55362646 Ingenieria Economica en La Construccion 1

INGENIERIA ECONOMICA EN LA CONSTRUCCION

La narración financiera de los proyectos de infraestructura civil ALEX JOSE BRACAMONTE MIRANDA

Ingeniería económica en la construcción

ACERCA DEL TEXTO

La presente obra tuvo sus orígenes hacia inicios del año 2004 y se ha llevado más que sólo este tiempo, medido hasta ahora finales de 2006, en lograr su culminación. Nació como resultados de las experiencias y destrezas requeridas para impartir docencia en las clases de los núcleos profesionales del programa de Ingeniería Civil de la Universidad de Sucre, las que luego fueron fortalecidas a lo largo del ejercicio y del estudio. Pero sin embargo lo que orienta a la creación del texto es de manera fundamental el conocimiento referente a la necesidad de un orden diferente para el manejo de evaluación financiera y económica de proyectos de infraestructura civil a manos de Ingenieros Civiles, capaces y decididos. Lo que hasta ahora se ha logrado plantear la inclusión de esta asignatura en el programa de Ingeniería Civil. El libro inicia con los conceptos básicos de Ingeniería Económica y se detiene con especial detalle en la valoración y conceptualización del manejo de créditos. Utilizados en la construcción de edificaciones. Luego se dirige hacia aplicaciones efectivas hacia la toma de decisiones para proyectos de inversión.

Alex José Bracamonte Miranda Ingeniero Civil. Esp, MSc

2


INGENIERIA ECONOMICA EN LA CONSTRUCCION La narración financiera de los proyectos de infraestructura civil civil

Por

Alex José Bracamonte Miranda Ingeniero Civil Profesor Asistente

Departamento de Ingeniería Civil Facultad de Ingeniería Universidad de Sucre

Sincelejo, Sucre. Septiembre de 2006 Primera Impresión

3


Alex José Bracamonte Miranda Ingeniería Económica en la Construcción. La narración financiera de los proyectos de infraestructura civil 2ª impresión. Sincelejo 120 p. ISBN 978-958-440392-6

Colección:

Ingeniería Civil

Tipo de contenido:

Libro universitario

Area:

Ingeniería Económica

Materia:

Actividades generales en la construcción

ISBN:

978-958-440392-6

Portada:

Alex José Bracamonte Miranda E-mail: [email protected]

4


De nuevo a María Isabel … y a mi madre Melania… como siempre, señalándome el camino

5


Agradecimientos

A Dios, por mantenerme en el camino A la Universidad de Sucre, por darme una oportunidad A mis alumnos, por mostrarme que era necesario A mis amigos nuevamente, a esos amigos míos, por estar siempre junto a mí, aún en aquellos momentos difíciles cuando el final de este libro no mostraba asomo de salir.

6


TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCION

11

CAPITULO I. SOBRE INGENIERIA ECONOMICA 1. CONCEPTOS PRELIMINARES

14

1.1 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

14

1.2 CONCEPTO DE INTERES

15

1.3 TIPOS DE INTERÉS

17

1.3.1 INTERÉS SIMPLE

17

1.3.2 INTERÉS COMPUESTO

18

1.4 FACTORES DE EQUIVALENCIA

18

1.4.1 VALOR FUTURO, PN

20

1.4.2 VALOR PRESENTE, P

22

1.4.3 ANUALIDADES O SERIES UNIFORMES DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL.

24

1.5 INTERESES PAGADOS POR ANTICIPADO Y POR PERÍODO VENCIDO.

27

CAPITULO II. CAPITALIZACION DE INTERESES 2. CLASIFICACION DE LAS TASAS DE INTERES

29

2.1 PÉRIODOS DE CAPITALIZACIÓN.

29

7


2.2 PERÍODOS DE PAGO

29

2.4 TASA DE INTERÉS EFECTIVA Y EQUIVALENCIA ENTRE TASAS

35

CAPITULO III. AMORTIZACION DE CREDITOS DE CONSTRUCCION 3. DEVOLUCIONES DE CREDITO

39

3.1 CRÉDITOS EN PESOS.

40

3.1.1 CUOTA FIJA CON ABONO VARIABLE A CAPITAL E INTERESES

40

3.1.2 CUOTA VARIABLE CON ABONO CONSTANTE A CAPITAL

43

4.0 MODALIDADES DE CREDITO

46

4.1 CRÉDITO EN UNIDADES DE VALOR REAL (UVR).

47

4.1.1 VARIACIÓN DE LA UVR

48

CAPITULO IV. INDICADORES FINANCIEROS DE RENTABILIDAD 5.0 VALOR PRESENTE NETO.

58

5.1 FORMAS DE ALTERNATIVAS PARA DETERMINAR VPN

61

5.1.1. ALTERNATIVAS CON IGUAL LONGITUD DE PERÍODOS O VIDA ÚTIL IGUAL

61

5.1.2 ALTERNATIVAS CON ALTERNATIVAS QUE TIENEN LONGITUDES DE TIEMPO DIFERENTES.

67

6.0 TASA INTERNA DE RETORNO

73

CAPITULO V. INDICADORES FINANCIEROS DE OPERACIÓN Y MANTENIMIENTO 6.0 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE CAUE

8

81


7.1 ESTIMACION DEL COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE CAUE EN LOS PROYECTOS

84

7.1.1 ESTIMACIÓN DEL CAUE EN PROYECTOS CON ALTERNATIVAS DE IGUAL DURACIÓN DE VIDA

84

7.1.2 ESTIMACIÓN DEL CAUE EN PROYECTOS CON ALTERNATIVAS DE DISTINTA DURACIÓN DE VIDA

92

CAPITULO VI. TECNICAS Y ANALISIS DE REMPLAZO 8. 1CONSIDERACIONES GENERALES

106

8.2 MODELOS DE AGOTAMIENTO 8.2.1 DEPRECIACION LINEAL

105

8.2.2 DEPRECIACION POR SALDO DRECECIENTE Y DOBLEMENTE DECRECIENTE

105

8.2.3 DEPRECIACION POR SUMA DE DIGITOS 106 8.2.4 COMPARACION ENTRE LOS MODELOS 106 8.3 PREMISAS FUNDAMENTALES DE UN MODELO DE AGOTAMIENTO 117

BIBLIOGRAFIA

124

9


INDICE DE GRAFICAS

Gráfica 1. Crédito con variación de períodos de pago y capitalización

32

Gráfica 2. Comportamiento general de un crédito

42

Gráfica 3. Movilidad de intereses bajo distintas formas de amortización

44

Gráfica 4. Comportamiento de saldos e intereses un crédito en pesos

46

Gráfica 5. Comportamiento de un crédito en UVR con variación de períodos

51

Gráfica 6. Excedentes de subrogación en créditos por UVR y en pesos

52

Gráfica 7. Comportamiento gráfico de los modelos de agotamiento

107

Gráfica 8. Modelo de agotamiento para formular el tiempo de reemplazo

118

Gráfica 9. Comportamiento gráfico de la variación del costo anual de reparación

119

10


INTRODUCCION

Muchas veces hemos emprendido proyectos de construcción de edificaciones y obras civiles,

con un manejo técnico excelente, sin embargo, es probable, y debe así

reconocerse llegado el caso, sin asomo de duda que hemos alejado de la probabilidad de éxito cada vez que tales proyectos les dado la característica de vulnerables, ya sea en su totalidad o en parte. Vulnerabilidad que llega en un escenario de movimiento donde las variables financieras y económicas no se han logrado disponer con excelente certeza y con necesaria precisión para modelar todas las situaciones derivadas de la ejecución y operación del proyecto bajos diferentes y supuestas condiciones que en un momento del futuro definen el accionamiento y funcionamiento del proyecto. Cabe ahora la pregunta, ¿Cuántos proyectos no han podido validar la certeza de su ejecución frente a una elección de varia alternativas? Innumerables veces hemos apartado la acumulación de capital en el tiempo y su influencia sobre la elegibilidad genuina para dirimir en la elección de alternativas de proyectos de construcción. ¿En cuántas oportunidades hemos hecho a un lado la valoración económica de alguno que otro componente de costos al realizar una matriz de asignación de variables y valores a un proyecto? Surge en este escenario que intentamos abrir, una situación cuya respuesta toca de manera profunda la ejecución de proyectos en tiempos de antaño. ¿Cómo se ha manejado la toma de decisiones de inversión en proyectos de construcción, realizados tanto por el sector público como por el privado? Este libro ha nacido de la necesidad planteada al interior de un raciocinio que busca remover las formas anquilosténicas que permitan alcanzar el éxito a este sector de la economía, como lo es la construcción de edificaciones. En lo más profundo del texto se enmarca lo sutil, pero necesario como condición inmediata, de introducir conceptos analíticos para la toma de decisiones de inversión

11


de capital en las actividades gerenciales relacionadas con los proyectos de infraestructura civil. Los conceptos que se mueven en este texto parten a ser apoyo para estudiantes y profesionales de la construcción, pero fue definitivamente la tendencia en el ejercicio de la construcción en la panorámica regional del siglo XX, lo que direccionó su contenido. Estoy convencido que definitivamente, a los Ingenieros Civiles nos llega tarde la transferencia de tecnología de soporte decisivo en la valoración económica de la construcción. Avanzamos con lentitud hacia la trama del mundo donde se enfrentan el balance de tareas de una sociedad como muestra de desarrollo económico frente al liderazgo histórico siempre mantenido por la Ingeniería Civil, trama en la cual es posible acertar a las mejores situaciones resultantes luego del compromiso de la Ingeniería Económica discernida y aplicada bajo el escenario de la construcción. Es que en definitiva no existe, al igual que no ha existido, un proyecto de Ingeniería que no haya resultado susceptible de ser evaluado económicamente No le corresponde a los Ingenieros Civiles más que constituirse en líderes de sus propios campos de acción, ejerciendo el dominio sobre el desarrollo de los pueblos y con acertado manejo en la toma de decisiones, ser protagonista de un orden de antiguo legado que sólo hasta hace poco descubre su papel en el aprendizaje y construcción de la ciencia.

12


CAPITULO

SOBRE INGENIERIA ECONOMICA

I

Ciertamente la evaluación económica de alternativas a de inversión para proyectos de

construcción, y en general de cualquier proyecto, en ausencia de la Ingeniería Económica contaría con una gran incertidumbre.

Mediante la Ingeniería Económica es posible valorar el dinero en el tiempo y con ello valorar las decisiones de soporte para asignación de recursos para la ejecución de un proyecto bajo diferentes que puede ser modelado para un sinnúmero de probabilidades. Implica ello un examen y seguimiento de la movilidad de los flujos de estos recursos a lo largo de la ejecución del proyecto al igual que todas las variables económicas, financieras y de ejecución de la obra en específico. Atendiendo a las diferentes alternativas de ejecución de infraestructura, a lo cual se asocia un costo y un tiempo, resulta importante, además de interesante, aquella propuesta favorable que hace que la relación inversión y rentabilidad para algunos proyectos o inversión –beneficios para otros, sea la más atractiva de un proyecto en particular, aunque haya sido objeto de evaluaciones por formas distintas. Sin lugar a dudas la Ingeniería Económica es una herramienta para la toma de decisiones. El ejercicio permanente de la construcción está enfrentado continuamente a la elección de alternativas, que bajo la premisa que desarrollan igual nivel de servicio y de respuesta, logren ofrecer las mejores condiciones económicas. No resulta acaso cierto que la opción de proyecto con una nivelación óptima de recursos de tiempo y de orden económicos conforme a lo especificado, resulta ser la más favorable.

13


1. CONCEPTOS PRELIMINARES 1.1 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Los cambios en la economía de finales de siglo, las variaciones en la comercialización de productos en el entorno internacional han caracterizado cambios interesantes en el poder adquisitivo de las monedas, medido como una variación a lo largo de tiempo. Se identifican varias situaciones, una primera corresponde a la diferencia cambiaria entre varias monedas a nivel mundial, es decir, distintas capacidades adquisitivas. Otra se dirige hacia la acumulación de nuevos capitales por tenencia de y movilidad de flujos de dinero. La carrera hacia la adquisición de capitales, pareciera que acelerase los comportamientos de la economía, y con ello las actividades de los individuos quienes encuentran en el manejo del capital, el activo de mayor comercialización. Ello supone que las sociedades que desean incrementar sus mercados o aumentar sus fuerzas productivas, deberán adquirir activos de manos de sociedades productoras, al igual que facilitar el ingreso de capitales de inversión y operación. Este capital es un activo cuya puesta al servicio permite alcanzar utilidades en órdenes diversos de rentabilidad económica en función de la clase y de las características de la actividad. Luego una fuente de capital invertido acumula utilidades dispuestos nuevamente en capital. Se presentan entonces nuevas inquietudes ¿Qué alternativas me conduce a una mayor rentabilidad o a menores costos de operación? Para el caso inicial, ya se ha entendido que las labores de inversión de capital tienen como resultado la obtención de rentabilidad. Para el caso de capitales dados en crédito, la generación de utilidades se expresa por medio de la devolución adicional a la cantidad original prestada, definido estos pagos en función de una serie de factores para tal caso. Estas acumulaciones que aumentan la cantidad original de estos capitales, es lo que se denomina interés.

14


1.2 CONCEPTO DE INTERES Definido un capital C y dado en modalidad de crédito a un usuario para ser devuelto en un tiempo t compuesto por n períodos, podemos encontrar una serie de relaciones entre estos elementos. Luego de un intervalo de tiempo ∆t, la cantidad original ha acumulado ganancia valorada en una fracción del capital original. Ahora, si el instante inicial es to, el nuevo período está definido por t= to + ∆t. Transcurrido este tiempo se ha generado una cantidad i que es función del capital inicial y de los términos en que fue suscrita la tenencia. Esta cantidad se denomina interés. La tenencia de capital en préstamo tiene costo, y esto sucede por la simple razón que al disponer tal capital en otra alternativa de inversión generará una utilidad distinta. Expresado funcionalmente tenemos: Para t= to la cantidad inicial en préstamo es C Para t= to +∆t, la cantidad de capital corresponde a C + interés (I) El interés generado puede expresarse como una fracción de C, en lo que podemos aproximarla a fC por lo generado para un intervalo definido, en un período ofrece al final C + fC, donde f es una variable que identifica la ganancia de interés por período. Luego, el interés acumulado a lo largo de n períodos de tiempo, puede relacionarse como cantidad final – cantidad inicial= C+fC-C= fC. Esta es la primera conclusión importante, nos establece que luego de consumirse los períodos, el capital se ha acumulado en un valor fC. No es congruente la comparación de dos cantidades de capital en períodos distinto. Para que esta comparación pueda efectuarse es necesario que medie una equivalencia entre dos tiempos distintos. Esta equivalencia la proporciona sólo el interés.

15


Igualar una cantidad de hoy con una dentro de 48 meses, o una de hace 56 meses con una de hoy, sólo es posible con el interés. Esta premisa nos permite definir muy sutilmente

que

cualquiera

cantidad

de

capital

dispuesta en la alternativa

correspondiente generará devoluciones agregadas a este capital inicial. Esta la para toma de decisiones en la inversión de capitales. Determinar la variación periódica de un capital, debe introducirse el concepto de tasa de interés. Esta tasa nos permite proyectar y entender la manera como cambia un valor inicial a lo largo de n períodos. La tasa de interés puede evaluarse a partir de la ecuación siguiente

Tasa de interés = i =

Interés x 100 Cantidad inicial

El concepto de amplio y masivo uso, tanto en el sector financiero como fuera de él, es la tasa de interés. Esto se presenta por sólo ella permite actualizar cualquier capital en cualquier momento. Veamos la siguiente inquietud. Ejercicio 1. Un individuo coloca $40’000.000 en una cuenta fiduciaria en septiembre 1. Al cabo de 6 meses retiró el aporte y la fiduciaria le entregó $42’500.000. ¿Cuál es el interés y tasa de interés causado? Interés= 42’500.000 - 40’000.000 = 2’500.000 Tasa de interés.

2' 500.000 X1OO= 6.25%. Como el período de capitalización es 40' 000.000

mensual, la tasa de interés debe expresarse en igual período, es decir, mensual

16

6.25 =1.041% 6


Ejercicio 2. ¿Cuál es el interés o cantidad a pagar dentro de un mes por un crédito de $15’000.000 con tasa de interés del 2.25% mensual?

I=

Interés , luego, el interés corresponde a = 15’000.000 x 0.0225= $337.5000 Cantidad original

Establecemos entonces, que el interés I es una cantidad a diferencia de la tasa de interés i la cual corresponde a un porcentaje.

1.3 TIPOS DE INTERÉS 1.3.1 Interés simple. Cuando a lo largo de varios períodos se pagan intereses teniendo sólo en cuenta el capital inicial, estamos frente a interés simple. Ejercicio 3. Describa la relación de pagos para devolver un préstamo de $10,000,000 pagando intereses durante 5 meses y realizar la devolución al final del período, tomado a una tasa del 2% mensual simple. El interés para cada mes está definido por la cantidad equivalente a saldo x tasa de interés

Mes

Saldo

Interés Devolución

0

10000000

0

1

10000000 200000

0

2

10000000 200000

0

3

10000000 200000

0

4

10000000 200000

0

17


5

10000000 200000 10000000

Nótese que el saldo no varía a lo largo de los períodos de pagos. A nivel financiero los pagos se realizan de una manera distinta.

1.3.2 Interés compuesto. Manejemos el crédito anterior pero añadiendo una diferencia referente con el saldo. En esta modalidad los intereses generados en un período se acumulan con la cantidad original y forman el saldo de capitalización para el siguiente período. Este es el tipo de interés manejado en el sector financiero.

Saldo

Mes

Saldo inicial

Interés

0

10000000

0

10000000

0

1

10000000

200000

10200000

0

2

10000000

204000

10404000

0

3

10000000

208080

10612080

0

4

10000000

212241,6

10824321,6

0

5

10000000

216486,4

11040808,0

11040808,03

acumulado

Devolución

1.4 FACTORES DE EQUIVALENCIA Miremos el comportamiento del flujo de dinero prestado, contemplando la recepción del préstamo, los abonos de intereses periódicos y la devolución del crédito al final del período 5

18


1,000,000

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

200000 204000

208080

21648

212241

+

10000000

Este diagrama se conoce como diagrama de flujo. En el desarrollo de este texto, tendrá un uso permanente para notación y representación de situaciones. En él los ingresos, utilidades o dividendos se representan como flechas ascendentes, y los egresos, pagos o inversiones se denotan como flechas descendentes. Los diagramas de flujo

nos

permiten

el

entendimiento

de

situaciones

donde

se

involucran

indistintamente inversiones, pagos, retiros y demás transacciones que lleguen a implicarse.

P1

P2

n=1

P3

n=2

P4

n=3

n=4

P5

n=5

P0

En el diagrama anterior se observa una inversión Po al inicio de un período 0 y posteriormente el retiro de cinco cantidades iguales al final de cada período siguiente, P1, P2, P3, P4 y P5 de manera respectiva.

19


Ejercicio 4. Construya el diagrama de depósitos de $700.000 que desean hacerse cada dos años a partir del final del primer año a fin de realizar al final del año 7 el retiro de todas las cantidades con sus intereses expresado como P -

P

n=1

n=2

700000

n=3

n=4

n=5

700000

n=6

n=7

700000

Surgen inquietudes respecto a la pronosticar el comportamiento de las cantidades dispuestas en un flujo específico. ¿Si tengo hoy disponible un monto P para inversión, y la tasa de interés ofrecida es i evaluada por mes, cuánto tendré dentro de treinta meses si tomo la decisión de invertir hoy?

1.4.1 Valor Futuro Pn. Del ejercicio 3 podemos extraer un comportamiento del crédito con monto P frente a la tasa de interés i. Para el primer período, n=1, el saldo al final del período resulta ser P + Pi, es decir P1 = (1 + i). Para n=2, el valor se inicia con el saldo final del período anterior, es decir, P + Pi. Sin embargo al final del período esta cantidad ha originado un interés en este período de valor (P + Pi)i, con lo que resulta P + Pi+( P + Pi)i. Solucionando esta ecuación tenemos P+Pi+ Pi+ Pi2, a P(1 + 2i + i2) este es un producto notable que puede factorizarse como P2 = (1+i)2 Para n=3, el valor de saldo al inicio del período es P + Pi+( P + Pi)i, el cual generará un interés correspondiente a (P + Pi+( P + Pi)i)i, con ello el saldo final es P + Pi+( P + Pi)i

20


+ (P + Pi+( P + Pi)i), esta ecuación resulta como P(1 + 2i + i2 + i + 2i2 + i3), factorizado como P(1 + 3i + 3i2 + i3), esto corresponde al producto P3 = P(1 + i)3 Por deducción para otros períodos ∀ n, Pn = (1+i)n Valor futuro lo definimos como el valor equivalente Pn de un valor actual P determinado en un período n requerido. Esta ecuación es de mucho valor en la Ingeniería Económica, pues nos permite hallar la equivalencia entre dos montos, fijados en períodos distintos mediando de intermedio el interés.

Ejercicio 5. ¿Cuánto dinero acumularé al final de 30 meses, si dispongo ahora de $15000000 para inversión, a una tasa de 1.5% mensual? P

15000000

I

1,5% mensual

n

30 meses

P30

n=1

n=2

n=3

n=4

n=30

P=15000000

P30 = P(1 + i)30 = 15000000(1 + 0,015)30 = $23446203,3

21


Ejercicio 6. Resolver el ejercicio 3 para determinar el saldo resultante utilizando la fórmula de valor futuro. P

10,000,000

I

2% mensual

n

5 meses P5

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

P=10000000

P5 = P (1 + i )5 = 10000000(1 + 0,02)5 = $11040808 .

Para el cálculo del capital acumulado en períodos futuros o hacia atrás, los intereses que se cobran son compuestos. Nótese la diferencia entre el saldo del ejercicio 6 y el resultante en el ejercicio 3

1.4.2 Valor Presente P. Denominado también valor actual y corresponde efectivamente a las sumas de dinero acumuladas para un período actual o las que corresponden a un período en estudio. No significa ello que P corresponda exclusivamente a valor correspondiente al período n=0. En el cálculo de valores, P corresponde a un valor que puede fijarse en cualquier período desde el cual se toma como punto de partida para examinar valores que se encuentran períodos adelante o atrás. El valor presente puede expresarse mediante la ecuación de valor futuro, de forma

22


P=

Pn (1 + i)n

Expresado de otra manera, el valor presente es el equivalente de un valor futuro evaluado n períodos atrás.

Ejercicio 7. ¿De cuánto dinero debo disponer hoy si deseo tener $23,000,000 para acceder a la cuota inicial de un apartamento dentro de 10 años, si las tasas de captación más atractivas están en el orden del 0.2% mensual? Pn=

23000000

n=

120

i=

0,002 23000000

n=1

n=2

n=3

n=80

n=120

P=?

P=

23000000 = $18,O96,777 (1 + 0.002)120

Obsérvese que el rendimiento es muy lento, pero es posible elegir entre la presentación de otras acciones con menor tiempo, mayor rentabilidad y sin duda con una variante del riesgo, el cual es un factor asociado a cada evento Los eventos presente y futuro se desarrollan en un ambiente de variables y parámetros, lo cual, para pasar de uno a otro de desarrolla en medio de probabilidad. Los ejercicios realizados hasta ahora se enmarcan en la probabilidad más alta de realizarse. Sin

23


embargo es posible que el evento de alcanzar tal posibilidad esté marcado por un escenario de baja probabilidad.

1.4.3 Anualidades o series uniformes de recuperación de capital. Analicemos el siguiente flujo del diagrama

10000000

n=1

n=2

A

n=3

A

n=4

A

n=5

A

n=6

A

n=7

A

A

Si realizamos un crédito para construcción por $10000000, cual es la cuota mensual que debemos pagar mensualmente dentro de los siguientes 7 meses para devolver el crédito, pagando en cada abono, tanto intereses como capital?

La alternativa para solucionar esta situación sólo es posible a través del cálculo de anualidades. Las anualidades son una serie uniforme y periódica de valores futuros que discretizan pos la magnitud y la frecuencia. Para el caso de préstamos, la generación de la cuota es la determinación del pago periódico con el cual se amortizan tanto intereses del saldo original como abonos al mismo. Para el caso de abonos hacia la acumulación de un capital futuro, las cuotas mensuales son la expresión del pago mínimo periódico para acumular tal capital.

24


P

A

n=1

n=2

A

n-2

A

n-1

A

n

A

n=1

A

A

n=2

A

n-2

A

n-1

P

Para poder relacionar P con la serie de valores A, es necesario describir A en función de P, es decir que a lo largo del tiempo existe equivalencia de forma

P=

n

A

∑ (1 + i) j =1

n

. Ahora es necesario determinar período por período la suma de los

valores futuros A traídos y evaluados en n=0, de manera que la suma algebraica de ellos sea igual a P

P=

A A A A A , multiplicando toda la expresión por + + ... + + 1 2 n −1 n (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)

P A A A A = + + ... + + 2 3 n (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n +1 Restando de la ecuación anterior la primera, tenemos como resultado:

25

A

n


P A A ; −P = − + −1 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )n +1  1   1  1 P 1 + −  = A n +1   (1 + i )   (1 + i ) (1 + i )   i  A  1  P 1 − = n  (1 + i )  (1 + i )  (1 + i ) 

Pi =

A (1 + i )n

[(1 + i)

n

]

− 1,

de aquí que finalmente

A=

Pi(1 + i )n

[(1 + i)

n

]

−1

La premisa fundamental de esta deducción es considerar que los pagos se realizan al final de cada período. Esta expresión hallada es denominada factor de recuperación de capital y tiene una aplicación enorme, tanto en temas financieros como en los de evaluación de proyectos de inversión. Vamos a determinar A en función de Pn

A=

Pi(1 + i)n (1 + i)n − 1

[

]

A=

Pn i(1 + i)n (1 + i)n (1 + i)n − 1

A=

Pni (1 + i)n − 1

[

]

Una de las aplicaciones de mayor reconocimiento de la anualidad es la obtención de valores de cuotas o abonos de créditos y en la valoración de costos uniformes anual equivalentes CUAE, referente a los gastos de operación y mantenimiento en un proyecto

26


Ejercicio 8. ¿SI empiezo ahorra dentro de un año, cuánto dinero debo consignar mensualmente durante tres años si deseo tener al final del cuarto año, una cantidad de $12,000,000 manejando una tasa de interés mensual del 2%? Aquí debemos relacionar una serie uniforme A con un valor futuro Pn a lo largo de 36 meses. Nótese que la anualidad se comienza a pagar en el momento n=0, con lo cual se realizarán entonces 37 pagos.

n=0

A

A=

n=1

A

n=2

A

n=12

n=24

A

n=36

A

Pni 12,000,000 x 0,02 = = $230,794.2 n (1 + i) − 1 (1 + 0,02)36 − 1

1.5 INTERESES PAGADOS POR ANTICIPADO Y POR PERÍODO VENCIDO. Imaginemos el desembolso de un crédito de $10,000,000 a una tasa del 15% anual para ser devuelto dentro de un año. En esta instancia la condición para acceder al crédito es el pago anticipado de los intereses, es decir, en el inicio de cada período de pago y no al final como veníamos trabajando, con lo que del préstamo se descuenta el valor de los intereses. 10,000,000

n=1

1,500,000

10,000,000

27


Determinamos efectivamente el interés cobrado.

Pn = P(1 + i)n 1

Luego i = (

10000000 Pn n − 1 = 1.176 − 1 = 17.64% . En ) − 1 , comoquiera que n=1, i = 8500000 P

los pagos por anticipados, el interés efectivamente cobrado es mayor al que inicialmente se definía.

Veamos el caso del mismo préstamo con la variante que en éste, los intereses se pagan al final del período

10,000,000 n=1

+

10,000,000 1,500,000

Luego i =

11,500,000 − 1 = 1.15 − 1 = 15% . En efecto, sólo cuando los pagos de intereses 10,000,000

se realizan al final del período, la tasa de interés que se anuncia coincide con la tasa finalmente cobrada

28


CAPITULO

CAPITALIZACION DE INTERESES

2. CLASIFICACION DE LAS TASAS DE INTERES

II

En la capitalización de intereses, vemos por ejercicio como los depósitos a término fijo DTF varían diariamente, como la UVR igualmente varía cada día, los préstamos de diferente índole causan intereses mensuales, es decir, existe distinta longitud para cobrar intereses por los saldos acumulados.

2.1 PÉRIODOS DE CAPITALIZACIÓN. Corresponde a la longitud de tiempo o al intervalo temporal en los cuales se causan o se abonan intereses. Si el período de capitalización es diario, tal como UVR y DTF, se generan intereses diariamente. Si este período se vuelve bimestral, cada dos meses deberán pagarse o abonarse intereses por los saldos acumulados del crédito o del valor dado en custodia.

2.2 PERÍODOS DE PAGO Corresponde al tiempo de frecuencia de devolución del capital mediante anualidades, mediante el cual se abona o se pagan las obligaciones.

29


Si el período pactado con quien concede el crédito es mensual, la obligación deberá devolverse mensualmente hasta el número de cuotas igualmente pactadas. Si por el contrario, si para un caso específico, la recuperación de capital se plante a través de trimestres,

cada

3

meses

deberán

abonarse

o

cancelarse

las

obligaciones

correspondientes. Es necesario e imprescindible que la unidad de tiempo asignada tanto el período de capitalización coincida con la asignada al período de pagos. Para la entidad que entrega el dinero en préstamo le es interesante sostener una deuda que crece diariamente, pero no así resulta para quien la recibe en igual modalidad.

Ejercicio 9. Desarrolle la amortización de un crédito por $10,000,000, entregados a una tasa semanal del 0.5%. Esta tasa nominalmente equivale a una del 2% mensual, el cual será devuelto a lo largo de 12 meses. El período de pago es mensual Valor crédito

10,000,000

Número de períodos n

12

Tasa de interés de capitalización

0,05%

Semanal

2%

Mensual

$ 836.044,15

Mensual

Cuota de pago o anualidad La tabla de pagos resultante es la siguiente:

Semana

Valor

Abono de intereses

Abono a capital

Saldo

0

$ 0.00

0

0

$10,000.000.00

1

$ 836,044.15

200000

$ 636,044.15

$ 9,363,955.85

2

$ 9,368,637.83

3

$ 9,373,322.15

4

$ 836,044.15

187466.443

$ 648,577.71

$ 8,724,744.44

5

$ 8,729,106.81

6

$ 8,733,471.37

7

$ 8,733,471.37

30


Semana

Valor 8

$ 836,044.15

Abono de intereses 174669.4274

Abono a capital $ 661,374.72

Saldo $ 8,072,096.65

9

$ 8,076,132.70

10

$ 8,080,170.76

11

$ 8,080,170.76

12

$ 836,044.15

161603.4152

$ 674,440.73

$ 7,405,730.03

13

$ 7,409,432.89

14

$ 7,413,137.61

15

$ 7,416,844.18

16

$ 836,044.15

148336.8836

$ 687,707.27

$ 6,729,136.91

17

$ 6,732,501.48

18

$ 6,735,867.73

19

$ 6,739,235.67

20

$ 836,044.15

134784.7133

$ 701,259.44

$ 6,037,976.23

21

$ 6,040,995.22

22

$ 6,044,015.72

23

$ 6,047,037.72

24

$ 836,044.15

120940.7545

$ 715,103.39

$ 5,331,934.33

25

$ 5,334,600.30

26

$ 5,337,267.60

27

$ 5,339,936.23

28

$ 836,044.15

106798.7246

$ 729,245.42

$ 4,610,690.81

29

$ 4,612,996.15

30

$ 4,615,302.65

31

$ 4,617,610.30

32

$ 836,044.15

92352.20604

$ 743,691.94

$ 3,873,918.36

33

$ 3,875,855.32

34

$ 3,877,793.25

35

$ 3,879,732.14

36

$ 836,044.15

77594.64286

$ 758,449.51

$ 3,121,282.64

37

$ 3,122,843.28

38

$ 3,124,404.70

39

$ 3,125,966.90

40

$ 836,044.15

62519.33805

41

$ 773,524.81

$ 2,352,442.09 $ 2,353,618.31

31


Semana

Abono de intereses

Valor

Abono a capital

Saldo

42

$ 2,354,795.12

43

$ 2,355,972.52

44

$ 836,044.15

47119.45039

$ 788,924.70

$ 1,567,047.82

45

$ 1,567,831.35

46

$ 1,568,615.26

47

$ 1,569,399.57

48

$ 836,044.15

31387.99137

$ 804,656.16

$ 764,743.41

Podemos observar en la gráfica 4, el comportamiento de este crédito. Vemos que los descensos del saldo se realizan mensualmente cuando se efectúan los pagos correspondientes. Sin embargo para cualquier mes en particular, es posible apreciar que el saldo existente al momento del pago no coincide con el del siguiente mes. Esto se explica si se nota que dentro de un mes el saldo se capitaliza semanalmente, con lo que en un mes se presentan 3 alzas del saldo que corresponden a las líneas con pendiente ascendente posteriores a cada fecha de pago que aparentemente aparecen como horizontales

MOVILIDAD DE SALDOS CON UNIDADES DE PERIODOS DE CAPITALIZACION Y PAGO DISTINTOS

10000000 9000000 8000000

Saldos ($)

7000000 6000000 5000000 4000000 3000000 2000000 1000000 0 0

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 Períodos (semanas)

Gráfica 1. Comportamiento de un crédito con períodos de capitalización y pago diferentes.

32


Al finalizar el período 12, la amortización de las anualidades no cierran el crédito, pues aparece un saldo por valor $ 764.743,41 que deberá pagarse en adición al valor de propio de la cuota. Es decir, para poder cancelar el crédito, en el último período, deberán abonarse a la deuda $ 1.600.787,56, en contraste con el valor de la cuota por $ 836.044,15

Ejercicio 10. Imaginemos un crédito por valor de $1,000,000, el cual tiene período de pago anual y una tasa de interés del 1% mensual. El interés a lo largo del año aparentemente corresponde a 12 x 1% = 12%.

Esta

premisa sería válida si la modalidad del interés fuera simple, de manera que se pagase interés por un saldo sin variar a lo largo del crédito, sin embargo el interés financiero, como habíamos mencionado en el capítulo I, es compuesto. De manera que a los saldos periódicos, se les suma el interés periódico acumulado. Para este crédito el interés efectivamente generado es de 12,68% frente a un aparente o nominal del 12% Que sucedería si el crédito se pagase por períodos quincenales, ¿Cuál sería el interés efectivamente cobrado

2.3 TASA DE INTERÉS NOMINAL. Esta variedad significa que el interés que se pronostica es aparente. En adelante distinguiremos este interés como r. La tasa nominal anual es la tasa que se obtiene al final de un periodo anual siempre y cuando los rendimientos generados periódicamente no se reinviertan. Por lo tanto tasa nominal anual constituye una función lineal al cabo del periodo anual.

La variación de la tasa nominal se determina en función del período inicial y los períodos o subperíodos de capitalización en estudio.

33


El interés nominal r dado en cada subperiodo puede expresarse como rn para cualquier período que contenga n subperíodos

rn = r

x

n

Ejercicio 11. Determine la variación del interés subperiódico r=0,21 semanal, en mensual, bimestral, trimestral, semestral y anual.

Período

Subperíodos

# de Interés subperíodos subperíodico Notación

Interés periódico

Mes

Semana

4

0,21%

4 x 0,21

0,84%

Bimestre

Semana

8

0,21%

8 x 0,21

1,68%

Trimestre Semana

12

0,21%

12 x 0,21

2,52%

Semestre Semana

24

0,21%

24 x 0,21

5,04%

Año

48

0,21%

48 x 0,21

10,08%

Semana

Obsérvese que puede pasarse de un subperiodo a un período mayor tanto como de un período mayor a un subperíodo. Para el ejercicio anterior, pártase del interés nominal anual y determine las tasas subperiódicas semestral, cuatrimestral, bimestral, mensual, semanal y diario

Período

Subperíodos

# de subperíodos

Interés periódico

Notación

Interés periódico

Año Año

Semestre Cuatrimestre

0,5 0,333333333

10,08% 10,08%

1 x 1/2 1 x 1/3

5,04% 3,36%

Año

Bimestre

0,166666667

10,08%

1 x 1/6

1,68%

Año

Semana

0,020833333

10,08%

1 x 1/48

0,21%

34


Año

Día

0,002739726

10,08%

1 x 1/365

0,03%

El interés nominal se expresa mencionando solo el valor de la tasa y el período de capitalización, 2% mensual, 1.2% quincenal

2.4 TASA DE INTERÉS EFECTIVA Y EQUIVALENCIA ENTRE TASAS Las tasas efectivas corresponden al interés verdaderamente cobrado o abonado para una operación definida. Es la tasa que se obtiene al final de un periodo anual, siempre y cuando los rendimientos generados periódicamente se reinviertan a la tasa de interés periódica pactada inicialmente. Por lo tanto la tasa efectiva anual es una función exponencial de la tasa periódica. Estas tasas se expresan enunciado el valor de la tasa respectiva, seguida del período de pago y del período de capitalización. Otra forma de expresar este interés es enunciar la tasa de interés correspondiente, complementado por la palabra efectiva y seguida del período de pago. 1.2% mensual x mes 4,6% cuatrimestre por mes 13% anual x año 1,2% efectivo mensual 4,6% efectivo cuatrimestral 13% efectivo anual. Estas notaciones muestran una congruencia entre los períodos de capitalización y de pago. Las tasas efectivas varían exponencialmente en la medida que suben o descienden subperíodos, al contrario de la forma aritmética de las tasas nominales

35


Al final de un período n, la tasa nominal se habrá aumentado en un valor (1+i) y la tasa efectiva habrá variado (1+ri)n, donde ri es la tasa subperiódica. Con lo cual al igualar estos montos deberán ser iguales, de manera que (1+i) =(1+r)n i= (1+ri)n-1, Pero si cuando se desciende en subperíodos, la ecuación toma la forma

i

1 n = (1 + ri )

− 1.

Al tener un período n subperíodos, es posible deducir en orden contrario que un subperiodo contiene a la vez

1 períodos. n

Algunos autores expresan las tasas nominales mediante le siguiente expresión. 1

i = (1 +

ro n ) − 1 , donde ro es la tasa de interés nominal en estudio y m es el número de m

veces que se capitaliza ro dentro de un período n. Interesa tener claro que tanto ri como ri corresponde a la tasa de interés que efectivamente se capitaliza de manera m

subperiódica en definidos subperíodos de pago.

Ejercicio 12. Determine la variación de las tasas efectivas del interés semanal mostrado en el Ejercicio 14 evaluado para los mismos períodos.

Período Mes

Subperiodo Semana

# de subp

Interés subp 4

Notación

0,21%

36

(1 + 0,0021) 4 − 1

Interés periódico

Denominación

0,843% efectivo mensual


Bimestre

(1 + 0,0021)8 − 1

Semana

8

Trimestre Semana

12

0,21% (1 + 0,0021)12 − 1

Semestre Semana

24

24 0,21% (1 + 0,0021) − 1

Año

48

48 0,21% (1 + 0,0021) − 1

Semana

0,21%

efectivo 1,692% bimestral efectivo 2,549% trimestral efectivo 5,164% semestral 10,594% efectivo anual

Obsérvese que existen diferencias entre los valores nominales y las tasas efectivas correspondientes a períodos iguales señalados indistintamente en ambos ejercicios.

Ejercicio 13. Describa las variaciones de una tasa de interés mensual del 2.0 % y realice la comparación entre los valores nominales y efectivos para los mismos períodos

Interés nominal mensual Subperíodo

Período

Mensual

2,00%

Bimestre

# de subperíodos 2

Notación nominal 2 x 0,02

Interés efectivo 4,040%

3 x 0,02

Interés Notación nominal efectiva 4,000% (1 + 0,02)2 − 1 6,000% (1 + 0,02)3 − 1

Mensual

Trimestre

3

Mensual

Cuatrimestre

4

4 x 0,02

8,000%

(1 + 0,02)4 − 1

8,243%

Mensual

Semestre

6

6 x 0,02

12,616%

Anual

12

12 x 0,02

12,000% (1 + 0,02)6 − 1 24,000% (1 + 0,02)12 − 1

Mensual

6,121%

26,824%

Mediante este ejercicio es necesario observar la diferencia en las tasas acumuladas de interés para un determinado período. Esta situación es clara: Las tasas efectivas se calculan mediante fracción exponencial, mientras que las tasas nominales se expresan de forma aritmética

37


Ejercicio 14. ¿A cuanto ascenderá una deuda de $7,000,000 dentro de 18 meses tomados a una tasa efectiva del 1.6% anual liquidado por mes? Es necesario determinar la tasa de interés efectivo anual por año, decir, la tasa correspondiente a un período de pago de un año y período de capitalización anual.

7,000,000 n=1

n=1,5

Pn

i anualxaño = (1 + 0,016)12 − 1 = 20,98% Como el período de capitalización es anual, el número de períodos n es 1,5. Luego Pn = (1 + 0,2098)1,5 = $9,314,698

38


CAPITULO

AMORTIZACION DE CREDITOS DE CONSTRUCCIÓN

III

Es imprescindible obtener las influencias de orden financiero y económico que se

suscitan por la posesión de crédito, para definir de forma muy certera el proceso de evaluación económica de un proyecto de construcción. La tenencia de un crédito trae inmersa una trama de situaciones que pueden volverse complejas. Es también posible que manejadas deficientemente pueden ofrecer el fracaso financiero y económico de un proyecto de construcción. Los créditos de construcción en Colombia están regulados y la modalidad y términos de manejo están definidos por normas. Para construcción de edificaciones, los créditos están presentes en una modalidad distinta de los créditos para adquisición de activos tal como veremos más adelante Tener un crédito para construir edificaciones tiene un costo que debe ser estudiado en la generación de costos totales del proyecto y finalmente incluido dentro del área vendible.

3. DEVOLUCIONES DE CREDITO Los créditos se retornan mediante pagos de una serie uniforme o cuotas que se pagan periódicamente a lo largo de una longitud de período n en el cual la tasa de interés

39


puede mantenerse fija o variable de acuerdo a lo que se exprese en los iniciales suscritos. 3.1 CRÉDITOS EN PESOS. Los créditos en pesos implican una devolución del crédito a partir del cálculo de una serie de cuotas tomando como valor presente el valor en pesos del crédito en estudio. Los créditos para construcción de edificaciones no se efectúan en pesos de acuerdo a la legislación colombiana. Sin embargo los créditos para compra de inmuebles o diferentes activos, están presentes en pesos Lo interesante al tomar un crédito, en cualquiera modalidad, se define por la manera como se comportan los saldos de la deuda tras los pagos periódicos. Para todas las modalidades de crédito existen muchas formas de devolver el monto prestado

3.1.1 Cuota fija con abono variable a capital e intereses.

En esta modalidad se calcula la cuota de pago a lo largo del crédito. Los abonos a intereses se causan sobre el saldo del período inmediatamente anterior. El excedente de la cuota sobre este valor es el abono a capital. El pago de cuotas mediante el sistema de anualidades calculadas con base en el valor presente del crédito P tomado en el período n=0, la tasa de interés i al momento de tomar el crédito y la longitud total de tiempo. Calculadas las anualidades con base en el valor presente o futuro se desarrolla en la serie aportes periódicos al capital y pago de intereses al saldo de la deuda que se amortizan de cuota a cuota.

40


Ejercicio 15. Calcule la serie de pagos para un préstamo de $10,000,000 a ser devuelto mediante cuotas iguales en un plazo de 12 meses a una tasa de interés del 2% mensual. P=

10000000, n= 12 e i= 0,02%

A en función de P, con una tasa de interés i, n períodos, se denota como (A/P,i, n)

A=

10,000,000 x 0,02 x(1 + 0,02)12

[(1 + 0,02)

12

]

−1

= $ 945.595,97

Realicemos ahora la tabla de amortización de intereses y abonos a capital

Tabla 1. Tabla de amortización de pagos No de cuota

Valor

Abono de

Abono a

intereses

capital

0

Saldo 10000000

1

$ 945.595,97

200000

$ 745.595,97

$ 9.254.404,03

2

$ 945.595,97

185088,081

$ 760.507,89

$ 8.493.896,15

3

$ 945.595,97

169877,923

$ 775.718,04

$ 7.718.178,10

4

$ 945.595,97

154363,562

$ 791.232,40

$ 6.926.945,70

5

$ 945.595,97

138538,914

$ 807.057,05

$ 6.119.888,65

6

$ 945.595,97

122397,773

$ 823.198,19

$ 5.296.690,46

7

$ 945.595,97

105933,809

$ 839.662,16

$ 4.457.028,30

8

$ 945.595,97

89140,566

$ 856.455,40

$ 3.600.572,90

9

$ 945.595,97

72011,458

$ 873.584,51

$ 2.726.988,39

10

$ 945.595,97

54539,7678

$ 891.056,20

$ 1.835.932,19

11

$ 945.595,97

36718,6438

$ 908.877,32

$ 927.054,87

12

$ 945.595,97

18541,0974

$ 927.054,87

$ 0,00

41


Expliquemos la cuota 1. El abono a intereses en la tercera columna corresponde al producto del saldo acumulado en el período anterior n=0 por la tasa de interés, esto es $10,000,000 x 0,02=$200,000. El abono a capital de la cuarta columna se obtiene al restar el valor pagado en la cuota del abono de intereses, ello es, $945,595.97 – $200,000=$745,595.97 La gráfica siguiente muestra el comportamiento de este crédito

COMPORTAMIENTO DE UN CREDITO EN PESOS 10000000

Saldo ($)

8000000 6000000 4000000

2

y = -10540x - 689142x + 1E+07

2000000 0 0

2

4

6

8

10

12

Períodos de pago (meses)

Gráfica 2. Comportamiento general de un crédito El movimiento de datos en la serie del crédito nos muestra que el comportamiento no corresponde a una línea recta sino a una curva polinomial. La ecuación que rige este caso en específico es y=-10540X2 – 68912X + 10000000, donde x es define los períodos de pago y la variable y define los saldos de la deuda. Esta serie de valores no presenta dispersión frente a la línea de tendencia teniendo un coeficiente de correlación de 1. Si buscáramos una línea de tendencia lineal, la recta más cercana a estos valores, tiene ecuación y = -832735x + 1E+07, con un coeficiente de correlación de valor 0,9989, presentando dispersión de datos respecto a la primera del 0,11%.Por ello trabajaremos con la primera ecuación.

42


3.1.2 Cuota variable con abono constante a capital En esta opción el valor de la cuota es reajustado periódicamente. Solo es constante el valor del aporte que se hace al capital. El abono de intereses se realiza igualmente sobre los saldos del período inmediatamente anterior. El aporte a capital se obtiene de dos formas. La primera es el cociente entre el monto del crédito sobre el número de períodos de pago Aporte =

valor prestado Número de períodos

La segunda forma resulta de tomar un valor definido de aporte al capital, con lo cual el número de períodos se calcula por el valor prestado sobre el aporte en cuestión

Ejercicio 16. Realice el listado de amortización del crédito presentado en el Ejercicio 2 mediante el sistema de abono constante a capital para a) 12 períodos de pago y b) un aporte definido por el cliente de $500.000 Primera forma Valor del aporte fijo=

10,000,000 = 833,333 12

Aporte fijo No de cuota 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

833333,3 Valor cuota

1033333,3 1016666,7 1000000,0 983333,3 966666,7 950000,0 933333,3 916666,7

Abono de intereses 200000,0 183333,3 166666,7 150000,0 133333,3 116666,7 100000,0 83333,3

43

Abono a capital 833333,3 833333,3 833333,3 833333,3 833333,3 833333,3 833333,3 833333,3

Saldo 10000000,0 9166666,7 8333333,3 7500000,0 6666666,7 5833333,3 5000000,0 4166666,7 3333333,3


No de cuota 9,0 10,0 11,0 12,0

Valor cuota 900000,0 883333,3 866666,7 850000,0

Abono de intereses 66666,7 50000,0 33333,3 16666,7

Abono a capital 833333,3 833333,3 833333,3 833333,3

Saldo 2500000,0 1666666,7 833333,3 0,0

Y mediante la segunda forma Valor del aporte fijo

500000,0

Número de períodos n No de cuota

Valor cuota

20,0 Abono de intereses

Abono a capital

0,0

Saldo 10000000,0

1,0

700000,0

200000,0

500000,0

9500000,0

2,0

690000,0

190000,0

500000,0

9000000,0

3,0

680000,0

180000,0

500000,0

8500000,0

4,0

670000,0

170000,0

500000,0

8000000,0

5,0

660000,0

160000,0

500000,0

7500000,0

6,0

650000,0

150000,0

500000,0

7000000,0

7,0

640000,0

140000,0

500000,0

6500000,0

8,0

630000,0

130000,0

500000,0

6000000,0

9,0

620000,0

120000,0

500000,0

5500000,0

10,0

610000,0

110000,0

500000,0

5000000,0

11,0

600000,0

100000,0

500000,0

4500000,0

12,0

590000,0

90000,0

500000,0

4000000,0

13,0

580000,0

80000,0

500000,0

3500000,0

14,0

570000,0

70000,0

500000,0

3000000,0

15,0

560000,0

60000,0

500000,0

2500000,0

16,0

550000,0

50000,0

500000,0

2000000,0

17,0

540000,0

40000,0

500000,0

1500000,0

18,0

530000,0

30000,0

500000,0

1000000,0

19,0

520000,0

20000,0

500000,0

500000,0

20,0

510000,0

10000,0

500000,0

0,0

44


Veamos ahora cual es la diferencia entre las dos opciones. La selección de una de estas alternativas responde al comportamiento de los intereses sobre el saldo de la deuda

Movilidad de intereses bajo distintas formas de amortización

Abonos de interés ($)

200000 150000 a 100000

b variable

50000 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Períodos (meses)

Gráfica 3. Movilidad de intereses bajo distintas formas de amortización

En la gráfica 3 es posible observar los comportamientos de pago de intereses bajo las tres formas vistas de amortización. La línea superior y media representan la segunda y primera forma para cuota variable de pago. La línea inferior corresponde a una forma de pago mediante cuota fija. Comoquiera que ambos trazos, son líneas de función, es posible determinar las áreas cubiertas por cada una de ellas. La integración definida entre 0 y 12 nos permite concluir que el área mayor corresponde a la línea que corresponde a la primera forma de pago con cuota variable. Ello quiere decir que en esta forma se abona mayor valor de intereses que en las restantes. A nivel financiero es más frecuente encontrar la devolución de crédito en cuotas variables desarrolladas a partir de la primera forma descrita en el numeral 3.1.1

45


4. MODALIDADES DE CREDITO Estudiemos la gráfica 1. Para un período n=0, el saldo de la deuda tiene valor igual al monto original prestado por cuanto no se ha realizado abonos de capital. Para n= 1, el saldo ha decrecido de acuerdo a la función s n = s n −1 − Ai , donde sn es el saldo para un período cualquiera n, sn-1 corresponde al saldo del período inmediatamente anterior a n y Ai es el aporte al capital original prestado El comportamiento de abono de intereses es contrario al del abono a saldos. El pago máximo de intereses está dado para n=0, donde el valor del saldo es máximo. En este período el aporte a capital es mínimo. Para el período final n el pago de intereses se ve reducido al valor mínimo, mientras que el aporte a capital en este mismo período es el valor más alto.

COMPORTAMIENTO COMBINADO DE INTRESES Y APORTES AL CAPITAL PRESTADO 1000000 900000 800000 Valores ($)

700000 600000 Int er eses

500000 400000

Apor t es

300000 200000 100000 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Períodos de pago (meses)

Gráfica 4. Comportamiento de saldos e intereses un crédito en pesos

46

12


4.1 CRÉDITO EN UNIDADES DE VALOR REAL (UVR). En un crédito en pesos sólo se devuelve el interés generado. Sin embargo en el escenario financiero colombiano los valores entregados en préstamos relacionados para la construcción, el interés no es suficiente para mantener equivalente el monto original a lo largo de n períodos. De acuerdo a ello, es necesario, que el dinero prestado

una vez termine el período de devolución posea la misma capacidad

adquisitiva dada en el período n=0, esta es la llamada indexación que en Colombia se conoce como corrección monetaria. No es simple la equivalencia económica que permita definir la paridad de poder adquisitivo en dos períodos distintos. En Colombia la unidad tomada para la indexación de la operaciones de construcción se inició en 1972 con el UPAC (unidad de poder adquisitivo constante), el cual sólo hasta 1976 conservaba aún la filosofía básica de esta medida. A partir de esta fecha se introdujeron modificaciones para las tasas máximas de la corrección monetaria que la llevarían a un caos de tomadores de créditos inmobiliarios, tomadores de créditos de construcción y el sector financiero años más tarde con lo cual el sistema no tuvo un final feliz entre usuarios, entidades bancarias y el Estado debido fundamentalmente a la manera de medición de la corrección monetaria. A lo largo de la existencia del sistema UPAC, se dieron muchas maneras de medir y correlacionar el valor de las tasas de corrección monetaria. La UVR fue el dispositivo que reemplazó al antiguo Sistema de Colombiano de Ahorro y Vivienda de valor Constante mediante la ley 546 de 1999. El comportamiento de los excedentes por pago de intereses es una cualidad importante a observar cuando se toma un crédito, pues nos permite elegir entre las variantes de créditos existentes. Nos ofrece un punto de comparación entre dos modalidades, los créditos en pesos como el anterior y los realizados por UVR (antiguamente por UPAC)

47


La unidad de valor real UVR es una unidad de cuenta que refleja el poder adquisitivo de la moneda, con base exclusivamente en la variación del índice de precios al consumidor certificado por el DANE, cuyo valor será establecido por la Junta Directiva del Banco de la República. La UVR hoy 26 de Junio de 2006, tiene un valor de $157,21. Cuando un usuario adquiere créditos o realiza abonos mediante este sistema, se hace la transferencia de la cantidad en cuestión al número equivalente de UVR en la fecha de la transacción. De esta forma el banco pagará o recibirá intereses sobre una tasa de interés en uso que se efectuará sobre la transacción en cuestión, expresada en UVR, y devolverá las cantidades en depósito o recibirá las obligaciones crediticias, por el equivalente en pesos que tenga la transacción en el día de la acción, liquidando la UVR con el valor de ese día. Los créditos utilizados para la financiación de proyectos de construcción son efectuados bajo esta modalidad. El constructor traslada al comprador del inmueble parte de esta deuda como se verá más adelante. En este tipo de créditos además del pago de los intereses por la tenencia del capital debe indexarse otro concepto. El de corrección monetaria, esto es la pérdida de poder adquisitivo por la inflación. Este concepto se expresa mediante la actualización permanente el valor de la UVR en cada período, ajustando el saldo de la deuda al valor resultante de dicha actualización.

4.1.1 Variación de la UVR La variación de las tasa de corrección monetaria está a cargo de la Junta Directiva del Banco de la República. La variación de la UVR hace que este valor actualizado en pesos sea tomado dentro de los costos de los proyectos. Ello implica que los costos generados por concepto en los

48


créditos de construcción se vean reflejados en el valor de la unidad de venta del producto en ensayo de construcción. Indudablemente que se traduce en un aumento del valor de los inmuebles. Las totalidad de los valores pagados por concepto de la corrección monetaria se conocen como excedentes de subrogación. Cabe repetir que el pagador de esta obligación es el constructor.

Ejercicio 17. Calcule las variaciones periódicas de un crédito de construcción por $40,000,000 que se entregará mediante 5 desembolsos bimestrales a partir del mes 1 de iniciado el proyecto. La tasa de interés es del 1,5% efectivo mensual. El valor de la UVR en el momento de tomar el crédito es de $161.50 y se prevé una variación mensual del 1,2%. El crédito deberá devolverse al final del último período. El

monto

del

crédito

en

UVR

está

dado

por

el

cociente

valor del crédito en pesos $40,000,000 = = 247678,019 UVR valor de la UVR en n = 0 161,50

No de desembolso

Mes

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Variación UVR 0 1 3 5 7 9

Saldo UVR

161.5 163.4 165.4 167.4 169.4 171.4

247678.0 247678.0 247678.0 247678.0 247678.0 247678.0

Valor deuda sin intereses 40000000.0 40480000.0 40965760.0 41457349.1 41954837.3 42458295.4

Intereses

1209000.0 1223508.0 1238190.1 1253048.4 1268085.0 1283302.0

Vemos que además del interés de $1,283,302, el acreedor deberá retornar un valor de $2,458,295 por concepto de indexación monetaria. Para

cualquier

período

el

valor

de

la

UVR

expresión UVRn = UVRn −1(1 + ∆)n donde: UVRn corresponde al valor de la UVR en el período deseado 49

está

definido

por

la


UVRn-1 es el valor de la UVR en el período inmediatamente en el período anterior al período en estudio y ∆ es la variación periódica de la UVR

Ejercicio 18. Un constructor recibe la aprobación de un crédito por $100,000,000, a una tasa del 16% anual. Bajo las políticas del banco, el constructor deberá iniciar el proyecto con sus aportes, los cuales corresponden al 30% del costo total del proyecto y el crédito el 70%. Se estima que haya invertido su aporte dentro de tres meses, con lo cual el banco entregará el 50% del crédito, es decir, $50,000,000. El saldo lo entregará cuatro meses después. La UVR en el momento del desembolso tiene valor de $151,75 y se espera una variación del 18% anual. Determine la amortización de este crédito tomado a 10 años mediante devoluciones anuales

Valor desembolso 1 Número de períodos n Tasa de interés Valor UVR Variación Valor crédito en UVR Anualidad o cuota mensual

50,000,000 10 16.00% anual 151.75 1.50% 329489.29 68,171.6 En UVR

Análisis en la entrada del primer desembolso No de Valor cuota Valor Abono de Abono a cuota UVR cuota intereses capital pesos 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

68171.7 68171.7 68171.7 68171.7 68171.7

10500230.0 10657733.4 10817599.4 10979863.4 11144561.4

52718.3 50245.7 47377.6 44050.5 40191.1

50

15453.4 17925.9 20794.1 24121.2 27980.5

Saldo UVR 329489.3 314035.9 296109.9 275315.8 251194.7 223214.1

Variación Valor UVR deuda 151.8 154.0 156.3 158.7 161.1 163.5

50000000.0 48369770.0 46292833.8 43687583.1 40457897.0 36490566.5


Análisis en la entrada del primer desembolso Valor desembolso 2 50,000,000 Número de períodos n 5 Tasa de interés 16.00% Valor UVR 163.5 Variación 1.50% Valor crédito en UVR 305851.84 Cuota adicional 93410.02

529066.0

No de Valor cuota cuota UVR 6.0 7.0

Valor Abono de cuota intereses pesos 161581.7 26811255.9 84650.6 161581.7 27213424.7 72341.6

8.0

161581.7 27621626.1

9.0

161581.7 28035950.5

10.0

161581.7 28456489.8

Abono a capital

76931.2 89240.1 103518. 6 58063.1 120081. 41500.2 5 139294. 22287.1 6

Saldo UVR

Variación Valor UVR deuda

452134.8 362894.7

165.9 75022737.1 168.4 61118346.0

259376.1

170.9 44339114.4

139294.6

173.5 24168922.8

0.0

176.1

0.0

Observaciones: El valor de la cuota en pesos varía de acuerdo a la movilidad de la UVR. Los intereses se liquidan multiplicando la tasa mensual sobre el saldo del período anterior. El aporte de capital resulta de restar de la cuota mensual el valor de los intereses. El saldo en cada período viene dado por el saldo del período anterior menos el aporte a capital en este período. Para este caso, en el cual el período de retorno es menor a un año, la variación de la UVR en los saldos aparece poco perceptible. Sin embargo en la medida que estos

51


créditos tomen períodos largos, como los correspondientes a financiación de vivienda, el comportamiento del crédito cambia drásticamente. Nótese en la siguiente gráfica la variación del saldo en función de la variación de períodos para las mismas variables de crédito.

VARIACIÓN DEL COMPORTAMIENTO DE CRÉDITOS EN UVR FRENTE A LA VARIACIÓN DE LOS PERÍODOS DE PAGO 200000000 175000000

Saldos ($)

150000000 125000000

120

100000000

72

75000000

48

50000000

24

25000000 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Períodos (meses)

Gráfica 5. Comportamiento de un crédito en UVR variando la longitud del período de devolución

Obsérvese que en la medida que crece la longitud del período de pagos el saldo de la deuda se amplifica grandemente. Miremos con detenimiento esta situación. El valor inicial de la UVR era de $151.75 para el período 0 y alcanza el tope de $905,04 correspondientes al período 120, esto significa un factor de escala aproximado de 1,7 veces el saldo inicial para n=0. De hecho es la variación de la UVR lo que condiciona el uso de este sistema, pues la variación por encima de la inflación en los años 1990, fue lo que determinó la caída del sistema predecesor, el UPAC. Ello implica la imposibilidad de atender un pago de una deuda con un saldo que se incrementa más

52


rápido que la variación de los ingresos, haciendo insostenible la serie de pagos respectivos Estos créditos sólo son atractivos si el gobierno, en quien está el control de la variación de la UVR, mantenga con mínima variabilidad los valores de la UVR. En la gráfica 6 se muestra la diferencia existente entre un crédito en pesos y otro en UVR, manejando los mismos parámetros en ambos eventos que a continuación se esquematizan Valor crédito

$100000000

Número de períodos n

60 y 120

Tasa de interés mensual

1,33%

Valor UVR

151,75

Variación mensual UVR

1,50%

Valor crédito en UVR

658978,58

VARIACION DE SALDOS DE CREDITOS EN PESOS Y EN UVR VARIANDO LOS PERIODOS DE PAGO

180000000

Saldo ( $)

160000000 140000000 120000000

Area de excedencia de pago para 120 perí odos

100000000 80000000

UVR 60 $ 60 UVR 120

60000000

$ 120

40000000 20000000

Area de excedencia de pago para 60 períodos

0 0

12

24

36

48

60

72

84

96

108

Períodos (meses)

Gráfica 6. Excedentes de subrogación en un crédito por UVR para construcción

53

120


La diferencia entre un crédito en pesos y otro en UVR manteniendo las mismas restricciones es notoria en la medida en que la variación de la UVR tenga altos valores. Mediante el uso de los créditos en UVR se agrega un nuevo concepto relacionado con la corrección monetaria, los denominados excedentes de subrogación. Este concepto es la excedencia que le corresponde pagar al constructor por el uso de un crédito para construcción. Estos valores pueden tener gran magnitud. Veamos en que proporción se encuentran estas cantidades. Comoquiera que no se pueden comparar dos montos de capital en períodos distintos, procederemos a obtener las áreas que cubre cada una de los grupos de curva que se presentan en el Ejercicio.

Grupo 1. Créditos a 60 cuotas. Para la curva superior, se ha encontrado una línea de tendencia polinómica de tercer grado que se aproxima a la movilidad de la serie de datos. Esta línea señala una ecuación y = -582,02x3 + 4552,9x2 + 157796x + 1E+08, con r= 0,9999 es decir existe dispersión de datos en un orden de aproximadamente 0,01% Para la línea inferior, la cual señala el comportamiento de un crédito en pesos, se ha determinado una línea de tendencia con ecuación y = -10878x2 - 997542x + 1E+08 con r=1 Al integrar las funciones entre límites de 0 y 60, se encuentra que la curva de UVR encierra un área correspondiente a 4,726,096,800 u2, mientras que la curva del crédito en pesos muestra un área equivalente a 3,421,208,400 u2. La relación entre estas áreas tiene valor de 1,38. Ello implica que para 60 meses los intereses de subrogación corresponden a un 38% de los que se pagaría si el crédito se realizara en pesos.

54


Grupo 2. Crédito a 120 cuotas. En la medida que aumenta el número de cuotas o períodos para devolver el crédito, la modalidad por UVR se aleja de un comportamiento cuadrático, como el de los créditos en pesos y sólo se puede aproximar mediante una ecuación cúbica. El crédito en UVR genera una línea de tendencia cúbica de ecuación y = -426,45x3 + 45618x2 - 134596x + 1E+08, con r=0,9909. Esta curva encierra un área de 151,99,708,800 u2. El crédito en pesos posee una línea de tendencia cuadrática con ecuación y = -5210,4x2 - 175804x + 1E+08 y r=0,9903. Esta curva genera un área correspondiente a 7,733,020,800 u2. El cociente entre estas dos áreas es de 1,97. Mediante ello, podemos inferir que el excedente de subrogación del crédito en estudio, corresponde al 97% en exceso si la obligación fuese tomada en pesos. 4.1.2 Ejercicios proyectados I. Cuanto dinero tendré acumulado en quince años si empiezo a pagar durante cada año una cuota de U$ 2800, los cuales reportan una tasa del 12% anual. Estas operaciones son registradas en el exterior, pero por ser en el ámbito de seguros, no generan impuestos que disminuyan el saldo. II. Cuál es la cuota que debo empezar a ahorrar desde hoy hasta los próximos 24 meses para acumular $15,000.000 bajo un rendimiento del 0,8% mensual. III. Cuanto dinero habré acumulado luego de depositar $2,000,000 cada mes durante 6 meses y desde el mes 7 hasta el 15 depósitos de 3,000,000 cada dos meses. La tasa de colocación es del 0,9% mensual. IV. Si presté $15,000,000 que deben de ser devueltos en una cuota dentro de 6 meses, y se cobra de forma anticipada $2,000,000. ¿ Que tasa se está pagando? V. Cuando podré retirar $7,000,000 de una cuenta a la que le abono a partir de ahora $500,000 cada mes y $1,500,000 cada tres meses, si manejo una tasa mensual del 0,9%? V. En un ahorro programado se venía ahorrando $2,000,000 durante 8 meses a una tasa de 0,8% mensual. En el mes 10 se requieren retirar $19,000,000 para pago de materiales.¿Es posible que el dinero ahorrado alcance para pagar esta obligación? VII. Una empresa de acueductos tiene como ingreso el cobro tarifario mensual a una población de 15000 usuarios. Los costos mensuales de administración están en el orden de

55


$70,000,000 por mes y los operativos corresponden a $30,000,000. ¿Cuánto debe ser el ingreso tarifario por usuario para no entrar en pérdida, es decir para que los ingresos no sean menores a los egresos? VIII. Una deuda tiene un saldo de $12,000,000 a la fecha de hoy. Si el pago es mensual por valor de $1,500,000. Cual será el saldo de la deuda dentro de 3 meses si la capitalización de intereses se hace por períodos quincenales a una tasa de 0,65% quincenal IX. Para ejecutar una remodelación a un bloque de apartamentos se requiere un préstamo de $70,000,000. Realice el programa de amortizaciones bajos las siguientes condiciones. a) Cuota única fija a lo largo del plazo de 18 meses, con una tasa de 1,4% mensual. Cuota única fija a lo largo del plazo de 18 meses, con una tasa de 1,4% mensual y se presenta un abono de $15,000,000 en los meses 6 y 12. Plante la amortización restante a las mismas cuotas y determine cuál es la nueva longitud de período. Por otro lado planteo como segunda opción el cálculo de una nueva cuota a partir de cada abono para el mismo tiempo

56


CAPITULO

INDICADORES FINANCIEROS DE RENTABILIDAD

IV

La construcción de edificaciones y obras civiles en general al igual que la operación de sistemas construidos, son etapas que han superado con anterioridad instancias de la evaluación económica. Supone la construcción, dos cosas. Una, correspondiente al evento en el cual el proyecto construido, devuelve la inversión realizada con ganancias acumuladas sobre este original. En este caso el proyecto posee

rentabilidad económica que hace atractivo invertir en él. Interesante es comparar entre varias alternativas cuál posee mayor rentabilidad. No con todos los proyectos se busca rentabilidad económica. Para el caso de las inversiones sociales realizadas por el Estado en materia de infraestructura, no existen objetivos de lucro en la construcción. Este tipo de proyectos busca satisfacer necesidades para el desarrollo de una comunidad entre otros objetivos y metas. De esta manera, la evaluación económica deberá estudiarla factibilidad de la operación del sistema a lo largo de su vida útil. Este el caso de acueductos, alcantarillados, sistema de manejos de residuos sólidos, carreteras, puentes, etc. Se recurre a la evaluación económica de proyectos de construcción para establecer parámetros denominados indicadores que conduzcan a decisiones sobre la inversión. La toma de decisiones es uno de los sectores estadísticamente más complejo cuando se asocia con el riesgo. El riesgo establece variantes condicionales sobre tomar decisiones frente a un u otro evento como se verá en el capítulo final.

57


La evaluación económica se realiza sobre todas las variables relacionadas con los ingresos y egresos de un proyecto de construcción en un tiempo previo a la ejecución. Ello quiere decir que la toma de decisiones es posterior a la evaluación pero anterior a la construcción en sí.

5.0 VALOR PRESENTE NETO. Si se invierte hoy un valor P, y se proyecta que dentro de 2 meses recibiré una fracción de P sumado con dividendos ocasionados en estos períodos en un valor generado P1, y finalmente a los 6 meses se reintegrará el final mediante un valor P2 el capital final y el rendimiento respectivo. La pregunta interesante es ¿Cuánto me representa en pesos de hoy tomar la decisión de invertir? P2

n=1

n=2

P5

n=3

n=4

n=5

P

Realicemos una suma algebraica de toso los valores concurrentes en n=0. Para ello es necesario trabajar con equivalencias de cantidades. Los valores futuros deberán expresarse en términos de valor presente

Valor presente de P5=

P5 (1 + i)5

Valor presente de P2=

P2 (1 + i)2

La suma de estos valores debe ser igual a P.

58

P2 y P5


P=

P5 P2 P5 P2 + ⇒ + − P = 0 Esta sumatoria es lo que denominados 5 2 5 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)2

Valor Presente Neto en adelante abreviado como VPN Luego el valor VPN se expresa como la suma algebraica de todos los valores futuros traídos a presente en n=0. Para este caso resulta

VPN =

P5 P2 + −P 5 (1 + i) (1 + i)2

Si el primer flujo de caja ocurre al inicio del primer período, el primer valor se deberá agregar al resultado VNA, que no se incluye en los argumentos valores. Para obtener más información, vea los Ejercicios a continuación. Si n es el número de flujos de caja de la lista de valores, la fórmula de VNA es:

VPN =

n

Pj

∑ (1 + TMAR) j =1

j

Si el VPN resultante es positivo, luego el proyecto se aprecia como rentable y se hace atractivo para invertir. Cuando el VPN es negativo, se traduce en pérdidas con la ejecución del proyecto. Esto hace no atractiva la inversión. Si el VPN toma valor cero, quiere expresar que el proyecto no presenta ni pérdidas ni ganancias en medio de una situación de indiferencia. El VPN se evalúa con tasa de interés denominada tasa mínima atractiva de retorno TMAR. Ello es con el menor valor encontrado en la lista de alternativas de inversión. No existe cálculo para la TMAR. Su determinación obedece a las tendencias financieras

59


existentes en esa área de negocios en el los momento de toma de decisiones. La TMAR, luego es presumida y asumida. La TMAR está asociada al fenómeno del riesgo. En ambientes de incertidumbre, se prescriben bajos valores.

Ejercicio 18. Es posible invertir en una edificación de consultorios médicos. Se requiere invertir ahora $45,000,000 y de acuerdo al flujo del proyecto, se prevé que se retornarán dividendos en el período n=10 de $12,000,000, en n=14 de $ 25,000,000 y en n=17 de $14,000,000, tomando una TMAR del 4.1% mensual. ¿Cuál sería el resultado de invertir en este momento?

12,000,000

n=1

n=2

n=3

n=4

n=10

25,000,000

n=14

14,000,00

n=17

45,000,000

VPN =

P17 (1 + i )

17

+

P14 (1 + i )

14

+

P10 (1 + i)

10

−P =

12,000,000 1O

(1 + 0,041)

+

25,000,000 (1 + 0,041)

14

+

14,000,000 (1 + 0,041)17

− 45,000,000

8029231,0 + 14243928,8 + 7070752,5 - 45,000,000 = -15,656,08 7.7

Significa esta evaluación que si es tomada la decisión de invertir ahora, $45,000,000 en este momento, el inversionista perdería afrontaría una pérdida por disminución del capital original en $15,656,087

60


5.1 METODOS DE ESTUDIO PARA DETERMINAR VPN En la selección de la opción óptima para la ejecución de un proyecto, es posible enfrentar alternativas que tengan períodos de vida de igual o de diferente duración. Es factible que las opciones de estudie coincidan en la longitud de los períodos o que la longitud no sean iguales. Para determinar el VPN en cada caso se siguen dos procedimientos definidos.

5.1.1. Alternativas con igual longitud de períodos o vida útil igual Para este caso en el cual las vidas útiles son iguales, la base o longitud de tiempo sobre la cual se trabaja el VPN, es la correspondiente a la duración de la vida útil. Dado que ambas longitudes son iguales, se procede a calcular el VPN para cada alternativa y posteriormente se comparan los correspondientes valores de VPN para la elección correspondiente.

Ejercicio 19. Se desea compactar plataformas colocadas cerca al mar. Para ello debe disponerse de equipos de alto desempeño. La primera opción es adquirir una compactadora por vibración y chorro de agua por valor de $220,000,000. Se presume que las labores tomarán un tiempo de 18 meses. Cada 4 meses se deberá realizar mantenimiento al equipo por valor de $15,000,000 incluyendo las reservas de reparaciones y reposición de accesorios. Al final de cada mes se recibirán pagos por los trabajos realizados en valor de $30,000,000 como valor neto descontando los gastos de personal y de operación. Al finalizar el trabajo la máquina puede venderse por $30,000.000 Una segunda alternativa estriba en alquilar una serie de compactadores por neumática en serie por valor de $22,000,000 mensuales. Los costos de operación y de personal están en el orden de $5,000,000. La facturación de trabajos se recibe mensualmente por valor de $30,000,000 y cada 6 meses deberá reemplazarse componentes por valor de $6,000,000 Trabaje con una TMAR del 6%

61


Para la primera opción tenemos 30,000,00 30,000,00 +

1

2

3

4

5

6

15,000,000

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

15,000,000

15,000,000

15,000,000

220,000,000

Para esta representación el VPN es:

VPN(6%)

= −P +

VPN(6 % ) = −220 +

15 (1 + 0,06)16

A((i + i ) n − 1) i(1 + i )

n

+

P18 (1 + i )

[

18

]+

−

P4 (1 + i )

4

30x (1 + 0,06)18 − 1

30

0,06x (1 + 0,06)18

(1 + 0,06)18

−

−

P8 (1 + i )

8

−

P12 (1 + i )

15 (1 + 0,06) 4

12

−

−

(1 + i )16

15 (1 + 0,06)8

= 8O.96 millones

Nótese que las cantidades están expresadas en millones

62

P16

−

15 (1 + 0,06)12

−


El planteamiento para la segunda opción es:

30,000,00

1

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

22,000,000 +

5,000,000 +

6,000,000

VPN6%= =

n

∑ j =1

VPN6 % =

6,000,000

6,000,000

 A(i + i)n − 1 P6 P12 P18 − −  − n 6 12 (1 + i) (1 + i)18  i(1 + i)  (1 + i)

[

]−

3x (1 + 0,06)18 − 1 0,06x(1 + 0,06)

18

6 (1 + 0,06)

6

−

6 (1 + 0,06)

12

−

6 (1 + 0,06)18

= 23.1

Comparando los dos VPN encontramos que resulta más atractiva la primera opción al exceder por 4 veces el anterior VPN. Significa que al invertir en la primera alternativa, estaría obteniendo utilidades en el futuro que serían equivalentes ahora a $8O,9 millones

63


Apreciaciones sobre el valor presente neto VPN El VPN nos representa la equivalencia en momento actual. Ello explica en el Ejercicio anterior que si se toma la opción de comprar la máquina, equivaldría a ganarse un excedente de $81,400,0000, mientras que al tomar la segunda solo alcanzaría 23,160,0000. Las anteriores situaciones nos dan un margen de rentabilidad que aún no podemos determinar. Pero que sucede para el caso de situaciones donde el VPN resulte negativo en ambos casos? Para ello se elige la opción con el menor VPN Ejercicio 20. Una entidad desea obtener alternativas para impulsión de aguas residuales en una estación de bombeo de un alcantarillado que será reemplazado dentro de 36 meses. Una primera alternativa consiste en comprar dos bombas de impulsión sumergibles de 105 HP cada una con capacidad para 200 lps que impulsan el agua desde los tanques de succión hasta la laguna de oxidación. Cada bomba tiene un costo de $11,000,000. El ciclo de bombeo es de 12 horas por día. El sistema en paralelo de la conexión entre bombas permite sólo la operación de una bomba, de manera que si una sale de circulación, la otra entra al ciclo. La bomba consumo 3 KW por hora y el costo por KW es de $250. Para poder accionar estas bombas debe utilizarse un múltiple de impulsión que tiene un costo de $3,000,000 y un tablero de control con costo de $2,000,000. Cada 6 meses debe realizarse mantenimiento a la bomba en uso por valor de $700,000. Al final del proceso, estas máquinas tienen un

valor de salvamento de

$4,000,000

La segunda alternativa plantea el uso de una estación de bombeo adicional a la existente en los tanques de succión. Las estaciones están separadas 4 km entre sí. Para el transporte del líquido se requieren dos bombas de succión positiva por en cada estación de 65 HP, una para tomar el ciclo de 12 horas diarias de bombeo. Una unidad

64


en funcionamiento consumo 4 KW por hora con costo de $250 por KW. Cada bomba tiene un costo de $4,500,000 y el múltiple de impulsión así como las obras complementarias tienen costo de $1,700,000 por estación. Cada 4 meses las bombas en uso deben tener mantenimiento por valor de $400,000. Al final del proceso, estas máquinas tienen un valor de salvamento de $6,000,000 Para ambas tasas evalúe con una TMAR de 5% mensual Análisis de la primera alternativa. En el diagrama de flujo puede advertirse el comportamiento de los costos

Estudio de la primera alternativa El consumo mensual de energía eléctrica es: 1x3 KW/hx12hx$250x30 días= $270,000. Costo de adquisición de las bombas: 2 x $11,00,000=$22,000,000 4,000,000

1

2

3

6

7

8

10 12 13 14 15 18 19 20 24

26 27 30

270,000 +

22,000,000

700,000

700,000

65

700,000

700,000

31 32 36


 A(1 + i) n − 1  P6 P12 P18 P24 P30 P ' 36 VPN5% == −22,000,000 −  − − − − + − n 6 12 18 24 30 ( 1 ) ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + i ) 36 i + i i i i i i  

= −22,000,000 − 270,000

700,00 (1 + 0,05) 30

+

(1 + 0,05) 36 − 1 0,05(1 + 0,05) 36

−

700,00 (1 + 0,05) 6

−

700,00 (1 + 0,05)12

−

700,00 (1 + 0,05)18

−

700,00 (1 + 0,05) 24

−

4'000,00 (1 + 0,05) 36

VPN 5% = −27'479,893.6

Estudiemos la segunda alternativa. El consumo mensual de energía eléctrica es: 2x4 KW/hx16hx$250x30 días=$720,000 Costo de adquisición de las bombas: 4 x$ 4,500,000 + 1,700,00*2 =$21,400,000 6,000,000 1

4

5

8

9

12 13 14 16 17 18 20 21 23 24 26 27 28 30 31 32 33 34 36

960,000

+

21,4000,000

400,000 400,000 400,000 400,000

400,000

66

400,000 400,000

400,000


 A(i + i ) n − 1  P6 P18 P30 P ' 36 P12 P24 VPN 5% =  − − − − + −  i(1 + i) n  (1 + i) 6 (1 + i )12 (1 + i )18 (1 + i ) 24 (1 + i ) 30 (1 + i ) 36

−

400,00 (1 + 0,05) 20

(1 + 0,05) 36 − 1

400,00 400,00 400,00 400,00 − − − 0,05(1 + 0,05) 36 (1 + 0,05) 4 (1 + 0,05) 8 (1 + 0,05)12 (1 + 0,05)16 400,00 400,00 6,000,000 − − + 24 28 (1 + 0,05) (1 + 0,05) (1 + 0,05) 36

= −21,400,000 − 270,000

VPN ( 5% ) = −34'384,691

Con ello encontramos que mejor alternativa es la número 1, pues es que representa menos pérdida si se valorara en el momento actual

5.1.2 Alternativas con alternativas que tienen longitudes de tiempo diferentes. En este caso el proyecto presenta alternativas de solución que discrepan en la duración de las vidas útiles. La base de tiempo sobre la cual se trabaja es el mínimo común múltiplo obtenido a partir de las duraciones respectivas. Luego, para cada alternativa, se realiza un modelo equivalente en el que sobre la nueva base se trasladan los ciclos originales tantas veces como se valore el cociente de la nueva base / longitud inicial.

Ejercicio 21. Solucione el ejercicio 20 considerando que la primera alternativa tiene duración de 24 meses y la segunda de con duración de 48 meses. Trabajemos la primera alternativa.

67


1

2

3

6

7

8

10 12 13 14 15 18 19 20 22 24

270,000 +

22,000,000

700,000

700,000

700,000

Entre 24 y 48 el mínimo común múltiplo es 48. De esta manera la nueva base de cálculo es de 48 períodos. El nuevo diagrama para esta alternativa es

4,000,000 2 4

6

4,000,000

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48

270,000 22,000,000

22,000,000 +

700,000

VPN(5%)

=

4 ,000 ,000 1 . 05 24

270 ,000 x (1 . 05 24 − 1) 0 . 05 (1 . 05 −

700 ,000 1 . 05

36

24

−

)1 . 05

24

700,000

+

−

700,000

4 ,000 ,000 1 . 05 48 700 ,000 1 . 05

6

−

700,000

− 22 ,000 ,000 −

700 ,000 1 . 05

12

−

22 ,000 ,000 1 . 05 24

700 ,000 1 . 05

700 ,000 1 . 05 42

68

700,000

18

−

−

700 ,000 1 . 05

24

700,000

270 ,000 x (1 . 05 24 − 1) 0 . 05 (1 . 05 24 )

−

700 ,000 1 . 05 30

700,000

−


VPN(5%) = -33,937,847 La segunda alternativa tiene el siguiente diagrama

6,000,000

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48

700,000 18,000,000

+

400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000 400,000

VPN(5%) =

6 ,000 ,000

400 ,000

400 ,000

−

1 .05 16

−

1 .05

48

1 .05 20

− 18 ,000 ,000 −

−

400 ,000 1 . 05 24

−

700 ,000 x (1 .05 48 − 1) 0 .05 (1 . 05

400 ,000 1 .05 28

−

48

)

400 ,000 1 .05 32

−

−

400 ,000 1 .05

400 ,000 1 .05 36

−

4

−

400 ,000 1 .05

8

−

400 ,000 1 .05 12

400 ,000 1 .05 42

VPN(5%)=-36’4O2,837.7 Con ello la alternativa con mayor atracción es la número 1, la cual tiene el mayor valor de VPN. Ello equivale a que siendo negativos ambos valores, donde se obtiene la mayor función de costo es la alternativa escogida.

69


Es posible encontrar situaciones concurrentes que podamos desplazar en un intervalo de períodos que podamos localizar en una base común. Esta situación es una variación de alternativas que tienen igual longitud de períodos. Para ello se coloca como base de trabajo, la base sobre la que se desarrolla la situación y se desarrollan las alternativas.

Ejercicio 22. Los procesos de ventas de una constructora pueden ser contratados directamente con una inmobiliaria, la cual se encarga de realizar la gestión de ventas de los inmuebles desarrollando sus propias estrategias y manejando su propio personal, bajo esta forma no adquiere vinculación con la empresa propietaria de la edificación. Bajo esta opción, el propietario deberá pagar el 3% en comisión por las ventas de los apartamentos. En total se registran 2698 m2, materializados en 56 apartamentos, construidos a lo largo de 9 pisos. El valor del metro cuadrado es $850,000. La programación de ventas se presenta en la siguiente tabla

Mes

Apartamentos

M2

Costo/m2

Ventas

Comisiones

3

6

289

850000

245,650,000

7369500

5

8

385.4

850000

327,590,000

9827700

7

5

240.8

850000

204,680,000

6140400

8

10

481.7

850000

409,445,000

12283350

9

8

385.4

850000

327,590,000

9827700

11

5

240.8

850000

204,680,000

6140400

14

7

337.2

850000

286,620,000

8598600

16

7

337.2

850000

286,620,000

8598600

2,292,875,000

68,786,250

56

El propietario del proyecto maneja otra opción según la cual, le es posible vincular mediante prestación de servicios a la empresa dos asesores de ventas durante el

70


período de ventas que va desde el inicio de la construcción hasta 4 meses luego de terminar. La asignación salarial es de $1,500,000 por asesor. Adicionalmente el propietario deberá adicionar el 0,5% de comisión por las ventas realizadas. Los flujos de ventas pueden ser distintos, debido a que se presentan estrategias propias del grupo de asesores y distintas a la de la inmobiliaria. Si el propietario utiliza una TMAR de 1% mensual , determine la alternativa más aconsejable.

Mes

Apartamentos

M2

Costo/m2

Ventas

Comisiones

2

6

289

850000

245,650,000

1228250

6

8

385.4

850000

327,590,000

1637950

7

8

240.8

850000

204,680,000

1023400

8

9

481.7

850000

409,445,000

2047225

11

9

385.4

850000

327,590,000

1637950

13

4

240.8

850000

204,680,000

1023400

15

4

337.2

850000

286,620,000

1433100

16

8

337.2

850000

286,620,000

1433100

2,292,875,000

11,464,375

56

La

opción

que

implica

a

la

inmobiliaria

presenta

el

esquema.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

7369500 6140400 6140400 9827700 9827700 1228335

71

8598600 8598600

siguiente


VPN(1%) = −

7369500 3

1.01

−

9827700 5

1.01

−

6140400 12283350 9827700 6140440 8598600 8598600 − − − − + 1.017 1.018 1.019 1.0111 1.0114 1.0116

VPN(1%)= -$ 62’877,389.1 La segunda opción se diagrama como sigue

1

2

3

4

1228250 0

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

1637950 0 1023400 00 2047225 00

1637950

1023400

1433100 1433100

3000000 00 VPN(1%) = −

−

1228250 1637950 1023400 2047225 1637950 1023400 1433100 1433100 − − − − − − − 1.012 1.016 1.017 1.018 1.0111 1.0113 1.0115 1.0116

3000000(1.0116 − 1) 0.01(1.01)16

VPN(1%) =-$ 54’569,749.3 En este caso en particular la vinculación de la inmobiliaria genera un mayor valor presente neto que el generado por la vinculación de los asesores, por lo que para el lado del propietario la opción de los asesores revierte menor costo, siendo la más aconsejable.

5.1 3 Ejercicios planteados Los incendios forestales causan daños irreparables al ecosistema. Analize la siguiente situación que se presenta en una ciudad colombiana. Se ha presentado incendio en 15O hectáreas, el año interior. Esa situación trae las siguientes características

72


Cada hectárea de bosque tiene una capacidad de conversión de CO2 de 1O toneladas. Cada tonelada convertida tiene un costo de $25OOO. La reposición de bosques tiene un costo de $5OOOOOO por hectárea. En el año 1 se reforestó el 15% del área. En el año 2 se reforestó el 15%. En el año 3 se reforestó el 7O% restante. Los cultivos deben recibir mantenimiento al año de estar sembrados, a razón de $1OOOOOO por hectárea. Sólo se requiere se realice hasta el año 5. Los cultivos que se han reforestado, alcanzan su capacidad de conversión de CO2 de la siguiente forma: En el año 3, el 3O%, en el año4 el 4O%, del año 6 hasta el 9, el 7O% y en el año 1O tiene el 1OO% de la capacidad de conversión De no presentarse incendios, la madera puede talarse y venderse a razón de $3OOOOOO por hectárea Analice esta situación y determine el impacto económico. Ello es, la valoración económica del desastre

6.0 TASA INTERNA DE RETORNO La simple equivalencia sobre la ganancia si se tomara la decisión de invertir hoy no basta para establecer todos los criterios que hagan tomar una decisión. Para el caso de individuos que invierten en proyectos habitacionales de construcción, resulta imprescindible determinar la relación que existe entre el aporte dado y los dividendos recibidos posteriormente. Una medida de la movilidad del aporte a lo largo del tiempo de construcción nos permite establecer comparaciones con otras opciones de inversión.

73


La tasa interna de retorno TIR, nos determina la rentabilidad de una inversión hecha en un tiempo t que espera dividendos posteriormente en un t+At. La TIR es la tasa de interés que hace equivalente la inversión y las ganancias recibidas por este concepto. La TIR es decisiva para la toma de decisiones, pues aunque el VPN resulte positivo, la opción con mayor TIR es la más apetecida. Cabe recordar que es un indicador financiero de rentabilidad, de manera que a la hora de realizar evaluación económica sobre proyectos de construcción, este indicador es una herramienta decisiva para tomar decisiones de inversión.

Ejercicio 23. Existe un proyecto para construcción de 3 apartamentos de 120 m2 cada uno. El lote tiene un área de 132 metros cuadrados. Los apartamentos son iguales y cada uno ocupa un piso de los 3 que se proyectan en el edificio. El costo total de la construcción se prevé en $90,000,000. Y se postulan dos alternativas de comercialización. La primera es la venta de los inmuebles, la cual se causa hacia el mes 12 de iniciada la construcción con dividendos del 23% sobre el capital invertido La segunda opción plantea el arriendo vencido por valor total de $1,500,000 por período de 14 meses a partir del mes 10 y una venta posterior ocurrida 1 mes más tarde, con dividendos del 17% sobre el capital invertido Con la premisa que la construcción demora 10 meses y que todo el capital se invierte al inicio del primer período, ¿Cuál alternativa mejor tasa interna de retorno? La primera instancia muestra el siguiente flujo

74


110,700,000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

90,000,000

Luego el modelo plantea la siguiente equivalencia en el período n=0:

110,700,000 (1 + i)12 110,700,000 = = 1.23 90,000,000

90,000,000 = (1 + i)12

12 log(1 + i) = log 1,23 log(1 + i) = 0,00749 i = 1,74% mensual

Mientras que en la segunda alternativa el flujo es

75


105,300,000 1,5000,00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

90,000,000

En esta alternativa se presenta la siguiente equivalencia para n=0 La anualidad cubierta desde el período 11 hasta el 25, debe programarse como un valor presente en el período 10. Este valor ahora futuro se traslada como valor presente al período 0

P =

(Pn / A)

Pn )+ , (1 + i)10 (1 + i) 25

90,000,000 =

[

]x

1,500,000 (1 + i)15 − 1

1

i(i + i)

(1 + i)10

15

+

105,300,000 (1 + i) 25

Para este caso es necesario iterar el valor de i o acudir a la ayuda de programas especiales que evalúan la TIR dado una serie de valores en el tiempo. La serie converge para un valor de i aproximado de = 2,52% La alternativa 2 es la de mayor atracción, rendimiento sobre el capital inicial invertido, Sin embargo el rendimiento del capital expresado en la TIR=2.52%, puede compararse con otras alternativas de inversión que ofrezcan otros valores.

La TIR está íntimamente relacionada a la función de valor presente neto VPN. La tasa de retorno calculada por TIR es la tasa de interés correspondiente a un valor presente neto de cero (0). Esto se entiende si se recuerda que se realiza una operación algebraica en un período n donde los ingresos deberán ser equivalente a los egresos. La diferencia entre ambos es cero.

76


La evaluación de la TIR en los proyectos de construcción sugiere un modelo en el cual se presenten los flujos que se presentan en los períodos de ejecución (para los proyectos comerciales debe anexarse el período de venta) de manera que se conozcan todos los ingresos y egresos del proyecto adicionado a la fecha en que se causan. La evaluación de la TIR supone un manejo complejo de variables y de parámetros que intervienen otros que tienen influencia sobre el proyecto de construcción.

Ejercicio 24. En un proyecto de concesión para la construcción de 50 Km de carretera entre las localidades A y B se presenta las siguientes características. Tipo de infraestructura:

Pavimento en concreto asfáltico

Costo de la prefactibilidad.

U$ 10,000

Costo de ejecución

U$ 200,000 pagados cada año durante dos años

Costo anual de operación

U$ 30,000 por año

Período de la concesión

20 años

El estudio de tráfico muestra los siguientes regímenes con relación al tránsito de vehículos de la zona y atraídos. Tipo

Promedio

Tarifa

Vehículos por día

400

4600

Buses por día

60

6800

Camiones de dos ejes por día

700

8900

Camiones de tres ejes por día

350

11400

Camiones de 4 ejes por día

90

14000

Camiones de más de 4 ejes por día

40

17800

El inversionista requiere saber cuál es el ingreso periódico mínimo que necesita tener para obtener una tasa interna de retorno del 17% anual sobre el capital invertido, si para ello es requerido instalar un peaje tipo C en la abscisa K25 + 340 del tramo en estudio

77


Esta situación plantea una pregunta interesante. Dado que las tarifas de peaje son reguladas por el Instituto Nacional de Vías, es necesario y de estricto cumplimiento someter el cobro tarifario a estas restricciones, aún cuando sean adelantadas por particulares, como se registra en el mayor de los casos. Si los ingresos por cobro tarifario son menores al ingreso mínimo requerido para la tasa mencionada, entonces el proyecto estará devolviendo una TIR menos a la proyectada. Caso contrario sucede si los ingresos mínimos superan los ingresos tarifarios Para este ejercicio en particular se hace necesario proyectar un ingreso tarifario mínimo A y determinar su valor para determinar una TIR de igual valor a la TMAR, es decir hallar su valor en un VPN=0

Ingreso mínimo anual=A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30,000

10,000 200,000 200,000

El evaluar la TIR tiene como premisa fundamental que el VPN evaluado a esta tasa es cero. De manera que haciendo la sumatoria algebraica en n=0, tenemos VPN(17%) = 0 = −10000 −

200000 1

1.17

−

200000 1.17

2

−

30000(1.1718 − 1) 18

0.17 x1.17 x1.17

2

+

A(1.1718 − 1)

0.17 x1.1718 x1.17 2

A = U $ 11O,9OO

Luego los ingresos tarifarios evaluados en la tabla siguiente devolverán una rentabilidad menor a la esperada. Veamos ahora, la relación de ingresos con las tarifas permitidas. Utilizaremos una premisa en especial y es que las tarifas no sufrirán variación a lo largo del tiempo

78


Tipo

Promedio

Tarifa

Mensual

Anual

Vehículos por día

400

4600

1840000

22080000.0

Buses por día

60

6800

408000

4896000.0

camiones de dos ejes por día

700

8900

6230000

74760000.0

camiones de tres ejes por día

350

11400

3990000

47880000.0

camiones de 4 ejes por día

90

14000

1260000

15120000.0

camiones de más de 4 ejes por día

40

17800

712000

8544000.0

$ 173280000.0

169920000.0

U$

72806.7

71,395.0

Vemos entonces que los ingresos que se proyectan obtener resultan inferiores a los requeridos para asegurar la inversión del capital en el proyecto de concesión. Para un ingreso anual de U$ 71,395 empezando al final del tercer año, se genera una TIR de 7.16%. De esta forma se concluye que el proyecto no es viable, pues retorna menos de la mitad de la tasa esperada.

6.1 Observaciones. La TIR corresponde a un VPN con valor cero. Por lo tanto es necesario plantear las siguientes conclusiones. Cuando la TIR es menor a la TMAR, el VPN es menor de cero Cuando la TIR es mayor a la TMAR, el VPN es mayor a cero

79


CAPITULO

INDICADORES FINANCIEROS PARA OPERACIÓN Y MANTENIMIENTO

V

En algunos proyectos de infraestructura civil, al igual que en otros de diversa índole, tiene especial importancia los gastos relacionados con la operación del sistema de manera que se garantice su funcionamiento permanente. Imaginemos el caso de un alcantarillado que posee un sistema de impulsión de las aguas residuales, como el relacionado en el Ejercicio 20. Inicialmente se invierte un valor P en las obras civiles requeridas, o fracciones de P discriminadas por períodos. Posterior a la construcción se requiere consumo permanente de energía eléctrica y mantenimientos al equipo a lo largo de toda la vida útil del sistema. Luego el sistema de impulsión que genere menos costos periódicos por este concepto se constituye en el equipo seleccionado. Para el caso de un acueducto, el sistema de tratamiento que ofrezca menor costo de operación anual. Es decir por período, es el sistema requerido. Obsérvese que para ambos casos se requiere determinar el costo anual de operación y la inversión de la construcción. Los proyectos de inversión pública no buscan la rentabilidad del capital invertido, pero se espera que los ingresos generados por el sistema le garanticen la operabilidad a lo largo de la vida útil. Luego no se pueden utilizar indicadores de rentabilidad para evaluar económicamente estos proyectos.

80


El tamaño y complejidad del proyecto guardan una relación estrecha con los gastos de operación. Proyectos con gastos de operación mayor a los ingresos generados por el sistema, estás condenados a fracasar.

7.0 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE CAUE El CAUE es un indicador financiero que nos mide los valores anuales de operación y mantenimiento en un sistema, el cual luego de construido debe ser operado el resto de su vida útil. Ingresos IF

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Operación CO P

Para poder determinar el CAUE del anterior modelo es necesario convertir en anualidades todos los valores concurrentes a lo largo de la vida del proyecto. Los ingresos por funcionamiento IF y los gastos de operación CO, están expresados en anualidades. El valor correspondiente a la construcción P está expresado en valor presente, por lo cual deberá convertirse en anualidad en los 20 períodos, esto es (A/P,i,n). Esto es. Ingresos IF

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Operación CO +

A/P,i,n 81


Una aplicación interesante de la serie uniforme es determinar el valor de costo de equipos entregados en alquiler. Imaginemos la compra de una retroexcavadora 320 de orugas. Este equipo tiene las siguientes especificaciones: Tamaño del cucharón (yd3):

1,05

Tipo de suelo:

Arcilla compactada

Ciclo total:

0,23 minutos

Vida útil en zona moderada: 12,000 horas Vida útil en zona media:

10,000 horas

Vida útil en zona severa:

8,000 hora

Uso diario:

8 horas

Precio de entrega: Tiempo de posesión:

$130,000,000 10,000 horas

Valor de salvamento:

$40,000,000

Consumo de combustible:

3,75 galones/hora

Consumo de lubricantes:

0,065 galones/hora

Costo de operador:

$21,000/hora

Reserva de reparaciones

$7,000/hora

40,000,000

+

n=0

n=125

n=250

n=375

n=500

n=645

130,000,000

82

n=750

n=875

n=1000

n=1125 n=1250


Evaluemos con una TMAR de 1,5 mensual. La vida útil de la máquina en un período de 10,000 horas es equivalente a 42 meses. Sin embargo contablemente la maquinaria y vehículos deben depreciarse a 5 años. Nominalmente la TMAR diaria es del 0,05%. El costo diario por operación y mantenimiento es: 8(3,75x$3600 + 21,000 + 7,000 + 0,065x12,000)=$279,640

Es necesario que se determine la serie uniforme correspondiente a P=$130,000,000 y Pn =$40,000,000

Así A =

A=

Pni , (1 + i)n − 1

Pi(1 + i)n (1 + i)n − 1

[

]

40,000,00 x 0,0005 = 23,042 (1 + 0,0005)1250 − 1

130,000,000 x 0,0005(1 + 0,0005)1250 = 139,888 (1 + 0,0005)1250 − 1

[

]

El diagrama equivalente resulta ser:

CAUE=279,640 + 139,888 - 23,042=$396,486 Este valor es de periodicidad diaria. Nominalmente el valor de la hora resulta del cociente entre este valor y el número de horas de trabajo por día, para el caso de 8 horas, el CAUE horario es=$49,560.

23,042

n=0

n=125

n=250

n=375

n=500

n=645

139,888

279,640 83

n=750

n=875

n=1000

n=1125 n=1250


Recuerde que la TMAR mantiene equivalente el dinero a lo largo de n períodos. De manera que la tarifa para alquiler deberá ser igual o superior al CAUE horario. Valores superiores generan ganancia y caso contrario ocasionan pérdida sobre la inversión

7.1 ESTIMACION DEL COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE CAUE EN LOS PROYECTOS Es posible encontrar dentro de la fase de evaluación de proyectos de infraestructura civil, alternativas de solución que mantengan en común la misma duración de la vida útil. Lo contrario, es decir, encontrar que la duración de las vidas útiles es distinta en cada alternativa, es también frecuente. Para ambos casos se procede de manera distinta. Es necesario determinar en cada caso la longitud de tiempo o base sobre la cual se realiza las equivalencias para cada caso en particular.

6.1.1 Estimación del CAUE en proyectos con alternativas de igual duración de vida útil.

Para este caso en el cual las vidas útiles son iguales, la base o longitud de tiempo sobre la cual se trabaja, es la correspondiente a la duración de la vida útil. Luego todos los valores intervinientes se convierten a serie uniforme o anualidades en un modelo equivalente que se desarrolla a lo largo de esta duración

Ejercicio 26. Determinar el CAUE del proyecto mostrado en el Ejercicio 20, con la variante de examinarlo a lo largo de una vida útil de 20 años y operar con mantenimiento anual. Los valores de salvamento se disminuyen a la mitad para cada alternativa.

84


La duración de la vida útil para cada alternativa es la misma y corresponde a 20 años. En este caso, en el que se estudia el funcionamiento del sistema a lo largo de toda la vida útil, la solución no logra estimarse a partir del análisis de VPN. Es necesario evaluar los gastos anuales para determinar el menor de las opciones. En estos casos se utiliza el CAUE La primera alternativa presenta el siguiente flujo.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 14 15 16 17 18 19 20

+

22,000,000

270,000

700,000

En este flujo los ingresos por salvamento y el valor de compra deben convertirse en anualidades, esto es. Para P=22,000,000, la anualidad se calcula como

A=

Pi(1 + i)n = (1 + i)n − 1

[

]

22,000,000 x 0,05 x(1 + 0,05)20 = 1,765,336 (1 + 0,05)20 − 1 Para Pn=4,000,000, la anualidad correspondiente es:

4,000,000 x 0,05 x(1 + 0,05)20 = 320,970 (1 + 0,05)20 − 1

85


Ahora con los valores de mantenimiento se requiere tomar cada uno, convertirlo en valor presente en n=0 y regresarlos a anualidad en 20 años 320970 1

2

3

6

7

8

10 12 13 14 15 18 19 20 24

26 27 30 31 32

1765336

+

+

70000

+

270,000

CAUE= 1,765,336 + 270,000 + 700,000 - 320,970= 2,414,336

La segunda alternativa se presenta diagramada de la siguiente forma.

3,000,000 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 14 15 16 17 18 19 20

+

18,000,000

720,000

400,000

86

36


Igualmente en este flujo los ingresos por salvamento, el valor de compra y los gastos por mantenimiento deben convertirse en anualidades, esto es: Para P=18,000,000, la anualidad se calcula como

A=

Pi(1 + i )n = (1 + i )n − 1

[

]

18,000,000 x 0,05x(1 + 0,05)20 = 1,444,366 (1 + 0,05)20 − 1

Para Pn=6,000,000, la anualidad correspondiente es:

6,000,000 x 0,05 x(1 + 0,05)20 (1 + 0,05)20 − 1

= 481,455

Con lo que el sistema equivalente es:

481455 1

2

3

6

7

8

10 12 13 14 15 18 19 20 24

26 27 30 31 32

1444366

+

+

720000

+

400000

CAUE=1,444,366 + 720,000 + 400,000 – 481,455=2,082,911

87

36


Entre las dos alternativas, la opción de operar el alcantarillado mediante estaciones de bombeo es la de menor CAUE, por lo cual es la opción que debe escogerse.

Ejercicio 27. Se desea construir un proyecto de interconexión vial entre dos municipios. La longitud de la vía es de 42 km, debe tener dos carriles con ancho individual de 4 m. Los consultores proyectan dos alternativas de solución. La primera es una pavimentación en concreto asfáltico. Esta alternativa requiere un espesor total de 25 cm, colocando 7.5 cm cada 3 años. Las obras preliminares, de movimiento de tierras y construcción del afirmado junto con la primera capa tienen un costo de U$ 1,000,000. Cada capa de concreto asfáltico requerida posteriormente para completar el peralte tiene costo de U$480,000 con incremento aritmético anual de materiales del 3%. Bajo esta opción luego de completar todo el espesor a los 12 años de iniciado el proyecto se requiere mantenimiento de las superficies por valor de U$200,000 cada 2 años. La segunda alternativa es utilizar concreto hidráulico. Con estos diseños se requiere un espesor de 20 cm, los cuales no pueden ser construidos por capas por proceso funcional propio a este tipo de concreto. Las obras preliminares, de movimiento de tierras y construcción del afirmado junto con el las losas de concreto hidraúlico tienen un costo de U$ 8,064,000, ejecutados en el primer año. Sólo se requiere mantenimiento de los sellos de la juntas por valor anual de U$ 10,000 por año Utilizando una tasa de interés de 6% anual, determine la alternativa más aconsejable. La vida útil para ambas alternativas es de 20 años Costo de la segunda capa= U$480,000x1,033= U$524,508 Costo de la tercera capa= U$480,000x1,036= U$573,145 Costo de la cuarta capa = U$480,000x1,039=U$ 626,291 La primera alternativa tiene el siguiente diagrama de flujo

88


1

2

3

524,508

4

5

6

7

8

9

10 11

12 13 14 15 16 17 18 19 20

200,000

573,145

626,291

1,000,000

En esta alternativa los costos correspondientes al valor inicial de inversión, las capas posteriores y los mantenimientos a partir del mes 14, deben convertirse en anualidades de la siguiente manera. Para P=1,000,000, la anualidad se calcula como

1,000,000 x 0,06 x(1 + 0,06)20 = 87184 (1 + 0,06)20 − 1 Para

P=

P3=524,508

524,508 = 440,387 (1 + 0,06)3

y

A=

440,387 x 0,06 x(1 + 0,06)20 = 26423 (1 + 0,06)20 − 1

Para P6=573,145 P =

573,145 = 404,044 (1 + 0,06)3

y

404,044 x 0,06 x(1 + 0,06)20 A= = 25637 (1 + 0,06)20 − 1

Para

P=

P9=629,291

629,291 = 427,289 (1 + 0,06)3

y

A=

427,289 x 0,06 x(1 + 0,06)20 = 22348 (1 + 0,06)20 − 1

89


La anualidad correspondientes al mantenimiento, se vuelven valores presentes en n=10 de la siguiente forma.

A

P =

P10 =

[(1 + i) − 1] n

i(1 + i )n

200,000

[(1 + 0,06) − 1] = 842,472 5

0,06(1 + 0,06 )5

Ahora, este valor se convierte a valor presente en n=0

P0=

842,472 (1 + 0,06 )10

A=

= 470,432 , y puede disponerse como una anualidad de la forma

470,472 x 0,06 x(1 + 0,06 )20 (1 + 0,06 )20 − 1

1

2

3

4

5

6

= 41017

7

8

9

10 11 12 13 14 15

87184

+

26423

+

22348

+

41017

90

16 17 18 19 20


CAUE= 87184 + 26423 + 22348 + 41017=U$ 176,972 Para la segunda opción se presenta el siguiente análisis

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

10,000

8,064,000

Para P=8,064,000, la anualidad se calcula como

8,064,000 x 0,06 x(1 + 0,06)20 = 703,056 (1 + 0,06)20 − 1

CAUE=703,056 + 10,000= U$ 713,056

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

+

16 17 18 19 20

703,056

10,000

El CAUE de pavimentar con concreto asfáltico es menor al CAUE de pavimentación con concreto rígido. Luego la primera opción es la mejor alternativa.

91


7.1.2 Estimación del CAUE en proyectos con alternativas de distinta duración de vida útil.

Comoquiera que el CAUE reprenda un valor obtenido de una frecuencia específica, en la que la longitud de los subperíodos es igual para varias alternativas, aunque la longitud total o vida útil sean distintas, se expresa el CAUE en una unidad equivalente para cada caso. Esto quiere decir, que dado que el CAUE se expresa por subperíodos, esta unidad resulta ser la unidad de comparación para cualquier alternativa. No tiene sentido hallar una longitud equivalente para dos vidas útiles con duración distinta, pues de hecho se están definiendo las equivalencias de ingresos y egresos expresados en subperíodos, que resultan ser la mínima división de trabajo. Así, para diferentes longitudes, se procede a calcular cada CAUE sobre la base de cada alternativa y se comparan entonces los CAUE obtenidos en cada opción

Ejercicio 28. Se desea construir un puente de interconexión vial a nivel urbano de una ciudad. Este puente tiene un gálibo sobre el nivel máximo de aguas que atraviesa de 30 metros y una longitud de 400 metros De varias propuesta de solución se han extraído las dos más congruentes. La primera corresponde a la ejecución de un puente metálico en sistema colgante. De tomarse esta solución es necesario invertir U$ 20,000 en los estudios y diseños respectivos. El costo de ejecución asciende a U$ 200,000 anuales que se desembolsan a lo largo de la duración de la construcción, 3 años. El mantenimiento luego de finalizada la construcción incluye labores de reposición de revestimientos y accesorios metálicos por un costo de U$ 10,000 por año. Sin embargo este puente tiene vida útil de 25 años en la cual será necesario intervenir estructuralmente el sistema. La alternativa restante conceptúa el diseño de un puente en concreto postensado en sistema de cajón voladizo. Los estudios tienen costo de U$ 15,000. La ejecución asciende a U$ 250,000 anuales, pagados durante cada año en los 3 años de ejecución.

92


Los gastos anuales de operación y mantenimiento se establecen en U$ 5,000 por año a partir de la terminación. La vida útil es de 35 años. Utilizando una tasa de interés de 6% anual, determine la alternativa más aconsejable. Primera opción: El diagrama correspondiente es el indicado inmediatamente abajo.

1

1

2

3

4

5

6

7

2

3

8

9 10 12 13

14 15

21

22 23 24

25

10,000

200,000 20,000

La serie uniforme equivalente 200,000 debe llevarse a n=0 como valor presente, para luego discretizarla a lo largo de n=25:

P =

200000 x(1.06 3 − 1) 0,06(1.06 )3

= 534602

Ahora este valor se lleva a una serie A a lo largo de 25 períodos

A=

534602 x 0.06 x(1.06 25 ) (1.06 25 − 1)

= 41820

La serie uniforme del mantenimiento genera un valor futuro desde n=4 hasta n=25, del que puede obtenerse la serie uniforme a lo largo de 25 períodos.

93


[(1 + i)

],

[

[

n

−1

]

10,000 (1 + 0,06)22 − 1 = 433,922 i 0,06 iPn 0,06 x 399927 A= = = 7,908 n (1 + i) − 1 (1 + 0,06)25 − 1

Pn = A

] [

]

Ahora, valor de los estudios genera una serie uniforme a lo largo de los 25 períodos, con valor A=

20,000 x 0.06 x(1.06 25 ) (1.06 25 − 1)

= 1,564

El modelo equivalente es:

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

9

10 11

12 13

14 15

21

22 23 24

25

41820

7908

1564

CAUE= 41,820 + 7289 +1564 = 51,292 Segunda opción: El diagrama correspondiente es el indicado inmediatamente abajo.

94


1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

9

10 11

12 13

14 15

31

32 33 34

35

50000 15000

250000

La serie uniforme equivalente a P= 15,000 es:

A=

15000 x 0,06 x(1 + 0,06)35 = 1034 (1 + 0,06)25 − 1

Igualmente que en el caso anterior, la serie uniforme del mantenimiento desde n=4 hasta n=25, genera un valor futuro en n=25, del que puede obtenerse la serie uniforme a lo largo de 25 períodos.

[

]

5,000 (1 + 0,06)31 − 1 = 454,448 0,06 iPn 0,06 x 454,448 A= = = 4078 n (1 + i) − 1 (1 + 0,06)32 1

Pn =,

[

] [

]

La serie uniforme equivalente 250,000 debe llevarse a n=0 como valor presente, para luego discretizarla a lo largo de n=25:

P=

250,000 x(1.06 3 − 1) = 668,252 0,06(1.06)3

Ahora este valor se lleva a una serie A a lo largo de 35 períodos

95


A=

668252 x 0.06 x(1.06 35 ) = 46,091 (1.06 35 − 1)

El modelo equivalente es:

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

9

10 11

12 13

14 15

31

32 33 34

35

46091

4078

1034

CAUE= 46,091 + 4,078 + 1,034 =51,203 Luego, la alternativa a seleccionar es la construcción con puente en concreto postensado por cuanto representa un CAUE menor. Nótese que para determinar CAUE, los valores hacia abajo del diagrama se toman como positivos en caso contrario, negativos.

Ejercicio 29. Se desea elegir la mejor propuesta de suministro de una mezcladora para concreto de 15 ft3 (0,4 m3). Existen dos referencias de equipos especializados en estos suministros. Un fabricante propone el suministro de una mezcladora a gasolina por valor de $ 8,000,000. El consumo de combustible es de 2 galones por día. Cada año deben ser

96


reemplazados accesorios y componentes por valor de $250,000. Tiene vida útil de 3 años El otro fabricante pone a dispocisión una mezcladora por valor de $14,000,000. El consumo de ACPM es de 0,75 galones por día. Cada año debe tener un mantenimiento con costo de $370,000, valor que incluye la repocisión de piezas. Tiene vida útil de 4 años Utilizando una tasa de interés de 6% anual, determine la alternativa más aconsejable para realizar la compra. Opción 1. El galón de gasolina tiene un costo de $6,500. Con costo promedio de 22 días de trabajo( Sábados hasta medio día, no se trabaja domingos y festivos)1 no se trabaja, el costo anual de operación es $3,432,000

n=1

n=2

n=3

3,432,000

8,000,000

La serie uniforme equivalente a P=8,000,000 es:

A=

8,000,000 x 0,06 x(1 + 0,06)3 = 2,992,878 (1 + 0,06)3 − 1

CAUE= 2,992,878 + 3,432,000 = 6,424,878

1

El lector puede realizar modificaciones a la asignación de trabajos 97


Opción 2. El galón de ACPM tiene un costo de $4,200. Con costo promedio de 22 días de trabajo, el costo anual de operación es $1,108,800

n=1

n=2

n=3

n=4

1,108,800

14,000,000

La serie uniforme equivalente a P=14,000,000 es:

A=

14,000,000 x 0,06 x(1 + 0,06)4 = 4,040,280 (1 + 0,06)4 − 1

CAUE= 1,108,800 + 4,040,280 = 5,149,080 Luego la mezcladora a gasolina es la mejor opción. Este probelema es posible que sea evaluado por VPN, sin embargo las consideraciones que se modelan para cada situación son las premisas fundamentales para elegirel método de evaluación en específico.

Ejercicio 30. Considérese el caso relacionacionado con el suministro de agua potable a una población de 340,000 habitantes. La población de usuarios es 68,000 suscriptores de los servicios de acueducto. Existen dos fuentes potenciales para el suminsitro de agua. La primera es a través de diversas perforaciones desplantadas sobre un acuífero situado a 11 km y situados

del área en estudio. La segunda

alternativa de suministro es la captación de un cuerpo superficial de agua, en este

98


caso un rio ubicado a 70 km de la zona urbana, lo que implica una serie de estaciones de bombeo sucesivas. Cualquiera que sea el sistema de suministro de agua potable la tarifa por m3 a cobrar a los usuarios está dado por la suma de 4 componentes diversos a saber. Costo total por m3= CA + CO + CI + CTA, donde CA= Valor del m3 relacionado con los gastos de adminsitración del sistema CO= Valor del m3 relacionado con los gastos de operación por fuerza motriz, reactivos e insumos del sistema CI= Valor del m3 relacionado con los gastos por la inversión en infraestructura física, terreno y equipos del sistema CTA= Valor del m3 relacionado con los gastos pago de tasas ambientales respecto del agua captada

Situación Costo de prefactibilidad e

Captación de acuífero

Captación de un cuerpo de agua

1,700,000,000

1,900,000,000

CA

650

630

CO

15

18

CI

21

17

CTA

7

9

Vida útil

20

40

Costo de funcionamiento

240,000,000

280,000,000

Contribuciones especiales

190,000,000

230,000,000

Costos administrativos

170,000,000

115,000,000

inversión inicial

99


De acuerdo a lo definido por la prefactibilidad, se prevé una cesación de pago del 20% en los usuarios. Bajo las premisas que ambos sistemas funcionarían en igualdad de condiciones. El consumo básico se proyecta en 23 m3 por mes para los estratos 1,2 y 3 con una aproximación de 0,7, esta población corresponde al 60% de los usuarios y un consumo complementario de 34 m3 para la población restante con una aproximación de 0.65. El consumo complementario tiene un recargo del 23% sobre el básico. Determine cual es la alternativa en que debe invertir la administración estatal. Utilice una tasa de interés del 6% Primera opción. La tarifa del m3 corresponde a: 650 + 15 + 21 + 7=693. Los ingresos por suministro son: Consumo básico:

68,000x0,6x23x693x0,77x0,7 =350,517,736 por mes

Consumo complementario:

68,000x0,4x34x693x1.23x0,77x0,65=

320,763,643

por

mes. Total ingresos por mes:

671,281,379

Total ingresos anuales:

8,055,376,550

Total gastos por mes:

240,000,000 + 190,000,000 + 170,000,000 = 600,000,000

Total gastos por año:

7,200,000,000

La situación descrita se diagrama inmediatamente

100


8,055,376,550 1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

7,200,000,000

1,700,000,000

Para este caso basta con hallar la serie uniforme correspondiente a la inversión inicial, esto es:

A=

1,700,000,000 x 0,06 x(1 + 0,06 ) 4 (1 + 0,06 ) 4 − 1

= 148,213,746

El diagrama equivalente es:

8,055,376,550 1

2

3

4

5

6

78

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

7,200,000,000

148,213,746

CAUE=-8,055,376,550 + 7,200,000,000 + 148,213,746 = -707,162,803

101


Segunda opción. La tarifa del m3 corresponde a: 630 + 18 + 17 + 9 = 674. Los ingresos por suministro son: Consumo básico:

68,000x0,6x23x674x0,77x0,7 = 340,907,582 por mes

Consumo complementario:

68,000x0,4x34x674x1.23x0,77x0,65

=211,038,027

por

mes. Total ingresos por mes:

551,945,609

Total ingresos anuales:

6,623,347,310

Total gastos por mes:

280,000,000 + 73,000,000 + 115,000,000 = 468,000,000

Total gastos por año:

5,616,000,000

Para este caso basta con hallar la serie uniforme correspondiente a La situación descrita se diagrama inmediatamente

6,623,347,310

2

4

6

8

10 12 14 16

18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

5,616,000,000

1,900,000,000

La serie uniforme de la inversión corresponde a:

A=

1,900,000,000 x 0,06 x(1 + 0,06)40 = 126,276,918 (1 + 0,06)40 − 1

CAUE= -6,623,347,310 + 5,616,000,000 + 126,276,918= 887,070,392

102


Advertimos con estas respuestas que la alternativa de suministro mediante a partir de un cuerpo estacionario de agua resulta menos atractiva que suministrar agua a partir del acuífero. Por lo tanto, la solución de suministro partir del acuífero es menos costosa anualmente en aproximadamente el 25% de su costo anual Sin embargo vemos para este caso en particular, que ambos sistemas garantizan la operación y funcionamiento y adicionalmente recuperan el capital invertido, aunque de diferentes formas.

Ejercicio 31. En una zona urbana existe una condición crítica. El caso consiste en un puente vehicular construido sobre una zona altamente poblada y de las más costosas de la ciudad. Actualmente el puente lleva 3 años de construido y ha presentado fallas que han originado costos de operación anuales bastante altos. Estudios preliminares han demostrado que el puente necesitará costos de operación anuales más altos a los iniciales y a los 7 años necesitará una intervención estructural costosa. La administración municipal está considerando en destruir el puente y construir la estructura requerida. Veamos las características de ambas situaciones

Descripción

Puente existente

Puente nuevo

Costo prefactibilidad

U$ 10,000

US 15,000

Costo de construcción

US 400,000

US 700,000 ejecutados en un solo año

Costos de operación anual

US 25,000

US 5,000

Costo demolición

US 45,000

Intervención estructural

US 300,000, en n= 7

Vida útil

15

25

Determine cuál alternativa es la más aconsejable para la administración municipal. Alternativa mediante la cual se mantiene el puente existente

103


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

25,000 10,000

400,000

300,000

Es necesario determinar el CAUE de cada alternativa y comparar si aún así, el puente nuevo genera menor CAUE que el puente existente. La serie uniforme para P=U$ 10,000 es.

A1 =

10000 x 0.1x1.115 = 1,314 (1.115 − 1)

La serie que genera P= U$ 400,000 en n=2, es

A1 =

400000 x 0.1x1.115 = 43,462 (1.115 − 1)x1.12


A1 =

300000 x 0.1x1.115 = 20,240 (1.115 − 1)x1.17

CAUE = 1,314 + 43,462 + 20,240 + 25,000 = U$ 90,016 Examinemos ahora la opción de construir el nuevo puente

104

15


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

19 20 21 22 23 24 25

5,000 15,000

700,000+45,000


A1 =

15000x 0.1x1.125 (1.125 − 1)

= 1652

La serie que genera P= U$7945,000 en n=1, es

A1 =

745000x 0.1x1.125

(1.125 − 1)x1.1

= 74,612

CAUE = 1,652 + 74,6123 + 5,000 = U$ 81,264

De esta forma se demuestra que demoler el puente y construir otro nuevo, es la solución económicamente más acertada, aún a costa de las inversiones que deben realizarse para la nueva construcción.

105


CAPITULO

TECNICAS Y ANALISIS DE REEMPLAZO PARA MAQUINARIA Y EQUIPOS 8.1. CONSIDERACIONES GENERALES

VI

En el sector de la producción industrial, los activos como maquinarias y equipos, se ven afectados durante su vida útil por diferentes factores, frente a lo cual la productividad, eficiencia, vida útil se van reduciendo en medida que transcurre el tiempo. La depreciación es una rutina natural de todos los activos. La depreciación afecta el valor de los equipos a lo largo del tiempo Debido al estado de las máquinas en un momento específico, donde se ve reducida la vida útil y la productividad se hace necesaria el reemplazo y reposición de estos activos. Esta situación sucede en virtud a situaciones como: Disminución de la productividad.

Debido al desgaste de piezas, deterioro físico,

variación de las tolerancias admisibles en accesorios mecánicas para elementos de fuerza, método de uso, excedencias de carga por encima de las capacidades nominales y en algunos casos, observado en la variabilidad de la precisión de medida o funcionamiento. Estas situaciones motivan acciones tendientes a mantener el equilibrio de la producción Atraso tecnológico. La obsolescencia puede llevar a generar caos en la producción. Para afrentar situaciones específicas se requieren equipos específicos y en la medida

106


que avanza la tecnología las máquinas, al igual que otras realidades, van siendo optimizadas en su funcionamiento y en su rendimiento. La tendencia es producir máquinas y accesorios cada vez más eficientes que van desplazando a las generaciones anteriores. Nuevas realidades. Es posible que una empresa de construcción se vea frente a nuevas realidades de construcción imposibles, de hacer con equipo tradicional, para lo cual habrá que abrir un abanico de opciones. La Ingeniería Civil y la construcción en general, cada vez se ven enfrentadas a situaciones cada vez más complejas Las técnicas de reemplazo son un análisis para determinar la conveniencia económica de adquirir nuevos activos de transformación o dejar los existentes en virtud a las características financieras que posean cada uno. El activo o equipo existente, el cual es objeto de estudio para ser remplazado, se denomina defensor. Y el activo que está en las condiciones de ser suministrado a reemplazar el existente, se denomina retador. De hecho la decisión de tomar otro activo o dejar el existente, es resultado de comparar alternativas. Estamos frente a un defensor al que se está considerando su reemplazo por dos o más retadores. El análisis de la situación en la cual un activo, defensor, ha perdido vida útil por efecto de la depreciación y otras instancias, posee ahora un valor contable que será el utilizado para establecer la evaluación económica en relación al valor del retador. No es posible tomar el valor de adquisición del defensor, pues desde este evento a la fecha, el equipo ha perdido vida útil. Es posible que el retador, mirado a lo largo de un horizonte de evaluación, posea valor de salvamento. En el uso de maquinaria interviene, el valor de adquisición, valor contable actual, valor de salvamento y costo anual de operación. Comoquiera que los activos van a ser definidos para uso continuo, el indicador que nos permite evaluar la interacción de los anteriores factores, es el costo anual uniforme equivalente CAUE. Lo que interesa en

107


este análisis es cual equipo nos representa un menor costo periódico a lo largo de los años posteriores a la toma de la decisión

8.2. DEPRECIACIÓN O MODELOS DE AGOTAMIENTO. Representa la pérdida anual del valor del activo en estudio en virtud al desgaste propio, disminución del rendimiento, pérdida de eficiencia y aumento del costo de operación y mantenimiento anual. El valor del activo es expresado en función del precio de adquisición I. Un activo, como maquinaria o equipos, se adquieren en un período n, con lo cual a la fecha del examen ha transcurrido una secuencia de períodos ∆n. Luego el valor presente del equipo será una fracción del precio de adquisición I, disminuido en función del tiempo transcurrido desde el evento de la compra y del modelo de agotamiento empleado para evaluar.

8.2.1 Depreciación lineal. Es un método demasiado popular y usado en la mayor parte de las aplicaciones donde se incluye modelos de agotamiento. De acuerdo a este modelo el valor del activo varía desde el valor de adquisición I, a lo largo de su vida útil n, hasta llegar a un valor residual definido, el cual de existir tomará el nombre de valor de salvamento Vs, en caso contrario, tomará valor cero. El valor de salvamento no función deducida de la producción, es una variable que va a depender del mercado del equipo usado. La existencia de valor de salvamento se expresa en el hecho que de manera contable, el activo tiene una vida útil n a lo largo de la cual debe agotarse el valor de adquisición. Pero en la práctica, tal como lo ha mostrado la historia y el ejercicio práctico, estos equipos siguen prestando servicio. Por ello son susceptibles de tener valor comercial.

108


La tasa de depreciación por período anual se expresa como Tl =

I − Vs . La secuencia n

periódica puede tener cualquier amplitud. Con ello se establece que la variación de la depreciación es constante

8.2.2 Agotamiento por saldo decreciente (SD) y saldo doblemente decreciente (SDD). Es conocido como el método del porcentaje fijo uniforme. Para el método del saldo doblemente decreciente, el porcentaje fijo de depreciación que se permite es 200%, el doble de la tasa en línea recta.

La tasa de depreciación máxima se expresa como t=

2 y la tasa de depreciación para n

el año n cualesquiera, se calcula como, tn = It(1 − t)n −1

8.2.3 Depreciación por suma de dígitos de los años (SDA). De acuerdo a esta técnica gran parte del activo se amortiza en el primer tercio de la vida útil. Es de cambio menos sensible a los anteriores métodos en cuanto a la tasa de depreciación.

La tasa de depreciación a lo largo de n años, corresponde a. t =

Donde

∑

n n=1

n− t +1

∑

n n =1

es la suma de los dígitos de los años

8.2.4 COMPARACION ENTRE LOS MODELOS La gráfica siguiente ilustra la variación de comportamiento entre los modelos

109


120000000

90000000 lineal sdd

60000000

sda

30000000

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Gráfica 7. Comportamiento gráfico de los modelos de agotamiento Fuente: Desarrollada por el autor

El modelo de saldo creciente da lugar a un valor de salvamento, pues es obvio que el activo en estudio, siguen teniendo fuerza productiva y capacidad de servicio. Este modelo es la simulación perfecta del comportamiento y resultado de uso en un equipo. El método lineal, es drástico en esencia y castiga fuertemente al activo. Es una aproximación tosca y antigua sobre la evolución y disminución de la vida útil de los equipos. El método de suma de dígitos es una regular aproximación al comportamiento de los equipos, pues los deja sin probabilidad de uso al final de su vida útil. La diferencia entre la integral de la función lineal y la función de correlación para la suma de dígitos nos significa la pérdida de valor adicional que experimenta una máquina en términos contables. Valor que debe ser asignado a los costos anuales para realizar los balances de los flujos de valores.

110


Ejercicio 32.

Una retroexcavadora comprada hace 4 años, se adquirió por valor de

$180,000,000. La capacidad del cucharón es de 3.1 m3, está montada sobre orugas. De acuerdo a lo especificado por el fabricante la vida útil es de 36500 horas, con uso diario de 10 horas. La depreciación se establece en línea recta para este activo. Al final de esta vida útil, el valor de salvamento es $30,000,000 y se opera con inversión de $40,000,000 en costo anual de operación Existe la opción de reemplazar la retroexcavadora, por un equipo combinado de retroexcavadora y gancho. Este equipo con vida útil de 40150 horas, con frecuencia de 10 horas de uso, tiene un valor de $230,000,000 y tienen un valor de salvamento de $45,000,000. Para trabajar con esta máquina se requiere un costo anual de operación de $52,000,000. Si la empresa utiliza una tasa del 8% anual, determine cual es la alternativa más aconsejable para el manejo de equipos. PARAMETROS

DEFENSOR

RETADOR

Valor presente

108,000,000

230,000,000

Valor de salvamento

30,000,000

45,000,000


40,000,000

52,000,000

Vida útil (años)

10

11

Valor presente para el defensor: Depreciación por año Luego, después de 4 años, el saldo es

1 del valor de adquisición. 10

6 de dicho valor, es decir 108,000,000. 10

Diagramemos la situación del retador.

111


30,000,000

4

5

6

7

8

9

10

40,000,000 108,000,000

La serie equivalente para P=108,000,000 es: A =

108,000,000 x 0,08 x(1 + 0,08)6 (1 + 0,08)6 − 1

= 23,362,061

La serie para el valor de salvamento es As =

30,000,000x 0,08 (1 + 0,08) 6 − 1

= 4, O89,461

CAUE=40,000,000 + 23,362,061 –4,O89,461 = 59,272,6OO Para el retador 45,000,000

1

2

3

4

5

6

52,000,000 270,000,000

A=

270,000,000 x 0,08 x(1 + 0,06)11 = 37,820,612 (1 + 0,08)11 − 1 112

7

8

9

10

11


La serie para el valor de salvamento es As =

45,000,000x 0,08 (1 + 0,08)11 − 1

= 2,7O3,435

CAUE= 52,000,000 + 37,820,612 - 2,7O3,435= 87,117,177

Se logra observar que el defensor tiene menor CAUE, lo que equivale a recomendar que sea mejor quedarse con el equipo existente

Ejercicio 33. Una compañía de estudios geotécnicos desea analizar la situación de su actual equipo de perforación. Este equipo se compró hace 5 años en $23,000,000. Tiene una vida útil de 10 años. Los costos de operación anula del equipo oscilan alrededor de $4,000,000. Con este quipo que perfora hasta una profundidad de 15 metros mediante penetración estándar. Al final de su vida útil no logra obtenerse valor de salvamento. La empresa está pensando en remplazar este equipo por la presentación de dos opciones a saber. La primera opción es un equipo de perforación por rotación por valor de $53,000,000. Tiene costos anuales de operación de $3,000,000. Tiene una vida útil de 10 años La segunda opción es un sistema de penetración estándar, con capacidad de 30 metros. Posee costo de $21,000,000. Vida útil de 12 años. Tiene costos anuales de operación de $3,000,000 Si la compañía utiliza una tasa del 7% anual y bajo la premisa que los equipos se deprecian linealmente, determine que decisión deberá tomarse.

113


El valor residual a la fecha del equipo usado es $11,500,00. El diagrama para la situación actual es:

1

2

3

4

5

6

7

11500000

La serie para el valor actual es: A=

8

9

10

4000000

11500000 XO.O7 X (1 + 0.07)5 = 2,804,742 (1 + 0.07)5 − 1

CAUE= 2,804,742 + 4,000,000 = $6,804,742

El análisis del primer retador muestra el siguiente diagrama.

1

2

3

153000000

La serie para P=53,000,000 es

4

5

6

7

8

3000000

53,000,000 XO.O7 X (1 + 0.07)10 = 7,546,007 (1 + 0.07)12 − 1

114

9

10


CAUE= 7,546,007 + 3,000,000 = 10,546,007

Analizando el segundo retador se presenta la siguiente situación

1

2

3

4

5

6

8

9

10

11

3000000

21000000

La serie para P=21,000,000 es

7

21,000,000 XO.O7 X (1 + 0.07)12 (1 + 0.07)12 − 1

= 2,643,941

CAUE= 2,643,941 + 3,000,000 = $5,64,941 Este valor es menor al que produce el equipo actual, por ello la empresa debe reemplazar el equipo existente por el sistema de penetración estándar de la segunda opción de reemplazo

Ejercicio 34. Se necesita precisar información económica sobre un equipo hincado de pilotes a una profundidad de 20 metros en las acciones preliminares de una cimentación de un proyecto. La empresa necesita evaluar si utiliza su equipo o arrienda un equipo neumático. El equipo actual posee un sistema de presión accionado mediante bombas hidráulicas. Con este equipo es posible hincar 20 pilotes por día hasta una profundidad de 10 metros, comoquiera que la profundidad de desplante es de 20 metros, se disminuye el rendimiento a 12 pilotes por día. El equipo se compró hace 5 años por valor de

115

12


$200,000,000 y tiene una vida útil de 12 años al final de los cuales tienen valor de salvamento por $50,000,000. Los costos anuales de operación se aproximan a $18,000,000,000 El retador, un equipo de accionamiento neumático, tiene capacidad de hincado de 20 toneladas por pilote. Puede hincar 18 pilotes por día a una profundidad de 20 metros. El alquilar de esta máquina está ardedor de los $30,000,000 por semana y $9,000,000 en costos de operación anual Evalúe la solución a esta situación si la empresa utiliza una TMAR del 10% anual y el proyecto pretende desarrollarse a los largo de un año Examinemos la situación actual:

El valor residual de la máquina ahora es

1

2

3

4

7 x 200,000,000 = 116,666,666 12

5

6

7

8

9

18,000,000 116,666,666

La serie correspondiente a P=116,666,666 corresponde a

116,666,666 XO.1X (1 + 0.1)7 = 23,963,974 (1 + 0.1)7 − 1 CAUE= 18,000,000 + 23,963,974 = 41,963,974 Para el retador se presenta la siguiente situación.

116

10

11

12


CAUE = 30,000,000 + 9,000,000 = 39,000,000. Asi, de esta manera que el retador presenta más ventaja que el defensor. La compañía debe vender el equipo existente y arrendar el equipo neumático para hincar los pilotes.

Ejercicio 35. Una empresa constructora está contemplando la posibilidad de reemplazar sus unidades de carga, pero no tiene la precisión de los costos asociados a las alternativas que se presentan. Esta empresa tiene 2 volteos, ambos tienen capacidad de 7 m3. El primero de ellos se compró hace 2 años, y el segundo volteo se adquirió hace 3 años. A continuación se relacionan las características de estos activos

Datos

Vehículo inicial

Vehículo final

Costo de adquicisión CA

$90,000,000

$75,000,000

Vida útil

12 años

10 años

Valor de salvamento VS

$25,000,000

$20,000,000


$700,000

$800,000

Es posible alquilar dos camiones con capacidad de 10 m3 por valor de $200,000,000 anuales. El costo de operación por es $800,000 anuales La alternativa final es la compra de 2 volteos de 11 m3 con las siguientes características

Costo de adquisición CA

$100,000,000

Vida útil

10 años

Valor de salvamento VS

$30,000,000


$900,000

117


¿Qué camino debe tomar la empresa? Examinemos lo que acontece con la situación actual del primer defensor:

25,000,000 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

700,000 75,000,000

La serie correspondiente a P=75,000,000 corresponde a 75000000 x 0.1X(1 + 0.1)10 (1 + 0.1)10 − 1

= 12,205,904

La serie correspondiente a P=25,000,000 como valor de salvamento, corresponde a

25000000xO.1 (1 + 0.1)10 − 1

= 1,568.634

CAUE=12,205,904 + 700,000 – 1,568.634 =11,337,27O

Con el segundo defensor:

118

12


20,000,000 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

800,000 52,500,000


52500000 xO.1X (1 + 0.1)7 = 10,783,788 (1 + 0.1)7 − 1 La serie correspondiente a P=20,000,000 como valor de salvamento, corresponde a

20000000xO.1 (1 + 0.1) 7 − 1

= 2,1O81O9

CAUE= 10,783,788 + 800,000 – 2,1O8,1O9 = 9,475,679

El CAUE definitivo de estos equipos es 2O,812,949

Veamos ahora que acontece con las características del retador No 1 CAUE = 2O,OOO,OOO+8OO,OOO=2O,8OO,OOO

119


60,000,000 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

900,000 200,000,000


200,000,000 xO.1X (1 + 0.1)10 = 32,549,078 (1 + 0.1)10 − 1 La serie correspondiente a P=60,000,000 como valor de salvamento, corresponde a 60000000xO.1 (1 + 0.1) 7 − 1

= 3,764,723

CAUE = 32,549,078 +900,000 - 9,764,723 =29,684,355 El CAUE menor se presenta el arriendo de los equipos, de manera que la empresa deberá venderlos.

8.3 PREMISAS GENERALES DEL MODELO DE REMPLAZO. Existe un equipo en uso con x años en uso. Adquirido en un valor I y con una vida útil n, y existe una TMAR denotada como i

120


A los x años se genera la incertidumbre sobre la sustitución de los equipos. Así el equipo existe ha agotado una fracción de I y se precisa determinar en qué momento desde x en adelante debe ser introducido el siguiente equipo. En la medida que la vida útil disminuye, los costos anuales de operación y mantenimiento van en aumento en forma de gradiente uniforme. Esto es lógico si se abstrae que el rendimiento y eficiencia disminuyen en función al agotamiento y deterioro, de manera que para mantenerlo dentro de los límites de tolerancia, cada vez debe emplearse mayores asignaciones de capital. Revisemos cuando debe ser remplazada la retroexcavadora en estudio. Definamos la depreciación restante como función de la vida útil n del retador.

Gráfica 8. Modelo de agotamiento para formular el tiempo de reemplazo. Fuente Desarrollada por el autor

Luego la depreciación restante puede expresarse por la función t = Va

n1 − x i , donde n

xi, es cualquier valor que pueda ser tomado en el intervalo [x,n1] . Ahora, sea b el

121


cociente entre la vida útil restante del defensor y la vida futura del retador, n2, de manera que b =

n1 − x , donde. n2

Ahora bien, el gradiente para el costo anual de mantenimiento y reparación se expresa en el siguiente diagrama:

Gráfica 9. Comportamiento gráfico de la variación del costo anual de reparación Fuente: Desarrollada por el autor

La tasa con la que se incrementa el costo de mantenimiento y reparación es i0. El CAUE del defensor, tomado desde el año x, hasta la n1 expresado en función de n2 se desarrolla individualmente como: La serie correspondiente al valor presente del equipo debe expresarse en función de Va

[(n1 − x) − a] , esto n1 − x

es, desarrollar la serie uniforme

122

como

Va

(bn2 − a) i(1 + i)bn2 bn2 (1 + i)bn2 − 1


Debe plantearse que al tomar los valores de costo de reparación y mantenimiento en forma de gradiente, el costo anual no es equivalente. Sin embargo es el costo efectivo que de desarrolla tras cada período. El valor inicial de este costo de mantenimiento para n=x, resulta ser P, con ello el gradiente tendrá notación

Pi o

bn2

1 −1

(1 + io ) bn 2 − io (1 + io )bn2 (1 + io )bn2

, que es igual a Pi o

definitiva puede denotarse como CAUE = a

Para el retador, el CAUE es, I

i(1 + i) n2 (1 + i)n2 − 1

io (1 + io )bn2 , con ello el CAUE, en (1 + io )bn2 − 1 − nio

io (1 + io )bn 2 (bn2 − a) i(1 + i)bn 2 + Pi o bn2 (1 + i)bn 2 − 1 (1 + io )bn 2 − 1 − bn2 io

+ P2 i 2

i 2 (1 + i 2 ) n2 (1 + i 2 ) n2 − 1 − n 2 i 2

, donde I es el valor de

adquisición del equipo, i2 es la tasa en que se incrementa el costo de mantenimiento y operación a lo largo de los n2 períodos existentes, partiendo de un valor inicial P2. En los anteriores planteamientos i, io, b, n1, n2, P y P2 son parámetros conocidos. Para determinar la fracción de n2 donde debe entrar la sustitución, se requiere introducir formas canónicas restringidas. No es posible precisar usar las formas matemáticas estándar para evaluar un único período. Al igual los CAUE de cada alternativa

i(1 + i)n 2 i2 (1 + i2 )n 2 io (1 + io )bn2 (bn 2 − a) i(1 + i)bn2 + Pi o =I + P2 i2 , bn2 bn2 n bn 2 (1 + i) − 1 (1 + io ) − 1 − bn 2 io (1 + i) 2 − 1 (1 + i2 )n 2 − 1 − n2 i2

luego

el período n resultante es el lugar donde debe ser sustituido los equipos. Es necesario, para efectuar la sustitución que el defensor, tenga mayor CAUE que el retador. La modelación, puede ser llegar a ser tan específica como se logre acercar al detalle con niveles de acercamiento y precisión definidos.

123


BIBLIOGRAFIA

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Fundamentos

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55362646 Ingenieria Economica en La Construccion 1

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