Culegere de Probleme Timisoara!

Colecţ Colecţia "LICEU” _____________________ ________________________________ _______________________ _______________________ ____________________ _________

CULEGERE DE PROBLEME pentru examenul de admitere la Facultatea de Automatic ă şi Calculatoare, Facultatea de Electronic ă şi Telecomunica Telecomunicaţii, Facultatea de Arhitectur ă

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României UNIVERSITATEA „POLITEHNICA” (Timi şoara) Culegere de probleme pentru examenul de admitere la: Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii, Facultatea de Arhitectură/Universitatea “Politehnica” din Timiş Timişoara. Departamentul de Matematică Matematică - Timiş Timişoara : Editura Politehnica, 2010 Bibliogr. ISBN 978-606-554-236-5 978-606-554-236-5

51(076)(079.1)

UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMI ŞOARA DEPARTAMENTUL DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ

CULEGERE DE PROBLEME pentru examenul de admitere la Facultatea de Automatic ă şi Calculatoare, Facultatea de Electronic ă şi Telecomunica Telecomunicaţii, Facultatea de Arhitectur ă Colecţ Colecţia "LICEU"

EDITURA POLITEHNICA TIMIŞOARA - 2013

Copyright © Editura Politehnica, 2011 Toate drepturile sunt rezervate editurii. Nici o parte din aceast aceastăă lucrare nu poate fi reprodusă reprodusă, stocată stocată sau transmisă transmisă prin indiferent ce formă formă, f ăr ă acordul prealabil scris al Editurii Politehnica. Polite hnica.

EDITURA POLITEHNICA Bd. Republicii nr. 9 300159 Timiş Timi şoara, România Tel. 0256/403.823 Fax 0256/403.823 E-mail: [email protected]

Consilier editorial: Prof.dr.ing. editorial: Prof.dr.ing. Sabin IONEL Redactor: Claudia Redactor: Claudia MIHALI

Bun de imprimat: 10.12.2010 imprimat: 10.12.2010 Coli de tipar: 7 C.Z.U. 51(076)(079.1) C.Z.U. 51(076)(079.1) ISBN 978-606-554-236-5

Tiparul executat la S.C. URC XEDOS Timiş Timi şoara

5

CUPRINS

ELEMENTE DE ALGEBR Ă (simbol AL )..................................................................... )........................................................................................................ ................................................9 .............9

ELEMENTE DE GEOMETRIE PLAN Ă ŞI TRIGONOMETRIE (simbol TG )..................................................................... )........................................................................................................ ..............................................45 ...........45 ELEMENTE DE ANALIZ Ă MATEMATIC Ă

(simbol AM )................................................................ )................................................................................................... ..................................................57 ...............57

ANEXE Subiecte date la admitere în anii 2009 şi 2010, ........................................................................................................79 ..............................79 cu soluţii complete..........................................................................

BIBLIOGRAFIE……………………………………………………………..……103

6

7

ŢĂ

PREFA

Prezenta culegere con ţine probleme de matematic ă pentru preg ătirea candidaţilor la admiterea în Facultatea de Automatic ă şi Calculatoare, Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii şi Facultatea de Arhitectur ă din cadrul Universit ăţii „Politehnica” din Timişoara. Problemele sunt prezentate dup ă modelul „test”, cu mai multe r ăspunsuri, dintre care unul singur este corect. În finalul culegerii sunt prezentate subiectele, cu solu ţii complete, date la admitere în ultimii doi ani la facult ăţile menţionate. Notăm că această culegere este alc ătuită din o parte dintre problemele din cartea „Teste grilă de matematic ă pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior”, Editura Politehnica, 2010, elaborat ă de autorii: T. Bânzaru, N. Boja, O. Lipovan, A. Kovacs, G. Babescu, P. G ăvruţa, D. Rendi, I. Mihu ţ, D. Dăianu, D. Păunescu, C. Milici şi R. Anghelescu. La concursul de admitere, pentru note pân ă la 8,00, subiectele se extrag exclusiv din aceast ă culegere (cu eventuale modific ări minore), restul subiectelor provenind din cartea menţionată mai sus.

Departamentul de Matematic ă al Universităţii „Politehnica” din Timi şoara

8

DEPARTAMENTUL DE MATEMATIC Ă

PROGRAMA ANALITICĂ

Elemente de algebră

Progresii aritmetice şi geometrice. Func ţii: funcţia parte întreag ă, funcţia radical, funcţia de gradul al doilea; Ecua ţii iraţionale. Sisteme de ecua ţii neliniare. Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică. Ecuaţii exponenţiale şi ecuaţii logaritmice. Permutări, aranjamente, combin ări. Binomul lui Newton. Numere complexe sub form ă algebrică. Matrice. Determinanţi. Sisteme de ecua ţii liniare. Legi de compozi ţie. Grupuri. Inele şi corpuri. Inele de polinoame cu coeficien ţi într-un corp comutativ. Elemente de geometrie şi trigonometrie

Funcţii trigonometrice. Rela ţii între funcţii trigonometrice. Aplica ţii trigonometrice în geometria plan ă: teorema cosinusului, teorema sinusurilor; rezolvarea triunghiurilor. Dreapta în plan. Ecua ţii ale dreptei. Condi ţii de paralelism şi condiţii de perpendicularitate a dou ă drepte. Calcule de distan ţe şi arii. Elemente de analiză matematică

Limite de func ţii. Continuitate. Derivabilitate. Aplica ţii ale derivatelor în studiul variaţiei funcţiilor. Primitive. Integrala definit ă. Aplicaţii ale integralei definite: aria unei suprafe ţe plane, volumul unui corp de rota ţie.

ELEMENTE DE ALGEBR Ă

Culegere de probleme

10 ELEMENTE DE ALGEBR Ă (simbol AL)

AL - 001

Să se găsească primul termen a1 şi raţia r ai ai unei progresii aritmetice ⎧a − a + a = −7 . (a n ) n≥1 dacă : ⎨ 2 6 4 2 a a a − = 7 4 ⎩ 8

a) a1 = − 4, r = 3 d) a1 = − 5, r = 2

b) a1 = − 4, r = 4 e) a1 = − 2, r = 2

c) a1 = − 3, r = 1 f) a1 = 1, r = 1

AL - 002 Să se determine suma primilor 100 de termeni ai unei progresii aritmetice (an), dacă a1=2, a5=14.

a) 10100 d) 16500 AL - 003

b) 7950 e) 50100

c) 15050 f) 350

Pentru o progresie aritmetică suma primilor n termeni ai ei este S n = 5n 2 + 6n . Să se determine primul termen a1 şi raţia r .

a) a1 = 11, r = 9

b) a1 = 11, r = 10

c) a1 = 11, r = 11

d) a1 = 10, r = 11

e) a1 = 10, r = 10

f) a1 = 9, r = 9

Fie ( an )n≥1 un şir având suma primilor n termeni Sn = n 2 + an + b , unde a , b ∈ R , pentru orice n ≥ 1 . Să se determine a şi b astfel încât şirul ( an )n≥1 să fie

AL – 004

progresie aritmetică cu primul termen egal cu 2. a) a = 2, b = 3 d) a = 2, b = 0 AL - 005

b) a ∈ R , b ∈ (1, 2 ) e) a = 2, b = 1

c) a = 1, b = 0 f) a = 1, b = 2

Să se determine primul termen a1 şi raţia q pentru progresia ⎧a 5 − a1 = 15

geometrică (a n ) n≥1 dacă : ⎨

⎩a 4 − a 2 = 6

.

Elemente de algebr ă

11

a) a1 = 0, q = 1

b) a1 = 1, q = 2

c) a1 = − 16, q =

⎧a1 = − 16 ⎧a1 = 1 ⎪ d) ⎨ 1 sau ⎨ ⎩q = 2 ⎪⎩q = 2

e) a1 = 1, q = − 1

f) ⎨

⎧a1 = 4 ⎩q = 2

1 2

⎧a1 = 2

sau ⎨

⎩q = 4

progresie aritmetic ă este egală cu 12. Dac ă se AL - 006 Suma a trei numere în progresie adaugă acestora, respectiv numerele 1, 2, 11, progresia devine geometric ă . Să se afle aceste numere. a) 5,4,7 şi 15,14,13 d) 1,3,5 şi 17,15,13 AL – 007

a) d)

b) 1,4,7 şi 17,4,-9 e) 5,9,13 şi 18,14,10

c) 6,8,10 f) 2,4,6 şi –1,4,9

Să se calculeze expresia 1 + a + a 2 + ... + a n −1 E = , a ∈ R \ {− 1}. 1 + a 2 + a 4 + ... + a 2 n − 2

1

b)

a a an + 1

e)

an + 1

c)

a −1 an + 1

a +1 an + 1

f) 1

a 2n + 1

dacă x,y,z sunt sunt în progresie aritmetic ă AL – 008 Să se determine numerele reale x,y,z dac cu raţia nenulă, x,z,y sunt în progresie geometric ă şi x+y+z = 18. a) - 24, 6, 12 d) -12, 12, 18

b) 24, 6, -12 e) 12, -6, 36

c) 6, 12, 0 f) 36, -18, 0

AL - 009 Notând cu S mulţimea soluţiilor ecuaţiei

⎡1⎤ 1 ⎢⎣ x ⎥⎦ = [ ] să se precizeze care din urm ătoarele mul ţimi este S ⎫ 1⎤ ⎧1 ⎡ a) ⎨ , n ∈ Z* ⎬ b) U ⎢ k, k + ⎥ k ⎦ ⎩n k ∈Z∗ ⎣ ⎭ d) {-1,1}

e) [-1,1]

c) {n 2 ; n ∈ Z \ {− 1,1} } f) (-1,1)


12

⎡x⎤ Se consider ă funcţia f: R →R , f ( x ) = 2⎢ ⎥ + 1 ⎣2⎦ şi se notează f 2=f ο f, … , f n = f n-1 n-1ο f . Să se determine expresia lui f n

AL – 010

a) f n(x) =f(x) + n; d) f n(x) =f(x);

b) f n(x) =2nf(x); e) f n(x) =f(x)+2n+1;

c) f n(x) =2n f(x)+2n-1+1 f) f n(x) = 2f(x)+1

AL - 011 Să se calculeze f ((1,4]) pentru func ţia de gradul al doilea definit ă prin

f ( x) = x 2 − 4 x + 3 .

a) [0,3]

b) [−1,0)

c) (0,3]

d) [−1,3]

e) (−1,0)

f) (0,3)

Să se rezolve inecua ţia x < x 2 − x .

AL - 012

a) x ∈ R d) x ∈ (0,+∞) ∪ ( −∞, −2)

b) x ∈ (−∞,2) ∪ (3,∞) e) x ∈ (−∞,0) ∪ (2,+∞)

c) x ∈ (3,+∞) f) x ∈ R \ {0,2}

Să se determine valorile parametrului real m astfel încât { x ∈ R : (m − 1) x 2 − (m + 1) x + m + 1 > 0} = ∅ .

AL - 013

⎡ 5 ⎞ a) m ∈ ( − ∞,−1) ∪ ⎢ ,+∞⎟ ⎣ 3 ⎠

b) m ∈[1,+∞)

⎡ 5 ⎞ d) m ∈ ⎢ ,+∞⎟ ⎣ 3 ⎠

5⎤ ⎡ e) m ∈ ⎢− 1, ⎥ 3

AL - 014 Fiind

⎣

c) m ∈ ( − ∞, −1] f) m ∈ ( − ∞,1]

⎦

0), să se exprime în funcţie de a, b şi c dată ecuaţia ax2+bx+c=0, (a ≠ 0),

suma S 3 = x13 + x23 ,

unde x1 ,x2 sunt r ădăcinile ecuaţiei date. a) S 3 =

b a

3 3

−3

bc a

2

b) S 3 =

c3 a

3

−3

bc a

2

c) S 3 =

b2 a2

−3

bc a3


d) S 3 = −

b3 a3

+3

bc a2

e) S 3 = −

c3 a3

13

+3

bc a2

f) S 3 = −

b2 a2

+3

bc a3

Să se determine parametrii reali m şi n astfel ca ecuaţiile (5m − 52) x 2 + (4 − m)x + 4 = 0 şi (2n + 1) x 2 − 5nx + 20 = 0 să aibă aceleaşi r ădăcini.

AL - 015

a) m = -11, n = 7; d ) m = 11, n = 7

b) m = - 7, n = 11 e) m = 7, n = 11

c) m = 9, n = 7 f) m = 9, n = -7

Să se rezolve ecuaţia iraţională 1 − x 2 + x = 1 .

AL - 016

a) x1 = 0, x2 = 1 d) x1 = 1, x2 = 2

b) x1 = −1, x2 = 1 e) x1 = −1, x2 = 2

c) x1 = −1, x2 = 0 f) x1 = 0, x2 = 2

funcţia de gradul al doilea f m ( x ) = mx 2 − (2m − 1) x + m − 1 , (m ≠ 0) . Să se determine m astfel încât vârful parabolei asociate acestei funcţii să se găsească pe prima bisectoare. 1 1 1 a) m = b) m = 4 c) m = d) m = 2 e) m = f) m = 6 4 2 6

AL - 017 Fie

→ R , AL - 018 Determinaţi expresia analitică a funcţiei de gradul al doilea f : R → f ( x ) = ax 2 + 4 x + c , ştiind că graficul ei taie axa Oy în punctul 1 şi are abscisa

vârfului −

2 . 3

a) f ( x ) = 2 x 2 + 4 x + 1 c) f ( x ) = 4 x 2 + 4 x + 1 e) f ( x ) = x 2 + 4 x + 1

b) f ( x ) = 3 x 2 + 4 x − 1 d) f ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 1 f) f ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 3

Să se determine m ∈ R astfel încât parabolele asociate funcţiilor f ( x ) = x − 2 x − 4 şi g ( x ) = mx 2 − 2mx − 6 să aibă acelaşi vârf.

AL - 019

2

a) m = -1 d) m = 2

b) m = 1 e) m = 3

c) m = -2 f) m = -5


14

→ R , f ( x ) = − x 2 + px + q Să se determine p, q ∈ R dacă funcţia f : R → are maximul 4 în punctul x = -1. AL - 020

a) p = −2, q = 3 d) p = q = −2

b) p = −1, q = 2 e) p = q = 1

c) p = 3, q = −2 f) p = 2, q = −3

Presupunem că pentru ecuaţia ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ) avem Δ > 0 şi r ădăcinile x1 , x2 . Să se calculeze x1 − x2 în funcţie de Δ şi a.

AL - 021

a)

Δ 2a

b)

Δ a

c)

d)

Δ

e)

Δ −a

f)

AL - 022

Pentru ce valori ale parametrului parametrului real m inegalităţile 2 x 2 − mx + 2 −2< < 6 sunt satisf ăcute pentru orice x 2 − x + 1

Δ 2a b

2a

+

Δ 2a

∈ R ?

a) m ∈ R

b) m ∈ ( − 2,6)

c) m ∈ (6,+∞)

d) m ∈ (− ∞ ,−2)

e) m ∈ ( − 6,6)

f) m ∈[ − 2,6]

AL - 023

f ( x ) =

→ R , Să se determine Im f = { f ( x ) x ∈ R } pentru funcţia f : R →

x 2 − 3 x + 2 x 2 + x + 1

⎡ 9 − 2 21 9 + 2 21 ⎤ a) ⎢ , ⎥ 3 3 ⎣ ⎦ ⎛ 9 − 2 21 ⎤ c) ⎜⎜ − ∞, ⎥ 3 ⎝ ⎦ ⎛ 9 − 3 21 ⎤ ⎡ 9 + 3 21 ⎞⎟ e) ⎜⎜ − ∞, ,∞⎟ ⎥U⎢ 3 3 ⎝ ⎦ ⎣ ⎠

⎡ 9 + 2 21 ⎞ b) ⎢ , ∞ ⎟⎟ 3 ⎣ ⎠ ⎛ 9 − 2 21 ⎤ ⎡ 9 + 2 21 ⎞⎟ d) ⎜⎜ − ∞, ,∞⎟ ⎥U⎢ 3 3 ⎝ ⎦ ⎣ ⎠ ⎛ 9 − 3 21 9 + 3 21 ⎞ ⎟ f) ⎜⎜ , ⎟ 3 3 ⎝ ⎠

Elemente de algebr ă AL - 024

15

Să se rezolve sistemul

⎧ x + y = 3 ⎨ ⎩ xy = 2 a) {(1,3), (3,1)} d) {(− 1,2), (2,−1)} AL - 025

b) {(1,1)} e) {(1,3), (3,1)}

c) {(2,2)} f) {(2,2), (1,1)}

Să se rezolve inecua ţia 2 + 3 x + 5x + 4 < 0 .

⎡ 4 2 ⎞ a) ⎢− ,− ⎟ ⎣ 5 3 ⎠ AL - 027

c) {(1,2), (2,1)} f) {(2,2)}

Să se determine solu ţiile reale ale sistemului y 4 ⎧ x + = ⎪ ⎨ y + 1 x + 1 3 ⎪ x + y + xy = 5 ⎩

a) {(2,1), (1,2)} , d) {(2,3), (3,2)} AL - 026

b) {(2,3), (3,2)} e) {(1,1)}

⎡ 4 2⎤ b) ⎢ − ,− ⎥ ⎣ 5 5⎦

Să se determine

a) x ∈( − ∞ ,0)

b) x = −1

⎡ 4 7 ⎞ c) ⎢ − ,− ⎟ ⎣ 5 9 ⎠

⎡ 3 1⎤ d) ⎢ − ,− ⎥ ⎣ 5 5⎦

∈ R pentru care

c) x =

3 2

⎛ 7 ⎞ e) ⎜ 0, ⎟ ⎝ 9 ⎠

⎛ 7 ⎞ f) ⎜ − ,0⎟ ⎝ 9 ⎠

1 + x − 1 − x = 1 .

d) x = ±

3 2

e) x = −

3 2

f) x ∈∅

2 AL - 028 Fie inecuaţia 4 − x > 1 − x . Care din intervalele de mai jos reprezintă mulţimea soluţiilor inecuaţiei ?

a) (− ∞,−3)

AL - 029

⎛ 17 ⎞ ,20 ⎟ ⎝ 2 ⎠

b) ⎜

c) (− 2,2]

d) (22,+∞)

Să se determine mulţimea A = ⎧⎨ x ∈ R ⎩

e) [4,5)

x 2 − 5x + 6 ≥

⎛ 1 − 7

f) ⎜⎜

⎝

3 − x ⎫⎬ . ⎭

2

⎤

,2⎥ ⎥⎦


16

a) ( − ∞ ,−1] AL - 030

b) [2,+∞)

(9 (27

a)

72

AL - 031

b)

n −1

2 ⋅3

n −1

c)

n

−9

n −1

f) [3,+∞ )

)

1 2

− 19 ⋅ 27 n − 2 )

2 ⋅ 3

1 3

d)

, n ∈ Z

−

2 ⋅3

n+3

2

e) 1

f) 2

Să se determine toate soluţiile reale ale ecuaţiei x + 3 − 4 x − 1 +

a) x ∈{2510 , , } b) x ∈[5,10] AL - 032

e) e) [1,2) ∪ {3}

Să se determine valoarea expresiei

E =

6

d) ( − ∞ ,1] ∪ {3}

c) [1,+∞)

x + 8 − 6 x − 1 = 1.

c) x ∈{5,10} d) x ∈[1,5]

e) x ∈(5,+∞)

f) x ∈(5,10)

Să se determine toate soluţiile reale ale ecuaţiei 1 x 2 − 1 + x ⋅ 1 − 2 = 0 . x

a) x ∈{− 1,1}

b) x ∈{− 2,−1,1}

c) x ∈∅

d) x ∈ R \ {0}

e) x ∈( − ∞ ,−1] ∪ {1}

f) x ∈{− 1,1,0}

AL - 033

Să se calculeze valoarea expresiei E = x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 , pentru x ∈[1,2] .

a) E = 1 + d) E = 3 −

b) E = 2 − 3 + 4 e) E = 6 x − 2 x 2

2

c) E = 2 f) E = 2(2 − x )

x

x

3 ⎜ 3 + 2 2 ⎞⎟ − ⎛ ⎜ 3 − 2 2 ⎞⎟ = . AL - 034 Să se rezolve ecuaţia: ⎛ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 a) = 1

b) x = 2

c) x =

2 lg 2

(

lg 3 + 2 2

)


d) x ∈∅

e) x =

17

2 lg 2

(

lg 3 − 2 2

f) x = 2 lg 2

) x

AL - 035 Determinaţi valoarea lui x pentru care e + e

a) 1

b) –1

AL - 036

c) 2

− x

d) 0

=2

e) –2

f) ln2

Să se rezolve ecuaţia 2 x − 3 x = 6 x − 9 x

a) x1 = 0 este

b) x1 = 0

unica soluţie

x2 =

d) x1 = 0

c) x1 = 0

1 1 − log 2 3

x2 = log 2

e) x1 = 0

x2 = log 2 3 + 1

x2 =

⎛ 1⎞ AL - 037 Să se rezolve inecuaţia: ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠

a) (4,+∞)

b) [ − 2,1)

c) (0,10)

f) x1 = 0

1 log 2 3

x2 = log 2 3

x + 2

> 3 − x .

d) (1,+∞)

e) (2,+∞)

f) ( − 1,1)

x

AL - 038

2 ⋅ 2 x−1 ⎛ 2 ⎞ > + Să se rezolve inecuaţia: x 1 ⎜ ⎟ . 3 − 2 x ⎝ 3 ⎠

⎛ a) x ∈ ⎜⎜ 0, log 2 3 ⎝

5 − 1 ⎞⎟ 2 ⎠⎟

d) x ∈ 0, log 2 ( 5 − 1) 3

AL - 039

Să se rezolve ecuaţia:

⎛ b) x ∈ ⎜⎜ 0, log 2 3 ⎝

5 + 1 ⎞⎟ 2 ⎠⎟

e) x ∈ 0, log 2 ( 5 + 1) 3

log 2 ( 2 x − 5) log 2 ( x 2 − 8)

=

1 . 2

c) x ∈ (0,1) f) x ∈ ( −1,1)


18

a) x1 =

11 , x2 = 3 3

11 , x2 = − 3 3 11 e) x1 = − , x 2 = −3 3 b) x1 =

d) x1 = 3 AL - 040

11 3

f) x1 = 9

Să se precizeze domeniul maxim de definiţie al funcţiei: f ( x ) = log 2

⎛ 3 ⎞ a) ( − ∞ ,1) ∪ ⎜ ,+∞⎟ ⎝ 2 ⎠ d) (1,+∞) AL -041

c) x1 =

3 − 2x . 1 − x

b) ( − ∞,1) ∪ [2,+∞)

c) [2,+∞)

e) (0,2] ∪ (4, ∞ )

f) (− ∞,0] ∪ [2, ∞ )

Să se determine domeniul maxim de definiţie al funcţiei f ( x ) = log x

3 x ⋅ l og 3 x .

a) (0,+∞ )

b) (1,+∞)

⎛ 1 ⎤ c) ⎜ 0, ⎥ ∪ (1,+∞) ⎝ 3 ⎦

⎛ 1 ⎤ ⎡ 2 ⎞ d) ⎜ 0, ⎥ ∪ ⎢ ,1⎟ ⎝ 2 ⎦ ⎣ 3 ⎠

e) (0,1) ∪ (2,+∞)

f) (1,2)

AL - 042

5 Mulţimea soluţiilor ecuaţiei log x 2 x + log2 x x = este: 2

⎧1 ⎫ a) φ ; b) ⎨ , 2 ⎬ ; ⎩2 ⎭ AL - 043

a) = 3

⎧1 ⎫ d) ⎨ , 2⎬ ; ⎩4 ⎭

c) {2, 4} ;

Să se rezolve ecuaţia: log 2 3 + 2 log 4 x = ( b) = 1

c) x =

16 3

d) x =

⎧1 ⎫ f) ⎨ , 2⎬ ⎩5 ⎭

2, 5} e) {2,5 1 log 9 16 log x 3 x

3 16

)

.

e) x =

1 3

f) x = 3


19

Să se rezolve ecuaţia

lg x 2 + 2 lg x = 23 . a) x=10 d) x=1

b) x=100 e) x=2

c) x= 1000 f) x=3

3 consider ă inecuaţia: log a x − log a2 x + log a4 x ≥ , a > 0, a ≠ 1 4 şi se notează cu M a mulţimea tuturor soluţiilor sale. Care dintre următoarele afirmaţii este adevărată ? AL - 045 Se

⎛ 1 ⎤ a) M 1 = ⎜ 0, ⎥ ⎝ 2 ⎦ 2

⎛ 1 ⎞ b) M 1 = ⎜ ,+∞⎟ ⎝ 2 ⎠ 2

⎡ 1 ⎞ c) M 1 = ⎢ ,+∞⎟ ⎠ ⎣2 2

⎛ 1 ⎞ d) M 1 = ⎜ , ∞ ⎟ ⎝ 4 ⎠ 4

e) M 1 = ( − 5,+∞ )

f) M 2 = (2,10)

AL - 046

10

Fie P( x ) = x 2 − x log a y + 3 log a y − 8 , y > 0 , a ∈ (0,1) . Să se determine toate valorile lui y astfel încât P( x) > 0 , oricare oricare ar fi ∈ R .

a) y ∈(a 4 , a 8 )

b) y ∈(a 8 , a 4 )

c) y ∈ a 8 , a

d) y ∈(a ,2)

e) y ∈(a 3 , a )

f) y ∈[a 2 , a ]

⎧⎪e x − 1, x < 0 . AL - 047 Se consider ă funcţia f : R → ( −1,+∞) , f ( x ) = ⎨ ⎪⎩ x , x ≥ 0

Calculaţi inversa sa, f −1 . ⎧ln( x + 1), x ∈ ( −1,0) a) f −1 ( x ) = ⎨ 2 ⎩ x , x ∈ [0,+∞)

⎧ln( x − 1), x ∈ (−1,0) b) f −1 ( x) = ⎨ ⎩2 x, x ∈ [0,+∞)

⎧ln x, x ∈ (−1,0) c) f ( x) = ⎨ ⎩ x, x ∈ [0,+∞)

⎧⎪ln( x 2 + 1), x ∈ (−1,0) d) f ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩ x − 1, x ∈ [0,+∞)

−1

−1


20

⎧⎪ln x 2 , x ∈ (−1,0) f) f ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩ x + 1, x ∈ [0,+∞)

⎧2 ln( x + 1), x ∈ (−1,0) e) f ( x) = ⎨ 2 ⎩− x , x ∈ [0,+∞) −1

AL - 048 Se

−1

consider ă expresia E ( x ) = log 4 x + log x 4 . Determin Determinaaţi valorile

lui x ∈ R astfel încât E ( x ) <

5 . 2

a) x ∈(1,2)

b) x ∈ (0,1) ∪ (2,16)

c) x ∈ [1,2] ∪ [16,32]

d) x ∈(16,+∞)

e) x ∈(1,2) ∪ (20,+∞ )

f) x ∈(1,10) ∪ (20,+∞ )

AL - 049

Să se determine num ărul de elemente ale mul ţimii

⎧ An4+4 15 ⎫ E = ⎨n ∈ N < ⎬ n + n − ( ) ( ) 2 ! 1 ! ⎭ ⎩ a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

f) 5

e) (21,27);

f) (19,20).

AL – 050 Soluţia ecuaţiei

C x x++83 = 5( x + 6)( x + 5)( x + 4)

se află în intervalul : a) (14,19);

b) (-8,-3);

c) (-6,-4);

AL - 051

Să se rezolve ecua ţia

d) (20,24)

3C x2+1 + x ⋅ P 2 = 4 Ax2 . a) x=3 d) x=2 AL - 052

b) x=4 e) x=7 Să se calculeze expresia: E =

Cnk − Cnk − 2 − C nk −−22 C nk −−21

, n ≥ 3, k ≥ 2, n ≥ k + 2 .

c) x=5 f) x=10


a) E = = 1

b) E = = 2

c) E = = 3

21

d) E = =

1 2

e) E = =

1 3

f) E = = −1

x −1 Determinaţi mulţimea A a valorilor lui x ∈ R pentru care: C10 > 2C 10x .

AL - 053

a) A = ( − ∞,−3) ∪ (− 1,1]

b) A = {5,6 ,7}

c) A = [1,7]

d) A = {8,9 ,1 0}

e) A = [ − 3,−2] ∪ {1,2}

f) A = {1,2,3,4}

Să se precizeze termenul care nu con ţine pe x din dezvoltarea binomului

AL - 054

1 ⎛ − 1 − ⎞ 2 2 ⎜ ax + xa ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 10 15 a) C30 a

5 7 b) C30 a

30

, a , x ∈ R *+ . c) C307 a 5

d) C304 a 12

15 14 e) C30 a

8 8 f) C30 a 13

⎛ a 3 ⎞ ⎟⎟ , AL - 055 Care este expresia termenului din dezvoltarea binomului ⎜⎜ + 3 3 a ⎠ ⎝

care conţine pe a4 ? a)187

a4

37

b)286

a4

37

c)107

a4

35

d)286

a4

33

e)202

a4

37

⎛ x AL - 056 Care este termenul din dezvoltarea binomului ⎜ 3 + ⎜ y ⎝

f)200

a4

34

21

y ⎞⎟ , 3 x ⎠⎟

în care exponenţii lui x şi y sunt egali ? a) T 13 13

b) T 10 10

c) T 6

d) T 8

e) T 15 15

f) T 11 11

n

1− x ⎞ ⎜ x ⎟ AL - 057 În dezvoltarea binomului ⎛ ⎝ 2 + 2 ⎠ , suma coeficien ţilor binomiali

ai ultimilor trei termeni este egal ă cu 22. S ă se afle valorile lui x pentru care suma dintre termenul al treilea şi termenul al cincilea este egal ă cu 135. a) x1 = 1, x 2 = 2 d) x1 = −1, x 2 = −2

b) = 2 e) = 1

c) x1 = − 1, x 2 = 2 f) x1 = 1, x 2 = − 1


22

2

AL – 058 Calculaţi E = z 1 z 2 + 1 + z 1 z 2 − 1

2

pentru numerele complexe z 1 şi z 2

( z fiind complexul conjugat num ărului z). 2

a) 2 z 1 + z 2 d) 2 z 1 z 2

2

b) 2 1 + z 1 z 2

2

e) 1 + z 1

2

2

c) 2 1 + z 1 2

a) m = −1

2

z 1 − 1

f) 2 1 + z 1 − z 2

b) m = −2

c) m = −

5 2

d) m = 3

a)

b) 2

⎧⎪ ⎪⎩

c) –i

d) –2

b)

3 + 2 4

c)

3 + 1 4

d)

2 3 +1 4

f) m = 0

1996

⎛ 1 − i ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ 1 + i ⎠

.

e) 2i

Să se determine α ∈ R astfel încât numărul complex

1− 3 2

AL - 062

2

2

e) m = 1

1996

⎛ 1 + i ⎞ AL - 060 Să se calculeze valoarea expresiei E = ⎜ ⎟ ⎝ 1 − i ⎠

AL - 061

1 − z 2

Să se găsească valorile reale ale lui m pentru care num ărul 3i 43 − 2mi 42 + (1 − m )i 41 + 5 este real (i 2 = −1) .

AL - 059

a) i

2

f) –2i

1− i 3 să fie real. α + (α + 1)i e)

3 4

f)

1+ 2 3

2

Să se determine numerele complexe z astfel astfel încât 4 z 2 + 8 z − 3 = 0 .

a) z ∈ ⎨1 ± i ,±

3 ⎫⎪ ⎬ 2 ⎪⎭

3 ⎪⎫ ⎪⎧ 1 d) z ∈ ⎨± i ,± ⎬ 2 ⎪⎭ ⎪⎩ 2

⎧⎪1 ± i 3 ⎫⎪ ⎬ ⎪⎩ 2 ⎪⎭

c) z ∈ ⎨±

⎪⎧ ⎪⎩

f) z ∈ ⎨

b) z ∈ ⎨

e) z ∈ ⎨− 1 ± i ,

2 ± i 5 ⎪⎫ ⎬ 2 ⎪⎭

⎧⎪ ⎪⎩

3 1 ⎫⎪ i ,± ⎬ 2 2 ⎪⎭

⎪⎧ 3 ± 2 2i − 5 i + 7 ⎪⎫ , , ⎬ 2 3 2 ⎪⎭ ⎪⎩


23

9

AL – 063

(1 + i ) Să se precizeze cu care din valorile date mai jos este egal z = . 7 − 1 i ( )

a) z = 1 + i AL - 064

= 2 b) z =

c) z = 1 − i

d) z = − i

Căreia din mulţimile de mai jos apar ţine α =

z z

e) z = i +

z z

f) z = 2 + i

, pentru

z ∈C \ {0} ?

b) Z

N AL - 065

a) z = − d) z =

c) Q

1 3 b) z1 = − + i , z2 = − 2i 2 2

3 − 2i 2

a) 1

f) R \ {0}

e) C \ R

Să se determine toate numerele complexe z ∈C care verifică ecuaţia z − z = 1 + 2i .

1 +i 2

AL - 066

d) R

c) z 1 = 0, z 2 =

1 e) z1 = 0, z2 = − + i 2

f) z =

3 + 2i 2

5 + 3i 2

Fie α şi β r ădăcinile ecuaţiei x 2 + x + 1 = 0 . Să se calculeze α 2000 + β 2000 . b) 0

d) i 3

c) –1

e) − i 3

f) 2

AL - 067 Precizaţi partea imaginar ă a numărului complex

1 4 + 3i a) −

23 i 10

b) −

+

29 i 10

(2 − i )2 1+ i

−

c)

i

+

6

4i − 3 2 − i

19 i 10

.

d)

10 i 13

e) −

33 i 10

f) −

10 i 33


24

4

AL - 068 Să se calculeze z dacă z = ⎛ ⎜ 2 + 2 + i 2 − 2 ⎞⎟ . ⎝ ⎠

a) 1

b) 2

AL - 069

c) 2

b) 2+i, -2-i ; e) 1+i, 1-i ;

c) 2+i, -2+1 ; f) 1+i, 2+i

b) 1 + 2i, − 1 + 2i e) 1 − 2i, − 1 − 2i

c) 1 + 2i, − 1 − 2i f) 2 − i, − 1 − 2i

AL - 071 Fie z un un număr complex astfel încât z − a =

se calculeze

b − z b + z

b) 1 −

AL – 072

f) 6

Să se calculeze r ădăcina pătrată din numărul complex z = −3 + 4i, i = − 1 .

a) 2 + i, 2 − i d) − 2 + i, 2 + i

a) a

e) 4

R ădăcinile pătrate ale numărului complex 3+4i sunt :

a) 2+i, 2-i ; d) 2-i, -2+i ; AL - 070

d) 16

a 2 − b 2 , unde, a > b > 0 . Să

.

b a

c)

a −b a+b

d)

2 2 a −b 2

a +b

2

e) 1 +

b a

f)

a− b a+ b

Numerele complexe z1 şi z2 satisfac relaţia: z 1 + z 2 = z 1 ⋅ z 2 . Care din afirmaţiile următoare este adevărată ? c) z 1 = 0, z 2 > 0

a) z1 = 0, z2 =1- i

b) z1 = z2 = 2+3i

d) z 1 >2 şi z 2 >2

e) cel puţin unul din cele două numere f) z 1 >2, z 2 = 0 are modulul mai mic sau egal cu 2.

AL – 073 Aflaţi a ∈ R astfel ca matricea diagonală constantă

⎛ a 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ X = ⎜ 0 a 0 ⎟ să fie soluţia comună a ecuaţiilor matriceale ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 a ⎠


25

⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (1 2 3) X ⎜ 2 ⎟ = 1 şi (3 2 1) X ⎜ 2 ⎟ = 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 3 ⎠ a) a =

3 10

b) a =

2 10

c) a =

1 10

d) a =

10 3

e) a =

10 2

f) a = 10

⎛ − 5 3 ⎞ ⎟⎟ şi Se dau matricele pătratice de ordinul al doilea E = ⎜⎜ ⎝ 4 6 ⎠ ⎛ 1 − 2 ⎞ ⎟⎟ . F = ⎜⎜ 3 7 ⎝ ⎠ AL - 074

Să se calculeze matricea – 3 F A = 2 E – ⎛ 13 12 ⎞ ⎟⎟ a) A = ⎜⎜ − − 1 9 ⎝ ⎠

⎛ − 13 12 ⎞ ⎟⎟ b) A = ⎜⎜ − − 1 9 ⎝ ⎠

⎛ 13 − 12 ⎞ ⎟⎟ c) A = ⎜⎜ − − 1 9 ⎝ ⎠

⎛ 13 12 ⎞ ⎟⎟ d) A = ⎜⎜ 1 9 ⎠ ⎝

⎛ 13 12 ⎞ ⎟⎟ e) A = ⎜⎜ − 1 9 ⎠ ⎝

⎛ 13 12 ⎞ ⎟⎟ f) A = ⎜⎜ − 1 9 ⎠ ⎝

⎛ 1 0 2 ⎞ ⎜ ⎟ − 1⎟ ∈ M 3 (Z ) . AL - 075 Fie A = ⎜ 2 1 ⎜ ⎟ ⎝ 3 − 1 3 ⎠ Dacă f ( x ) = 3 x să se calculeze f ( A) . ⎛ 3 0 6 ⎞ ⎟ ⎜ a) f ( A) = ⎜ 2 1 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 − 1 3 ⎠

⎛ 3 0 2 ⎞ ⎟ ⎜ b) f ( A) = ⎜ 6 1 − 1⎟ c) ⎜ ⎟ ⎝ 9 − 1 3 ⎠

6 ⎞ ⎛ 3 0 ⎟ ⎜ f ( A) = ⎜ 6 3 − 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 9 − 3 9 ⎠


26

⎛ 3 0 2 ⎞ ⎜ ⎟ d) f ( A) = ⎜ 2 3 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 − 1 9 ⎠ AL - 076

⎛ 7 ⎞ a) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 11 ⎠

⎛ 1 0 6 ⎞ ⎜ ⎟ e) f ( A) = ⎜ 2 3 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 9 − 1 3 ⎠

Să se calculeze produsul de matrice A B ⋅ , unde ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 3 2 1 ⎞ ⎟⎟ , B = ⎜ 3 ⎟ A = ⎜⎜ ⎝ 0 1 2 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 11 7 ⎞ ⎟⎟ b) ⎜⎜ 3 6 ⎠ ⎝

⎛ 11 ⎞ d) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 7 ⎠ AL - 077

e) (11 7 3)

f) f ( A) = I 3

⎛ 11 7 2 ⎞ ⎟⎟ c) ⎜⎜ 3 1 2 ⎠ ⎝ ⎛ 11 ⎞ ⎜ ⎟ f) ⎜ 7 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠

Să se rezolve ecuaţia matriceală: ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 2 4 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ 2 5 3 7 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

X ⋅ ⎜⎜

⎛ 2 0 ⎞ ⎟⎟ a) ⎜⎜ 1 1 ⎠ ⎝

⎛ 0 2 ⎞ ⎟⎟ b) ⎜⎜ 1 0 ⎠ ⎝

⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ c) ⎜⎜ 3 4 ⎠ ⎝

⎛ 1 2 ⎞ ⎟⎟ d) ⎜⎜ 5 2 ⎝ ⎠

⎛ 1 4 ⎞ ⎟⎟ e) ⎜⎜ 1 1 ⎝ ⎠

⎛ 2 1 ⎞ ⎟⎟ f) ⎜⎜ 0 1 ⎝ ⎠

AL - 078

Să se rezolve ecuaţia matriceală: ⎛ 1 1 − 1 ⎞ ⎛ 1 − 1 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ X ⎜ 2 1 0 ⎟ = ⎜ 4 3 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 − 1 1 ⎠ ⎝ 1 − 2 5 ⎠


27

⎛ − 3 2 0 ⎞ ⎜ ⎟ a) ⎜ − 4 5 − 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − 5 3 0 ⎠

⎛ − 3 2 0 ⎞ ⎜ ⎟ b) ⎜ 1 5 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 3 0 ⎠

⎛ − 3 2 1 ⎞ ⎜ ⎟ c) ⎜ 1 5 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 3 0 ⎠

⎛ − 3 1 0 ⎞ ⎟ ⎜ d) ⎜ − 4 5 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ − 5 3 0 ⎠

⎛ − 3 2 0 ⎞ ⎟ ⎜ e) ⎜ − 4 5 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ − 5 3 − 2 ⎠

⎛ − 3 2 0 ⎞ ⎟ ⎜ f) ⎜ − 4 5 − 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ − 5 3 1 ⎠

AL - 079

Să se rezolve ecuaţia matriceală ⎛ 1 2 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 6 9 8 ⎞ ⎟⎟ X ⋅ ⎜ 2 3 4 ⎟ = ⎜⎜ 0 1 6 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎝ 3 4 1 ⎠

⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ a) X = ⎜⎜ − 1 1 ⎝ ⎠

⎛ 0 1 1 ⎞ ⎟⎟ b) X = ⎜⎜ − 1 0 1 ⎝ ⎠

⎛ 2 1 1 ⎞ ⎟ ⎜ c) X = ⎜ 1 1 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 1 1 ⎠

⎛ − 3 1 2 ⎞ ⎟⎟ d) X = ⎜⎜ − 1 2 3 ⎝ ⎠

⎛ 1 1 1 ⎞ ⎟⎟ e) X = ⎜⎜ − 1 1 1 ⎝ ⎠

⎛ 1 2 3 ⎞ ⎟⎟ f) X = ⎜⎜ 2 3 1 ⎝ ⎠

AL - 080

⎛ 2⎞ ⎛ 2 − 2 4⎞ Să se determine matricea X care care verifică relaţia: ⎜ ⎟ X = ⎜ ⎟. ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 − 3 6 ⎠ ⎛ 1 − 1 ⎝ 0 0

a) X = = (1 − 1 2)

b) X = = ⎜

d) X = = (1 − 2 3)

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ e) X = = ⎜ − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

2⎞ ⎟ 0 ⎠

⎛ 1 − 1⎞ ⎟ ⎝ 2 2 ⎠

c) X = = ⎜

⎛ 1 − 1⎞ ⎟ ⎝ 2 − 2 ⎠

f) X = = ⎜


28

⎛ 2 2 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 1 2 − 3⎞ AL - 081 Să se rezolve ecuaţia matriceală X ⎜ 1 − 1 0⎟ = ⎜ ⎟. ⎜ − 1 2 1 ⎟ ⎝ − 1 3 − 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 6 − 31 − 5⎞ a) X = = ⎜ ⎟ ⎝ 4 − 12 − 14 ⎠

4 ⎞ ⎛ 6 ⎜ ⎟ d) X = = ⎜ − 31 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5 − 11 ⎠

⎛ 6 − 32 − 21⎞ b) X = = ⎜ ⎟ ⎝ 4 − 23 − 14 ⎠

⎛ 5 − 31 4 ⎞ ⎟ 1 0 ⎠ ⎝ 4 − 12 10

e) X = = ⎜

⎛ 2 4 6 ⎞ ⎜ ⎟ c) X = = ⎜ − 1 3 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 − 2 2 ⎠ ⎛ 6 − 32 21⎞ ⎟ 14 ⎠ ⎝ 4 − 23 14

f) X = = ⎜

⎛ 1 a n ⎞ ⎛ 1 2⎞ n n ⎟ ş i să se ⎟ . Să se arate că A este de forma: A = ⎜ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠

AL - 082 Fie A = ⎜

determine apoi an , n ∈ N. a) a n +1 = a n + 2, an = 2n

b) an+1 = an , an = 1

c) an +1 = a n + 1, a n = n

d) an +1 = 2a n , a n = 2 n

e) an+1 = a n + 2, a n = 2 n

f) an +1 = 2an , a n = 2n 2

30

⎛ 1 3 ⎞ ⎜ ⎟ 2 2 ⎜ ⎟ . AL - 083 Să se calculeze ⎜ 3 1⎟ ⎜− ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎛ − 1 0⎞ ⎟ ⎝ 0 − 1 ⎠

b) ⎜

⎛ 0 1 ⎞ ⎟ ⎝ − 1 0 ⎠

e) ⎜

a) ⎜

d) ⎜

⎛ 1 0⎞ ⎟ ⎝ 0 1 ⎠

c) ⎜

⎛ 0 − 1⎞ ⎟ ⎝ − 1 0 ⎠

⎛ 0 − 1⎞ ⎟ ⎝ 1 0 ⎠

f) ⎜

0⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎝ 0 − 1 ⎠


29

⎛ 1 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ n AL - 084 Fiind dată matricea A = ⎜ 0 1 1 ⎟ , să se calculeze matricea A , n∈N*. ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1 ⎠ ⎛ ⎜1 n ⎜ a) An = ⎜ 0 1 ⎜0 0 ⎜ ⎝

n 2 (n − 1) ⎞

4

n

1

⎛ 1 3n n 2 ⎞ ⎜ ⎟ d) An = ⎜ 0 1 3n ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1 ⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜1 n ⎜ b) An = ⎜ 0 1 ⎜0 0 ⎜ ⎝

⎛ 1 n 2 ⎜ e) An = ⎜ 0 1 ⎜ ⎝ 0 0

n(n − 1) ⎞

n 3 − 1 ⎞

⎟ n2 ⎟ 1 ⎠⎟

⎟ ⎟ n ⎟ c) A = ⎟ ⎟ ⎠

2

n

1

⎛ 1 n 3n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 1 n ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1 ⎠

⎛ ⎜1 n ⎜ f) An = ⎜ 0 1 ⎜0 0 ⎜ ⎝

n(n + 1) ⎞

2

n

1

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ 2 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ n AL - 085 Să se calculeze A , n∈N* unde A = ⎜ 0 1 0 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 2 ⎠ ⎛ 2 n ⎜ n a) A = ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0

2 n − 1 0 ⎞ ⎟ 1 0 ⎟ b) An = 0 2n ⎠⎟

⎛ 1 2 n ⎜ d) An = ⎜ 0 1 ⎜ ⎝ 0 0

0 ⎞ ⎟ 0⎟ 2 n ⎠⎟

⎛ 2 n ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝ 0

⎛ 2 n ⎜ e) An = ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0

2 n + 1 0 ⎞ ⎟ 1 0 ⎟ c) An = 0 2 n ⎠⎟ 1 2 n ⎞ ⎟ 1 0⎟ 0 2 n ⎠⎟

⎛ 2 n ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝ 0

⎛ 2 n ⎜ f) An = ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0

⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ AL - 086 Să se calculeze inversa matricei A = ⎜ 2 3 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 9 16 ⎠

2 n − 1 0 ⎞ ⎟ 1 0⎟ 0 2 n ⎠⎟ n2 −1

1 0

0 ⎞ ⎟ 0⎟ 2 n ⎠⎟


30

⎛ 6 − 7 ⎜ b) A−1 = ⎜ − 8 6 ⎜ 5 ⎜ 3 − ⎝ 2

⎛ 1 − 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ a) A−1 = ⎜ 0 2 − 1⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 0 − 1 1 ⎠ ⎛ ⎜ 6 ⎜ c) A−1 = ⎜ − 8 ⎜ 3 ⎜ ⎝ ⎛ 5 ⎜ ⎜2 e) A−1 = ⎜ − 1 ⎜ ⎜ ⎜1 ⎝

7 1 ⎞ ⎟ 2 2⎟ 6 − 1⎟ 5 1⎟ − 2 2 ⎠⎟ −

1 ⎞⎟ − 1⎟ 1⎟ ⎟ 2 ⎠

1 1 ⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ d) A−1 = ⎜ − 1 − 2 0 ⎟ ⎜ 1 − 1 ⎠⎟ ⎝ 0

1 3 ⎞⎟

⎛ 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ f) A−1 = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1 ⎠

⎟

2 ⎟ 5 3 ⎟ ⎟ 0 1⎟

⎠ x 3

1 x AL – 087 Se dă ecuaţia 1 − 1 1 = 0; a ∈ R \ \ {-1}. Să se determine parametrul a x 1 a 2

astfel încât între r ădăcinile ecuaţiei să existe relaţia x12 + x 22 + x 32 − 1 < ( x1 x 2 x 3 ) . a) a∈ (− ∞,−1] ∪ [2,+∞) d) a∈[1,2]

b) a∈ (− ∞,−1) ∪ (2,+∞) e) a∈ (− ∞,1]

c) a∈[-1,2] f) a∈ [1,+∞)

⎛ 1 12 ⎞ ⎟⎟ , X ∈ M 2(Z). Să se rezolve ecuaţia: X 2 = ⎜⎜ − 4 1 ⎝ ⎠ ⎛ 2 3 ⎞ ⎛ − 2 − 3⎞ ⎛ 2 3⎞ ⎛ − 2 − 3 ⎞ a) X = = ⎜ b) X = ⎜ c) X = = ⎜ = ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ şi X = ⎟ ⎝ − 1 2 ⎠ ⎝ 1 − 2 ⎠ ⎝ − 1 2 ⎠ ⎝ 1 − 2 ⎠

AL - 088

6i ⎞ ⎛ ⎜i 3 − ⎟ 3⎟ ⎜ d) X = = ⎜ 2i ⎟ i 3⎟ ⎜ ⎝ 3 ⎠

⎛ 2 ⎝ 1

e) X = = ⎜

3⎞ ⎟ 2 ⎠

⎛ − 2 − 3⎞ ⎟ ⎝ − 1 − 2 ⎠

f) X = = ⎜


31

Dacă a,b,c sunt lungimile laturilor unui triunghi şi ha, h b, hc sunt 1 a hb ⋅ hc înălţimile corespunzătoare, care este valoarea determinantului: Δ = 1 b hc ⋅ ha ? 1 c hb ⋅ ha

AL - 089

a) Δ = abc

b) Δ = 0

c) Δ = a2+b2+c2

e) Δ = 1;

e) Δ = 2abc

f) Δ =

AL - 090

1 (ab+ac+bc) 2

Să se calculeze determinantul:

1 2 0 2 2 3 4 1 2 a) 8

b) 6

AL - 091

c) 16

d) 17

e) 18

f) 0

Să se calculeze determinantul:

1

−a

−1

Δ = −a

a

2

a

−1

a

1

a) 0

b) 2a2

c) 4a2

d) 6a2

e) 1

f) -1

AL - 092

a) 1

Să se calculeze det ( A−1 )

b)

1 2

⎛ 1 4 0 ⎞ ⎟ ⎜ dacă A = ⎜ 0 3 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 0 1 ⎠

c) −

1 11

d)

1 7

e)

1 11

f)

1 5


32

⎛ 1 1 1⎞ ⎛1 1 1 ⎞ AL - 093 Fie matricele A = ⎜ 1 2 1⎟ şi B = ⎜ 1 2 3 ⎟ . Să se calculeze ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 2 1 1 1 4 9 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ determinantul matricii A B. ⋅ a) -2;

b) -1;

c) 0;

d) 1;

e) 2;

f) 3

4 − x 1 4 2 =0? AL - 094 Care sunt soluţiile ecuaţiei 1 2 − x 2 4 1 − x a) x1 = 3, x 2 = 7, x 3 = −1

b) x1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 3

c) x1 = 7, x 2 = 5 , x 3 = − 5

d) x1 = x 2 = 7, x 3 = 1

e) x1 = 7, x 2 = 3 , x 3 = − 3

f) x1 = −2, x 2 = 7, x 3 = 1

AL - 095

Să se rezolve ecua ţia

a 2 − x

ab

ac

ba

b − x

bc

ca

cb

c 2 − x

2

=0.

a) x1 = x 2 = x3 = 0

b) x1 = x 2 = x3 = a

c) x1 = a, x2 = b, x3 = c

d) x1 = x 2 = 0, x3 = a 2 + b 2 + c 2

e) x1 = x 2 = 0, x3 = a 2 + b 2 − c 2

f) x1 = x2 = 1, x3 = 0

AL - 096 Fie

matricea A = aij , 1 ≤ i ≤ 3 , 1 ≤ j ≤ 3 , cu elementele ai j = min{ i + j − 3 , i − 2 j + 3

}. Să se calculeze

det A şi A

−1

.


33

⎡ 3 0 − 1⎤ 1⎢ a) det A = 2 , A = ⎢ 2 2 1 ⎥⎥ 2 ⎢⎣− 1 0 1 ⎥⎦

⎡ 2 −2 1 ⎤ 1⎢ b) det A = −3 , A = ⎢− 1 1 1 ⎥⎥ 3 ⎢⎣ 1 2 − 1⎥⎦

⎡0 1 3 ⎤ c) det A = 1 , A −1 = ⎢⎢1 1 1 ⎥⎥ ⎢⎣0 1 2⎥⎦

⎡3 1 0⎤ 1 d) det A = 2 , A −1 = ⎢⎢0 1 1⎥⎥ 2 ⎢⎣1 0 3⎥⎦

⎡1 0 2 ⎤ 1⎢ e) det A = −3 , A = − ⎢3 1 − 1⎥⎥ 3 ⎢⎣0 − 1 2 ⎥⎦

⎡1 3 1⎤ f) det A = 1 , A = ⎢⎢0 1 1⎥⎥ ⎢⎣2 1 1⎥⎦

−1

−1

−1

−1

x1 x 2 x 3 AL - 097

Să se calculeze determinantul Δ = x 2 x 3 x1 , ştiind că x1 , x 2 , x 3 x 3 x1 x 2

sunt r ădăcinile ecuaţiei a) Δ = 1

b) Δ = -1

3

− 2 x 2 + 2 + 17 = 0

c) Δ = 2

d) Δ = 4

e) Δ = 3

f) Δ = 0

⎧ x + y + 2 z = 2 ⎪ AL - 098 Să se rezolve sistemul: ⎨ x − y + 3z = 5 . ⎪2 x + y + z = 2 ⎩

a) (1,1,0)

b) (1,-1,1)

c) (-4,0,3)

d) (0,0,2)

e) (1,0,0)

f) (1,0,2)

AL - 099

Să se rezolve sistemul

⎧2 x + 3 y + z = 11 ⎪ ⎨ x + 2 y + 3 z = 14 ⎪3 x + y + 2 z = 11 ⎩ a) x =1, y =2, z =3

b) x =2, y =1, z =1

c) x =3, y =2, z =2 =2

d) x =1, y =1, z =4

e) x =1, y =3, z =2

f) x =1, y =7, z =6 =6


34

Care sunt valorile parametrului parametrului m∈R pentru pentru care sistemul de ecua ţii: ⎧mx + y + z = 1 ⎪ ⎨ x + my + z = 2 admite soluţie unică ? ⎪ x + y + mz = 4 ⎩ a) m∈R \ \ {-2,1} b) m∈R \ \ {2,-1} c) m∈R \ \ {-2,-1}

AL - 100

d) m∈R \ \ {2,1}

e) m∈R \ \ {-2,2}

f) m∈R \ \ {-1,1}

AL – 101 Se

consider ă sistemul ⎧ x + y + mz = 1 ⎪ ⎨ x − 2 y + z = m ⎪mx + y + z = 0 ⎩ Să se determine parametrul real m pentru ca sistemul s ă fie incompatibil.

a) m = 1, m = -2;

b) m = 2, m = -2;

c) m = -1, m = 0;

d) m = 3, m = 4;

e) m = -3, m = 3;

f) m = 0, m = -2.

astfel ca sistemul: AL - 102 Să se determine m∈ R astfel

⎧2 x + y = 8 ⎪ ⎨ x − y = 1 ⎪5 x + 4 y = m ⎩ să fie compatibil. a) 0 d) 23 AL - 103

b) 1 e) 8

c) 20 f) 21

Pentru ce valoare a parametrului real m ∈ R sistemul de ecuaţii

⎧2 x + y − z = −1 ⎪ ⎨ x + 5 y + 4 z = 4 ⎪ x + 2 y + z = m ⎩ este compatibil şi nedeterminat de ordinul întâi ? a) m =-1

b) m =2

c) m =-2

d) m =1

e) m =-3

f) m=3


35

Să se determine valorile parametrilor reali a şi b pentru care sistemul ⎧ x + 2 y − 2 z = −6 ⎪ ⎨2 x + y + bz = 4 este incompatibil. ⎪ax − y + z = 8 ⎩

1 a) a ≠ şi b ≠ −1 2

1 ⎧ ⎪⎪a = − 2 , b ∈ R sau b) ⎨ ⎪a ∈ R \ ⎧⎨ 4 ⎫⎬ , b = − 1 ⎪⎩ ⎩7 ⎭

1 ⎧ ⎪a ≠ − c) ⎨ 2 ⎪⎩b = − 1

1 d) a ≠ ş i b ∈ R 2

⎧a = 0 e) ⎨ ⎩b = 1

4 ⎧ ⎪a = f) ⎨ 7 ⎪⎩b = −1

mx + y − 2 z = 2 ⎧ ⎪ 2 x + y + 3z = 1 , m,n∈R . AL - 105 Se consider ă sistemul liniar ⎨ ⎪(2m − 1) x + 2 y + z = n ⎩

Pentru ce valori ale parametrilor m şi n sistemul este compatibil simplu nedeterminat? a) m =3, n≠3 b) m=3, n=3 c) m≠3, n=3 d) m≠3, n≠3 e) m=3, n=0 f) m=3, n=2 AL - 106

a) {0,2}

Să se determine mul ţimea valorilor parametrului real m pentru care sistemul următor este compatibil 1 =0 my + ⎧ x − ⎪ y− m = 0. ⎨2 x + ⎪3 x + (m − 1) y + m − 1 = 0 ⎩ b) ∅

c) {1,0}

d) {-1,1}

e) R \{-1,1}

Pe R se se consider ă legea de compozi ţie internă „∗” definită astfel: x ∗ y = 2xy − 2x − 2y + m, m ∈ R Să se determine m astfel încât această lege să fie asociativă.

AL - 107

a) m=1

b) m=2

c) m=3

d) m=4

e) m=-1

f) m=-2

f) {3,2}


36

orice x ∈ R , y ∈ R se defineşte legea de compozi ţie x ∗ y = ln (e x + e y ) ; precizaţi mulţimea soluţiilor ecuaţiei ( x ∗ x ) ∗ x = 0 AL – 108 Pentru

1⎫ ⎧ a) ⎨ln 3 , ln ⎬ 3⎭ ⎩

1⎫ ⎧ 1 b) ⎨ln ,− ln ⎬ 3⎭ ⎩ 3

c) − ln 3

1⎫ ⎧ d) ⎨− ln ⎬ 3⎭ ⎩

e) {− ln 3}

f) {ln 3}

mulţimea A = R \ {1} se consider ă legea de compozi ţie „∗” definită prin: x ∗ y = 2 xy − 2 x − 2 y + c, (∀) x, y ∈ A, c ∈ R Pentru ce valoare a lui c legea „ ∗” este asociativă?

AL - 109 Pe

a) c=1

b) c=-1

c) c=3

d) c=2

e) c=4

f) c=6

Fie legea de compozi ţie internă pe R definit definită prin x∗ y = xy + 2α x + β y (∀) x, y ∈ R , unde α , β ∈ R . Care sunt valorile lui α şi β pentru care legea este comutativă şi asociativă ? AL - 110

a) c)

1 şi β = 1 2 1 = β = 0 sau α = şi β = 2 2 = β = 0 sau α =

e) α = β = −1

b) α + β = 1 d) α = β = 1 f) α = 2 , β =

AL - 111 În

1 2

mul ţimea R este este definită legea de compozi ţie internă „∗” astfel încât x + y cu xy ≠ 1 . (∀) x, y ∈ R : x ∗ y = 1 − xy Elementul neutru e, admis de lege este:

a) 0

b) 1

c) –1

d) 2

e) –2

f) 3


37

Pe R se se defineşte legea de compozi ţie „∗” prin x ∗ y = axy − x − y + 2 , unde a ∈ R . Pentru ce valori ale lui a legea considerat ă admite element neutru?

AL – 112

a) a = −1 d) a =

c) a = 1

b) 0

1 2

e) a = −

1 2

f) a =

3 2 2

AL - 113 Determinaţi elementul neutru al opera ţiei ∗ definită în R prin

( x1 , y1 ) ∗ ( x2 , y2 ) = ( x1 x2 + x1 + x2 , y1 y2 + y1 + y2 ) a) (1,0) d) (0,0)

b) (0,1) e) (-1,-1)

c) (1,1) f) (0,-1)

Să se determine elementul neutru al grupului comutativ ( G,∗), unde G = (0, ∞ ) \ {1} iar x ∗ y = x ln y

AL - 114

a) 1

AL - 115

b) e

c) 0

d) 2

e)

1 e

f) e2

Pentru ce valori valori ale parametrului real λ intervalul (2,+ ∞) este monoid în raport cu legea de compozi ţie definită pe R prin prin : x∗ y = xy − 2 x − 2 y + λ , (∀) x, y ∈ R ?

a) λ ∈(− ∞,6)

b) λ ∈(6,+∞)

c) λ = 6

d) λ = 0

e) λ ∈(0,+∞ )

f) λ ∈(− ∞ ,0)

AL - 116 În

mul ţimea R a a numerelor reale se consider ă legea de compozi ţie ’’ ⊕ ’’ definită prin : x ⊕ y = ax + by − 1, ( ∀) x , y ∈R . Să se determine parametrii reali o structur ă de grup a şi b astfel încât această lege de compozi ţie să determine pe R o abelian. a) a = 1, b = 0 d) a = 2, b = 1

b) a = 2, b = − 1 e) a = 1, b = 2

c) a = b = 1 f) a = 0, b = 1


38 AL - 117 Se

consider ă grupul abelian ( R , ∗ ) cu legea de compozi ţie :

( x +

)

k

este impar şi k ≥ y − k a , unde a ∈ R este un număr fixat , iar k este ≥ 3 . Care este elementul neutru şi care este simetricul elementului ∈R în raport cu

x∗ y =

k

k

legea considerată ?

) ( d) 1 ; ( a + x )

a) a ;

k

a + k x

k

k

) ( e) 1 ; ( a − x ) b) a ;

k

k

k

a − k x

k

k

( f) 1 ; (2

k

k

) x)

c) a ; 2 k a − k x k

a − k

k

k

Să se determine partea mul ţimii Z pe care legea de compozi ţie definită prin : x∗ y = x + y + xy, (∀) x, y ∈ Z determină o structur ă de grup abelian propriu. AL - 118

a) Z

b) Z \ {1}

c) Z \ {− 1}

e) {−2,0}

d) Z \ {0}

⎧ 3⎫ ⎩2 ⎭

*

AL - 119 Fie M = R \ ⎨ ⎬ . Să se determine m, a , b ∈ R

f) {0}

astfel ca legea

o structur ă de grup abelian , iar aplica ţia x ∗ y = 2 xy − 3 x − 3 y + m să determine pe M o

(

)

f : ( M , ∗ ) → R * , • , f ( x ) = ax + b să fie un izomorfism între ( M , ∗ ) şi grupul

multiplicativ al numerelor reale, diferite de zero. a) m = 6 ; a = 2 ; b = −3 2 1 d) m = 2 ; a = ; b = 3 2 AL - 120 Fie

b) m = 6 ; a = 1 ; b = 2 1 2 e) m = −3 ; a = ; b = 2 3

c) m = 5 ; a = −1 ; b = 1 f) m = 3 ; a = 3 ; b = −4

grupurile (R , + ) şi ( (0,+∞) , ⋅ ) . În ce condi ţii funcţia

f : R → (0,+∞ ) , f ( x ) = e αx +

α 2 −11 − α 2 − 20 −1

, α ∈ N , α ≥ 5 este un izomorfism de

grupuri ? a) α = 5

b) α ∈∅

c) α = 8

d) α = 6

AL - 121 Fie grupul ( A A , + ) unde A = R × R × R şi compoziţie definită prin :

e) α = 7

f) α = 9

’’+’’ este legea de

( x1 , x2 , x3 ) + ( y1 , y2 , y3 ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ),(∀)( x1 , x2 , x3 ), ( y1 , y 2 , y3 ) ∈ A .


39

Pentru ce m ∈ R funcţia f : A → A cu f ( x1 , x2 , x3 ) = (mx1 + x 2 + x3 , x1 + mx2 + x3 , x1 + x 2 + mx3 ) este un automorfism al grupului ( A , + ) ? a) m = ± 1

b) m ∈R \ {0}

c) m ∈{− 1,3}

d) m = − 2

e) m ∈∅

f) m ∈R \ {− 2,1}

AL - 122 Fie G = ( 2,+∞ )

care are o structur ă de grup fa ţă de operaţia ’’ ∗ ’’

definită prin : x ∗ y = xy − 2( x + y ) + 6 , ( ∀) x , y ∈G . Să se determine a , b ∈ R astfel încât funcţia f : R *+ → G , f ( x ) = ax + b pentru orice x ∈ R *+ , să realizeze un izomorfism de la grupul (R *+ , ⋅ ) la grupul (G , ∗ ) . a) a = 0, b = 2 d) a = 1, b = 3

AL - 123

b) a = 1, b = 2 e) a = b = 1

c) a = 0, b = 3 f) a = − 1, b = 2

Fie Z × Z = {( x, y ) x, y ∈ Z}. Să se determine a ∈ Z pentru care opera ţiile

( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) şi ( x1 , y1 ) o ( x2 , y2 ) = ( x1 y2 + y1 x2 , ay1 y2 ) determină pe Z × Z o structur ă de inel cu elementul unitate e=(0,1). În acest caz s ă se determine divizorii lui zero dac ă există. a) a=1; nu există d) (∀) a ∈ Z ; nu există

b) a=1; ( x x,0), x∈Z* e) ∀a ∈ Z ; (0,y), y ∈Z*

c) a=0; ( x x,0), x∈ Z* f) (∀) a ∈ Z ;( x x,0), x∈ Z*

Fie inelul (Z,⊕,o) unde legile de compozi ţie sunt definite prin x ⊕ y = x + y − p; x o y = xy − px − py + p 2 + p, p ∈ Z∗ . Să se stabilească dacă inelul are sau nu divizori ai lui zero. În caz afirmativ s ă se determine divizorii lui zero. AL – 124

a) Da; 2 p, p-1; d) Da; 0, p+1;

b) Nu; e) Da; 2 p p , p;

c) Da; p, p; f) Da; 2 p, p+1.


40

definim legile de compozi ţie AL - 125 Fie a , b, c ∈ R . Pe R definim

’’ ⊥ ’’ şi ’’ Τ ’’ prin: x⊥ y = ax + by − 2, (∀) x, y ∈ R şi xΤ y = xy − 2 x − 2 y + c, (∀) x, y ∈ R . Care sunt valorile a, b, c astfel încât ( R , ⊥ , Τ ) să fie corp ? a) a = 0, b = 0, c = 3 d) a = 1, b = 1, c = 3

b) a = 1, b = 1, c = 6 e) a = 1, b = 1, c = −3

c) a = 0, b = 1, c = 6 f) a = 1, b = 0, c = 6

Să se rezolve urm ătorul sistem de ecua ţii în corpul claselor de resturi ⎧⎪3$ x + 4$ y = 5$ modulo 11: ⎨ . ⎪⎩7$ x + 3$ y = 8$ AL - 126

a) (9$ ,0$ )

b) (0$ ,9$ )

c) (6$ ,9$ )

d) (8$ ,9$ )

e) (5$ ,0$ )

f) (6$ ,0$ )

⎧⎪3$ x + 2$ y = 1$ Care sunt soluţiile sistemului: ⎨ în inelul Z12 ? ⎪⎩4$ x + 3$ y = 2$

AL - 127

a) x = 2$ , y = 7$

b) x = 1$, y = 4$

c) x = 10$ , y = 3$

d) incompatibil

e) x = 11$, y = 2$

f) x = 8$ , y = 3$

Să se determine valoarea parametrului real m astfel încât polinomul P ( x ) = x − x 2 + 2 x − 1 + m să se dividă cu x+1. a) 0 b) –1 c) 3 d) 1 e) –1 AL – 128

4

Să se determine câtul q şi restul r al împ ăr ţirii polinomului f = 2 x 4 − 3 x 3 + 4 x 2 − 5 x + 6 la polinomul g = x 2 − 3x + 1 . AL – 129

a) q = 2 x 2 + 3 x + 11, r = 25 x − 5; c) q = 2 x 2 − 3 x + 7, r = 5 x − 1; e) q = 2 x 2 + 3 x − 6, r = − x + 2;

b) q = 2 x 2 + 3 x − 11, r = 25 x + 5; d) q = 2 x 2 + 2, r = x + 2; f) q = 2 x 2 , r = 2 x + 5;

un polinom cu coeficien ţi reali. Dac ă resturile împăr ţirii lui AL - 130 Fie P un la x − a şi x − b , (a ≠ b ) sunt egale, să se determine restul împ ăr ţirii lui P P la

f) 2


41

la polinomul ( x − a )( x − b) . a) ax + b AL - 131

a) + 1 AL - 132

b) bx + a

c) P (a)

d) bx + 1

e) + a

f) x + b

Să se determine restul împ ăr ţirii polinomului 2n P( x ) = ( x − 2) + ( x − 1) n −1 la polinomul Q( x ) = x 2 − 3x + 2 . b) − 1

c) 0

d) + 2

e) 2 x + 1

f) f) 2 x − 1

Fie f ∈R [ X ] un polinom de grad cel pu ţin doi. Dac ă f dă restul 2

prin împăr ţirea la X + 1 şi ( X + 2 ) f ( X ) − X f ( X + 3) = 1 , să se determine restul împăr ţirii lui f la X 2 − X − 2 . a)1 a) 1 − X

b)1 b) 1 + X

c) 1

e) X 2 − X − 2

d) 0

f) X

Să se determine toate polinoamele de gradul trei care se divid la x-1, iar resturile împăr ţirii la x-2, x-3 şi x-4 sunt egale. AL - 133

a) α x 3 − 9 x 2 + 26 x − 18 c) α ( x 3 − 9 x 2 − 26 x − 18) e) α ( x 3 + 9 x 2 − 26 x − 18)

b) α x 3 + 9 x 2 + 26 x − 18 d) α ( x 3 − 9 x 2 + 26 x + 18) f) α ( x 3 + 9 x 2 + 26 x + 18) α ∈ R

un polinom cu coeficien ţi reali de grad mai mare sau egal cu 3, iar AL - 134 Fie P un

prin produsul ( X 2 − 1)( X − 2 ) . Să se R = mX 2 + nX + p restul împăr ţirii lui P prin determine m , n şi p astfel încât resturile împ ăr ţirii lui P prin prin X − 1, X − 2 şi X + 1 să fie, respectiv , − 2 , 3, − 6 . a) m = 1,n = 2, p = −1

b) m = 1,n = −1, p = 2

c) m = −7,n = 26, p = −21

d) m = 1,n = 2, p = −5

e) m = −1,n = 3, p = 1

f) m = 1,n = 2, p = 3

AL - 135 Determinaţi puterile naturale n pentru care polinomul

(

)

f = X 2 + X + 1

a) n = 3 p, p ∈ N d) n = 2 p, p ∈ N

3n

+ (2 X − 2)

3n

este divizibil prin g = X 2 − X + 1 .

b) n = 3 p + 1, p ∈ N e) n = 2 p + 1, p ∈ N

c) n = 3 p + 2, p ∈ N f) n ∈N


42

Să se determine parametrii a,b∈ R astfel astfel încât polinomul

AL - 136

P ( x ) = 2 x 4 − 2 x 3 + ax + b , să fie divizibil cu Q( x ) = x 2 − 3x + 2 .

a) a = 12 b = - 12

b) a = 16 b = - 16

c) a = - 16 b = 16

d) a = 16 b = - 14

e) a = 15 b = - 15

f) a = 13 b = - 13

Să se determine restul R( x x) al împăr ţirii polinomului 2 Q( x ) = x + ax + b la x + x+1, n ∈ N +. a) R( x ) = a 2 − 1 x + b 2 − 1 b) R( x ) = (a + 1) x + b + 1 c) R( x ) = ax + b d) R ( x ) = (a − 1) x + b − 1 e) R( x ) = (a − 1) x + 1 − b f) R( x ) = (a − 1) x + b + 1

AL – 137

3 n −1

AL - 138 Fie f ∈ Z[ X ] , f = a 0 + a1 X + a 2 X

2

+ a 3 X 3 . Determinaţi coeficienţii

polinomului f , , dacă f (1) + f (2) + . . . + f (n) = n 4 , (∀ ) n ∈ N * . a) f = −1 + 3 X − 5 X 2 + 4 X 3

b) f = 2 − 2 X − 3 X 2 + 2 X 3

c) f = −1 + 4 X + 6 X 2 + 4 X 3

d) f = −1 + 4 X − 6 X 2 + 4 X 3

e) f = −2 − 2 X + 3 X 2 − 2 X 3

f) f = 1 − 4 X − 6 X 2 + 4 X 3

AL - 139 Determinaţi ordinul de multiplicitate m ∈ N al r ădăcinii

a ecuaţiei : a) 0

b) 1

5

4

− 5 x + 7

3

−2

c) 2 3

AL - 140 Fie P ∈R [ X ] , P = aX + bX

2

+ 4x − 8 = 0 .

d) 3 2

=2

e) 4

f) 5

+ cX + d , a , b ≠ 0 . Să se determine

relaţia dintre coeficienţii a, b, c, d pentru pentru care r ădăcinile lui P sunt sunt în progresie aritmetică. a) 3b 3 + 27ab + 9ab a bc = 0 d) 3a 3 + 27abc − 9bd bd = 0

b) b ) 2b 3 − 27a 2 d + 9abc = 0 e) e) 3c 3 + 27abc = 0

c) c) 2b 3 + 27a 2 d − 9abc = 0 f) f) 2c 3 + 27a 2 d − 9abc = 0


43

polinomul P ∈R [ X ] , P = aX 3 + bX 2 + cX + d , a , d ≠ 0 . Să se determine relaţia dintre coeficien ţii a, b, c, d pentru pentru ca r ădăcinile polinomului P s să fie în progresie geometric ă. AL - 141 Fie

a) a 2 b = c 2 d d) ac 3 = b 3 d AL - 142

a) 2b = 3a AL - 143

b) a 2 b 2 = c 2 d e) ac = bd

c) ab 3 = c 3 d f) a 3 c = b 3 d

Care este relaţia dintre a şi b atunci când ecua ţia x 3 − 3ax + 2ab = 0 , a , b ∈R \ {0} , are o r ădăcină dublă. b) b 2 = a 2

c) b 2 = a

d) a 3 = 5b

e) a = 2b

f) a = b

Să se determine m ∈R ştiind că r ădăcinile x1 , x 2 , x 3 ale ecuaţiei x 3 + 2 2 − mx + 1 = 0 satisfac relaţia x14 + x 24 + x 34 = 24 .

a) m = 0, m = − 1

b) m = 1, m = − 1

c) m = 0, m = 1

d) m = 0, m = − 8

e) m = − 1, m = 3

f) m = 4, m = 0

AL - 144

Dacă x1 , x 2 , x 3 sunt ră dăcinile ecuaţiei 3 + 2 − 3 = 0 , să se precizeze care din ecuaţiile următoare are drept r ădăcini : y1 = x2 + x 3 , y 2 = x 3 + x1 , y 3 = x1 + x 2 .

a) y 3 − y + 2 = 0

b) b) 2 y 3 − y − 1 = 0

c) c) 2 y 3 + y + 7 = 0

d) y 3 + 2 y 2 + y + 3 = 0

e) y 3 + y − 2 = 0

f) y 3 − 2 y 2 + y − 3 = 0

AL - 145

(

)

(

)

Să se rezolve ecua ţia : x 3 − 2 1 + 2 x 2 + 1 + 4 2 x − 2 = 0 , ştiind că ea admite r ădăcina 1 + 2 .

a) 1 + 2 , 1 − 2 , 2

b) 1 + 2 , 1 − 2 , 2 2

c) 1 + 2 , − 1 + 2 , 2

d) 1 + 2 , − 2, − 2

e) 1 + 2 , 1 + 2 , 1 + 2

f) 1 + 2 , 1 − 2 , − 2 2

AL - 146

Să se determine a , b ∈ R astfel ca ecuaţia 4 − 4 să aibă r ădăcinile în progresie aritmetic ă.

3

+ ax 2 + bx + 17 = 0


44

a) a = 2, b = − 17 d) a = −14,b = 36 AL - 147

b) a = 12, b = − 19 e) a = 21, b = 36

c) a = − 52, b = 12 f) a = 52, b = 40

)

(

Să se rezolve ecua ţia: x 3 − 2 x 2 + 1 + 2 2 x + 2 = 0 , ştiind că admite

r ădăcina 1 − 2 . a) x1 = 1 − 2 , x2,3 =

1+ 2 ± i 5+ 6 2 2

b) x1 = 1 − 2 , x 2,3 =

±i 5+6 2

2

c) x1 = 1 − 2 , x 2 = 1 + 2 , x 3 = 1 + 2

d) x1 = 1 − 2 , x2 = 1 + 2 , x3 = 1 − 2

e) x1 = 1 − 2 , x 2 ,3 = ± 5 + 6 2

f) x1 = 1 − 2 , x2 = 1 + 2 , x3 = 5 + 6 2

AL – 148

Să se determine valorile raţionale ale parametrilor a şi b astfel încât 1 + 2 să fie r ădăcină a ecuaţiei : x 4 + ax 3 + bx 2 + 5x + 2 = 0 .

a) a = −3, b = −1

b) a = 3, b = 1

c) a = − 3, b = 1

d) a = 2, b = 1

e) a = −2, b = −1

f) a = − 2, b = 1

Să se determine parametrii reali a, b şi c ştiind că ecuaţiile + ax + bx + 2 = 0 şi x 3 − 3x + 2c = 0 au o r ădăcină dublă comună.

AL - 149 4

2

a) a = −1,b = −2,c = 1 a = −1, b = 2, c = −1

b) a = 1, b = 2, c = 2

c) a = −1, b = 3, c = −1 a = 1, b = −3, c = 1

d) a = −2, b = 3, c = −1

e) a = −1, b = 3, c = 1 a = 1, b = 2 , c = −1

f) a = b = c = 1

AL - 150

Să se determine suma coeficienţilor polinomului obţinut din dezvoltarea

(10 x 8 − x 4 − 8) a) 0

b) 1

c) 21997

1997

d) 101997

. 8 e) C 1997

f) 1997

ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE


46

ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE (simbol TG )

cos 150 − sin 150 TG - 001 Să se calculeze: E = 0 0 . tg15 + ctg15

2 2

a)

TG - 002

a) 1

TG - 003

3

b)

2

b) 0

1

Dacă cos x =

TG - 005

a) E = 0

3 4

2

e)

3 8

f)

8

d) 3

e)

1 2

f)

2 3

Dacă se notează t = sin2u , se cere să se exprime în funcţie de t expresia 2 2 E = tg u + ctg u .

TG - 004

3

4

c) 2

b)

π

d)

Dacă tga = 1, tgb = 2, tgc = 3 , cât este tg ( a + b + c ) ?

a) t 2 + 1

a)

2

c)

b)

2

t

2π 3

c) 2t 2

d)

1

2 −1

e)

t

4

2 −2

f)

t

1 13 ⎛ π ⎞ şi x, y ∈ ⎜ 0, ⎟ , să se calculeze , cos y = 7 14 ⎝ 2⎠ c)

π

d)

6

Să se restrângă expresia: E =

π

e)

4

sin ( 45

)

+ x + cos

( 45

0

+x

t + 1

− y

5π 4

sin ( 450 + x ) − cos ( 450 + x ) 0

1

)

2

.

f)

π

− tg x .

b) E = 1 c) E = tg x d) E = ctg x e) E = sin x TG - 006 Să se verifice c ă următoarea expresie este independent ă de x

f) f) E = cos x

Elemente de geometrie plan ă şi trigonometrie 6

(

6

47

4

) (

4

)

cos x + sin x − 3 cos x + sin x . E = 2 co a) E = −1

b) E = 0

c) E = 1

d) E = 2

e) E = −2

f) E =

1 4

f)

7 3

sin 2 x − 2 cos 2 x ctg x = 2 , să se calculeze: E = . TG - 007 Ştiind că ct sin 2 − cos 2 x a)

2 3

b)

−

2 3

c)

3 2

d)

−

3 7

e)

7 3

−

2 x − tg π 3 pentru x = . TG - 008 Să se calculeze valoarea expresiei: E = cos − ctg 2 x 4 sin

a) 1

b) 2

c)

TG - 009 Ştiind că

a)

3 4

b)

si n α

−

3 4

−

=

2 2

d)

−

2

e)

2 2

c)

4 3

d)

3 5

10π 7

b)

7π 10

5π 7 sin 60 600 − sin 30 300 TG - 011 Să se calculeze expresia E = cos 30 300 + cos 60 600 d)

1 3

4 ⎛ π ⎞ , α ∈ ⎜ 0, ⎟ , să se calculeze tg α . 5 ⎝ 2⎠

TG - 010 Determinaţi perioada principală a funcţiei f : R → R ,

a) 0

f)

e)

e)

−

4 3

f)

f ( x ) = cos

7 x . 5

c) 35π f)

3π 4

2 3


48

a) 2 + 3

b) 3 − 2

c) 2 − 3

d) 3 + 2

e) 2 − 3

f) 2 + 2

TG - 012

Să se calculeze expresia:

sin + tgx 2 , ştiind că avem cos x = , cos x + ctgx 3

x ∈ [0, π / 2] .

a)

3 (3 − 5 ) 4

b)

4 (3 + 5 ) 3

c)

16 (3 − 5 ) 25

d)

16 (3 + 5 ) 25

e)

25 (3 − 5 ) 16

f)

25 3+ 5 16

TG - 013

a) E =

1 2

TG - 014

(

)

Ar ătaţi că următoarea expresie este independent ă de x, 1 + sin 2 x 1 + cos 2 x . E = + 2 + ctg 2 x 2 + tg 2 x b) E =

1

3

c) E =

1

4

d) E = 1

e) E = 2

f) E = 3

e) 6 2

f ) 16 2

Să se calculeze

1 1 + cos 2 150 sin 2 150 a) 4 TG - 015

a) 1 d) 4 2

b) 16

c) 24

d) 4 2

Să se calculeze: tg150 + ctg150 cos 150 − sin 150 b) 4 e) 5 2

c) 3 2 f)

2

Elemente de geometrie plan ă şi trigonometrie

TG - 016

Să se calculeze:

a) 1

b) 2

TG - 017

1 sin 100

−

49

3 cos 100

c) 3

d) 4

e)

3 2

3 2

f)

Să se calculeze: tg10 ⋅ tg 20 ⋅ tg30 ⋅ ... ⋅ tg89 0 .

a) 1

b)

1 2

c) 0

d) 3

e) 10

f) 2

Se dă triunghiul ABC în care AB = R 3 şi m ( BAC ) = α , R fiind raza cercului circumscris triunghiului. S ă se determine celelalte laturi în func ţie de α şi R .

TG - 018

0 a) R 3 , 2 R sin α , 2 R sin (α + + 60 )

0 + 30 ) b) R 3 , 2 R sin α , 2 R sin (α +

c) R 3 , 2R sin α , 2R sin α

d) R 3 , R 3, 2 R sin α f) R 3 , 2 R sin α + 300 , 2 R sin α

(

e) R 3 , R , R

)

Între laturile unui triunghi avem rela ţia: 2a = b + c , iar între unghiurile sale ˆ . Triunghiul este: 2 ˆ = Bˆ + C

TG - 019

a) ascuţit unghic oarecare d) dreptunghic TG - 020 În

b) obtuz unghic oarecare e) echilateral

c) isoscel f) oarecare

ˆ ) = 600 . Să se calculeze triunghiul ABC se se dă b = 2 , c = 3 şi m ( C

latura a. 1 ( 2 − 6) 2 1 d) 2+ 6 2

a)

(

)

b) 6 − 2 e)

1 2

(

2− 6

c) 6 − 2 ş i

)

şi

1 2

(

2+ 6

)

6+ 2 f)

6+ 2


50

TG - 021 Un

triunghi ABC cu lungimile laturilor 13, 14, 15 are vârful A opus laturii A

de mărime mijlocie. Care este valoarea lui tg ? 2 a)

3 7

TG - 022

b)

4 7

c)

5 7

d)

6 7

e) 1

f)

8 7

Dacă A,B,C sunt sunt măsurile unghiurilor unui triunghi s ă se calculeze: E = tg A + tg B + tg C

a) E = ctg A ⋅ ctg B ⋅ ctg C ;

b) E = ctg A ⋅ ctg B ⋅ tg C

cc)) E = ctg A ⋅ tg B ⋅ tg C

d) E = tg A ⋅ tg B ⋅ tg C

e) E = tg A ⋅ tg B ⋅ ctg C

f) E = tg A ⋅ ctg B ⋅ tg C

TG - 023

A

Dacă în triunghiul ABC avem avem tg

2

=

1 şi b + c = 3a , precizaţi care din 3

r ăspunsurile de mai jos este corect. π ˆ ) = π a) m ( Bˆ ) = sau m ( C 2 2

b) m ( Aˆ ) = m ( Bˆ )

π c) m ( Aˆ ) = 2

π ˆ ) = π d) m ( Bˆ ) = sau m ( C 4 4

e) m ( Aˆ ) = m ( Cˆ )

π f) m ( Aˆ ) = 3

TG - 024

Să se calculeze aria triunghiului ABC , ştiind că a = 6, B = 600 şi C = 450 .

a) 6 ( 3 + 3 )

b) 9 ( 3 − 3 )

d) 6 ( 3 − 3 )

e)

c) 9 ( 3 + 3 )

9 (3 − 3 ) 2

f)

TG - 025 Într-un

9 (3 + 3 ) 2

triunghi ABC laturile a, b, c sunt îm progresie aritmetic aritmetică, a fiind termenul din mijloc. Să se calculeze expresia: E = tg

B

2

⋅ tg

C

2

.

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

a) E =

1 3

b) E =

d) E = 3

51

1 6

c) E =

e) E = 6

1 2

f) E = 2

Se dau punctele A(3,5), A(3,5), M(-1,3), N(4,1). N(4,1). Să se scrie ecuaţiile dreptelor ce trec prin A şi fac unghiurile de 45° şi, respectiv ,135° cu dreapta (MN). TG - 026

a) 3 x - 7 y + 26 = 0, 7 x + 3 y - 36 = 0

b) 2 x - 5 y + 19 = 0, 5 x -2 y -5 =0

c) x - y + 2 = 0, x + y - 8 = 0

d) 3 x - 2 y + 1 = 0, 2 x + 3 y - 21 = 0

e) x - 2 y + 7 = 0, 2 x + y - 11 = 0

f) 3 x - 7 y +1 = 0, 7 x - 3 y - 2 = 0

Să se afle coordonatele coordonatele vârfurilor unui triunghi cunoscând mijloacele laturilor P(3,-1), Q(1,7), R(-4,3).

TG - 027

a) (-1,-4), (5,2), (-3,12) d) (-2,-5), (8,3), (-6,11)

b) (-2,3), (8,-5), (-6,19) e) (2,-3), (-10,9), (0,17)

c) (-2,-5), (4,19), (-12,13) f) (1,-3), (5,1), (-9,9)

Se dau punctul A(-3,4) A(-3,4) şi dreapta (d) 2 x − y + 5 = 0 . Să se determine coordonatele punctului B, simetricul lui A faţă de dreapta (d).

TG - 028

a) B(-1,3) d) B(1,2)

b) B(2,1) e) B(3,-4)

c) B(1,-2) f) B(-1,2)

*

TG - 029 Fiind date numerele a , b ∈ R

, se consider ă punctele A(a,0), B(0,b) şi M(0,λ) situate pe axele de coordonate (Ox) şi (Oy). Să se determine λ astfel ca proiecţia punctului M pe dreapta (AB) să coincidă cu mijlocul mijlocul segmentului segmentului AB . a) d)

a 2 − b2 a b2 − a 2

2a

b) e)

a 2 − b2 b b2 − a 2

2b

c) f)

a 2 + b2 a a 2 + b2 b

TG – 030 În sistemul cartezian (Oxy) se consider ă punctele A(3,0), B(0,2), M(3,-3) şi N(-2,2) . Să se determine punctul de concurenţă al dreptelor (AN), (BM) şi al

perpendicularei din O pe (AB). (AB).


52

⎛ 18 12 ⎞ a) ⎜ , ⎟ ⎝ 19 19 ⎠

⎛ 12 18 ⎞ b) ⎜ , ⎟ ⎝ 19 19 ⎠

⎛ 8 12 ⎞ c) ⎜ , ⎟ ⎝ 19 19 ⎠

⎛ 12 8 ⎞ d) ⎜ , ⎟ ⎝ 19 19 ⎠

⎛ 18 6 ⎞ e) ⎜ , ⎟ ⎝ 19 19 ⎠

⎛ 16 18 ⎞ f) ⎜ , ⎟ ⎝ 19 19 ⎠

Se dau punctele A(3,5), A(3,5), B(-1,3), C(4,1). C(4,1). Se cere să se scrie ecuaţia medianei din A a triunghiului ABC .

TG - 031

a) 2 x + 5 y - 31 = 0 d) x + 2 y - 13 = 0 TG – 032 Să

(d 1 )

b) x - 2 y + 7 = 0 e) 2 x - y - 1 = 0

c) 2 x + y - 11 = 0 f) 3 x - y - 4 = 0

se scrie ecuaţia dreptei ce trece prin punctul de intersecţie al dreptelor

x + 2 y − 7 = 0,

(d 2 ) 2 x − y + 1 = 0

şi este paralelă cu prima bisectoare.

a) 2 x − 2 y = 1; d) x − y + 2 = 0;

b) y = x + 7; e) x − y + 3 = 0;

c) x − y + 5 = 0 f) 3 x − 3 y + 7 = 0 .

Se dau dreptele (AB): (AB): x - 2 y + 3 = 0, (AC): 2 x - y - 3 = 0, (BC): 3 x + 2 y + 1 = 0. Să se scrie ecuaţia înălţimii din A a triunghiului ABC . TG - 033

a) 2 x - 3 y + 3 = 0

b) 6 x - 9 y - 1 = 0

c) -4 x + 6 y - 1 = 0

d) 2 x - 3 y - 1 = 0

e) 6 x - 9 y + 2 = 0

f) 4 x - 6 y + 3 = 0

Se dă triunghiul ABC determinat de dreptele (AB): x + 2 y - 4 = 0, (BC): 3 x + y - 2 = 0, (CA): x - 3 y - 4 = 0. S ă se calculeze aria triunghiului ABC . TG - 034

a) A Δ ABC = 10 d) A Δ ABC = 5

b) A Δ ABC = 8 e) A Δ ABC = 7

c) A Δ ABC = 6 f) A Δ ABC = 9

Să se determine λ astfel ca distanţa de la punctul A(3,4) la dreapta x - (λ-2) y y + 3λ - 1 = 0 s ă fie d = 10 . variabilă (λ+3) x 9 7 9 7 7 7 2 2 a) 4, -2 b) 1, − c) − , d) ,− e) -1, f) ,− 4 2 4 2 4 4 3 3 TG - 035

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

53

Să se scrie ecuaţiile dreptelor care trec prin punctul A(-5,7) şi sunt situate la distanţa 3 de punctul B(0,7). TG - 036

a) 4 x + 3 y - 1 = 0, 4 x - 3 y + 41 = 0 c) 3 x - 2 y + 29 = 0, 3 x + 2 y + 1 = 0 e) 3 x - 4 y + 43 = 0, 3 x + 2 y + 1 = 0

b) 4 x + 5 y - 15 = 0, 4 x - 5 y + 55 = 0 d) 3 x + 4 y - 13 = 0, 4 x + 3 y - 1 = 0 f) 3 x - 4 y + 43 = 0, 3 x + 4 y - 13 = 0

TG - 037 Fie în planul (xOy) punctul M(-2,6) şi dreapta (d) x + 2 y - 5 = 0. S ă se afle distanţa simetricului punctului M în raport cu dreapta (d) până la prima bisectoare.

a)

3 2 2

b)

2 2

c) 3 2

d)

5 2 3

2 3

e)

f)

2 5

TG - 038 Fie în planul planul (xOy) punctele punctele A(3,3) şi B(7, -3) şi dreapta (d) 4 x-2 y+3=0. Să se afle punctul M de pe dreapta (d) care este echidistant faţă de punctele A şi B.

⎛ 13 23⎞ ,− ⎟ ⎝ 4 4 ⎠

c) M ⎜ −

⎛ 29 23⎞ ,− ⎟ ⎝ 8 4 ⎠

f) M ⎜ −

a) M(1,2)

b) M ⎜ −

⎛ 1 1 ⎞ d) M ⎜ ,− ⎟ ⎝ 8 4 ⎠

e) M ⎜ −

⎛ 23 29 ⎞ ,− ⎟ ⎝ 4 4 ⎠

⎛ 13 23⎞ ,− ⎟ ⎝ 8 4 ⎠

Să se determine m ∈ R astfel încât dreptele d1 : 3x+my+2m+3=0 3x+my+2m+3=0 şi d2 : 2x+(m-1)y+m+3=0 să coincidă. TG – 039

a) m∈∅ d) m=2

b) m=0 e) m=3

c) m=1 f) m=4

Să se determine α∈R astfel încât dreptele de ecuaţii (d1 ) x+2y-2=0, (d2 ) 2x-4y+3=0 şi (d3 ) αx+y-1=0 să fie concurente:

TG – 040

1 1 d) α=-1 e) α= − 2 2 TG – 041 Să se scrie ecuaţia dreptei din plan, ştiind că A(2, 3) este piciorul perpendicularei coborâtă din origine pe dreaptă. a) α=1

a) 3x+2y-13=0;

b) α=0

c) α=

b) x+3y-11=0;

c) 3x+y-9=0;


54

d) 2x+3y-13=0; TG – 042

e) 3x+4y-14=0;

f) 4x+3y-17=0.

Să se determine ecuaţia mediatoarei segmentului ce uneşte punctele (3,1) şi (4,8)

a) 9x-7y=0 d) 7x-y-20=0

b) 7x-9y=0 e) x+7z-20=0

c) x+7y-35=0 f) x-y+1=0

TG – 043 Fie în planul (Oxy) punctele A(5,6), A(5,6), B(-4,3), B(-4,3), ă ă ă figur geometric reprezint patrulaterul ABCD ?

a) dreptunghi

b) romb

d) trapez isoscel

C(-3,-2) C(-3,-2) şi D(6,1). Ce c) pătrat

e) trapez dreptunghic

f) paralelogram

x,y) se află pe dreapta D : x + y + 1 = 0 , să se M( x,y determine minimul expresiei: E = x 2 + y 2 .

TG – 044 Ştiind că punctul

a) 1

b)

1 2

d) 3

c) 2

e)

3 2

f)

1 3

TG – 045 Se dă dreapta (α - 1) x x + (α - 2) y y - α + 3 = 0 cu α∈R . Să se determine α astfel că dacă A,B sunt intersecţiile dreptei cu (Ox), respectiv (Oy), să avem:

a) α1=3, α2=4 d) α1 = −

5 2

α2 =

17 4

1 OA 2

+

1 OB2

b) α1 =

5 2

α2 =

e) α1 =

5 2

α2 = −

= 10 .

17 4 17 2

c) α1 =

7 2

f) α1 = −

α2 =

7 2

15 4

α2 = −

TG – 046 Pe catetele OB şi OC ale unui triunghi dreptunghic se construiesc în afar ă pătrate în care vârfurile opuse lui O sunt, respectiv, D şi E. Să se determine coordonatele punctului H de intersec ţie a dreptelor (CD) şi (BE), dacă B(b,0) iar C(0,c).

15 4

Elemente de geometrie plan ă şi trigonometrie

55

⎛ ⎞ bc 2 b2c a) H ⎜ 2 , ⎟ ⎝ b + c 2 + bc b 2 + c 2 + bc ⎠

⎛ ⎞ bc 2 b2c b) H ⎜ 2 , ⎟ ⎝ b + c 2 − bc b 2 + c 2 − bc ⎠

bc ⎞ ⎛ bc c) H ⎜ , ⎟ ⎝ b + c b − c ⎠

⎛ b 2 c2 ⎞ d) H ⎜ , ⎟ ⎝ b + c b + c ⎠

⎛ b 2 c2 ⎞ , ⎟ ⎝ b − c b − c ⎠

e) H ⎜

⎛ b 2

+c

⎝

bc

f) H ⎜

2

,

b2 − c2 ⎞ bc

⎟ ⎠

A şi B punctele în care dreapta ax + (2a + 1) y y + a2 = 0 taie axa (Ox), respectiv (Oy), (d 1) dreapta ce trece prin A şi este paralelă cu prima bisectoare a axelor; (d2) dreapta care trece prin B şi este perpendicular ă pe (d1). Să se determine “a” astfel încât punctul de intersec ţie dintre (d 1) şi (d2) să fie pe dreapta de ecua ţie x + 5 y = 1. TG - 047 Fie

a) a = ± 2

b) a = ± 1

c) a = 0, a = 1

d) a = 2, a = 3

e) a = ± 3

f) a = -1, a = 3

TG - 048 Se dau dreptele x + y - 1 = 0, x + y - 2 = 0, x - 2 y + 1 = 0 şi x - 2 y - 3 = 0 , care sunt laturile unui paralelogram. S ă se scrie ecua ţiile diagonalelor.

a) 2 x - y = 0, x - 2 y + 1 = 0

b) x - 2 y - 3 = 0, x + 2 y - 3 = 0

c) x - 2 y + 1 = 0, x + 2 y - 1 = 0

d) x + 4 y - 1 = 0, - x + 2 y + 3 = 0

e) 3 x + 6 y - 5 = 0, 5 x + 2 y - 7 = 0

f) 3 x + 6 y - 5 = 0, 2 x - 3 y + 1 = 0

TG - 049

Se dau punctele A(2,1) A(2,1) şi B(-5,-3). S ă se afle punctul M pe dreapta (d) y = x + 4, astfel ca m ( AMB ) = 90°. ⎛ 11 3 ⎞ ,− ⎟ ⎝ 2 2 ⎠

a) M1(-1,3), M2(1,5)

b) M1(-2,2), M2 ⎜ −

d) M1(1,5)

e) M(-3,1)

⎛ 11 3 ⎞ c) M1(-1,3), M2 ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ f) M 1(0,4), M2(-3,1)

56


Se dau dreptele 3 x - 4 y + 6 = 0 şi 4 x - 3 y - 9 = 0. S ă se determine paralela la a doua bisectoare a axelor de coordonate care formeaz ă între cele dou ă drepte un segment de 5 2 unităţi. TG - 050

a) y = - x x + 10, y = -x + 20

b) y = -x - 20, y = -x + 20

c) y = -x + 50, y = -x + 20

d) y = -x + 50, y = -x - 20

e) y = -x - 10, y = -x + 30

f) y = -x + 10, y = -x – 30

ELEMENTE DE ANALIZ ANALIZĂ MATEMATICĂ Ă MATEMATICĂ


58

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ (simbol AM )

AM - 001 Determinaţ Determinaţi numerele reale a şi b astfel încât:

lim

x 2 + 3x + a − b 2

x →1

+ x − 2

a) a = −3, b = −5 d) a = −5, b = −3

5

=

.

18

b) a = 3, b = −5

c) a = 5, b = 3

e) a = 2, b = 1

f) a = −2 , b = −1

AM - 002 Să se determine parametrii a şi b reali, aş aşa încât:

⎜ 8 x 3 − ax 2 − bx + 2⎟⎞ = 1 . lim ⎛ 3

x →−∞

⎝

⎠

a) a = 12, b = 2

b) a = 10, b = 2

c) a = 12, b = 4

d) a = −10, b = 2

e) a = 8, b = 6

f) a = 6, b = 10

1 x 1

AM - 003 Să se calculeze: L = lim

x →∞

a) − ∞

b) + ∞

arctg

x

−

1 x +1

− arctg

c) 0

.

1 x +1

d) 1

e) –1

f) 2

definită prin relaţ rela ţia AM - 004 Fie f : ( 0, +∞ ) → R , definită

[

f ( x ) = 1 + ln(1 + x ) + ln(1 + 2 x ) + . . . + ln(1 + nx )

1 x

]

pentru orice

>0.

Să se determine lim f ( x ) . x →0

n ( n +1)

a) 1

b) 0

c) e

n

d) e

2

n ( n +1)( ) ( 2 n +1)

e) e

6

f) e

−n

2

Elemente de analiză analiză matematică matematică

AM - 005 Să se calculeze: lim

2 − x − 3 x 2 − 49

x → 7

a) −

1 56

b)

1

c)

56

59

.

1

d) −

48

1

e) 0

48

f) 1

AM - 006 Să se determine parametrul real a astfel încât funcţ funcţia f : R \ {1} → R ,

⎧a ln( 3 − x ), dacă dacă x < 1 ⎪ definită definită prin f ( x ) = ⎨ 2 x − 2 să aibă aibă limită limită în punctul x punctul x = = 1. , dacă dacă x > 1 ⎪ ⎩ x − 1 a) 0

b) 1

c) 2

d)

1

e) ln2

2

f) 2ln2

2


e x − cos x x 2

x → 0

a) –1

b)

1

.

c) 1

2

d) 2

e)

3

f) 3

2

1 ⎞ ⎛ x AM - 008 Să se calculeze: lim⎜ − ⎟. x →1⎝ x − 1 ln x ⎠ a)

1 2

b) 0

c)

3

d) −

4

AM - 009 Să se se dete determ rmin ine: e: lim x sin sin x → 0

a) − ∞

b) + ∞

1 x

1

e) −

2

3 4

f) 1

.

c) 0

(

d) 1

e)

1

f) nu există există

2

)

AM - 010 Să se calculeze: lim sin x + 1 − sin x . x →∞

a) + ∞

b) − ∞

c) 0

d) 1

e)

1 2

f) 2


60


x → π

a)

m n

m

b) ( − 1) ⋅

m

sin mx sin nx

c) ( − 1)

n

, unde m, n ∈ N * .

m− n

⋅

m

d) ( − 1)

n

mn

⋅

m n

e)

n

f) ( − 1)

m

n− m

⋅

n m

3


x → 0

a) –1

b) 1

e x − 1 sin 3 x

.

1

c)

d) e

e) e2

d) e

e)

2

f) + ∞

1− x

⎛ 1 + x ⎞ 1− ⎟ x →∞ ⎝ 2 + x ⎠

AM - 013 Să se calculeze: lim ⎜

a) 0

b) 1

n ≥1

x → 0

1 1 − e

1

f) 2e 2e

e

cu termenul general bn = a1 + a 2 + . . . + a n ,

unde a n = lim(1 − x sin nx ) b)

.

c) 2

AM - 014 Se consider ă şirul (bn )

a) 1 − e

x

c) e

1 x 2

. Să Să se calculeze: calculeze: lim bn . n →∞

d) e − 1

AM - 015 Se consider ă funcţ funcţia f : ( − k ,+∞ ) → R , f ( x ) =

e)

1 e − 1

f) 0

x 2 − 3ax + 2a 2

, x + k unde a , k ∈ R . Să Să se precizeze relaţ relaţia dintre a şi k astfel astfel încât graficul funcţ func ţiei f să admită admită ca asimptotă asimptotă dreapta y = y = x x + + 1. a) 3a + k = 0 d) 3a + 2 k = 1

b) b) 3a + k = −1 e) e) 3a + 2 k = 0

AM - 016 Fie f : D ⊂ R → R , f ( x ) =

c) c) 3a + k = 1 ff)) 3a + 2 k = −1

x2 − x − 1

, unde D unde D este este domeniul maxim x 2 + x − 2 de definiţ definiţie. Să Să se determine asimptotele lui f . .

a) x a) x = 2, x = 3, y = 5

b) x = 3, x = 1, y = 6

c) x = 2 , x = −1, y = 2


d) x d) x = −2 , x = 1, y = 1

61

e) x = 3, x = 4, y = 5

f) x =

AM - 017 Se consider ă funcţ funcţia f : ( − ∞,0] ∪ [ 4,+∞) → R , f ( x) =

1 2

, x = 2, y = −1

x2 − 4x .

Să se determine ecuaţ ecua ţia asimptotei spre − ∞ la graficul lui f . . a) y a) y =

b) y b) y = x − 2

c) y c) y = − x + 2

d) y d) y = − x

e) y e) y = − x + 1

f) nu există există

x2 + 1 ⎧3⎫ funcţia f : R \ ⎨ ⎬ → R , definită definită prin f ( x ) = . Să Să se AM - 018 Fie funcţ 2 −3 ⎩2 ⎭ determine asimptotele la graficul acestei funcţ func ţii. a) x a) x = d) x d) x =

3 2 3 2

,y=

1 2

,y=−

1

b) x =

2

,y=0

3 2

e) x e) x = −

,y=x 3 2

,y=

c) x c) x = 1 2

,y=−

1 2

3 2

,y=x+

1 2

f) x = 1, y = x + 1

AM – 019 Să se determine valoarea constantei a ∈ R , astfel încât funcţ func ţia

⎧ 7 sin a( x − 2) , x ∈ [0,2 ) ⎪ f : [0,3] → R , f ( x ) = ⎨ x − 2 ⎪⎩6 x + a, x ∈ [2,3]

să fie continuă continu ă pe domeniul

ei de definiţ defini ţie. a) a = 2;

b) a = 1;

c) a = 3;

d) a = 4;

e) a = 5;

f) a = 0,5.

AM - 020 Să se determine valorile parametrului real m astfel încât ecuaţ ecua ţia

să aibă aibă cel puţ puţin o r ădăcină cină reală reală în intervalul (1,2). 2mx3 − 5 x − 12m = 0 să a) m ∈ (1,2 )

⎛ 1 5 ⎞ , ⎟ ⎝ 2 2 ⎠

d) m ∈ ⎜ −

⎛ ⎝

b) m ∈ ⎜ − ∞,−

1 ⎞

⎛ 5 ⎞ ⎟ ∪ ⎜ ,+∞ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

⎡ 1 5⎤ , ⎣ 2 2 ⎥⎦

e) m ∈ ⎢−

⎧ 1 5⎫ , ⎬ ⎩ 2 2⎭

c) m ∈ ⎨−

⎡1 3⎤ ⎣ 2 2 ⎥⎦

f) m ∈ ⎢ ,


62

AM - 021 Fie funcţ funcţiile f 1 : D1 ⊂ R → R , f 1 ( x ) =

f 2 : D2 ⊂ R → R , f 2 ( x ) = x

x 2 ( x − 1) şi funcţ funcţiile

x − 1 . Ştiind că că D1 şi D2 sunt domeniile maxime

de definiţ definiţie ale celor două dou ă funcţ funcţii, să să se precizeze aceste domenii. a) D1 = [1,+∞ ) ∪ {0}; D2 [1,+∞ )

b) D1 = [1,+∞) ∪ {0}; D2 = [1,2 )

c) D1 = (1,+∞ ); D2 = [1,+∞ + ∞ ) ∪ {0}

d) D1 = D2 = [1,+∞ )

e) D1 = [1,+∞ + ∞ ); D2 = [1,+∞ + ∞) ∪ {0}

f) D1 = D2 = [1,+∞) ∪ {0}

AM - 022 Se consider ă funcţ funcţia f : (0, ∞ ) → R ,

f ( x ) = ( x + 1) ln x

Să se calculeze f ′(1) . a) 1

b) 2

c) 3

d) 0

e) –1

f) –2

AM - 023 Să se calculeze derivata de ordinul unu a func ţiei ∗ f : R → R , f ( x ) =

a) f ′( x ) = d) f ′( x ) =

x 2 + 4

1 ⎛ 4 ⎞ ⎜ x + ⎟ 2 ⎝ x ⎠

b) f ′( x ) =

2 x 2 x 2 + 4

e) f ′( x ) =

x 2

x 2 − 4 2 x 2 x 2 + 4 2 x

c) f ′( x ) = f) f ′( x ) =

x 2 − 4 x 2 x 2 − 4 2 x

AM - 024 Care este cea mai mică mică pantă pantă posibilă posibilă a unei tangente la curba

y = x 3 − 3 x 2 + 5 x ? a) −

5 2

b)

5 3

c) 1

funcţia f : D → R , f ( x ) = AM - 025 Fie funcţ

d) 0

e) 2

sin x 2 , unde D unde D este este domeniul maxim

de definiţ definiţie al funcţ funcţiei f . . Să Să se studieze derivabilitatea funcţ func ţiei f în punctul în caz afirmativ să să se calculeze valoarea derivatei în acest punct. a) f ' ( 0) = 1

f) -3

b) f ' ( 0) = − 1

= 0 şi

c) f ' ( 0) nu există există


d) f ' ( 0) = 0

e) f ' ( 0) = 2

63

f) f ' ( 0) =

1 2

⎡1 ⎤ AM - 026 Fie f : ⎢ , e⎥ → R , definită definită prin f ( x ) = arcs Să se determine arcsin in ln x . Să ⎣e ⎦ mulţ mulţimea punctelor în care funcţ func ţia este derivabilă derivabilă.

⎡1 ⎤ a) ⎢ , e⎥ ⎣e ⎦

⎡ 1 ⎞ b) ⎢ ,1⎟ ⎣ e ⎠

c) (1, e]

d) [1, e]

⎛ 1 ⎞ e) ⎜ ,1⎟ ∪ (1, e) ⎝ e ⎠

⎡ 1 ⎞ f) ⎢ ,1⎟ ∪ (1, e] ⎣ e ⎠

func ţia f : R → R , AM - 027 Să se determine parametrii reali a şi b astfel încât funcţ

⎧x 2 + a , x ≤ 2 definită definită prin f ( x ) = ⎨ , să să fie derivabilă derivabil ă pe R . . ⎩ax + b , x > 2 a) a = 4, b = 0

b) a = 3, b = 0

c) a ∈ R , b = 5

d) a = 3, b ∈ R

e) a = 4, b = −1

f) a = −1, b = 4

AM - 028 Să se determine parametrii reali a şi b astfel încât funcţ func ţia f : R → R ,

⎧ xe x , x ≤ 1 definită definită prin f ( x ) = ⎨ , să să fie derivabilă derivabil ă pe R . . + > a x b , x 1 ⎩ a) a = 1, b = 1

b) a = 2e, b = e

c) a = − 2 e , b = e

d) a = 2e, b = −e

e) a = e , b = 0

f) a = 2 , b =

1 e

⎧ae 2 x , x ≤ 0 AM - 029 Fie funcţ funcţia f : R → R , f ( x) = ⎨ . + > s i n 2 x b c o s 3 x , x 0 ⎩ Să se determine constantele reale a şi b astfel încât f să fie derivabilă pe R . a) a = b = 1 d) a = 3, b = 1

b) a = 1, b = 2 e) a = b = 3

c) a = b = 2 f) a = 1, b = −1

AM - 030 Să se calculeze derivata funcţiei f : E ⊂ R → R , definită prin

f ( x ) = arctg

x 2 − 2x − 1 x 2 + 2 − 1

.


64

a) f ' ( x) = d) f ' ( x) =

1

b) f ' ( x ) =

4

x + 1 1

e) f ( x ) =

2

1+

x

c) f ' ( x ) =

3

x + 1 1

f) f ' ( x) =

x 2 − 1

2 2

−1

2 2

+1

AM - 031 Să se calculeze derivata funcţiei f : R \ {0} → [ −1,1] ,

f ( x ) = sin

definită definită prin a) f ' ( x ) = −

d) f ' ( x ) =

1 x 2

cos

1

1 x

.

1

b) f ' ( x ) = sin

x

1 1 cos 2 x

e) f ' ( x ) = cos

c) f ' ( x ) = 0

1

f) f ' ( x ) =

x

1 cos

derivabilă astfel încât f ( − x ) = f ( x) pentru AM - 032 Fie f : [ − 1,1] → R , derivabilă orice x ∈[ − 1,1] . Să Să se calculeze f ' ( 0) . a) f ' ( 0) = 1 b) f ' ( 0) = −1 c) f ' ( 0) =

1 2

d) f ' ( 0) = −

dă funcţ funcţia f : R → AM - 033 Se dă → (0,+∞) , prin f ( x ) =

1

e) f ' ( 0) = 0 f) f ' ( 0) = 2

2

1

+

1

2 5x derivata inversei funcţ func ţiei f în punctul y = 2 .

a)

1 ln 5

b) ln5

c)

1

d) ln10

ln 10

x

. Să Să se calculeze

e) −

1 ln 10

f) ln2

AM - 034 Să se determ determine ine coefic coeficien ientul tul unghiu unghiular lar al tangen tangentei tei în punctu punctull ( e, e 2 )

la graficul funcţ funcţiei f : ( 0,+∞ ) → R , f ( x ) = ln x + x 2 − 1 .

a) e − 1

b)

1 − 2e 2 2

c) 1 + 2e

2

d)

2e 2 + 1 e

e)

2e 2 − 1 2

, funcţ func ţia f : R → R , AM - 035 Pentru ce valoare a parametrului real t ,

f) 2e


tx 3

f ( x ) =

1+ bisectoare ?

2

a) t = 1

65

are în punctul x = 1 graficul tangent unei drepte drepte paralelă paralel ă cu prima

b) t = = −1

c) t = 2

d) t = −2

e) t = −3

AM - 036 Fie f : [ − 1,+∞ ) → R , definită definită prin f ( x ) =

f) t = 0

x + 1 . Să Să se determine

abscisa x 0 a unui punct situat pe graficul lui f în care tangenta la grafic să să fie paralelă paralelă cu coarda ce uneş une şte punctele de pe grafic de abscisă abscis ă x = x = 0 , x , x = = 3 . a) x a) x0 =

1

b) x b) x0 =

3

1 4

c) x c) x0 = −

1 3

d) x d) x0 =

5 4

AM - 037 Se consider ă funcţ funcţia f : R \ {− 3} → R , f ( x ) =

x 0 = −3 +

14 2

e) x e) x0 = − 2x − 1 x + 3

2 3

f) x f) x0 =

4 3

şi

. Să se scrie ecua ţia tangentei la graficul lui f în punctul de abscis abscisă x0 .

a) y a) y = 2 x + 4 − 2 14 14

b) y = 2 x + 8 + 2 14 14

c) y = 4 x + 8 + 2 14 14

d) y d) y = 4 x + 8 − 2 14 14

e) y = 2 x + 8 − 2 14 14

f) y = x − 4 + 2 14

AM - 038 Fie f : R \ {0} → R , f ( x) =

x 2 + ax + b

, unde a , b ∈R . Să se x determine a şi b ştiind că graficul lui f este tangent dreptei y = −2 în punct punctul ul x x = 1 . a) a = 4, b = −1

b) a = −1, b = 2

c) a = 2, b = 3

d) a = −4, b = −1

e) a = −4, b = 1

f) a = 4, b = 1

2 2 AM - 039 Se consider ă funcţiile f ( x ) = x şi g( x) = − x + 4 x + c , unde c ∈ R .

Să se afle c astfel încât graficele lui f şi g s să aibă o tangentă comună într-un punct de intersecţie a curbelor. a) c = 1

b) c = 2

c) c =

1

d) c = −2 e) c = 3 f) c = −1 2 x AM - 040 Fie funcţia f : R → R , f ( x ) = xe . Să se determine panta tangentei la graficul funcţiei în punctul de abscisă x=-1. x=-1.


66

a) -1 d) e

b) 0 e) -e

c) 1 f) 2e

2 x + px + q AM - 041 Se consider ă funcţia f(x) = . Să se determine parametrii 2 x +2 p,q∈R astfel astfel ca dreapta y=x-3 s ă fie tangentă graficului funcţiei în punctul A(1,-2). a) p=1, q= -8 d) p=-4, q=-3

b) p=-2, q=-5 e) p=-5, q=-2

c) p=-3, q= -4 f) p=-6, q=-1

AM - 042 Să se determine punctul P de pe graficul funcţiei f(x) = e

x

+ x , în care

tangenta la grafic trece prin origine. −1 b) P(−1, e − 1) -2 e) P(-2, e − 2)

a) P(0,1) 2 d) P(2, e + 2)

(

c) P(1, 1+e) f) P∈∅

)

AM - 043 Să se afle soluţia inecuaţiei ln x 2 + 1 > x .

a) x ∈ ( 0,+∞)

b) x ∈ ( − ∞,1)

c) x ∈ ( − ∞,0)

d) x ∈(1,+∞)

e) x ∈( − 1,+∞)

f) x ∈ ( − ∞,2)

AM - 044 Să se determine valorile parametrului real m pentru care funcţia

(

)

f : R → R , f ( x ) = ln 1 + x 2 − mx este monoton crescătoare pe R . . a) ( − ∞,1]

b) [1,+∞ )

c) ( − ∞,−1] ∪ [1,+∞ )

d) ( − ∞ ,−1]

e) ( − ∞,1] ∪ [ 2,+∞ )

f) [ − 1,1]

AM - 045 Să se determine toate soluţiile x ∈ ( 0,+∞) ale inecuaţiei: ln x ln x ≤

a) ( 0,+∞ )

b) (1, e]

c) [e,+∞)

d) e

[

e) e, e 2

]

x e

[

.

f) e 2 ,+∞

)

AM - 046 Să se afle punctele de extrem local ale funcţiei f : R → R , definită prin

f ( x ) = x 4 − 10 x 2 , precizând natura lor.

Elemente de analiză matematică

a) − 5 = min, 0 = max,

5 = min min

67

b) 0 = max, 5 = min

c) − 5 = min, 5 = max

d) 0 = max, 5 = max

e) − 5 = max, 0 = min, 5 = min

f) − 5 = max,0 = min,

5 = max

AM - 047 Să se determine cea mai mică mic ă şi cea mai mare valoare a funcţ func ţiei

pe segmentul [−2,3] . f : R → R , f ( x ) = 6 x − x 3 pe a) f min = 2, f max = 4

b) f min = −5, f max = 6

c) f min = −8, f max = 4 2

d) f min = −2, f max = 7

e) f min = −9, f max = 4 2

f) f min = −7, f max = 4

AM - 048 Care este mulţ mulţimea punctelor de extrem local ale funcţ func ţiei

f : E ⊂ R → R , f ( x ) = a) {2}

b) {0,4}

este domeniul maxim de definiţ defini ţie ? x 2 − 4 x , unde E este c) ∅

e) {1,2}

d) {1}

AM - 049 Se consider ă funcţ funcţia f : R → R , f ( x ) =

ax + a − 2 2

+1

f) {− 1,5}

unde a este un parametru

real. Să Să se determine a astfel încât funcţ funcţia să aib aibă un extrem în punctul x = 1 . a) a = 1

b) a = 2

c) a = −2

d) a = −1

e) a = 3

f) a = −3

AM - 050 Să se determine mulţ mulţimea punctelor de inflexiune pentru funcţ func ţia 3 2 → R , f ( x) = x − 3 x + 5 . f : R →

a) {0,3}

b) {0}

c) {0,2}

d) ∅

AM - 051 Se dă dă funcţ funcţia f : R \ {2} → R , f ( x) =

e) {1}

ax 2 + bx + c −2

f) {0,1}

, unde a > 0 ,

Să se determine coeficienţ coeficienţii a, b, c astfel ca graficul funcţ func ţiei să să admită admită c < 0 , b ∈ R . Să asimptotă asimptotă dreapta y = x + 3 , iar f (0) = −1 . a) a = 2, b = 1, c = −3

b) a = 1, b = 2, c = 3

c) a = 1, b = 2, c = −3

d) a = 1, b = 1, c = 2

e) a = 1, b = 1, c = −2

f) a = 1, b = −1, c = 2


68

funcţia AM - 052 Să se determine valoarea constantei a ∈ R astfel încât funcţ → R , f : R →

⎧ 3 sin x − 1 π , dacă dacă x ≠ ⎪ π 2 ⎪ x − f ( x ) = ⎨ 2 ⎪ π ⎪a , dacă dacă x = 2 ⎩ să fie continuă continu ă pe R . . a)

π

2

b) 1

c) 0

d) –1

AM - 053 Fie funcţ funcţia f : D → R , f ( x) =

e)

1

f)

3

1 2

sin x 2 , unde D este domeniul maxim = 0 şi

de definiţ definiţie al funcţ funcţiei f . . Să Să se studieze derivabilitatea funcţ func ţiei f în punctul în caz afirmativ să să se calculeze valoarea derivatei în acest punct. a) f ' ( 0) = 1

b) f ' ( 0) = − 1

c) f ' ( 0) nu există există

d) f ' ( 0) = 0

e) f ' ( 0) = 2

f) f ' ( 0) =

1 2

număr real şi f : [0,1] → R funcţ funcţia dată dată de: AM - 054 Fie α un numă 1 ⎧ α ⎪ x sin , x ≠ 0 f ( x ) = ⎨ . x ⎪⎩0 , x = 0 Să se determine α ∈ R pentru pentru care f este de de două două ori derivabilă derivabil ă în a) α = 2

b) α = 1

c) α > 1

AM - 055 Fie funcţia f ( x ) = 2 arcsin

x−2

d) α > 2 −

=0.

e) α > 3

f) α ≤ 3

4 x − x 2 . Să se determine ecua ţia

2 tangentei la graficul funcţiei în punctul de abscisă x = 1 .


1

a) y =

3

( x − 1) + 1

d) y = ( x − 1) −

3

π

+

3 +

3

b) y =

1 3

π

3

( x − 1) −

69

3−

e) y = −( x − 1) − 3 −

π

3

π

c) y = 3 +

1

1

f) y = x +

3

( x − 1)

3

−

π

3

3

AM - 056 Folosind intervalele intervalele de monotonie monotonie ale funcţiei f : ( 0, +∞ ) → R , definită

prin f ( x ) =

a)

( 3)

d) 8

5

10

>5

< 10

ln x x 3

, să se precizeze care din urm ătoarele inegalităţi este adevărată.

5

b) 3 b)

8

e)1 e) 10

<5 11

AM - 057 Fie f : R → R , definită prin f ( x ) =

3

< 11

10

x x 2 − x + a

cc)) 2

3

>3

2

f) 2

5

>5

2

, unde a ∈ R . Să se 2

determine parametrul a astfel încât funcţia să admită un extrem cu valoarea

a) a =

1 3

b) a = 0 şi a = 1

c) a = −

1

d) a = 1

e) a = 5

3

.

f) a = −2

3

AM - 058 Fie f : R → R , definită prin f ( x ) =

x 2 − ax 2

unde a ∈ R . Să se

x + 1 determine a pentru care funcţia f admite un punct punct de extrem situat la distanţa 2 de axa Oy.

a) a = −11, a = 12

b) a = −12, a = 11

c) a = −12, a = 12

d) a = −4, a = 3

e) a = 1, a = −2

f) a = 4, a = 7

⎧⎪ x 2 + x + 1, x ≤ 0 AM - 059 Fie f : : R → R , f ( x ) = ⎨ . Precizaţi care din ⎪⎩e x , x > 0 următoarele funcţii reprezintă o primitivă a funcţiei f :


70

⎧ x 3 x 2 + x , x ≤ 0 ⎪ + F1 ( x ) = ⎨ 3 2 ⎪e x , x > 0 ⎩

⎧ x 3 x 2 + x + c, x ≤ 0 ⎪ + F2 ( x ) = ⎨ 3 2 ⎪e x + c, x > 0 ⎩

⎧ x 3 x 2 + x , x ≤ 0 ⎪ + F3 ( x ) = ⎨ 3 2 ⎪e x − 1, x > 0 ⎩

⎧ x 3 x 2 + x , x ≤ 0 ⎪ + F4 ( x ) = ⎨ 3 2 ⎪e x + 1 , x > 0 ⎩

a) toate

b) nici una

c) F 1

d) F 2

e) F 3

f) F 4

AM - 060 Se consider ă funcţia f : : (0, 1) → R , f ( x ) =

x 3 + 3x 2 − 9 x − 27 x 2 − 2 x + 1

.

Să se găsească numerele reale m, n şi p astfel încât funcţia mx mx 3 + nx 2 + px

F : : (0,1) → R , F ( x ) =

a) m = 1, n =

9 2

, p = 27

1 9 d) m = − , n = , p = 27 2 2

să fie primitivă pentru f .

x − 1 b) m =

1

9 , n = − , p = 27 2 2

e) m = 1, n = 27 , p = 9

c) m =

1 2

,n=

9 2

, p = 27

f) m = 2, n = 3, p =

AM – 061 Calculaţ Calculaţi integrala nedefinită nedefinit ă x + 1 dx pentru orice x ∈ (a, b ) , unde 0 ∉ (a, b ) .

∫

x

1

a) 1 + ln x + C

b) x −

d) x + ln x + C

e) ln x + 1 + C

x 2

+ C

c) x +

Calculaţi integrala: AM – 062 Calculaţ 2

∫ 1

dx x e

x

.

f)

1 x 2

x + 1 x

+ C

+ C

1 2


a) e

−1

d) 2 e

−e −

2

−

2

−e

b) e −1

−

1

2

(e 2

e)

−e

−1

71

−1

−e

−

(

−1

−e

−

2

−e

c) 2 e 2

)

f) e

−

2

)

−1

AM – 063 Să se calculeze integrala:

∫

e x

ln 2

e 2 x + 2 1 b) arctg 2 0

a)

1 2

arctg

1 2

d) arctg 2

∫

AM – 064 Să se calculeze

−2

a) arcsin e − arcsin e −2

c)

e) arctg 2

−1

d) arcsin e

dx

2

− arcsin e

e x 1− e

2 x

b) arcsin e −1

e)

−1

1

AM – 065 Să se calculeze:

− arcsin e −2

∫ ( x

2

2 1 2

arctg 2

arctg 2

1 2

arctg2

dx .

( arcsin e 2

1

f)

1

−2

2

c) arcsin e − arcsin e −1

− arcsin e

)

)

f)

1

( arcsin e − arcsin e ) 2 2

x

− 2 x − 1 e dx .

0

a) e − 1

b) -3

c) 3(e − 1)

d) 3(1 − e )

e) 3e

func ţiei AM – 066 Să se calculeze primitivele funcţ

f : (1 , 2 ) ∪ (2, ∞ ) → R , f ( x ) = a) 2 ln

(

2

)

− 3 x + 2 + C

x 2 + 2

.

x 2 − 3 x + 2 x − 1 x − 2 b) ln c) ln + C + C x − 1 x − 2

f) − 3e


72

⎧ ( x − 2)2 ⎪ x + 3 ln ⎪ x − 1 d) ⎨ 2 ⎪ x + 3 ln ( x − 2) ⎪⎩ x − 1

x − 2 ⎧ + + C 1 x 2 ln ⎪⎪ ( x − 2 )2 x − 1 e) ⎨ f) x + ln 2 − x x − 1 ⎪ x + 2 ln + C 2 ⎪⎩ x − 1

+ C 1 + C 2

+ C

AM – 067 Să se determine mulţ mulţimea primitivelor urmă următoarei funcţ funcţii trigonometrice

f : (0, π ) → R , f ( x ) =

1 sin x

a) ln ctg x + C d) ln tg

x

b)

+ C

2

1

+ C

cos x

e) ln ctg

x 2

c) ln tg x + C

+ C

f)

1 ln(cos x )

+ C

⎛ π 3π ⎞ ∫ sinx sinx dx , unde x ∈ ⎜ − , ⎟ . + cosx ⎝ 4 4 ⎠

AM - 068 Să se calculeze I =

x

a) I = ln tg c) I = e) I =

1 2 1 2

2

+ C

b) I =

arctg x + C

d) I =

( ln sin x − cos x ) + arctg x + C

f) I =

1

(x 2 1 2 1 2

2

)

− ln sin x − cos x + C

( x − ln sin x + cos x ) + C

( x + ln sin x + cos x ) + C

AM - 069 Să se stabilească stabilească o relaţ relaţie de recurenţă recurenţă pentru pentru integralele: 1 / 2

I n , n ∈ N , n≥2, I n =

∫ 0

a) I n = −

c) I n =

3 2 3

2n

n

+ ( n − 1 )( I n − 2 − I n )

− ( n + 1 )( I n − I n −1 )

x n 1 − x

2

dx .

b) I n = −

3 2n

+ (n − 1) ( I n − I n − 2 )

d) I n = (n − 1) I n−1 + I n−2


e) I n =

3 2n

+ n( I n −1 − I n − 2 )

73

f) I n = ( n − 1)( I n−2 − I n )

AM – 070 Să se stabilească stabilească o relaţ relaţie de recurenţă recurenţă pentru pentru integralele I n , n ∈ N ,

I n =

∫

π

( sin x )

2 0

n

dx

n +1 I n − 2 , n ≥ 2; n n −1 I n − 2 , n ≥ 2; c) I n = n n −1 I n −1 , n ≥ 2; e) I n = 2

n −1 I n −1 , n ≥ 2 n n −1 I n − 2 , n ≥ 2 d) I n = 2 n +1 I n−2 , n ≥ 2 f) I n = 2

a) I n =

∫

că AM - 071 Ştiind că

b) I n =

5

P ( x )dx = −1 şi

1

5

∫ P( x)dx = 3 , săsă se calculeze 3

1

∫ [2 P(t ) + P(2t − 1)]dt . 3

a) 4

b) 9

c)

8 3

d)

19 2

e)

17

f) Nu are sens o astfel de integrală

2

AM - 072 Se consider ă funcţia f : [0,2] → R , f ( x ) =

1 − [ x ] 2 x − [ x ] + 1

.

2

∫

Să se calculeze integrala I = f ( x )dx 0

a) I =

d) I =

1 2 1 2

ln 3

b) I = 1 − ln 6

− ln 12

e) I =

1 4

c) I = 1 −

ln12 − 1

f) I =

1 4

1 4

ln12

ln12

2

AM – 073 Să se calculeze

∫ x dx. 3

−1

a) 4

b)

15 4

c) 3

d)

1 4

e)

17 4

f) 2


74

3

AM – 074 Să se calculeze:

) . ∫ ( x + 2 dx 0

a) 3

b)

10 3

AM – 075 Să se calculeze I =

a)

7

b)

5

20

c)

5

d)

3

e)

2

9

f) 6

2

⎛ x 32 + 1⎞ dx ⎟ ∫0 ⎜⎝ ⎠ 2

c) 5

2

21

d)

2

e)

5

3

f)

2

5 7

AM - 076 Fie funcţia f : [1,3] → R , f ( x ) = x . Să se determine c ∈ (1,3) astfel 2

3

∫ f ( x )dx = 2 f (c ) .

încât

1

a) c =

1

b) c = ±

3

13

c) c =

3

AM - 077 Să se calculeze

a) 1

b)

π

e

13 3

b) 5

1

d) ln 2

c) 10

AM - 079 Să se calculeze integrala: I =

a) I =

3 2

− 4 ln 2

3

e) c = ±

28

f) c = 2

3

ln x dx 2 x + 1)

AM - 078 Calculaţi valoarea integralei: I = =

a) 8

28

∫ x ( ln

c) e-1

4

d) c =

b) I = −

e) ln2

∫

2

1 2

π

2

2

∫ ( x − 1 + x + 1 ) dx . −2

d) 9 3

f)

e) 7

f) 18

x 2 − 2x + 5 dx . x − 1

− 4 ln 2

c) I = −

3 2

+ 4 ln 2


d) I =

3 2

+ 4 ln 2

e) I = −

AM - 080 Să se calculeze : I =

∫

1 2

+ 4 ln 2

f) I = 1 + 3 ln 2

dx

1 3

0

2

+ x +

.

+1

a) ln 2 + arctg2

b) ln 4 2 +

d) ln2

e)

AM - 081 Să se calculeze :

a) ln

3

b) ln

2

4032 3107

∫

dx

2 1

x ( x

c) ln

10

2100 103

d) I =2

(

5− 2

)

8

AM - 084 Să se se calculeze integrala :

a) 2 ( π + 1)

b) 2 ( π − 1)

e)

∫

0

1 10

ln

2048

f) ln

1025

140 343

x 5 dx ? − 9 x 8 + 1

∫

d) 0

∫

0

(

2− 5

e) –1 x+2

2

x 2 + 4 x + 8

f)

)

1 8

dx .

3− 2

c) I =

2

2

2

9

2− 5

e) e) I = 2

π

f) ln 3 2 + π

c) 1

b) I =

2

8

e d) ln 2

b) arctg 2

5− 2

c) ln 2 +

π

AM - 083 Să se calculeze valoarea integralei: I =

a) I =

π

.

+ 1)

AM - 082 Care este valoarea integralei :

a ) 2 ln (9 8 + 1)

75

f) I = 2

2

(

5+ 2 −2

4 − x 2 dx .

c) 2 π

d) π

e)

π

2

f) 3π

)


76

AM - 085 Să se calculeze :

a) 5

b) 2

∫

3

x

0

x + 3 − x

a) I = 1

3

c)

AM - 086 Să se calculeze: I =

b) I = =

2 3

dx .

d) 3

2

∫

xdx

1

−1

f) 1

2

.

1 − x + 1 + x

c) I = 0

5

e)

d) I = -1

π

e) I = =

f) I = −

2

π

2

π

2

definit ă AM - 087 Să se calculeze integrala definită

dx

∫ sin x

π

3

a)

1 3

ln 2

b)

1 2

ln 3

c) ln 4

d) 3ln2

Determinaţi valoarea integralei: I = AM - 088 Determinaţ

a)

1

b) 0

2

c) ln 2

d)

∫

sin 2 x

π 4

0

1 3

ln

e) 2ln3

4 cos 8 5

2

2

+ sin x

f) ln 8

dx .

e) 1

f)

1 2

ln

3 5

π

2

AM - 089 Să se calculeze I =

∫e

2x

sin 3 xdx .

0

a) I =

d) I =

1

(3 − 2e )

b) I =

1 ⎛ 1 ⎞ ⎜3 − e ⎟ 5 ⎝ 2 ⎠

e) I =

13

π

π

1 ⎛ 1 ⎞ ⎜ e − 3⎟ 13 ⎝ 2 ⎠ π

1 ⎛

1 ⎞ ⎜− 3 + e ⎟ 5 ⎝ 2 ⎠ π

c) I =

1 ⎛ 1 ⎞ ⎜3 + e ⎟ 5 ⎝ 2 ⎠

f) I =

1 ⎛ 1 ⎞ ⎜3 + e ⎟ 13 ⎝ 2 ⎠

π

π


AM - 090 Să se calculeze

a) 2

∫

π 2

max{sin x , co cos x}dx .

0

b) 0

3

c)

an

a) 2

c) 1

n

n→∞

b) 3

n →∞

a) 0

b) e

: R AM - 093 Fie F :

2

∫

n

2

d)

2

AM - 091 Să se calculeze lim

AM - 092 Să se calculeze lim

77

, dacă dacă a n =

∫

n

2

x −1 +1

1

d) –1

e) 1

f) -1

∗

dx pentru orice n ∈N . e) 5

f) 4

−

( x − 1)e x dx .

1

c) e - 1

, F ( x ) = R ,

∫

x 0

d)

1

e

e)

1

e

−1

f) 1

Determinaţi punctele de e t ln(1 − t + t 2 )dt . Determinaţ

extrem local ale funcţ funcţiei F . a) x1 = −1 d) x1 =

1

e

b) x1 = e

c) x1 = 0, x2 = 1

e) nu are puncte de extrem local

f) x1 = 2, x 2 = 5

AM - 094 Să se calculeze aria domeniului marginit de graficul funcţ func ţiei f ( x ) =

1 x + 1

cu axa Ox şi dreptele x=0, x=1. a) ln2

b)

1 2

c)

π

d) 1

e)

π

2

AM - 095 Să se calculeze aria figurii plane cuprinsă cuprins ă între parabola y = x dreapta x + y = 2.

a)

9 2

b) 3

c) 2

d)

8 3

e) 7

f) 2

şi

f) 8

π

3


78

AM - 096 Calculaţ Calculaţi aria domeniului mă mărginit de curbele : y = 2 x − x 2 şi y = − .

a) 13,5

b) 4,5

c) 13,2

d) 6,5

e) 2

1

f) 3,5

2

3

AM - 097 Fie f : : (-1,+ ∞ ) →R , definită definită prin f ( ( x x) = x ln (1+ x ). Care este aria por ţiunii plane cuprinsă cuprins ă între graficul funcţ func ţiei, dreptele x = 0 , x = 1 şi axa Ox ?

a) 0 d)

2 3

ln 2 −

1 3

b) ln 2

c) ln

e) 3 ln 2 − 1

f)

3 2

1 3

ln 2 +

1 3

AM - 098 Care este aria suprafeţ suprafeţei cuprinsă cuprinsă între parabolele de ecuaţ ecua ţii :

y 2 = x şi x 2 = 8 y ? a) 8

b)

16 3

c)

8 3

d) 1

e)

1 24

f)

1 4

AM – 099 Să se calculeze volumul corpului de rotaţ rota ţie determinat prin rotirea în jurul

axei Ox a subgraficului funcţ func ţiei f ( x ) = a) 64 π

b) 66 π

c) 20 π

8 x , x ∈ [0,4] . d) 24 π

e) 4 π

f) 8π

AM - 100 Să se calculeze volumul corpului de rotaţ rota ţie determinat prin rotirea în jurul

axei Ox a subgraficului funcţ func ţiei f ( x ) = a) 216 π

b) 200 π

c) 400 π

x 2 − 16 , x ∈ [4,10] . d) 20 π

e) 10 π

f) 60π

ANEXE Subiecte date la admitere în anii 2009 şi 2010, cu soluţii complete


80

AC + ETC UNIVERSITATEA „POLITEHNICA” DIN TIMIŞOARA SESIUNEA: IULIE, DATA 20.07.2009 PROBA: MATEMATICĂ

A

1. (8 p) Să se determine domeniul de continuitate al func ţiei

⎧⎪−3 x − 2, x ∈ [ −1, 0 ] f : [ −1,1] → [ −2, 2 ] , f ( x ) = ⎨ 2 ⎪⎩ x + 1, x ∈ ( 0,1] a)

[ −1,1] \ {0} ;

b)

[ −1,1] ;

c)

( −1,1) ;

d)

( −1,1) \ {0};

e)

( −1,1] \ {0 x

2. (9 p) Să se determine valorile parametrului real m pentru care ecua ţia e = mx are o singur ă r ădăcină reală.

.

2

2 ⎛ e2 ⎞ ⎛ e2 e2 ⎞ ⎛ e2 ⎞ e a) m∈( −∞, 0] ; b) m ∈ ⎜ 0, ⎟ ; c) m ∈⎜ , ⎟; d) m ∈ ⎜ , +∞⎟ ; e) m = . 4 ⎝ 4⎠ ⎝8 3⎠ ⎝4 ⎠

3. (10 p) Să se calculeze L

1 a) L = ; 5

=

lim

15 + 25 + 35 + ... + n5

n→∞

1 b) L = ; 6

n

6

c) L = 1;

.

1 d) L = ; 4

2 e) L = ; 3

4. (8 p) Să se calculeze volumul corpului determinat prin rotirea în jurul axei Ox a

subgraficului func ţiei f ( x ) = x 2 − 1, x ∈ [1, 2] . 2π 4π 8π π a) ; b) ; c) d) 2 3 3 3

e) 1.

5. (10 p) Se consider ă inelul ( R , ⊥, T ) , unde legile de compozi ţie se definesc prin x

⊥

y

x T y

= =

x + y−2 xy − 2 x − 2 y + 6

Determinaţi elementele neutre θ (faţă de ⊥) şi e (faţă de T ): a) θ = 1, e = 3; b) θ = 2, e = 1; c) θ = 1, e = 1; d) θ = 2, e = 3; e) θ = 0, e = 1; 6. (7 p)

Determinaţi mulţimea tuturor soluţiilor ecuaţiei: cos 4 x − sin 4 x = 1 .

Anexe

81

⎧ π ⎫ ⎧ π ⎫ a) x ∈ ⎨k k ∈ Z ⎬ ; b) x ∈ {kπ k ∈ Z} ; c) x ∈ ⎨k k ∈ Z ⎬ ; ⎩ 3 ⎭ ⎩ 2 ⎭ ⎧ π ⎫ ⎧ π ⎫ d) x ∈ ⎨k k ∈ Z ⎬ ; e) x ∈ ⎨k k ∈ Z ⎬ ; ⎩ 4 ⎭ ⎩ 6 ⎭ 7. (7 p)

8. (7 p)

Determinaţi coordonatele centrului şi raza cercului de ecuaţie 2 2 x + y − 2 x − 4 y = 0 . a) C (1, −2) , r = 6 ;

b) C ( −1, 2 ) , r = 3;

d) C (1, 2 ) , r = 5 ;

e) C ( −2, −2) , r = 3;

3 − x − 3 . x→12 x 2 − 144

Să se calculeze: lim

a) 12; 9. (9 p)

10. (8 p)

b)

1 ; 144

c)

−

1 ; 288

d)

1 288

e)

−

1 144

Să se afle cea mai mică valoare a funcţiei f : R → R , f ( x ) = x 2 − 2 x + m 2 , când parametrul real m parcurge toate valorile posibile. 1 1 a) −1; b) 0; c) 1; d) − ; e) − ; 2 8 Să se rezolve inecuaţia: log3 x a) x ∈ ( 0, ∞ ) d) x ∈ ( −2, 4 ) \ {0}

11. (9 p)

c) C ( −1, −1) , r = 5 ;

<1.

⎛ 1 1⎞ b) x ∈ ⎜ − , ⎟ \ {0} ⎝ 3 3⎠ e) x ∈ ( 3, ∞ )

c) x ∈ ( −3, 3) \ {0} ;

⎛1 1 ⎞ ⎛ 4 2⎞ ş B = Să se rezolve ecuaţia matricială AX = B , unde A = ⎜ i ⎟ ⎜ 2 4⎟ . ⎝1 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 8⎞ ⎛6 8 ⎞ ⎛ 6 8⎞ a) X = ⎜ ; b) X = ⎜ c) X = ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ −2 2 ⎠ ⎝ 2 −2 ⎠ ⎝ −2 2 ⎠


82

⎛ 6 0⎞ e) X = ⎜ ⎟ ⎝ −2 2 ⎠

⎛6 8⎞ d) X = ⎜ ⎟; ⎝0 2⎠

⎧2 x + 3 y + z = 8 ⎪ 12. (8 p) Să se rezolve sistemul ⎨ x + 2 y + 3z = 7 ⎪3 x + y + 2 z = 9 ⎩ a) x = 1, y = 2, z = 3 d) x = 1, y = 1, z = 4

b) x = 2, y = 1, z = 1 e) x = 1, y = 3, z = 2

c) x = 3, y = 2, z = 2

2009 SOLUŢII

lim f ( x ) = −2 = f ( 0) ; lim f ( x ) = 1 . 0

1.

x →0 x < 0

x → x > 0

Deci, f nu este continuă în punctul x = 0 . R ăspuns corect: a). A determina m real pentru ca ecuaţia să aibă o singur ă r ădăcină reală este echivalent cu a determina m ≠ 0 pentru ca ecuaţia

2.

x

e

2 −m = 0 x să aibă o singur ă r ădăcină reală. Utilizăm şirul lui Rolle. Dacă x

( x ) =

e

x

2

−m,

x f ( x )

'

atunci f ( x ) =

−∞

−m

x 2

x

e x −e x

4

2 e

2x

. Şirul lui Rolle este:

+∞

2

4

−m

+∞

Anexe

⎧− m < 0 ⎪ Se impune: ⎨ e2 ⎪ −m >0 ⎩4

83

⎛ e2 ⎞ m ∈ ⎜ 0, ⎟ ⎝ 4⎠

⇔

R ăspuns corect: b). 3. Utilizăm metoda sumelor Riemann: n

∑ k 5 L

=

lim

k =1

n

n →∞

6

⎛ k ⎞ = lim ∑ ⎜ ⎟ n →∞ n k =1 ⎝ n ⎠ 1

n

5

1

1 5

∫0 x dx = 6

=

R ăspuns corect: b). 4.

V

5.

x ⊥ θ

=π

∫1 ( f ( x ) ) dx = π ∫1 (

⎛ x 3 ⎞ 2 x − 1 dx = π ⎜ − x ⎟ ⎝ 3 ⎠

=θ ⊥

−2=

2

2

x

xTe = eTx = x

=

x

2

)

4π . 3 R ăspuns corect: c).

⇔ θ = 2;

⇔

x +θ

⇔

xe − 2 x − 2e + 6 = x

x

2 1 =

⇔

( e − 3) x − 2e + 6 = 0.

Această relaţie are loc pentru orice x ∈ R dacă ⎧e − 3 = 0 ⇔ e = 3. ⎨ ⎩−2e + 6 = 0 R ăspuns corect: d). 6.

Ecuaţia este echivalentă cu: ( cos 2 x − sin 2 x ) ( cos2 x + sin 2 x ) = 1 , adică: cos 2 x = 1 . Soluţia generală: 2 x = 2kπ , k ∈ Z R ăspuns corect: b).

7.

Ecuaţia cercului este: ( x − 1)

(

)

⇔ x − 1

2

+

( y − 2)

2

−5 =

2

−1+

( y − 2)

2

−4 =

0⇔

0. R ăspuns corect: d).


84

8.

Amplificăm cu conjugatul număr ătorului şi limita devine:

(3 −

) (3 + x − 3 ) = lim −1 12 12 ( x − 12 ) ( x + 12 ) (3 + x − 3 ) ( x + 12 ) ( 3 +

lim

x − 3

x →

x→

x −3

)

=−

1 144

R ăspuns corect: e). 9.

f ( x ) = ( x − 1)

2

2

+ m − 1 ≥ −1 .

R ăspuns corect: a). 10.

Se impune x log 3 x

<

>

0 ⇔ x ≠ 0 . Inecuaţia este echivalent ă cu:

log 33 ⇔ x

<

3 ⇔ x ∈ ( −3, 3) . R ăspuns corect. c).

11.

⎛ x y ⎞ Dacă X = ⎜ ⎟ , ecuaţia dată este echivalentă cu sistemul: z t ⎝ ⎠ x + z

=

x + 2 z

4,

=

2,

y + t = 2

⎛ 6 0⎞ ⎟. ⎝ −2 2 ⎠

y + 2t = 4 , deci X = ⎜


Determinantul sistemului este diferit de zero, deci sistemul este compatibil determinat. Rezolvând sistemul (Cramer, metoda substitu ţiei, etc.), se obţine: = 2, y = 1, z = 1 R ăspuns corect: b).

Anexe

85

AC + ETC UNIVERSITATEA „POLITEHNICA” DIN TIMIŞOARA SESIUNEA: IULIE, DATA 19.07.2010 PROBA: MATEMATICĂ

A

1. (7 p) Să se determine cea mai mic ă şi cea mai mare valoare a func ţiei 3

f : R → R , f ( x ) = 6 x − x , pe segmentul [-2, 3].

a) f min

=

2, f max

d) f min

= −2,

=

f max

4; =

b) f min

= −5,

f max

7; e) f min = −9, f max max

=

6;

=4

c) f min = −8, f max = 4 2; 2;

2. (9 p) Să se determine mul ţimea valorilor parametrului real a pentru care ecua ţia

x

3

2

− 3x + a =

0 are toate r ădăcinile reale şi distincte.

a) ( 0, 4 ) ;

c) [0,4 ] ;

b) ( −∞, 0 ) ;

3. (8 p) Fiind dat ă ecuaţia ax

2

+ bx + c =

d) [ 4, ∞ )

e) ( −4,0 4, 0 ) .

0 ( a ≠ 0 ) , cu r ădăcinile

1 şi x2 , să se

calculeze x12 + x22 . a)

b

2

− 2 ac

a

2

;

b)

b

2

− ac

a

2

;

4. (7 p) Să se rezolve ecua ţia z

a) 2 − i, 2 + i;

c) 2

=

b) 2 + i, − 2 − i;

b

2

− 4ac

a

2

2

;

d)

−b + 4ac

a

2

2

;

e)

−b + ac

a

2

;

3 + 4i . c) 2 + i, − 2 + i; d) 2 − i, − 2 + i; e) 1 + i, 2 + i;

5. (8 p) Să se afle coordonatele vârfurilor unui triunghi cunoscând mijloacele laturilor P ( 3, −1) , Q (1, 7 ) , R ( −4, 3 ) .

a) ( −1, −4 ) , (5, 2 ) , ( −3, 12 ) ; b) ( −2, 3 ) , ( 8, −5 ) , ( −6, 19 ) c) ( −2, −5 ) , (8, 3 ) , ( −6, 11 ) d) ( −2, −5 ) , ( 4, 19 ) , ( −12,13 ) e) ( 2, −3) , ( −10, 9 ) , (0, 17 ) 6. (8 p) Să se determine parametrul real a astfel încât func ţia f : R \ {1

→

R ,


86

⎧a ln ( 3 − x ) , dacă x < 1 ⎪ definită prin f ( x ) = ⎨ 2 x − 2 , să aibă limită în punctul , dacă x > 1 ⎪ ⎩ x − 1 a) 0;

b) 1;

c) 2;

d)

⎛ 1 ⎜ 2010 7. (10 p) Să se calculeze det ( A A ) , unde = ⎜ 2 ⎜ 3 ⎜− ⎝ 2 a) 2010;

b) – 2010;

1 ; 2

= 1.

e) ln 2 .

3⎞ ⎟ 2 ⎟. 1 ⎟ ⎟ 2 ⎠

c) 1;

d) -1;

e) 0.

⎧2 x + my + z = 0 ⎪ 8. (9 p) Pentru ce valori ale lui m sistemul ⎨2 x + 2 y − z = 0 ⎪2 x − y + z = 0 ⎩ admite şi soluţii diferite de soluţia banală? a) m = 0 ;

b) m ≠ 0 ;

9. (8 p) Să se calculeze integrala I

1 a) ln 2 − ; 2

1 b) ln 2 + ; 2

c) m = −1 ; =

2 1 + x

∫1

d) m ≠ −1 ;

e) m ∈ R .

1 2

e) 2ln2 −

2

dx .

x

3 c) ln 2 + ; 2

d) ln 2 +

1 2

10. (10 p) Să se calculeze volumul corpului ob ţinut prin rotirea subgraficului func ţiei f : [ 0, 1] → R , f ( x ) = 4 x (1 − x) , în jurul axei Ox.

a)

π

2

2

;

b)

π

2

4

c)

π

2

8

d) π

e) π 2 2

Anexe

87

11. (8 p) Pe R se se defineşte legea de compozi ţie „*” prin x ∗ y

=

axy − x − y + 2 , unde

a ∈ R . Pentru ce valori ale lui a legea considerată admite element neutru?

a) a = −1 ;

b) a =

1 ; 2

c) a = 0 ;

12. (8 p) Care sunt soluţiile ecuaţiei sin x ⋅ cos x

a)

⎧ π π ⎫ c) ⎨ , ⎬ ; ⎩4 2⎭

⎧ π 5π ⎫ b) ⎨ , ⎬ ; ⎩4 4 ⎭

∅;

=

d) a = 1 ;

e) a = −

1 2

1 din intervalul [0, 2π ] ? 2

⎧ π 5π ⎫ d) ⎨ , ⎬ ; ⎩2 4 ⎭

⎧ π π ⎫ e) ⎨ , ⎬ ⎩4 3⎭

2010 SOLUŢII 1.

Tabelul de variaţie al func ţiei este −2

x f '

− −4

F

f ' ( x ) = 6 − 3 x x1

=−

f min

=

0

0

+

−4

Max

6 − 3 x 2

2

−

2 0

3 −

2

4 2

−9

Min

Max

Min

2

0

2

x2

= −9

=

f max

2 =

4 2 R ăspuns corect e).

2.

Construim Şirul lui Rolle pentru f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + a f ' ( x ) = 3 x

3

− 6x =

0

x1

=

0 x2

=

2


88

0

−∞

lim f ( x )

2

f ( 0 ) = a

x →−∞

f ( 2 ) = a − 4

+

−

∞

lim f ( x )

x →∞

+

−

Pentru ca toate r ădăcinile să fie reale şi distincte trebuie ⎧a > 0 ⎪⎧ f ( 0 ) > 0 ca ⎨ sau ⎨ deci a ∈ ( 0, 4 ) ⎩a − 4 < 0 ⎪⎩ f ( 2 ) < 0


Relaţiile lui Vieta pentru ecuaţia de gradul II sunt

b ⎧ x + x = − ⎪⎪ 1 2 a ⎨ ⎪ x x = c ⎪⎩ 1 2 a

2 x1 +

⎛ b⎞ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = ⎜ − ⎟ ⎝ a⎠ 2

2 x2 =

2

−2

c

=

a

b

2

− 2ac 2

a


Căutăm Z = x + iy . Avem ( x

x

t

2

−

2

−

2

y

2

+ iy

)

2

=

2

+ 2 xyi =

⎧ x − y ⎨ ⎩ xy = 2

3 + 4i ;

4 x

3 + 4i sau echivalent

4 2 2 = 3 sau x − 3 x − 4 = 0

− 3t − 4 =

0

Revenind y1 =

2 x1

= −1 (nu

t 2

= −4

În final z1 = 2 + i şi z 2

y2

=

=

3

⇔

convine) x

2 x2

⎧ x 2 − y 2 = 3 ⎪ . ⎨ 2 y = ⎪ x ⎩

Notăm t = x 2

t 1

=1

2

2

=

4

2

x1

=

x2

= −2

= −1

= −2 − i

R ăspuns corect: b).

Anexe

89

Căutăm vârfurile triunghiului ABC de forma A ( x1 , y1 ) : B ( x2 , y2 )

5.

C ( x3 , y3 ) . Avem

A

B

x2

Q

R P

+ x3

2 C

y2

+ y3

2

⎧ x1 + x2 = −8 ⎪ ⎨ x2 + x3 = 6 şi ⎪ x + x = 2 ⎩1 3

=

3;

= −1;

x1 + x2

2

= −4;

y1 + y2

2

=

3;

x1 + x3

2

= 1;

y1 + y3

2

=

7;

⎧ y1 + y2 = 6 ⎪ ⎨ y2 + y3 = −2 ⎪ y + y = 14 ⎩ 1 3

Pentru rezolvarea sistemelor, adunăm ecuaţiile fiecărui sistem şi obţinem x1 + x2 + x3 = 0 şi y1 + y2 + y3 = 9 . Scădem apoi din aceste ecuaţii pe rând fiecare acuaţie a sistemului. Obţinem x1 = −6, x2 = −2, x3 = 8 , respectiv y1 = 11, y2 = −5, x3 = 3 . Aşadar A ( −6,11) , B ( −2, −5 ) , C (8, 3) R ăspuns corect: c). 6.

l s = lim a ln ( 3 − x ) = a ln 2 x →1 z <1

2 x − 2 l d = lim x →1 x − 1 x >1

l ' H

=

lim 2 x ln 2 = 2 ln 2 x→1 x>0

Pentru a exista limita trebuie ca l s Rezultă a = 2 .

= l d adică

a ln ln 2 = 2 ln 2

R ăspuns corect: c). 7.

1 3 +i 2 2 2010 2010 În baza acestui izomorfism avem corespondenţa A ↔Z Forma trigonometrică a lui z , este z = ρ ( cosϕ + isinϕ ) Matrici A i se asociază numărul complex z =


90

1 3 + 4 4

ρ =

=1

tg ϕ ϕ = 3

π

ϕ =

3

z

=

co cos

π

3

+ i sin

π

3

.

⎛π ⎞ ⎛ π ⎞ cos ⎜ ⋅ 2010 ⎟ + i sin ⎜ ⋅ 2010 ⎟ = cos 2π + i sin 2π = 1 + i0 ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎛1 0⎞ Deci A2010 = ⎜ det ⎣⎡ A2010 ⎦⎤ = 1 ⎟ ⎝0 1⎠ R ăspuns corect: c).

Z

8.

2010

=

Trebuie ca determinantul sistemului s ă fie nul 2 m 1 2 2 −1 = 0 −4 m − 4 = 0, m = −1 2 −1 1 R ăspuns corect: c). 2

9.

∫ 1

1 + x 2 x

V

dx =

1

=π

2

2

∫ x dx + ∫ xdx = ln x 1 + 1

1

10.

2

1

x 2 2

2

=

1

ln 2 + 2 −

0

sin t cos tdt dx = 2 si

π

2

=π

∫

2

sin 2 t 1 − sin 2 t ⋅ 2 sin t cos tdt = 2π ∫ sin t ⋅ cos t sin t ⋅ cos td t dt =

(

)

π

2

2

0

=

=

π

π

2

dt − ∫ 4∫ 4 0

π

1 sin 2 2t ∫ 40

2π ∫ sin 2 t cos 2 tdt = 2π ⋅ π

0

π cos4tdt =

0

π

2

π

0

π

3 2 R ăspuns corect: a).

ln 2 +

∫ f ( x )dx = π ∫ x (1 − x )dx

Efectuăm schimbarea de variabile x = sin 2 t

=

=

1

2

0

V

1 2

2

8

−

sin4t 4 4

π

π 2 1 − cos 4t dt

2 ∫0

π

2 = 0

2

π

2

8 R ăspuns corect. c).

Anexe 11.

91

Trebuie să existe e ∈ R astfel ca x ∗ e = x, ∀x ∈ R sau echivalent axe − x − e + 2 = x, ∀x ∈ R . În final identitatea ( ae − 2 ) x − e + 2 = 0, ∀x ∈ R implică e = 2 şi ae − 2 = 0 Deci a = 1 R ăspuns corect: d).

12.

Ecuaţia este echivalentă cu 2 sin x cos x = 1 sau sin 2 x = 1 cu soluţia generală 2 x = 2k π +

⎧ ⎩

x ∈ ⎨k π

+

π

2

sau

π⎫

⎧ π 5π ⎫ ⎬ I [ 0, 2π ] = ⎨ , ⎬ 4 ⎭k ∈Z ⎩4 4 ⎭ R ăspuns corect: b).

ARHITECTUR Ă UNIVERSITATEA „POLITEHNICA” DIN TIMIŞOARA SESIUNEA: IULIE, DATA 20.07.2009 PROBA 1: MATEMATICĂ

A

⎛1 1 ⎞ ⎛ 4 2 ⎞ i B ş = ⎟ ⎜ 2 4 ⎟ . Să se determine matricea X astfel ca ⎝1 2 ⎠ ⎝ ⎠ AX=B.

1. (8 p) Fie A

⎛6 a) X = ⎜ ⎝ −2 ⎛7 d) X = ⎜ ⎝ −3

=⎜

0⎞ ; 2 ⎟⎠ 0⎞ ; 2 ⎟⎠

⎛1 b) X = ⎜ ⎝ −2 ⎛2 e) X = ⎜ ⎝ −1

0⎞ ; 2 ⎟⎠

⎛1 1 ⎞ c) X = ⎜ ⎟; ⎝1 2 ⎠

1⎞ 2 ⎟⎠

⎛ 1 2 ⎞ . Să se calculeze A 2009 . ⎟ ⎝0 1⎠ ⎛ 1 22009 ⎞ ⎛ 1 20092 ⎞ ⎛ 1 2009 ⎞ ⎛ 1 4018 ⎞ ⎛ 1 2010 ⎞ a) ⎜ ; b) ; c) ; d) ; e) ⎜0 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎟ ⎜0 1 ⎟ ⎜0 1 ⎟ 1 ⎠ 1 ⎠ ⎝0 1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝

2. (9 p) Fie A

=⎜


92

⎛1 1 1⎞ 3. (8 p) Se dă matricea ⎜ −1 3 −3 ⎟ . Să se determine parametrul real a pentru care ⎜⎜ ⎟⎟ 2 0 a ⎝ ⎠ rangul matricei este egal cu 2. a) a = −2;

b) a = −1;

c) a = 1;

d) a = 2;

e) a = 3.

4 − x 1 4 2 − x 2 4. (10 p) Care sunt solu ţiile ecuaţiei 1 3 5 2 − x

=

0?

a) x1 = − 3, x2

=

6;

7;

b) x1 = − 2 , x2

=

2 , x3

c) x1 = − 2 , x2 = 2 , x3 = 8; e) x1 = 6, x2 = 7, x3 = 8.

d) x1 = − 3 , x2

=

3 , x3 = 8;

=

3 , x3

=

⎧2 x + 3 y + z = 8 ⎪ 5. (7 p) Să se rezolve sistemul ⎨ x + 2 y + 3 z = 7 . ⎪3 x + y + 2 z = 9 ⎩ a) x = 1, y = 2, z = 3; d) x = 1, y = 1, z = 4;

b) x = 2, y = 1, z = 1; e) x = 1, y = 3, z = 2.

c) x = 3, y = 2, z = 2;

3 − x − 3 . x →12 x 2 − 144

6. (8 p) Să se calculeze: lim

a)

−

1 ; 144

b)

−

1 ; 56

c)

−

1 ; 72

d)

1 ; 72

7. (8 p) Se consider ă funcţia f : ( −∞, 0] U [ 6, +∞ ) → R , f ( x ) =

e) −4 .

x

2

− 6x

.

Să se determine asimtotele la graficul lui f . a) y = x − 6 şi y = − x + 6 ; d) y = x − 6

b) y = x − 3 ; e) y = x − 3 şi y = − x + 3 .

c) y = − x + 3 ;

Anexe

93

⎧⎪−3 x − 2, x ∈ [ −1, 0] , 8. (7 p) Fiind dată funcţia f : [ −1, 1] → [ −2, 2 ] , f ( x ) = ⎨ 2 1 , 0 , 1 x + x ∈ ( ] ⎩⎪ Să se precizeze mul ţimea punctelor sale de continuitate. a) ( −1, 0 ) U ( 0, 1) ;

b) [ −1,1] ;

c)

[−1,1] \ {0

d) {0

e) R \ {0

9. (9 p) Pentru ce valori ale parametrilor reali a şi b funcţia f : ( 0, +∞ ) → R, f ( x )

=

a) a = 1, b = −2 ; d) a = 0, b = 1 ;

⎧⎪ln x, x ∈ ( 0, 1] este derivabilă pe ( 0, +∞ ) ? ⎨ 2 +∞ ) ⎪⎩ax + bx + 1, x ∈ (1, +∞

b) a = 0, b = −1 ; e) a = 1, b = −1 . 2

10. (10 p) Fie f : R \ {0} → R , f ( x )

=

c) a = 2, b = −3 ;

− ax + b

x

, unde a, b ∈ R .

Să se determine a şi b, ştiind că graficul lui f este tangent dreptei y = −3 în punctul = 1 . a) a = 6, b = 2 ; d) a = 5, b = 1 ;

b) a = 1, b = −3 ; e) a = 3, b = −1 .

c) a = 2, b = −2 ;

11. (8 p) Să se determine mul ţimea punctelor de extrem local ale func ţiei f : ( −∞, −1] → R , definită prin f ( x ) = x

a) {−2;0;2 ; b) {−2}

4

c) {−2; −1} ;

2

− 8x + 4 .

d) {−2;2 2; 2} ;

e) {0; 2} .

12. (8 p) Să se determine valorile parametrului real m pentru care ecua ţia x

3

− 3x + m + 1 =

0 are toate r ădăcinile reale şi distincte.

a) m ∈ [ −3,1] ;

b) m ∈ ( −∞, − 3) U (1, ∞ ) ;

d) m ∈ ( −1, 3) ;

e) m ∈ ( −3,1) .

c) m ∈ {−3,1 ;


94

2009 – ARHITECTUR Ă SOLUŢII 1.

Dacă ⎛ y ⎞ X=⎜ ⎟, ⎝ z t ⎠ ecuaţia dată este echivalent ă cu sistemul: x + z = 4, y + t = 2 x + 2 z

=

2,

⎛ 6 0⎞ deci X = ⎜ ⎟, ⎝ −2 2 ⎠

y + 2t = 4,

R ăspuns corect a).

⎛1 4⎞ ⎛1 6⎞ , A3 = ⎜ ⎟ ⎟. 0 1 0 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 an ⎞ n +1 n ⎛ 1 2 + an ⎞ ă Presupunem: A n = ⎜ . Rezult : A A A . = ⋅ =⎜ ⎟ 1 ⎟⎠ ⎝0 1 ⎠ ⎝0 ⎛ 1 an+1 ⎞ Deci A n+1 = ⎜ ⎟ , cu an+1 = an + 2 . Şirul ( an ) este o progresie ⎝0 1 ⎠ aritmetică cu raţia 2 şi primul termen a1 = 2 . Deci, a2009 = 2 + 2 ⋅ 2008 = 4018 . R ăspuns corect: b). 2.

A2

3.

Avem măcar un determinant de ordinul 2 diferit de zero: 1 1 = 3 +1 ≠ 0 . −1 3 Pentru ca rangul matricii s ă fie chiar 2, trebuie ca determinantul de ordinul trei să fie zero:

=⎜

1 1 −1 3 2 0 ⇔

1 −3 a

=

0⇔

1 −1 2

0 0 4 −2 −2 a − 2

=

0⇔

4 ( a − 2 ) − 4 = 0 ⇔ a = 3. R ăspuns corect: e).

Anexe

4.

95

Adunând toate liniile la prima, ecua ţia dată este echivalentă cu: 8 − x 8 − x 8 − x 1 1 1 1 2 − x 2 = 0 ⇔ (8 − x ) 1 2 − x 2 =0 ⇔ 3 5 2 − x 3 5 2−x 1 0 ⇔ ( 8 − x ) 1 1 − x 3 2

0 1 −1 − x

=

0 ⇔ (8 − x ) ( −1 + x 2 − 2 ) = 0 . R ăspuns corect: d).

5.

Determinantul sistemului este diferit de zero, deci avem solu ţie unică. Rezolvând sistemul (Cramer, metoda substitu ţiei, etc.), se obţine: x = 2, y = 1, z = 1 . R ăspuns corect: b).

6.

Amplificăm cu conjugatul num ăr ătorului şi limita devine: ( 3 − x − 3 ) (3 + x − 3 ) = lim −1 lim x→12 ( x − 12 ) ( x + 12 ) ( 3 + x − 3 ) x→12 ( x + 12 ) (3 + x − 3 )

=−

1 . 144


La

+∞ :

f ( x )

m = lim

x→+∞

x

=

lim

x →∞

x

2

− 6x

x →∞

(

lim

2

x→∞

x

n = lim ( f ( x ) − mx ) = lim x→∞

=

x

x

2

− bx

x

)

− 6x − x =

deci la +∞ asimptota este: y = x − 3 . La −∞ 2 f ( x ) x − 6 x = lim = − lim m = lim x→−∞

n = lim

x→−∞

x

x→−∞

( f ( x ) − mx ) = xlim

→−∞

(

x

2

− 6x +

x →∞

x

x

2

=

x

− 6x

x

)

−6 x

lim

x→−∞

x

= 1;

2

2

lim

x→−∞

2

− 6x +

= −3

x

= −1 ; −6 x

2

− 6 x −

=

x


96

lim

−6 x

= 3, ⎛ 6 ⎞ − x ⎜ 1 − + 1⎟ x ⎝ ⎠ deci la −∞ asimptota este: y = − x + 3 . =

x →−∞


lim f ( x ) = −2 = f ( 0 ) ; lim f ( x ) = 1. Deci, f

x →0 x < 0

x→ 0 x >0

nu este continuă în punctul x = 0 . R ăspuns corect: c). 9.

Funcţia este continuă în punctul = 1 dacă: ln 1 = a + b + 1 ⇔ a + b + 1 = 0 . Funcţia devine: ⎧⎪ln x , x ∈ ( 0, 1] , f ( x ) = ⎨ 2 + − − + ∈ ∞ 1 1 , 1 , x ( ) ⎪⎩ax ( a ) x

şi

⎧1 ⎪ , x ∈ ( 0,1) f ' ( x ) = ⎨ x ⎪2ax − a − 1, x ∈ (1, ∞ ) . ⎩ Pentru ca f să fie deci derivabilă în x = 1 trebuie ca: 1 = 2a − a − 1 ⇔ a = 2 . Atunci, b = −2 − 1 = −3 . R ăspuns corect: c). 10.

Trebuie ca: f (1) = −3 şi f ' (1) = 0 . Rezultă:

1 − a + b = −3,

f ' ( x) =

(2

−a

) x − ( x 2 − ax + b ) x

2

,

f ' (1) = ( 2 − a ) − (1 − a + b ) = 1 − b = 0 . Deci, b = 1, a = 5 .

R ăspuns corect: d).

Anexe

f ' ( x ) = 4 x

11.

3

− 16 16 x =

f ' ( x )

−

4 x ( x 2 − 4) . Tabelul de variaţie: −2

−∞

x

97

−

−

0 + f ( −2 )

f ( x )

−1

+

+ f ( −1)

Deci, x = −2 este punct de minim şi x = −1 punct de maxim R ăspuns corect: c). Aplicăm şirul lui Rolle. Dacă f ( x ) este membrul stâng al ecuaţiei, avem:

12.

f ' ( x ) = 3 x

2

−3=

3 ( x 2 − 1) .

Şirul lui Rolle:

−1

−∞

x f ( x )

3+ m

−

Trebuie ca ⎧3 + m > 0 ⎨ ⎩−1 + m < 0

⇔

1

+∞

−1 + m

+

m ∈ ( −3,1) .

R ăspuns corect: e). ARHITECTUR Ă UNIVERSITATEA „POLITEHNICA” DIN TIMIŞOARA SESIUNEA: IULIE, DATA 19.07.2010 PROBA 1: MATEMATICĂ

1. (7 p)

Se consider ă funcţia f : R → R , f ( x ) =

ax + a − 2 x

2

+1

A

, unde a este un

parametru real. Să se determine a astfel încât funcţia să aibă punctul extrem x = −1 . a) a = 1 b) a = 2 c) a = 3 d) a = 4 e) a = 5 . 2. (10 p) Să se determine mulţimea valorilor parametrului real a pentru care ecuaţia


98

x

3

2

− 3x + a =

a) ( 4; ∞ )

0 are toate r ădăcinile reale şi distincte. b) ( −1; 0 )

c) ( −∞; 0)

e) ( 0; 4) .

d) ( −4;0 4; 0 )

2 x 2 − x + 1 . Să se determine asimptotele lui f . 3. (8 p) Fie f : R \ {-2;1} → R , f ( x ) = 2 x + x − 2 a) x = −2, x = 1, y = 2 d) x = 2, x = 1, y = 3

b) = 2, x = −1, y = 1 c) x = −2, 2, x = 1, y = 1 e) x = −2, x = 1, y = −2

⎧e x−1 , x ∈ [ 0;1] ⎪⎪ , 4. (10 p) Se consider ă funcţia f : [ 0, 2] → R , f ( x ) = ⎨ sin x 2 − 1 ⎪− a ⋅ , x ∈ (1, 2] ⎩⎪ x 2 − 7 x + 6 unde a ∈ R . 0; 2] . Să se găsească valoarea lui a pentru care funcţia f este este continuă pe [0;2

(

a) a = 0

b) a = 1

c) a =

5 2

d) a = 3

)

e) a = 4 .

⎛1 1 0⎞ 3 5. (8 p) Fie matricea A = ⎜ 0 1 1 ⎟ . Să se calculeze A . ⎜⎜ ⎟⎟ 0 0 1 ⎝ ⎠ ⎛1 1 0⎞ a) A = ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 0 0 1 ⎝ ⎠

⎛1 2 b) A = ⎜ 0 1 ⎜⎜ ⎝0 0

⎛1 9 9⎞ d) A3 = ⎜ 0 1 9 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 0 0 1 ⎝ ⎠

⎛ 1 9 26 ⎞ e) A3 = ⎜ 0 1 9 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 0 0 1 ⎝ ⎠

3

3

6. (8 p) Se consider ă funcţia f : R

∗

→

R ,

−1⎞

2 1

⎟ ⎟⎟ ⎠

f ( x) = x +

⎛ 1 3 3⎞ c) A = ⎜ 0 1 3 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 0 0 1 ⎝ ⎠ 3

4 x

. Să se calculeze f ' (1) .

Anexe

a) 0

b) 1

c) 2

d) -3

e) 6.

Fie f : ( 0, ∞ ) → R , f ( x ) = x . Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul = 1.

7. (9 p)

a) y =

1 x 2

1 x +1 2 1 1 e) y = x + . 2 2 b) y =

d) y = x

8. (8 p)

99

c) y =

1 1 x− 2 2

⎛ −5 3 ⎞ ⎛1 0⎞ ş = Se dau matricele A = ⎜ i B ⎟ ⎜ 2 1 ⎟ . Să se calculeze matricea ⎝ 4 6⎠ ⎝ ⎠ X = 2 A − 3B . ⎛ −13 6 ⎞ a) X = ⎜ ⎟ ⎝ 2 9⎠ ⎛6 9 ⎞ d) X = ⎜ ⎟ ⎝ 2 13 ⎠

⎛ 2 b) X = ⎜ ⎝0 ⎛5 e) X = ⎜ ⎝0

7⎞ 5 ⎟⎠

⎛ 1 13 ⎞ c) X = ⎜ ⎟ ⎝12 1 ⎠

7⎞ 9 ⎟⎠

⎧3 x + y − z = 4 ⎪ 9. (8 p) Să se rezolve sistemul ⎨ x − 2 y + z = 0 . ⎪2 x + y + z = 1 ⎩ a) x = 0, y = 1, z = 2 b) x = 1, y = 2, z = 3 d) x = 1, y = 0, z = −1 e) x = 2, 2, y = 1, z = 3 .

c) x = −1, y = −1, z = −8

1

10. (7 p)

Fie f : ( 0, +∞ ) → R , f ( x ) = ⎡⎣1 + ln (1 + x )⎤⎦ . Să se determine lim f ( x ) . x

x→0

a) e2 11. (9 p)

b) e

c)

∞

d) 0

e)

Să se determine valoarea parametrului real a pentru care matricea

1 e


100

⎛1 0 1 ⎞ 2⎟ A = ⎜ a 1 ⎜⎜ ⎟⎟ − 2 − 1 a ⎝ ⎠ are rangul 2. a) a = 5

b) a = 4

c) a = 3

Să se calculeze determinantul

12. (8 p)

a)

Δ=

0

b)

Δ=

Δ =5

c)

d) a = 2

1 −2 −1

−2

4 2

Δ = 10

e) a = 1 .

−1

2 . 1 d)

Δ = −6

e)

Δ = −7 .

2010 – ARHITECTUR Ă SOLUŢII 2

1.

Calculăm f ' ( x ) =

− ax +

( 4 − 2a ) x + a

( x

2

)

+1

2

Echivalent − a + 2a − 4 + a = 0 2.

. Trebuie ca f ' ( −1) = 0 sau

a = 2

Construim Şirul lui Rolle pentru f ( x ) = x f ' ( x ) = 3 x −∞

lim f ( x )

x →−∞

−

2

− 6x =

0

0

(0) = a +

x1

=

0 x2

=

3

− 3x + a

2

2 f ( 2 ) = a − 4 −

R ăspuns corect c). 2

+∞

lim f ( x )

x →∞

+

⎧⎪ f ( 0 ) > 0 ⎧a > 0 Condiţia este ca ⎨ sau ⎨ deci a ∈ ( 0, 4 ) 4 0 a − < 2 0 f < ( ) ⎩ ⎩⎪ R ăspuns corect: e). 3.

Asimptotele verticale sunt r ădăcinile polinomului x 2 + x − 2 = 0

Anexe

= 1,

x1

x2

101

lim f ( x ) = ±∞ şi lim f ( x ) = ±∞

= −2

x→1

x→−2

Asimptota orizontal ă este y = 2; lim f ( x ) = 2 x →∞


Pentru a fi continu ă în punctul l s

=

= 1 trebuie

să avem l s

= ld =

f (1)

lim e x 1 = 1 ; −

x →1 x <1

sin ( x 2 − 1)

ld = lim − a 2 x →1 x x >1

2a =1 5

a

− 7x + 6

=

( ) lxim1

= −a

2 x cos ( x 2 − 1)

→

x >1

2x − 7

=

2a 5

5 2 R ăspuns corect: c).

5.

⎛ 1 1 0 ⎞ ⎛1 1 0 ⎞ ⎛ 1 2 1 ⎞ A = ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 1 ⎟ = ⎜ 0 1 2 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 0 0 1 0 0 1 0 0 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

⎛ 1 2 1 ⎞ ⎛ 1 1 0 ⎞ ⎛1 3 3 ⎞ 3 2 A = A A = ⎜ 0 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 1 ⎟ = ⎜ 0 1 3 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 0 0 1 0 0 1 0 0 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 6.

4

f ' ( x ) = 1 − 2 ; x

f ' (1)

R ăspuns corect: c).

= 1 − 4 = −3

R ăspuns corect: d). 7.

y − f (1) = f ' (1) ( x − 1) ; y − 1 =

1 ( x − 1) 2

y

=

x

2

+

f ' (x) =

1 2 x

;

f (1 ) = 1;

f ' (1 ) =

1 2

1 2 R ăspuns corect: e).


102

⎛ −5 3 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ −13 6 ⎞ ⎟ − 3⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 4 6 ⎠ ⎝ 2 1⎠ ⎝ 2 9 ⎠

X = 2 ⎜

8.

R ăspuns corect: a). 9. Δ=

Aplicăm Regula lui Cramer 3 1 −1 1 −2 1 = −13 Δ x 2 1 1

Δ z =

3 1 2

1 4 −2 0 1 1

= 13;

x =

Δ x Δ

=

4 0 1

=1;

1 −2 1

y

−1

Δ y

=

Δ

1 1

= −13;

=

0 ; z =

Δ y =

Δ z Δ

3 4 1 0 2 1

−1

1 1

=

0

= −1

R ăspuns corect: d). 1

10.

lim f ( x ) = lim ⎡⎣1 + ln ( 1 + x ) ⎤⎦ x x →0

x →0

lim

=e

1+ ln (1 + x ) x

l ' H

1 1

x →0 + x

=e

lim

x →0

=

e

R ăspuns corect. b). 11.

Δ =

1

0 1 1 2

= −1 ≠

1

trebuie ca

0 Deci rangul este cel puţin 2. Pentru ca rang ( A ) = 2

0 a 1 a −2

1 2 −1

=

0 sau

−3a + 3 =

0 sau a = 1 . R ăspuns corect: e).

12.

Δ=

4 + 4 + 4 − 4 − 4− 4 = 0 R ăspuns corect: a).

103 BIBLIOGRAFIE

[1] Manuale alternative aprobate de Ministerul Educaţiei şi Cercetării pentru clasele

a IX-a, a X-a, a XI-a şi a XII-a. [2] T. Bânzaru, N. Boja, O. Lipovan ş.a., Teste grilă de matematică pentru examenul

de bacalaureat şi admiterea în înv ăţământul superior, Editura Politehnica, Timişoara, 2010.

Culegere de Probleme Timisoara!

Recommend Documents