6.1 VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO También llamadas VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE UNA PARTÍCULA, Consideremos una partícula de masa sujeta a un resorte ideal de rigidez k tal como se muestra en la figura siguiente figura. Si el movimiento descrito por m es vertical, la vibración es de un solo grado de libertad. Cuando m está en equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre ella son el peso, W = mg y la fuerza elástica Fe =kδ st . Si se aplica las ecuaciones de equilibrio al DCL, se tiene Fx 0 mg kst 0
Del diagrama de cuerpo libre y cinético se observa que la ecuación de movimiento de la masa es Fx max mg−k δ st + x m x Vibración libre amortiguada En todos los movimientos oscilantes reales, se disipa energía mecánica debido a algún tipo de fricción o rozamiento, de forma que dejado libremente a sí mismo un muelle o péndulo finalmente deja de oscilar. Este movimiento se denomina amortiguado y se caracteriza porque tanto la amplitud como la energía mecánica se disminuyen con el tiempo. La ecuación diferencial que describe el movimiento es: m x ´ ´ + c x ´ +kx=f (t) La solución de esta ecuación del movimiento nos permite obtener el desplazamiento en función del tiempo: −
X ( t )=x m∗e
(2cm ) t sen
( wd∗t+ δ )
Dónde: Wd= es la frecuencia angular de la vibración amortiguada. C= es el coeficiente de amortiguamiento. Y como se dijo anteriormente existe un valor C llamado coeficiente de amortiguamiento crítico (Cc), el cual se obtiene de la siguiente formula: C c =2m ωn Dónde: Wn= es la frecuencia natural del sistema sin rozamiento. La constante (cc/c) se conoce como factor de amortiguamiento. En grafico siguiente se representa una típica grafica de movimiento amortiguado débil y se observa que aun cuando la amplitud es decreciente, el período de la vibración se mantiene constante. La vibración libre ocurre cuando el movimiento se mantiene por fuerzas gravitacionales o de restauración elástica. La amplitud es el desplazamiento máximo del cuerpo, el periodo es el tiempo requerido para completar un ciclo. La frecuencia es el número de ciclos por unidad de tiempo, donde 1Hz=1ciclo/s
6.2 VIBRACIONES CON AMORTIGUAMIENTO En análisis vibratorio considerado hasta ahora no ha incluido el efecto de la fricción o el amortiguamiento del sistema y como resultado de ello, las soluciones obtenidas son solo una aproximación cercana al movimiento real. Debido a que todas las vibraciones se disipan con el tiempo, la presencia de fuerzas amortiguadoras debe incluirse en el análisis. Se dice que un sistema tiene amortiguamiento cuando posee elementos que disipan energía. Existen varios tipos de amortiguamiento: amortiguamiento viscoso, lo experimentan los cuerpos que se mueven con una velocidad moderada en el interior de fluidos; amortiguamiento de Coulomb, producido por el movimiento relativo de superficies secas; y el amortiguamiento estructural, es producido por la fricción interna del material elástico. En esta sección nos dedicaremos únicamente al estudio del amortiguamiento viscoso. Amortiguador viscoso lineal. Este tipo de amortiguamiento se presenta en forma natural cuando sistemas mecánicos oscilan en el interior de un medio fluido. También aparece en sistemas mecánicos utilizados para regular la vibración. Una forma de representarlo es la mostrada en la figura 2.7. Este tipo de amortiguador está
formado por un pistón el cual se mueve en el interior de un cilindro el cual contiene un fluido viscoso como el aceite. Al moverse el émbolo se opone el fluido el cual debe atravesar pequeños orificios practicados en el émbolo.
Vibraciones libres con amortiguamiento viscoso. Para determinar las ecuaciones que gobiernan a este movimiento consideremos un sistema masa, resorte y amortiguador como el mostrado en la siguiente figura:
Vibración Libre no-amortiguada. En este caso se estudiara simple de una vibración libre, de tal modo que una ecuación matemática denotara su comportamiento. A la ecuación diferencial que determina su comportamiento se le llama forma canónica de un sistema libre no amortiguado. La ecuación diferencial de movimiento es: m x ´ ´ + kx=0 Su ecuación característica es: mr 2+ k=0 Siendo sus raíces imaginarias conjugadas: r=±
√
k i m
La solución general es de la forma:
wn t+φ x=a sen ¿ Dónde a (amplitud) y
φ (fase inicial) son constantes que se pueden
determinar, en cada caso particular, con las condiciones iniciales.
La frecuencia natural de la vibración y el periodo son: w n=
√
k m
y
T =2 π
√
m k
En este tipo de vibraciones se cumple el principio de la conservación de la energía mecánica, es decir, la suma de la energía cinética y el potencial elástico es constante e igual a la energía total comunicada inicialmente al sistema, por lo que se verifica la ecuación: m ´2 k 2 1 x + x =cte= k a2 2 2 2
