7. La Medida, Convenciones Necesarias

Encuentros cercanos con la matemática

Maria Elena y Maria Teresa Teresa González Cuberes.

5.- La medida, convenciones necesarias para entendernos. ent endernos. Con esta moneda, me voy a comprar un kilo de viento y un metro de mar, un pico de estrellas, un sol de verdad, con esta moneda, me voy a comprar… 1 Aborda Abordare remos mos ahora ahora las canti cantidad dades es contin continuas uas,, que consti constituy tuyen en en sí mismas una unidad y que sólo se podrán cuantifcar a partir de la acción de medir, concepto que analizaremos unos capítulos atrás !ecordemos que estas cantidades se hallan en el espacio que nos rodean y que las percibimos en las di"erentes dimensiones dimensiones de los ob#etos ob#etos $n el capitulo capitulo anterior nos ocupamos ocupamos de la "orm "orma a en %ste %ste nos nos cent centra rare remo mos s en las las cues cuesti tion ones es rela relati tiva vas s al tama tama&o &o 'lon(itud, superfcie, án(ulos, masa, capacidad, capacidad, volumen' volumen' y en otras, como como el tiempo, tiempo, y el dinero dinero )odas ellas nos remiten remiten a los contenidos contenidos re"eridos re"eridos a la

medida. *in *in duda duda la mayo mayorí ría a de noso nosotr tros os hace hace esti estima maci cion ones es a +o#im o#imet etro ro  y establece establece lon(itu lon(itudes des o tiempos tiempos como como dice el el saber saber popular, popular, +a o#o o#o de buen buen cubero cubero $stas estimaciones no alcanzan, el mundo en el que vivimos demanda precisiones $ntonces, para poder e-presar cuánto más pesado es un cuerpo que otro, o más lar(o o más alto, es indispensable recurrir a los n.meros que nos perm permit iten en cuan cuanti tifc fcar ar las las ma(n ma(nit itud udes es cont continu inuas as Así, Así, cual cualqu quie ierr ma(n ma(nit itud ud necesi necesita ta ser

dividi dividida da en unidad unidades es que pued puedan an

conta contarse rse,, dado dado que ellas ellas

mismas constituyen una unidad Con "recuencia, los primeros acercamientos de los ni&os y las ni&as a estos temas temas involucran involucran

e-perienc e-periencias ias en las que aparecen aparecen balanza, balanza, re(las re(las y

#arros (raduados *in embar(o, embar(o, hay que advertir que el uso de instrumentos de medición,

previo

a

la

realización

de

mediciones

con

unid nidades

no

1

Vieja tonada que cantábamos con las nenas y los nenes, allá por los sesentas, en las salas del jardín de n!ancia Mitre y de los jardines de n!antes del Consejo nacional de Educaci"n

1


convencionales, puede impedir que la in"ancia recorra un camino similar al que recorriera la humanidad hasta lle(ar a medir $n realidad solo así se lle(a al concepto de medida /eamos0 la mera aplicación de un instrumento solo e-presa un resultado num%rico y esto no es medir, sino que es leer una medición odemos medir, por e#emplo, el lar(o de una cinta, al aplicar el metro o la re(la se dirá0 son 23 cm 4sabrán los chicos

que esos 23 cm indican las veces que 1 cm esta

contenido en la cinta medida5

La humanidad, ¿llego a “tomar medidas”?2 $ste #ue(o de palabras podría ale#arnos de nuestros temas centrales, en cambio aquí '#uiciosamente' intentaremos una breve descripción de la historia de la medida 6uy tempranamente los (rupos sociales descubrieron que podían establecer comparaciones y determinar las di"erencias a partir de la utilización de di"erentes patrones 7a medición de terrenos, los intercambios comerciales, las construcciones y los via#es, todas ellas necesidades de orden practico,

"ueron

(enerando

al(unas

soluciones

que,

inicialmente,

se

concretaron con la utilización de unidades de medida de orden antropomórfco Así "ue como nacieron el pie y la pul(ada 8como unidad de medida lon(itud' o el pu&ado, que servia para mediar los (ranos que entraban en hueco de una mano, entre otras 7as distancias, en cambio, se asocian con el tiro de piedra y de ballesta 9aturalmente, este tipo de mediciones creó no pocos con:ictos debido a las ine-actitudes y a las disputas que se suscitaban (racias a ellas, ya que las dimensiones del cuerpo de las personas es toda variable ;inalmente sur(ieron las unidades de un persona#e reconocido en el lu(ar currió, entonces, que no se podía llevar al rey a cada lu(ar donde hubiera que tomar medidas de modo que, a trav%s del uso de varas cuya lon(itud estaba preestablecida pudieron de#arlo tranquilo en su reino 7as varas, a su vez que "ueron divididas mediante marcas, en partes más #

$l%unos otros datos re!eridos a este pará%ra!o se encuentran en nuestro trabajo anterior. $rticulaci"n & ya citado

#


peque&as y poco a poco "uimos lle(ando a la re(la, el metro y el escalimetro
Midiendo se aprende a medir. 9o entremos en el debate acerca de la conservación de la medida0 las conocidas pruebas pia(etanas acerca de la plastilina, el trasvasado de líquidos y otras, resultan harto conocidas !ecordemos a propósito que "ue ia(et quien introdu#o en el l%-ico docente el tema de las cantidades continuas, concepto que, pese a todo, no siempre se comprende $l hecho es que, la ense&anza de medida, hoy reconocemos dos (randes líneas0 la pia(etana y la vi(otskiana, en cuya controversia, se(uramente, usted descubra que tiene al(o para aportar a partir de las observaciones de los (rupos in"antiles 7a primera considera que las nociones de medida se construyen

+solo a partir de haber lo(rado la

comprensión del n.mero? la escuela rusa, por el contrario, sostiene que la noción de medida se constituye a partir de +procesos propios de la medición, y así apoya una didáctica que reproduzca el camino que la humanidad si(uiera el respecto
de pensamiento, al(unos

autores,

confrmaron

que

los

ni&os

entrenados de acuerdo con los preceptos de /i(otsky habían alcanzado un nivel superior de desarrollo en sus conceptos acerca de la medida, en relación con los que habían traba#ado sobre las bases

de la conservación y del

n.mero@

La medida se pone en marcha. recisaremos ahora al(unos conceptos que tienen que ver con este tema, dado que si bien son e-presados con vocablos de uso "recuente, no siempre son bien utilizados $n primer lu(ar, para averi(uar la medida de al(o debemos medirlo, por consi(uiente e-plicaremos este concepto *e entiende '

(ic)son, *. y otros. + obra citada. Es !recuente que se -able de medida al re!erirnos a cantidades. or ejemplo, cuando decimos /mide tres metros en realidad estamos e0presando una lon%itud y deberíamos decir /su lon%itud es de tres metros. 

'


por medir el proceso por el cual averi(uamos cuantas veces una cantidad 8 ele(ida como paran o unidad de medida convencionalmente' esta contenida en otra de la misma ma(nitud $l n.mero obtenido a partir de este proceso es, precisamente, la medida. 6edir supone la repetición de una unidad de medida, es decir, cierta noción de división y subdivisión que se e-presa en tanto tal unidad es repetida en toda la e-tensión de la ma(nitud que se considera $sta repetición debe cubrir todo el intervalo, sin huecos ni yu-taposiciones or e#emplo, si medimos con el pie el lar(o de la sala, su lon(itud quedará dividida en tantas partes como veces que hubo que poner el pie para medirla $n el caso de que la unidad se mayor que la cantidad a medir se necesita subdividir dicha unidad en subdividirse más peque&os o "racciones de la misma A la hora de servir el yo(ur hay que dividir el contenido del envase de litro de modo de llenar cuatro vasos? cada uno de ellos será una subunidad del litro0 cuarto litro, 23 cl or otra parte, podemos medir una misma cantidad 'el plie(o de papel crepe' con di"erentes unidades de medida 8centímetro o metro' *i ele(imos el centímetro la medida va a ser estar e-presada por un n.mero mayor que si la e-presamos

en

decímetros

Cuando

usamos

unidades

mas

peque&as

obtendremos medidas más (randes y, a la inversa, al usar unidades más (randes se obtienen medidas más peque&as $sta relación pone de manifesto la proporcionalidad inversa que e-iste entre la unidad de medida y la medida *e #ustifca así que nos vemos obli(ados a e-presar la medida acompa&ada de la unidad utilizada para medir0 1 km, 1BBB m, 1B cuadras…

Uso social de la medida y de los instrumentos de medición. $l ni&o, antes de in(resar a la escuela, no solo ha escuchado sino que tambi%n ha utilizado e-presiones relacionadas con la medida tales como +esta muy le#os para ir caminando, +es mas alto, +tiene mas a&os que yo… que implican comparaciones Además ha descubierto otras e-presiones que se referen a las unidades de medida convencionales0 +compra medio kilo de pan, +esta a 2BB kilómetros, +d%me @B cm de cinta *e(uramente, ha tenido contacto con instrumentos de medición como el termómetro, la re(la, el metro y la balanza




$stos conocimientos que adquiere en el ámbito e-traescolar será una buena base para el desarrollo de los conocimientos posteriores 7os chicos que comienzan a recorrer este camino realizando comparaciones puramente cualitativas pro(resan paulatinamente hasta lle(ar a lo cuantitativo0

la

medida *u pensamiento evoluciona pasando por distintos momentos donde no siempre las situaciones de comparación planteadas necesitan de la medida para ser resueltas

Lo cualitativo no hace número. Al observar a un (rupo de chicos que tempranamente ya comienzan a

estalecer comparaciones vinculadas con la medida, y dicen +esto es lar(o, +aquello es liviano o +esta vacía? lue(o irán completando esas e-presiones de manera que re:e#en relaciones0 +esto es más lar(o, +aquello es más liviano que, +está más llena Al respecto, rearley, ya nombrada, transcribe un se(mento de diálo(o escuchando en una sala y afrma que, a menudo, los chicos no saben ni siquiera lo que saben, pero pueden e-presarlo 7ue(o de traba#ar el tema de la medida, 92 había con"eccionado sobr% todas las cosas que eran más (randes que el? al mostrar su producción, se escucho el si(uiente dialo(o0 91' 4Dui%n te ense&o eso5 92' 6i hermana 91' 4Cuál5 92' 7a (rande? no *andra, la más (rande Ahora bien, cuando la comparación se refere a dos ob#etos cuya di"erencia respecto de al(una de sus dimensiones es notable0 como el dialo(o anterior, es sufciente la percepción visual >tras veces, el pensamiento del ni&o puede ver in:uido por variables a#enas ala medida, y podría decir que un mismo camino es mas lar(o cuando transporto un ob#eto pesado al corredor, o que es mas corto, si el recorrido lo hizo corriendo or otra parte, cuando las cantidades a comparar no se encuentran presentes

'no se pueden superponer', y la comparación visual no alcanza,

dada la peque&a di"erencia entre sus dimensiones, el ni&o se ve obli(ado a

2


utilizar un elemento intermediario para comparar *upon(amos que los chicos han realizado construcciones cuya altura no es notable di"erente y quisieran compararlas, tendrán que recurrir a su cuerpo, 3 a una so(a o a un listo de madera dado que no se pueden superponer *i la so(a "uera mas lar(a que uno de los edifcios y mas corto que el otro, el instrumento permitirá in"erir cual es el mas alto Así se establecen relaciones asim!tricas y transitivas? de todos modos conven(amos en que el establecimiento de relaciones transitivas resulta bastante comple#o para los preescolares, aun cuando pueden aplicarlas pra(máticamente

La medida propiamente halando" lo cuantitativo. ;inalmente aparece la pre(unta +4Cuántas veces es más lar(o5 7a e-presión +cuantas veces e-i(e de un n.mero para ser respondida y, en consecuencia, hay que recurrir a la medición e"ectiva, E o al uso de al(.n instrumento !eci%n en este momento la medida se ira despe(ando de las comparaciones de orden cuantitativo Como sabemos, los chicos del #ardín utilizan todo tipo de unidades de patrones no convencionales? claro que este hecho dará lu(ar a los con:ictos que se crean cuando aparecen di"erentes resultados para una misma cantidad medida $n este punto, las intervenciones de la maestra y la interacción entre pares impulsara la necesidad de arribar a la(unas unidades que sean +convencionales dentro de la sala $s mas, la impresición y lo poco práctico de la medición e"ectiva llevara ala necesidad de utilizar instrumentos en los que pueda leer directamente la medida *i bien habíamos advertido que un uso temprano de instrumentos podría obstaculizar el pro(reso en este tema, una vez que los nenes se han "amiliarizado con la acción de medir no están vedados para el #ue(o y el traba#o en situaciones didácticas A partir de su uso, tarde o temprano las nenas y los nenes utilizaran con mayor preedición palabras que e-presen unidades convencionales FeaverG comenta una de las observaciones realizadas en un #ardín de in"antes ruso 7a maestra presento un tazón de arroz y, lue(o de discutir con 2

Este tema será retomado en el capítulo re!erido al psicoanálisis. Entendemos por medici"n e!ecti4a la acci"n de superponer una unidad de medida sobre la cantidad a medir y contar cuántas 4eces está contenida dic-a unidad. 5 6ea4er, 7.(.+ Educaci"n reescolar en la 8ni"n 9o4i:tica, ar%entina, aid"s, 1;5' 3

3


los chicos acerca de las estrate(ias que podían usar para saber cuanto arroz había, advirtieron que llevaría mucho tiempo contar (rano por (rano $ntonces la maestra invito a los chicos a ubicarse en sus mesas y o"reció un tazón de arroz, dos vasos y una cuchara para cada (rupo y pidió que acercaran los ábacos A continuación propuso que por cada cuchara movieran una cuenta de ábaco? una vez trasvasado el arroz se observo que el n.mero de cuentas 8que representaba las cucharadas vertidas' no coincidían $ntre otros discutieron las posibles causas y pudieron lle(ar a la conclusión de que al(unos habían vertido cucharadas colmadas y otro ras, lo cual #ustifcaba las di"erencias *ur(e de esta manera la necesidad de establecer convenciones $n síntesis, habría que medir con unidades no convencionales para lue(o utilizar las convencionales
a tratar de manera

particular cada una de las ma(nitudes que se traba#an en el #ardín y en los primeros (rados

¿#lguien midió el largo de la longitud? Antes de lle(ar al #ardín los chicos ya se han en"rentado con el hecho de que las cosas son de di"erente lon(itud 7os cordones de las zapatillas, las medias, los vestidos, los pantalones y, por su puesto, su altura, pueden ser comparadas con inter%s Como venimos diciendo, las actividades se centraran en el establecimiento de comparaciones y en el uso de unidades de medida no convencionales *abemos que, en un principio, estarán li(adas a su propio cuerpo0 el pie, el paso, la mano? posteriormente se usaran tiras de papel, bloques o maderitas en las que prevalezca el lar(o sobre las restantes dimensiones $l traba#o con pasos, por e#emplo 8medir el lar(o de la sala con pasos normales y con +pasos (i(antes' puede provocar situaciones muy interesantes entre los ni&os, ya que observaran que, se(.n el lar(o del paso va a variar la medida pero no su lon(itud odrán así darse de que la medida depende de la unidad ele(ida, asimismo se iniciaran en le uso social de las unidades de medida convencionales *i utilizamos los bloques *mith Hill 8cuyas piezas tienes tama&os proporcionales en si' para medir lon(itudes, lle(ara un momento en el que queden peque&as porciones que no pueden ser medidas con la unidad ele(ida

5


7a maestra ayudara al (rupo para que reconozca al(unos elementos más peque&os que permitan completar la medición y para que vuelvan utilizarlos en otras ocasiones
¿La masa o el peso? *i bien convencionalmente chicos y adultos nos re"erimos al +peso de los ob#etos y personas que nos rodean, hablando con propiedades, se trata de la +masa *e hace necesario aquí que establezcamos la di"erencia entre estas e-presiones0 mientras la masa es invariable, independientemente del lu(ar donde se realice la medición, el peso varía en "unción de la "uerza (ravitacional que e#erce la tierra !ecordemos cuando los astronautas alunizaron y este concepto se hará mas claro 7a masa corporal de cada uno de ellos no se había modifcado, sin embar(o allá los veíamos :otar y saltar entre las nubes de polvo volcánico A su re(reso, si embar(o, notamos que sus desplazamientos eran como los de cualquier humano $sto ocurre por que su peso vario en un y otro ámbito
de peso $n un comienzo utiliza los t%rminos (lobales como

+pesado'liviano que muy rápidamente se convertirán en +mas pesado

<


que'+mas liviano que + >curre que las di"erencias de peso no son tan "áciles de reconocer como las de lon(itud0 un ob#eto peque&o no necesariamente será más liviano que otro más (rande y a la inversa 7os mismos chicos, ni bien establecen al(unos criterios acerca del tema, suelen desafar otros con el conocido +4qu% pesa mas, un kilo de plomo o un kilo de pluma5 mas halla de que hayan construido el concepto de kilo $n realidad estas situaciones obedecen, "undamentalmente, al estimulo que provoca la interacción con otras personas que saben mas que ellos 7a balanza de equilibrio 8+de platillos 8 es muy .til a los fnes de establecer de"erencias Al principio, los chicos descubren que el platillo que esta mas aba#o es el que tiene el ob#eto mas pesado y tambi%n que, si los dos paltillos están ala misma altura, los ob#etos pesan lo mismo osteriormente pesaran utilizando unidades no convencionales y podrán e-presar cuanto pesa lo que han colocado en uno de los paltillos or e#emplo, se puede calcular el peso de un peque&o ob#eto ubicando en otro platillo tuercas arandelas hasta lo(rar el equilibrio 7as arandelas y las tuercas constituyen un material muy rico para "uncionar como +pesas, ya que el mercado o"rece una enorme variedad de tama&os y pesos que (uardan relación de proporcionalidad Además, el uso de di"erentes tipos de balanzas en la s e-periencias directas, y en las actividades de los talleres de cocina, de carpintería y de e-presión plástica, permitirá que el (rupo tome contacto con el kilo(ramo, los (ramos, el cuarto y el medio kilo

¿$ui!n contiene a la capacidad? )odos los envases huecos tiene un espacio que o"rece la posibilidad de alo#ar al(o0 a la capacidad seria, precisamente, la propiedad que tienen al(unos cuerpos de contener al(o /erter, trasvasar, enca#ar son acciones que apro-iman al descubrimiento de la capacidad de di"erentes recipientes Cuando al nena puede e-presar +la pileta ya está llena, +tomo medio vaso de #u(o, "alta arena para llenar este balde y otras "ormas similares, sabemos que ha comenzado a manipular 8al menos lin(Iísticamente' al(unas nociones re"eridas a este tema 7as actividades de comparación y las relaciones de proporcionalidad entre la s unidades de medida ele(idas ayudaran a responde

;


por e#emplo0 cuantos vasos de leche contiene u na #arra, o cuantos vasos chicos equivalen a uno (rande *ervir la merienda, llenar recipientes para re(ar las macetas, cambiar el a(ua de la pecera, son al(unas otras acciones vinculadas con noción de capacidad or otro lado los envases de (aseosas, por e#emplo, "acilitan el uso de unidades de medidas convencionales0 litro, litro y medio, medio litro

Las horas, ¿son largas o cortas? 7a medición del tiempo es uno de los más comunes, sin embar(o, no es se(uro que este tema haya sido ense&ado de la me#or manera 6uy tempranamente el bebe ya distin(ue entre las horas de vi(ilia 7as de la comida y de la cambiada *e trata de una apro-imación intuitiva que, mas tarde, podrá aparecer una conquista co(nitiva cuando, munido de su primer relo# di(ital, el chico di(a Json la s K022 horas0 sin embar(o es probable que sea solo una lectura num%rica
*o=ell, 7. obra citada

1>


relación con el espacio0 otro día, cuando serán las vacaciones, cuanto "alta para salir del #ardín Cabe a(re(ar que la pro(ramación televisiva ha introducido una serie de hechos que ayudan ala comprensión del tiempo social% sin duda la interacción verbal en el ho(ar y a la mediación de las maestras ha de ayudar en la construcción del tiempo. *in embar(o ten(amos presente que se trata de al(o muy comple#o $l +fn de la historia, el +t.nel del tiempo, +los a&os luz, y otras tantas cuestiones, no son siquiera en la adultez temas de análisis y conceptualización 9o e-isten muchos HaMkins entre nosotros

&oderosos caallero es don dinero $l mane#o del dinero suele ser una conquista posterior debido a que implica la presencia de decimales? sin embar(o, la difcultad se presenta solo si se i(nora la e-periencia que las nenas y los nenes han adquirido en al vida "amiliar 7os chicos ya viene con un conocimiento del dinero, por e#emplo la di"erencia entre pesos y monedas, pero esto no si(nifca que la hayan comprendido, el comienzo de al manipulación de al(unas relaciones respecto del dinero con#u(a los conocimientos que dispon(a con respecto al numero y a al medida andet decía que0 +entre las medidas, la moneda 8medida del valor de un ob#eto' plantea un problema particular 9o es la misma naturaleza que el ob#eto a evaluar0 es una convención Cuando medimos lon(itudes o pesos lo hacemos con lon(itudes o pesos? en cambio, cuando medimos el valor de un ob#eto necesitamos recurrir a los pesos, las monedas, cuyo valor es +convencional, +arbitrario y +convertible 9o creemos necesario ahondar en este tema, se(uramente usted y su (rupo puedan encontrar momentos y e-periencias para atender a los requerimientos que puedan sur(ir

¿'ay algo m(s? Como venimos se&alando, la mayoría de las actividades y situaciones didácticas con#u(an los di"erentes temas de cada uno de los bloques de los

11


CC0 al mismo tiempo, el dise&o de unidades didácticas o proyectos ha de contemplar la inte(ración con otras áreas de saber A(re(uemos ahora al(unas su(erencias para estimular la apropiación de la medida 7os #ue(os con cubos, arena, a(ua, con la balanza, entre otros, ayudan a aislar el tama&o de las otras cualidades perceptivas de los ob#etos Cuando los chicos descubran los atributos cuantitativos podrán e"ectuar comparaciones y ordenamientos como anticipo del concepto de medir0 las actividades tales como comparar la altura de dos ni&os nos permiten observar como se colocan "rente a "rente y atienden a la altura relativa de la cabeza de ambos ronto descubrirán que necesitan tomar como re"erencia una línea de base 8los pies, que están sobre el suelo'? y descubrirán si al(uien +hace trampa poni%ndose de puntillas *e les puede pedir que cuenten cuantos pasos deben dar para ir desde la sala hasta el patio $n este ultimo caso, estarán evaluando una distancia, en cambio, cuando investi(uen cuantos pasos mide el lar(o del aula estarán calculando una longitud. Con ayuda de al(unos nenes se pueden "abricar balanzas de equilibrio? para esto se necesitan perchas y piolines, tapas de envases medianas 8dos i(uales por balanza 8 y soportes para col(ar macetas o una base de madera con un e#e vertical para sostener la percha *i se desea se le puede adicionar un plomada que tendrá que pender en el centro de la varilla de la percha $ntrando en el campo de tecnolo(ía tambi%n podrían "abricar relo#es de arena y de sol )ambi%n se podrá hacer representar escenas cotidianas que permitan armar sucesiones temporales, al #u(ar +al almac%n, al cocinar y a trav%s de di"erentes situaciones es posible que los chicos descubran la e-presión escrita de cantidades, la mayoría de los productos que utilizamos corrientemente traen impreso el peso, el metra#e, y la capacidad 7a maestra #ardinera tiene que ayudar al (rupo a or(anizar la secuencia de actividades diarias vinculándolas con el relo# y, lue(o, relacionándolas con las actividades que se realizan en el ho(ar, las horas de las comidas, los fnes de semana? lentamente irán e-tendiendo y estabilizando su comprensión sobre el tiempo *in embar(o es importante recordar que, cuando in(resan al #ardín, sus ideas de tiempo pueden ser inestables y probable que no interpreten e-presiones como 8+qu%date tranquila, mama te viene a buscar a las doce

1#


*olo cuando el concepto de tiempo se ha establecido, los chicos comprenderán lo que si(nifca el relo# y el calendario y, aun así, es aconse#able que puedan traba#ar con distintos modelos de relo#es almanaques, a(endas, tablas de horarios, pro(ramaciones de televisión y otras representaciones Además pueden "abricar relo#es de a(ua o de arena y usarlos para medir el tiempo que les demanda un #ue(o, cantar una canción o recitar una rima or otra parte, a partir de "oto(ra"ías "amiliares pueden reconocer el paso del tiempo y hasta lle(ar a dise&ar libros sobre las personas que son mayores o menores que ellos mismos $stas actividades, conectadas con el área de ciencias, pueden acercar ala comprensión del tiempo histórico, en la "amilia y en la comunidad
1'


1

7. La Medida, Convenciones Necesarias

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