Ingenieria Economica en La Construccion[1]

Ingeniería económica en la construcción

De acuerdo a lo definido por la prefactibilidad, se prevé una cesación de pago del 20% en los usuarios. Bajo las premisas que ambos sistemas funcionarían en igualdad de condiciones. El consumo básico se proyecta en 23 m 3 por mes para los estratos 1,2 y 3 con una aproximación de 0,7, esta población corresponde al 60% de los usuarios y un consumo complementario de 34 m 3 para la población restante con una aproximación de 0.65. El consumo complementario tiene un recargo del 23% sobre el básico. Determine cual es la alternativa en que debe invertir la administración estatal. Utilice una tasa de interés del 6% Primera opción. La tarifa del m3 corresponde a: 650 + 15 + 21 + 7=693. Los ingresos por suministro son: Consumo básico:

68,000x0,6x23x693x0,77x0,7 =350,517,736 por mes

Consumo complementario:

68,000x0,4x34x693x1.23x0,77x0,65=

320,763,643

por

mes. Total ingresos por mes:

671,281,379

Total ingresos anuales:

8,055,376,550

Total gastos por mes:

240,000,000 + 190,000,000 + 170,000,000 = 600,000,000

Total gastos por año:

7,200,000,000

La situación descrita se diagrama inmediatamente

100


8,055,376,550 1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

7,200,000,000 1,700,000,000

Para este caso basta con hallar la serie uniforme correspondiente a la inversión inicial, esto es:

A

=

1,700,000,000 x 0,06 x ( 1 + 0,06)4 ( 1 + 0,06 ) 4 − 1

=

148,213,746

El diagrama equivalente es:

8,055,376,550 1

2

3

4

5

6

78

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

7,200,000,000

148,213,746

CAUE=-8,055,376,550 + 7,200,000,000 + 148,213,746 = -707,162,803

101


Segunda opción. La tarifa del m 3 corresponde a: 630 + 18 + 17 + 9 = 674. Los ingresos por suministro son: Consumo básico:

68,000x0,6x23x674x0,77x0,7 = 340,907,582 por mes

Consumo complementario:

68,000x0,4x34x674x1.23x0,77x0,65

=211,038,027

por

mes. Total ingresos por mes:

551,945,609

Total ingresos anuales:

6,623,347,310

Total gastos por mes:

280,000,000 + 73,000,000 + 115,000,000 = 468,000,000

Total gastos por año:

5,616,000,000

Para este caso basta con hallar la serie uniforme correspondiente a La situación descrita se diagrama inmediatamente

6,623,347,310 2

4

6

8

10 12 14 16

18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

5,616,000,000

1,900,000,000 La serie uniforme de la inversión corresponde a:

1,900,000,000 x 0,06 x (1 + 0,06)40 A = (1 + 0,06)40 − 1

=

126,276,918

CAUE= -6,623,347,310 + 5,616,000,000 + 126,276,918= 887,070,392 102


Advertimos con estas respuestas que la alternativa de suministro mediante a partir de un cuerpo estacionario de agua resulta menos atractiva que suministrar agua a partir del acuífero. Por lo tanto, la solución de suministro partir del acuífero es menos costosa anualmente en aproximadamente el 25% de su costo anual Sin embargo vemos para este caso en particular, que ambos sistemas garantizan la operación y funcionamiento y adicionalmente recuperan el capital invertido, aunque de diferentes formas.

Ejercicio 31. En una zona urbana existe una condición crítica. El caso consiste en un puente vehicular construido sobre una zona altamente poblada y de las más costosas de la ciudad. Actualmente el puente lleva 3 años de construido y ha presentado fallas que han originado costos de operación anuales bastante altos. Estudios preliminares han demostrado que el puente necesitará costos de operación anuales más altos a los iniciales y a los 7 años necesitará una intervención estructural costosa. La administración municipal está considerando en destruir el puente y construir la estructura requerida. Veamos las características de ambas situaciones

Descripción

Puente existente

Puente nuevo

Costo prefactibilidad

U$ 10,000

US 15,000

Costo de construcción

US 400,000

US 700,000 ejecutados en un solo año

Costos de operación anual

US 25,000

US 5,000

Costo demolición

US 45,000

Intervención estructural

US 300,000, en n= 7

Vida útil

15

25

Determine cuál alternativa es la más aconsejable para la administración municipal. Alternativa mediante la cual se mantiene el puente existente 103


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

25,000 10,000 300,000

400,000

Es necesario determinar el CAUE de cada alternativa y comparar si aún así, el puente nuevo genera menor CAUE que el puente existente. La serie uniforme para P=U$ 10,000 es.

10000 x 0.1 x 1.115 A1 = (1.115 − 1)

=

1,314

La serie que genera P= U$ 400,000 en n=2, es

A1

=

400000 x 0.1 x 1.115 (1.115 − 1) x 1.12

=

43,462


300000 x 0.1 x 1.115 A1 = (1.115 − 1) x 1.17

=

20,240

CAUE = 1,314 + 43,462 + 20,240 + 25,000 = U$ 90,016 Examinemos ahora la opción de construir el nuevo puente

104

15


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

19 20 21 22 23 24 25

5,000 15,000

700,000+45,000


A1

=

.

. − 1)

25

15000 x 0 1 x 1 1

(1.125

= 1652

La serie que genera P= U$7945,000 en n=1, es

A1

=

.

. 25 − 1) x 1.1

745000 x 0 1 x 1 1

(1.125

,

= 74 612

CAUE = 1,652 + 74,6123 + 5,000 = U$ 81,264

De esta forma se demuestra que demoler el puente y construir otro nuevo, es la solución económicamente más acertada, aún a costa de las inversiones que deben realizarse para la nueva construcción .

105


CAPITULO

TECNICAS Y ANALISIS DE REEMPLAZO PARA MAQUINARIA Y EQUIPOS 8.1. CONSIDERACIONES GENERALES

VI

En el sector de la producción industrial, los activos como maquinarias y equipos, se ven afectados durante su vida útil por diferentes factores, frente a lo cual la productividad, eficiencia, vida útil se van reduciendo en medida que transcurre el tiempo. La depreciación es una rutina natural de todos los activos. La depreciación afecta el valor de los equipos a lo largo del tiempo Debido al estado de las máquinas en un momento específico, donde se ve reducida la vida útil y la productividad se hace necesaria el reemplazo y reposición de estos activos. Esta situación sucede en virtud a situaciones como: Disminución de la productividad. Debido al desgaste de piezas, deterioro físico, variación de las tolerancias admisibles en accesorios mecánicas para elementos de fuerza, método de uso, excedencias de carga por encima de las capacidades nominales y en algunos casos, observado en la variabilidad de la precisión de medida o funcionamiento. Estas situaciones motivan acciones tendientes a mantener el equilibrio de la producción Atraso tecnológico. La obsolescencia puede llevar a generar caos en la producción. Para afrentar situaciones específicas se requieren equipos específicos y en la medida

106


que avanza la tecnología las máquinas, al igual que otras realidades, van siendo optimizadas en su funcionamiento y en su rendimiento. La tendencia es producir máquinas y accesorios cada vez más eficientes que van desplazando a las generaciones anteriores. Nuevas realidades. Es posible que una empresa de construcción se vea frente a nuevas realidades de construcción imposibles, de hacer con equipo tradicional, para lo cual habrá que abrir un abanico de opciones. La Ingeniería Civil y la construcción en general, cada vez se ven enfrentadas a situaciones cada vez más complejas Las técnicas de reemplazo son un análisis para determinar la conveniencia económica de adquirir nuevos activos de transformación o dejar los existentes en virtud a las características financieras que posean cada uno. El activo o equipo existente, el cual es objeto de estudio para ser remplazado, se denomina defensor . Y el activo que está en las condiciones de ser suministrado a reemplazar el existente, se denomina retador . De hecho la decisión de tomar otro activo o dejar el existente, es resultado de comparar alternativas. Estamos frente a un defensor al que se está considerando su reemplazo por dos o más retadores. El análisis de la situación en la cual un activo, defensor, ha perdido vida útil por efecto de la depreciación y otras instancias, posee ahora un valor contable que será el utilizado para establecer la evaluación económica en relación al valor del retador . No es posible tomar el valor de adquisición del defensor, pues desde este evento a la fecha, el equipo ha perdido vida útil. Es posible que el retador, mirado a lo largo de un horizonte de evaluación, posea valor de salvamento. En el uso de maquinaria interviene, el valor de adquisición, valor contable actual, valor de salvamento y costo anual de operación. Comoquiera que los activos van a ser definidos para uso continuo, el indicador que nos permite evaluar la interacción de los anteriores factores, es el costo anual uniforme equivalente CAUE. Lo que interesa en

107


este análisis es cual equipo nos representa un menor costo periódico a lo largo de los años posteriores a la toma de la decisión

8.2. DEPRECIACIÓN O MODELOS DE AGOTAMIENTO. Representa la pérdida anual del valor del activo en estudio en virtud al desgaste propio, disminución del rendimiento, pérdida de eficiencia y aumento del costo de operación y mantenimiento anual. El valor del activo es expresado en función del precio de adquisición I. Un activo, como maquinaria o equipos, se adquieren en un período n, con lo cual a la fecha del examen ha transcurrido una secuencia de períodos

∆

n. Luego el valor

presente del equipo será una fracción del precio de adquisición I, disminuido en función del tiempo transcurrido desde el evento de la compra y del modelo de agotamiento empleado para evaluar.

8.2.1 Depreciación lineal. Es un método demasiado popular y usado en la mayor parte de las aplicaciones donde se incluye modelos de agotamiento. De acuerdo a este modelo el valor del activo varía desde el valor de adquisición I, a lo largo de su vida útil n, hasta llegar a un valor residual definido, el cual de existir tomará el nombre de valor de salvamento Vs, en caso contrario, tomará valor cero. El valor de salvamento no función deducida de la producción, es una variable que va a depender del mercado del equipo usado. La existencia de valor de salvamento se expresa en el hecho que de manera contable, el activo tiene una vida útil n a lo largo de la cual debe agotarse el valor de adquisición. Pero en la práctica, tal como lo ha mostrado la historia y el ejercicio práctico, estos equipos siguen prestando servicio. Por ello son susceptibles de tener valor comercial.

108


La tasa de depreciación por período anual se expresa como Tl =

I − Vs . La secuencia n

periódica puede tener cualquier amplitud. Con ello se establece que la variación de la depreciación es constante

8.2.2 Agotamiento por saldo decreciente (SD) y saldo doblemente decreciente (SDD). Es conocido como el método del porcentaje fijo uniforme. Para el método del saldo doblemente decreciente, el porcentaje fijo de depreciación que se permite es 200%, el doble de la tasa en línea recta.

La tasa de depreciación máxima se expresa como t= el año n cualesquiera, se calcula como, tn

=

2 y la tasa de depreciación para n

It(1 − t)n −1

8.2.3 Depreciación por suma de dígitos de los años (SDA). De acuerdo a esta técnica gran parte del activo se amortiza en el primer tercio de la vida útil. Es de cambio menos sensible a los anteriores métodos en cuanto a la tasa de depreciación.

La tasa de depreciación a lo largo de n años, corresponde a. t =

n−t +1 n

∑n 1 =

Donde

n

∑n 1 =

es la suma de los dígitos de los años

8.2.4 COMPARACION ENTRE LOS MODELOS La gráfica siguiente ilustra la variación de comportamiento entre los modelos 109


120000000

90000000 lineal sdd

60000000

sda

30000000

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Gráfica 7. Comportamiento gráfico de los modelos de agotamiento Fuente: Desarrollada por el autor

El modelo de saldo creciente da lugar a un valor de salvamento, pues es obvio que el activo en estudio, siguen teniendo fuerza productiva y capacidad de servicio. Este modelo es la simulación perfecta del comportamiento y resultado de uso en un equipo. El método lineal, es drástico en esencia y castiga fuertemente al activo. Es una aproximación tosca y antigua sobre la evolución y disminución de la vida útil de los equipos. El método de suma de dígitos es una regular aproximación al comportamiento de los equipos, pues los deja sin probabilidad de uso al final de su vida útil. La diferencia entre la integral de la función lineal y la función de correlación para la suma de dígitos nos significa la pérdida de valor adicional que experimenta una máquina en términos contables. Valor que debe ser asignado a los costos anuales para realizar los balances de los flujos de valores.

110


Ejercicio 32.

Una retroexcavadora comprada hace 4 años, se adquirió por valor de

$180,000,000. La capacidad del cucharón es de 3.1 m 3, está montada sobre orugas. De acuerdo a lo especificado por el fabricante la vida útil es de 36500 horas, con uso diario de 10 horas. La depreciación se establece en línea recta para este activo. Al final de esta vida útil, el valor de salvamento es $30,000,000 y se opera con inversión de $40,000,000 en costo anual de operación Existe la opción de reemplazar la retroexcavadora, por un equipo combinado de retroexcavadora y gancho. Este equipo con vida útil de 40150 horas, con frecuencia de 10 horas de uso, tiene un valor de $230,000,000 y tienen un valor de salvamento de $45,000,000. Para trabajar con esta máquina se requiere un costo anual de operación de $52,000,000. Si la empresa utiliza una tasa del 8% anual, determine cual es la alternativa más aconsejable para el manejo de equipos. PARAMETROS

DEFENSOR

RETADOR

Valor presente

108,000,000

230,000,000

Valor de salvamento

30,000,000

45,000,000

Costo anual de operación

40,000,000

52,000,000

Vida útil (años)

10

11

Valor presente para el defensor: Depreciación por año Luego, después de 4 años, el saldo es

1 del valor de adquisición. 10

6 de dicho valor, es decir 108,000,000. 10

Diagramemos la situación del retador.

111


30,000,000 4

5

6

7

8

9

10

40,000,000 108,000,000 La serie equivalente para P=108,000,000 es:

A

=

108,000,000 x 0,08 x(1 + 0,08)6 (1 + 0,08)6 − 1

=

23,362,061

La serie para el valor de salvamento es As

=

30,000,000 x 0,08

(1 + 0,08) 6 − 1

= 4, O89,461

CAUE=40,000,000 + 23,362,061 –4,O89,461 = 59,272,6OO Para el retador

45,000,000 1

2

3

4

5

6

52,000,000 270,000,000

A =

270,000,000 x 0,08 x (1 + 0,06)11 (1 + 0,08)11 − 1

=

37,820,612

112

7

8

9

10

11


La serie para el valor de salvamento es As

=

45,000,000 x 0,08

(1 + 0,08)11 − 1

= 2,7O3,435

CAUE= 52,000,000 + 37,820,612 - 2,7O3,435= 87,117,177

Se logra observar que el defensor tiene menor CAUE, lo que equivale a recomendar que sea mejor quedarse con el equipo existente

Ejercicio 33. Una compañía de estudios geotécnicos desea analizar la situación de su actual equipo de perforación. Este equipo se compró hace 5 años en $23,000,000. Tiene una vida útil de 10 años. Los costos de operación anula del equipo oscilan alrededor de $4,000,000. Con este quipo que perfora hasta una profundidad de 15 metros mediante penetración estándar. Al final de su vida útil no logra obtenerse valor de salvamento. La empresa está pensando en remplazar este equipo por la presentación de dos opciones a saber. La primera opción es un equipo de perforación por rotación por valor de $53,000,000. Tiene costos anuales de operación de $3,000,000. Tiene una vida útil de 10 años La segunda opción es un sistema de penetración estándar, con capacidad de 30 metros. Posee costo de $21,000,000. Vida útil de 12 años. Tiene costos anuales de operación de $3,000,000 Si la compañía utiliza una tasa del 7% anual y bajo la premisa que los equipos se deprecian linealmente, determine que decisión deberá tomarse.

113


El valor residual a la fecha del equipo usado es $11,500,00. El diagrama para la situación actual es:

1

2

3

4

5

6

7

11500000

La serie para el valor actual es: A=

8

9

10

4000000

11500000 XO.O7 X (1 + 0.07)5 (1 + 0.07)5 − 1

=

2,804,742

CAUE= 2,804,742 + 4,000,000 = $6,804,742

El análisis del primer retador muestra el siguiente diagrama.

1

2

3

153000000

La serie para P=53,000,000 es

4

5

6

7

8

3000000

53,000,000 XO.O7 X (1 + 0.07)10 (1 + 0.07)12 − 1

114

=

7,546,007

9

10


CAUE= 7,546,007 + 3,000,000 = 10,546,007

Analizando el segundo retador se presenta la siguiente situación

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3000000

21000000

12

La serie para P=21,000,000 es

21,000,000 XO.O7 X (1 + 0.07)

(1 + 0.07)12 − 1

= 2,643,941

CAUE= 2,643,941 + 3,000,000 = $5,64,941 Este valor es menor al que produce el equipo actual, por ello la empresa debe reemplazar el equipo existente por el sistema de penetración estándar de la segunda opción de reemplazo

Ejercicio 34. Se necesita precisar información económica sobre un equipo hincado de pilotes a una profundidad de 20 metros en las acciones preliminares de una cimentación de un proyecto. La empresa necesita evaluar si utiliza su equipo o arrienda un equipo neumático. El equipo actual posee un sistema de presión accionado mediante bombas hidráulicas. Con este equipo es posible hincar 20 pilotes por día hasta una profundidad de 10 metros, comoquiera que la profundidad de desplante es de 20 metros, se disminuye el rendimiento a 12 pilotes por día. El equipo se compró hace 5 años por valor de

115

12


$200,000,000 y tiene una vida útil de 12 años al final de los cuales tienen valor de salvamento por $50,000,000. Los costos anuales de operación se aproximan a $18,000,000,000 El retador, un equipo de accionamiento neumático, tiene capacidad de hincado de 20 toneladas por pilote. Puede hincar 18 pilotes por día a una profundidad de 20 metros. El alquilar de esta máquina está ardedor de los $30,000,000 por semana y $9,000,000 en costos de operación anual Evalúe la solución a esta situación si la empresa utiliza una TMAR del 10% anual y el proyecto pretende desarrollarse a los largo de un año Examinemos la situación actual:

El valor residual de la máquina ahora es

1

2

3

4

7 x 200,000,000 = 116,666,666 12

5

6

7

8

9

18,000,000 116,666,666 La serie correspondiente a P=116,666,666 corresponde a

116,666,666 XO.1 X (1 + 0.1)7 (1 + 0.1)7 − 1

=

23,963,974

CAUE= 18,000,000 + 23,963,974 = 41,963,974 Para el retador se presenta la siguiente situación.

116

10

11

12


CAUE = 30,000,000 + 9,000,000 = 39,000,000. Asi, de esta manera que el retador presenta más ventaja que el defensor. La compañía debe vender el equipo existente y arrendar el equipo neumático para hincar los pilotes.

Ejercicio 35. Una empresa constructora está contemplando la posibilidad de reemplazar sus unidades de carga, pero no tiene la precisión de los costos asociados a las alternativas que se presentan. Esta empresa tiene 2 volteos, ambos tienen capacidad de 7 m 3. El primero de ellos se compró hace 2 años, y el segundo volteo se adquirió hace 3 años. A continuación se relacionan las características de estos activos

Datos

Vehículo inicial

Vehículo final

Costo de adquicisión CA

$90,000,000

$75,000,000

Vida útil

12 años

10 años

Valor de salvamento VS

$25,000,000

$20,000,000


$700,000

$800,000

Es posible alquilar dos camiones con capacidad de 10 m 3 por valor de $200,000,000 anuales. El costo de operación por es $800,000 anuales La alternativa final es la compra de 2 volteos de 11 m 3 con las siguientes características

Costo de adquisición CA

$100,000,000

Vida útil

10 años

Valor de salvamento VS

$30,000,000


$900,000

117


¿Qué camino debe tomar la empresa? Examinemos lo que acontece con la situación actual del primer defensor:

25,000,000 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

700,000 75,000,000

La serie correspondiente a P=75,000,000 corresponde a

75000000 x 0.1X(1 + 0.1)10 (1 + 0.1)10 − 1

=

12,205,904

La serie correspondiente a P=25,000,000 como valor de salvamento, corresponde a 25000000 xO.1

(1 + 0.1)10

−1

= 1,568.634

CAUE=12,205,904 + 700,000 – 1,568.634 =11,337,27O Con el segundo defensor:

118


20,000,000 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

800,000 52,500,000


52500000 xO.1 X (1 + 0.1)7 (1 + 0.1)7 − 1

=

10,783,788


(1 + 0.1) 7

−1

= 2,1O81O9

CAUE= 10,783,788 + 800,000 – 2,1O8,1O9 = 9,475,679

El CAUE definitivo de estos equipos es 2O,812,949

Veamos ahora que acontece con las características del retador No 1 CAUE = 2O,OOO,OOO+8OO,OOO=2O,8OO,OOO

119


60,000,000 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

900,000 20 0,000,000


200,000,000 xO.1 X (1 + 0.1)10 (1 + 0.1)10 − 1

=

32,549,078


(1 + 0.1) 7

= 3,764,723

−1

CAUE = 32,549,078 +900,000 - 9,764,723 =29,684,355 El CAUE menor se presenta el arriendo de los equipos, de manera que la empresa deberá venderlos.

8.3 PREMISAS GENERALES DEL MODELO DE REMPLAZO. Existe un equipo en uso con x años en uso. Adquirido en un valor I y con una vida útil n, y existe una TMAR denotada como i

120


A los x años se genera la incertidumbre sobre la sustitución de los equipos. Así el equipo existe ha agotado una fracción de I y se precisa determinar en qué momento desde x en adelante debe ser introducido el siguiente equipo. En la medida que la vida útil disminuye, los costos anuales de operación y mantenimiento van en aumento en forma de gradiente uniforme. Esto es lógico si se abstrae que el rendimiento y eficiencia disminuyen en función al agotamiento y deterioro, de manera que para mantenerlo dentro de los límites de tolerancia, cada vez debe emplearse mayores asignaciones de capital. Revisemos cuando debe ser remplazada la retroexcavadora en estudio. Definamos la depreciación restante como función de la vida útil n del retador.

Gráfica 8. Modelo de agotamiento para formular el tiempo de reemplazo. Fuente Desarrollada por el autor

Luego la depreciación restante puede expresarse por la función t = Va

n1 − x i , donde n

xi, es cualquier valor que pueda ser tomado en el intervalo [x,n1] . Ahora, sea b el

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cociente entre la vida útil restante del defensor y la vida futura del retador, n 2, de manera que b =

n1 − x , donde. n2

Ahora bien, el gradiente para el costo anual de mantenimiento y reparación se expresa en el siguiente diagrama:

Gráfica 9. Comportamiento gráfico de la variación del costo anual de reparación Fuente: Desarrollada por el autor

La tasa con la que se incrementa el costo de mantenimiento y reparación es i0 . El CAUE del defensor, tomado desde el año x , hasta la n1 expresado en función de n2 se desarrolla individualmente como: La serie correspondiente al valor presente del equipo debe expresarse en función de Va

[(n1 − x) − a] , esto es, desarrollar la serie uniforme como n1 − x

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Va

(bn2 − a) i(1 + i)bn2 bn2 (1 + i)bn2 − 1


Debe plantearse que al tomar los valores de costo de reparación y mantenimiento en forma de gradiente, el costo anual no es equivalente. Sin embargo es el costo efectivo que de desarrolla tras cada período. El valor inicial de este costo de mantenimiento para n=x, resulta ser P, con ello el gradiente tendrá notación

Pi o

1 −1

(1 + io )bn2 io (1 + io )bn2

−

bn2 (1 + io )bn2

io (1 + io )bn2 , que es igual a Pio , con ello el CAUE, en (1 + io )bn2 − 1 − nio

definitiva puede denotarse como CAUE =a

Para el retador, el CAUE es, I

io (1 + io )bn 2 (bn2 − a) i(1 + i)bn2 + Pi o bn2 (1 + i)bn2 − 1 (1 + io )bn2 − 1 − bn2 io

i 2 (1 + i 2 ) n2 i(1 + i) n2 , donde I es el valor de + P2 i 2 (1 + i)n2 − 1 (1 + i 2 ) n2 − 1 − n 2 i 2

adquisición del equipo, i 2 es la tasa en que se incrementa el costo de mantenimiento y operación a lo largo de los n2 períodos existentes, partiendo de un valor inicial P 2. En los anteriores planteamientos i, i o, b, n1, n2, P y P 2 son parámetros conocidos. Para determinar la fracción de n 2 donde debe entrar la sustitución, se requiere introducir formas canónicas restringidas. No es posible precisar usar las formas matemáticas estándar para evaluar un único período. Al igual los CAUE de cada alternativa io (1 + io )bn2 i(1 + i)n2 i2 (1 + i2 )n2 (bn2 − a) i(1 + i)bn2 I + Pi o + P2 i2 = , bn2 (1 + i)bn2 − 1 (1 + io )bn2 − 1 − bn2 io (1 + i)n 2 − 1 (1 + i2 )n2 − 1 − n2 i2

luego

el período n resultante es el lugar donde debe ser sustituido los equipos. Es necesario, para efectuar la sustitución que el defensor, tenga mayor CAUE que el retador. La modelación, puede ser llegar a ser tan específica como se logre acercar al detalle con niveles de acercamiento y precisión definidos.

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Ingenieria Economica en La Construccion[1]

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