Curso: Matemática
SOLUCIONARIO PRIMERA JORNADA DE EVALUACION GENERAL ONLINE MATEMATICA
1.
La alternativa correcta es C
(0,1 ∙ 0,01) : -0,001 = 0,001 : -0,001 = -1 2.
La alternativa correcta es D 24 4 20 = 6,6 , = 3 3 3
3.
redondeado a la décima 6,7.
La alternativa correcta es A
Como a es un número positivo si se divide por c que es un número negativo, el resultado será siempre un número negativo. 4.
La alternativa correcta es A
María (M), Juan (J), Eliana (E), Teresa (T) E =800 ha
5.
J
3 3 · E · 800 80 0 3 · 200 20 0 = 600 ha 4 4
T
1 1 · J · 600 60 0 = 120 ha 5 5
E + J+ T= M 1.520 = M
La alternativa correcta es B 103 10 Para transformar el número 0,103 a fracción se aplica . El error se comete 900
en el primer paso de la secuencia. A 103 resta 1 y no 10 103 1 900 1
6.
La alternativa correcta es A a y b negativos, b > a y c natural. b es una fracción positiva a b es una fracción negativa c a es una fracción negativa c
El orden decreciente implica que la primera fracción debe ser
b a
b c a . c
y
otras negativas, luego se deben comparar las fracciones fracción 7.
b c
es mayor que
a c
, por lo tanto e orden es
En el tercer corte se come
9.
,
b c
y
a , c
como b > a , la
La alternativa correcta es C
De los dos primeros cortes le quedan:
8.
b a
al ser positiva y las
1 ∙ 4
4 3 3 64 = 36 cm. 4 4
36 = 9 cm.
La alternativa correcta es A
(1) Si a es par, entonces a = 2k con k entero. Luego, a + 4b = 2k + 4b = 2(k + 2b) es un número impar. (2) Si b es par, entonces no se puede asegurar nada de a, luego no se puede determinar si (a + 4b) es par. La alternativa correcta es B
a = 5t b = 15k
Para toda t entero negativo Para todo k entero negativo Para l entero no nulo
5 c 15 Para j entero no nulo j = d Alternativa A 5 t + 15k j a+b Con j igual a 3 es = d 15 Alternativa B c 1 Con k entero negativo y l = b 3k l l=
un entero entero no sirve entero no nulo es un racional no no entero
Alternativa C 5 t + 3k a+b Con t igual a -1 tenemos un entero = a 5t Alternativa D c 5j Con j igual a 3 y l igual a 1 tenemos un entero = d 15l Alternativa E b+a 5(t + 3k)l = Siempre es un entero c 5
2
10. La alternativa correcta es C 3
812 +
3
2
3
27 = 33 3 +
3
33
= 32 (3 3)2+ 3 3
=9
9 +3
11. La alternativa correcta es D I) II) III)
log 16 – log 2 = log 8 1 log7 verdadero, se aplica propiedad 5 log 81 · 27 = log 81 + log 27, verdadero, se aplica propiedad log5 7
12. La alternativa correcta es A Es un cuadrado de binomio (1 – 3 2 )2 = (1)2 + 2 ∙ (1) ∙ (-3 2 ) + (-3 2 )2 = 1 + – 6 2 + 9 2 = 19 – 6 2 = -(6 2 – 19)
13. La alternativa correcta es D m n A 2 m n2 6
6
3
m 2
3
n2
m n 2
2
m
2
n2 m4 m2n2 n4
m
2
n
2
m4 m2n2 n4
B m4 n4 2
C m2 n2 m2 2mn n2
Luego, m2 – 2mn + n 2 < m4 + n4 < m4 +m2n2 + n4, entonces C < B < A
14. La alternativa correcta es B 3
10 2,15443469
10 -2,15443469 x = -2,16 y = 2,16 Luego, x + y = 0 3
3
15.
La alternativa correcta es D 3 p2 Pertenece al conjunto de los números complejos, entonces 3 – p2 < 0. 2
Luego, p2 > 3 p > 3 es decir, el conjunto solución es ]- , - 3 [ ] 3 , [
16. La alternativa correcta es C z = x – yi z · z = (x yi) · (x yi) = x 2 y 2i2 = x2 y 2 z
2
2 2 x y 2 2 = x y
recordar que i2 = -1
2
17. La alternativa correcta es A 3 i 2b i 6b 3i 2bi i2 2b i 2b i 4b2 i2
6b 1 3 2b i
4b2 1 6b 1 3 2b 2 2 i 4b 1 4b 1 3 2b 3 Luego: 2 0 3 2b 0 b 2 4b 1
18. La alternativa correcta es A (1) Si, producto entre racional distinto de cero e irracional, resultado irracional. (2) No, A puede ser cero, pero también puede ser irracional.
19. La alternativa correcta es C ax + 2 = x + b /-2 – x (a – 1)x = b – 2 /: (a - 1) x=
b 2 a 1
4
20. La alternativa correcta es D (a – b)2 – a + b = (a – b)2 – (a – b) = (a – b)∙(a – b) – (a – b) = (a – b)∙[ (a – b) – 1]
21. La alternativa correcta es B x representa la cantidad de dulces de manzana y representa la cantidad de dulces de naranja La cantidad total de dulces de naranja y manzana es x + y = 85. Ahora bien, los dulces de manzana valen $ 20 y los de naranja $ 15, si en total se gastó $ 3.300, entonces la ecuación que relaciona estas cantidades es 20x + 15y = 3.300. Así el sistema que relaciona la cantidad de dulces y los valores es
x y 85 20x 15y 3.300
22. La alternativa correcta es E x: N° de hamburguesas y: N° de bebidas Siendo x e y números enteros
La ecuación que resuelve el problema es
x + y = 13 1.300x + 800y = 13.000
.
Al resolver dicho sistema se obtiene: N° de hamburguesas x = 5,2 y N° de bebidas y = 7,8, lo cual contradice el hecho de que x e y sean enteros
23. La alternativa correcta es A 4p2 5 4p2 4p3 5 5 3 5 4p 5 4p3 4p2 5 16p5 25 3 5 4p 20p3
5
24. La alternativa correcta es C 3a 2b = 11 3a + 2b = 7
6a + 0b = 18 6a = 18 a=3 3 ∙ 3 – 2b = 11 -2b = 11 – 9 b= 2 -2
b = -1 Luego, a – b = 3 – (-1) = 4
25. La alternativa correcta es B Al construir la ecuación cuadrática a partir de: (x – q)2 = 2q + 1 x2 – 2xq + q 2 – 2q – 1 = 0 Se tiene, a=1 b = -2q c = q2 – 2q – 1 Entonces para que las soluciones sean complejas, el discriminante debe ser negativo, es decir 2
b
4ac < 0
(-2q)2 4 1 (q2 2q - 1) < 0 4q2 4q2 +8q + 4 < 0 4 8 1 q<2 q<-
6
26. La alternativa correcta es D A = 400 m2 4 · A= 1.600 m2
r
· r2 = 400
r2 = 400 r = 20
/
Aumenta el radio en x metros · (r + x)2 = 1.600
(20 + x)2 = 1.600 20 + x = 40 x = 20
/: / / - 20
27. La alternativa correcta es B (1) La medida de sus lados son números enteros. a · b = 300 Puede ser 10 y 30; 6 y 50 ; etc. (2) Los lados son múltiplos consecutivos de 5 5a · (5a + 5)=300 25a2 + 25a – 300 = 0 / :25 donde a = 3 5a + 5 5a
300 m2
28. La alternativa correcta es A En la inecuación
x x 2
0 los puntos críticos son 0 y 2.
La siguiente tabla indica el signo de las ecuaciones: x x–2 x x 2
(-, 0) -
(0,2) + -
(2, +) + +
+
-
+
Los intervalos que satisfacen la inecuación son (- , 0) y (2, +). El punto crítico 0 satisface la inecuación y el punto crítico 2 no, por tanto, queda fuera. Así la solución es (-, 0] (2, +) 7
29. La alternativa correcta es D Perímetro del terreno inicial: 4a + 4b Perímetro del terreno comprado: 2a + 2x 2a 2x 4a 4b 2x 2a 4b x a 2b
I)
ax a(a 2b) ax a2 2ab
II) III)
El terreno tiene una superficie mayor o igual que (a2 + 2ab) x a + 2b no es menor que, es equivalente a decir mayor o igual que. Superficie inicial: 2a 2b 4ab Superficie comprada: a x a(a 2b) Superficie total: 2a 2b ax 4ab a(a 2b) 2a 2b ax 6ab a2
30. La alternativa correcta es B La piscina contiene t m3 de agua Pierde n m3 de agua por hora, entonces en x horas ha perdido x · n. Luego la función que representa la cantidad de agua que le queda a la piscina es r(x) = t – nx 31. La alternativa correcta es C La fruta de menor valor es la naranja, cuyo costo es $ 700 por kilo, por lo tanto si quisiéramos comprar 7 kilos, necesitamos 7 ∙ $ 700 = $ 4.900 y tenemos $ 4.890. 32. La alternativa correcta es E A medida que aumentamos el valor de “t” disminuye el Caroteno, por lo tanto la I es verdadera. Si remplazamos “t” por 45, C(45) = 0, ello nos indica que II es verdadera y
mientras menor sea el tiempo que la zanahoria esté en el agua mayor es su concentración de Carotenoide. Las tres afirmaciones son verdaderas. 33. La alternativa correcta es D Las funciones son Bus: Tren:
T B(x) 0,25x 2 T(x) 0,75x
La intercepción 0,25x + 2 = 0,75x 0,5x = 2 x=4 8
B
34. La alternativa correcta es C Si f(x) = 3x + 1 y
g(x) = – x + 1, entonces (f o g)(x) =
(f o g)(x) = f(g(x))
= f( x 1 ) = 3(–x + 1) + 1 = –3x + 3 +1 = –3x + 4 35. La alternativa correcta es A 3 X
1 Si g x 2 5
entonces: 3 4
1 g 4 g 3 2 5
3 3
1 2 5
1
1 1 2 2 5 5 2 5 2 1 12
0
36. La alternativa correcta es A I)
II) III)
Para las intersecciones, buscamos las componentes x 2x4 = x 2x4 – x = 0 2x(x3 – 1) = 0 Soluciones: x = 0 y x = 1 Los gráficos no son coincidentes. Para todo valor de x no tenemos siempre el mismo valor en ambas funciones Evaluar un valor menor que -1 Ejemplo: x = -2 g(2) 2(2)2 f(2) 2(2)4 y g(2) 8 f(2) 32
37. La alternativa correcta es D b (1) La ecuación del eje de simetría es x = - , luego 2a
x=-
16 8 = 2a 3
16a = 48 a=3
(2) El producto de las soluciones es
c a
, luego 9
c 5 5 = = a=3 a a 3
38. La alternativa correcta es E El área de un triángulo rectángulo de catetos 2xy, 3 ∙ 2x, es: 2x 3 2x 12x2 = 2 2 2
= 6x
39. La alternativa correcta es E I)
II)
III)
Verdadero. Debemos recordar que girar en 90° según horario es lo mismo que
girar antihorario en 270°. Si las coordenadas son (x,y) se convierte en (y,-x), por lo tanto A(2,1) , B(5,1) y C(1,4) quedaría en (1,-2) , (1,-5) y (4,-1) y si a estas coordenadas la trasladamos según el vector (2,-1), resultan (3,-3), (3,-6) y (6,-2) respectivamente, ya que a cada abscisa se le suma dos unidades y a cada ordenada se le suma -1. Verdadero. Si a los puntos A(2,1), B(5,1) y C(1,4) se le aplica una simetría respecto del eje y, el punto A está a dos unidades del eje , por lo tanto estará a 4 unidades del nuevo punto, resultando A’(– 2,1), a la abscisa se suma (-4) y se mantiene constante la ordenada, si hacemos el mismo proceso con los puntos B y C obtenemos B’( -5,1) y C’( -1,4). Verdadero. Al aplicar la simetría central con respecto al origen queda A ’ (-2,-1), B’ (-5,-1), C’ (-1,-4) y al reflejar con respecto al eje x queda en A’’ (-2,1), B’’ (-5,1) y C’’ (-1,4).
40. La alternativa correcta es E
y =x
y 4 E
D
x -4
6 F
C
I) II) III)
Verdadero.
(Romboide) Verdadero. Verdadero
CF // ED
y
-2
FD // CE ,
entonces CFDE es un paralelogramo
ÁCFDE = 4·6 = 24
(CD)2 = 102 + 62 =100 + 36 = 136, entonces CD = 136 4 34 2 34 Verdadero
10
R
41. La alternativa correcta es B I)
Verdadero
II)
Verdadero
III)
PSR TSQ (LAL)
PST QSR (LAL)
P
2
2
2 S
Falso
2
PQR TRQ (ALA)
Q
T
42. La alternativa correcta es B 7x 4x M
O 3x
I) II) III)
P 3x
N x
Falso. MN : PN 7 :3 Lo correcto es MN : PN 7 :1 Verdadero. MO : ON 3 : 4 Falso. MN : MP 6 : 7 Lo correcto es MN : MP 7 : 6
43. La alternativa correcta es E La diferencia de los vectores a3 , 2a3 y a3 , 3a3 es 2a3 , a3 . El módulo del vector diferencia es
2a 3
2
2
a3 4a6 a6 5a6 a3 5
Ahora bien como a > 0, la solución es a3 5 . 44. La alternativa correcta es C Árbol mayor: Altura de 9 m; sombra 150 m Árbol medio: Altura de 6 m; sombra S2 Árbol menor: Sombra 30 m Utilizando el Teorema de Thales se obtienen las siguientes proporciones: Altura 9 6 S2 6 150 6 S2 100 Sombra 150 S2 150 9 9
La sombra del árbol mediano es 100 m y la sombra del árbol menor es de 30 m, entonces la diferencia de las sombras es de 70 m. 11
45. La alternativa correcta es B
S 30°
60°
120°
P
R
30° 30°
60° 60°
60° 60°
O
120° 30° 60°
Q Trazamos segmentos RS y RQ y los radios OS y OQ, obteniendo triángulos equiláteros y ángulos de 90° formados por el radio y la tangente I) II) III)
Verdadero. Si, tienen los mismos ángulos. Verdadero. Son equiláteros y además congruentes. Falso. El triángulo QRS es obtusángulo isósceles.
46. La alternativa correcta es A D equidista de B y C DB DC Luego, el DBC es isósceles con ángulos basales > 40º, por lo tanto el ángulo BDC es < 100º. Como D, equidista de A, B y C, entonces existe una circunferencia de centro D, tal que el ángulo BAC es inscrito y subtiende al mismo arco del ángulo del centro BDC. BDC menor que 100º, entonces, BAC es menor que 50º. 47. La alternativa correcta es la C (1) No, solo se puede obtener la medida de los ángulo ABC y arco CA. (2) No, solo se puede saber que los arcos AB y BC son congruentes y que el triángulo ABC es isósceles. (1) y (2) si, se conoce la medida del arco CA, los arcos AB y BC tienen la misma medida y la suma de todos los arcos es 360° B
O C
A
12
48. La alternativa correcta es E
I) II)
3 8 6 4 3 Verdadero. x 4 3 4
Verdadero. x
2
III)
A 3 9 Verdadero. B 4 16
49. La alternativa correcta es E I)
Verdadero
D C B 90° A E D II)
D
Verdadero x 4
x
H
C
E y
F 9
6
y 2 1 3 z 3 1 3
A 3 9
III)
Verdadero
A
z I
B
50. La alternativa correcta es D Como en ambos puntos la primera coordenada es cero entonces la recta es coincidente con el eje x, es decir, x = 0 51. La alternativa correcta es C -15x + 3y = 30 3y = 15x + 30 y = 5x + 10 m = 5 ; n = 10 I) II) III)
/ + 15x /:3
Falsa. Intersecta al eje Y en el punto (0,10). Falsa. Intersecta al eje X en el punto (-2,0). Verdadera. La pendiente es 5.
13
52. La alternativa correcta es A Cada trazo del pentágono A’B’C’D’E’ corresponde a una ponderación del pentágono
ABCDE por la razón de homotecia 2,5 entonces: A 'B ' AB 2,5 B ' C ' BC 2,5 C 'D ' CD 2,5 D 'E ' DE 2,5 E ' A ' EA 2,5
Luego, A 'B ' B ' C ' C 'D' D 'E' E' A ' AB BC CD DE EA 2,5
35 AB BC CD DE EA 2,5
35 AB BC CD DE EA 2,5
14 AB BC CD DE EA
Entonces, el perímetro del pentágono ABCDE es 14 cm.
53. La alternativa correcta es B Como los puntos P y Q están en el eje de las abscisas tienen como coordenadas P(x1, 0) y Q(x2, 0) y como están a una distancia de 2 5 del punto (–2,4) entonces para calcular las abscisas de esos puntos, aplicamos la fórmula de distancia del punto (–2, 4) a cualquiera de los puntos. Si tomamos P(x1,0) (x1 2)2 (0 4)2 2 5 (x1 2)2 (0 4)2 2 5
(x1)2 + 2 (x1 ) (2) +(2)2 + (– 4)2 = 20 x12 + 4x1 + 4 +16 – 20 =0 x12 + 4x1 = 0 x1 (x1 + 4) = 0 De la ecuación anterior tenemos los valores 0 y -4, por lo tanto las coordenadas de los puntos P y Q son P(-4,0) y Q(0,0), si calculamos la distancia entre estos puntos obtenemos (-4 0)2 (0 0)2 = 16 = 4
14
54. La alternativa correcta es B Dejamos cada una de las rectas de ecuaciones escritas en forma principal L: x – 2y + 3 = 0 x + 3 = 2y/:2 x 3 y 2 2 L’ : 3x – y – 1 = 0
Las igualamos
3x – 1 = y
3x – 1 =
x 2
+
3 / 2 2
6x – 2 = x + 3 6x – x = 3 + 2 5x = 5 x = 1,
este valor lo reemplazamos en la ecuación más simple para obtener la ordenada, y 3 1 1
y=2 El punto de intersección tiene como coordenadas (p,q) = (1,2), por lo tanto el valor de (–2p + q) es (-2 ∙ 1 + 2), es decir 0.
55. La alternativa correcta es C Al girar el trapecio en torno al eje T se obtiene
T 56. La alternativa correcta es C El simétrico con respecto al eje Z, mantiene invariante la componente Z, mientras que las componentes X e Y cambia su signo, entonces el simétrico de A es (-4,-3,7). d = (4 + 4)2 + (3 + 3)2 + (7 7)2 d = 100 d = 10
15
57. La alternativa correcta es A P(4,-2,-1)
Q(4,4,-1) R(-2,0,5) 4 4 2 4 1 1 , , S punto medio de PQ S = S4, 1, 1 2 2 2 4 2 4 0 1 5 T punto medio de QR T , , = T 1, 2, 2 2 2 2 Vector director ST = T – S = (1, 2, 2) - (4, 1, -1) = (1 - 4, 2 - 1, 2 - (-1)) = (-3, 1, 3) Entonces, (x, y, z) = (4, 1, -1) + (-3, 1, 3) (x, y, z) = (4 - 3 , 1 + , -1 + 3 ) X = 4 - 3 ; y=1+ ;
z = -1 + 3
58. La alternativa correcta es B
D
C
6 cm. porque a 2 6 2 cm. a 6 cm.
O
A
T
B
Volumen pedido Volumen Cilindro – Volumen Esfera
4 33 3 54 36
6 32
18 cm3
16
59. La alternativa correcta es C P R
M Q
L (*) RQ : RM 1 : 2 PL es diámetro (1) Con esta información y (*) solo se puede obtener la longitud de PL (2) Con esta información y (*) se desconoce la longitud PL Con ambas juntas, podemos deducir la longitud de RM , aplicando el teorema: RQ QM PQ QL 60. La alternativa correcta es E I)
II) III)
Son 30 datos en total, hay una posición central, la 15°. Con la frecuencia acumulada obtenemos la posición. En esta posición se encuentra un dato perteneciente al intervalo [550 – 650[, por lo tanto en el se encuentra la mediana. 3 alumnos de un total de 30 corresponde al 10%. Es el intervalo con mayor frecuencia. Puntaje
N° de alumnos
Fac
[450 – 550[ [550 – 650[ [650 – 750[ [750 – 850[
7 15 5 3
7 22 27 30
61. La alternativa correcta es D Estaturas (cm)
[100- 115[ [115-130[ [130-145[ [145-160] I) II) III)
Frecuencia
20 30 30 20
Frecuencia Acumulada
20 50 80 100
Frecuencia Relativa Acumulada
0,2 0,5 0,8 1,0
Verdadero. Polígono de frecuencias acumuladas (OJIVA). Verdadero. Polígono de frecuencias relativas acumuladas. Falso. Polígono de frecuencias relativas acumuladas parte en el origen.
17
62. La alternativa correcta es A En el ejercicio existen 16 elementos y se necesitan muestras de tamaño 4, por tanto la 16 . 4
solución está dada por el número combinatorio 16 16 ! 4 16 4 ! 4!
16 ! 12 ! 4 ! 16 15 14 13 12! 12 ! 4 ! 16 15 14 13 4 3 2 1 4 5 7 13
1.820
Así la cantidad total de las posibles muestras, sin orden ni reposición, de tamaño 4 que pueden extraerse desde la tómbola es 1.820. 63. La alternativa correcta es E I) II) III)
Verdadero. De la tabla se puede deducir que hasta el 25 se acumula el 65% y
hasta el 30 se acumula el 82% de los datos. Luego, el tercer cuartil se encuentra en el intervalo [25, 30]. Verdadero. El quinto decil equivale a la mediana, la que se encuentra en el intervalo [15, 20[, el cual es el intervalo modal (el de mayor frecuencia) Verdadero. La frecuencia del segundo intervalo es 16, la cual equivale al 16% de los 100 datos de la tabla.
64. La alternativa correcta es D I)
Verdadero
Como Var(x) = E[X - X ]2 2 Tenemos que V ar(X) EX2 2XX X
Como la esperanza es un operador lineal tenemos Obteniendo V ar(X) E X2 EX2 II) III)
2
V ar(X) E X2 2EXX X
Falso
Si 1, entonces 2 1, luego el planteamiento es falso. Verdadero
V ar(X Y) E X Y X Y
2 EX X Y Y2 EX X2 Y Y2 2X XY Y
2 2 V ar(X Y) V ar(X) V ar(Y) 2 EXY EXY EY X XY Como son Variables aleatoria independientes EXY EX EY
V ar(X Y) E X X E Y Y 2E X X Y Y V ar(X) V ar(Y) 2E XY XY Y X XY
18
65. La alternativa correcta es E I) II) III)
Verdadero. El intervalo modal del IV A es [5,6[ y el intervalo mediano del IV B
es [5,6[.
Verdadero. El rango de datos es 8 – 1 = 7, en ambos cursos. Verdadero. 2 1,5 + 2,5 4 + 3,5 7 + 5,5 10 + 6,5 4 + 1 7,5 xA = = 4,5 28 1 1,5 + 2,5 4 + 3,5 5 + 5,5 8 + 6,5 8 + 2 7,5 y es menor que xB = = 5 28
66. La alternativa correcta es D I)
II) III)
Verdadero. Si sumamos los promedios de (a; f) ; (e; d) y (c; b) y lo dividimos a+b+c+d+e+f 14 + 12 + 16 = = 14 por tres, tenemos 6 3
6 Verdadero. Está dado por = 15 2
Luego, d < f < c Falso. Correspondería a 6 ∙ 6 = 36 muestras posibles.
67. La alternativa correcta es E Primero calcularemos que los 3 jóvenes estén juntos, eso significa que de los 7 contamos solo 5, a tres jóvenes lo contamos como uno, como es mesa redonda debemos quitar uno para hacer todas las permutaciones posibles, es decir 4!, estos tres como deben estar juntos, a su vez los permutamos quedando 4! ∙ 3! , y ahora si calculamos todas las permutaciones posibles de los 7 jóvenes, como es permutación circular debemos quitar uno, 6!, y si a éste restamos el que estén juntos obtendremos lo que nos piden. 6! – 4! ∙ 3!. 68. La alternativa correcta es B La cantidad de poleras estampadas es 4 pero escoge tres, por lo tanto, el recorrido de la variable aleatoria X = 0, 1, 2, 3 69. La alternativa correcta es E La probabilidad de obtener un número múltiplo de 3, se puede calcular a través de la fórmula de Laplace P(suceso) = nº de casos favorables nº de casos posibles
(1) Los números no se repiten. No entrega información con respecto a los casos favorables y/o casos posibles. (2) Todas las bolitas son de igual tamaño y peso. No hay información de cantidad de bolitas múltiplos de 3 ni total de bolitas. (1) y (2) No hay información necesaria para responder la pregunta. 19
70. La alternativa correcta es C La Ley de los Grandes Números afirma que si el número de repeticiones en un experimento aleatorio aumenta considerablemente, la frecuencia relativa del suceso se aproxima a la probabilidad teórica. La probabilidad teórica de obtener un número par en el lanzamiento de un dado es: 3 1 P= = = 0,5 50% , por lo tanto se puede afirmar que aproximadamente el 50% 6
2
de los estudiantes obtuvieron tal suceso.
71. La alternativa correcta es D Las cuaternas tienen la forma (m 1, m 2, d1, d2) donde (d1, d2) es tal que d 1 es divisor de d2, ellas son {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,2) (2,4) (2,6) (3,3) (3,6) (4,4) (5,5) (6,6)}, hay 14 casos favorables. Luego, P(s1, s2, d1, d2) =
1 1 14 7 = 2 2 36 32
72. La alternativa correcta es E 0, 25 0,25 ; x z ; 3, 2 2,58 x z 3, 2 2,58 1 2 1 2 n n 400 400 0,5 0,5 ; 3,2 2,58 3,2 2,58 20 20 1 1 ; 3,2 2,58 3,2 2,58 40 40
73. La alternativa correcta es A Representamos la información en el gráfico de densidad de probabilidad que es simétrico con respecto a la media. 0,9544 2 P( 2 x ) 0, 4772 P( 2 x )
0,6826 2 P( x ) 0,3413 P( x )
2
Por lo tanto P( 2 x ) 0, 4772 0,3413 P( 2 x ) 0,8185
20
2
74. La alternativa correcta es B Según la distribución binomial n k n-k P X = k = p (1 - p) k 50 100 150 98 2 = 100 100 50
75. La alternativa correcta es E P(LL”): probabilidad de que no llueva
P(LL): probabilidad de que llueva P(T/LL): probabilidad de salir a trabajar dado que no llueve P(T LL) : probabilidad de salir a trabajar y que llueva P(LL) 1 P(LL ") 2 P(LL) 1 5 3 P(LL) 5 P(T LL) P(T /LL) P(LL) P(T LL) P(LL) P(T / LL)
Reemplazamos 3 3 5 10 9 P(T LL) 50 P(T LL)
76. La alternativa correcta es C 0,15 + 0,3 + 0,15 + 2p = 1 p = 0,2 I)
Verdadero
II)
Verdadero
III)
E(Y) = -2 · 0,15 + -1 · 0,3 + 0 · 0,15 + 1 · 0,2 + 2 · 0,2 = 0 Rec Y = {-2, -1, 0, 1, 2} Falso
Var Y = E(Y2) – [E(Y)]2 0
21
77. La alternativa correcta es A Respecto a la tabla X P(X)
1 0,5
2 0,2
3 0,25
4 0,05
Los gráficos de las alternativas B y C se descartan inmediatamente, ya que la función probabilidad no toma el mismo valor para cada una de las variables aleatorias X. El gráfico D no corresponde ya que X = 1 y X = 4 tienen los valores P(X) invertidos. En el gráfico de la alternativa E la suma de la función de probabilidad de X suma más que 1. Por tanto, la respuesta correcta es A.
78. La alternativa correcta es B 1
F(x)=P(X x) =
, si x = 1
3 2k 9
, si x = 2
k 1 3
, si x = 3
Como F(X) es función de distribución acumulada, entonces k+1 = 1 3
/ ·3
k + 1 = 3 /-1 k =2 Por lo tanto, P(X 2)=
2 · 2 9
=
4 9
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79. La alternativa correcta es D Debemos recordar que el valor esperado de una variable aleatoria es equivalente a su promedio y al reemplazar los valores de la tabla en la fórmula se tiene que su desviación estándar es (0 1)2
1 1 1 1 + (1 1)2 + (2 1)2 + (3 1)2 2 8 4 8
=
1 0 1 4 + + + 2 8 4 8
=
4 2 4 + + 8 8 8
=
10 8
=
5 2
80. La alternativa correcta es A En la afirmación (1), si conocemos la media aritmética de cada muestra, si además son todas distintas, entonces sabemos el número total de las muestras, y la suma de ellas dividida por el total de las muestras extraídas nos da la media poblacional. En la afirmación (2), conocemos la cantidad de elementos que tiene la población y el tamaño de la muestra, pero no conocemos los elementos que la conforman, por lo tanto, no podemos calcular los promedios muestrales, cuyo promedio nos da la media poblacional.
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