MAKALAH GEOMETRI ANALITIK SILINDER, KERUCUT, DAN BIDANG PUTAR
“
”
Dosen Pembimbing: Surawan, S.Pd
Disusun oleh Kelompok 9 : 1. Amirotur Rosyidah
(1104140112) (1104140112)
2. Isnaini
(1104140019)
3. Siti Umu Khoirun Nisa
(1104140005) (1104140005)
4. Wildatul Maslahah
(1104140034)
Pendidikan Matematika 2014-A
PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI RONGGOLAWE TUBAN 2017
1
KATA PENGANTAR
Tiada kata yang lebih indah selain puja dan puji syukur kehadirat Allah SWT, atas limpahan Rahmat dan Hidayah-Nya. Sehingga pembuatan makalah ini bisa berjalan dengan lancar dan selesai tepat pada waktunya. Ucapan terimakasih kami haturkan kepada Dosen pengampu Mata Kuliah Geometri Analitik, Surawan, S.Pd yang telah memberikan bimbingan kepada kami sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik dan lancar. Pembuatan makalah ini digunakan untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Geometri Analitik. Penulis sangat menyadari bahwa dalam menyusun makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Hal ini dikarenakan terbatasnya pengetahuan dan pengalaman dari penulis. Maka dari itu, penulis sangat mengharap mengharap saran dan kritik yang membangun, demi kesempurnaan makalah ini. Sehingga diharapkan bisa digunakan sebagai bahan pembenahan yang lebih lanjut serta peningkatan kualitas dari makalah ini. Semoga makalah ini bermanfaat bagi pembaca khususnya bagi penulis.
Tuban, 09 April 2017
Penulis
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ......................................................................................................... i DAFTAR ISI ....................................................................................................................... ii BAB I PENDAHULUAN ................................................................................................... 1 1.1 Latar Belakang .......................................................................................................... 1 1.2 Rumusan Masalah ..................................................................................................... 2 1.3 Tujuan ....................................................................................................................... 2 BAB II PEMBAHASAN .................................................................................................... 3 2.1 Persamaan Bidang Silinder ....................................................................................... 3 2.2 Persamaan Kerucut ................................................................................................... 7 2.3 Bidang Putar ............................................................................................................ 11 BAB III PENUTUP .......................................................................................................... 17 3.1 Kesimpulan ............................................................................................................. 17 3.2 Saran ....................................................................................................................... 17 DAFTAR PUSAKA .......................................................................................................... 18
ii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika merupakan cabang mata pelajaran yang luas cakupannya dan
bukan hanya sekedar bisa berhitung atau memasukkan rumus saja tetapi mencakup beberapa kompetensi yang menjadikan siswa tersebut dapat memahami dan mengerti tentang konsep dasar matematika. Kata “ geometri ” berasal dari bahasa Yunani yang berarti “ ukuran bumi“. Maksudnya mencakup segala sesuatu yang ada di bumi. Geometri adalah ilmu yang membahas tentang hubungan antara titik, garis, sudut, bidang dan bangun bangun ruang. Mempelajari geometri penting karena geometri telah menjadi alat utama untuk mengajar seni berpikir. Dengan berjalannya waktu, geometri telah berkembang menjadi pengetahuan yang disusun secara menarik dan logis. Geometri terutama terdiri dari serangkaian pernyataan tentang titik-titik, garisgaris, dan bidang-bidang, dan juga planar (proyeksi bidang) dan benda-benda padat. Geometri dimulai dari istilah-istilah yang tidak terdefinisikan, definisidefinisi, aksioma-aksioma, postulat-postulat dan selanjutnya teorema-teorema. Berdasarkan sejarah, geometri telah mempunyai banyak penerapan yang sangat penting, misalnya dalam mensurvei tanah, pembangunan jembatan, pembangunan stasiun luar angkasa dan lain sebagainya. Geometri adalah sistem pertama untuk memahami ide. Dalam geometri beberapa pernyataan sederhana diasumsikan, dan kemudian ditarik menjadi pernyataan-pernyataan yang lebih kompleks. Sistem seperti ini disebut sistem deduktif. Geometri mengenalkan tentang ide konsekuensi deduktif dan logika yang dapat digunakan sepanjang hidup. Dalam mendefinisikan se buah kata, pertama digunakan kata yang lebih sederhana kemudian kata yang lebih sederhana ini pada gilirannya didefinisikan menjadi kata yang lebih sederhana lagi, sehingga pada akhirnya, proses tersebut akan berakhir. Pada beberapa tingkatan, definisi harus menggunakan sebuah kata yang artinya sudah sangat jelas, ini dikarenakan agar artinya diterima tanpa memerlukan definisi lagi, dengan kata lain dapat disebut dengan istilah tak terdefinisikan (undefined term).
1
1.2 Rumusan Masalah
1.2.1
Bagaimana persamaan bidang silinder ?
1.2.2
Bagaimana persamaan bidang kerucut ?
1.2.3
Bagaimana persamaan bidang putar ?
1.3 Tujuan 1.3.1 Untuk mengetahui persamaan bidang silinder.
1.3.2
Untuk mengetahui persamaan bidang kerucut.
1.3.3
Untuk mengetahui persamaan bidang putar.
2
BAB II PEMBAHASAN 2.1 Persamaan Bidang Silinder
∅
Tempat kedudukan disingkat TK adalah himpunan titik-t itik yang memnuhi syarat-syarat yang ditentukan. TK mungkin hampa ( ) , satu titik berupa kurva (garis lengkung /lurus), berupa permukaan (surface/bidang) ataupun seluruh ruang itu sendiri. Dalam menghadapi masalah TK kita mempunyai cara-
, , , ,
cara menyelesaikan sebagai berikut : A. Mengambil titik
sembarang pada TK, lalu mencari hubungan-
hubungan yang diperoleh, variabel x, y, z dieleminasi sehingga didapat hubungan antara
, ,
saja. Dengan menghapus indek nol dari hubungan
tersebut (dikatakan: mejalankan titik dinyatakan.
) : diperoleh TK yang
Contoh : Tentukan TK titik-titik yang berjarak 4 dari bidang XOY serta jumlah kuadrat jaraknya ke (1,0,0) dan (-1,0,0) adalah tetap = 36
, ,
Penyelesaian : Ambil P ke
TK. Karena berjarak 4 dari bidang XOY (bidang z = 0)
11 1 1
Maka : z0 = 4 atau z 0 = -4 …………………………… (1) kuadrat jaraknya P ke (1,0,0) adalah
2
+ 2
dan kuadrat jarak P ke (-1,0,0) adalah Sehingga jumlah kuadrat jaraknya =
2
+
+
diketahui jumlah kuadrat jaraknya = 36. Atau
+
2
+
= 17 …… (2)
{ =4 = 17 ,,| =16 ∪ ,,| = 17
Dari kedua hubungan (1) dan (2) bebas dari variabel x, y, z sehinga dengan menghapus indeks nol, diperoleh TK :
TK tersebut berbentuk sepasang lingkaran, Secara teori himpunan dapat kita tulis: TK=
B. Adanya / munculnya prameter. Dengan mengeliminasi parameter-parameter tersebut diperoleh TK yang dinyatakan . kalau terdapat (n + 1) hubungan n
3
buah parameter maka TK merupakan permukaan . kalau (n + 2) hubungan dengan n buah parameter maka TK merupakan kurva. Contoh : Tentukan TK titik dengan vektor posisinya vekotr a yang yang mempunyai persamaan a = [x,y,z] = [1,t,t2] dimana t suatu parameter Penyelesaian : [x,y,z] = [1,t,t2] dapat ditiulis menjadi x = 1, y = t, z = t 2 terdapat tiga hubungan
{==1
dengan sebuah parameter, TK merupakan kurva peleyapan parameter menghasilkan
TK tersebut berbentuk parabola. Catatan: Titik dapat diwakili oleh vektor posisi titik tersebut. Hal ini memungkin kita menggunakan vektor.
C. Pengambilan titik sembarang
,,
pada TK disamping parameter yang
ada / muncul. Peleyapan parameter dan menjalankan menghasilkan TK yang dinyatakan.
,,
tersebut
Contoh :
=8 : =0=4 : {=0 ,, = , = , = . =4
Sebuah garis lurus digerakkan sejajar y = 0 dan selal u memotong kurva-kurva. : tentukan TK-nya
Penyelesaian : Ambil P
pada TK tersebut bila [a,b,c] merupakan arah garis diatas,
diperoleh Persamaan
…………….. (1)
λ suatu parameter, karena memotong C 1 dengan eliminasi (1) terdapat hubungan …….(2)
dan memotong C 2 diperoleh
2
= 8
Karena (1) sejajar dengan y = 0 berarti b = 0
4
……………….(3)
32 4 =32 , ,
Eliminasi a, b, c dengan b = 0 dari (2) dan (3) me nghasilkan dan menjadikan
4 =
diperoleh TK suatu permukaan dengan
persamaan
BIDANG SILINDER
Bidang Silinder : adalah TK garis lurus-lurus yang saling // dan sel alu memotong suatu garis tertentu . Untuk mencari persamaan suatu bidang silinder kita lakukan kombinasi dari (A) dan (B) di atas.
Contoh : Cari persamaan silinder dengan garis lengkung arah sebuah lingkaran pada bidang
=9 =9
z = 0 berpusat di (0,0,0) dan jari-jari 3, sedang garis lukisnya berarah [2,1,1].
=9 , , 0 , , 0
Maka lingkaran arah silinder adalah perpotongan bola bidang z = 0 atau :
z =0
ambil sembarang titik ( …… (*)
Persamaan garis lukis melalui (
pada lingkaran , berarti terpenuhi
berarah 2,1,1 adalah (x,y,z) =
5
dan
[x=, , 02] → =2 == → = x2y y z=9 x y 5z 4xz2yz=9 + λ [ 2,1,1 ] atau
Dan dengan mensubtitusikan ke (*) Diperoleh :
2
atau
adalah
persamaan bidang silinder yang diminta.
Silinder selubung dari bola S = 0, dengan arah pelukisnya [a, b, c] dapat ditentukan sebagai berikut: Ambil sebarang pelukis dengan persamaan: x = x0 + λ a y = y0 + λ b
...........(*)
z = z0 + λ c Substitusikan (*) ke S = 0, diperoleh persamaan kuadrat dalam λ s yarat supaya menyinggung : D = 0 (D =diskriminan). Dengan menjalankan titik (x 0, y0, z0) diperoleh silinder yang diminta.
Contoh:
Suatu bola S : x 2 + y2 + z2 = 9 diselubungi silinder yang arah pelukisnya [1, 1, 2]. Tentukan persamaan silinder yang dimaksud.
(a, b, c)
bola
6
Jawab:
Ambil garis sembarang dengan arah [1, 1, 2], melalui (x 0, y0, z0) x = x0 + λ y = y0 + λ z = z0 + λ substitusikan (*) ke dalam S = 0 => (x0 + λ)2 + (y0 + λ)2 + (2z0 + λ)2 = 9 x02 + 2λx0 + λ 2 + y02 + 2λy0+ λ 2 + z02 + 4λz0+ 4λ 2 – 9 = 0
6λ 2+ (2x0+ 2y0+ 4z0)λ + x02 + y02 + z02 - 9 = 0 Syarat supaya garis menyinggung bola adalah: D (diskriminan) = 0, maka diperoleh: (2x0 + 2y0 + 4z0)2 – 4.6 (x 02 + y02 + z02 - 9) = 0
4x02+ 4y02+ 16z02 + 8x0z0 + 16y0z0 - 24x02 – 24y02 – 24z02.216 = 0
-20x02 – 20y02 – 8z02 + 8x0y0+ 16x0z0 + 16y0z0 + 216 = 0 5x02+ 5y02 + 2z02 - 2x0y0 - 4x0z0 – 4y0z0 – 54 = 0, Jika (x0, y0, z0) dijalankan, maka diperoleh persamaan silinder: 5x2 + 5y2 + 2z2 - 2xy - 4xz – 4yz – 54 = 0 2.2 Persamaan Kerucut Bidang kerucut adalah TK garis-garis yang melalui sebuah titik tetap tertentu
(disebut puncak ) dan selalu memotong sebuah garis lengkung tertentu (disebut garis arah) Misalnya hendak mencari persamaan kerucut berpusat di T (1,1,2) dan baris lengkung arahnya adalah sebuah lingkaran terletak di bidang OYZ pusat (0,0,0) jari-jari = 1
=0=1 , =1 Maka persamaan lingkaran
Ambil titik sembarang (0,
) pada lingkaran tersebut.
……………………. (*)
7
, =1→=1 1, 2] =1→ = 1 = 22 12 =2 2→ = − −= 1 =1 − − 4 2421=0 Garis lukis melalui T(1,1,2) dan (0, [-1,
) persamaannya : [ x,y,z ] = [ 1,1,2 ] + λ
atau :
Subtitusi ke (*) diperoleh : Atau :
kerucut yang diminta.
8
adalah persamaan bidang
Kerucut selubung: Bola S = 0 yang puncaknya T (xl, yl. zl), dan ditentukan pelukis dengan arah [a, b, c]: x = x1+ λ a y = y1+ λ b
...........(*)
z = z1+ λ c Substitusikan (*) ke dalam S = 0 => persamaan kuadrat dalam λ. Ambil D (diskriminan) = 0 => persamaan (**). Dengan eliminasi a, b, c (dari (*) dan (**)) diperoleh persamaan kerucut yang diminta.
Contoh:
Tentukan persamaan kerucut selubung bola x 2 + y2 + z2= 9 yang puncaknya T (2, 3, 4)
Jawab:
Ambil pelukis melalui T(2,3,4) dengan arah [a,b,c]
9
X = x1 + λ a Y = y1 + λ b
........(*)
Z = z1 + λ c Substitusikan (*) ke persamaan bola S : x 2 + y2 +z2 = 9 (2 + λ b)2 + (3 + λ )2 + (4 + λ c)2 = 9 4 + 4 λ a + λ 2a2 + 9 + 6 λ b + λ 2 b2 + 16 + 8 λ c + λ 2c2 = 9 (a2 + b2 + c2 ) λ 2 + (4a + 6b + bc) λ + 20 = 0 Ambil D (deskriminan) = 0 diperoleh: (4a + 6b +8c)2 – 80(a2 + b2 + c2) = 0...........(**) {(4(x – 2) + 6(y – 3) + 8(z – 4)}2 – 80{(x – 2)2 + (y – 3)2 + (z – 4)} = 0 Coba Anda sederhanakan bentuk ini, yang merupakan persamaan kerucut yang diminta.
Bagaimanakah bentuk persamaan bidang kerucut dengan puncak T(x 1, y 1, z 1) dan garis lengkung besar :
:{ ,,,,=0 =0
Pilihlah P(x0, y0, z0) pada
→{ ,, ,, =0 =0 = = =
Persamaan garis pelukis TP, dengan arah : [(x 0- x1), (y0- y1), (z0- z1)] adalah :
Dari hubungan di atas parameter dilenyapkan, maka diperoleh bidang kerucut yang diminta.
Contoh: Tentukan persamaan bidang kerucut yang puncaknya T(0,0,3), garis lengkung dasarnya suatu lingkaran z = 0, x 2 + y2 + z2 = 4 Jawab:
10
Pilih P(x0, y0, z0) pada lingkaran dasar, berarti z 0 = 0, x 02 + y02 + z02 = 4..................(1) Persamaan garis pelukis TP adalah :
=0 0↔ = =0 0↔ = =3 3 ↔ =3 3
……………………(2)
Dengan penyelesaian x 0, y0, z0 dan V dari (1) dan (2) diperoleh: 9x2 + 9y2 – 4z2 – 24z – 36 = 0 adalah persamaan bidang kerucut yang diminta. 2.3 Bidang Putar
Bidang putar : terjadi bila suatu garis lurus/lengkung diputar sekeliling sebuah garis lurus tertentu ( yang disebut sumbu putar ). Tiap-tiap ti tik dari garis yang berputar tadi akan melalui sebuah lingkaran, yang mana bidang lingkaran tersebut tegak lurus sumbu putar.
Misalkan kita hendak mencari persamaan bidang putar yang terjadi apabila s ebuah garis lurus : y = 0,
=1
diputar sekeliling sumbu Z.
11
=1 ,0, , 0 , = = Ambil titik sembarang
pada garis tersebut maka terpenuhi :
……… (*).
Persamaan lingkaran yang dibuat oleh perputaran titik z adalah perpotongan silinder
dan bidang z =
sekeliling sumbu
atau :
z=
Subtitusi ke (*) diperoleh :
√ =1 = Yang adalah suatu kerucut lingkaran tegak.
Bidang putar adalah bidang yang terjadi jika suatu garis lurus atau lengkung diputar mengelilingi suatu garis lurus tertentu (sebagai sumbu putar atau poros). Bahwa setiap titik pada garis yang diputar akan membentuk lingkaran, yang terletak pada bidang parallel (bidang yang tegak lurus poros).
12
Sebuah bidang melalui sumbu putar dinamakan bidang meridian. Jika ditentukan suatu garis lengkung, misalkan:
: =0, =0}
garis lengkung pada bidang XOZ, dan poros sumbu Z.
Bagaimana bentuk persamaan bidang-bidang putarnya? Suatu titik P(x0, y0, z0)
dari garis lengkung akan memenuhi f(x 0,z0), y0
= 0 ………..(*) Titik P menjalani lingkaran : z = z 0, x2 + y2 = x02 ………..(**) Pelenyapan x0, y0 dan z0 dari (*) dan (**) menghasilkan persamaan bidang putar
√ . =0
:
Contoh:
1) Jika garis lurus :
=0, =1
berputar mengelilingi sumbu z,
bagaimanakah persamaan bidang putarnya ? Jawab: Ambil P(x0, y0, z0) dari garis lurus, berarti
1, =0
.................(*)
Titik P menjalani lingkaran : z = z 0, x2 + y2 = x02 ………..(**) Pelenyapan x0, y0 dan z0 dari (*) dan (**) menghasilkan
+ =1 −+ = − 22= atau
Atau
atau 4x2 + 4y2 – z2 + 8z – 16 = 0
Merupakan persamaan kerucut dengan puncak T(0,0,4) 2) Parabola : y = 0,x2 = 2pz diputar mengelilingi sumbu z. Bagaimanakah persamaan bidang putar yang terjadi ? Jawab: Ambil P(x0, y0, z0) pada parabola, berarti y0 = 0, x02 = 2pz0 ........(*) Titik P menjalani lingkaran : z = z 0, x2 + y2 = x02 ………..(**)
13
Pelenyapan x0, y0 dan z0 dari (*) dan (**) menghasilkan : x2 + y2 = 2pz yang merupakan parabola putar
contoh: Tentukan persamaan bidang putar, yang terjadi pada perputaran elips z = 0, x 2 + y2 – 2x = 0 mengelilingi garis lurus : y = 0,z = px Jawab: Sebuah titik pada elips dapat dinyatakan : z0 = 0, x02 + y02 – 2x0 = 0..............(1) Arah garis poros adalah : [1,0,p], sehingga bidang melalui (x 0,y0,0) tegak lurus poros, mempunyai persamaan : x – x0 – pz = 0............(2) Bola dengan 0(0,0,0) sebagai pusat dan melalui (x 0,y0,0) mempunyai persamaan x2 + y2 + z2 = x02 + y02 ................(3) Pelenyapan x,y0,z0 dari (1),(2) dan (3) memberikan persamaan bidang putar : x2 + 2y2 + (2 – p2)z2 – 2pxz – 2x – 2pz = 0 x02 + 2λ x0 + λ 2 + y02 + 2λ y0+ λ 2 + z02 + 4λ z0+ 4λ 2 – 9 = 0 6λ 2+ (2x0+ 2y0+ 4z0)λ + x02 + y02 + z02 - 9 = 0 Syarat supaya garis menyinggung bola adalah: D (diskriminan) = 0, maka diperoleh: (2x0 + 2y0 + 4z0)2 – 4.6 (x02 + y02 + z02 - 9) = 0
4x02+ 4y02+ 16z02 + 8x0z0 + 16y0z0 - 24x02 – 24y02 – 24z02.216 = 0
-20x02 – 20y02 – 8z02 + 8x0y0+ 16x0z0+16y0z0 + 216 = 0 5x02+ 5y02 + 2z02 - 2x0y0 - 4x0z0 – 4y0z0 – 54 = 0, Jika (x0, y0, z0) dijalankan, maka diperoleh persamaan silinder: 5x2 + 5y2 + 2z2 - 2xy - 4xz – 4yz – 54 = 0
Sebuah bidang melalui sumbu putar dinamakan bidang meridian. Jika ditentukan suatu garis lengkung misalkan: C : f (x,z) = 0
garis lengkung pada bidang XOZ, dan poros sumbu Z.
Y=0 Bagaimana bentuk persamaan bidang-bidang putarnya?
14
Suatu titik P(x0, y0, z0) dari garis lengkung akan memenuhi f(x 0, z0), y0 = 0......(*) Titik P menjalani lingkaran : z = z 0, x2 + y2 =x02.......(**) Pelenyapan x0, y0 dan z0 dari (*) dan (**) menghasilkan persamaan Bidang putar : Contoh:
(√ ∙)=0 =0, =1
1) Jika garis lurus :
berputar mengelilingi sumbu z, bagaimanakah
persamaan bidang putarnya? Jawab:
2 4 =1, =0…… ∗ 2 4 =1 4 = 416 = − 4 4 816=0
Ambil P(x0, y0, z0) dari garis lurus, berarti
Titik P menjalani lingkaran : z = z 0, x2 + y2 = x02......(**) Pelenyapan X0, Y0, Z0 dari (*) dan (**) menghasilkan
Atau
Merupakan persamaan kerucut dengan puncak T(0,0,4), coba Anda membuat sketsa untuk soal ini.
2) Parabola : y = 0, x 2 = 2pz diputarkan mengelilingi sumbu z. Bagaimanakah persamaan bidang putarnya yang terjadi? Jawab:
Ambil P(x0, y0, z0) pada parabola, berarti y0 = 0 X02 = 2pz0......(**) Titik P menjalani lingkaran : z = z 0, x2 + y2 =x02.........(**) Pelenyapan x0, y0, z0 dari (*) dan (**) menghasilkan : x2 + y2 = 2pz Yng merupakan parabola putar bagaimana halnya jika porosnya sembarang? (1) Menetapkan persamaan garis c yang diputar (garis ini dinamakan garis meridian bidang putar ).
15
(2) Ambil P(x0, y0, z0) pada c yang berarti x 0, y0, z0 memenuhi persamaan c (diperoleh 2 hubungan). (3) Tentukan persamaan bidang paralel H melalui P. H tegak lurus poros (diperoleh 1 hubungan). (4) Menentukan persamaan lingkaran L yang dijalani P, yaitu berpotongan H dan bola S (pusatnya pada poros). Jika poros melalui (0,0,0), lebih menguntungkan mengambil pusat di (0,0,0) dan R 2 (jari0-jari kuadrat) = x02 + y02 + z02 (diperoleh 1 hubungan). (5) Pelenyapan x0, y0, z0 dari hubunga-hubungan diatas. Contoh:
Tentukan persamaan bidang putar, yang terjadi pada perputaran elips z = 0, x2 + y2 – 2x = 0 mengelilingi garis lurus : y= 0, z = px Jawab:
Sebuah titik pada elips dapat kita nyatakan: Z0 = 0, x 02 + 2y02 – 2x0 = 0.........(1) Arah garis poros adalah : [1,0,p], sehingga bidang melalui (x 0, y0, 0) tegak lurus poros, mempunyai persamaan : x- x0 + pz = 0........(2) Bola dengan O(0,0,0) sebagai pusat dan melalui (x 0, y0, 0) mempunyai persamaan x2 + y2 + z2 = x02 + y02..........(3) Pelenyapan x0, y0, z0 dari (1), (2) dan (3) memberikan persamaan bidang putar : x 2 + 2y2 – (2-p2)z2 – 2pxz – 2x – 2pz =0
16
BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan
∅
3.1.1 Tempat kedudukan disingkat TK adalah himpunan titik-titi k yang memnuhi syarat-syarat yang ditentukan. TK mungkin hampa ( ) , satu titik berupa kurva (garis lengkung /lurus), berupa permukaan (surfac e/bidang) ataupun seluruh ruang itu sendiri. Bidang silinder adalah TK garis lurus-l urus yang saling // dan selalu memotong suatu garis tertentu. 3.1.2 Bidang kerucut adalah TK garis-garis yang melalui sebuah titik tetap tertentu (disebut puncak ) dan selalu memotong sebuah garis lengkung tertentu (disebut garis arah). 3.1.3 Bidang putar adalah bidang yang terjadi jika suatu garis lurus atau lengkung diputar mengelilingi suatu garis lurus tertentu (sebagai sumbu putar atau poros). Bahwa setiap titik pada garis yang diputar akan membentuk lingkaran, yang terletak pada bidang parallel (bidang yang tegak lurus poros). 3.2 Saran Kami membuat makalah ini untuk pembelajaran bersama. Kami
mengambil dari berbagai sumber, jadi apabila pembaca menemukan kesalahan dan kekurangan, maka kami sarankan untuk mencari referensi yang lebih baik. Apabila pembaca merasa ada kekurangan dapat membaca buku yang menjadi referensi secara lengkap. Dalam mempelajari Geometri dibutuhkan ketelitian serta pemahaman terhadap berbagai hal yang ditemukan dalam Geometri. Oleh karena itu dibutuhkan problem solving / pemecahan masalah dalam mempelajari geometri. Misalnya dengan mengerjakan soal – soal latihan, agar kita dapat lebih terlatih dalam mengerjakan soal – soal yang berhubungan dengan geometri.
17
DAFTAR PUSAKA
www.toermoedy.wordpress.com
http://p4tkmatematika.org/downloads/sd/GeometriRuang.pdf
http://catatancagur08.blogspot.com/p/makalah-geometri.html
http://mynewsitipujaaini.blogspot.co.id/2014/12/makalah-tentang-bola-pada bangun-ruang.html
http://prizta11192.blogspot.co.id/2011/09/geometri-ii.html
18
