Acide Base

Kbgnezcou & H||dcx~nr dh dkc j–hezcki jn fhuun h~p rãhezckiu hecjn bhun) & H||dcx~nr dnu ekijczckiu j–ãvkd~zcki |k~r jnu usuzàfnu ekiznihiz jnu hecjnu nz jnu bhunu) & Edhuunr dnu hecjnu nz dnu bhunu ni ~zcdcuhiz dn~r ekiuzhizn j–hecjczã k~ jn bhuceczã) & |@ jnu ukd~zckiu hx~n~unu j–hecjnu nz jn bhunu jn Brÿiu`znj)

\dhi j~ ek~ru C & Rh||ndu •

Jãociczckiu jnu hecjnu nz jnu bhunu undki dh z`nkrcn Brkiuznj&Dk}rs)

•

Rn|rãunizhzcki ekivnizckiinddn j–~i ek~|dn hecjn+bhun nz ãercz~rn jn uki ãx~hzcki ãdnezrkicx~n okrfnddn)

•

Rndhzcki nizrn dh ekienizrhzcki jnu ckiu `sjrkic~f nz dn |@7 Q@5K!V 6 8<&|@)

•

\rkj~cz ckicx~n jn d–nh~

CC& H||dcehzcki jn dh dkc j–hezcki jn fhuun ì dh rãhezcki j–~i hecjn H@ hvne d–nh~ )Ekiuzhizn j–hecjczã AH) CCC& Edhuucocehzcki jnu hecjnu C_& H||dcehzcki jn dh dkc j–hezcki jn fhuun ì dh rãhezcki j–~in bhun B hvne d–nh~) Ekiuzhizn jn bhuceczã A B) _& Edhuucocehzcki jnu bhunu) _C& Rndhzcki AH nz AB) _CC& H||dcehzcki jn dh dkc j–hezcki jn fhuun ì ~in rãhezcki rã hezcki hecjk&bhucx~n) Ekiuzhizn j–ãx~cdcbrn j–~in rãhezcki hecjn bhun) _CCC& |@ jnu ukd~zckiu j–hecjnu nz jn bhunu & |@ j–~in ukd~zcki hx~n~un j–hecjn okrz & |@ j–~in ukd~zcki hx~n~un j–hecjn ohcbdn & |@ j–~in ukd~zcki hx~n~un jn bhun okrzn & |@ j–~in ukd~zcki hx~n~un jn bhun ohcbdn

DNU HECJNU NZ DNU BHUNU C & Rh||ndu •

Jãociczckiu jnu hecjnu nz jnu bhunu undki dh z`ãkrcn Brkiuznj&Dk}rs)

&^i hecjn nuz zk~zn nizczã e`cfcx~n x~c dcbàrn ~i |rkzki @ ! h~ ek~ru j–~in rãhezcki e`cfcx~n) &^in bhun nuz zk~zn nizczã ni zczã e`cfcx~n x~c eh|zn ~i |rkzki @ ! h~ ek~ru j–~in rãhezcki e`cfcx~n) •

Rn|rãunizhzcki ekivnizckiinddn j–~i ek~|dn hecjn+bhun nz nercz~rn jn uki ãx~hzcki ãdnezrkicx~n okrfnddn)

& Zk~zn nizczã e`cfcx~n hecjn un zrhiuokrfn ni uh bhun ekig~m~ãn ni dcbãrhiz ~i

|rkzki @!) D–niunfbdn nizczã hecjn nz uh u h bhun ekig~m~ãn ekiuzcz~niz ~i ek~|dn hecjn bhun ikzã okrfn hecjn +okrfn bhucx~n D–ãercz~rn okrfnddn jn dh rãhezcki j–~i hecjn u–ãercz mãiãrhdnfniz jn dh okrfn H@

 → ↜  

@! ! H &

H@+H& ekiuzcz~n ~i ek~|dn hecjn bhun Npnf|dnu jn ek~|dnu hecjnu bhun E@5EKK@+E@5EKK& I@:! +I@5 @UK: +& UK:2& & Zk~zn nizczã e`cfcx~n un zrhiuokrfn ni uki hecjn ekig~m~ã ni eh|zhiz

~i |rkzki @!) D–ãercz~rn okrfnddn jn dh rãhezcki j–~in bhun u–ãercz mãiãrhdnfniz jn dh okrfn !  → B ! @! ↜    B@

Dn ek~|dn u–ãercz B@! +B •

Rndhzcki nizrn dh ekienizrhzcki jnu ckiu `sjrkic~f nz dn |@7

Dn |@ j–~in ukd~zcki nuz jkiiã |hr dh rndhzcki |@6& dkm Q@5K!V hciuc x~n Q@5K!V68<&|@ Enzzn rndhzcki rnuzn vhdhbdn |k~r jnu ukd~zckiu ic zrk| ekienizrãnu ic zrk| jcd~ãnu en x~c vh çzrn dn ehu jn zk~znu dnu ukd~zckiu ãz~jcãnu)

CC& H||dcehzcki jn dh dkc j–hezcki jn fhuun ì dh rãhezcki j–~i hecjn H@ hvne d–nh~ )Ekiuzhizn j–hecjczã AH) D–ãx~hzcki jn dh rãhezcki rãhezcki jn dh okrfn okrfn hecjn H@ j–~i j–~i ek~|dn hvne d–nh~ u–ãercz jn dh okrfn H@ ! @2K

 → ↜  

@5K! ! H&

D–nh~ jhiu en ehu nuz ~i ukdvhiz H||dcx~kiu dh dkc j–hezcki jn fhuun h enzzn rãhezcki rãhezcki ki h hdkru hdkru 7  H  @5K  −

AH

6

!

Q H@V

Enzzn ekiuzhizn nuz h||ndãn ekiuzhizn j–hecjczã j~ ek~|dn H@+H &) Nz in jã|nij x~n jn dh znf|ãrhz~rn Npnf|dnu jn ekiuzhiznu j–hecjczã jn x~ndx~nu ek~|dnu hecjn bhun H 2>¼E )

AH8 ( E@5EKK@ + E@5EKK 8<&:$0 AH2 ( @O + O 8<&5$2 AH5 ( I@:! +I@5 #6 8<&3$2) AH: ( @U& + U2 8<&85) AH> ( @EKK@ + @EKK 8<&5$0)

CCC& Edhuucocehzcki jnu hecjnu ^i hecjn H@ nuz j–h~zhiz |d~u okrz x~n x~n uh ekiuzhizn j–hecjczã AH nuz |d~u mrhijn) \k~r jnu ekffkjczãu jn ehde~du ki jãocicz dn |A H j–~i ek~|dn hecjn bhun |hr |AH6 &dkmAH en x~c jkiin h~uuc A H68<&|AH Jkie ~i hecjn nuz j–h~zhiz |d~u okrz x~n uki A H nuz mrhij nz uki |A H nuz |nzcz) \k~r edhuunr dnu hecjnu |rãeãjnizu cd u~oocz jn ekf|hrnr dn~ru vhdn~ru jn AH k~ dn~ru vhdn~ru jn |A H)

@U& |AH

I@:!

85

3$2

U2&

I@5

@EKK@ 5$0

@EKK&

@O 5$2

O&

Hecjczã erkcuuhizn

C_& H||dcehzcki jn dh dkc j–hezcki jn fhuun ì dh rãhezcki j–~in bhun B hvne d–nh~) Ekiuzhizn jn bhuceczã AB)

Ki jãocicz h ekiuzhizn jn bhuceczã A B j–~i ek~|dn hecjn bhun ekffn ãzhiz dh ekiuzhizn j–ãx~cdcbrn jn dh rãhezcki jn uh okrfn bhucx~n hvne d–nh~ 1 Dh okrfn bhucx~n B j–~i ek~|dn B+B@ ! rãhmcz hvne d–nh~ u~cvhiz dh rãhezcki j–ãx~hzcki mãiãrhdn x~c u–ãercz jn dh okrfn 7 B ! @2 K

  → ↜  

B@! ! K@&

Ni h||dcx~hiz dh dkc j–hezcki jn fhuun nz |rnihiz Q@ 2KV68 ehr e–nuz ~i ukdvhiz$ ki h A B B@  K@  nx nx QBVnx !

AB

6

−

Npnf|dnu jn ekiuzhiznu jn bhuceczã jn x~ndx~nu ek~|dnu hecjn bhun b hun H 2>¼E) AB8 ( E@5EKK@ + E@5EKK 8<&3$2 AB2 ( @O + O 8<&8<$0 AB5 ( I@:! +I@5 #6 8<&:$0) AB: ( @U& + U2 8<&8) AB> ( @EKK@ + @EKK  8<&8<$2)

_& Edhuucocehzcki jnu bhunu) ^in bhun nuz j–h~zhiz |d~u okrzn x~n uh ekiuzhizn jn bhuceczã nuz mrhijn \k~r jnu ekffkjczãu jn ehde~d ki jãocicz dn |A B6 &dkmAB) ^in bhun nuz j–h~zhiz |d~u okrzn x~n uh ekiuzhzn jn bhuceczã nuz mrhijn

nz uki |AB nuz |nzcz) Ni ekf|hrhiz dh bhuceczã jnu ek~|dnu hecjnu bhun |rãeãjnizu) |AB

I@:!

@U&

@O

@EKK@

8<$0

8<$2

:$0

8

O&

@EKK&

I@5

U2&

Bhuceczã erkcuuhizn

_C& Rndhzcki AH nz AB) Uhe`hiz x~n

AB68<&|AB A H68<&|A H nz A B68< &|AB )

Ni ohcuhiz dn |rkj~cz jnu vhdn~ru jn A H nz jn AB |k~r dn ek~|dn E@5EKK@ + E@5EKK& ki rnfhrx~n x~n) Dn |rkj~cz AH8 )AB86 8<&:$0 )8<&3$2 68<&8:) Enec nuz bcni dn ehu jn zk~u dnu ek~|dnu hecjn+bhun Ki |n~z jkie mãiãrhdcunr |k~r zk~u dnu ek~|dnu hecjn +bhun$ dn |rkj~cz jn dh ekiuzhizn j–hecjczã |hr dh ekiuzhizn jn bhuceczã nuz ãmhd ì 8< &8:ì 2>¼E ) Enzzn vhdn~r nuz bcni |hrzce~dcàrn) Ni noonz ni rn|dhíhiz A H nz AB j–~i fçfn ek~|dn |hr dn~ru np|rnuuckiu ki zrk~vn |hr npnf|dn |k~r dn ehu j~ ek~|dn jn d–hecjn ãz`hikëx~n x~n E@5EKK &  @5K !  QE@5EKK@ V K@  ) E@ EKK@ E@5EKK &  Q 5 V −

AH8)AB8 6

6

@5K!  ) K@  −

En x~c nuz ãmhd h~ |rkj~cz ckicx~n jn d–nh~$ x~c i–nuz h~zrn x~n dh ekiuzhizn j–ãx~cdcbrn jn dh rãhezcki rãhezcki j–h~zk|rkzkdsun jn d–nh~ nz ãmhd ì 8<&8: ì 2>¼E) Dh rãhezcki j‐h~zk|rkzkdsun jn d‐nh~ nuz fkjãdcuãn |hr d–ãx~hzcki

2@2K

@5K!! K@&)

  → ↜  

Dh ekiuzhizn j–ãx~cdcbrn huukecãn ì enzzn rãhezcki nuz ikzãn An nddn nuz ãmhdn ì An6 Q@5K!V)QK@&V6An6 8<&8:)ì 2>¼E

_CC& H||dcehzcki jn dh dkc dkc j–hezcki jn fhuun fhuun ì ~in rãhezcki hecjk&bhucx~n) Ekiuzhizn j–ãx~cdcbrn j–~in rãhezcki hecjn bhun) ^in rãhezcki hecjn bhun fnz ni gn~ jn~p ek~|dnu hecjn+bhun H 8 +B8 nz H2 +B2 jkiz d–~i ohcz rãhmcr uh okrfn hecjn nz d–h~zrn ohcz rãhmcr uh okrfn bhucx~n) Dnu jn~p ek~|dnu rãhmcuuniz rãhmcuuniz u~cvhiz ~in rãhezcki j–ãx~hzcki mãiãrhdn x~c u–ãercz jn dh okrfn 7 H8!B2

  → ↜  

B8!H2)

Ni h||dcx~hiz dh dkc j–hezcki j–hezcki jn fhuun$ dh ekiuzhizn j–ãx~cdcbrn j–ãx~cdcbrn A jn enzzn rãhezcki u–ãercz 7 QB8 Vnx Q H 2 Vnx A6 Q H8 Vnx QB2 Vnx

Ukcz ni f~dzc|dchiz h~ i~fãrhzn~r nz h~ jãikfcihzn~r |hr dh d h ekienizrhzcki jnu ckiu `sjrkic~f ki h 7 QB8 Vnx Q H 2 Vnx A6 Q H8 Vnx QB2 Vnx

En x~c jkiin h~uuc

QB8 Vnx @5K  nx Q H 2 Vnx !

6

Q H8 Vnx QB2 Vnx @5K  nx !

AH8 A6 AH 2

8< 6 8<

−

−

|AH8

|AH 2

6

8<

−

QB8 Vnx @5K  nx !

6

Q H8 Vnx

(|AH (|AH8 −|AH |AH 2 #

AH8 A6 AH 2

)

8 QB2 Vnx @5K  nx Q H 2 Vnx !

8< 6 8<

−

−

|AH8

|AH 2

6

8<

−

6

AH8 AH 2

(|AH (|AH8 −|AH |AH 2 #

Enzzn rãhezcki nuz jã|dheãn jhiu dn uniu jn dh ekiukffhzcki jn d–hecjn dn |d~u okrz hvne dh bhun dh |d~u okrzn)

Ki u~||kunrh x~n dh rãhezcki nuz n uz zkzhdn k~ x~hizczhzcvn x~hij dh ekiuzhizn j–ãx~cdcbrn A jã|huun dh vhdn~r jn 8< :)

_CCC& |@ jnu ukd~zckiu j–hecjnu nz jn bhunu &

|@ j–~in ukd~zcki hx~n~un j–hecjn okrz

^i hecjn nuz jcz okrz x~hij cd un jcuukecn zkzhdnfniz jhiu d–nh~) Uh rãhezcki hvne d–nh~ u–ãercz H@ ! @2K 2@2K

  →

H& ! @5K!

 → ↜  

@5K!! K@&)

Zk~zn rãhezcki un |rkj~cuhiz ni fcdcn~ hx~n~p$ nuz ucàmn jn d–ãx~cdcbrn jn d–h~zk|rkzkdsun jn d–nh~ Ni iãmdcmnhiz dnu ckiu |rkvnihiz jn d–h~zk|rkzkdsun d –h~zk|rkzkdsun jn d–nh~ ki |n~z jcrn x~n i(H@#cizrkj~cz 6i(@5K!# ni jcvcuhiz |hr vkd~fn jn dh ukd~zcki ki h |k~r ~i hecjn okrz E6

i( H@#ciz rkj~cz _

i(@5K # 6 _ !

6

@5K  6 8< !

Ukcz ni h||dcx~hiz dh okiezcki dkmhrcz`fn jãecfhd Dkm E 6 dkm(8<&|@# 6 &|@ Ki h hdkru |k~r ~i hecjn okrz Zhbdnh~ j–hvhienfniz

| @ 6 − dk m E

−

|@

Ãx~hzcki e`cfcx~n

H@ ! @2K  H& ! @5K!

Ãzhz j~ usuzàfn

Hvhienfniz Hvhienfniz

X~hizczãu jn fhzcàrn

Ãzhz ciczchd

<

i<(H@#6E_

Npeàu

<

Ni ek~ru jn zrhiuokrfhzcki

p

E_ & p

Npeàu

p

p

Ãzhz ocihd

p o 

E_ & po 

Npeàu

p o 

po 

E_&pFhp 6< 1 pFhp6E_ Dh fnu~rn jn |@ |nrfnz jn ehde~dnr dh vhdn~r vhdn~r jn dh ekienizrhzcki ekienizrhzcki jnu ckiu `sjrkic~f zndu x~n !

&|@

Q@5K V68<

)

Kr j–h|ràu dn zhbdnh~ j–hvhienfniz ki |n~z jcrn x~n po 6 i(@5K!# 6 _) Q@5K!V6_)8<&|@) Ni ehde~dhiz dh vhdn~r j~ zh~p j–hvhienfniz j –hvhienfniz ocihd ki zrk~vn

ϊ 6

po pFhp

@5K  )_ E_ !

6

@5K  E !

6

8< |@ 6 E −

6

8

1

En x~c fkizrn x~n dh rãhezcki nuz zkzhd) Npnf|dn 7 Uc ki jcuuk~z j~ e`dkr~rn j–`sjrkmàin j –`sjrkmàin jhiu jn d–nh~ |k~r hvkcr ~in ukd~zcki jn ekienizrhzcki ciczchdn E68< &2$ dh fnu~rn j~ |@ jkiin |@62 & |@ j–~in ukd~zcki hx~n~un j–hecjn ohcbdn

<

^i hecjn nuz jcz jcz ohcbdn x~hij cd un jcuukecn jcuukecn |hrzcnddnfniz jhiu jhiu d–nh~) Uh rãhezcki hvne d–nh~ u–ãercz H& ! @5K!

H@ ! @2K

 → ↜  

2@2K

 → ↜  

@5K!! K@&)

Zk~zn rãhezcki un |rkj~cuhiz ni fcdcn~ hx~n~p$ nuz ucàmn jn d–ãx~cdcbrn jn d–h~zk|rkzkdsun jn d–nh~ Ni iãmdcmnhiz dnu ckiu |rkvnihiz jn d–h~zk|rkzkdsun d –h~zk|rkzkdsun jn d–nh~ ki |n~z jcrn x~n i(H@#cizrkj~cz 9i(@5K!# Ni jcvcuhiz |hr vkd~fn jn dh ukd~zcki ki h |k~r ~i hecjn okrz i( H@#ciz rkj~cz i(@5 K # |@ E6 9 6 @5K  6 8<   _ _ @5K  4 E 1 dkm( @5K  # 4 dkm E jkie &dkm( @5K  # 9 − dkm E !

!

!

−

!

!

|@ 9 − dkm E \k~r ~i hecjn ohcbdn Zhbdnh~ j–hvhienfniz H@ ! @2K  H& ! @5K!

Ãx~hzcki e`cfcx~n Ãzhz j~ usuzàfn

Hvhienfniz Hvhienfniz

X~hizczãu jn fhzcàrn

Ãzhz ciczchd

<

i<(H@#6E_

Npeàu

<

Ni ek~ru jn zrhiuokrfhzcki

p

E_ & p

Npeàu

p

p

Ãzhz ocihd

p o 

E_ & po 

Npeàu

p o 

po 

<

J–h|ràu dn zhbdnh~ j–hvhienfniz E_&p Fhp 6< 1 pFhp6E_ Dh fnu~rn jn |@ |nrfnz jn ehde~dnr dh vhdn~r jn dh ekienizrhzcki ekienizrhzcki jnu ckiu `sjrkic~f zndu x~n Q@5K!V68<&|@) Kr j–h|ràu dn zhbdnh~ j–hvhienfniz ki |n~z jcrn x~n po 6 i(@5K!# 6 _) Q@5K!V6_)8<&|@) Ni ehde~dhiz dh vhdn~r j~ zh~p j–hvhienfniz j –hvhienfniz ocihd ki zrk~vn ϊ 6

po pFhp

@5K  )_ E_ !

6

@5K  E !

6

8< |@ 6 E −

4

8

1

En x~c fkizrn x~n dh rãhezcki r ãhezcki nuz dcfczã) J–h|ràu dn zhbdnh~ j–hvhienfniz ki |n~z ãercrn ãercr n h~uuc x~n •

QH&V 6 Q@5K!V68<&|@)

•

Hciuc x~n QH@V6 E & Q@5K!V 6 E & 8<&|@

•

Ni rnf|dhíhiz e`hx~n znrfn |hr uki np|rnuucki jhiu d–np|rnuucki

jn dh ekiuzhizn j–hecjczã A H ki zrk~vn  H  @5K  Q H@V −

AH

6

!

!

6

2

@5K  E − @5K  !

8< 2|@ E − 8< |@ −

6

−

Jhiu dn ehu j‐~i hecjn ohcbdn nz ohcbdnfniz jcuukecã jcuukecã Ki |n~z iãmdcmnr dh ekienizrhzcki jnu ckiu ckiu `sjrkic~f jnvhiz dh ekienizrhzcki ekienizrhzcki E$ en x~c jkiin

Q H@V6E& @5K!  ≀ E

 H  @5K  −

D–np|rnuucki jn dh ekiuzhizn j–hecjczã u–ãercz

AH

8< 2|@ ≀ E −

AH

Ni h||dcx~hiz dh okiezcki dkmhrcz`fn ki h

6

!

Q H@V

@5K  !

≀

E

2

8< 2|@ 6 E −

8< 2|@ # E −|A H 6 &2)|@&dkmE −

dkm(A H # ≀ dk dkm(

|@6

8 Q|A H 2

−

dkmEV

Ki h jkie |k~r ~i hecjn ohcbdn nz ohcbdnfniz jcuukecã 8 |@6 Q|A H 2

−

dkmEV

Npnf|dn 7 Uc ki jcuuk~z jn d–hecjn ãz`hikëx~n ãz`hikëx~n jhiu jn d–nh~ |k~r |k~r hvkcr ~in ukd~zcki ukd~zcki jn ekienizrhzcki ciczchdn E68< &2$ dh fnu~rn j~ |@ jkiin |@65$:) En x~c fkizrn x~n dn |@65$: nuz bcni u~|ãrcn~r ì ―dkmE6&dkm(8< &2#62 & |@ j–~in ukd~zcki hx~n~un jn bhun okrzn

^in bhun nuz jczn okrzn x~hij nddn rãhmcz zkzhdnfniz hvne d–nh~$ uki ãx~hzcki bcdhi u–ãercz jn dh okrfn B!@2K 2@2K

  → ↜  

 → ↜  

B@!!K@&

@5K! ! @K&

J–h|ràu d–ãx~hzcki bcdhi nz jhiu dnu |rk|krzckiu uzŕe`ckfãzrcx~nu ki h i(K@ i(B#cizrkj~cz) Ukcz ni jcvcuhiz |hr dn vkd~fn jn dh ukd~zcki ki zrk~vn i(K@& #6 i(B#cizrkj~cz ) i(K@& # _

6

i(B#cizrkj~cz _

K@  6 EB −

Dh ukd~zcki ãzhiz ~in ukd~zcki hx~n~un$ dh fnu~rn j~ |@ ik~u |nrfnz jn jãznrfcinr dh vhdn~r jn dh ekienizrhzcki jnu ckiu `sjrkic~f @ 5K! nz |~cu ni jãj~crn dh vhdn~r jn dh ekienizrhzcki jnu ckiu `sjrkpsjnu ` sjrkpsjnu K@ &)

K@  6 EB An 8< 8: 8: |@ 6 6 8< |@ @5K  8< 8< 8: |@ 6 EB −

−

−

!

−

!

−

6

EB

!

Ukcz ni h||dcx~hiz dh okiezcki dkmhrcz`fn 8< dkm (8<

8:!|@

−

8:!|@

−

6

EB

# 6 dkm EB

8: ! |@ 6 dkm EB

−

|@ 6 8: ! dkmEB

Dn |@ j–~in ukd~zcki hx~n~un jn bhun okrzn vãrcocn dh rndhzcki |@6 8:!dkm E

Npnf|dn \k~r ~in ukd~zcki jn bhun okrzn ok rzn jn ekienizrhzcki E68< &2 fkd)D&8 dh fnu~rn j~ |@ jkiin |@68:&dkm(8< | @68:&dkm(8<&2#682 Zhbdnh~ j–hvhienfniz jn dh rãhezcki j–~in bhun okrzn okr zn hvne d–nh~ B ! @2K  B@! ! K@&

Ãx~hzcki e`cfcx~n Ãzhz j~ usuzàfn

Hvhienfniz Hvhienfniz

X~hizczãu jn fhzcàrn

Ãzhz ciczchd

<

i<(B#6E_

Npeàu

<

Ni ek~ru jn zrhiuokrfhzcki

p

E_ & p

Npeàu

p

p

Ãzhz ocihd

p o 

E_ & po 

Npeàu

p o 

po 

Dh vhdn~r jn hvhienfniz fhpcfhd nuz znddn x~n E_&p Fhp6< 1 pFhp6E_) J–h|ràu dn zhbdnh~ j–hvhienfniz ec&jnuu~u i(K@ po 6QK@&V)_ Dh fnu~rn jn |@ |nrfnz jn jãznrfcinr jãznrfcinr dh vhdn~r jn QK@&V Dh vhdn~r j~ zh~p j–hvhienfniz j– hvhienfniz ocihd jkiin

<

8< dkm (8<

8:!|@

−

8:!|@

−

6

EB

# 6 dkm EB

8: ! |@ 6 dkm EB

−

|@ 6 8: ! dkm EB ϊ 6

po pFhp

i(K@ # E_

6

_) K@  E_ −

−

6

_)8< 8: E_ −

6

!

|@ 6

8<

8: ! |@

−

E

6

8

Dh rãhezcki jn dh bhun okrzn hvne d–nh~ nuz zkzhdn & |@ j–~in ukd~zcki hx~n~un jn bhun ohcbdn

^in bhun nuz jczn ohcbdn uc uh rãhezcki jn |rkzkihzcki hvne d–nh~ i–nuz |hu zkzhdn B!@2K

  → ↜  

B@!!K@&

2@2K

 → ↜  

@5K! ! @K&

i(K@&#o 4i(B#cizrkj~cz) Ukcz ni jcvcuhiz |hr dn vkd~fn QK@ &V4E Ni h||dcx~hiz dh okiezcki dkmhrcz`fn$ ki h \k~r ~in bhun ohcbdn Dkm QK@&V 4 dkm E Ni noonz Q K@&V6 8<&8:!|@ Ni h||dcx~hiz dh okiezcki dkmhrcz`fn jãecfhd ki h 7 Dkm (Q K@&V6 8<&8:!|@#6&8:!|@4dkm E En x~c |nrfnz jn jcrn |@48:!dkm E \k~r ~in ukd~zcki hx~n~un j–~in bhun ohcbdn ohcbdn jn ekienizrhzcki ciczchdn ciczchdn E$ dn |@48:!dkm E Zhbdnh~ j–hvhienfniz jn dh rãhezcki j–~in bhun B hvne d–nh~)

B ! @2K  B@! ! K@&

Ãx~hzcki e`cfcx~n Ãzhz j~ usuzàfn

Hvhienfniz Hvhienfniz

X~hizczãu jn fhzcàrn

Ãzhz ciczchd

<

i<(B#6E_

Npeàu

<

Ni ek~ru jn zrhiuokrfhzcki

p

E_ & p

Npeàu

p

p

Ãzhz ocihd

p o 

E_ & po 

Npeàu

p o 

po 

& Dh vhdn~r jn d–hvhienfniz fhpcfhd nuz znddn x~n E_ ― p Fhp 6<

en x~c jkiin pFhp6E_) & Dh vhdn~r jn d–hvhienfniz ocihd nuz jãznrfciãn ì |hrzcr jn dh vhdn~r

j~ |@ jn dh ukd~zcki) Uhe`hiz x~n QK@&V6 8< &8:!|@ Kr j–h|ràu dn zhbdnh~ j–hvhienfniz ki vkcz x~n po 6 i(K@&# en x~c jkiin h~uuc p o 6 i(K@ i(K@& #6QK #6QK@ @& V)_6 V)_68< 8< &8:!|@)_

Ehde~dkiu dn zh~p j–hvhienfniz ocihd jn dh rãhezcki r ãhezcki po ϊ6 pFhp

8<&8:!|@)_ 6 E_

8< 8 < &8:!|@ 6 E

4

8

En x~c ik~u |nrfnzzkiu jn jcrn x~n dh rãhezcki jn dh bhuun ohcbdn hvne d–nh~ nuz ~in rãhezcki dcfczãn Dkc j–hezcki jn fhuun |k~r dh rãhezcki j–~in bhun ohcbdn hvne d–nh~ Dh rãhezcki jn |rkzkihzcki j–~in bhun ohcbdn hvne d–nh~ u–ãercz jn dh okrfn B!@2K 2@2K D–nh~ ãzhiz ~i ukdvhiz

 → ↜  

  → ↜  

B@!!K@&

@5K! ! @K&

<

D–np|rnuucki jn dh ekiuzhzn ekiuzhzn j–hecjczã j–hecjczã AH j~ ek~|dn B@! +B nuz QBVnx @5K  nx !

AH

6

B@  nx !

B ! @2K  B@! ! K@&

Ãx~hzcki e`cfcx~n Ãzhz j~ usuzàfn

Hvhienfniz Hvhienfniz

X~hizczãu jn fhzcàrn

Ãzhz ciczchd

<

i<(B#6E_

Npeàu

<

Ni ek~ru jn zrhiuokrfhzcki

p

E_ & p

Npeàu

p

p

Ãzhz ocihd

p o 

E_ & po 

Npeàu

p o 

po 

& Dh vhdn~r jn d–hvhienfniz fhpcfhd nuz znddn x~n x ~n E_& p Fhp 6 <

en x~c jkiin pFhp6E_) & Dh vhdn~r jn d–hvhienfniz ocihd nuz jãznrfciãn ì |hrzcr jn dh vhdn~r

j~ |@ jn dh ukd~zcki) Uhe`hiz x~n QK@&V6 8< &8:!|@ Kr j–h|ràu dn zhbdnh~ j–hvhienfniz ki vkcz x~n 7 po 6 i(K@QK@&V)_6 _)8<&8:!|@ QK@&V6 QB@!V QB@!V6E&QK@&V Ni rnf|dhíhiz jhiu d–np|rnuucki jn A H Jhiu dn ehu j–~in bhun x~c rãhmcz ohcbdnfniz hvne d–nh~ QBVnx @5K  nx !

AH

6

B@  nx !

EB) @5K  nx 6 K@  !

−

!

D–np|rnuucki u–ãercz hdkru !

AH

6

2

EB) @ 5K  nx An

EB)8< 2)|@ 8< |An −

6

2

E B) @5K  nx 6 An

−

<

Ukcz ni h||dcx~hiz dh okiezcki dkmhrcz`fn jãecfhd ki kbzcniz K@  E −

AH

6

2 6

8<

2|An 2|An ! 2|@

−

E 2

EB) @ 5K  EB)8< 2)|@ nx AH 6 6 An 8< |An dkmA H 6 dkm EB − 2|@ ! |A |An !

−

−

|@ 6

|@ 6

8 Q|A H 2

!

|An ! dkm E B V

8 Q|An ! |A H 2

!

dkm EB V

NPNRECEN 8 7 Rndhzckiu nizrn dnu ekiuzhizn j–ãx~cdcbrn |k~r dnu ek~|dnu hecjn&bhun

Ki

Ek~|dnu 8 2

AH 2)8<

AB

|AH

|AB

&: &>

?)8<

5

0)?

:

:):

ikzn AH dh ekiuzhizn j–hecjczã j–~i ek~|dn H+B nz AB uh ekiuzhizn jn bhuceczã)

8 # X~nddnu rndhzckiu dcniz AH $ AB $ |AH nz |AB) 2 # Ekf|dãznr dn zhbdnh~ u~cvhiz ) Dh znf|ãrhz~rn nuz u~||kuãn ãmhdn ì 2>¼E) 5# Edhuunr enu jcooãrnizu ek~|dnu |hr |k~vkcr hecjn erkcuuhiz)

Npnrecen 2 7 (Ekiuzhizn j–ãx~cdcbrn j–~in rãhezcki hecjn&bhun# H@ nuz ~i hecjn ohcbdn) 8¼+ Jãznrfcinr dh rndhzcki nizrn dnu ekiuzhiznu A H jn d–hecjn$ AB jn uh bhun ekig~m~ãn nz An |rkj~cz ckicx~n jn d–nh~ |~rn) 2¼+h# Jkiinr dh jãociczcki j–~in j–~in rãhezcki hecjn&bhun) hecjn&bhun) &

&

b# Nercrn uki ãx~hzcki rndhzcvn h~p ek~|dnu H8@ +H8 nz H2@ +H2 ni |dhíhiz

H2@ mh~e`n) e# Np|rcfnr dh ekiuzhizn j–ãx~cdcbrn j–ãx~cdcbrn A jn enzzn rãhezcki rãhezcki ni okiezcki okiezcki jn AH8

nz AH2 |~cu ni okiezcki jn |AH8 nz |AH2) j# Ki jkiin |AH8 6 5$=> nz |AH2 6 8$3: jnu ek~|dnu |rãeãjnizu$ ekf|hrnr

dh okren jnu hecjnu nz enddn jn dn~ru bhunu ekig~m~ãnu) Ehde~dnr A) Ekied~rn)

NPNRECEN 5 7 (Ekf|hrhcuki jn bhunu# Ki ekiucjàrn zrkcu ukd~zckiu hx~n~unu kbzni~nu |hr jcuukd~zcki jnu bhunu B8 B2 &2

&8

nz B5$ zk~znu zrkcu ì 8< fkd)D ) Dh ekiuzhizn j–hecjczã j~ ek~|dn H8 + B8 vh~z &8<

&:

2)8< 1 dh ekiuzhizn jn bhuceczã jn dh bhun B2 vh~z :)8< nz dn |AH j~ ek~|dn H5 + B5 vh~z 88$?) 8# Ehde~dnr dn |AH jnu ek~|dnu H8 +B8 nz H2 +B2)

2#

\dhenr dnu |AH jnu zrkcu ek~|dnu ekiucjãrãu u~r ~i hpn) Ni jãj~crn dh bhun

dh |d~u okrzn nz dh bhun dh |d~u ohcbdn)

5# Dh fnu~rn j~ |@ jnu zrkcu ukd~zckiu h jkiiã dnu vhdn~ru u~cvhiznu7 88$01 8<$3 nz 88)5)Hzzrcb~nr ì e`hx~n ukd~zcki uki |@)

NPNRECEN : 7 (Ekf|hrhcuki j–hecjnu#

Ki ekiucjàrn zrkcu ukd~zckiu hx~n~unu kbzni~nu |hr jcuukd~zcki jnu hecjnu H8) H2 &5

&8

nz H5$ zk~znu zrkcu ì 8< fkd)D ) Dh fnu~rn$ jhiu ~i krjrn x~ndekix~n$ j~ |@ jn enu zrkcu ukd~zckiu h jkiiã dnu vhdn~ru7 v hdn~ru7 5 1 5$? nz ?$8) Dh ekiuzhizn j–hecjczã &>

jn H8 vh~z ?$5)8< 1 dn |AH j~ ek~|dn H5 +B5 vh~z 3$2)

8# X~n |n~z&ki jcrn jn d–hecjn H2 ; G~uzcocnr) 2# Ehde~dnr dn |AH j~ ek~|dn H8 + B8$ H8 nuz&cd |d~u okrz x~n H 5; 5# Hzzrcb~nr ì e`he~in jnu ukd~zckiu uki |@) :# Edhuunr dnu bhunu ekig~m~ãnu B8$ B2 nz B5 |hr bhuceczã erkcuuhizn)

NPNRECEN > 7 Zrkcu ukd~zckiu hx~n~unu U8$ U2 nz U5 kiz fçfn |@ 6 2$=)Nddnu ukiz rnmrk~|ãnu jhiu dn zhbdnh~ u~cvhiz 7 Ukd~zckiu Hecjnu

U8 H8

U2 H2

Ikfu

Hecjn ãz`hikëx~n

Hecjn fkike`dkrkãz`hikëx~n

E@5EKK@

E@2EdEKK@

E8 6 <$2>

E2 6 >)8<

  ϊo8

  ϊ o2

|AH8 6 :$=>

|AH2

Okrf~dnu Ekienizrhzckiu &8 (fkd)D # Zh~p j–hvhienfniz ocihd |AH

U5 H5 Hecjn e`dkr`sjrcx~n @Ed

&5

E5 6 2)8<

&5

  ϊ o5

8¼+ h# Jrnuunr ~i zhbdnh~ j–hvhienfniz j–hvhienfniz |k~r dh rãhezcki jn jcuukechzcki jcuukechzcki j–~i hecjn ohcbdn jhiu d–nh~ nz ni jãj~crn dnu vhdn~ru jnu eknoocecnizu j–ckicuhzckiu ϊ2

ϊ8

nz ϊ5 jn enu hecjnu) b# Jkiinr d–np|rnuucki jn dh ekiuzhizn j–hecjczã j –hecjczã AH ni okiezcki jn E nz ϊo ) e# Edhuunr enu zrkcu hecjnu |hr okrenu erkcuuhiznu) G~uzcocnr dh rã|kiun)

2¼+ Nzhbdcr dh rndhzcki vãrcocãn |hr dh vhdn~r j~ |@ | @ j–~in ukd~zcki jn ekienizrhzcki E j–~i hecjn ohcbdn nz ohcbdnfniz jcuukecã ni okiezcki jn |AH nz jn E)

NPNRECEN ? 7 (U# nuz ~in ukd~zcki j-hecjn ãz`hikëx~n jn ekienizrhzcki E) D-ãx~hzcki jn dh rãhezcki rndhzcvn ì dh fcun ni ukd~zcki jn enz hecjn ohcbdn jhiu d-nh~ nuz 7 E@5EKK@ ! @2K

&

!

E@5EKK ! @5K

$

8¼# Nzhbdcr x~n dn |@ jn dh ukd~zcki (U#$ uh ekienizrhzcki eki enizrhzcki E nz dn |AH j~ ek~|dn &

E@5EKK@ + E@5EKK vãrcocniz dh rndhzcki 7 |@ 6

8 2

( |AH − dkmE #

Ki u~||kunrh x~n 7

& d–hecjn nuz ohcbdnfniz jcuukecã) & dnu ckiu |rkvnihiz jn d–h~zk|rkzkdsun jn d–nh~ ukiz iãmdcmnhbdnu

2¼# Ki jcu|kun j~ fhzãrcnd nz jnu ukd~zckiu u~cvhizu 7 & Jnu ockdnu gh~mãnu jn 8<< fD)

& Jnu |c|nzznu gh~mãnu jn 8 fD fD $ 2 fD $ 8< fD $ 2< fD nz ~in |c|nzzn mrhj~ãn jn > fD ) & ^in ukd~zcki (U K# j–hecjn ãz`hikëx~n jn ekienizrhzcki EK 6 >) 8<

&2

&8

fkd)D ) & Jn d-nh~ jcuzcddãn ) & ^i |@&fàzrn h~ 8+8<

àfn

)

Ki un |rk|kun jn |rã|hrnr $ ì |hrzcr jn (U K# $ x~hzrn ukd~zckiu (U8# $ (U2# $ (U5# nz (U :# jcd~ãnu jn vkd~fn 8<< fD e`he~in ) Dn zhbdnh~ u~cvhiz jkiin $ nizrn h~zrnu $ dnu vhdn~ru j~ |@ fnu~rã |k~r e`he~in jnu ukd~zckiu |rã|hrãnu )

Ukd~zckiu E ( ni fkd)D&8 # &dkm E |rãdàvnfniz v ( ni fD # |@

(UK# (U8# (U2# (U5# (U:# & & & >)8< >)8< 2)8< &2 &5 8< 8< 2 5 5 8$5

5$8

2$<

2$5

2$=

5$<

2$<

8<

2

5$:

5$?

5$3

h# Jãznrfcinr dh vhdn~r j~ |rãdàvnfniz v ì noonez~nr ì |hrzcr jn (UK# |k~r |rã|hrnr dnu 8<< fD jn dh ukd~zcki (U5# ) Jãercrn dn fkjn k|ãrhzkcrn |nrfnzzhiz j-noonez~nr enzzn jcd~zcki ni e`kcucuuhiz dh vnrrnrcn dh |d~u hjãx~hzn nz x~c iãenuuczn dn fcicf~f j-k|ãrhzckiu)

b# Zrhenr u~r ~i |h|cnr fcddcfãzrã ¡ ì rnf|dcr |hr dn ehijcjhz nz ì rnfnzzrn hvne dh ek|cn ±$ dh ek~rbn |@ 6 o(−dkm E # ni |rnihiz ekffn ãe`nddn7

&

~in ~iczã jn |@ 7 > ef

&

~in ~iczã jn (&dkm E # 7 > ef

Jãj~crn jn enzzn ek~rbn$ dh vhdn~r j~ |@ jn dh ukd~zcki (U5# nz enddn j~ |AH )

Npnrecen = 7 Ki jcu|kun jnu ukd~zckiu hx~n~unu U8 nz U2 jn jn~p hecjnu ikzãu rnu|nezcvnfniz H8@nz H2@ )dnu |@ jnu jn~p ukd~zckiu kiz dh fçfn vhdn~r |@65) D–~i jnu hecjnu nuz ohcbdn nz d–h~zrn okrz)

8# Jkiinr dh jãociczcki jãociczcki j–~i hecjn okrz nz j–~i hecjn ohcbdn) ohcbdn)

!

5

2# Ehde~dnr dn ikfbrn jn fkdnu j–ckiu @5K ekizni~nu jhiu 8
5

5#& Ki jcd~n 8
2< nz enddn jn U2 jkiin ~in ukd~zcki U–2 jn |@26:$5) !

h#&Ehde~dnr dnu ikfbrnu jn fkdnu i–8 nz i–2 j–ckiu @5K rnu|nezcvnfniz jhiu dnu ukd~zckiu U–8 nz U–2)

ekizni~nu

!

b# Ekf|hrnr dn ikfbrn jn fkdnu j–ckiu @5K |k~r e`hx~n ãe`hizcddki hvhiz nz h|ràu jcd~zcki$

cjnizcocnr hdkru dh ukd~zcki ukd~zcki ciczchdn ciczchdn ekrrnu|kijhiz ì d–hecjn okrz )

G~uzcocnr dh rã|kiun) e# Ehde~dnr dh ekienizrhzcki fkdhcrn jn dh ukd~zcki ciczchdn (hvhiz dh jcd~zcki# jn d–hecjn okrz) Ehde~dnr dn zh~p j–hvhienfniz ocihd jn enz hecjn hvhiz nz h|ràu dh jcd~zcki) :# Dh ekienizrhzcki fkdhcrn jn dh ukd~zcki ciczchdn j–hecjn ohcbdn nuz ãmhdn ì &2

&8

>$=>)8< fkdD ) Jrnuunr dn zhbdnh~ j–hvhienfniz) Ehde~dnr dn zh~p j–hvhienfniz ocihd hvhiz nz h|ràu dh jcd~zcki) Ekied~rn)

Ekrrnezcki Jnu Npnrecenu Hecjnu& Bhunu Npnrecen 8 7

8¼# dnu rndhzckiu x~c zcniu A H $ A B $ |A H nz |A B ukiz 7 \k~r ~i fçfn ek~|dn H+B Hecjn&Bhun) Dh ekiuzhizn j–hecjczã

AH

6

 @5 K !  Q B V  

QHV

Uh ekiuzhizn jn bhuceczã A B $ A B 6

Q H V  @K−  Q BV

! − Uhe`hiz x~n dn |rkj~cz ckicx~n jn d–nh~ nuz A n 6  @5K   @K 







Ki h A H ⋎ A B 6 A n $ ki h||dcx~hiz dh okiezcki dkmhrcz`fn jãecfhd$ ki h 7

dkmA H

! dkmA B 6 dkmA n

Ni uhe`hiz x~n |A H 6 −dkmA H $ |A B 6 −dkmA B nz |A n 6 −dkmA n

|A H !|A B

6

|A n

ì 2>¼E A n 68<

−8:

nz |A n 68:

2¼# Zhbdnh~ Ek~|dnu A H 8 2 8< &:

|A H

|A B 8<)5

5

8)?= 8<&8< 2)> 8<&3

5)= > 8<&88 3)=0 ? 8<&> 5)30 8<&? 0)?

:

2)> 8<&8<

5)30 8<&> 3)?

:):

2

AB

:)22 >):

5¼# ~i ek~|dn h ~i |k~vkcr hecjn j–h~zhiz |d~u mrhij x~n uki A H nuz |d~u mrhij uki |A H

Npnrecen 2 7

8¼# A H ⋎ A B 6 A n 2¼# h) ~in rãhezcki hecjn&bhun nuz ~in rãhezcki x~c fnz ki ni gn~ jn~p ek~|dnu hecjn& bhun H8 + B8 nz H 2 + B2 $ h~ ek~ru jn dhx~nddn cd s h zrhiuonrz jn |rkzkiu ! @ jn dh okrfn hecjn j–~i

ek~|dn vnru dh okrfn bhucx~n j–~i h~zrn h ~zrn ek~|dn) b) D–ãx~hzcki bcdhi jn dh rãhezcki nuz

H8@ ! H 2  H8−

! H2@

e) j–h|ràu dh dkc j–hezcki jn fhuun

 H8−  Q H 2 @ V A H 8 6 A6  Q H8@ V  H 2−  A H2 H|ràu hvkcr f~dzc|dcnr f~dzc|dcnr h~ i~fnrhzn~r i~fnrhzn~r nz h~ jnikfcihzn~r jnikfcihzn~r |hr @ 5K

A6

A H8

6

A H2

8< 8<

− |A H8

− |A H 2

A 6 8

 |A H 2 6 8$ 3:

|A H8 ≱ |A H2 H8@ nuz |d~u ohcbdn x~n H 2 @ A68<8$3=&5$=>

6 8<

−8$08

A68$>> 8< &2 Dh rãhezcki nuz dcfczãn jhiu dn uniu jcrnez)

!

Npnrecen 5 7

EB68<

−2

fkdD&8

H8 + B8 → A H8 6 2 8<&8< : 8<&:

H 2 + B2

→ A B2 6

H 5 + B5

→ |A H 5 6 88)?

8¼# |A H8 6 − dkm A H8 6 3)= 6

A B2 AH2

6

: 8<&: $ 8<

A H 2 ⋎ A B2

6 8<

&8:

−8:

: 8< &:

6 <)2>8<

−88

|A H 2 68<)? |A H5 688)? 2¼#

In bhun nuz j–h~zhiz |d~u okrzn x~n uki A B nuz mrhij$ uki A H nz uki |A H nuz mrhij jkie

B5 nuz dh |d~u okrzn

B8 nuz dh |d~u ohcbdn 5¼# ~in bhun ohcbdn rãhmcz hvne d–nh~ u~cvhiz dh rãhezcki !  B ! @ 2K ↶ ⇌  B@

! K@

−

 @ 5 K !  Q BV  @ 5 K !  E B    6 AH 6   @K −  QHV   AH

6

8<

−2|@

 @ 5K !  E B   6 An

EB

An

H fçfn ekienizrhzcki$ dh ukd~zcki jkiz dn |@ nuz dn |d~u mrhij$ ekizcniz

dh bhun jkiz dn A H nuz dn |d~u |nzcz $ e-nuz&ì&jcrn dn |A H dn |d~u mrhij$ en x~c ekrrnu|kij ì dh bhun dh |d~u okrzn )

Npnrecen : 7

EH 68 $ |A H5 63)2 $ A H5 68<&3)2

8¼# \hrfc dnu zrkcu zrkcu hecjnu$ d–hecjn H 2 h ~i |@ 2 6 − dkm A H 6 − dkm 8<

H 2 @ nuz ~i hecjn okrz) &>

2¼# |A H8 6 − dkm A H8 6 − dkm ?)5 8<

|A H5

6

6

:)2

3)2

|A H5 ≱ |A H8 jkie H5 nuz ~i hecjn |d~u ohcbdn x~n H8 5¼# d–np|rnuucki jn A H 6

AH

6

 @ 5K !    EH

6

8<−2|@ EH

 @ 5K !  Q BV  

QHV |k~r ~i hecjn ohcbdn nuz ohcbdnfniz jcuukecã)

Dh ukd~zcki jkiz dn |@ nuz dn |d~u mrhij ekizcniz d–hecjn dn |d~u ohcbdn)

|@ 6 5)? → H8 |@

6

?)8 → H 5

H 2 nuz d–hecjn dn |d~u okrz e–nuz ~i hecjn okrz) :¼# edhuukiu dnu dnu hecjnu |hr |k~vkcr hecjn erkcuuhiz

−5

6

5

|k~r ~i ek~|dn hecjn&bhun h ecjn&bhun dh okrfn hecjn nuz j–h~zhiz |d~u okrzn x~n uh okrfn bhucx~n nuz ohcbdn$ jkie u~cvhiz ~in ãe`nddn ã e`nddn jn bhuceczã erkcuuhizn ki h 7

bhuceczã$ erkcuuhizn) Npnrecen > 7

H@

!

@2K 

<

<

e&s

+

s

s

so

so 

6

ϊo 5 6

− |@ 2

6

6

8<

8<− |@ 2

8<−2)=

E2

> 8<&5

− |@5

8<

6

E5

Dnu hecjnu

 @5K !  6 8<− |@  

6

<)2> 6

E $

−2)=

E8

8<

6

< $ sFHP so

ϊo 2 6

H−

+

E − s FHP

ϊo 8 6

!

e e&so

8<

@5K !

=)35 8<&5 ≷ 8

6 5)33

8<&8 ≷ 8

−2)=

2 8<

&5

6

8

H8 nz H 2 ukiz jnu hecjnu ohcbdnu fhcu d–hecjn H5 nuz ~i hecjn

okrz ϊo  68 2

AH

b¼#

 @ 5K !    $  @ K !  6 Eϊ o   5  E

kr ϊo  6

E

6

AH

6

 @ 5K !  Q B V  @ 5K !      6 Q HV E −  @5K ! 

2 2 ϊo

E

6

E − Eϊo

2+ 2 ϊo

2

6

+ (8 − ϊo # E

Eϊo  8 − ϊo 

e¼# d–hecjn H 5 nuz ~i hecjn okrz

A H8

E8ϊo 28

6

8 − =)33 8<&5

(8 − ϊo 8 #

A H8 A H2

6

<)2> Ý (=)33 8<&5 # 2

6 8)?

8<&> $

E 2+ ϊo 22

6

6

|A H8

6 8)52

2¼# A H 6

AH

8<&5 $

QHV

E

E

6

8 2

6 −2|@ − dkm E

q− dkm A H

6

|A H 2

8<−2|@

dkm A H |@

8 − 5)33 8<&8

 @ 5 K !  Q B V  @ 5K !      6

6

:)0

> 8<&5 Ý (5)33 8<&8 #

E(8 − ϊo 2 #

A H2

6

− dkm E

2

2)00

|@ 6

8

Q |A H − dkm E V

2

Npnrecen ? 7

8¼# jrnuukiu dn zhbdnh~ zhbdnh~ j–hvhienfniz j–hvhienfniz

!

E@ 5EKK@

@ 2K 

@5K !

e

+

<

<

e&s

+

s

s

so

so 

e&so

AH

 @5K !   E@5EKK−    

6

Q E@5EKK@ V

AH

6

|@

6

E@ 5EKK &

!

2

 @ 5K !    6 E −  @5K! 

8<−2|@ E 8 2

Q |A H − dkm E V

2¼# h# ki vh rãhdcunr ~in jcd~zcki jcd~zcki

Ukd~zcki fàrn ukd~zcki ocddn

U< $ Ec

6

> 8<

&5

U5 $ Eo 

J–h|ràu dh rndhzcki jn dh jcd~zcki

Ec _ 6 Eo _o 

_ 7 vkd~fn |rãdnvã

_o  7 vkd~fn jn ocihdn k~ vkd~fn jn dh ukd~zcki ocddn _6

Eo  Ec

_o 

6

2 8<

&5

&2

> 8<

⋎ 8<
6

&5

2 8<

_6:fd Jnuerc|zcki j~ fhjn k|ãrhzkcrn 7 Ki |rãdàvn ì d–hcjn j–~in |c|nzzn |c| nzzn mrhj~ãn jn >fd u~rfkizã j–~in |c|nzzn :fd jn dh ukd~zcki fàrn U< x~n d–ki vnrun jhiu ~i$ ki hmczn |~cu ki ekf|dàzn ì d–nh~ jcuzcddãn ockdn gh~mãn jn 8<
|@

6

H6 |@

H( − dkm E# ! B ∏ ( |@ #

6

∏ ( − dkm E#

6

(5)3 − 5)2#

6

5 − 8)>

<):=

3):=( − dkm E# ! B

5)26<):=(8)>#!B 1 B62)>

|@

6

|@

6

|@

6

8 2

Q |A H − dkm E V

(<):=#( − dkm E# !

8 2

(|A H #

(<):=#( − dkm E# E# ! 2)>

\hr cjnizcocehzcki ki zrk~vn 7

8 2

|A H

6

2)>1 |A H

6>

Hvne ~i zrheã |d~u |rãecu ni rnu|nezhiz d–ãe`nddn ki zrk~vn ~in vhdn~r jn |A H ≅ :)0 nz ~i eknoocecniz jcrnezn~r jn dh zhimnizn ≅ <)> Npnrecen = 7

U8 (H8 $ @# @# |@8

6

|@ 2

U2 (H 2 $ @# 65

8¼# ~i hecjn nuz jcz okrz u–cd rãhmcz zkzhdnfniz hvne d–nh~) ^i hecjn nuz jcz ohcbdn u–cd rãhmcz hvne d–nh~ u~cvhiz ~in rãhezcki dcfczãn)

&5 ! ! −5 −> 2¼# i8 ( @5K # 6  @ 5K  ⋎ _ 6 8< Ý 8< 8< 6 8< fkd





5¼#

8< ef

5

 →

2<
U  → -8 (| - @8

U8

5)?6>#

U → -2 (| - @ 2

U2

−5)?>

i -8

6 8<

i -2

6 8<

−:)5

Ý 2<< Ý 2<<

8<&5 8<&5

6

:)56#

:):0 8<&> fkd

6 8<

&>

fkd !

b¼# ki rnfhrx~n x~n dn ikfbrn jn fkdu jn @ 5K i–h |hu e`himã jhiu dh ukd~zcki U2 ) Dh jcd~zcki i–h |hu fkjcocã dh rãhezcki rãh ezcki jn d–hecjn H 2 hvne d–nh~ •

d–hecjn H 2 nuz ~i hecjn okrz

•

|hr ekizrn dn ikfbrn jn fkdu jn @ 5K h h~mfnizã h|ràu jcd~zcki$

!

enec fkizrn x~n dh jcd~zcki h ohvkrcuã dh jcuukechzcki jn d–hecjn i–nuz |hu zkzhdnfniz jcuukecã) D–hecjn H8 nuz ~i hecjn ohcbdn) ! − |@ 6E e¼# d–hecjn H 2 ãzhiz okrz$ ki h |@ 6 − dkm E 1  @ 5K  6 8<





E68<&5fkdD−8 hvhiz jcd~zcki) •

Dn zh~p j–hvhienfniz ocihd nuz ãmhd ãm hd ì 8) cd u–hmcz j–~i hecjn okrz 7 zkzhdnfniz jcuukecã jhiu d–nh~)

:¼#

H@

!

@2K 

@ 5K !

!

H−

e

+

<

<

e&s

+

s

s

so

so 

e&so

•

 @5K !  6 so  6 8< − |@  

•

Q H@ V 6 E − so 

•

sF s o 

ϊo  6

6

6

E

 @ 5K !   

sF

6

8<&5

E

E

Hvhiz jcd~zcki 7

ϊo  6

8<

− |@

&5

8<

6

>)=: 8<&2

E

6 8)=:

8<&2

H|ràu jcd~zcki 7 Ehde~dkiu dh ekienizrhzcki h|ràu

Eo 

6

Eo 

6

Ec _c

6

>)=> 8<

s o 

ϊ -o 6

&2

Ý 8<

2<<

2)00 8<&5

8<&5)?> 2)00 8<&5

6

=)== 8<&2 ≱ ϊo 

Ki rnfhrx~n x~n dh jcd~zcki j–~i hecjn ohcbdn ohvkrcun uh rãhezcki jn jcuukechzcki jhiu d–nh~) Dn zh~p j–hvhienfniz ocihd h~mfnizn dkru j–~in jcd~zcki j–~i hecjn ohcbdn)