Cuadernilo de Calculo Diferencial e Integral

Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010

CUADERNO DE APUNTES DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2010

Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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I.

PROGRAMA DEL MÓDULO

I: IDENTIFICACIÓN NOMBRE DEL MÓDULO:

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

UNIDAD DE COMPETENCIA:

Al finalizar el módulo los participantes serán capaces de: Operar con métodos y técnicas de resolución cuantitativa de problemas, demostrando manejo conceptual y operativo de teoría de funciones, derivadas e integrales, habilidad para utilizar calculadora electrónica y capacidad para interpretar los resultados en el contexto de los casos.

DURACIÓN:

72 horas pedagógicas

II: DESCRIPCIÓN POR ÁREA DE FORMACIÓN Y PRERREQUISITO Área de formación: general diferenciada Ubicación en la malla: 5º semestre Prerrequisito: no tiene III: UNIDADES DE APRENDIZAJE 1º UNIDAD: Funciones Reales, límite y continuidad DURACIÓN: 24 horas pedagógicas APRENDIZAJES ESPERADOS -

Identifican y caracterizan la función lineal en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio con la especialidad. Resuelven problemas contextualizados en la especialidad, demostrando capacidad para operar con la función lineal. Identifican y caracterizan la función cuadrática en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio con la especialidad. Resuelven problemas contextualizados en la especialidad, demostrando capacidad para operar con la función cuadrática. Identifican y caracterizan la función exponencial y la función logarítmica en forma analítica y gráfica. Analizan fenómenos de crecimiento exponencial y logarítmico en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio con la especialidad. Resuelven problemas contextualizados en la especialidad, aplicando modelos exponencial y logarítmico.

CONTENIDOS RELEVANTES Función lineal: - Características - Ecuación representativa - Gráfico - Aplicaciones Función cuadrática: - Características - Ecuación general y particular - Gráfico - Aplicaciones Funciones logarítmicas y exponenciales: - Características - Ecuación representativa - Gráfico - Aplicaciones

- Calculan límite de una función real. Concepto de límite de una función real: - Aplican propiedades de las operaciones con límites, en forma gráfica - Teoremas de límites y analítica. - Continuidad. - Límites por la derecha y por la izquierda.


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- Discontinuidad evitable e inevitable - Relacionan la continuidad de una función real con el concepto de límite. - Límite infinito - Asíntota vertical y horizontal - Calculan límites laterales. - Calculan límites de funciones racionales, polinómicas, compuestas y trigonométricas. - Examinan si una función es continua o discontinua. - Identifican límite infinito. - Determinan asíntotas posibles de una función.

2º UNIDAD: La Derivada y sus aplicaciones DURACIÓN: 24 horas pedagógicas APRENDIZAJES ESPERADOS

CONTENIDOS

-Derivada de una función real: Definición. Notación. Interpretación geométrica. -Incrementos y tasas Aplican el concepto de derivada al cálculo de tasas e incrementos. Derivan funciones reales de una variable, aplicando las propiedades -Propiedades de la función derivada con una variable: de las operaciones: - De la función constante - De la función constante - De la función potencia - De la función potencia - De la suma y resta de funciones - De la suma y resta de funciones - Del producto de una constante por - Del producto de una constante por una función. una función. - Del producto de funciones - Del producto de funciones - De un cuociente de funciones - De un cuociente de funciones - Regla de la cadena - Regla de la cadena - De la función exponencial - De la función exponencial - De la función logarítmica - De la función logarítmica -Derivada a funciones polinómicas, Calculan función derivada a funciones polinómicas, exponenciales, exponenciales, logarítmicas, seno y coseno. logarítmicas, seno y coseno. -Valoración de funciones derivadas en un Valoran funciones derivadas en un punto. punto. -Determinación de puntos críticos con la primera derivada: Evalúan la existencia y calculan puntos críticos de una función. -Intervalos de crecimiento y decrecimiento Calculan máximos y mínimos relativos de una función. -Máximos y mínimos locales Calculan intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. -Máximos y Mínimos. Criterio de la segunda Resuelven problemas sencillos de máximos y mínimos. derivada.

- Expresan el concepto de derivada de una función. -

-

-


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3º UNIDAD: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES Y SUS APLICACIONES DURACIÓN: 24 horas pedagógicas APRENDIZAJES ESPERADOS

CONTENIDOS

- Identifican la integral como antiderivada o función primitiva. - Calculan integrales indefinidas de la función potencia, polinómica, exponencial y logarítmica. - Calculan valor numérico de integrales definidas de la función potencia, polinómica, exponencial y logarítmica. - Aplican la integral definida al cálculo de áreas planas bajo la curva. - Demuestran comprensión de la utilidad de la matemática para la resolución de problemas en distintos ámbitos humanos.

-Concepto de integral -Integral indefinida. Concepto y fórmulas de cálculo para funciones potencia, polinómica, exponencial y logarítmica. -Integral definida. Concepto y cálculo de su valor numérico. -Aplicación de la integral definida a la resolución de problemas. -Utilidad de la matemática para la resolución de problemas.

IV: BIBLIOGRAFÍA Edwards, Bruce H.; Hostetler, Robert P.; Larson, Roland E.; Cálculo I. Edición N° 8. Mc Graw Hill, 2005. ISBN: 9701052749. Barrios, Javier - Carrillo Marianela - Gil, María. Análisis de Funciones en Economía y Empresa. Un Enfoque Interdisciplina. Díaz de Santos, 2004.


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II.

DESARROLLO

PRIMERA UNIDAD: CLASE

FUNCIONES REALES, LIMITE Y CONTINUIDAD

1

APRENDIZAJES ESPERADOS - Identifican y caracterizan la función lineal en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio con la especialidad. - Resuelven problemas contextualizados en la especialidad, demostrando capacidad para operar con la función lineal.

CONTENIDOS Función lineal: - Características - Ecuación representativa - Gráfico - Aplicaciones

a) Concepto de recta La recta, representa gráficamente, a una función lineal (o de primer grado). La representaremos de dos formas:

Donde: a, A, B y C: parámetros constantes x: es la variable independiente (

) y representa el Dominio de la función

y: es la variable dependiente (

y representa el Recorrido o imagen de la función

m: pendiente de la recta Si

,

entonces diremos que ese punto satisface la ecuación.

Ejemplo: El punto (10,8), satisface la ecuación y = x - 2, ya que al reemplazar queda 8 = 10 – 2, lo que es verdadero. Al representar, gráficamente, el punto

, entonces la variable

será:


5


Al representar, gráficamente, el punto

, entonces la variable

será:

b) Propiedades de la función lineal Si

, entonces

es una función creciente

Si

, entonces

es una función decreciente ( ver gráfico 2)

Si

( ver gráfico 1)

( ver gráfico 3)

Lo anterior, significa que para cualquier valor de x, el valor de y, será el mismo palabras, el recorrido de la función, será un valor constante.

( ver gráfico 3). En otras

Gráfico 1: recta de pendiente m > 0


6


Gráfico 2: recta de pendiente m < 0

Gráfico 3: recta de pendiente m = 0

El ángulo , representa la inclinación de la pendiente respecto al eje x. (ver gráfico 4)


7


Gráfico 4: ángulo

de la pendiente m

El valor de la pendiente es:

Por ejemplo, si

se puede obtener, determinando la tangente del ángulo de inclinación

. Esto

= 40º, entonces.

El valor del ángulo de inclinación , se puede obtener, a partir de la función arcotangente Por ejemplo, si m = 0,45, entonces. Denominaremos vertical. Si

, coeficiente de posición, el que nos indicará el punto donde la recta cortará al eje

, entonces la recta pasará, obligadamente, por el punto (0,0). (Ver gráfico 5)


8


Gráfico 5: recta cuyo coeficiente de posición es cero

c) Pendiente de una recta

Cuando se tienen dos puntos a través de la siguiente fórmula:

), entonces podemos calcular el valor de la pendiente

Ejemplo: Sean el par de puntos

d) Ecuación de la recta en función de dos puntos dados

Sea: Si reemplazamos m, en la función anterior, tenemos:


9


Por ejemplo:

En la ecuación general de la recta, la pendiente y el coeficiente de posición quedan determinados por:

Si despejamos la variable y, de la ecuación general de la recta, obtendremos la ecuación principal. Además, obtendremos los valores para m y a.

Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 10x +2y -7 = 0?

e) Rectas paralelas y perpendiculares Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición distintos. Sean: : : Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1. : Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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: III.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

A) Sean los siguientes pares ordenados

. Determine:

a) La pendiente de la función lineal b) La ecuación de la función lineal c) El valor de Respuesta:

a) La pendiente de la función lineal queda::

b) La ecuación de la función lineal queda:


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c)

Los valores que se obtienen para

, son los siguientes:

B) Sea

. Determine:

a) La ecuación de la función lineal b) ¿Para qué valor de x, y es igual a cero? c) Si se le pide a usted explicar, ¿Qué significa en terreno, el valor de esta pendiente? y ¿Qué ángulo de inclinación representa en terreno? a)

b)

c) La explicación, es la siguiente, sobre el valor de la pendiente: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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Que cada 100 m que se avance en terreno horizontal, se descenderá 3 m en vertical.

Respecto al ángulo de inclinación, se determina de la siguiente manera:

C) Si la curva de la demanda está dada por la ecuación y la curva de la oferta está dada por . (Observación: Qd: cantidad demandada, Qo: cantidad ofrecida y p: precio). Responda las siguientes preguntas: a) ¿Por qué la curva de la demanda tiene pendiente negativa? Porque los demandantes (nosotros mismos), consumirán una mayor cantidad de un determinado bien o servicio, a medida que el precio del bien o servicio, baje.


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b) ¿Por qué la curva de la oferta tiene pendiente positiva? Porque los oferentes (los productores del bien o servicio), venderán una mayor cantidad de un bien o servicio, a medida que el precio suba.

q

Q

c) ¿Cuál será el precio máximo que soporta la demanda? Explique por qué no se puede superar ese precio.

Por ejemplo, si reemplazamos en la función de la demanda, un precio de US$ 90, la cantidad demandada se hará negativa y eso en la práctica no es posible, porque no podemos, por ejemplo, estar comprando -50 kilos de tomate. Se entendió?


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d) Halle la cantidad de equilibrio y precio de equilibrio, donde los demandantes y oferentes se ponen de acuerdo en un determinado mercado. En este caso, debemos igualar ambas ecuaciones, es decir:

Una vez obtenido este precio, lo podemos sustituir en cualquiera de las funciones anteriores, esto es: Lo haremos en ambas funciones, para que vea que el resultado es el mismo (recuerde que el precio de equilibrio p=48, se obtuvo de igualar ambas ecuaciones)

e) Construya la gráfica que muestra el equilibrio.

p

(160,48)

Q


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D) Una empresa vende un sólo tipo de bien, y para ello incurre en un costo fijo mensual de $30.000.000 y un costo variable por unidad de $ 2.560, Al respecto, se le pide lo siguiente:

$

a) Encontrar la función de costo total para una cantidad x

b) Encontrar la función de ingreso total, si el precio de venta por unidad es de $3.840

c) Encontrar la función de utilidad bruta en función de x

d) Determinar la cantidad donde la empresa no tendrá pérdidas ni ganancias

e) Determinar la utilidad bruta que genera el vender 25.000 unidades


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E) 1) Un nieto muy regalón, tiene un dinero que le regaló su abuelita, y cuya cantidad es de $ 2.300.000. El quiere saber la tasa de interés simple mensual que le genere los siguientes valores futuros: . El periodo que quiere mantener el dinero es de 48 meses. Para el interés simple, tenemos la siguiente fórmula:

a) Caso a:

b) Caso b:

c) Caso c:


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2)

Señale cuál es la pendiente de la función anterior En este caso, el valor que acompaña a la variable , y que es de

3)

Explique qué sucede con el valor futuro si la tasa de interés es cero

Lo anterior, significa que el nieto regalón, no tiene idea del valor del dinero en el tiempo, y piensa que dejándolo bajo la cama, éste se incrementará.

4)

Grafique los cuatro valores futuros en función de su correspondiente tasa de interés

VF

i


18


F) La tabla adjunta, muestra los datos de venta anuales de andamios para la construcción (cantidad) de una Fábrica Chilena. Se pide: a)

Completar la tabla

b)

Graficar los datos

c)

Encontrar la función que represente las ventas (y) en función de los años (x)

d)

Determinar las ventas pronosticadas para los años 11 y 14 Año

Ventas anuales

(x)

(y)

1

2.000

2

2.010

3

2.008

4

2.013

5

2.017

6

2.021

7

2.025

8

2.029

9

2.034

10

2.039


19


a)

b) Gráfico


20


c) Usaremos las siguientes fórmulas previas para encontrar los parámetros

de la función lineal:

1)

Al reemplazar los datos en las fórmulas, tenemos lo siguiente: 1) 2) En este caso, vamos a eliminar el parámetro a, multiplicando la primera fila por -55 y, la segunda fila, por 10:

Luego, al sumar ambas filas:

Reemplazaremos este valor de b, en la ecuación 1) (También, lo puede hacer en la ecuación 2)


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Finalmente:

d)

Determinamos, ahora, los pronósticos de ventas de andamios para el año 11 y 14

El valor de no es entero (recuerde que el número de andamios siempre es un número entero, en lo que respecta a ventas), por eso lo dejamos en

El valor de no es entero (recuerde que el número de andamios siempre es un número entero, en lo que respecta a ventas), por eso lo dejamos en

IV.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1) Determine el valor de m y la ecuación de la recta, si:

¿Qué puede decir sobre el resultado? ¿Qué puede decir sobre el resultado? 2) Encuentre la ecuación de la recta si:


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Recuerde que:

3) Suponga que usted está en un sector cordillerano donde el GPS, le indica sus coordenadas de posición. Estas son: y el ángulo de inclinación del terreno es de . Se le pide: a) Determinar la pendiente del terreno ( interprete el resultado ) b) Si consideramos casi una recta el terreno, determine la ecuación que podría representarla. 4) Suponga que usted es un flamante Ingeniero titulado en AIEP, y que recién ha sido contratado para trabajar en el área de bodega como Jefe de Inventarios, en una empresa eléctrica, que despacha a regiones, motores trifásicos. El Gerente de Operaciones, sabiendo que usted reúne las competencias necesarias en formulismos matemáticos, lo llama para decirle lo siguiente: “Juan Pablo, tenemos un desorden en bodega y quiero que usted me solucione la causa del problema, para ello le daré los siguientes datos: - Total de motores trifásicos en la bodega de despacho: 2.156 - Ventas diarias de motores trifásicos: 54 Quiero que usted me determine lo siguiente: a) Una función donde relacione el número de motores en la bodega y su venta diaria. y, b) Cada cuántos días se debe hacer un pedido al proveedor, para mantener un inventario de seguridad de 175 motores trifásicos. 5)

Si la curva de la demanda está dada por:

y la curva de la oferta está dada por :


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. (El precio está dado en dólares norteamericanos). a) b) c) d)

Grafique la curva de la demanda y la oferta Determine el punto y cantidad de equilibrio Grafique la curva de la demanda v/s curva de oferta ¿En qué parte del gráfico del punto c) se produce un exceso de oferta?

6) La tabla adjunta, muestra los datos de ventas mensuales de computadores de una tienda, Se pide: a)

Completar la tabla

b)

Graficar los datos

c)

Encontrar la función que represente las ventas (y) en función de los meses (x)

d)

Determinar las ventas pronosticadas para los meses 13 y 17

e)

Si usted observa la tabla, en el mes 9 y 10, las ventas han decaído bruscamente, ¿Qué solución usted propone para elevar las ventas nuevamente? Mes

Ventas mensuales

(x)

(y)

1

25

2

22

3

27

4

30

5

30

6

27

7

32

8

35

9

20

10

20


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V.

RECURSOS COMPLEMENTARIOS

Allendoerfer, Carl B. – Cletus O, Oakley. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Mc Graw Hill, 1995 Budnick, Frank.Matemáticas aplicadas a los negocios, economía y ciencias sociales. 1º edición. 2008. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.U. ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981 Franco Y., Edwin. Universidad de Los lagos. Apuntes de Administración de la Producción. 2006 www.elrincondelvago.com. Presupuesto de ventas www.elprisma.com. Administración de Empresas y Negocios. Pronósticos


FUNCIONES REALES, LÍMITE Y CONTINUIDAD

2

APRENDIZAJES ESPERADOS - Identifican y caracterizan la función cuadrática en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio con la especialidad. - Resuelven problemas contextualizados en la especialidad, demostrando capacidad para operar con la función cuadrática.

II.

CONTENIDOS Función cuadrática: - Características - Ecuación general y particular - Gráfico - Aplicaciones

DESARROLLO 1) Características de la función cuadrática: a) b) c) d)

Su dominio, es el conjunto de los números reales Es continua en todo su dominio Si a > 0, es cóncava, es decir, es abierta hacia arriba ( Gráfico 1) Si a > 0, es creciente para valores de x a la derecha del vértice y decreciente para valores a la izquierda del vértice e) Si a < 0, es convexa, es decir, es abierta hacia abajo ( Gráfico 2) f) Si a < 0, es creciente para valores de x a la izquierda del vértice y decreciente para valores a la derecha del vértice 2) Ecuación general y particular de la función cuadrática a) La ecuación general, de la función cuadrática, la representaremos como: donde: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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a, b y c, son valores constantes ( no variables ) y con la salvedad de que En este caso: 1) La constante a, se llama término cuadrático 2) La constante b, se llama término lineal 3) La constante c, se llama término independiente

Debemos señalar que, la función cuadrática, está representada por la PARABOLA

NOTA: 1) Si x = 0, siempre corta al eje y, en el punto (0, c) Al reemplazar, en la función cuadrática:

2) Cuando la parábola corta al eje x, entonces y = 0, es decir:

Por lo tanto, podemos determinar dos soluciones (llamadas raíces) de x, a través de la siguiente fórmula: .

En esta fórmula, es importante saber qué pasa con la raíz, para ello, realizamos el siguiente análisis: a) Si b) Si c) Si

..

3) Para determinar el vértice de la parábola, usaremos la siguiente fórmula:

Donde: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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b) La función cuadrática particular, la denotaremos así:

3) Gráficos, vértices y puntos donde corta la parábola al eje x 3.1.a) Gráfico 1: función cuadrática con a > 0 Ejemplo: x f(x)

-4

-2

-1

0

1

2

4

17

-1

-4

-3

2

11

41

x2=-2,186

x1=0,686


27


3.1.b) Determinación del vértice a = 2, b = 3 y c = -3

3.1.c) Valores de x, donde la parábola corta al eje x

3.2.a) Gráfico 2: función cuadrática con a < 0 Ejemplo: x f(x)

-4 -41

-2 -11

-1 -2

0 3

1 4

2 1

4 -17

5 -32

V(3/4,33/8)


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3.2.b)

Determinación del vértice a = -2, b = 3 y c = 3

3.2.c) Valores de x, donde la parábola corta al eje x

4) Aplicaciones 1) Determine el vértice y los valores de x donde corta la parábola, para las siguientes funciones cuadráticas. Grafique. a) b) c) d) Solución ejercicio 1.a): a = 3, b =-4 y c =1


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Donde:

Luego:

Hemos comprobado que x se puede obtener por ambas fórmulas Solución ejercicio 1.b): a = -2, b =10 y c =-6

Donde:


30


Luego:

Solución ejercicio 1.c): a = -0,25, b =-1 y c =0

Donde:

Luego:

Solución ejercicio 1.d): a = -4, b = 0 y c = 0


31


Donde:

Luego:

Por lo tanto,

2) Encuentre los valores de a, b y c y forme la ecuación general (o particular), si: a)


32


3) Una empresa produce un artículo especial, para seguridad en altura de edificios. Para ello, el departamento de finanzas, ha determinado que la ecuación de demanda viene en función del precio (p) y cantidad producida (x), esto es:

Se pide: a) Determinar la cantidad de artículos que debe vender la empresa para obtener ingresos por un monto de $ 8.500.000 mensuales b) Determinar el precio del artículo, para obtener ingresos de un 90% del punto a) Solución a) Sabemos que:

En este caso, las cantidades deben ser enteras, ya que son artículos (distinto es cuando se vende litros de aceite, toneladas de mineral, kilos de arroz. Estos admiten decimales)

Si reemplazamos los valores de

y

, obtendremos el mismo valor de ingreso.

Lo comprobaremos:

.


33


Solución b) Sabemos que:

donde pvu = p (precio de venta unitario)

a) Obtenemos el nuevo ingreso: 8.500.000*0,9= 7.650.000

(90%=0,9)

b) Despejamos x en función del precio p,

Por lo tanto, los dos valores obtenidos de precios, darán el mismo ingreso de $ 7.650.000

4) Una amiga, llamada Jacinta Lagomarino Entretenevic, vende revistas de modas, en su sector donde vive, y me ha pedido que la asesore en su negocio. Sin embargo, le he dicho que tengo un excelente alumno de AIEP, que la puede asesorar (así se gana unos pesitos para sus estudios). Ella plantea lo siguiente: Si vende las revistas a un precio unitario de $ 5.550, en promedio, vende 600 revistas al mes. Ha intentado vender sus revistas a un precio de $ 6.000, pero sólo vende 540 revistas al mes. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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Por lo tanto, ella quiere saber lo siguiente: a) ¿Cuántas revistas tiene que vender y a qué precio, mensualmente, para que sus ingresos sean de $3.330.000?

Ahora, para mantener los ingresos, pero vendiendo menos cantidad de revistas, debemos realizar el siguiente planteamiento:

Debemos explicarle a mi amiga que la constante k, indica la cantidad en que se aumenta el precio y lo que disminuye el número de revistas de moda que ella vende mensualmente. Luego:

Note que si reemplazamos

= 0, en la igualdad 1), tenemos:


35


Es decir, se mantienen las condiciones iniciales Veamos ahora qué pasa para el valor de

En consecuencia: a) Cantidad de revistas que debe vender: b) Precio de venta por cada revista:

IV.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1) Grafique las siguientes funciones cuadráticas: a)

¿Cuánto vale c?

b)

¿Cuánto vale c?

c)

¿Para qué valores de x, la parábola corta el eje x?

d)

Determine Vértice y eje de simetría

2) Determine la ecuación cuadrática si: a) Tiene por vértice (4, -4) y pasa por (3, 1) b) Tiene por vértice (0,10) y pasa por

)

3) Un productor de La Serena, tiene en su parcela 4.500 kgs de papas y las vende a $ 100 el kilo. Sin embargo, por cada semana que espera para venderlas, el precio subirá $ 10 por kilo. Por otra parte, cada semana que pasa, pierde 90 kilos de papas por efecto de descomposición. ¿En cuánto deberá vender las papas para maximizar el ingreso

4) Una empresa productora de tubos de oxígeno para hospitales, usa la siguiente función de costos totales y su función ingreso es Al respecto, se pide determinar: a) La función demanda de esta empresa b) La función utilidad bruta Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

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c) La utilidad bruta para una cantidad a vender de 8.000 tubos de oxígeno d) Si usted quiere maximizar la utilidad bruta ¿Cuántos tubos de oxígeno debe vender? e) Si usted quiere empezar a tener pérdidas ¿Cuánto debe vender, como mínimo? e) ¿Cuánto vale el costo variable total para 1.000 tubos de oxígeno? f) ¿Para qué cantidad (o cantidades), la empresa no tiene ni pérdidas ni ganancias? (Esto se conoce como punto de equilibrio)

V.


Allendoerfer, Carl B. – Cletus O, Oakley. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Mc Graw Hill, 1995 Budnick, Frank.Matemáticas aplicadas a los negocios, economía y ciencias sociales. 1º edición. 2008. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.U. ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981 http://www.descartes.cnice.mecd.es http://www.ditutor.com/index.html www.r020.com.ar www.slideshare.net



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APRENDIZAJES ESPERADOS - Identifican y caracterizan la función exponencial y la función logarítmica en forma analítica y gráfica. - Analizan fenómenos de crecimiento exponencial y logarítmico en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio con la especialidad. - Resuelven problemas contextualizados en la especialidad, aplicando modelos exponencial y logarítmico.

CONTENIDOS Funciones logarítmicas y exponenciales: - Características - Ecuación representativa - Gráfico - Aplicaciones


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II.

DESARROLLO 3) La función exponencial la denotaremos como: donde: Diremos que: a) El dominio de la función exponencial, es el conjunto de los números reales b) El rango o imagen, es el conjunto de los números reales positivos. Diremos, también que: a)

(Gráfico 1)

Por ejemplo: Nótese que a = 4

x f(x)

-6 0,00024

-4

0,0039

-2 0,0625

0 1

1 4

2 16

Gráfico 1: función exponencial creciente y = 4x


38


b)

( Gráfico 2)

Por ejemplo: Nótese que a = 1/2

x f(x)

-5

-3

-1

32

8

2

0 1

0,5

1

2

0,707

0,5

0,25


39


Gráfico 2: función exponencial decreciente y = (1/2)x

c) (Gráfico 3 y 4)

c.1) Sea la siguiente función exponencial de base e: x f(x)

-5

-3

-1

0

0,5

1

2

0,0067

0,0498

0,368

1

1,6486

2,718

7,3875

NOTA: estamos en presencia de una función exponencial de base e, creciente


40


Gráfico 3: función exponencial de base e creciente y = ex

c.2) Sea la siguiente función exponencial de base e: x f(x)

-3

-2

-1

0

0,5

1

2

20,079

7,3875

2,718

1

0,6066

0,3679

0,1353

NOTA: estamos en presencia de una función exponencial de base e, decreciente


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Gráfico 4: función exponencial de base e decreciente y = e-x

4) La función logarítmica, la denotaremos como:

Diremos que: a) b) c) d) e)

El dominio es: El rango o imagen es: La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a. Las bases a, que más se usan son: base 10 y la de base Si (Gráfico 5) Ejemplo: Nótese que a = 10

x f(x)

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-0,3010

0

0,1761

0,3010

0,3979

0,4771

0,5440

NOTA: estamos en presencia de una función logarítmica de base a, creciente (a > 1)


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Gráfico 5: función logarítmica de base 10 creciente y = log10x

f)

Si (Gráfico 6) Ejemplo: Nótese que a = 0,5 x f(x)

4 -2

2 -1

1 0

0,707 0,5

0,5 1

0,25 2

0,0625 4

NOTA: estamos en presencia de una función logarítmica de base a, decreciente ( 0 < a < 1 )


43


Gráfico 6: función logarítmica de base 0,5 decreciente y = log0,5x

5) La función logaritmo natural o neperiano, la denotaremos como:

Diremos que: a) El dominio es: b) El rango o imagen es: Ejemplo:

x f(x)

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-0,6931

0

0,4054

0,6931

0,9163

1,0986

1,2528

NOTA: estamos en presencia de una función logaritmo natural, creciente


44


Gráfico 7: función logaritmo natural creciente y = lnx

Ejemplo:

x f(x)

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0,6931

1

-0,4054

-0,6931

-0,9163

-1,0986

-1,2528

NOTA: estamos en presencia de una función logaritmo natural, decreciente


45


Gráfico 8: función logaritmo natural decreciente y = ln(1/x)

III.


A)

¿Cuál es el dominio de las siguientes funciones logarítmicas? 1) 2) 3)

El argumento del logaritmo, siempre deber ser mayor a cero, siendo éste x RECORDEMOS: o un valor que incluya a x, como los ejemplos dados anteriormente. Solución ejercicio 1): Solución ejercicio 2): Solución ejercicio 3):

-2

0

2

x


46


Por lo tanto: a) Grafique cada función Gráfico ejercicio 1:

x f(x)

5,5

6

6,5

7

7,5

8

8,5

0

0,3010

0,4771

0,6020

0,6990

0,7781

0,8451


47


Gráfico ejercicio 2: x f(x)

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-0,1003

0

0,0587

0,1003

0,1326

0,1590

0,1813


48


Gráfico ejercicio 3: x f(x)

B)

2,5

3

3,5

4

4,5

5

6

1,0511

1,3979

1,6154

1,7781

1,9098

2,0211

2,2041

Determine el dominio y rango de las siguientes funciones y señale si es función creciente o decreciente 1) 2) 3) 4)

Solución ejercicio 1: x f(x)

0,5 -2.,0794 a)

1 0

1,5 1,2164

2 2,0794

2,5 2,7488

3 3,2958

3,5 3,7582

función creciente


49


Solución ejercicio 2: Usted debe notar que, aparece una raíz cuadrada en la función, y que ésta, no acepta valor lo siguiente:

, ya que pasaría

a) Si x < 0, el valor de la raíz se hace imaginaria b) Si x = 0, la fracción se indetermina Por lo tanto: x > 0

x f(x)

0,5 1,7328

2 1,0397

6 0,4904

12 0,1438

16 0

25 -0,2231

36 -0,405

función decreciente

b)


-2 0,1111

-1 0,3333

0 1

1 3

2 9

3 27

4 81

función creciente

c)


-2 0,3679

d)

-1 2,718

0 20,079

1 148,336

2 3 4 1.095,83 8.095,526 59.805,892

función creciente


50


C)

Aplicación a los negocios

C.1) Monto acumulado para n periodos:

Donde: C=

Capital inicial o principal

I =

Tasa de interés por periodo de capitalización

n=

Número de capitalizaciones en el tiempo de uso de dinero

m= j =

n*=

Frecuencia de capitalización o número de periodos de capitalización en el tiempo que indica la tasa de interés. Tasa de interés nominal (generalmente anual)

Número de periodos ( que indica la tasa de interés nominal ), en el tiempo de uso del dinero

1) Una persona quiere saber qué tasa de interés compuesta, le generará un mayor monto dentro de 3 años, para un capital inicial de $ 4.000.000. Para ello, el ejecutivo de cuentas, le ofrece las tres siguientes alternativas: a) Tasa de interés compuesta del 6% semestral con capitalización trimestral b) Tasa de interés compuesta del 6% cuatrimestral con capitalización bimestral c) Tasa de interés compuesta del 6% trimestral con capitalización mensual


51


Respuesta:

a)

en este caso:

es 2 * 6 = 12

(Recuerde que hay 2 trimestres por semestre, por lo tanto, si en tres años hay 6 semestres, el resultado es multiplicar ambos valores para que de como resultado 12)

b)

en este caso: es 2 * 9 = 18 (Recuerde que hay 2 bimestres por cuatrimestre, por lo tanto, si en tres años hay 9 cuatrimestres, el resultado es multiplicar ambos valores para que de como resultado 18)

c)

en este caso: es 3 * 12 = 36 (Recuerde que hay 3 meses por trimestre, por lo tanto, si en tres años hay 12 trimestres, el resultado es multiplicar ambos valores para que de como resultado 36 )

ES EVIDENTE QUE LA PERSONA ELEGIRA LA ALTERNATIVA c)

C.2) Una empresa compra una máquina para cortar cerámicos y la fórmula que usará para depreciar el activo fijo bruto (la máquina), será la siguiente:

Donde t, es el tiempo de depreciación en años


52


Determine lo siguiente: 1) El valor del activo fijo bruto en el año 0 Respuesta:

2)

El valor del activo fijo bruto en el año 6

3) El tiempo, en que la máquina vale un 65%, del valor del año 0

C.3) Suponga que un hospital tiene la siguiente función para determinar el número de personas que tienen un tipo de enfermedad:

a) ¿Cuántas personas tenían la enfermedad al inicio?


53


b) ¿Cuántas personas estaban enfermas en la quinta semana?

c) Si consideramos un tiempo muy, pero muy lejano, cuántas personas estarían enfermas ?

IV.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

Responda lo siguiente: 1)

¿ Qué sucede con el valor de logax, si: a) a >1 ,y, x aumenta ?. b) 0 < a <1 ,y, x aumenta ?. c) a >1 ,y, x >1 ¿ el valor es positivo o negativo ?. Demuéstrelo gráficamente. d) a >1,y, 0 < x < 1 ¿ el valor es positivo o negativo ?. Demuéstrelo gráficamente.

2)

Si usted observa cualquier gráfico y=logax, ¿para qué valor corta siempre en x?

3)

Es posible, que la función logaritmo, también se pueda graficar en los demás cuadrantes?

4)

¿Qué valor debe tomar x, si

5)

¿Cuál es el dominio y el rango de las siguientes funciones? a) b) c) d) e)

6) Suponga que una empresa aplica la siguiente función de depreciación en t años:


54


a) ¿Cuánto fue el valor de adquisición del activo fijo bruto? b) ¿Cuánto vale el activo al 8vo. año? c) ¿Cuánto es la depreciación acumulada entre el año 1 y el año 9? 7) Determine el periodo que se debe mantener un capital inicial, a una tasa de interés compuesta mensual de 1,75%, para que se genere un monto superior en un 35% del capital inicial 8) Un estudio realizado en un centro de estadísticas de mercado, determinó que la cantidad de frigoríficos industriales, fabricados por una empresa de Santiago, y que se encuentran aún en uso después de t años, se ajusta a la función exponencial siguiente:

Al respecto, se le pide a usted, lo siguiente: a) Determinar el número de refrigeradores que estarían funcionando al cabo de cinco años b) Determinar el número de refrigeradores que estarían en malas condiciones durante cinco años de uso c) Determinar el número de refrigeradores que estarían en malas condiciones antes del primer año de uso

V.


Aching Guzmán, César. Aplicaciones Financieras de Excel con Matemáticas Financieras Edición 2006 Allendoerfer, Carl B. – Cletus O, Oakley. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Mc Graw Hill, 1995 Budnick, Frank.Matemáticas aplicadas a los negocios, economía y ciencias sociales. 1º edición. 2008. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.U. ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981 www.escolares.net


55



-

II.


4

APRENDIZAJES ESPERADOS Calculan límite de una función real. Aplican propiedades de las operaciones con límites, en forma gráfica y analítica.

CONTENIDOS Concepto de límite de una función real: -Teoremas de límites

DESARROLLO 1) Concepto de límite de una función real El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo diferencial e integral, que veremos más adelante. Podemos decir, en palabras simples, que: Límite es el valor al cual tiende una función . determinado o al infinito, es decir,

cuando la variable independiente x, tiende a un número

Haremos el siguiente ejemplo, para aclarar más esta definición: Sea Supongamos que los valores de x están tendiendo o aproximándose a 3, tanto por la izquierda como por la derecha (valores de x que son menores o mayores a 3).

x 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,99999 3,000001 3,00001 3,0001 3,001 3,01

f(x) 13,82 14,8802 14,988002 14,9988 14,99988 15,000012 15,00012 15,0012 15,012002 15,1202

Vemos en esta tabla que cuando x se aproxima a 3 (por la izquierda y derecha) la función se aproxima ( o tiende ), cada vez más al valor 15. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

56


Por otra parte, podemos decir que, en valor absoluto, la diferencia entre el valor 15 y más pequeña, al igual entre el valor 3 y x. Ver la tabla siguiente:

|x-3| |2,9-3| |2,99-3| |2,999-3| |2,9999-3| |2,99999-3| |3,000001-3| |3,00001-3| |3,0001-3| |3,001-3| |3,01-3|

, se hace cada vez

|f(x)-15| 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01

|13,82-15| |14,8802-15| |14,988002-15| |14,9988-15| |14,99988-15| |15,000012-15| |15,00012-15| |15,0012-15| |15,012002-15| |15,1202-15|

1,18 0,1198 0,011998 0,0012 0,00012 0,000012 0,00012 0,0012 0,12002 0,1202

Definición clásica:

Y cómo vemos este tema de los límites en la vida cotidiana? Usted algún día conocerá una bomba centrífuga, y el fabricante le dirá que tiene un rendimiento máximo de bombeo, es decir, nunca podrá sacarle el máximo teórico. Estamos, entonces, ante el concepto de límite. Otro ejemplo, podríamos aplicarlo a la metalurgia, donde la ley mineralógica de un mineral es su máximo que se puede obtener de un elemento dentro de éste, pero jamás se obtendrá esta ley en el concentrado obtenido (por ejemplo: proceso de flotación de minerales de cobre). La producción máxima teórica de una máquina industrial, es un “límite”, es decir, el rendimiento ideal o límite que en la práctica nunca se logrará alcanzar, pero que es posible aproximarse arbitrariamente. 2) Teoremas sobre límites a) Primer Teorema (unicidad del límite) Sea

una función definida en el intervalo


57


b) Segundo Teorema

Ejemplo 1:

También debemos señalar que, como consecuencia de este teorema, tendremos:

Ejemplos:

c) Tercer Teorema

Ejemplo:

d) Cuarto Teorema


58


Ejemplo:

e) Quinto Teorema

(siempre que no aparezca la indeterminación

).

Ejemplo:

f) Sexto Teorema

(siempre y cuando no aparezca la indeterminación

)

Ejemplo:

Corolario:

Ejemplo:


59


En particular, el límite de la enésima potencia de , esto es: de

es igual a la enésima potencia del límite

Ejemplo:

g) Séptimo Teorema

(siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones e .)

Ejemplo:

Un tema interesante veremos más adelante, sobre la continuidad, sobretodo, cuando M = 0. h) Octavo Teorema

Ejemplo:


60


i) Noveno Teorema

Ejemplos:

j) Décimo Teorema

Pero deberán cumplirse las siguientes condiciones:

Ejemplos:


61


k) Undécimo Teorema

(siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con , ). NOTA: este teorema será aplicado en otra clase indeterminaciones de los tipos posterior.

III.


1) Encuentre el valor de los siguientes límites de funciones reales:

2) Límites desarrollados en forma gráfica a) Encuentre el límite en el siguiente gráfico


62


(-3,0)

Por lo tanto, se puede afirmar que el límite de la función es igual a cero (0).

cuando x tiende a -3, por la derecha,

NOTA: la flecha azul, indica el sentido en que se avanza en x, para llegar a concretar lo anterior. Observación: usted debe notar el signo al que está elevado el -3, y en este caso es positivo (+), eso le indica que debe avanzar desde la derecha hacia la izquierda.

b) Encuentre el límite en el siguiente gráfico


63


(7,0)

Por lo tanto, se puede afirmar que el límite de la función

cuando x tiende a 7, por la

izquierda, es igual a cero (0).

NOTA: la flecha azul, indica el sentido en que se avanza en x, para llegar a concretar lo anterior. Observación: usted debe notar el signo al que está elevado el 7, y en este caso, es negativo (-), eso le indica que debe avanzar desde la izquierda hacia la derecha.

c) Grafiquemos el siguiente límite:


64


40 35 30

(5,30)

25 20 15 10 5 0 ‐2

‐1

0

1

2

3

4

5

6

d) Grafiquemos el siguiente límite:


65


(4,0.7647)

IV.


a) Evaluar los siguientes límites en forma analítica


66


b) Identifique a qué valor tiende la siguiente función, y cuál es el valor de y,

c) Grafique los siguientes límites

V.


Allendoerfer, Carl B. – Cletus O, Oakley. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Mc Graw Hill, 1995 Ayres. Cálculo diferencial e integral. 3º edición. Editorial Mc Graw Hill. Colección Schaum. ISBN: 84-7615-560-3 Burgos Román, Juan. Cálculo diferencial de una y varias variables. 1º edición. 2010. García Maroto Editores. ISBN:9788493750909. VV.AA. Problemas resueltos de cálculo para ingenieros. 1º edición 2009. Delta 2009. ISBN: 9788492453795


67



-

II.

FUNCIONES REALES, LÍMITE Y CONTINUIDAD

5

APRENDIZAJES ESPERADOS Relacionan la continuidad de una función real con el concepto de límite. Calculan límites laterales. Examinan si una función es continua o discontinua. Calculan límites de funciones racionales y polinómicas.

CONTENIDOS -Continuidad. -Límites por la derecha y por la izquierda. -Discontinuidad evitable e inevitable -Límites de funciones racionales y polinómicas

DESARROLLO 1) Continuidad A) Diremos que una función f(x) es continua en el punto x=a, si se cumplen lo siguiente:

B) Diremos que una función f(x) es continua en el intervalo (a, b), si f(x) es continua en cada uno de los puntos del intervalo. C) Propiedades de las funciones continuas Si f(x) y g(x), son funciones continuas en el punto a, entonces:

D) E)


68


2) Límites laterales por la derecha y la izquierda a) Límite por la derecha

Diremos que el límite por la derecha, de f(x) cuando

, por la derecha, es igual a L, si ε>0,

existe un δ > 0 / si 0 < x-a < δ, entonces |f(x) - L| < ε. Lo denotamos como:

b) Límite por la izquierda

Diremos que el límite por la izquierda, de f(x) cuando

, por la izquierda, es igual a L, si ε>0,

existe un δ > 0 / si 0 < a-x < δ, entonces |f(x) - L| < ε. Lo denotamos como:

TEOREMA: Existe el límite si y sólo si, los dos limites laterales (por la derecha y por la izquierda) ambos existen y coinciden, esto es:

3) Discontinuidad evitable e inevitable Podemos decir que, una función cuando no es continua, es discontinua, pero algunas pueden hacerse continuas, realizando algunas operaciones algebraicas. Al contrario, si no se puede evitar la discontinuidad, entramos en el campo de la discontinuidad inevitable. 4) Límites de funciones racionales


69


5) Límites de funciones polinómicas

III.


1) Pruebe la continuidad de las siguientes funciones:

Por lo tanto, la función es continua en el punto x = 60 (Generalizando, es continua en todos los reales)

Podemos concluir que, la función f(x) es discontinua en el punto x = -2. Sin embargo, esta discontinuidad es evitable, haciendo que f (-2) = -5

Se pide analizar la continuidad en el punto x = 3 En este caso, debemos usar límites laterales


70


Finalmente, podemos concluir que, la función es discontinua en el punto x = 3, y estamos en presencia de una discontinuidad inevitable.

La función queda:

La gráfica es:


71


Podemos notar en el gráfico que:


72


(3,8)

y=5+x

y=14-2x

Una empresa ha diseñado una estructura de costos semanales en función de lo que un trabajador labora t horas semanales:

Al aplicar límites laterales deberemos probar la igual por ambos lados, es decir, derecho e izquierdo, para los intervalos (y su continuidad) dados de la función costo total C(x).


73


2) Resolver los siguientes límites racionales y polinómicos


74


IV.


1) Estudie las continuidades de las siguientes funciones : en el punto x = 4

Grafique

en el punto x = 7

Grafique

en el punto x = 5

Grafique

en el punto x = 7 y x=10

2) Resuelva los siguientes límites


75


V.


Allendoerfer, Carl B. – Cletus O, Oakley. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Mc Graw Hill, 1995 Ayres. Cálculo diferencial e integral. 3º edición. Editorial Mc Graw Hill. Colección Schaum. ISBN: 84-7615-560-3


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Burgos Román, Juan. Cálculo diferencial de una y varias variables. 1º edición. 2010. García Maroto Editores. ISBN:9788493750909. VV.AA. Problemas resueltos de cálculo para ingenieros. 1º edición 2009. Delta 2009. ISBN: 9788492453795 www.elprisma.com


77




6

APRENDIZAJES ESPERADOS -Resuelven límites compuestos y trigonométricos -Identifican límite infinito. -Determinan asíntotas posibles de una función. II.

CONTENIDOS - Límites compuestos y trigonométricos - Límite infinito - Asíntota vertical y horizontal

DESARROLLO 1) Límites trigonométricos

2) Límite infinito Sea

una función que está definida en todo número de un intervalo abierto

El límite de

cuando x crece sin límite, es decir, a un número infinito positivo, es:

Sea

una función que está definida en todo número de un intervalo abierto

El límite de

cuando x decrece sin límite, es decir, a un número infinito negativo, es:

Si x tiende a

2.1) Otras posibilidades cuando el límite de x tiende a

a un número real, entonces tenemos que:

:


78


2.2) Otras posibilidades para el límite de una función en un punto:

Debemos realizar, lo siguiente: a) Si tenemos polinomios, vemos si es posible factorizar y luego, simplificar b) Si tenemos raíces, usamos el conjugado de esa raíz

2.3) Regla de los signos a) Para la suma y resta, tendremos los siguientes casos:

Por ejemplo:

b) Para la multiplicación: ,

donde k

0

c) Para la división:


79


d) Para la potencia:

3) Asíntota vertical 3.1) ¿Qué es una asíntota?

Llamaremos asíntota de una función f(x), a una recta t, cuya distancia a la curva tiende a cero, cuando x tiende a infinito o bien x tiende a un punto a. 3.1.1) Asíntota vertical


80


En este gráfico, x = 1.5, es una asíntota vertical de la función f(x) 3.1.1.1) Pasos para calcular una asíntota vertical y sus características elementales a) Determinar el dominio de la función f(x) b) Tomar el límite para los valores de x que no pertenezcan al dominio. Si el límite da como resultado infinito, entonces en esos valores hay una asíntota vertical.

c) Posteriormente, para saber a qué tiende la función f(x), hay que tomar él o los límites laterales. Sólo se tendrá como resultado, d) Las rectas generadas son paralelas al eje y, y se escriben poniendo x igual al valor de la asíntota vertical. e) Diremos que las funciones que pueden tener asíntotas verticales: e.1) Las funciones racionales: cuya indeterminación es igual a e.2) Las funciones logarítmicas y la función tangente. f) La cantidad máxima de asíntotas verticales, que puede tener la función es dos. 3.1.2) Asíntota horizontal


81


En este gráfico, y = 1, es una asíntota horizontal de la función f(x) 3.1.2.1) Pasos para calcular una asíntota horizontal y sus características elementales a) Calcular el límite de la función f(x) cuando x tiende a infinito. Si el límite existe, es decir, tiene un valor L finito, entonces diremos que ese valor, es una asíntota horizontal. Lo anterior, lo representamos de la siguiente manera:

b) Las asíntotas horizontales, son rectas paralelas al eje x, y, se representan poniendo el valor de y = b Donde b, representa el valor de la asíntota. c) Las funciones racionales tienen asíntota horizontal en los siguientes casos:

d) Las funciones exponenciales tienen asíntota horizontal para el valor y = 0.

III.



82



83


Note que factorizamos, pero no pudimos eliminar la indeterminación (no siempre se puede)

Luego, haremos desaparecer esa indeterminación:


84



En este ejercicio usted pudo haberse dado cuenta que teníamos la forma indeterminada:





85


Luego, buscaremos el signo de la indeterminación:

En este caso, deberemos analizar límites laterales de manera de determinar el signo de a) Si le damos a x un valor que se acerque a 2, por la izquierda, tendremos lo siguiente:

b) Si le damos a x un valor que se acerque a 2, por la derecha, tendremos lo siguiente:

Por lo tanto, los límites laterales no coinciden, esto significa que la función no tiene límite cuando x tiende a 2.


86


Una empresa constructora de la capital, se dedica a construir casas y departamentos, en el sector de providencia. El departamento de planificación urbanística, ha estimado que dentro de x años, a partir de hoy, el crecimiento poblacional, se adecúa a la siguiente función (El resultado, está dado en miles de personas):

Usted que trabaja en ese departamento, debe responder a la siguiente pregunta del Gerente de Proyectos: ¿Cuántas personas podríamos tener a un muy largo plazo?

El valor obtenido, lo interpretamos como 40.000 personas

30.1) Asíntota vertical a) Determinamos el dominio de la función dada

b) Tomamos ahora el límite en x = 2 (no pertenece al dominio)

c) Ahora debemos determinar los límites laterales, de manera de conocer el signo de la indeterminación.


87


Aquí vemos el gráfico

x=2 30.2) Asíntota horizontal

Luego podemos decir que el valor de la asíntota horizontal es y = 1

31.1) Asíntota Vertical


88


a) Determinamos el dominio de la función dada

b) Tomamos ahora el límite en x =

(no pertenece al dominio)


31.2) Asíntota horizontal


89


32.1) Asíntota vertical a) Determinamos el dominio de la función dada

b) Tomamos ahora el límite en x =

(no pertenece al dominio)


32.2) Asíntota horizontal

Concluimos que no tiene asíntota horizontal, ya que el grado del numerador es mayor al del numerador

IV.



90



91


Una empresa constructora, se dedica a construir casas y departamentos, en un sector de alto crecimiento poblacional. El departamento de planificación urbanística, ha estimado que dentro de x años, a partir de hoy, el crecimiento poblacional, se adecúa a la siguiente función (El resultado, está dado en miles de personas):

Usted que trabaja en ese departamento, debe responder a la siguiente pregunta del Gerente de Proyectos: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

92


¿Cuántas personas podríamos tener en un plazo de 10 años?

Determine la (s) asíntotas (s) vertical (es) y horizontal (es) de las siguientes funciones

V.


Allendoerfer, Carl B. – Cletus O, Oakley. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Mc Graw Hill, 1995 Ayres. Cálculo diferencial e integral. 3º edición. Editorial Mc Graw Hill. Colección Schaum. ISBN: 84-7615-560-3 Budnick, Frank.Matemáticas aplicadas a los negocios, economía y ciencias sociales. 1º edición. 2008. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.U. ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981 Burgos Román, Juan. Cálculo diferencial de una y varias variables. 1º edición. 2010. García Maroto Editores. ISBN:9788493750909. VV.AA. Problemas resueltos de cálculo para ingenieros. 1º edición 2009. Delta 2009. ISBN: 9788492453795 www.elprisma.com


93


SEGUNDA UNIDAD: CLASE

-

-

II.

LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES

7

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Expresan el concepto de derivada de una -Derivada de una función real: Definición. Notación. Interpretación geométrica. función. -Incrementos y tasas Aplican el concepto de derivada al cálculo de tasas e incrementos. -Propiedades de la función derivada con una variable: Derivan funciones reales de una variable, - De la función constante aplicando las propiedades de las operaciones: - De la función potencia - De la función constante - De la función potencia

DESARROLLO

a) Derivada de una función real. Definición:

Ejemplo 1: Hallar


94


Ejemplo 2: Hallar

b) La interpretación geométrica de la derivada la identifica como la pendiente de la tangente a una curva en un punto dado.

P

x+Δx

Observe que: cuando tiende a 0, el punto P, tiende a confundirse con el punto Q, en consecuencia, la recta secante (color verde) tiende a ser la recta tangente (color marrón) a la función f(x) en el punto Q. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

95


Además, el ángulo

tiende a ser .

x

NOTA: la pendiente de la tangente a la curva en un punto

es igual a la derivada de la función en ese punto

c) El incremento o cambio de una variable

, c.1) Incremento de x

Tenemos entonces:


96


c.2) Incremento de y

Tenemos entonces:

Finalmente:

d) La tasa de cambio promedio

e) Derivada de una función constante Diremos que la derivada de una constante siempre será cero

f) Derivada de una potencia Esta derivada es igual al valor del exponente, multiplicado por la base elevada al exponente disminuido en uno y multiplicada por la derivada de la base (presencia de la regla de la cadena) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

97


En el caso que la base sea sólo x, elevada a una potencia, tendremos que:

III.


1


98


3) La ecuación representa la función costo total de una empresa en pesos, cuando produce y unidades de un producto para la construcción. Se pide determinar el aumento en los costos cuando la empresa incrementa la producción de 300 a 380 unidades Solución:

Por lo tanto, el incremento en los costos totales es de $ 16.000

4) La siguiente ecuación de la demanda es:

Se pide determinar el aumento (o decremento) en las ventas de la empresa, cuando ésta decide incrementar el precio de venta unitario de $ 48 a $ 64 Primero debemos despejar el valor de x, para que quede en función de p (precio)

Solución:

Podemos concluir que, al aumentar el precio de venta unitario de la empresa, disminuye el número de unidades vendidas (es decir, en – 4 unidades). 5) La siguiente ecuación de oferta es:

Se pide determinar

, si el incremento en el precio es

para p= $ 75


99


, por lo tanto, si reemplazamos la función 1), tenemos:

6) La siguiente ecuación de demanda es:

Se pide determinar la tasa de cambio promedio del ingreso, cuando se incrementan de 20 a 27, las unidades vendidas. Si recordamos la ecuación del ingreso vista en clases anteriores, es: Antes debemos despejar p:

Por lo tanto, la tasa de cambio promedio de ingreso es:

La interpretación que damos al resultado es: por cada unidad incrementada, el ingreso de la empresa, disminuye en promedio $ 51,25.


100


7) Una empresa ha determinado, a través de su departamento de operaciones, que la función demanda y de costos totales son, respectivamente:

Si la producción se llegase a incrementar, por efecto de exportaciones, de Se le pide determinar, lo siguiente: a) El incremento en los costos b) El incremento en el ingreso c) El incremento en la utilidad d) Las respectivas tasas de cambio promedio, respecto a los costos, ingresos y utilidad

(tome en cuenta que se elevó a 42.000 unidades)


101


Hagamos la siguiente comprobación:

8) Halle los coeficientes de la ecuación , sabiendo que pasa por los puntos A(0,2) y B(2,3) Además, en el punto B, la tangente tiene como pendiente el valor 2 (NOTA: esto es tg α = m = y’= 2 ). Si reemplazamos los valores de los puntos dados A y B, tenemos lo siguiente: Para A(0,2):

Para B(2,3):

La derivada de esta función es:


102


Sabemos que la tangente toca el valor x = 2, entonces: Tenemos, entonces que:

Si reemplazamos 1) en 2), tenemos que: Si juntamos 3) con la última igualdad obtenida, tenemos que:

Además, tenemos que:

9) Funciones constantes y exponenciales a) b) c) d) e) IV.


1)


103


2)

2) Una gasolinera vende un cierto combustible, y ha determinado que los litros que vende por día, están en función del precio ($/litro) de este combustible. La función que la representa es:

Calcule el incremento en el volumen de los litros vendidos, que corresponde a un incremento en el precio de $600 a $615 por litro. 3) Dada la función f(x) = 3x2+3x+2, calcular Δy, si x = 2 y Δx = 0,4 4) Un fabricante de productos para la construcción, ha determinado que la ecuación de costo total está representada por: C(x) = 19.750 + 41,5x dólares y el ingreso por I(x) = 98,75x – 0,01x2 dólares. La empresa produce 150 toneladas por semana, pero ha considerado incrementar su producción en un 10,5%. Se pide: a) Determinar los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad. b) Determinar la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extras producidas.

5) Una empresa fabricante de tractores, ha determinado las siguientes funciones para operar óptimamente:

Se pide determinar: a) El costo marginal (evalúe para 1200 unidades) b) El ingreso marginal (evalúe para 1200 unidades) c) La utilidad marginal (evalúe para 1200 unidades) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

104


6) Sea la función , que pasa por los puntos P (2,5) y (3,8). Además, se sabe que la recta tangente para por el valor x = 1 y es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Se pide que encuentre los valores de la función cuadrática.

V.


Allendoerfer, Carl B. – Cletus O, Oakley. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Mc Graw Hill, 1995 Ayres. Cálculo diferencial e integral. 3º edición. Editorial Mc Graw Hill. Colección Schaum. ISBN: 84-7615-560-3 Budnick, Frank.Matemáticas aplicadas a los negocios, economía y ciencias sociales. 1º edición. 2008. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.U. ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981 Burgos Román, Juan. Cálculo diferencial de una y varias variables. 1º edición. 2010. García Maroto Editores. ISBN:9788493750909. VV.AA. Problemas resueltos de cálculo para ingenieros. 1º edición 2009. Delta 2009. ISBN: 9788492453795 www.dervor.com/derivadas/derivada_potencia.html www.elprisma.com


105




8

APRENDIZAJES ESPERADOS Derivan funciones reales de una variable, aplicando las propiedades de las operaciones: - De la suma y resta de funciones - Del producto de una constante por una función. - Del producto de funciones - De un cuociente de funciones

II.

CONTENIDOS Propiedades de la función derivada con una variable: - De la suma y resta de funciones - Del producto de una constante por una función. - Del producto de funciones - De un cuociente de funciones

DESARROLLO 1) Derivada de la suma y resta de funciones La derivada de la suma y/o resta de funciones, es igual a la suma y/o resta de las derivadas de dichas funciones (que pueden ser más de dos ).

2) D erivada de una constante por una función La derivada del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

3) Derivada de producto de funciones La derivada del producto de dos funciones, es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda función más, el producto de la derivada de la primera función por la segunda función..

4) Derivada de cuociente de funciones ( división )


106


La derivada del cuociente de dos funciones, es igual a la derivada de la función del numerador multiplicada por la función del denominador menos, la derivada del denominador multiplicada por la función del numerador. Todo lo anterior, queda dividido por la función del denominador elevado al cuadrado.

III.


1) 2) 3) 4) 5)

6)


107


IV.



108


V.


Allendoerfer, Carl B. – Cletus O, Oakley. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Mc Graw Hill, 1995 Ayres. Cálculo diferencial e integral. 3º edición. Editorial Mc Graw Hill. Colección Schaum. ISBN: 84-7615-560-3 Burgos Román, Juan. Cálculo diferencial de una y varias variables. 1º edición. 2010. García Maroto Editores. ISBN:9788493750909. www.dervor.com/derivadas/derivada_potencia.html www.elprisma.com


109




9

APRENDIZAJES ESPERADOS Derivan funciones reales de una variable, aplicando las propiedades de las operaciones: - Regla de la cadena - De la función exponencial - De la función logarítmica

II.

CONTENIDOS Propiedades de la función derivada con una variable - Regla de la cadena - De la función exponencial - De la función logarítmica

DESARROLLO 1) Derivada de la regla de la cadena Esta derivada, se obtiene a partir de la derivación de la composición de funciones

2) Derivada de la función exponencial Esta derivada es igual a la misma función multiplicada por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

Si la base es e, entonces:

3) Derivada de la función logarítmica Caso a) Derivada de un logaritmo en base a Es igual a la derivada de la función dividida por ésta, y multiplicada por el logaritmo en base a de e.


110


Caso b) Derivada de un logaritmo neperiano Es igual a la derivada de la función dividida por ésta.

III.



111


IV.


)

V.


Allendoerfer, Carl B. – Cletus O, Oakley. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Mc Graw Hill, 1995 Burgos Román, Juan. Cálculo diferencial de una y varias variables. 1º edición. 2010. García Maroto Editores. ISBN:9788493750909. Ayres. Cálculo diferencial e integral. 3º edición. Editorial Mc Graw Hill. Colección Schaum. ISBN: 84-7615-560-3


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10

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS -Calculan función derivada a funciones seno y -Derivada a funciones seno y coseno. coseno. -Valoración de funciones derivadas en un punto. -Valoran funciones derivadas en un punto.

II.

DESARROLLO 1) Derivada de la función seno Esta derivada es igual al coseno de la función, multiplicado por la derivada de la función.

2) Derivada de la función coseno Esta derivada es igual a menos el seno de la función, multiplicado por la derivada de la función.

III.



113



114



115


Evaluación de la derivada en un punto:

IV.


1) Encuentre la primera derivada para las siguientes funciones


116


Determine las derivadas y evalúe en el punto indicado

V.


Allendoerfer, Carl B. – Cletus O, Oakley. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Mc Graw Hill, 1995 Ayres. Cálculo diferencial e integral. 3º edición. Editorial Mc Graw Hill. Colección Schaum. ISBN: 84-7615-560-3 Burgos Román, Juan. Cálculo diferencial de una y varias variables. 1º edición. 2010. García Maroto Editores. ISBN:9788493750909. www.elprisma.com


117



-

II.


11

APRENDIZAJES ESPERADOS Evalúan la existencia y calculan puntos críticos de una función. Calculan máximos y mínimos relativos de una función. Calculan intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. Resuelven problemas sencillos de máximos y mínimos.

CONTENIDOS -Determinación de puntos críticos con la primera derivada -Intervalos de crecimiento y decrecimiento -Máximos y mínimos locales -Máximos y Mínimos. Criterio de la segunda derivada:

DESARROLLO

a) Para determinar los puntos críticos usaremos la siguiente definición:

Gráfico 1: Máximo y mínimo local


118


f’’(x1) = 0

f’(x2) = 0

x1

x2

x3

Gráfico 2: Cima o punta donde f’’(c) no existe


119


)

)

III.


Determine puntos críticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos locales, concavidad, punto de inflexión y máximos y mínimos por segunda derivada

1) Puntos críticos


120


2) Intervalos de crecimiento y decrecimiento Para determinar las regiones de crecimiento o decrecimiento, debemos encontrar los valores de x, de manera que f’’(x) > 0 y f’’(x) < 0. Ver el gráfico en la página siguiente.


121


Análisis: a) Antes del punto x = 0,42 f’(x) > 0 y f(x) es creciente. b) En el punto x = 0,42, existe un punto máximo ( se pasa de creciente a decreciente ) Esto es: (0.42, 4.38) c) Entre x1 = 0,42 y x2 = 1,57 f’(x) < 0 y f(x) es decreciente d) En el punto x = 1,57, existe un punto mínimo (se pasa de decreciente a creciente) Esto es: (1.57, 3.61) e) A partir del punto x = 1,57 f’(x) > 0 y f(x) es creciente

3) Análisis de la concavidad

En x = 1, existe un punto de inflexión Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

122


(Vea el gráfico inferior)

4) Determinación de máximos y/o mínimos por criterio de la segunda derivada En el punto 2), se pudo determinar los puntos donde se generan los máximos y mínimos, y que se corrobora con la concavidad del punto 3). Más aún, con el gráfico. Pero determinemos el máximo y mínimo a través de este criterio:

1) Puntos críticos



123


Análisis: a) Antes del punto x = -1 f’(x) < 0 y f(x) es decreciente. b) En el punto x = -1, existe un punto minimo (se pasa de decreciente a creciente) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

124


Esto es: (-1, -5) c) A partir del punto x = -1 f’(x) > 0 y f(x) es creciente


En x = -1, existe un punto de inflexión

( Vea el gráfico inferior )

4) Determinación de máximos y/o mínimos por criterio de la segunda derivada En el punto 2), se pudo determinar el punto donde se genera el mínimo, y que se corrobora con la concavidad del punto 3). Más aún, con el gráfico. Pero determinemos el mínimo a través de este criterio:


125


1) Puntos críticos



126


Análisis: a) Antes del punto x = 0 f’(x) > 0 y f(x) es creciente b) A partir del punto x = 0 f’(x) > 0 y f(x) es creciente Por lo tanto, podemos decir que la función es estrictamente creciente en todo el dominio Además, no existe ni mínimo ni máximo


En x = 0, existe un punto de inflexión

(Vea el gráfico inferior)


127


4) Determinación de máximos y/o mínimos por criterio de la segunda derivada En el punto 2), no había mínimo ni máximo, y que se corrobora con la concavidad del punto 3). Más aún, con el gráfico. Pero lo verificamos a través de este criterio:

Aplicación a los negocios 1) Una empresa produce x artículos a un costo total C(x)= 165.000 +2.300x-0.01x2 (US$). Además, se sabe que la función de la demanda está dada por p=7.600-25x.(US$) Se pide determinar el número de unidades a vender de manera de maximizar las utilidades.

Derivemos esta función:

Igualemos a cero, para determinar la cantidad que maximice la utilidad:

Probemos si es un máximo:

Luego, la utilidad máxima será:


128


Verifiquemos para otros valores:

Ha quedado demostrado que, para valores inferiores y superiores a 106 unidades, la empresa baja su utilidad y, lo que queremos, es justamente lo contrario, es decir, que maximice la utilidad ( en este caso ).

IV.


Determine puntos críticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos locales, concavidad, punto de inflexión y máximos y mínimos por segunda derivada

Aplicación a los negocios

1) Una empresa produce x artículos a un costo total C(x)= 135.000 +2.000x-0.02x2 (US$). Además, se sabe que la función de la demanda está dada por p=7.500- 20x.(US$) Se pide: a) Determinar el número de unidades a vender de manera de maximizar las utilidades. b) Probar si las unidades reflejan un máximo c) Determinar la utilidad máxima para las unidades encontradas en el punto a). d) ¿Cuánto es el ingreso? e) ¿Cuánto es el costo fijo?


129


2) Una empresa produce x artículos a un costo total de la demanda está dada por

(US$). Además, se sabe que la función

(US$)

Se pide: a) Determinar el número de unidades a vender de manera de maximizar las utilidades. b) Probar si las unidades reflejan un máximo c) Determinar la utilidad máxima para las unidades encontradas en el punto a). d) ¿ Cuánto es el ingreso ? e) ¿ Cuánto es el costo fijo ?

V.


Allendoerfer, Carl B. – Cletus O, Oakley. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Mc Graw Hill, 1995 Ayres. Cálculo diferencial e integral. 3º edición. Editorial Mc Graw Hill. Colección Schaum. ISBN: 84-7615-560-3 Budnick, Frank.Matemáticas aplicadas a los negocios, economía y ciencias sociales. 1º edición. 2008. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.U. ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981 Burgos Román, Juan. Cálculo diferencial de una y varias variables. 1º edición. 2010. García Maroto Editores. ISBN:9788493750909. www.elprisma.com


130


TERCERA UNIDAD: CLASE

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES Y SUS APLICACIONES

12

APRENDIZAJES ESPERADOS - Identifican la integral como antiderivada o función primitiva. - Calculan integrales indefinidas de la función potencia, polinómica, exponencial y logarítmica.

II.

CONTENIDOS Concepto de integral Integral indefinida. Concepto y fórmulas de cálculo para funciones potencia, polinómica, exponencial y logarítmica.

DESARROLLO

1) Concepto de integral

Se define la integral de la función Q(t), entre a y b, de la siguiente manera:

Por lo tanto, la integral, corresponde al área bajo la curva de Q(t), en el intervalo cerrado La integración es una operación inversa de la derivación, por eso es llamada antiderivada y se expresa mediante el Teorema fundamental del cálculo integral como: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

131


2) Integral indefinida Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza

NOTA: una integral indefinida genera una función 3) Fórmulas de integrales que se usarán en esta unidad

‘


132


III.


Para este ejercicio debemos usar variables auxiliares:



133





Para este ejercicio debemos usar variables auxiliares: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

134






135




Aplicación a los negocios 1) Una empresa que produce repuestos para refrigeradores domésticos, estima que el ingreso marginal al vender x cantidad de ellos, está dado por:

a) b) c) d)

Determine la función ingreso total inicial, en función de la constante C Determine el valor de la constante C, si al vender 225 repuestos se obtiene un ingreso de $ 6.050.724 Determine la función ingreso total final Determine el ingreso total si se venden 170 respuestos

a)


136


b) Tenemos, por otra parte, que:

I(225) = $ 6.050.724

Lo que debemos ahora determinar, es el valor de la constante C y, para ello, usamos la función 1)

c)

d) Al reemplazar en la función del punto c), tenemos:

2) En una empresa, el costo marginal viene dado por C’(x) = 0,5x-35 ( US$ ), donde C(x)= Costo Total. Además, se sabe que el precio de venta unitario es de US$ 15 y el Costo Indirecto ( Costo Fijo ) es de US$ 110 mensuales. a) Calcule las unidades mensuales que deben producirse. b) Calcule la utilidad máxima en base a las unidades mensuales calculadas.

a) Si Ingreso marginal = Costo marginal ( I’(x) = C’(x) )

Luego: I(x) = 10x

⇒ I’(x) = 10

Utilidad Máxima ( Máxima Ganancia )

10 = 0,5x - 35 ⇒ x = 90 unidades

b) Cálculo del Costo total:

Al tener costo indirecto (Costo indirecto = Costo Fijo) de US$ 110, tendremos que: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

137


C (0) = 0,25(0)2 –35(0) + C = 110 ⇒ C = 110,

luego: C(x) = 0.25x2 – 35x + 110

Recuerde que, en la función costo total, todo lo que lleve x, es costo variable, y la constante C, es el costo fijo.

Por otra parte: U(x) = I(x) – C(x) Por lo tanto:

Finalmente:

U(x) = 10x – (0,25x2 – 35x + 110) = 10x – 0,25x2 + 35x – 110 U(x) = -0,25x2 + 45x – 110

(Función Utilidad)

Para x = 90 unidades, tendremos que: U (90) = -0,25(90)2 + 45(90) – 110 U (90) = US$ 1.915 En consecuencia, la Utilidad Máxima que se va a obtener al producir y vender las 90 unidades, mensualmente, es: US$ 1.915. IV.



138


Aplicación a los negocios 1) Si la función de costo marginal es: C’(x) = 5 – 8x + 6x2, donde C(x) es el costo total (US$) de la producción de x unidades de ampolletas: Determine: a)

El Costo indirecto, si el costo total de producir 50 unidades es de US$ 260.000


139


b)

El Costo total para producir 100 unidades

2) Un fabricante calcula que el ingreso marginal es de 3(x+2)2 US$/unidad, cuando el nivel de producción es de x unidades: Sabiendo que el ingreso es de 1.720 US$ para la venta de 10 unidades, encuentre la función ingreso total.

3) Un fabricante determinó que sí mensualmente se producían x unidades de un determinado producto, el Costo Marginal estaba dado por: C´(x) = 0,4x - 10 US$; donde C(x) es el Costo Total de producción de x unidades. Sí el precio de venta del artículo se fija en US$ 20 por unidad y el Costo Indirecto es de US$ 200 por mes, calcular la máxima ganancia (utilidad máxima) total mensual que se puede obtener.

V.


Allendoerfer, Carl B. – Cletus O, Oakley. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Mc Graw Hill, 1995 Ayres. Cálculo diferencial e integral. 3º edición. Editorial Mc Graw Hill. Colección Schaum. ISBN: 84-7615-560-3 Budnick, Frank.Matemáticas aplicadas a los negocios, economía y ciencias sociales. 1º edición. 2008. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.U. ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981 Burgos Román, Juan. Cálculo diferencial de una y varias variables. 1º edición. 2010. García Maroto Editores. ISBN:9788493750909. VV.AA. Problemas resueltos de cálculo para ingenieros. 1º edición 2009. Delta 2009. ISBN: 9788492453795 www.elprisma.com


140



-

II.


13

APRENDIZAJES ESPERADOS Calculan valor numérico de integrales definidas de la función potencia, polinómica, exponencial y logarítmica. .

CONTENIDOS Integral definida. Concepto y cálculo de su valor numérico.

DESARROLLO

1) Integral definida. Concepto

Tenemos la siguiente definición para la integral definida: Si F(x) es una antiderivada de la función f(x), tenemos entonces que:

III.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS 10

10

2

2

4

4

-4

-4


141


3

3

0

0

5

5

2

2

-1

-1

-3

-3


142


3Π 3Π

Π Π

3Π

Π

Aplicación a los negocios 1) Una empresa que vende equipos de alta tecnología, ha determinado las siguientes funciones de costo e ingreso marginal C’(x) = 6x2 – 3x y la función I’(x) = 5x2 + 4x + 260, a) Determine la cantidad máxima de unidades que se pueden vender mensualmente b) ¿Cuál es la utilidad obtenida en la operación, suponiendo que se pueden vender todas las unidades ? (La utilidad está dada en millones de pesos) a) Para determinar la cantidad máxima de unidades a vender por esta empresa debemos igualar ambas funciones

En este caso, tomamos el valor x = 20 unidades (no se toma el valor -13 ) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

143


b) Para determinar la utilidad máxima usaremos lo siguiente:

20

0

Luego, la utilidad que obtiene la empresa mensualmente, al vender los 20 motores, es de $ 3.933 millones de pesos 2) Se evalúa una inversión en un proyecto inmobiliario, cuyas funciones de costo e ingreso marginal están dadas por:

t

: se mide en años

C’ (t) e I’ (t): se miden en millones de dólares a) Determine el tiempo óptimo. b) ¿Cuál es la utilidad máxima?

4

4

0

0

4

0

Por lo tanto, la utilidad máxima que genera esta inversión, es de 10,67 millones de dólares, para un lapso de 4 años Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

144


IV.


Aplicación a los negocios 1) Se determinó que las tasas de Costo e Ingreso marginal de cierta operación bursátil, viene dadas por: , donde C’(x) e I’(x) vienen dados en millones de euros y, x se mide en años. Determinar el tiempo que debe durar la operación bursátil y la utilidad total obtenida en ese período.

2) Una empresa que vende equipos para detectar personas dentro de edificios derrumbados, ha determinado las siguientes funciones de costo e ingreso marginal C’(x) = 9x2 – 10x y la función I’(x) = 8x2 -9x +6 c) Determine la cantidad máxima de unidades que se pueden vender mensualmente d) ¿Cuál es la utilidad obtenida en la operación, suponiendo que se pueden vender todas las unidades ? Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

145


( La utilidad está dada en millones de pesos ) V.


Allendoerfer, Carl B. – Cletus O, Oakley. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Mc Graw Hill, 1995 Ayres. Cálculo diferencial e integral. 3º edición. Editorial Mc Graw Hill. Colección Schaum.. ISBN: 84-7615-560-3 Budnick, Frank.Matemáticas aplicadas a los negocios, economía y ciencias sociales. 1º edición. 2008. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.U. ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981 Burgos Román, Juan. Cálculo diferencial de una y varias variables. 1º edición. 2010. García Maroto Editores. ISBN:9788493750909. Hoffman, Laurence. Cálculo para administración, economía y ciencias sociales. Mc Graw Hill. 6º edición. VV.AA. Problemas resueltos de cálculo para ingenieros. 1º edición 2009. Delta 2009. ISBN: 9788492453795 www.elprisma.com


146



-

-

II.


14

APRENDIZAJES ESPERADOS Aplican la integral definida al cálculo de áreas planas bajo la curva.

CONTENIDOS Aplicación de la integral definida a la resolución de problemas.

Demuestran comprensión de la utilidad de la matemática para la resolución de problemas en distintos ámbitos humanos.

Utilidad de la matemática para la resolución de problemas.

DESARROLLO

El cálculo de áreas planas, entre curvas y rectas, a través de la integral definida, es de suma importancia en el cálculo integral (incluido el diferencial). Veremos varias aplicaciones de temas de anteriores unidades, tales como: primera derivada, segunda derivada, puntos críticos, máximos y mínimos, entre otros. NOTA IMPORTANTE: Cuando determine el área entre dos curvas ( o una curva y una recta ), siempre debe poner primero la que esté sobre la otra ( para ello debe ver la gráfica ). Una importante aplicación de las integrales definidas es en el campo de la economía, esto es: para determinar el excedente del consumidor y el excedente del productor a) Primero, veremos el excedente del consumidor: Si hay consumidores que pueden pagar un precio mayor que el del mercado, entonces se verán beneficiados debido a que el precio es sólo "y0". En consecuencia, la ganancia total del consumidor va a estar representada por el Área Bajo la Curva de la Demanda y sobre la recta y = y0, y lo llamaremos: Excedente del Consumidor. Definición: El Excedente del Consumidor se determina de la siguiente manera:

Lo anterior, se ve reflejado en el gráfico que se muestra en la próxima página.


147


(x0,y0)

y0

x0

q

b) Ahora, veremos el excedente del productor ( u oferente ): Si hay productores que estuvieran dispuestos a vender un producto a un precio menor que el del mercado, entonces se verán beneficiados debido a que el precio es "y0". En consecuencia, la ganancia total del productor va a estar representada por el Área Sobre la Curva de la Oferta y bajo la recta y = y0, y lo llamaremos: Excedente del Productor. Definición:

El Excedente del Productor se determina de la siguiente manera:

Lo anterior, se ve reflejado en el gráfico que se muestra en la próxima página.


148


(x0,y0) y0

x0

III.

q


1) Calcule el área comprendida entre la curva y = x2 + 2x +1 y

la recta y = 3x +3

a) Encontramos los puntos de intersección: x2 + 2x +1 = 3x +3

x2 - x - 2 = 0 ⇒ ( x – 2 )( x + 1 ) = 0 ⇒ x1 = 2 y x2 = -1


149


2

-1

2) Calcule el área que limita al eje x, la curva

y los puntos x = 1 y x = 4

a) Primero, determinamos las intersecciones o ceros de la función cuadrática

b) Segundo, determinamos los puntos críticos, máximos y/o mínimos

: Para ello, debemos obtener la segunda derivada:

Las coordenadas donde se obtiene el valor máximo de la curva es:

Por lo tanto, el máximo está en: (2.5, 12.5)

c) Tercero, graficamos la curva con sus puntos ya determinados anteriormente.


150


d) Cuarto, determinamos el área entre los puntos x = 1 y x = 4. 4

1

3) Calcule el área que limita al eje x, la curva

y los puntos x = -0,5 y x = 0,5

a) Primero, determinamos las intersecciones o ceros de la función cuadrática


151



: Para ello, debemos obtener la segunda derivada:

Las coordenadas donde se obtiene el valor mínimo de la curva es:

Por lo tanto, el mínimo está en: (0,-4)

c) Tercero, graficamos la curva con sus puntos ya determinados anteriormente.


152


d) Cuarto, determinamos el área entre los puntos x = -0,5 y x = 0,5 0,5

-0,5

4) Calcule el área de la región limitada entre las curvas x = -3 y x = -1

y los puntos

a) Primero, determinamos las intersecciones o ceros de las funciones cuadráticas a.1)

a.2)

a.3) Intersección entre las curvas



153


:

Para ello, debemos obtener la segunda derivada:

Las coordenadas donde se obtiene el valor mínimo de la curva es:

Por lo tanto, el mínimo está en:

Para ello, debemos obtener la segunda derivada:

Las coordenadas donde se obtiene el valor máximo de la curva es:

Por lo tanto, el máximo está en: c) Tercero, graficamos la curva con sus puntos ya determinados anteriormente.


154


d) Cuarto, determinamos el área entre los puntos x = -3 y x = -1


155


Aplicación a los negocios 1) Suponga que la Función de Demanda de los consumidores de cierto artículo es p = 4( 25 - x2 ) US$ por unidad. Hallar el Excedente del Consumidor, si el artículo se vende a un precio p = 64 US$ por unidad. Desarrollaremos paso a paso este ejercicio: a) Primero, distingamos que b) Segundo, determinemos el valor de x0

En este caso, sólo tomamos x0 = 3, ya que no existen cantidades negativas c) Tercero, determinamos el excedente del consumidor

3

0

2) Determine el excedente del consumidor si

y

unidades

a) Determinamos, primero, y0: b) Determinamos, en segundo lugar, el excedente del consumidor 3

0


156


3) Si la Función de Oferta es

y el precio se fija en y0 = 36, obtener el Excedente del Productor

a) Determinamos, primero, la cantidad x0 .

b) Determinamos, en segundo lugar, el excedente del productor

5

5

0

0

4) Determine el excedente del consumidor y del productor (US$), si las funciones de demanda y de oferta, son las siguientes:

a) Determinamos, primero, x0

Usted debe recordar que, en el equilibrio, la demanda es igual a la oferta:

Si elevamos al cuadrado, Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

157


b) Determinamos, en segundo lugar, y0 Como es cantidad de equilibrio, entonces para determinar dos funciones anteriores.

, podemos reemplazar

en cualquiera de las

Lo haremos en la función de demanda:

80

80

0

0

80

80

0

0


158


IV.


( Iguale ambas funciones para determinar los puntos de intersección )

.


159


V.


Allendoerfer, Carl B. – Cletus O, Oakley. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Mc Graw Hill, 1995 Ayres. Cálculo diferencial e integral. 3º edición. Editorial Mc Graw Hill. Colección Schaum. ISBN: 84-7615-560-3 Budnick, Frank.Matemáticas aplicadas a los negocios, economía y ciencias sociales. 1º edición. 2008. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.U. ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981 Burgos Román, Juan. Cálculo diferencial de una y varias variables. 1º edición. 2010. García Maroto Editores. ISBN:9788493750909. Hoffman, Laurence. Cálculo para administración, economía y ciencias sociales. Mc Graw Hill. 6º edición. VV.AA. Problemas resueltos de cálculo para ingenieros. 1º edición 2009. Delta 2009. ISBN: 9788492453795 www.elprisma.com


160

Cuadernilo de Calculo Diferencial e Integral

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