6.1 - Ejemplo Reactor CSTR.pdf

Metodología para la integración diseño - control en el espacio de estados

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6. EJEMPLOS DE APLICACIÓN En este Capítulo se realiza el diseño de dos equipos representativos de la industria química, un reactor CSTR (Sección 6.1) y un Vaporizador (Sección 6.2). El diseño se desarrolla paso a paso siguiendo las siete etapas de la metodología para la integración diseño - control propuesta en el Capítulo 5 (Figura 12). Adicionalmente, los diseños obtenidos para cada equipo se comparan contra los resultados obtenidos cuando se realiza el diseño bajo consideraciones económicas y teniendo en cuenta algunas relaciones de tipo heurístico, sin considerar restricciones de controlabilidad práctica.

6.1. REACTOR REACTOR CSTR DE DOS VARIABLES VARIAB LES DE ESTADO ESTA DO C A0 T0 F T j F j

V T j

T

T0j

C A,CB

F j

T

F Figura 16. Ejemplo 1: Reactor CSTR de Dos Variables de Estado.

6.1.1. 6.1.1. ETAPA 1: DEFINICI DEFINICIÓN ÓN DEL PROBLEMA PROBL EMA Una empresa fabricante de productos químicos está interesada en construir una planta de producción de un monómero para la fabricación de polímeros de alto desempeño. El monómero en el que están interesados es el 3,4'-dimetilbifenilo, el cual puede ser obtenido por isomerización del 2,2'-dimetilbifenilo, un producto obtenido por oxidación catalítica del tolueno. El problema consiste en diseñar un reactor con una capacidad de 33500 ton/año de 3,4'-dimetilbifenilo (3,4'-DMBP) a Tesis de Maestría – Silvia Mercedes Ochoa Cáceres Maestría en Ingeniería Química - Universidad Nacional de Colombia


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partir de la isomerización del 2,2'-dimetilbifenilo (2,2'-DMBP), materia prima con un 98% de pureza. La isomerización se puede llevar a cabo en un reactor CSTR (Figura 16) con chaqueta para el enfriamiento operando a presión atmosférica y a una temperatura de 373K. Los objetivos de control para el proceso son la concentración del 2,2'DMBP en la corriente de salida (C A), y la temperatura dentro del reactor ( T). La reacción de isomerización es una reacción irreversible del tipo A → B y de primer orden. Los parámetros cinéticos para las condiciones de operación son (Sherman et al., 2000 ): Tabla 3. Parámetros Cinéticos para la Producción de 3,4'-dimetilbifenilo Parámetro Parámetro Cinético Energía de Activación Entalpía de Reacción Constante de Arrhenius

Valor Valor 22.6 kcal/mol=94621.68 J/mol -3.2 kcal/mol=-13397.76 J/mol 1.37*1011 s-1

En la Tabla 4 se muestran las propiedades físicas del Dimetilbifenilo ( Sherman et al., 2000). Tabla 4. Propiedades Físicas del Dimetilbifenilo Propiedad Peso Molecular Densidad Capacidad Calorífica

Valor 182.26 kg/kmol 866 kg/m3 1.842 kJ/kg K

CALCULOS Y CONSIDERACIONES PRELIMINARES

Considerando que el equipo operará 24 horas diarias durante 340 días al año, el caudal nominal (Fnom) será: F nom =

Pr oducción ρ

=

33500 Ton

3 año = 1.14kg / s = 1.316 * 10 −3 m s 866kg / m 3 866kg / m 3

(6.1)

Teniendo en cuenta que la pureza de la materia prima es de 98%, se calcula la concentración del reactivo A en el alimento así: C Ao =

ρ

M w

* Pureza =

866 182.26

* 0.98 = 4.656

kmolA m

3

(6.2)

6.1.2. ETAPA 2: MODELAMIENTO FENOMENOLOGICO Recuérdese que la Etapa 2 de la metodología contempla cuatro pasos que van desde el modelo fenomenológico del sistema (Sección 5.2.1) hasta la

Tesis de Maestría – Silvia Mercedes Ochoa Cáceres Maestría en Ingeniería Química - Universidad Nacional de Colombia


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representación del modelo fenomenológico del sistema en el espacio de estados (Sección 5.2.4). MODELO FENOMENOLOGICO

El modelo fenomenológico desarrollado a partir de un balance de masa y de energía para el reactor y de un balance de energía para la chaqueta, está sujeto a las siguientes suposiciones: •

Las propiedades físicas como densidad y capacidad calorífica del reactivo y del producto son constantes. • Existe mezcla perfecta dentro del reactor. • No hay pérdidas de energía al ambiente, sólo existe transferencia de calor entre el producto dentro del reactor y el fluido refrigerante contenido en la chaqueta. • Los caudales de entrada y salida del reactor son iguales, por lo cual el nivel en el reactor se mantiene siempre constante y por lo tanto es posible despreciar la dinámica de nivel. Bajo estas suposiciones, el modelo estará dado por ( Luyben, 1990): dC A dt

dT F dt

=

V

=

F * (C Ao − C A ) − k 0 * C A * e V

(T o − T ) − dT j dt

∆ H * k 0 * C A

=

⎛ E ⎞ ⎟ −⎜⎜ R* T ⎠⎟ ⎝ *e

ρ* C p F j V j

(

)

* T jo − T j +

⎛ E ⎞ −⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ R* T ⎠

−

(6.3)

U j * A j

(

* T-T j ρ* C p * V

U j * A j ρ r * C Pr * V j

(

* T − T j

)

)

(6.4)

(6.5)

REDUCCION DEL MODELO

A partir del modelo fenomenológico desarrollado, se deduce que el sistema cuenta con tres estados que son: concentración de reactivo a la salida del reactor (C A), temperatura del reactor (T), y temperatura de la chaqueta ( T j). Sin embargo, debido a los requerimientos del producto y considerando que las dinámicas principales del sistema son los estados concentración y temperatura del reactor, y teniendo en cuenta que los tiempos de residencia del refrigerante en la chaqueta son cortos; y que además la temperatura de la chaqueta es aproximadamente la misma en toda la chaqueta pero diferente a la de entrada, es posible despreciar la dinámica secundaria temperatura de chaqueta. Al despreciar dicha dinámica, es Tesis de Maestría – Silvia Mercedes Ochoa Cáceres Maestría en Ingeniería Química - Universidad Nacional de Colombia


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posible representar la variable temperatura de chaqueta ( T j) por medio de la ecuación algebraica resultante del balance de energía para la chaqueta en estado estable: T j =

F j * T jo * ρ r * C pr + U j * A j * T F j * ρ r * C pr + U j * A j

(6.6)

DEFINICION DE VARIABLES

Las variables del sistema se clasifican en la Tabla 5, de acuerdo con la clasificación propuesta en la Tabla 1 (Sección 5.2.3). Tabla 5. Clasificación de las Variables: Ejemplo CSTR. Variable C A T F

Significado Concentración de A dentro del reactor Temperatura del reactor Caudal de alimentación al reactor

C Ao To

Concentración de A en la alimentación Temperatura de la alimentación al reactor

T j

Temperatura de la chaqueta

F j

Caudal de entrada del refrigerante

A j V V j U j ∆H k0

Área de transferencia de calor Volumen ocupado del reactor Volumen de la chaqueta Coeficiente global de transferencia de calor Calor de Reacción Factor de Arrhenius Densidad de la masa reactiva Densidad del refrigerante Capacidad calorífica de la masa reactiva Capacidad calorífica del refrigerante Energía de activación Constante universal de los gases

ρ ρ r

Cp Cpr E R

Tipo de Variable Estado, variable a controlar. Estado, variable a controlar. Entrada, posible variable manipulada o perturbación. Entrada, perturbación. Entrada, posible variable manipulada o perturbación. Entrada, posible variable manipulada o perturbación Entrada, posible variable manipulada o perturbación Parámetro de diseño Parámetro de diseño Parámetro de diseño Parámetro del sistema Parámetro del sistema Parámetro del sistema Parámetro del sistema Parámetro del sistema Parámetro del sistema Parámetro del sistema Parámetro del sistema Constante

MODELO FENOMENOLOGICO EN EL ESPACIO DE ESTADOS

Como se vio anteriormente, la dinámica de la temperatura de la chaqueta es despreciable, por lo tanto, el modelo fenomenológico del sistema en el espacio de estados está conformado por dos ecuaciones diferenciales y una ecuación algebraica, así:



dx1 dt dx 2 dt

=

F V

(T o − x 2 ) −

=

F * (C Ao − x1 ) − k 0 * x1* e V

∆ H * k 0 * x1 * e

T j =

⎛ E ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎝ R * x2 ⎠

ρ* C p

−

91

⎛ E ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎝ R * x2 ⎠

U j * A j

(

* x 2 - T j ρ* C p* V

(6.7)

)


(6.8)

(6.9)

Donde el vector de estados está dado por: ⎡ x1 ⎤ ⎡C A ⎤ x=⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣ x 2 ⎦ ⎣ T ⎦

(6.10)

6.1.3. ETAPA 3: SELECCIÓN DE LAS VARIABLES MANIPULADAS Y DETERMINACIÓN DEL INTERVALO DISPONIBLE Como se vio en la Sección 5.3, la tercera etapa de la metodología propuesta (Figura 12, Capítulo 5) implica seleccionar concretamente las variables de entrada que se manipularán para controlar los estados del sistema; y determinar el intervalo disponible para dichas variables manipuladas. A continuación se aplican los 7 pasos que conforman esta etapa al ejemplo del reactor CSTR. IDENTIFICACION DE LAS POSIBLES VARIABLES MANIPULADAS

En la Tabla 5 se presentó la clasificación de las variables del sistema, dentro de las cuales se encuentran las variables de entrada al sistema, ya sean perturbaciones o posibles variables manipuladas, dichas variables de entrada son (Tabla 6): Tabla 6.Clasificación de las Variables de Entrada: Ejemplo CSTR. Variable F

Significado Caudal de alimentación al reactor

C Ao To

Concentración de A en la alimentación Temperatura de la alimentación al reactor

T j

Temperatura de la chaqueta

F j

Caudal de entrada del refrigerante

Tipo de Variable Entrada: posible variable manipulada o perturbación. Entrada: perturbación. Entrada: posible variable manipulada o perturbación. Entrada: posible variable manipulada o perturbación Entrada: posible variable manipulada o perturbación



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En la Tabla 6 se observa que la única variable de entrada que no es posible utilizar como variable manipulada es la concentración de entrada de la alimentación, C Ao, puesto que se considera una perturbación, debido a que la variabilidad en la calidad de la materia prima, en este caso no puede ser regulada. Las demás variables, pueden usarse para el análisis que se da a continuación, ya que no presentan inconveniente en ser variables manipuladas. CALCULO DE LOS GRADOS DE LIBERTAD PARA EL CONTROL

Como se encuentra en la Tabla 6, es posible contar con cuatro variables manipuladas (F,To, T j y F j) para el control de los dos estados del sistema (C A y T). Los Grados de Libertad para el control están dados por: G. D L . = N .V M . − N .V .C

(6.11)

donde N.V.M y N.V.C representan el Número de Variables Manipuladas (acciones de control) y el Número de Variables a Controlar (estados). El número de Grados de Libertad para el Sistema es: GDL = 4 -2 = 2 GDL > 0

(6.12)

Como los grados de libertad para el control se cumplen, es posible continuar aplicando la metodología (Figura 12). SELECCIÓN DE LAS VARIABLES MANIPULADAS QUE PERMITEN EXPRESAR EL MODELO FENOMENOLÓGICO EN LA FORMA CANONICA (2.1a)

En este paso de la metodología es necesario evaluar si las variables manipuladas potenciales permiten expresar el sistema en la forma canónica (2.1a), ya que la mayoría de las métricas de controlabilidad desarrolladas en el Capítulo 4 y que más adelante (Sección 6.1.6) se emplearán como restricciones del procedimiento de optimización se desarrollaron con base en dicha forma canónica. Adicionalmente, en este paso de la metodología es necesario formar conjuntos o agrupamientos de las posibles variables manipuladas, de tal forma que cada conjunto contenga un número de entradas manipuladas (m) igual al número de estados a controlar (n). Esto es debido a que las Métricas 3, 4 y 5 de controlabilidad práctica (Sección 4.3 - Sección 4.5) requieren que la matriz G(x) asociada con la respuesta forzada sea cuadrada (m debe ser igual a n). Por todo lo anterior, y para continuar con la aplicación de la metodología, es necesario analizar si las variables manipuladas disponibles para el control presentan la separabilidad matemática necesaria para permitir la representación del sistema en la forma canónica afín con la entrada (2.1a). Para tal fin, se deben definir previamente los posibles conjuntos (en este caso parejas, ya que el sistema Tesis de Maestría – Silvia Mercedes Ochoa Cáceres Maestría en Ingeniería Química - Universidad Nacional de Colombia


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cuenta con dos estados a controlar) de variables manipuladas que ejercerían el control sobre los dos estados del sistema. Teniendo en cuenta las variables denotadas en la Tabla 6 como posibles variables manipuladas, se definieron seis parejas (P1 - P6) de variables manipuladas, así: P 1

u1 = T o y u 2 = F

P 2

u1 = T o y u 2 = T j

P 3

u1 = T o y u 2 = F j

P 4

u1 = F y u 2 = T j

P 5

u1 = F y u 2 = F j

P 6

u1 = T j y u 2 = F j

Para analizar si existe o no la separabilidad matemática requerida, a continuación se escribe el modelo fenomenológico en el espacio de estados para cada una de las parejas de variables manipuladas conformadas. Las parejas que no permitan la representación del sistema en la forma canónica ( 2.1a) no serán analizadas, puesto que no permitirían la evaluación de algunas de las métricas de controlabilidad práctica desarrolladas en el Capítulo 4, métricas que forman parte de la Etapa seis (Sección 5.6) de la metodología propuesta. 1. Pareja P1: Para esta pareja de variables manipuladas, el modelo fenomenológico es: dx1 dt

dx 2 dt

=−

= −k 0 * x1 * e

∆ H * k 0 * x1 * e ρ* C p

⎛ E ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎝ R * x2 ⎠

−

⎛ E ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎝ R * x2 ⎠

+

(C Ao − x1 ) V

* u2

(6.13)

⎛ u * u ⎞ ⎛ x ⎞ * ( x 2 -T j ) + ⎜ 2 1 ⎟ − ⎜ 2 ⎟ * u 2 ρ* C p * V ⎝ V ⎠ ⎝ V ⎠ U j * A j

(6.14) En este caso, se observa que no hay separabilidad entre las acciones de control u1 y u2 debido al producto entre ellas, por lo cual no es posible llevar el sistema a la forma canónica (2.1a) usando la pareja P1 como el conjunto de acciones de control. 2. Pareja P2: Para esta pareja de variables manipuladas, el modelo fenomenológico se escribirá en la forma:



dx1 dt dx 2 dt

=−

∆ H * k 0 * x1 * e

=

F * (C Ao − x1 ) − k 0 * x1 * e V

⎛ E ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎝ R * x2 ⎠

⎛ E ⎞ − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ R * x2 ⎠

94

(6.15)

⎛ F U j * A j ⎞ ⎛ U j * A j ⎞ F ⎞ ⎟* x 2 + ⎛ ⎜ ⎟ *u 2 −⎜ + * u ⎜ ⎟ 1 ⎜ V ρ* C p * V ⎟ ⎜ ρ* C p * V ⎟ ⎝ V ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (6.16)

ρ* C p

En este caso sí se presenta la separabilidad necesaria para la representación en la forma canónica (2.1a), y por lo tanto, la pareja P2 es un conjunto factible de acciones de control para controlar el sistema, que permite la evaluación de la controlabilidad práctica por medio de las métricas del Capitulo 4. 3. Pareja P3: Como en este caso una de las variables manipuladas a utilizar es la variable caudal de chaqueta F j, y dicha variable no aparece explícitamente en las ecuaciones diferenciales que conforman el modelo, es necesario recurrir a la ecuación algebraica para la temperatura de chaqueta ( 6.6), obtenida del balance de energía en la chaqueta para el estado estacionario, y que aquí se recuerda en la ecuación (6.17): T j =


(6.17)

Reemplazando esta ecuación en el balance de energía para el reactor (6.4) se obtiene una ecuación para el estado temperatura T en función de la variable manipulada F j: dx 2 dt

=

F V

(T o − x 2 ) −

∆ H * k 0 * x1 * e ρ * C p

⎛ E ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎝ R * x2 ⎠

−

⎛ ⎡ F j * T jo * ρ r * C pr + U j * A j * T ⎤ ⎞ * ⎜ x 2 - ⎢ ⎥⎟ F j * ρ r * C pr + U j * A j ρ * C p * V ⎜ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎟ U j * A j

⎝

⎠

(6.18) Por lo tanto, el modelo fenomenológico para la pareja P3 se representa por: dx1 dt

=

F V

* (C Ao − x1 ) − k 0 * x1

⎛ E ⎞ ⎟ − ⎜⎜ R * x2 ⎠⎟ ⎝ *e


(6.19)


dx 2 dt

=

F V

(u1 − x 2 ) −

∆ H * k 0 * x1 * e

⎛ E ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎝ R * x2 ⎠

ρ * C p

95

⎛ ⎡ u 2 * T jo * ρ r * C pr + U j * A j * x 2 ⎤ ⎞ * ⎜ x 2 - ⎢ − ⎥⎟ ⎜ ⎟ u 2 * ρ r * C pr + U j * A j ρ * C p * V ⎦⎥ ⎠ ⎝ ⎣⎢ U j * A j

(6.20) De la ecuación anterior se observa que no es posible lograr la separabilidad necesaria para la acción de control u2, por lo tanto, la pareja de acciones de control P3 no es factible, ya que todo el análisis posterior se realiza con base en la forma canónica (2.1a), y si no es posible representar al sistema en dicha forma canónica, no podrá continuarse con la aplicación de la metodología. Es necesario resaltar, que la acción de control u2=F j es la que presenta problemas a la hora de la separabilidad debido a que aparece tanto en el denominador como en el numerador de una expresión, y esto ocurrirá siempre en todas las parejas que incluyan esta variable. Por lo tanto, las parejas de acciones de control que tengan en cuenta dicha variable deben descartarse inmediatamente. Es decir, las parejas P3, P5 y P6 deben ser descartadas como conjuntos de variables manipuladas para ejercer el control de los estados del sistema. 4. Pareja P4: Para esta pareja de variables manipuladas, el modelo fenomenológico se escribirá en la forma: dx1 dt

dx 2 dt

=−

∆ H * k 0 * x1 * e ρ* C p

=

u1 V

* (C Ao − x1 ) − k 0 * x1

⎛ E ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎝ R * x2 ⎠

−

⎛ E ⎞ − ⎜⎜ ⎟⎟ R * x 2 ⎠ * e ⎝

(6.21)

⎛ U j * A j ⎞ ⎛ T − x 2 ⎞ ⎟ * u2 * u +⎜ o + ⎟ 1 ⎜⎜ ⎟ ρ* C p * V ⎝ V ⎠ ρ * C * V p ⎝ ⎠ (6.22)

U j * A j * x 2

En este caso también se presenta la separabilidad necesaria para la representación en la forma canónica (2.1a), y por lo tanto, la pareja P4 es una pareja factible para controlar el sistema. En conclusión, las parejas P2 ( T0, T j) y P4 ( F, T j), son las únicas que cumplen con la condición de separabilidad, necesaria para representar al sistema en la forma canónica (2.1a), requisito indispensable para llevar a cabo el diseño del equipo con base en la metodología presentada en el Capítulo 5.



96

RECALCULO DE LOS GRADOS DE LIBERTAD PARA EL CONTROL

Antes de evaluar qué variables manipuladas afectan en "mayor grado" a los estados del sistema y presentan a la vez mayor grado de desacoplamiento, y por lo tanto presentan mayores ventajas para la controlabilidad de éste, es necesario recalcular los grados de libertad, ya que si el número de variables manipuladas que permiten la representación del sistema en la forma canónica ( 2.1a) es menor que el número de estados a controlar, es necesario modificar el diagrama de flujo con el ánimo de incluir nuevas variables manipuladas. Para el ejemplo, el número de variables manipuladas que permiten la representación del sistema en la forma canónica requerida es tres (F, T0, T j), las cuales, como se vio anteriormente, pueden conformar sólo dos conjuntos (parejas) de variables manipuladas que permiten la representación del sistema en la forma canónica (2.1a). Por lo tanto, el requisito de los grados de libertad para el control continúa satisfaciéndose. SELECCIÓN DEFINITIVA DE LAS VARIABLES MANIPULADAS

Teniendo en cuenta que el desarrollo de algunas de las métricas de controlabilidad práctica (Capítulo 4) se basa en el hecho de que la matriz G(x ) asociada con la respuesta forzada es cuadrada (lo que implica que el número de variables manipuladas debe ser igual al número de estados a controlar, no mayor ni menor); es necesario en este punto escoger sólo dos de las tres posibles variables manipuladas que aún continúan vigentes en el proceso de selección. Por tal razón, a continuación se realizará la selección definitiva de las variables manipuladas recurriendo a la técnica de los dígrafos ( Kim et al., 2000; Lee et al., 2001) , con el fin de seleccionar como manipuladas a aquellas variables que presentan mayor influencia sobre los estados del sistema. En la Sección 5.3.5 se presentó el procedimiento para la selección de la mejor "estructura de control" a partir de la evaluación por dígrafos (Figura 13), y además se nombraron otros métodos que pueden ser utilizados para dicha selección. Siguiendo los pasos del procedimiento presentado en la Figura 13, los dígrafos para las parejas P2 y P4 son (Figuras 17a - 17b): DIGRAFO P2 u1

u2

x1

y1

x2

y2

Figura 17a. Dígrafo P2. Ejemplo CSTR Tesis de Maestría – Silvia Mercedes Ochoa Cáceres Maestría en Ingeniería Química - Universidad Nacional de Colombia


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DIGRAFO P4 u1

u2

x1

y1

x2

y2

Figura 17b. Dígrafo P4. Ejemplo CSTR

La matriz de orden relativo Mr para los dígrafos P2 y P4 respectivamente, está dada por: ⎡2 2⎤ ⎥; 1 1 ⎣ ⎦

P 2 → M r = ⎢

P 4 →

⎡1 2⎤ M r = ⎢ ⎥ ⎣1 1⎦

; por lo tanto, el orden relativo de cada

matriz Mr es: P 2 →

r = 3 ;

P 4 →

r = 2

Como el orden relativo de ambas matrices es diferente, la pareja de variables manipuladas que tenga el menor será la indicada para evaluar la controlabilidad del sistema ya que garantiza que de las parejas de variables estudiadas, ésta es la que más afecta a los estados y por lo tanto dichas variables son las indicadas para realizar el control de los estados del sistema. En este caso, la "estructura de control" formada por la pareja de acciones de control P4 correspondiente a u1=F y u2=T j es la indicada para realizar el análisis de controlabilidad del sistema. EXPRESAR EL SISTEMA EN LA FORMA CANÓNICA

Una vez seleccionadas las variables manipuladas, y habiendo previamente identificado los estados del sistema, el modelo fenomenológico en el espacio de estado puede expresarse en la forma canónica (2.1a), y que aquí se recuerda en la ecuación (6.23): •

x = f ( x) + G ( x) * u

(6.23)

⎡ x1 ⎤ ⎡C A ⎤ x=⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣ x 2 ⎦ ⎣ T ⎦

(6.24)

En donde:



⎡ u1 ⎤ ⎡ F ⎤ u=⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣u 2 ⎦ ⎢⎣T j ⎥⎦

(6.25)

⎛ E ⎞ ⎡ ⎤ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎝ R * x2 ⎠ ⎢ ⎥ − k 0 * x1 * e ⎢ ⎥ ⎛ E ⎞ f ( x) = ⎢ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎥ R * x2 ⎠ ⎝ U * A * x ⎢ ∆ H * k 0 * x1 * e j j 2⎥ − ⎢− ⎥ ρ ρ * C * C * V p p ⎣ ⎦

⎡⎛ C Ao − x1 ⎞ ⎟ ⎢⎜ V ⎝ ⎠ G ( x) = ⎢ ⎢ ⎛ T o − x 2 ⎞ ⎟ ⎢⎜ V ⎝ ⎠ ⎣⎢ DETERMINACIÓN MANIPULADAS

DEL

INTERVALO

98

(6.26)

⎤ ⎥ ⎥ ⎛ U j * A j ⎞⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ρ * C p * V ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦⎥ 0

DISPONIBLE

PARA

(6.27)

LAS

VARIABLES

Para determinar el rango disponible para las dos acciones de control empleadas en el ejemplo específico que se trata, se define una habilidad de intervalo igual a 50 para el Elemento Final de Control que maneja el caudal de alimentación. Asumiendo que el caudal nominal (Fnom) corresponde al 65% del caudal máximo de diseño, entonces se tiene que el caudal máximo de alimentación ( u1max) es:

u1max =

F nom 0.65

1.316 * 10

=

−3

0.65

m3 3 s = 2 * 10 −3 m s

Con base en la habilidad de intervalo del EFC y sabiendo que el caudal máximo (u1max) es 2*10-3 m3/s; se calculó el caudal mínimo ( u1min) así:

u1min =

u1max 50

2 * 10

=

−3

m3

3 s = 4 * 10 −5 m 50 s

(6.28)

Por otra parte, el intervalo de acción disponible para la acción de control u2 (temperatura de chaqueta) fue definido teniendo en cuenta los valores máximo y mínimo que la planta de servicios industriales (de donde proviene el fluido de servicio de la chaqueta) puede garantizar: u 2min = 303 K Tesis de Maestría – Silvia Mercedes Ochoa Cáceres Maestría en Ingeniería Química - Universidad Nacional de Colombia


99

u 2 max = 350 K

Por lo tanto, el rango disponible U para las acciones de control es: ⎡ u1 ⎤ [u1min , u1max ] [0.00004 , 0.002] m s = U=⎢ ⎥= [303 , 350] K ⎣u 2 ⎦ [u 2 min , u 2 max ] 3

(6.29)

6.1.4. ETAPA 4: PLANTEAMIENTO DE LA FUNCIÓN OBJETIVO A continuación se presentan los costos que se incluyen en el cálculo de la función objetivo. Considerando que el costo total es igual a la suma de los costos de capital y de los costos de operación, tenemos: Costo Total = C Capital + C Operación

(6.30)

Los costos de capital incluyen el costo del reactor y el costo de la chaqueta así (Seider et al., 1999 ): (6.31) C Capital = C Re actor + C Chaqueta En donde: • •

C Re actor = 1780*L0.87*D 1. 23

C Chaqueta = 450*A j

0.7

(6.32) (6.33)

En las ecuaciones (6.32) y (6.33) no se considera el tipo de material de construcción como parte del funcional de costo. Es importante notar que la ecuación (6.33) que se utiliza para representar el costo de la chaqueta del reactor, es en realidad una expresión para estimar el costo de un intercambiador de calor, el cual es más costoso que una chaqueta de enfriamiento, pero sirve como aproximación para el ejemplo considerado. Por otra parte, los costos de operación contemplan los costos de servicios industriales (en este caso, agua de enfriamiento) y los costos debido al rendimiento, en donde se penaliza la cantidad de reactivo que no se convirtió en producto, y que por lo tanto no será vendido. Además, se considera que la planta trabajará 8160 horas al año (29376000 s), lo que equivale a 340 días de operación las 24 horas. C Operación = C Servicios + C Re n dim iento


(6.34)


100

En donde: •

C Servicios = 2.9376*10 7 *F j .

•

C Re n dim iento = 1.91*1010 *F*( 1-X c ) .

(6.35) Este costo está evaluado para una operación de 5 años a un costo de U$0.2/m 3 para el agua de enfriamiento. (6.36) En este caso se considera que el producto se venderá a U$1/kg (Sherman et al., 2000), con un margen de utilidad de U$0.15/kg. Por lo tanto, la función objetivo planteada será el costo total, es decir: C Total = 1780*L0.87*D1.23 + 450*A j0.7 + 2.9376*10 7 *F j + 1.91*1010 *F*( 1 − X c )

F .O

(6.37) Para evitar realizar la optimización con seis variables incógnitas, es necesario establecer o recurrir a algunas relaciones existentes entre ellas. 1.

A j = π * D * L ,

4.

V =

si se asume que el área ocupada por la chaqueta es el área lateral del reactor. 2. F = F nom , es decir, que el caudal es igual al caudal nominal de operación. 3. C A = C Ao*( 1 − X C ) , en donde C A es función de la conversión ( XC) y de la concentración del reactivo A en la alimentación (C Ao). F * X C k 0 * e

⎛ − E ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ R*T ⎠

, que es la ecuación para el cálculo del volumen

* (1 − X C )

obtenida a partir del balance de masa en estado estable para el componente A. 5.

L =

4 * V π * D

2

, la cual simplemente es una relación geométrica para el volumen

del reactor. 6.

T j =

∆ H * k 0 * e

⎛ − E ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ R*T ⎠

* C A * V − F * ρ * C P * (T o − T ) + U j * A j * T U j * A j

.

De

esta

manera se calcula la temperatura de chaqueta a partir de la ecuación de balance de energía para el reactor en estado estable. 7. Por último se calcula el caudal por la chaqueta a partir de la ecuación de balance de energía para la chaqueta en estado estable: F j =

− U j * A j * T − T j )

(

ρ r * C Pr * T jo − T j

)

Remplazando las ecuaciones dadas en los ítems 1-7, en la ecuación del costo total, se obtiene la función objetivo que ahora sólo contiene como incógnitas al Tesis de Maestría – Silvia Mercedes Ochoa Cáceres Maestría en Ingeniería Química - Universidad Nacional de Colombia


101

diámetro D del reactor y a la conversión XC. Dichas variables serán las que se modifiquen para minimizar la función objetivo cumpliendo además con las restricciones que se presentan en la Sección 6.1.6. Adicionalmente, es válido aclarar que debido a que la conversión ( XC) aparece como una variable de optimización, aún no podrá conocerse el valor deseado o punto de ajuste para la variable de estado C A.

6.1.5. ETAPA 5: SELECCIÓN DE ESCENARIOS Y TOLERANCIAS A LAS PERTURBACIONES Para el caso del reactor CSTR, se seleccionaron cinco escenarios; en el Escenario 1 se tiene en cuenta el punto de arranque; mientras que en los Escenarios 2 - 5, se tiene en cuenta una tolerancia (Tolx1, Tolx2) para los estados concentración (C A) y temperatura (T); respectivamente; dicha tolerancia está dada por: ⎡Tol x1 ⎤ ⎡0.003 Kmol / m 3 ⎤ Tol x = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ Tol 5 K ⎣⎢ x2 ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥

(6.38)

Esto significa que la evaluación de controlabilidad por la métrica de trayectoria tendrá únicamente en cuenta variaciones permitidas de ± 0.003 kmol A/m3 para C A y de ±5 K para T. de esta forma, sólo se evaluará la alcanzabilidad del estado deseado (punto de equilibrio x *) desde los puntos iniciales que pertenezcan al intervalo de tolerancia permitido. La alcanzabilidad desde puntos fuera de este intervalo no es evaluada, excepto para el punto de arranque del equipo. Adicionalmente, es importante destacar que si el intervalo de tolerancia es demasiado amplio, es posible que durante la etapa de optimización con restricciones (Sección 6.1.6) no se encuentre una solución factible, puesto que la restricción debida a la métrica de trayectoria puede ser violada y por lo tanto no es posible encontrar un óptimo. Por esta razón, es conveniente escoger valores de tolerancias razonables, o realizar varias corridas de optimización para encontrar los valores más convenientes para el diseño. A continuación se presenta la definición de los cinco escenarios analizados. ESCENARIO 1: PUNTO DE ARRANQUE:

El punto de arranque considerado corresponde a la concentración de alimento del reactivo A, C Ao; y a la temperatura de alimentación al reactor, To. Por lo tanto el punto inicial (x 0) desde el cual se evaluará la posibilidad de alcanzar el estado de equilibrio deseado, es: x 0 E 1

⎡ x1,0 ⎤ ⎡C Ao ⎤ ⎡4.655 Kmol / m 3 ⎤ =⎢ ⎥ ⎥=⎢ ⎥=⎢ 310 K ⎢⎣ x 2,0 ⎥⎦ ⎣ T o ⎦ ⎣⎢ ⎦⎥


(6.39)


102

Donde x 0 E 1 es el vector que contiene a los puntos iniciales desde los cuales se evaluará la alcanzabilidad del punto de equilibrio deseado, partiendo del punto de arranque del proceso (x1,0 = C A0) y (x2,0 = T0). ESCENARIO 2: Punto de Ajuste + Tolerancia El punto de equilibrio final deseado ( x*) para los estados del sistema (punto de ajuste) es: ⎡ x1* ⎤ ⎡ x1 sp ⎤ ⎡C Asp ⎤ ⎡C Ao * (1 − X Copt ) KmolA / m 3 ⎤ x =⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎥=⎢ ⎥=⎢ * 373 K ⎥⎦ ⎢⎣ x 2 ⎥⎦ ⎢⎣ x 2 sp ⎥⎦ ⎢⎣ T sp ⎥⎦ ⎢⎣ *

(6.40)

En donde XCopt es la conversión óptima dada por la optimización (Sección 6.1.6) De esta forma, el escenario 2 estará definido por: x 0 E 2

⎡ x1,0 ⎤ ⎡ x1* + Tol x1 ⎤ =⎢ ⎥ ⎥=⎢ * x + x Tol ⎢ x2 ⎥ ⎣⎢ 2,0 ⎦⎥ ⎣ 2 ⎦

(6.41)

En donde x 0 E 2 es el vector que contiene a los puntos iniciales desde los cuales se evaluará la alcanzabilidad del punto de equilibrio deseado cuando se considera que dichos puntos iniciales están desviados del punto de ajuste en una tolerancia positiva. ESCENARIO 3: Punto de Ajuste - Tolerancia El escenario 3, es decir los puntos iniciales desde los que se evaluará la alcanzabilidad del punto de equilibrio deseado al considerar una desviación negativa del punto de ajuste, son: x 0 E 3

⎡ x1,0 ⎤ ⎡ x1* − Tol x1 ⎤ =⎢ ⎥ ⎥=⎢ * ⎢⎣ x 2,0 ⎥⎦ ⎢⎣ x 2 − Tol x2 ⎥⎦

(6.42)

ESCENARIO 4: x1sp + Tolerancia y x2sp - Tolerancia El escenario 4 comprende los puntos iniciales desde los que se evaluará la alcanzabilidad del punto de equilibrio deseado al considerar una desviación positiva del punto de equilibrio para el estado x1 y una desviación negativa con respecto al equilibrio para el estado x2, y está dado por: Tesis de Maestría – Silvia Mercedes Ochoa Cáceres Maestría en Ingeniería Química - Universidad Nacional de Colombia


x 0 E 4

⎡ x1,0 ⎤ ⎡ x1* + Tol x1 ⎤ =⎢ ⎥ ⎥=⎢ * ⎢⎣ x 2,0 ⎥⎦ ⎢⎣ x 2 − Tol x2 ⎥⎦

103

(6.43)

ESCENARIO 5: x1sp - Tolerancia y x2sp + Tolerancia El escenario 5 contempla los puntos iniciales desde los que se evaluará la alcanzabilidad del punto de equilibrio deseado al considerar una desviación negativa del punto de equilibrio para el estado x1 y una desviación positiva con respecto al equilibrio para el estado x2, y está dado por: x 0 E 5

⎡ x1,0 ⎤ ⎡ x1* − Tol x1 ⎤ =⎢ ⎥ ⎥=⎢ * x + x Tol ⎢⎣ 2,0 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 x2 ⎥ ⎦

(6.44)

6.1.6. ETAPA 6: OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES Para encontrar los parámetros de diseño (en este caso diámetro del reactor D y conversión XC) que minimizarán la función objetivo costo ( 6.37) se realizó un procedimiento de optimización numérica con restricciones utilizando Matlab. El procedimiento de optimización está sujeto a las restricciones que se presentan a continuación. 1. RESTRICCIONES DE TIPO FÍSICO • • •

El diámetro debe ser mayor que cero (D>0). La conversión debe ser mayor que cero y menor que uno (00).

2. RESTRICCIONES DE CONTROLABILIDAD

Antes de indicar las restricciones que permiten evaluar la controlabilidad práctica del sistema, es necesario recordar que dichas restricciones y las restricciones de tipo físico nombradas en el ítem anterior, deben cumplirse simultáneamente para poder obtener un punto óptimo (pareja de parámetros D y XC) para el diseño. Adicionalmente, es necesario recordar que para catalogar a un sistema como controlable en la práctica, deben evaluarse en conjunto todas las restricciones (métricas) de controlabilidad, ya que individualmente estas restricciones son sólo condiciones necesarias pero no suficientes para garantizar la controlabilidad del sistema. 2.1. Rango de la Matriz de Controlabilidad



104

La matriz de controlabilidad debe ser de rango completo, en este caso específico como se trabaja con dos estados, el rango de la matriz debe ser igual a 2 para que el sistema sea controlable. La matriz de controlabilidad es: ⎛ − E ⎞ ⎡ ⎜ ⎟ ⎜ R*x2 sp ⎟ ⎢ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ − C x x1 sp E ⎛ ⎞ k oe ⎢⎜ Ao 1 sp ⎟ + − ( ) 0 C * T x ⎢ ⎥ Ao o 2 sp ⎟ ⎢⎜⎝ V V Rx22 sp ⎢ ⎠ ⎣ ⎦⎥ ⎢ ⎛ ⎞ W C = ⎢ ⎜ − E ⎟ ⎜ R*x ⎟ ⎢ T − x ⎤ U j A jT o U j A j ∆ Hk oe⎝ 2 sp ⎠ ⎡ x1 sp E ⎛ ⎞ o 2 sp ⎢⎜ ⎟ + − ( ) C * T x ⎢ ⎥+ Ao o 2 sp 2 ⎢ ⎜⎝ V ⎠⎟ ρC P V ρC P V Rx22 sp ⎢⎣ ⎥⎦ ρC P V ⎢ ⎢⎣

U j A j k o x1 sp Ee

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤⎥ ⎥⎥ U j A j ⎥ ⎥ + V ⎥ ⎥ ⎥⎥ ⎦⎥ ⎥⎦ 2 X 4

⎛ − E ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ R*x2 sp ⎟ ⎝ ⎠

ρC P VRx22 sp ⎛ − E ⎞ ⎡ ⎜ ⎟ ⎜ R*x2 sp ⎟ ⎢ ⎝ ⎠ U j A j ⎢ ∆ Hk o x1 sp Ee 2 ρ 2C P V ⎢ Rx22 sp ⎢ ⎣⎢

(6.45) ⎡ x1 sp ⎤ ⎡C Asp ⎤ ⎡C Ao * (1 − X Copt ) KmolA / m 3 ⎤ Donde: ⎢ ⎥ ⎥=⎢ ⎥=⎢ x T 373 K ⎢⎣ 2 sp ⎥⎦ ⎢⎣ sp ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

La restricción de controlabilidad en este caso es: Rank (W C ) = 2

(6.46)

2.2. Determinante de la Matriz Asociada con la Respuesta Forzada:

En este caso, la restricción corresponde a que si el valor absoluto del determinante de la matriz G es igual a cero, el sistema podrá ser catalogado como no controlable en la práctica. Específicamente para el ejemplo del reactor CSTR estudiado, la ecuación para el determinante de la matriz G asociada con la respuesta forzada está dada por: Det (G ( x)) =

U j * A j * C Ao − x1 sp

)

2

ρ * C P * V

(6.47)

y la restricción de controlabilidad práctica es: Det (G ) > 0

(6.48)

2.3. Pertenencia de la u* al Intervalo Disponible de Variables Manipuladas (acciones de control):

Mediante esta restricción se evalúa si la acción de control u* requerida para mantener al sistema en el punto de equilibrio deseado pertenece al rango disponible U de las entradas o acciones de control definido en ( 6.29). Para el caso Tesis de Maestría – Silvia Mercedes Ochoa Cáceres Maestría en Ingeniería Química - Universidad Nacional de Colombia


105

ejemplo, el conjunto de acciones de control (u1*, u2*) requeridas para forzar al sistema a permanecer en su punto de equilibrio están dadas por:

u1* =

V * k 0 * x1 sp * e

⎡ − E ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎣ R * x2 sp ⎥⎦

(6.49)

(C Ao − x1 sp )

⎛ − E ⎞ ⎛ − E ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ R * x2 sp ⎟ ⎜ R * x 2 sp ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ *V ⎟ *V * ρ * C P * (T o − x 2 sp ) ⎟ ⎜ ∆ H * k 0 * x1 sp * e ⎜ k 0 * x1 sp * e u 2* = ⎜ ⎟ + x 2 − ⎜ ⎟ U * A U * A * C x ( ) − j j j j Ao 1 sp ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(6.50) En este caso la restricción es: * u1min ≤ u1 ≤ u1max

2.4.

y

* u 2 min ≤ u 2 ≤ u 2 max

(6.51)

Existencia de una Trayectoria de Alcanzabilidad.

Para probar las restricciones de la métrica de trayectoria se definieron previamente (Sección 6.1.5) los escenarios (E) o la región de puntos iniciales desde los cuales puede arrancar el proceso, o los puntos hasta los cuales una perturbación puede llevar a los estados. Una vez definidos los escenarios, se calculan las u T de trayectoria a partir de la ecuación ( 4.20), y si por lo menos una de estas u T están dentro del intervalo disponible U, el sistema será controlable. De esta manera, las restricciones de controlabilidad son: u1min ≤ uT 1min, E ≤ u1max ó u1min ≤ uT 1max, E ≤ u1max ó u 2 min ≤ uT 2 min, E ≤ u 2 max ó u 2 min ≤ uT 2max, E ≤ u 2 max

donde:


(6.52)


(

* * u T 1min, E = u 01 , E + u 2 min − u 02, E

du ) du

(

* * u T 1max, E = u 01 , E + u 2 max − u 02, E

(

* * u T 2min, E = u 02 , E + u1min − u 01, E

(

* * u T 2max, E = u 02 , E + u1max − u 01, E

1, E 2, E

du ) du

1, E 2, E

du 2, E

) du

106

(6.53)

1, E

du 2, E

) du

1, E

son los puntos de corte de la semi - recta UT de trayectoria lineal, con el rango disponible de acciones de control U, evaluados para el escenario E. Algunos de los términos requeridos para la evaluación de la restricción (6.52) están dados por: ⎡ du1 ⎤ ⎥ ⎣du 2 ⎦

d u = G −1 ( x 0,E ) * (x * −x 0,E ) = ⎢

⎡ x 1sp ⎤ ⎥ ⎢⎣ x 2sp ⎥⎦ ⎡ x 01, E ⎤ =⎢ ⎥ x ⎣⎢ 02, E ⎦⎥

(6.54)

x* = x sp = ⎢

(6.55)

x 0,E

(6.56)

*

u 0, E

⎡ u * 01, E ⎤ =⎢ * ⎥ ⎢⎣u 02, E ⎥⎦

(6.57)

Como se observa en la ecuación ( 6.54), la dirección du de la semi - recta es función del punto de equilibrio ( x*) deseado (6.55) y del punto inicial ( x 0,E) considerado en cada escenario (6.56). Por otra parte, el termino u*0,E dado por (6.57) representa al vector de acciones de control requerido para mantener en equilibrio el punto inicial x 0,E. RESULTADOS DE LA OPTIMIZACION

Debido a que la optimización es numérica y no analítica, se pueden encontrar varios óptimos locales y no globales, dependiendo del punto de partida de la optimización. Para seleccionar el óptimo entre los diferentes óptimos locales se elige aquel que presente menor funcional de costo. Para el ejemplo se realizaron varias corridas de optimización a partir de diferentes puntos de partida, y se encontró que el óptimo local que presentó menor valor del funcional de costo y Tesis de Maestría – Silvia Mercedes Ochoa Cáceres Maestría en Ingeniería Química - Universidad Nacional de Colombia


107

que además respeta todas las restricciones tanto de tipo físico como de controlabilidad práctica, es: ⎡ D ⎤ ⎡1.997 m⎤ Popt = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ X ⎣ C ⎦ ⎣ 0.98 ⎦

Adicionalmente a la optimización con restricciones de controlabilidad práctica, se realizó la optimización para dos escenarios más, en los cuales no se tuvieron en cuenta dichas restricciones. El primero, es un escenario en el cual la optimización se realiza teniendo en cuenta una restricción de tipo heurística que relaciona el ⎞ diámetro y la altura del reactor ⎛ ⎜ = 2.5 ⎟ ; mientras que el segundo escenario no L

⎝ D

⎠

tiene en cuenta ni restricciones de controlabilidad práctica, ni restricciones de tipo heurístico. Tabla 7. Optimización: con Restricciones v.s sin Restricciones OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES CON RESTRICCIONES

D (m) Xc L (m) Costo (U$)

1.997 0.980 2.681 14'.019.500

CON HEURÍSTICA

SIN HEURÍSTICA

2.485 0.994 6.213 9'.717.030

2.093 0.999 33.172 8'.885.010

En la Tabla 7 se comparan los resultados obtenidos para los diferentes escenarios de optimización. Como se observa, el menor costo se presenta cuando la optimización se realiza sólo bajo criterios económicos, sin tener en cuenta restricciones ni de controlabilidad práctica, ni de heurística. Sin embargo, el valor óptimo obtenido para la conversión (XC=0.999) implica alcanzar una conversión casi completa, algo que en la práctica es muy difícil lograr. Adicionalmente, al calcular la altura del reactor, se encuentra que ésta debe ser de 33 m aproximadamente, lo cual además de ser un valor demasiado grande, es un valor impráctico. El segundo menor costo se obtuvo al realizar la optimización teniendo en cuenta una relación heurística entre el diámetro y la altura del reactor, pero sin tener en cuenta restricciones de controlabilidad práctica. A primera vista, parecería que los valores óptimos obtenidos para el diámetro D y la conversión XC son valores apropiados para un diseño, al igual que el valor calculado para la altura del reactor L. Sin embargo, al analizar la Tabla 8, en donde se presentan los resultados de la evaluación de la controlabilidad práctica para los diferentes óptimos mostrados en la Tabla 7, se observa que este diseño no satisface dos de las condiciones de controlabilidad práctica: la pertenencia de la acción de control forzante ( u*) al intervalo disponible U, y la existencia de una trayectoria de alcanzabilidad en la Tesis de Maestría – Silvia Mercedes Ochoa Cáceres Maestría en Ingeniería Química - Universidad Nacional de Colombia


108

vecindad del punto de ajuste ( x* ). Por lo tanto, si este diseño fuese elegido como el "mejor", el proceso una vez instalado presentaría problemas de controlabilidad práctica, ya que no sería posible mantener el punto de equilibrio deseado ( x* ), y además, podría ocurrir que no existiese una trayectoria posible para regresar el sistema a su punto de operación una vez haya sido desviado por una perturbación. De acuerdo con lo expuesto anteriormente, se evidencia que no es recomendable diseñar un equipo bajo criterios netamente económicos, y que en algunos casos, como el aquí presentado, tampoco es recomendable diseñar teniendo en cuenta sólo criterios heurísticos, que aunque por lo general resulten en diseños "económicos" y factibles, pueden llegar a presentar problemas de controlabilidad práctica. De otro lado, al diseñar un equipo siguiendo las etapas planteadas en la metodología para la integración diseño - control propuesta en la Figura 12, se obtendrá un diseño con unas condiciones o parámetros de diseño factibles y que además de ser económicamente óptimo, tendrá la controlabilidad práctica garantizada. Tabla 8. Evaluación de la Controlabilidad Práctica para los Diferentes Óptimos CON RESTRICCIONES DE CONTROLABILIDAD

SIN RESTRICCIONES CON HEUR STICO SIN HEUR STICO

CONDICIÓN DE CONTROLABILIDAD

VALOR OBTENIDO

SATISFACE CONDICIÓN?

VALOR OBTENIDO


VALOR OBTENIDO


Rank(Wc) |Det(G(x))|

2 0.13286161

SÍ SÍ

2 0.026356967

SÍ SÍ

2 0.008300761

SÍ SÍ

u* ∈ U

u1*=1.316x10-3

SÍ

u1*=1.316x10-3

NO

u1*=1.316x10-3

NO

Escenario 1 Escenario 2 uT ∈ U Escenario 3 Escenario 4 Escenario 5

u2*=344.9 Existe Existe Existe Existe Existe

SÍ

u2*=363.1 Existe No existe No existe No existe No existe

NO

u2*=370.8 Existe No existe No existe No existe No existe

NO

6.1.7. ETAPA 7: DISEÑO DEL SISTEMA DE CONTROL En esta etapa se debería diseñar el sistema de control que se considera más conveniente para el proceso, teniendo en cuenta las etapas básicas descritas en la Figura 15. A modo de ejemplo, se presentan los resultados obtenidos al diseñar un sistema de control por realimentación empleando algoritmos de control PID puesto que el objetivo es verificar que existe por lo menos un controlador (ya que el diseño obtenido tiene garantizada la controlabilidad práctica) que controla el sistema en el punto de ajuste deseado. En la Tabla 9 se muestran los parámetros de sintonía para el Controlador 1, el cual controla el estado x1 (C A), manipulando u1 (F); y para el Controlador 2, con el cual se controla x2 (T), manipulando u2 (T j).



109

Tabla 9. Parámetros de Sintonía Sintonía de los Controladores Ganancia Tiempo Integral (s) Tiempo Derivativ o (s) 0.1 (m6/Kmol *s) 20 3 0.5 (K/K) 30 5

Parámetro Controlador 1 Controlador 2

El punto de ajuste deseado es: x1sp = 0.0931 Kmol A/m 3 (calculado a partir de la conversión XC encontrada durante la optimización), y x2sp = 373 K . En las Figuras 18a - 18c se muestra el comportamiento en lazo cerrado del estado x1 (C A), el estado x2 (T) y el diagrama de estados respectivamente; partiendo de las condiciones del Escenario 2 (Sección 6.1.5). El lazo cerrado se realiza con los controladores 1 y 2, cuyos parámetros de sintonía se presentan en la Tabla 9. 0.097 0.0965 0.096 )

3

0.0955

m / A l o 0.095 m K ( 1 x 0.0945

0.094 0.0935 0.093

0

10

20

30

40

50 60 Tiempo (s)

70

80

90

100

Figura 18a. Comportamiento en Lazo Cerrado para x1 (CA) 380 379 378 377 ) K ( 376 2 x

375 374 373 372

0

10

20

30

40

50 60 Tiempo (s)

70

80

90

100

Figura 18b. Comportamiento en Lazo Cerrado para x2 (T) Tesis de Maestría – Silvia Mercedes Ochoa Cáceres Maestría en Ingeniería Química - Universidad Nacional de Colombia


110

0.097 0.0965 0.096 ) 0.0955

3

m / A l o 0.095 m K ( 1 x 0.0945

0.094 0.0935 0.093 373

373.5

374

374.5

375

375.5 x2 (K)

376

376.5

377

377.5

378

Figura 18c. Diagrama de Estados. x2 (T) v.s x1 (C A)

Finalmente, en el Anexo 5.2 se presenta un controlador basado en el modelo fenomenológico del sistema, del cual se despeja la acción de control requerida para dirigir a los estados del sistema hacia el punto de ajuste deseado en línea recta. Una vez alcanzado el punto de ajuste, se conmuta la acción de control, tomando el valor requerido para mantener al sistema en el punto de equilibrio, es decir, la acción de control forzante u* .

6.1.8. CALCULO DE LA REGION DE "ROBUSTEZ" En esta Sección, se introduce el termino región de "robustez" para denotar una región de puntos iniciales desde los cuales la alcanzabilidad del punto de equilibrio deseado (punto de ajuste) está garantizada por medio de trayectorias lineales. La existencia de dichas trayectorias lineales es evaluada mediante simulación en Matlab, empleando las ecuaciones correspondientes a la métrica de trayectoria (Sección 4.5). Aunque la metodología para la integración diseño - control propuesta en el Capítulo 5 no incluye el cálculo de la región de "robustez", es importante, que para el diseño obtenido se evalúe hasta qué punto puede aumentarse la tolerancia definida para las perturbaciones. La metodología propuesta (Figura 12) exige que dicha tolerancia sea definida (Sección 5.5) antes de realizar la optimización con restricciones (Etapa VI; Sección 5.6). Para el caso ejemplo del reactor CSTR, utilizando los parámetros de diseño óptimos encontrados en la Sección 6.1.6, es posible identificar en una región del espacio de estados, el conjunto de puntos iniciales desde los cuales es posible Tesis de Maestría – Silvia Mercedes Ochoa Cáceres Maestría en Ingeniería Química - Universidad Nacional de Colombia


111

alcanzar el punto de equilibrio deseado por medio de una trayectoria lineal. Para esto, se evaluaron numéricamente mediante la simulación del programa RobustezCSTR.m (Anexo 5.3) las parejas de puntos iniciales ( x1,0, x2,0) correspondientes a aquellos puntos que se desvían tanto positiva como negativamente del punto de ajuste ( x1sp, x2sp) en un valor de tres veces la tolerancia definida en (6.38); dicha tolerancia se recuerda en la ecuación ( 6.58): ⎡Tol x1 ⎤ ⎡0.003 Kmol / m 3 ⎤ Tol x = ⎢ ⎥ ⎥=⎢ Tol 5 K ⎣⎢ x2 ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥

(6.58)

⎡ x1 sp ⎤ ⎡0.0931 KmolA / m 3 ⎤ =⎢ ⎥ ⎥=⎢ 373 K ⎢⎣ x 2 sp ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

(6.59)

El punto de ajuste es: x sp

Por lo tanto, el intervalo de puntos iniciales desde los cuales se evalúa la existencia de la trayectoria lineal hasta el punto de ajuste, es: ⎡ x1, 0 ⎤ ⎡ x1 sp − 3 * Tol x1 ≤ x1,0 ≤ x1 sp + 3 * Tol x1 ⎤ ⎡0.0841 ≤ x1,0 ≤ 0.1021⎤ KmolA / m 3 x0 = ⎢ ⎥=⎢ ⎥=⎢ ⎥ x 3 * Tol x x 3 * Tol x x − ≤ ≤ + 358 388 ≤ ≤ K ⎢⎣ 2,0 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 sp ⎢ ⎥⎦ x 2 2, 0 2 sp x 2 ⎥ 2 , 0 ⎦ ⎣

(6.60)

En la Figura 19 se presenta en azul la región de puntos iniciales (región de "robustez") desde los cuales es posible alcanzar el punto de equilibrio deseado (punto de ajuste) por medio de una trayectoria en línea recta. La región en color rojo representa los puntos evaluados para los que no existe una trayectoria en línea recta que permita alcanzar el punto de ajuste deseado.



112

Figura 19. Región de "Robustez" para el CSTR.

Finalmente es importante notar que la identificación de dicha región de "robustez" permite analizar gráficamente desde qué puntos iniciales se podrá regresar al punto de ajuste deseado en una trayectoria lineal. Esta región está muy relacionada con la capacidad del sistema para rechazar las perturbaciones, puesto que cada punto inicial refleja un punto de operación hasta donde una perturbación pudo haber desplazado los estados del sistema; de allí la importancia en identificar dicha región. En el Anexo 4 se presentan algunas propuestas trabajadas en simulación para calcular la región de robustez, de manera que se identifiquen los puntos iniciales desde los cuales el sistema podrá alcanzar el punto de ajuste deseado, no sólo por medio de trayectorias lineales, sino además, mediante trayectorias no lineales (lineales a tramos).


6.1 - Ejemplo Reactor CSTR.pdf

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