLO IH.49: Seja f IR 2

~

][=J=

(dx - dy + dz) e,+ dy e, - dz e,.

IlP, definida por

f(x, y) = ( l

xy 2 - X

-y

2 ,

~J

•

X

a) Indique o domínio de f e estude f quanto à continuidade. b) Estude f quanto à diferenciabilidade e escreva a matriz jacobíana de f

•

e) Calcule a derivada de Escreva

o vector

coordenadas.

como o domúllo de

e o domínio de

X~

/\X;;/:.

então o domínio de X2

+

"# 1

X~

é continua em todo o seu -~........ ~, contínua em todo o seu domínio.

assim como a

é diferenciável em todo o seu

int ~!,

=

/\Xif::.

tais que x = y 2 embora

Nos

f

estes diferenciável em :;t:l/\x
X~

r:-1

-VY 2 -x x2

~ - -VY2 -x

x-2y 2 = 2x 2 ~y 2 -x'

/\X;f-

a matriz

-2y2

2x 2 ~y 2 -x Mas por outro lado tem-se:

No ser calculadas por:

+l

l 1 =--+-=O 4 4 7 2 ----+-- 2-/3 -13 -

-13

3

3

=---=--

2

6

Então

=(o,l 1 -dx+4 4

EXEMPLO IH,50: Sendo

e uma constante

g

= (x cos

e2 º

en +

considere g: :IR 2 sen 6,

X

sen (J+ y

--'!>

•

:IR 2 , definida por

COS

Mostre que

o

degé L A derivada direccional de g

o vector

a, sen

é

+

+

e !ntegrnl em IR e IR"

IJI= u

cose 1

sen e

ºI =

-sen cose

e+

cos 2

r

cose

= cos a e 1 + sen a

-sen =

Lseno

-sen e sen

+

e cos a + cos e sen

+

ecos

= cos

+

e1 + sen

=

+

a e tem-se:

z

ou

Então temos:

+

EXEMPLO HI.51:

g:

rn.2 ~

+···+

IR2, definida por:

= (x cos a- y sen a , x sen a+ y cos

onde

a é uma constante real.

tal que:

=O, 'ílu ainda h

E

IR e

v) = v, 'ílv

g. Calcule a matriz

E

IR.

o valor de

+

IRz

IR

f v)

~

z=

e integrnl em IR e ou

temos o

esquema: )1 X

u ',,i y

z= ',,i

)1 X V

',,i

A matriz

y

de h é ""

ou

1].

=[sena cos

Donde:

= 1.

+

definida por z X+ y,

=

u,

•

diferenciável no seu domínio e

~

u, v)

~z

ou

u, v) =

~

com u

v)

X

y,

= x + y e v = xy. X

'\!

y

/1 '\!

X

X

z=

u

~

'\!

y X

V

'\!

y

õF ÔZOx ôzôu ôzôv ôz ôz ôz q -=-·-+-·-+-·-=-+-·l+-·y=-+

ax ax ax

óf

ôu

ax av ax ax

ôu

av

= Oz. Ox + Oz . Ou+ ÔZ. ÔV = Oz O+ ÔZ · l + Oz. X= q +

ax

õF

ôu

iY av

q

õF

ax

ax

q

ou

q

+-+-y--ôu av ôu

q

+-y

ax ou av

av

ôu

av

X.

q

av

X=-+

ax av

Note-se que 1) =:::>

+

3, ôv

+

u, v) =

3, ôv

3,

3,

3,

e,

diferenciável no Mostre que

+

tal que a sua matriz

=0,

sendo

, eY, ln (1 + Fuma

que admite Lª derivada contínua em IR e

Sendo guma

z=xy+x

Mostre que

real diferenciável em IR2 e

y, z) = g

y,z) E

diferenciável e mostre que, em

yz

y, z) + xz

y, z) + xy

y,z)=O.

v)

Mostre que, para todo o

v) E IR2 tal que v ;;;t:, O, existe a derivada

v) =

g: IR->

Mostre que

+ h:

Considere a = :;:,

+

para x

~O.

O) se tem:

ô 2h x2-+

axz

v) e temos

Ô2 h

--+

iJ2h

""o.

•

m.2 ~

definida por

em lR"

vezes

=

=

ema,

+

u=

=

+

=

Em

o que

u=

1'*°''"'"'''''" e lr1tegrnl em IR e IR" -~-~---·----~

0J, então

=

definida por

EXEMPLO IHº54:

z4.

y, z) = 2

-2,

Mostre que existe e calcule a derivada de 2.ª ordem 1, Sendo g: IR 2 ~ IR 3 definida por v) =

2,

calcule a derivada de 3.ª ordem de h no

g,

e h

(1, l)

o vector

então existem derivadas de todas as ordens vector e a derivadade2.ªordem a=(l, -l)na esentidodovectorb= 1, é dada por:

&8J

o -+ o -+b ax

2

2

+

+

+

+ Como

q

z3

-,,,;4xyz4 •

ax

,

então

ax2

= 4 y z4 •

,

z2.,

=0;

ax& =l6xyz , 3•

'

+

161 Então

-4·

.

. [J2j

[J2j

-2,-1)+8~

-2,-1)-16 8.xi3z

-2,-l)=-16x87=-B92.

E

existem derivadas de todas IR2 :

+d3

+ 3cd2

Neste caso

=

~+O

1) =

0

h

Ou

Temos v)

~

y, z) =

v)

y, z)

1) =

2,

z'u =

·O+

=

Como v) =

h'u =

2,

· x'u +

· y'u + x'+

"

·x'+ li

y~ +

X :::: -V,

·O+

y = 2,

Z

=

l=

e

U

z3 •

·z ' = li

·y'u +

z'u =

z.

Então 1) = 23

113

1) = 8

2, 1) = 8

= 768.

v3

é,

Então

F=

ou

+

+···+

EXEMPLO UI,55: Calcule a

sen (J , x sen

e+ y cos

fJ) com ()

E

IR.

o seu

div F =

div F

+x +

= 1 + x 2z + xy.

div F = 2 cos

e.

Um campo central é do

.r = sendo

r=

y, z)

E

IR 3

e r = llrll =

e l11tegrni em llR l!R" ----------------

--~-----------~

Então como

divF =

cakufamos

a

dx

+

+

cakulamos as outras X

x+ = r

z2

divF = =

(x2

r +

r

+

r

=

+3

r

+ r 2 +3

-+

+

r

=

r+3

e) Um campo newtoniano é do k

=-r

r3

Basta fazer na alínea

-3k Conclusão: Todos os campos newtonianos são solenoidlais. tal que

+

+···+

EXEMPLO :Ul,56: Sendo F: IRº

~

IRº; u, v: IRº

-~

prove que:

+u. v+

= u · div

V.

=

=

=

+u·

k~l

div

+u.

=

+ u · '\/2v =

=

V+ U ·

div

V.

•

y,

0lc por rot

~

vec-

é

V

F=

a a

e lntegrnl em IR e IR!ll

para vermos que é

J=

termo

EXEMPLO HI.57: Calcule rot F para os campos do

III.55.

para

J= y

=> rot F""

x+

o

o

Doutro modo:

e3 V

F=

8 ôx

ô

f)

f)z

+

o

=(y~

v

F=

e1

e2

e3

8 Ox

8

8

e1

8z

x-y+z

+ (1 -

e3

8 Ox

v ;,F=

J=

8

8

8z

x cos fJ - y sen

se a matriz

e

nesse caso o rotacional é nulo.

ô 8z

xz

o

o Ox

r

yx

8z

r

r

rnt F =O. e) É um caso

dos campos centrais

é irrotacionaL

f'(r) =--r, r

ou

r

yz r

r

zx

z)

Ox

= 2 sen

o

sen f) + y cos f)

f)

é

o

+ 1)

+

Jí}'Z

e, e)

ez

é um campo central em que

r

simétrica

os campos

1fü"'''m1·1ri

e hitegrnl em IR e IR" ~~~~~~~~--~~~~~~~~~~

e rot

""L'"-""J'"-"-•'-"-'"'"'

111.58: Prove que harmónica. n-l --,comr=

... ,

r

EXEMPLO 111.59: Sendo F: IR 3 ~ .IR 3 , deduza as

div F

e de rot rot F. Prove que o rotacional dum campo vectorial é um campo solenoidaL

divF =

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Cólwlo Difernndal em IRn 169

1!\

e2

eJ

ô

ô

8y ófl - óf3 & &

óZ

[)

-

& óf3 - óf2

8y

+

&

=[;

(

~ - ~ ) - ~ ( ~1

-

;

) ]

e1 +

óf2 - óFl 8y àx

[!...&8y (óF3 _ óF& 2)-!__ôx (óFàx2 _ óF18y )] e + [!__àx& ( ôf1 _ ôF3 )-!__ ( óF3 _ óF2 ) ] e ax 8y8y & 2

2 = ( _ô F_2

ô 2 F_1 éY2

_ _

ay&

ô 2 F_1

_ _

az2

ô 2 F ) e + ... + ( _8 2 F_1 azax 1 &&

+ -3

é12F

8 2F i:y2

= 3

éY2F ) e . 8y& 3

_ __3 _ _ _ 3 + -2

iJx2

b) Dizer que rot Fé solenoidal é dizer que divergência de rot Fé nula. Ora div (:rot F) = VICV /\ F) é um produto misto dado por um determinante com duas linhas iguais, logo é nulo.

a -a

div (rot F) =V!(V' /\ F) =

d

dx

dy

()z

dx

dy

(}z

F1

F2

F3

a - a a = 0.

•

EXERCÍCIO UI.60: Prove as seguintes igualdades, supondo que as funções são pelo menos duas vezes diferenciáveis:

a) (F" V)IG = Fl(V /\ G).

b) V" (jF) = JV" F + (Vf) /\ F = JV "F - F" (V.f). e) V l(F /\ G) = Gl('V /\ F)- F l(V /\ G).

e!) V/\ (F /\ G) =F (VjG) - G (VjF) + (GIV)F - (F!V)G. e) V (FIG) = F

A

(V/\ G) + G ;, (V /\ F) + (FIV)G + (GIV)F.

/) rot (rot F) = grad (div F)- lap F (Para F: IR 3 ~ IR. 3 , define-se lap F

=(lap F

1 ,

lap F 2 , lap F), sendo F

=(Fp F

2,

F 3)).

•

em

=O, restantes

... ,

=

ºº":.l

=O com

a x=

... ,

y=

•••9

qj) um

i) E

det

;é

em que a E

mebE 11

o.

uma

e

emb,

uma

que: y=

a

=b e

=O,

que E

A

ser

por:

•vL-u"'"""'"r;:; num certo noutro

EXEMPLO III.61:

o sistema

+

+z=O

se do sistema

numa bola de centro em

y,z)=

l,

Calcule

e

dy

e) Indique os teorema da

nos

não se

Neste caso com

y, z) = (x +

Verifica-se i) Substituindo y, z) por quer

+z,y-

visto que as coordenadas E Para 1, O) no obtém-se urna "''çouu.ua'u", ordem às variáveis em às se calculemos a matriz derivada l, terá de ser diferente de zero. O dete1minante dessa

e ll'lliegral em IR e IR

-----

det

--

-

-

111

--~---

= det

=det

verifica-se Pelo teorema da como dle z e que esta

= 1;,: O,

então afümar-se que o sistema define 1m1puc:namente é, tal como de classe e~ o

Sendo

Como

=

afirmar-se que

=-l

e) são os

1) Considere as

IR 3

fafüar é a y, z) tais que: 1 +

__,,

IR 2 e g: IR 2

~

y,

v)

nos

definidas por:

com:

w=

""'x+ y+z+sen

= zyz + sen

+y +

y, z) = odefme uma

z) tal que

=

não se t

W

= 1-eu-2v.

iTn~>liro1fon'"'"''"'

a existência

Cakuk

y,z, verifica num certo = Mostre que:

y,z,

=

o teorema da

ôx

óx

Ou

ó'v

existindo nesse

a

e

Considere o sistema

-u 3 +v= O -y+u-v 2 =O Mostre que o sistema define noutra bola centrada em Calcule

v) =

-

e)

numa bola centrada em

e -

g: IR 2 __.., IR 2 definida por v) -?>

Calcule

= (v · cos u, u · sen

O) e com valores

e lntegml em IR e IR_n

1,

3.

ou

=>ôx

=

-1.

e)

o

e i)

comk~ ~O,

1,

coma E

IR"

'

IR_n ~

IR"

que

que:

um

B ser

E

por:

EXEMPLO m:.63: v) definida por =

x+

Mostre que

tal que a ::t b. Calcule

a matriz jacobfana

no

directamente que que a= b.

é localmente invertível em

tal

verifica-se

y

= det

det

verifica-se se

a* b. Nestes que

= det [

exy 1

X

exy] 1

(a.b)

verifica-se o teorema da à classe e=.

existe

lntegrnl em IR e IRn .~~~--~~~·~~~~

~~~~~~~·~~~~~~~~~

Pefo mesmo teorema, a derivada

no

3) é

exy

Estudemos

Temos

à

à inversa da matriz

X

v) =

x+

Então

+

é em !R 2 • Se o resultado fosse apenas o

V= 1

seria

assim conduímos que à rnctay = x.

y<

y>

JRZ -7 JR2, definida invertível apesar CaS

EXEMPLO HI.M: Considere a

hl~)OteS
inversa não se verificarem.

v)""'

,x+

ç::,

=x+y

.•

=V-

,X Mostre que do teorema da

o que mostra que a cada obter este resultado a

det

invertível em

~] = 3x

= det

= det

2

=O, se x =O.

a existência de

HI.65: 1) Mostre que a definida por

m2.

que inclua

v)

com

v) =

uma inversa local definida numa bola centrada em centrada em = que é de classe C 1 e cakule

com valores numa bola

IR3 ~ IR3, definida por

y, z) = (z cos

z sen

x+

Determine o

inversa

o, Mostre que a

definida por =

não verifica as

l'ln-,,n.t,,,Q,,c

em IR2 •

1)

=

do teorema da

+

'(x inversa na

no entanto,

invertível

lntegrnl em IR e IR.ri de dasse C 1 em para basta P = y, z) ser tal que

o teorema da

det

;!':

0q

X ;!':

inversa num dado

0 e

Z '1:-

-1

o

=[

0..

o o

1

=0,

det

o teorema da

Vu+ +

+y= :::::>

2

=:>

-Vv

-y=Vv

•

2

XE

numa

+

centro em

com e

1].

P,

centro em O, à g, tem-se:

1 mf' com t E

IR _______,, IR n - - - - - - - IR x=

t

+

+

regra

=

=

+t

+t

+t

=

+t y;

t

é

à

tomar a +ty;

+

+

1 k!

~+

1 - , comtE m!

1 m!

1[.

e lntegrnl em IR e IRn ~~~~~·

~~~~~~~-

de 1

=o, a ·~··u~·~ escrever-se a

·~···"~·~

uma

e y=b+

x=a+ escrever-se na

+ 1 2!

+-

+

+

+ 1 3!

+-

+ +

+

+···+ EXEMPLO HI.66: Desenvolva

conclui-se que neste Temos:

-1)= -1) = 2;

+

=2;

=3; -1) =o.

-1) = l;

Todas as derivadas de ordem neste caso é finito:

à 2.ª são

-O+ 1

que o desenvolvimento de

-1)+

+2!

+

x 2 + JQl + 1 = 3 +

+

+l)

+

+

+

+l)+t

EXEMPLO 111.67: Considere a

-1) +

+l)

a1 J 2

+

definida por = x sen y + y sen x.

Determine a fórmula de "'"'"'~'"1-"'

de 2.ª ordem

o resultado anterior para mostrar que existe uma e uma só constante real e tal que:

Hm (x,y)->(0,0)

f(x,y)-cxy =O. x2 +

Determine e.

=0;

y+ y cos

=0; cosy+sen y+cos

=0; =2;

sen

=0;

sen

=0;

é:

A fórmula = x sen y <=:;>

sen y + y sen x =

+l.2

+ y sen x = +

com

=0.

Hm (x,y)-.(0,0)

Pela alínea anterior temos:

+l.2

+

com

=0.

lim (x,y)-.(0,0)

Então

Hm

com

=0,

(x,y)-.(0,0)

que se obtém o resuhado

=

são nulas no 2. Determine um , , v . ..,,v..... v do 2.º grau em (x - l) e (yJIR2 ~ =

3, Escreva o desenvolvimento de

que re1Jre:se1tm:

com resto de 3. ª

~y·~,.,..,,.~,,~... v.u.v

em

de

em

de

=ln (y + 4, Escreva o desenvolvimento de

com resto de 2.ª

= are tg

xl+xy

-x3-

+3

-3

+

a

com o desenvolvimento seg:urnttes derivadas: ordem

no

e

um

um mllnimizante local no a

E

Neste caso, o

a

n '71Jr

E '7JJ1 sse

uma

cen-

n

um maximizante focall

IR.

Nesse caso

1)

que

ter um extremo num

Uma

Ponto Ponto Ponto rronte;lfo

ou

,.,,.,,.. ~L•" um menos, uma vez

escrever-se a

+ = o

+

+llYll·

com

+

=0.

+

ao

=o, então para

y

que

pequeno, o

+

é

que =k·

E

a com resto

no

=

as

numa

ema, =

ou

+

+· .. + ter um extremo num

EXEMPLO IH,69:

definida por: y) =

Mostre

tem extremos e tem um

de classe

e~

em IR2

de sefa em

terá extremos em

= 4y o único Uma análise directa da como =O e O) = -x4 ~ O e contém extremo é um ser arbitrariamente

-x4.

3

de estacionaridade.

=o:::::} y =o

nos de sela. Também não há extremos gra1nai~s e arbitrariamente pequenos. Basta notar que

Hm

=+oo e

Hm x-'>+=

nos =O não é os valores

e lntegrnl em IR e ~~~~~~~~~~~~~~~~~-

Outro modo de verificar que O) é um do = O) os valores da

resulta da análise do

da

z

z:y

4

4 -X

agora um processo de analisar se um dado de estacionaridade é ou não extrebaseado na fórmula de numa bola centrada em e a um de estaciode estacionaridade é determinada sinal + h numa bola de centro a, ou pequeno. Pela

1

+

1 m!

Hm

~+k~l

k!

é de

=Oe até uma certa ordem

=

+

+

=0.

h->0

m!

que todas as

-1. Então

=0.

m!

-- com k!'

<

Nas

então

+

m!'

com

<

Se para é um máximo local tomar valores para ~ O, dir-se-á uma forma indefinitda valores se anular para vectores h "* O, mas para os restantes h tiver sinal diz-se uma forma semidefinida e nada se nnrnr_cp por fazer um estudo

=

ser

1)

O,

um máximo em

e l11tegrnl em

e IR~

"'"'"' '"-""' para um certo Como não se para os restantes

eterno

o

+ h, b+ não se

Determinemos os

=x3-

de estacionaridade.

= 3x 2

-

+

= (x-

EXEMPLO Ili. 70: Determine os extremos locais da

-x2+y2,

-2x =O

=0=>

+ 1) = 0 => y

=0

V

X=

1

-2x =O::::>

de estacionaridade Calculemos as

con-

derivadas nestes

·-2

2

4

4

o

o

-2

2

2

o

o

4

4

4

1) e

-1) não há extremo, A> O. No há um mínimo locaL t

> O, neste

= x4 -3

EXEMPLO 111º71: Determine os extremos locais da

2x 2

= 4x 3 -

=O::::>x=O v y = 3

+

o único

+

3x 2

=Ü=?y=-

4

de estadonaridade é

=0. concluir. Vamos fazer uma análise = O. Há que determinar o sinal da a

tomo dlo

tomar valores "'"~".""''Q e ,.,,...'"""n'" sela. = x4 - 3 =

+

+ y2 =

= x4 - 2

-y

=

y

+

+

+

+

X

em IR e IR_n

y = x2 e

toma valores maiores que sela. •

a:

Escreve-se a

GO.,

os menores

no

é um mínimo e os menores

l) Se

é,

>o, éum

= 1, ... , n,

a:

par

Se se menores são Em

mas

toma-se

começaimos

Então:

então a é um

EXEMPLO IU.72: Determine os extremos, em termos do y, z) = xyz

a,da

-x--y-

y, z) = 4a xyz = 4a yz -

= yz

= 4a xz-x 2z = 4a xy-

-2x-y-

-x= xy

-x-y-

e integrnl em IR e IRI] O sistema de estacionaridade é

= Ov z = Ov 4a - 2x - y - z = O = Ü V Z = Ü V 4a -

X -

- Z

=Ü

<::?

=0vy=Ov4a-x-y-h=0

-2x-y-z =O

o/\ (z = oV X = oV 4a -

=

X -

-

z=

=0vz=Ov4a-2x-y-z=

= o/\

=

oV y = oV 4a -

X -

y - 2z =

de estacionaridade: a,

O,

coma :;1:0,

y,

O,

O, 4a-

=-2xz

4az-2xzEstudemos os

a,

=

a,

-2xz

com a :;1: O:

r-2a' -a2 -a2

-a2

Como os menores de ordem a, é um maximizante

são e os de ordem par são se a :;1: O. O máximo é a,

Estudemos os

4a-x,

=

4axda forma

y,4a

da forma

= a4 •

o, O O,z) =

-z2

o

4az-z 2

o o

então o

-ít

o o =

4az-z 2

= 4az-z 2 o

Como há valores Dada a simetria da O, são também Estudemos os

o

+

-ít

... ~,~v...w~

da forma afim1ar que os

O, 4a-

O, 4a-

para os restantes

o

o

o

o

= =

O, 4a -

os

não são extremantes.

+

111.73:

1. Determine os = xz + = =

y, z) = x 2 +

nos

as

- 1)2.

-x= x3 -

+ 3x 4 •

=

-x 3 +xy.

- x3 + x2.

+ z 2 - xy + x - 2z.

2. = 3x 4

+ das rectas y = mx tem mínimo no

Mostre que a

3. Determine os extremos relativos e absolutos da = (3 -

definida por

+y-

.L

1) é mínimo São máximos os com O
com y < O ou y > 6. São mínimos os O) e 6) sefa.

é máximo.

são sefas.

=

com Para mesmo

y=

os que a

que u-v = l. procurar o

y

é

é nesse

IR"

= ~

=v+ agora

=

os extremos -v-1)+

=> =0

um y,u,

d=

como

=0

-v-1)-

extremo.

=

-v-1)2+

=t =

=> -

Então

... ,

números

=

que a é

+ i=l

+

y

+ ... +

y,

=

+

+ z2 , com

y,

E

S.

z

y

ou

o

P tem

F.

ser

EXEMPLO IH.74: Determine os valores extremos de ""X2-y2

ao

da circunferência C de raio 1, centrada na ~ •• ,,.,~....

l11tegrnl em IR e IR

11

=O com

=x2+

-1.

= x2

+

Consideremos a

+

+ 1) =o

=2x +2í\x =O

+ +

Os

=0

-1)=0<=>

=o<=>

de estacionaridade são

e

=-1 Â

+

"'1

=l

+

=1

=l

nos

toma os valores

O)= 1. o !"."''""'''""·~~-...,,,.,,~, """"''""''~ reparar que se trata de achar os valores máximo e mínimo de k, tais que a família de x2 = k intersecta a circunferência x2 + = 1.

y

X

Dado que aumenta à medida que as se afastam da único vafor máximo um único valor mínimo de k para os x2 = k são tar1gent
em EXEMPLO HI.75: Determine os valores extremos y, z) = x - y + 2z

x1 +

+ 2z1 = 2.

y, z) = x - y + 2z +

+2z 2

-

= l +2lx =o =-1+

+ <=>

"'º

+2z 2 = 2

y, z) =

/ 2,

+

+2z 2

12,-

/

=2 =A v

y,z) =

/ 2,

--Ji / 2,

/ =B.

definido a:í um máximo e um mínimo. Dado que =·-2

e

=2

então o máximo é 2 e o mínimo é -2 à YVJLAUJ...«<•V, tem exactamente um mínimo e um um.,.uu~,

y, z) = k

Ç:::>

+

à conclusão que

x - y + 2z = k

relnese11ta uma famHia de entre si. Pretende-se saber o maior e o menor valor de k para os É óbvio que existe um único máximo e um único mínimo. t EXEMPLO III.76: vector h = y, da y, z) =x2 + y +

x+y+z=7 e x-y+z=l.

outros não.

a extremar é a y, z) + y

y, z) =X

y,z)=

y, = 4x +

y, z) + z

= 2x 2 + y + 2z 2 +

+

y, z) = 2x 2 + y+ 2z 2 •

y,z)~

+

+y+z-

-y + z -1).

=O

-1=l+

=0

4 =l+

+y+z=7

-1-2\

-y+z=l

4

4

-1-2/l

4

1=7 q

/\

y,z)=

q

+y+ -y+

-1- 2/l

4

l::=l

4

3,

Tem-se 3, = 19. encontrado é máximo ou mínimo. As duas co1ruHcmõs é a recta de desses

e a sua

y, z) = 2x2 + y + 2z2•

z

k

O, menor, mas de modo que o o

y

eixo é o eixo dos yy, com vértice ordenada do vértice maior ou dadas. A recta está •

Hl.77: mínimo: Das cotas dos

do

+

de z =

, tais que

+ (y-

(x-

xz +

+

= 5.

= 225.

e) Do volume dum comum estão sobre os eixos coordenados e o vértice

15x + Da

y, z) = x 2 +

as arestas que têm esse vértice em está sobre o

+ 9z = 45.

+ z2 25x2 +

+ 4z2 = 100 e z = x + y.

Pretende-se achar o maior e o menor vafor da cota z dos estão sobre o cHindro

(x-

do

+ (y-1) 2 = 5.

O mínimo é O e o máximo é 20. de eixo y = 2x. A distância mínima da senta o e) O volume mínimo é O, se o..,~.,~··~·~.., .•. -~-~ aiegçmerar 3, 5

à

é 5 e repre-

z =x + y com o 25 x 2 + Esta semieixos da

+ 4z2 = HJO.

O semieixo maior é

i=I

(i "" 1, ... ,

1ih:.1r1>1u'ilfl

e Integral em IR IR"

·~~~~-~~~~~

~~~~~~~~~~·

a

O

A

m

>0

o

>0

<0

>0

<0

<0

<0

<0

>0

<0

>0

m

m

O

2x

+ 2lL

o Como m= l 16 e como m é

<0 =>

o

±

~2+

±2 ou

o o o o o

O)""

e como m é

é máximo.

±2

B]

o . o o 4

o determinante de

mínimo.

o

=

I)=[:

o

o

2íl

o o =

o

2x

o

o

q

o o

2;\,

o

=-32 e mé

é mínimo.

o

J2

-Jl

o

o o

o

J'.l4 =-32 e m é

é máximo.

o o '?feF = l

=

= 32. Como m é par, no

l

-1

o o o o o

1 4

-1

=

o

de estacionari.dade a

tem um mínimo.

+

1 1 1

1

1• . 1. que

=F

~

que não são

por

ou por

e l11tegrnl em

e IR"

EXEMPLOS 1v.1: g:.1

=x +e.

IV.2: QJ>x =

~

+ C.

2 IV.3: QJ>ex =ex+ e.

l IV.4: QP ~=ln lxl + C. X

IV.5:

uma

tal que

1 =-vx o,

=4.

=2e

X

sex O

+2

sexO

a

EXEMPLO IV.6:

=

-3 x' 4 2x + 3 x 7 4x2 -

x16

=

xrn

x4

~~6~"-+12~~8~+C.

22

16

10

4

•

Apresenta-se em seguida uma tabela de primitivas cuja verificação é imediata:

,

un+I

u

1.
2.
3.
4.

5.
6.
7.
8.

n+l

9.
u


au

lna

<:!P u'

+ e.

cosec2u =- cotg u + C.

10.
I

u 11.
I u 12. r;p _ _ l +u2

13. rzl'u' cosh u = senh u + C.

14.
15.
16.
u

,

=are tg u + e.

,

17.
u 18. r;; ~ = arg cosh u + C . u 2 -1

,

u 19.
= arg tgh u +e.

2(),
Uv--I

+ Uv ln U V

EXEMPLOS 1

23x

iV.7: QP2 3x =- QJ>3.2 3x =--+C. 3 3ln2 IV.8:
.x3 x4 + a4

= -~
4x3 = ln(x4 + a4) + C. x4 + a4 4

2x X

IV.9: Ql> x4 + a4

=-;;;l X

-+ 1 a4

(X

2 ) --;;: 1 ( x2 ) 1 = 2a2 arctg -;; + C. 1+ -

ª2

1

)

=Uv + C.

e h1tegrnl em IR IRj] IV.10: Çff'

e"

V1+2e

3 -Vc1+2 ex) 2 +e.

=

IV.12:

4

.

+C.

cosx

+e.

IV.13:

5 IV.14: Çf}'-1r = = = \/l6-9x 2

5 4 4 3

i

- - · -Çf}'~=== -

/1 ~

9

-u;x

5 3

+e.

= -are

2

- - - - = -1 2 Çff' +4

x 2 +2x+l+4

4

t 2

(x + 1) + 1 4

2

IV.16: Sendo a, b e e constantes não

l

X

VY-==

a

C

+ C Çff'~-- - - Çff' +xz + az - a ( ~)2 + 1 2 ,a

b ""-are a

b

+

+C. •

a

)+

por

x+l 2

= -are tg-- + C.

2x xz +az

Primitivas e Cókulo integral emIR

209

--------------~----------~--

Nota: É óbvio que na primitivação por partes convém escolher para/uma função que se simplifique por derivação e que se deve escolher para g' uma função que se simplifique por primitivação. EXEMPLOS: Calcule as primitivas seguintes:

{

f = x 2 => J' = 2x , g = ex =>g = ex

=> !JPx2ex=x2ex -2 qpxex

h = X ::::> h' = 1 { , => g=ex

Logo,

IV.18: f ' = - e g

= x)

X



-

l

X

::::: X

ln X -X =X (ln X - l ) + C. ,

IV.19:

: . '. cos bx . b

a '>--___:·~- - ···· b \_ ' ---,:, -·


=

cos bx a eax sen bx a 2 líl'I ax b -eax - - + - - -.:re sen x 2 2 b b b

J = eax=>J' = aeax

J = eax => J' = aeax

,

cosbx

g = senbx =>g = - - b

, senbx h = cos bx => h =- b

l111tegrnl em IR IR

11

Então: cos bx a e'"' sen bx sen bx = -e'x - - - + - - - b

cakular

De modo semelhante se

IV,20:

rzfJ sen2 x

= rzfJ sen x sen x = -sen x cos x + rzfJ cos 2 x

= -sen x cos x +

- sen2

senx

=

= -sen x cos x + x - rzfJ sen2 x = cosx

g' = sen x =:;. g = -cos x

2 rzfJ Sen2 X = -sen X

Este resultado

COS X +X ~

rzfJ sen2 X ""

x-senxcosx 2

+ C.

das fórmulas se12;u111ttes

cos 2x = cos2 x - sen2 x = 1 - 2 sen2 x = 2 cos 2 x - 1 e sen 2x = 2 sen x cos x,

tem-se 2

l + cos2x

cos-x=-~--

2

como também a


em termos da


l

=

+

2

g'=

+

Então: l

_ _ _ _ _ _l_

---=--

2

1-n

3-2n

+-2-2n

>

]

em IR e JR1t1

21

então

x=

:=>-=

dx

x=

por

rv.22:

Neste caso tentaremos uma isso se consegue tomando para nova variável t = os índices das raízes que na Então

todas as raízes. que que 12 é o menor comum entre

x=

= 12 are tg t = 12 are tg

+ C.

e2x

IV.23:
+ 1)

Fazendo l

=ln ::::::?x' = -

~

e2x


l+t

+ti=

lntagrnl em

- - - - - - - - - - - - - - -------------

IV:24:

Como a Atendendo a que

por

eliminando a raiz.

sen2 x + cos 2x = 1 ~ cos 2x = 1 - sen2 x e que

nota-se que fazendo sent =

se elimina a raiz. Com

x=

=

~

x =a tg t

+ sent · cost 2

da fórmula l +

Pode resolver-se a

tg t = -

5

,,fj

~

x ' =a sec 2 t ~

a 1

=-

ª3

=

<2P

1

~(l+tgzt)3

M

;:_r

t = sec 2 t. Fazendo

1

1

-v(x2+a2)

asec 2 t

3

=~ ~:r-r====

l

sec 2

az

~(seczt)3

= -<2P-r===

I

ª2 -v ª2 + xz

ser cosh2 t - senh2 = l

sect X

_!_ '11' cos t = _!_ sen t = _!_ -r=t"'=g=t= az az ª2 ~l+tgzt

O mesmo resultado

ª2

ª3

da fórmula (l + senh2 t

= cosh2 t)

+C.

e usando a ~

senh t ::::::;, x' = a cosh t.

= senh t ==> x =

1 t=a2

= 2_

IV.26:

~

~1+(1!;)2

. = 2_

X

senht

--:=====

,)1 + senh 2 t

+ C. +

a2 ,Jaz +xz

. (a e b são constantes não

x = ~ cosh ::::::;,

)2 x 2 ·- 1 = cosh2 t -

l = senh2 t; x' = ~ senh t.

b b2 ·- senht = = cosh t;

senh t

t

a

a

= senh t ::::::;, g = cosh t )

9]' senh t senh t = senh cosh t- 9]' cosh2 t = senh t cosh t - 9]' ( l

~ 2 9]' senh2 t = senh t cosh t- :::::> 9]' senh2 t =

+ senh2 t) :::::>

senh t cosh - t 2

+ C.

que

/Th,

;:rCOS

h2 t= senh t cosh t + t + e 2

b 2 =-

b~~ senht cosht-t a

2

=

-

_b2 (,Ja 2 x 2 - b 2 a -x-arg 2a b b

+C.

ea

x

2

= 2 are

=--e 1+t2 1-t 2 cosx=-1+t 2

senx=-1+t 2

2t x=--. l-t 2

EXEMPLOS 1 I'V.27:

2_ = 2
Vj-'---- __

1-senx

+e.

IV.28: < / P - - - - - 8 - 4 sen x + 7 cos x

2 2 ------=
=

=

216

=

+

=

+

,.."'"'"'"u'"'"' a que, como é ""''""''"' escrever-se

=a

ou

r e sEN)

temos três casos:

3x+6 x3 +

-3x

x 3 + 2x2 - 3x =

+ 2x -

x 2 + 2x - 3 = O :::::> x = 1 ou x = -3.

3x+6

A

A

A

1 1 3 ----~=~+~-+--

x3 + 2x 2

-

3x

x

x- 1

x +3

de reduzir

+3)+

3x+ 6 =

+3)+

-1)

os coefi-

Pelo método dos coeficientes

emx2 : emx: emx0 :

O= 3=

e integral em IR e

!iií<>1r<>Huin ·~--------

--------~----------

Resolvendo o sistema formado

obtém-se: -

9 - 4,

=-2,

3x+6 +2x 2 -3x

C/P----x3

9 +--1._+ -41 ) ""-2 x-1 x+3

+3/+C. •

R Seo

EXEMPLO IV.30: Calcufar uma

de

x 2 +2x+3

----- =

::::;.x2

+2x+3=

x-1

+

x+I

+

+---:::::) + 1) +

das raízes. x=l=>6=4 x=-1=>2=-2

emx2 : l =

+

=-1

=>

-11-t

l

+ll+--+C. x+l

EXEMPLO IV.31: Primitive

x 4 - x 3 + 2x 2 - x + 2 A B + Cx D+Ex - - - - - - - = ---- +---+

x-1

+

x4-x3 +2x2 -x+2=

X=

x=

+ l

~

x 2 +2

+2)2 +

+

+

3 = 9A """>A= 1h

=:> x 2 = -2 ~ x 3 = - 2

-1)~

-2E=2

+

~2+

1

1

3

x-1

-11-~arc

6

=0 =-1

Em x 4 : l = 1h + C ~ C = 2h. Emx3 :-l = B-C ~ B =-1h.

=3

-1)

X

l

1

+21+---+ 2 x +2 2

EXEMPLO IV:.32: Primitive xs

16-x4

Efectuando a divisão obtemos

16x ---=-x+--16+16 e xs

~--=

16-x4

16x

l6x=

+

A+Bx

+ X=

C

D

---+--+-4 +x 2 2 +x 2-x +

+

+

+

2 =? 32 = 32D =? D = l

x =-2 =?-32 = 32c =?e =-1

X=

2i

~

32i"'

+

xs

xz

16-

2

x2 =--+

+

(4-


2

+x/-

EXEMPLO IV:.33: Primitive

ezx + 2ex

-x/+C.

Fazendo a

= O

t3 - l = Otem a raiz t = l e as outras duas raízes regra de Ruffini:

.,u,,UV.UHU

o

o

l

determinar-se baixando o

-1

l

t2

t+2 t3 - l

+t+l

1

= o ~ t "' -

A

B+Ct

t- 1

t2 + t + l

~-,,,-+

-

2

± ~ i ::::::> t 2 + t + 1 =

2

+t

~t+2=A

l)+

+

(t-1)

t = l :::;, 3 = 3A ~ A= 1

em t2 :

o= l

+e~

e= -1

em t: l = l + B + 1 => B =-1

11f't+2 t 3 -1

- II - ! 111'

=

2 l

-11-2

l

-11--

2t + 1 +t + 1

~~-+

1 ) t 2 +t+1

l

2 + 2t t 2 +t+1

-

+ t + 1)- -111'-~~~

2

+!)2 +~ 2 4

2

2

~-~ = ~111' + '1P

~

+

73

~ ~ [ ~ (t + l

e 2 x + 2e" = e3x -1

-11--21

+

2

=~are

+l 1 2

+l)--~arc

2~

+C.

1ti>r,<>l'lrin1

e hitegrnl em IR IR

ri

·~-~

.~~~--~--

EXEMPLO IV:34: Primitive

-4x+7

x4

-

x 3 + 6x 2 (2 +

x 4 - x 3 + 6x2 - 4x + 7 =

4x + 7

-

C+Dx

-1)

+

+

-1) +

+

-1) +

=>A =-1; B =O; C =-1; D = 1; E= l

x 4 -x 3 +6x 2 -4x+7 +x 2 ) 2 (x-l) 1

+x2

2 l

l 1 ,J2 1 =------x· 2 ,J2 1 + _:_:_ 2 2

2 1

= 2,,/2 are

= X ::::::>

+x2

X

2 = l; g' =

+x2

2+x

::::> g=-

5 4 '\fr;;: 2L are

+x 2)

ex.

se a;;::o. =

tx

se e:?: O.

+e

a

lntegm! EXEMPLO IV:35: Prhnitivar X

Neste caso a 3.ª das outras duas é

1- t 2

"'x + t ~ x 2 -x + l = x2 + 2x t +

=}X=--~

2t+ 1

l-t 2

t 2 +t+l

2t+ 1

2t+ 1

=--+ =

::::}

2t+l

tZ

-1

1

4t2 + 4t + 1

-t

-t2

-t

-t-~

= 2 r;p [ ! + - - - ' - - = ~ - ! r;p 8t + 10 4

2

4

6 ----+---+ 4t + l 4t 2 + 4t + 1

2 Como t=

4

+

2

4t 2 +4t+

4

4t 2 + 4t + l

6 +4t+l)--\!J>2 8

2

3 1 t 1 +----=--4 2t + l 2 2

+

3 1 +1)+---. 4 2t+ l

-x, então

+

i] +-===3~-~+e. +l -8x+4

•

lntegrnl em IR em~ EXEMPLO IV.36: PrimiHvar

X

+

Pode fazer-se

uma vez que <-2 é uma das raízes de 4 ·- x 2 <

+ x) = (x +

(2

2-

=:>2-x=(x+

=-·~=:>

t 2 +1

e -J4-x 2 =-·-, t2 + 1

çp

~-;::;

4t

t2

+1

x

t2

-16t 2

-8t

=ÇP~-·--·

::;;;Ç}-----

+1 2-2t 2

16t2

A

B

C+Dt

E+Ft

~---- =-+~+--+---

-!) 16t2 =

+

+

t-

+

+ t =

+l

l

+

t2

+l

+

+ 1) +

+

-1)

1 ::::;> 16 = 8A ::::;> A= 2

t=-1::::} 16=-8B::::}B=-2

t=

i

~-16

=-16~E=8

=(E

em t5 : O= 2 - 2 + D =:> D = O; em t4: O= 2 + 2 + C ~ C = -4


-J4-x 2 =
-lj+2

[-2 2 4

-+~+~-+--t - 1 t + 1 t2 + 1

+ lj + 4 are tg t -

l ---+-are + 1) 2

t==~) x+2 =-2

+2

. l Pela fórmula de recorrência obtida em IV.1.3., para Ç } - - (l +

l11tegral Primitive

que com a

t

= sen x, fica

=u~t=jg=:>

=-(2-_--

-u 2)2

Sendo

2 sen 2 x -1 sen 2 x -1

cosx

+C. t

IR

b) x 2

+

cosh

e) cos

e) sen

x 3 sen4

cos 2

-1) cos

IV.39: Determine uma sec2

x2 7 x senh3

f)

+ 7) + cosh

+ 7)

e) e) t;x cosec

+

8x

8x

x +4

e)

2

8 x 2 +4

e)

8+x

8x

x 2 +9

9+x 4

x 2 -2x+2

1-x x 2 -2x+4

e) x- 1 ln4 x. sen2x

e) senx

cos 2 x

sec cosec 2

8 .J3-x2.

e) cosec

e)

tg x · sec 8 x.

IV.43: Detennine todas as

de cada uma das

definidas

ex

ex

ex

b)

9 + 25e 2x

e)

,Jex - e2x

e) e2x + 2e-x e2x + 6xe-x

de cada uma das

IV.44: Determine todas as

definidas por:

l

e) 3xln x 3

X

are

COSX

-J3 - 3x 2

X

xz

e) •

IV.45: Determine todas as

de cada uma das

definidas por:

e)

COSX ·

+e"-

e)

lnx

2 + ln 3 X

x· lnx I'V,46: Detem1foe todas as

de cada uma das

ru11tço1~s

definidas por:

e)

-2x+3 sec 2

e) sen2 x.

cos 2 1+ 4x 2 + 6x 4

+ 4x 6 + x 8

2 +4x 2 +2x 4

de cada uma das fu111çõ13s definidas por:

IV.4 7: Determine todas as

2e4x + 8e3x - 3ex

e)----~

ezx

e)

3

+ 5ex + 4 4x

+x 2 +1 + x 2

lntegml em IR e IR.n IV:.48: Determine todas as

sen6 x.

cos4

definidas por: e) sen3

e) tg 3 X.

cos 7

IV.49: Determine todas as

cosh5 x.

de cada uma das

2

.J-x

run1çoí~S

de cada uma das

e)

b)

22'+x+l •

4x

2 -

22x +r

e)

2+2x

senxcosx

V( cos x - sen 2

IV.50: Determine todas as

x( are sen x 2

2xx'+ 1 lnx + x )3

de cada uma das

r4

x~arc tg(l - x 2 ) x 4 -2x 2 +2

.J2-2x4

are sen(x 2 -1)

e)

X

2x

2

2 -

e)

ex

.J1 +

e2 x

X

arg senhex .

(1 + x 2 ) ln(l +

IV.51: Primitive por partes as funções definidas por: a) ln

+

(x2 + 2)

tgx.

e) cos 2 x.

COS X.

e) .Jx-2 ln(xX

ln2 X.

IV.52: Primitive por partes as funções definidas por:

x3 2x.

eª sen x3~.

IV.53: Primitive por a)

ex x are

e) cosh2

as

e) x sec2 x. ln

(a

+

definidas por:

x+

senh2

X.

e) x cosecx

(a

e) sec3 x. X.

x 3 sen

+

IV.54: Primit:ive por e" are

esen

e)

X

cos X sen X.

+

e)

1

(l +

IV.55: Primitive por

= e)

e)

e)

e3x

=

~l + (2 - 2x) 2 ,

.Je3x -1 ,

=senh

(../e 3x -1

eJx

=

.Jex+1'

.Ji-+ 4x

=

e)

(J;+i =

2,

IV.57: Primitive por a)

e)

(2x

1-senx 1+ cosx

=3cosht). X

2

= 3 sect).

=

IV.58: Primitive as fimtçõt!S racionais definidas por:

2x+1

e)

e)

4 +6x 2 -x 3 2x 2 +x 4

4x

2x 3 -x 2 +3x

x 4 +2x-l x 4 -1 x 3 - 5x 2 + 7x + l

-2x +5)

e)

e)

2x 4

x 3 -x2 +x-1

x4

-

-

4x 3

+ 5x 2 -

1

2x 3 + x 2 + 2x - 2

I'V.60: lnx

+1 -1

e) - -

Fx+l'

X

2tg2 4senx + 3cosx

e)

sen 3 x + sen 2 x

senx + cosx

e)

1 +senx e)

ln 3 x+2ln 2 x+2 X

que toma o valor 1 em x = O.

IV.63: Determine uma

tal que = 2.x-1,

IV.64: Determine a

=3 e

da X

tal que

Hm x~+=

=0.

=o.

.Jx

2

+ x + Vx 4 + x 3

•

IV.65: Determine uma

tal que

=L x-->0

IV.66: Determine uma

tal que

+ x - 3 e lim

= x 2 3x

= 5.

x-+-=

tal que

IV.67: Determine uma

= ellx x4 (1 + IV.68: Determine

+x-1 e

=O.

tal que

+

::::

=-112 e

Hm

-

x-->+oo

IV.69: Determine uma

3:tr 4

tal que

=

IV.70: Determine uma JR\ por

l + e6x

e Hm

continua em

2" cosx +sen 2 x

= 1.

x~+oo

com

=-hr2 2,

derivada é definida em

sex
sex >O

IV.38: 2-

--x--<1.

14 senh

1

e) 1h sen

18

4

+

e)

- 1h1

60

IV.39: e)

b)

5

2·

~

In2

e Integral em IR e IR"

·-----

e) cosec

are

IV.40: X

+

4 ln

+e.

5

+e.

e) 8 are sen

4 are tg Xh + e.

+e. 2

h are tg h +e.

4

X

][V.41:

+e.

ln 5 X

8 are tg (x-1) + C

e) --+e.

5

1 cosx

+e.

e) --+cosx+C.

-2

+e.

IV.42:

+e. +e.

h ln Jx-

1

-eotg

ID isec X + tg xl + C.

+e.

e) - 1h ln jcosec(3x)+

IV.43:

5ex

l

3

/is are tg

+ e.

-2.Je-x -1 +e.

are sen ex + C. e) 1h ln

+6xJ

e)

+e.

+e.

are sen (ex- 1) + C.

+e.

t(2+

IV.44: lnJln(x 3 )1

l

---+e. 2

~-~+e.

3

6ln

+e.

X

+

e)

IV.45:

-senx +C.

+

+C.

e-3x

+x+-+C. 3 x 11

-

11

--

9

e) 2

10x 7

5x 3

7

3

+-- - 2x 5 + - -

X+

C.

e)

+e.

,

___integrnl am

IV.46:

r

+e.

tg

2x-1

J5

+e.

e) are sen

+e.

6tg5 X X +C. x+--7 5

e) 'h(x-senxcos

+e.

X

-+-+-+C. 2

3

10

IV.47:

- rn cosh

8 senh

1

+ C.

e) e2x-2e" +ln (e 2x +Se"+

+ sen 4

+e.

e)

+e.

/z are sen

+C.

+

+e.

+C.

IV.48: sen4x + sen2x 32 4

+ 3x +e.

l (5x 3sen4x - - - 2 sen 2 x+ + 8 2 8

8

sen5x _ sen 3 5x 5 5

e)

X

e)

2

+

+ 3sen 5 5x -~+C. 25

2senh3 X senh x+ 3

+C.

Senh 5 X

35 C

+---+ . 5

IV.49:

x+2

2arc sen-- +e. 2

44' .

ln(2 + 2 2x)

tg2x-l/2

----+-~=

+e.

2ln2

+e.

e) 2. (ln2t2 • 2 2'

+e.

+e.

e)

IV.50:

+e. sen

+e.

+ C.

13 [are

- 1

e)

+e.

e)

+e.

h [l +are sen

2

h ln

1

+

+e.

IV,51:

(x -

ln

- 5) -

X

+ C.

+

are tg X

x2 --

+ C.

2

e) 2h(xe)

1/i

+e.

ln(x-2)-419(x-

x 2 SCll X +

x2

(X+ sen X COS x) + C.

4

COS

C.

ln 2 -2lnx+l)+C.

iV.52:

-3 e) x tg x +ln

b)

+C.

+e.

--fs(x2 -

xl +e. 3

+

eosh

e)

+e.

+ 1) -

x ln

- are tg

+ C.

2a

lV.53:

-eosx

+x-

2 e) lf2

ln

+e.

+

+

-X

COSee

X+

+ 1) are tg X -X ) + C.

1Ji

l

Ü sen

C.

+e.

cosh

2a

x sec x

e) -ln

b) _l

+C.

+ 1) - - cos

+ 1) +e.

6

IV.54:

_lh

ex

l + - are tg 2

-x

e)

X

e)

+

+

3x

+e.

+ C.

X

b)

esen

X

X

à)

x-1)

+e.

l +-are 2

x+C.

3 +- are tg X+ C. 8

IV.55:

+C.

e)

e2x 2

2

+

b) 2

+e.

+

ln 2 t

~-51nt+25

2

+

+5l+C.

+C.

+e.

+(2-

e)

3

3

-~-+12

+3

2

5

+e.

+

IV.56:

+

-eos

+e.

e) 2h are l 4

2

+

5 X

+e.

+-argsh

e)-

+e.

+

b)

2

+C.

+

+e.

+

+e.

rv:.57: -~ln

b)

X

e)

2

+2

4

-are

2

+C.

IV.58:

3

+

4

1 x-2

l

e)

-~---are

e)

--+

2

2

1

+ l)

+e.

are tg

X

2

l

X

tg-+C. 2

X.

- li + are tg -X + C.

b)

-~--+

+l

1 - - ln (2 + 2

+e.

l

X

2

2

- - are tg - + e.

x-1]

+--+e. 2 l +x

4

IV.59:

x-1

- -l - -are tg--+ e. x-l

1 1 e) ----+-ln

x-2

b) x+

2

2

-2x

3)+

x-1 aretg--+C 2 .

+e.

e l11tegrnl em IR e 1

3

x-1

- - - - - are tg - - +e. x-1 2 2

ln

3 e) -+x+2 4

x-11 lx+l

3 - - - - - are tg X+ C. 2

2x + ln - - · . + are tg

-1) +e.

IV.60:

2e" - e2x - ln

e) ln 1-1-+--1- - 1-

senx

senx

2 --ln

+e.

+ 4 are tg

e)

+se<+

+e.

15

+ C.

+e.

-tln

+1-

+e.

IV.61:

+e.

e) ln 11+2x + .Jx(x + 1)1-arc

are

l ,J1 - e 4' -1 l - e2' --+-ln 1+ ez' 2 e2'

+e.

e)

+ 1.

= 2x ln x + x - 1 (x > = 1h are

IV.65:

x4 144

-

ln X

lf(l -

+C.

tg~l +!Fxx+ Jl+x +e. x l+x

sen IV.63:

b)

-

h are tg "h.

1

7) + X + 1.

lnx

l 1 --+-ln(ln 2 x+ lnx 2

+C.

Integral em

----

- 2x ln 3 + 2] ~-

lV.66:

On x -

IV.67:

= e 11x + x

IV.68:

= - 1h are tg x + n:.

IV.69:

=e

l

~

+ 5.

1) +ex+ l - 2e.

2 are tg( e3x )-ir

IV.70:

6

ln2-l)+C -(ln

+e

sex ~O sex >O

+

em

I

l11tegrnl em IR e IR"

Ik

=

k

= 1,

n.

e

Ao senta~se

- t

k-1'

com k = 1,

à

IV.4. Soma I, é

a uma

p

a uma

p

y

y

X

s

s

s

-1

sorna I, isto é: 'v'P }.

tem-se sempre:

-l

e Integral em JR mn uma

em I, sse

Nesse caso escreve-se apenas

ou

,ou a

=

EXEMPLO I'V.71:

Para toda a minado por essa

a

vxeI=

que se escolha no intervalo

Cakule

b], tem-se em cada subintervalo Ik deter-

n

9'(f,

n

= í:sup k""'l

= CI;(tk k=l

lk

-tk_) =

k=l

= inf {9'(f, P); 'i!P} == inf

=

= k=l

-1

Como

dx= -1

a

-a).

EXEMPLO IV:.72: Mostre que a sex EQ

=

sexeIR\Q

comb>a.

Neste caso também é calcular o valor das somas da escolhida. Para toda a"'"'"""º'" P do intervalo tem-se em cada subintervafo Ik determinado por essa

2e

-5.

n

<::/(/,

- tk_l) = 2Í:(tk ktj

k=l

P); \iP} = inf{2(b-

ktj

=

n

s

= Í:(-5)(tk k=l

Logo,

= -5(b-

242 Elementos de Cólrnlo Diferenciai e Integral em IR e mn

Teorema IV.4: Sendo/uma função definida e limitada no intervalo I =[a, b], é condição necessária e suficiente para quefseja integrável em [a, b], que

V 8 > O, 3 e> O:VP, partição de I, de diâmetro < ê :=:;. '::f if, P) - s(f, P) < 8. Note-se que este teorema afirma quef é integrável sse o limite da diferença ~(/,

P) - s(f, P),

quando o diâmetro da partição tende para zero, for zero. Ou seja,/ é integrável sse as somas superior e inferior tiverem limites iguais quando o número de pontos da partição tender para infinito. Isto acontece para todas as funções contínuas. Seffor uma função continua e não negativa num intervalo I = [a, b], o integral def neste intervalo, ou seja, o valor comum dos limites das somas superior e inferior, representa a área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eixo dos xx, e pelas rectas x == a e x= b. y

X

EXEMPL O I'V.73. a) Sejaf(x) = xpara x E [O, a], a > O. Paracadan E IN, considere a1)artição de [O, a] Pn ={o,~. 2a, 3a, .. . ,~=a}. n n n n

a

b) Prove que f

é integrável em I =[O, a] e calcule Jx dx. o

Y.

X

n

n

= O, 1, 2, ... , n Atendendo à

f = (k+l)a, n

)=

+l)=

ª2 n2

+2+3+···+

a2 l

+n

a2 l

+n

=---n=---. 2 2 n

Como ka n

ka a k=o n n

=

s a2 k= ª2 2 n k=o n2

Aprova de

n

I ka [(k + l)a _ k=o n

n

=

n

+1+2+3+···+

último

fazer-se de duas maneiras:

a 2 1+n

=---:::;> 2 n

'v'P}

= inf llEIN

ª2

- 2,

ª2

=sup

2'

-1

n-1 - crescent e "'""'""'"º"'";"' para 1. - e. uma sucessao n

Como

= -1

a

a2

o

2

Jxdx=-. Pelo último teorema: a 2 1 +n

lim [ ':J(f,

2

n-->+=

fogo fé integrável.

Teorema IV.5:

n

2

= li.m n-H-oo

az -=O, fl

+ e IR

-1'

IR, continua,

integrável em [a,

=

X

o mesmo não que, apesar ser

l -=+=e x--;.o+

un:

IN:

X

l

-=~=. x--;.o-

X

u1

u2

U3

t

t

t

t

l

2

3

4

o

é

numerável. Com Q: 'li

-'li 'h _lh

2fi

_21i

'h _113 3Ji _)li '/4 -'/4

t t t t t t t t t t t t 1

2

3

4

5

6

INcZc

7

8

cIRc

9

10

11

12

É

a sex

=

EXEMPLO IV.74:

se é

mti~gr:ive

E

sex ElR \

em

l sex=n

2"

sex EI

TI

é contínua em In, V' n E IN. Nos

é constante em cada intervalo

=O:;t: Hm

x~(~r

é limitada e é descontínua no em [O, l]. +

1.

o

com n EIN e I n "'

da forma

* x->(ff lim {xE IR:

X=

[a,

/n

1

E

, que é infinito

é um espaço

em

+

+ a

a

b

f

E

=

a

a

g

~O,

g a

tem-se: b

I

a

a

a

a

em

5.

e

em[a,

6. M=

a

em=

e l11tegrnl em

e IR"

b> a. :S:M ~

~m

E b

b

f

: :; f M

:5

=> m a

<:=;>

m

:5

~

a

a

:5

<:=::>

m :5

a

1

:5

~b~a

a

tomar 1

À=~

b-a

para

a

o ao

b

a

se Â=-1-

a-bb

7.

teorema do valor

b]. Então

que:

a

y

f(c) ---------

o

a

e

b

X

8.

em

teorema

= b

a

=o.

9. a

f

""''"'"I'"""' que os"""""""'"'"" reais a, b e e, pe1rte1tic~mt1:::s a um iptegrável em I, então:

Ie

e

dx+f f(x) a

EXEMPLO IV.75: Calcule o integral em [O,

a

da função 1 sex=-

={:(n+l)

n

Como já se provou esta

In =

E

sex el n

2"

1

=

b

1

l/n

I

dx=···+

J

dx+···+

!/(n+l)

00

11 "

n(n + 1)

n=l

l/(n+l)

2n

f n(n + 1) (l n=l

2"

n

dx+

1 n+

=

J

n(n + 1)
n=I

2n

f n(n + 1) ___ n=l

2"

dx =

+ 1)

dx= n=t

1/2

1/3

=L J =

10, tem~se:

l]. Pela

em

é

l/(n+l)

11 "

J
l/(n+l)

00

n=l

_!_ = __t_ = l. + 2"

1- t

Integral em

e IR11

EXEMPLO JrV.76: Calcule

-II dx. Atendendo a que, como b

f Cdx::o então: 1

-l)dx=Jldx-

dx+

dx-

dx=

2

=I-t+fxdx-

dx-1=

Este exercício serviu para Y"""'"'l-'"'"V'~' ""'''""""" dos urn. 5 """"'' mas não é a maneira mais cómoda de calcular 1ntPm"<>H Existe um processo muito mais baseado na chamada de Barrow e no uso de Com o de a essa regra, vamos indefinido. estudar a

o

então

escrever-se

o

2

que, no b

J a

a

a

o seu

em

que provar que E X-'>C

ou

=0.

teorema 8

com de extremos e ex.

=O, e

é

E

I,

=

Há que provar lim
X-C X

Jf(t)

~-- = lim À(x)(x- e)= x~c

teorema

lo

com

extremos e ex.

x--tc

x---tc

X-C

x~c

x-c

x~c

=

então

é uma

EXEMPLO IV.77: Calcule

d

X

-f dx

dt.

a

para '\lx

E

IR,

é contínua em IR. •

EXEMPLO IV.78: Prove que se/é diferenciável em

e verifica

constante em IR.

d dx

dt

+

=O, '\lx E IR

a

O teorema fundamental do cákulo ser 1'5'"'""''"'""ªu"' indefinidos nos um ou ambos os extremos de

=O, '\lx

E

IR. •

Consideremos d

dx diferenciável = y, temos

onde

contínua. Usando o teorema da derivada da

d

dt·

dx

com-

dx

Consideremos agora o caso

d

d dt=-dx

b

-J dx

a(x)

dt =

diferenciável

d

d dt=-

dx a(x)

e

f

d dt+-

dt =

dx

dx a(x)

Acabámos p0Jt1a1l1to de provar que num intervalo abe110 I, então 'ílx E I, tem-se:

d

e

dt =

dx a(x)

EXEMPLO IV.79: Calcule d

dt.

dx

d

dx

lnx

+

dt=

e~x'+x' _ J:_ e& X

lnx

EXEMPLO IV.80: Cakule x'

J Jxsent

sent dt Hm_;cº--x x-->0

2

dt

forem diferenciáveis

é uma

O limite de~~~~ •.,

Para a levantar oodem(JS usar a conhecida

caso, é necessário usá-la x'

Jsent dt

Hm~º----

r

X

x-->0

J xsent 2 dt

=

2

Hm----------~

x-.o

senx 2 + senx 2 + 2x 2 cosx 2

senx 2 + 2x 2 cosx 2

= Hm-------~ x-.o

senx 2 + x 2 cosx 2

3cosx 2 -2x 2 senx 2 . 2x cosx 2 +4xcosx 2 = l1m-------------~ = lim x-->0

2xcosx 2 +2xcosx 2

-

x-+0

2cosx 2 -x 2 senx 2

e

3 2

+

uma sua

Então:

a

é uma

=

+C-

a

=

= a

É

-J a

escrever

= Barrow coma

A regra recorrer

a

+

EXEMPLOS IVJH: Calcule os e' b)

dx.

dx.

J

e)

dx.

l 4

-cosn

-coso

1

-1

2

2

2

2

=-----=--~=l

sen2x dx ==

e) A

= t ~ X = t 2 ~ x' = 2t ~ ~

ln ,,Jx

lnt


f

dx=

(

dnt-

-1)]e' =2[e(lne-O-Onl1

=2. •

integral,

teorema:

EXEMPLO IV.82: Calcule

--~dx.

o ex+

e2x

Fazendo a e"

= t => x = ln t => x' = r-1,

então x = O => t = l e x = l => t = e,

l

o ex

1

A

B

+t3

t

t2

- - = - +t2

+ e2x

dx =

C

+ ~ => l l+t

t = -1

Je_l_~ dt. t + t2 t 1

= A t (l + t) + B (1 + t) + C t 2

=> l = C; em t 2 : O= A+ l =>A= -1

l 1 l 1 l
=>

l

+ti==

l

f--dt= 2 1

t +t

+l=

t

l --=> t l

--+1. • e

EXEMPLOS IV.83: 1. Justifique que senx X

sen x dx x 2.

=f 0

x dx ~are senx·


=

I
comge

o

Calcule x= O.

e

que, se

;t; O,

então qytem um

de inflexão em

Por meio duma

por 2x

"' f u

2

du.

de senx X

não estar definida em x = O, a

é Hmhada em todo o intervalo . senx 1 1im--=~ x-.o

nos

X

a ""'y,

é contínua é

a !J':l!<:iLH.li:ILUtç U!CHC:aa;a, basta fazer a un'"""""'ª de variável sen

X

x = are sen y; x = O ~ y = O e x = rt/2 => y IV.83.2

Para provar

= 1.

Pode escrever-se X

X

dt+2xft

dt + x 2

+2

X

dt +

ft

2

Jt

dt + 2x 2

o X

X

dt + 4x 2

dt+2ft

= 2x f

Ç:?

X

=>

=> Em x = O, tem-se:

=2f

dt + 12x

+ 4x2

+ 20x

+ 4x2

= 14

é finito.

=O e q;tem um

dt.

X

J

= 2x

X

f

= x2

de inflexão em x "' O.

=

:t: O,

+x2

i11tegml

-·-·

------~--'---~~-···

Fazendo a U =X+

t ::::::> t =

dt

U -X::::::>~

= l; t = 0 ::::::>

U =X

e t =X::::::>

U

=

du resulta a

EXEMPLO IV.84: Mostre que, '\/a e IR: uma

em

e

então

dx= uma

e par em

o.

então

dx = 2

dx. o

dx+

dx= -a

Fazendo no l.º

x=-y, donde

a

(-1)

dx=

dx.

-a

=-1, vem

=

::::::

-a

+

dx= O.

dx=

+

dx= o

Tal como na alínea

tem-se

dx+

dx=

dx.

-a

dx=

+

dx=

dx.

•

Então:

a

a

EXEMPLO IV.85: Calcular

dx. -n/2

n

n

n

-cosx dx = --cos-+ 2 2 2 -ir/2

senx dx = -n/2

Jr

+

=sen--

=1-

2

EXEMPLO IV.86:

de classe C 1 no intervalo

= f(l) =O e

dx = 1.

Mostre que l

J

Tentando resolver o

por

com e v'

=

ou

u'

+

e

V

+

=2. •

tal que

Integral em IR temos: 1

l

J

-J

dx =

+

dx= 1

1

dx-

f

dx =-1-

J

dlx.

o

Então 1

j

2

J

dx =--V:?. •

dx=-l=>f

e],

então a um

não

e

em

< b.

ou

'''"'~'"'" 1 e lnfegrn1I em IR e IR11 .~~~~~~~~~-

+=

J

dx.

-J

dx = Hm

+

dx.

.

c-2

-

1

l 2

= hm-~=-, c->+ro

-2

(l.ª

o

J

e)

dx

+

= lim

j-J3 +lnx dx= Hm e

+

~ dx=

X

.l

dx=

4

+

X

+

- 4312] = +oo.

==,

então o

este

não

ou

+

+

=-00.

ll'rim•m,,," e

lntegrnl em

---~--~-~~=--------~~~~-··~··-

De :=oo

em

'

E

EXEMPLO IVJl8: No caso de serem l

f lnx dlx.. o +§oo

1 dlx x~Inx-1 ·

1 f~º -1+x2 dlx •

-

e)

Hm Xnx =-oo, X--70+

o 1

JInx dlx = O

Hm c--70+

e

= -1.

cz

emx = 5.

2

5

2

e

f~~dx=HmJ~-

=

o

c--?s-

=

00.

Jx-JI-1 lnx dx.

e)

0

Como ln e = 1, a

int'"'"'"""'fa tende para infinito nos dois extremos de mt13Qx.aca10

urn."''.'" dado vH<~H•·aU•~v-1:110,

vafo de em 1.

mt1~gr.açã10

fazer-se num

l

e

escrever-se como uma soma de dois por integral misto. A do interarbitrário do intervalo

1

1

l

e

J0 x-JI - Inx dx-f dx+f dx- x-JI - lnx x-.Jl - lnx 0

l

=

1

1

1

e


l x.JI- lnx

0 X

O- lnx)112

1 dx = -
1

x

1

d

~ dx = Hrn[-2.J1 - lnx] + Hm[-2.J1- lnx] = 1- lnx

e

c-;o+

d->e-

+ 2.J1 - lnc) + Hm_(-2.J1 - lnd + d->e

o

=

2

1

e

J

1

d

HmJ dx+ Hmf dx. c->o+ x-JI - lnx a_,e- x-Jl - lnx

1

= +oo + 2 = +=.

dado é

1 e

l dx. x-Jinx -1

misto porque se de 2.ª

X""

e)

COffi

um um;oe,i•m l1np1rópno

finito a> e, por

T 1 dx=fex~lnx-1 1 dx+T l dx= ex~lnx-1 ªx~Inx-1 + lim[2~lnd-l d->+oo

e)

Trata~se

dum um.;c;•
1

mtegi~ais im~

+

l+

a

= are tg a - are tg

1 l+

= e-?-=

-are tg a= rc/2 + rc/2 = n:.

+are tg ( +

Então é

§

2

l

t3 + 5

d

t 2 -2t + l

t.

Como já se [a, por :as;

agora o caso

s;b

[are

o:::;y

+e e

y

Então b

J[f(x)+ a

a

o'5. y

a '5.x'5.b

+

e

b

J

+

a

a

a'5.x'5.b

0Sy'5.

+

a

a '5.xS b

+C'5.yS

+

é

à a~x'5:b

b

b

I

b

-I

+

+

a

a

=J

+

+

a

b

=I a

Em resumo:

EXEMPLO IV.90: Calcule a área da

definida por

-x2 + 2x ::;; y ::;; -2x2 + 4x.

2

=f

+

+

dx

+

y

X

EXEMPLO IV.91: Calcule a área da

Hnhas de

limitada

= cos x,

y = sen x, y

x = O, x = 2n:.

2n X

Como se vê pela

a

mas

área se pretende, não pode ser descrita na forma

na união de três regiões deste

comOs;xs;"/4

e

senxs;ys;cosx;

com "/4 s; x :::; 5"/4

e

cos x :::; y s; sen x;

com 5"/4:::; x:::; 2n

e

sen x::;; y s; cos x.

A área total

total=

dx+

dx+ n/4

+

dx= 5JCl4

+

+

-li -li

-li

=-+-~l+~~+-+-+-+l+-+-=

2

2

2

2

2

2

2

2

l11tegm! em :IR

um

b

f a

y=

l].

XE

Tem-se

"" t =:>

X""'

1+X =

0 =:> t = l;

t2 ~ X = t2 -

1 =:> t =

X=

Então 1

J

dx =

3

t t 2t dt = 2[ ~ o 3

JJ2 = 2 1

3

l

~ X'

= 2t.

e Integral em IR e IR11 ------~

EXEMPLO IV.93: Cakule

dx= !

f

=senh l -

= coshx dx =

senh O= senh 1. t

é dado por

-l

Fazendo a

senh t , cosh t 2x=senht=::>x=--=:>x = - - .

2

2

!lP cosh t cosh t = cosh t senh t -
+ cosh2

cosht senht- t 2 !lP cosh2 t = cosh t · senh t- t => !lP cosh2 t = - - - - - -

2

- .! 2

-

cosh t senh t - t t=------

4 ·2x-arg

senht-t) =

- arg senh 4 +

+ arg

l11tegrni em ··-----~-

uma a:;;x::;; b

y y"" g(x)

R -------- ----------- -------- ------- -------- ...... ---

r -----b

o

X

-f2(x)]. X

b

J a

e lntegrnl em IR e IR"

B=

O

c~y$.d

é

então o

d

I

= EXEMPLO IV.95:

Aa

definida por:

Calcule o volume do sólido de dos xx.

de 2n: da

y

y

ó

Neste

A em tomo do eixo

X

X

=O,

volume=

dx

dx=

=

11:

2

-2e+

5

+

IV,96: Considere o domínio A Calcule: A área do domínio A O volume do sólido de 211: dlo domínio A em tomo do eixo dos xx.

y

y=2

X

A área

ser cakulada por meio de um único

definido se considerarmos

A= d

de A=

J

-f(y)]

Teremos 2

f[.J4-y

de A=

=[!._.J4-y 2

2 -

é a soma de duas

O volume V

2

uma gerada

XE[-2,0],-x:<;;ys;2}~

=

+21m::senl+ 2 2

e outra

o

=n:f(4-

dx =

-2

x

E

O s; y s;

.J4 - x

=n+2.

16 3

~rr:.

2

2 }

::::::>

= n

J

-O] dx =

16 3

-11:.

Então V= limitado

2x

+ l =O e x-y- l =O.

das

defini.das por

l11tegrnl em IR e IRl'l """~·i+i'"""' que a área Calcule o volume do sólido domínio que tem x 2:: O.

do

EXEMPLO IV.98: Calcule o volume do sólido rei;:1re~;entaalo na sabendo que ele ser obtido A::c::;;

y

y

X

-r

r

X

+

Volume=

dx=

-1'

dx=4Rn

dx.

-r

r

x=

sen

::::::::>

=

cos t; x = -r =:? t = -"h; x = r

=:? t

= "h =:? Vol. =

f

=

-r

=4n Rr2

cos 2 t dt = 411: Rr 2 -1'12

1-cos2t [ dt = 2n Rr 2 t -n;/2 2 ,

=

Rr 2 •

lliltegrnl em IR

EXEMPLO 1Vo99:

A conente num circuito RCL é dada por

+

=EC

São constantes a a resistência R em R

a=-·

2L'

A carga Q em coufombs é dada por

dt

= i,

Determine Q resolvendo esse

dQ dt

.

-=1

(ª2

T

e

=o:::::}

=

fi

dt=EC -+ ' (1)

T

J

Primitivemos por

u = e-ª1 :::::} u' = -ae-ª1; v' = sen


) = -e-at

a ro

---- -

ro s' = cos


sen

)] dlt.

rnt.''"'"'·1,, e integrnl em IR mn

----

(!)

+ -e-ª'[m cos(mt) +a sen(rot)] ª2 +m2

:::;.

"'EC

+a 2. A probabilidade P de que um trónica dure entre 3 e 5 anos, com um uso

dt =

+

m

+

digital manufacturado por uma é dada por:

5

f

P = 22.05 r 3 dt.

Cakule a f.J"'"Q""j"'·"~"'" P. Calcule x tal que

r 3 dt=1, ou seja, determine entre que valores se encontra o

P=

r2 Js = -ll.025(fs-

r 3 dt = 22.05 [ _ 2

3

X

J22.05 r 3 dt = l <=> -1 o

de vida destes

=l<=>-1

l

-t) =}

<=>

=49 ~ X = ±7.

encontra-se entre 3 e 7anos.

+

elec-

l11tegrnl em IR à velocidade de 2t + 3 3. Um fluido escorre para dentro dum ' do meio-dia. Se o estiver vazio ao meio-dia e tiver a que horas estará cheio? de 1000

Vamos começar por

PY1'lr111f11r

tudo na mesma unidade de

horas.

A velocidade de escoamento é = + 3) litros por hora. A 'l"''"''""n"·"' de fluido que escorre para dentro do ao fim de T horas é T

J o

estará cheio às 02:51H. +

+

+

dt =

60T2 + 180T =

= ou

+ 180T. T"' 2.849 horas

do meio-

IV.100: Calcule os seguintes -n/3

b)

Jcotgx dx.

e)

X

-1'14 l

Jex are tg(ex) dx.

e) -1

1 X

e2x

!1~dx. 1 J~dx. 2 -1

+oo

e)

e)

8 - 4 sen x + 7 cos x

o

l

dx.

-------dx.

e)

J1n-dx.

senx + cosx dx. 1 +senx

----dx. e2x + e-2x

senx

b)

.J4-lnx dx.

+oo l e) J---~dx.

10+

e lntegrnl em IR e IRª

+=

5

f ~x-dx 4 16-x

2

•

2x + 3-x 2 e) { (1 - 2x + 5) 1

1'1:104: Cakule as áreas dos A=

e)

y:::::

domínios

o

e=

/\X

:S;

2;

=are tg x;

D=

x 2 - l :::;;y:::;; (x

A=

lx

+

:s; 1}.

B= e) C={(x,

D = {(x,

Osys;"/4 y::;; x 2

x(x-1+

x2 +

s; 2

:s; y :s; are tg

y;:::: x-

e) E=

das linhas dadas y=

,XE X

e) y=

E [0, "/4].

y=

, com Os; x :s; 2.

IV.107: Calcule o volume dos sóHdos de dos xx das a indicadas:

e)

A=

y:::::O

e""

o s;y :s;

b) B =

,-2

$;X$;

1}.

com -2 s; x ::;; 1.

lV.108: Determine o valor médio da

= ln x no intervalo [1,

com base b e área numericamente

IV.109: Determine a altura de um rPl'.rnnm limitado

>

IV.110: Sendo

=

calcule

+

e X

IV,111: Determine

definida e continua em IR tal que

IV.113:

J

eg(t)

=

IV.114: Mostre que

tem um mínimo local em x = 1 e um máximo local em x = O.

IV,115: Mostre que

X

com

x 4•

tais que