Departamento de Matemáticas
4º de ESO
RELACIÓN Tema 8: Funciones. Reflexión: Los grandes amigos no se pierden en pequeñas disputas; si se pierden, es porque no eran amigos y mucho menos grandes.
OPERACIONES CON FUNCIONES. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. FUNCIÓN INVERSA 1. Dadas las funciones f x x 2 y g x a) f g x b) f g x
5
x 4
c) f g x d) f : g x
, calcula:
e) f g x f) g f x
g) f 1 x h) g 1 x
2. Determina la función inversa de las siguientes funciones y conf irma después que f(x) y f -1(x) son inversas. a) y 5 x
d) y x 2 5 x
g) y x
b) y x 7
e) y x 3 7
h) y
c) y 6 3 x
f) y x 2 4
i) y
3
x5 3
4x 2 3
j) y k) y
2 x 4
x 2 x x 1 3
1
4
2
l) y x
CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN 3. A partir de la gráfica de la función: a) b) c) d) e) f) g) h) i)
Indica su dominio y su recorrido. ¿Es continua o discontinua? Si es discontinua, indica los puntos pu ntos de discontinuidad. Indica sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como, los intervalos constantes. Indica sus extremos absolutos y relativos. ¿Tiene simetría? Si tiene, ¿qué tipo? ¿Es periódica? Calcula los puntos de corte con los ejes X e Y. Halla la imagen de x= –1, x=0 y x=2. Encuentra los valores de x tales que f(x)=2 f (x)=2 y f(x)=-1.
4. A partir de la gráfica de la función: a) b) c) d) e) f) g) h) i)
Indica su dominio y su recorrido. ¿Es continua o discontinua? Si es discontinua, indica los puntos pu ntos de discontinuidad. Indica sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como, los intervalos constantes. Indica sus extremos absolutos y relativos. ¿Tiene simetría? Si tiene, ¿qué tipo? ¿Es periódica? Calcula los puntos de corte con los ejes X e Y. Halla la imagen de x=-3, x= –1, x=0, x=2 y x=4. Encuentra los valores de x tales que f(x)=1, f(x)=2 y f(x)=4.
5. Estudia la simetría de las siguientes funciones. a)
b)
c)
6. Di si las siguientes funciones son periódicas. En E n caso afirmativo, halla su periodo. a)
b)
c)
7. La siguiente gráfica corresponde a una función periódica de período T=6.
a) Representa en tu cuaderno otros dos períodos de la gráfica de la función, uno a la izquierda y otro a la b) c) d) e)
derecha. ¿Cuál es el recorrido de la función? ¿Está acotada? ¿Cuáles son sus cotas? Halla los valores de la función f(1), f(-2), f(0), f(27), f (27), f(-31) y f(2.016) ? ¿En qué puntos del intervalo [60,70] la función es igual a -2?
8. Observa la siguiente gráfica: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
Indica su dominio y su recorrido. ¿Es continua o discontinua? Si es discontinua, indica los puntos pu ntos de discontinuidad. Indica sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como, los intervalos constantes. Indica sus extremos absolutos y relativos. ¿Tiene simetría? Si tiene, ¿qué tipo: par o impar? ¿Es periódica? Calcula los puntos de corte con los ejes X e Y. Halla la imagen de x=-5, x= –2, x=0 y x=3. Encuentra los valores de x tales que f(x)=2 f (x)=2 y f(x)=4. Calcula f[4+f(2)].
9. A partir de la gráfica de la función: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)
Indica su dominio y su recorrido. ¿Está acotada? Si lo está, dí el intervalo. ¿Es continua o discontinua? Si es discontinua, indica los puntos pu ntos de discontinuidad. Indica sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como, los intervalos constantes. Indica sus extremos absolutos y relativos. ¿Tiene simetría? Si tiene, ¿qué tipo: par o impar? ¿Es periódica? En caso afirmativo, halla su periodo. Calcula los puntos de corte con los ejes X e Y. Halla la imagen de x=-8, x= –4, x=0 y x=4. Encuentra los valores de x tales que f(x)=4 f (x)=4 y f(x)=0. Calcula f(2016) y f( –2020).
10. Dadas las siguientes funciones representadas: a)
c)
b)
d)
Escribe: dominio, recorrido, discontinuidades, intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento, intervalos constantes, puntos de corte con los ejes, puntos de máximo y pu ntos de mínimo.
11. ¿Cómo son los máximos y mínimos de una función creciente en ( –∞,1) (2,5) y decreciente en (1,2) (5,+∞) ?
Dibuja la gráfica de la función previamente.
12. Dibuja la gráfica de una función con dominio en ( –∞,0) (0,+∞), creciente en (0, 4) y decreciente en (4,+∞).
Indica cuáles son los máximos y los mínimos de la función que has dibujado.
13. Halla la tasa de variación media de la función f x a) [1,3]
b) [2,4]
c) [-5,-1]
4
x
en los intervalos siguientes:
d) [-2,-1]
14. ¿Se puede calcular la tasa de variación media de la siguiente función en el intervalo pedido? Razona tu respuesta. f x
1
x 1
en [0, 2]
15. Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y los mínimos de la siguiente función. Calcula la tasa de variación media para probar tus resultados. r esultados.
16. Estudia el crecimiento y el decrecimiento de las funciones: a) f x 2x 7 con D(f)=[ –5,4] b) g x 4 x 2 con D(g)=[ –10,0]
CARACTERÍSTICAS DE FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS 17. Se define la siguiente función para valores de “x” pertenecientes al intervalo [n,n+1) en donde “n” representa un número entero.
1
f x
si
n es par
1 si n es impar
Así, por ejemplo, f(4,3)=1 porque 4,3 pertenece al intervalo [4,5) y el 4 es par.
a) b) c) d)
Halla los valores f(1), f(1,25), f(- 4,2) y f(π). Representa la función en el intervalo [-5,5). La función es periódica. ¿Cuál es su período? ¿Es continua?
PROBLEMAS DE CARACTERÍSTICAS DE FUNCIONES 18. Para grupos de 50 ó más personas, una empresa de transportes ofrece, para una excursión, un precio por persona, en euros, según la fórmula: P(n)=40-0,5·(n- 50), n>50, donde “n” es el número de excursionistas.
a) Escribe cuál será el ingreso, G(n), para la empresa en función del número “n” de excursionistas. b) Copia y completa la tabla en tu cuaderno. n
60
70
90
110
120
140
160
G
c) A la vista de los resultados, ¿cuál parece ser el número de personas más conveniente para la empresa? empr esa? d) Determina de manera exacta y razonada cuál es ese número de personas y cuánto ingresaría la empresa. 19. El coste de producir “n” palas de pádel viene dado por la expresión P n 40 16 n 1 , con n≤50. Si la empresa pretende ganar un 50 % en la venta de cada pala, determina:
a) El precio U(n) de cada una de las palas p alas al producir “n”. b) ¿A qué precio deberá vender cada pala si producen 17? c) ¿Cuánto dinero ganará si prodcuen 30 palas pero sólo logran vender 25? d) La ganancia G(n) al producir y vender “n” palas. e) Analiza si P(n), U(n) y G(n) son crecientes o decrecientes. 20. Un jugador de béisbol golpea la pelota y ésta sigue la trayectoria y=0,9+0,2x-0,0012x 2, donde “x” e “y” están en metros. ¿Pasará por encima de una valla que tiene 5 m de altura y está a 155 m del jugador?
FUNCIONES LINEALES 21. Identifica la pendiente y la ordenada en el origen de las funciones representadas e indica cuál es su fórmula.
22. Dada las funciones siguientes:
y 3 2 x
y x
a) Calcula los puntos de corte con los ejes X e Y. b) Representa cada función gráficamente. c) Indica la pendiente y la ordenada en el origen.
y 2
y x 2
y 3 x 5
FUNCIONES CUADRÁTICAS 23. Dada las funciones cuadráticas siguientes: y 1 x
2
y 6 x x
y x 2
2
2
y x 3x 1 2
y
x2 3
1
a) Calcula los puntos de corte con los ejes X e Y. b) Calcula el vértice y el eje de simetría. c) Representa cada función gráficamente. d) Estudia el dominio, el recorrido, recorrid o, la monotonía, la curvatura y los puntos extremos. 24. Empareja las gráficas con su posible fórmula. a) f x x 2 3x 2 b) g x 1 x 2 c) h x x 3 2 d) i x x 3 2 e) i x x x 4
FUNCIONES RACIONALES 25. Identifica cada gráfica con la función a la que corresponde. a) f x
4
x
I)
b) g x
x 3 x 1
c) h x
II)
26. Dada la función f x
x 1 2
1 x 3
2 x
d) i x
III)
x 1
x 1
IV)
.
a) Determina la función inversa f –1(x). b) Representa en los mismos ejes las gráficas de las funciones f(x), f –1(x) e y=x. c) Observa la gráfica, ¿qué tipo de simetría presenta la función f –1(x) respecto de f(x)? 27. Indica cuáles son las asíntotas de las funciones racionales siguientes y efectúa su representación gráfica después.
1 a) y x 2 x 3 b) y 3 x
x
c) y d) y
x 1 x 3 4 x 8 x 4
e) y f) y
x 2 2 x x 1 x 3 x 2 x 2 1
g) y h) y
x 2 4 x 1 x 4 2 x 3
x 12 x 3
Escribe: dominio, recorrido, continuidad, discontinuidades, monotonía, puntos de corte con los ejes y puntos
28. ¿Cuál de estas rectas es una asíntota de la función y x 1 a) y=x+1
x 2 2 x x 2 4
? Justifícalo. ¿De qué tipo es?
b) y=x+2 FUNCIONES EXPONENCIALES
29. ¿Cuáles de las siguientes expresiones corresponden a una función exponencial? Justifica tu respuesta. a) y 2 x
b) y 82 x
d) y 2,5 x
c) y 1 x
30. Indica cuáles de las siguientes exponenciales son crecientes y cuáles son decrecientes. x
3 a) y 5
b) y
2
x
c) y x
d) y 0,88 x
31. La gráfica corresponde a la función f x 3 x .
a) Comprueba que verifica las características de las funciones exponenciales. b) Dibuja en tu cuaderno la gráfica de g x 3 x y comprueba que es simétrica de f(x) respecto el eje Y. 32. Representa en tu cuaderno la gráfica de la función f x e x . Compárala con la gráfica de la función g x e x . ¿Qué observas?
33. Representa en tu cuaderno las siguientes funciones de base 10 y compáralas. f x 10 x
g x 10
x
h x 10 x
a) ¿Qué tienen en común?
b) ¿Qué relación hay entre ellas?
34. A partir de la gráfica de la función f x 2 x , representa en tu cuaderno las gráficas de las siguientes funciones.
x
a) g x 1 2
x
c) i x 2 x
b) h x 2 2
d) j x 2 x
Escribe: dominio, recorrido, monotonía, puntos de corte cor te con los ejes y asíntotas. x
x
3 2 35. Completa la siguiente tabla de valores correspondiente a las ffunciones unciones f x y g x . 2 3 x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x) g(x)
a) Representa en tu cuaderno de forma aproximada ambas funciones en los mismos ejes de coordenadas. b) ¿Qué relación observas entre sus gráficas?
FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS 36. Representa en tu cuaderno la función definida a trozos: 4 2 x si x 0 2 2 x x 4 si x 0
f x
a) A partir de la gráfica, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento y comprueba tu respuesta calculando la tasa de variación media en cada intervalo.
b) ¿Presenta algún máximo o mínimo relativo? ¿Dónde? c) Estudia el signo de la función, el dominio y el recorrido. 37. Dada la función definida a trozos: 2 si x 0 f x x 2 2 x si x 0
a) Represéntala gráficamente. b) A partir de la gráfica, estudia el crecimiento o decrecimiento y comprueba los resultados utilizando la tasa de variación media.
c) Halla su dominio, recorrido y asíntotas. PROBLEMAS DE FUNCIONES 38. Alba, Bea y Carlota compiten en una carrera de 100 m lisos. Las funciones que describen su posición respecto del tiempo son:
Alba: Dt
5t
si
7,5t 20 si
0 t 8
t 8
Bea: D(t)=5,5t Carlota: D(t)=4t
a) Representa en la misma gráfica el desarrollo de la prueba. b) ¿En qué posiciones quedan las tres corredoras? c) ¿A qué distancia de la salida se encuentran Bea y Carlota cuando Alba adelanta a Bea? 39. En una yincana, hay que dar con una pelota de tenis en un patito de goma situado a 10 m de distancia y a 1 m de altura. Ana lanza la pelota desde una altura de 1,80 m y, siguiendo una trayectoria parabólica, en los primeros 2 m, sube 30 cm y en el siguiente metro, sube otros otr os 10 cm. ¿Alcanzará el objetivo?
40. En un ayuntamiento, se han organizado unas jornadas de limpieza de zonas verdes. Los voluntarios se organizaron en grupos y a cada grupo se le asignó una parcela de igual superficie. El tiempo que dedicó cada voluntario del grupo en limpiar la parcela asignada fue: Equipo
1º
2º
3º
4º
5º
Nº de personas
4
5
6
8
10
Tiempo (min) por persona
180
145
118
70
60
a) Comprueba que todos los equipos, excepto uno, han trabajado con una intensidad parecida. ¿Qué equipo no se ajusta al ritmo del resto?
b) Busca una función racional que relacione de forma for ma aproximada el número de personas pe rsonas con el tiempo empleado por los equipos que han trabajado al mismo ritmo.
c) ¿Cuánto tiempo se puede esperar que tarde un equipo de 10 personas?
41. La población de una especie de nenúfar se duplica cada día. Diego introduce 3 ejemplares en el estanque en su jardín.
a) ¿Cuántos ejemplares tendrá al cabo de 4 días? b) Si para que toda la superficie del estanque quede cubierta necesita aproximadamente 1.500 plantas, ¿cuántos días tendrá que pasar hasta conseguirlo?
42. Una especie de bacteria se duplica cada 20 min. En una placa de Petri con un cultivo de esta bacteria, había inicialmente 12 microorganismos.
a) ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de la bacteria? b) ¿Cuántas bacterias hay en la placa después de 3 horas? c) ¿Cuántas horas deben pasar para que el número de bacterias sea de 10.000 microorganismos?
