PROBLEMAS :
5.10) Un reactivo A, con un flujo de 1000lb /h , va a ser alimentado a un reactor para generar un producto B. El flujo de reactivo , que se encuentra originalmente a 75°F, va a calentarse en un intercambiador de calor que usa vapor como medio de calentamiento antes de alimentarse al reactor. El incetivo de llevar este precalentamiento del reactivo es que el costo de operación del reactor disminuye en función de la temperatura de entrada de acuerdo a estimaciones ya disponibles, como se muestra en la figura anexa, se desea encontrar la temperatura temper atura optima de alimentación al reactor, tal que se minimice el costo total de operación definido por la suma del costo de vapor en el intercambiador mas el costo de operación del reactor : Minimizar =(Cvapor+ Creactor ) La temperatura de entrada al reactor no debe exceder de °F para prevenir la descomposición térmica del reactivo.
Fa=1000 lb/h T=75°F
reacción A →B T 2 <=200 °F
T 2
λ=1000Btu/lb
Vapor Intervalo : T 2(75 -200)°F Se tiene que Q vapor = Qflujo λ. mvapor =F Cp (T 2-T)
(1000Btu/lb) mvapor =1000 lb/h . 1 Btu/lb°F (T 2-75) mvapor= (T 2-75) lb/h *Creactor ($/h)= -0.0004T 23 + 0.02439 T 22 -4.93382 T 2 +349.63340 De acuerdo con el método de sección dorada: N.°iteraciones = 6= n-2, entonces n = 8. Se halla la reducción del espacio al termino de las 4 iteraciones, como sigue: Intervalo: T 2(75 -200) °F
= 0.618− = 0.0344 ≅ 3.44%
A continuación, se muestra la tabla resumen por cada iteración: i 0 1 2 3 4 5 6
ai-1
bi-1
li
ri
75 200 122.75 152.25 152.25 200 122.36 153.45 153.45 200 121.43 141.51 141.51 153.2 122.75 120.97 120.97 141.52 120.42 119.12 119.12 120.97 119.48 115.64 115.67 109.91 120.14 110.91
Creac(li)
Creac(ri)
Cmin(li)
Cmin(ri)
21.311 21.251 21.311 22.152 22.055 21.958 22.015
20.152
84.238 83.212 84.352 83.158 83.057 84.041 83.971
84.125 84.045 83.155 83.524 84.141 83.142 83.781
20.041
20.151 21.201 21.058 21.624 21.851
F.O=Min = (Cvapor)+(Creactor) F.O = (T-75)(1)+( -0.0004T 23 + 0.02439 T 22 -4.93382 T 2 +349.63340 ) F. O= -0.0004T 23 + 0.02439 T 22 -3.93382 T 2 + 274.6334
. =0
0=-(3) (0.0004)T 22 + (2)(0.02439) T 2 -3.93382 T= 110.9 °F
Costo total = $ 83.78 5.11) Se tiene un evaporador como el que se muestra en la figura:
Se desea concentrar una solución que tiene una concentración original de 0.05. El flujo de alimentación es de 1,000 lb/h. La temperatura de alimentación es de 25°C y la temperatura del evaporador es de 100°C. El valor del producto depende de la concentración del soluto de acuerdo con la siguiente relación:
Para lograr un producto de mayor valor, debe consumirse una mayor cantidad de vapor, el cual tiene un costo unitario de 0.001 $/lb.
Escriba las ecuaciones de balance de materia que modelan el sistema. Escriba el balance de energía para este proceso. Refiera todas las entalpias de las corrientes a un estado de referencia del líquido a 25ºC. Se desea optimizar este proceso de acuerdo a la siguiente función objetivo: Máx.
[ ]
Si se desea usar el método de Fibonacci para optimizar este problema, ¿Cuáles serían los valores que deberían usarse en cada iteración si se deseara una reducción de tamaño de 10% del intervalo original? Aplique cuatro iteraciones del método de Sección Dorada y reporte la mejor solución que se obtiene después de esta búsqueda.
Suponga las siguientes propiedades termodinámicas como constantes en el intervalo de interés:
Entalpia de la alimentación:
0
Entalpia del producto de vapor:
1050 Btu/lb
Entalpia del producto liquido:
75Btu/lb
Calor latente del vapor:
1000 Btu/lb
Note que esto simplifica el balance de energía.
Solución: BALANCE DE MATERIA
= + =
BALANCE DE ENERGÍA
= + = + = ( ) + ( ) + = Reemplazando los valores, y acomodando en la función objetivo:
− 5 0 0. 0 5 3. 7 5 10 .∶ 1.05(1 )+ MÉTODO FIBONACCI
− 5 0 0. 0 5 3. 7 5 10 .∶ 1.05(1 )+ = 10 . = 13
= 6 → 2 = 4 Iteración i: 0
1
8/13 5/8
2
3
4
3/5
2/3
1/2
Tomaremos un intervalo de [0.05 – 0.4] Entonces a0=0.05 y b0=0.4 Procedemos a calcular L0 y R0 L0 = 0.4 – 8/13 (0.4 – 0.05) = 0.1856
F(L0) = 3.605
R0 = 0.05 + 8/13 (0.4 – 0.05) = 0.265
F(R0) = 2.570
Los resultados para las siguientes iteraciones se resumen en la tabla siguiente: Iteración Ai
Bi
Li
Ri
F(Li)
F(Ri)
1
0.05
0.265
0.131
0.184
4.76
3.63
2
0.05
0.184
0.104
0.130
5.67
4.79
3
0.05
0.130
0.077
0.103
6.89
5.67
4
0.05
0.103
0.0765
0.0765
6.94
6.94
Por lo que el valor máximo de la función objetivo sería F.O. optimo = 6.94 y esto se da cuando se concentra la solución hasta Xl = 0.0765 °Nota: Reemplazando Xl de alimentación = 0.05 en la F.O. se obtuvo un valor de 9.17, esto quiere decir que en realidad no hay necesidad de diluir ya que no se obtiene un máximo en el rango señalado, más bien la función objetivo aumenta con la dilución.
MÉTODO SECCIÓN DORADA N° Iteraciones = 4 Tomaremos el intervalo de [0.05 – 0.4] Entonces
a0=0.05 y b0=0.4 Procedemos a calcular las iteraciones: Iter. i
ao
bo
lo
ro
Precio lo
Precio ro
F.O. lo
0
0.05 0.400 0.184 0.266 0.01625 0.01825 3.63
2.56
1
0.05 0.266 0.133 0.183 0.01438 0.01625 4.72
3.66
2
0.05 0.183 0.101
4.72
3
0.05 0.132 0.081 0.101
4
0.05 0.101 0.069 0.082 0.01076 0.01162
0.132 0.01275 0.01425 5.74 0.01160 0.01275 6.71 7.45
F.O. ro
5.74 6.63
Finalmente, el rango donde se encuentra el valor óptimo para la función objetivo: 0.05 – 0.082 Y el valor óptimo de XL = 0.05 puesto que F.O.(XL) = 9.17. Como se vio anteriormente, el valor óptimo posiblemente este debajo de la concentración inicial XL=0.05 y se obtendría una mayor función objetivo en la dilución. 5.12) Se cuenta con sólo un camión de 10,000 litros de capacidad que puede realizar una entrega de leche diariamente. Suponga que la composición de la leche contiene 10% en volumen de proteínas y que el resto puede considerarse como agua. Los gastos de transporte son elevados, a razón de $5,000 por día por camión. Debido a los altos costos de transporte, se propone concentrar la leche usando un proceso de ultrafiltración para eliminar el agua y evitar pagar por el transporte de esa cantidad de agua. Una vez el producto llega a su punto de venta, se le adiciona la cantidad de agua necesaria para que su contenido de proteínas sea nuevamente del 10%.
El área de la membrana (A) se obtiene de acuerdo a su permeabilidad y el caudal de agua que se extrae (P):
= ( .í) La función objetivo es la siguiente,
. $ ×, í . , í$ ×. $í Donde el primer término corresponde a los ingresos por ventas, el segundo costo del flete y el tercero al costo de separación. El valor de 1.15 $/L representa el precio de venta de la leche antes de envasarse. Establezca con claridad la interpretación del término 10,000 L/día (y/0.1) en la función objetivo.
De la función objetivo, el término 10000 t/día x (y), se interpreta como la cantidad de proteínas presentes en la leche luego de la ultrafiltración. Luego este término es dividido entre 0.1, al realizar esta operación estamos calculando la cantidad total de leche que se puede obtener con la cantidad de proteínas transportadas.
Use el método de Sección Dorada para encontrar la concentración óptima, y*. ¿Cuál es la utilidad diaria?
Solucion: Realizando balance de materia
De la ecuación para el permeado,
= + 1 0.1 × = × 2 = (120 .í)
Despejamos A, y lo calculamos en función de F,
×10000 10000 10000 = 120 = 120 = 0.1 120
Reemplazando en la función objetivo,
100001000 = 115000× 50000.35×( 120 ) 10 1 = 115000× 5000350×( 120 ) ¿Cuál sería la utilidad diaria si no se concentrara la leche? Tomaremos un intervalo de [0.1-1] Entonces a0=0.1 y b0=1 Procedemos a calcular L0 y R0 L0 = 1 - 0.618 (1 – 0.1) = 0.4438
F(L0) = 35981.92
R0 = 0.1 + 0.618 (1 – 0.1) = 0.6563
F(R0) = 44146.05
Los resultados para las siguientes iteraciones se resumen en la tabla siguiente: Iteración Ai
Bi
Li
Ri
F(Li)
F(Ri)
1
0.4438
1
0.6563
0.7875
44148.09 45353.90
2
0.6563
1
0.7876
0.8687
45353.70 44632.99
3
0.6563
0.8687
0.7374
0.7876
45239.09 45353.70
4
0.7374
0.8687
0.7876
0.8185
45353.70 45211.06
5
0.7374
0.8185
0.7684
0.7875
45360.50 45353.90
Teniendo como resultado la función objetivo: F.O.= 45353.90 $
5.13) Se desea diseñar una columna de destilación para separar una mezcla binaria AC, la cual tiene una volatilidad relativa promedio α de 1.5. Se ha estimado
que para esta separación la razón de reflujo es de 1.0 y que el número mínimo de etapas ideales .
=
Para esta mezcla se tiene que el peso molecular de A es de 46 g/mol y el de C es de 18g/mol; el calor latente de cualquier mezcla de A y C puede tomarse como 900 Btu/lb, y la capacidad calorífica es de 1 Btu/lb°F. El flujo de alimentación es de 1000 lb/h, con una fracción masa de 0.95 y una temperatura de 160°F, mientras que los fondos tienen una fracción masa de 0.01 y una temperatura de 212°F. El siguiente diagrama ilustra los datos de la columna.
Desarrollo:
Se tiene un vapor disponible para el hervidor que tiene un calor latente de 1000 Btu/lb. a) Calcule los flujos de destilado y de fondos que se obtienen Balance global:
= +
(I)
Balance por componente:
= + (II) De (I):
= (III) De (III) en (II):
Se tiene de (I):
= + ℎ ∗0.40.01 1 000 = = 0.950.01 = 414.9 ℎ = 1000 ℎ 414.9 ℎ = 585.1 ℎ
b) Escriba el balance de energía sobre el condensador para determinar la carga térmica del condensador, .
= + Dado que = , entonces = … (*)
(IV)
Reemplazando (*) en (IV):
= +1
(V)
c) Escriba el balance de energía global que proporciona la carga térmica del hervidor, .
= ∆ ∆ + ∆ ∆ =
Balance de energía global: Se tiene lo siguiente:
+ =
= + + +1
(VI)
Habiendose añadido un Tf= temperatura de referencia d) Si se quiere usar el método de Fibonacci para optimizar este diseño, escriba los valores de τ que deben usarse si se deseara resolver el problema con un total de 5
iteraciones. Estime la reducción del espacio de búsqueda que se logra después de esas 5 iteraciones. A partir del reflujo óptimo se optimizara, el reflujo se encuentra en el intervalo de :
2
. = [ + + ] . = 10000() +100 + 10000
Por ende se ubicara el intervalo entre 1 y 2
Por método de Fibonacci: Dado que son 5 iteraciones que es igual a n-2=5, entonces n=7. Por lo tanto, se calculan los τ para cada iteración con los números de Fibonacci que se muestran:
= 1; = 1; = 2; = 3; = 5; = 8; = 13; = 21 i:
0
1
2
3
4
5
τ :
13/21
8/13
5/8
3/5
2/3
1/2
−⁄:
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
A continuación, se muestra la tabla resumen por cada iteración: i
ai-1
bi-1
0
1.000 1.381 1.619 1.762 1.762
2.000 2.000 2.000 2.000 1.905
1 2 3 4
li
Ri
S (li)
S (ri)
Qreb(li)
1.381 1.619 9.345 8.706 959475.7 1.619 1.762 8.706 8.405 1048362.9 1.762 1.857 8.406 8.231 1101572.6 1.857 1.905 8.231 8.150 1137269.7 1.809 1.857 8.316 8.231 1119383.8
Qreb (ri)
Cmin(li)
Cmin(ri)
1048380.7 1101730.6 1137279.1 1155006.3 1137269.7
4494.0 4456.1 4448.2 4447.7 4447.5
4456.1 4448.2 4447.7 4448.7 4447.7
5
1.762
1.857
1.809
1.809
8.316
8.316
1119383.8
1119421.1
4447.5
4447.5
$ para un R=1.809 Se tiene los siguientes resultados el costo mínimo fue de ñ en un intervalo de , con una reducción del espacio de optimización de 4.78% al intervalo original que fue de .
4447.5
= 1.76;1.85
, = 1,2
= /
e) El diseño del sistema depende del valor de la razón de reflujo; . Para optimizar este sistema, se quiere obtener la razón de reflujo que proporciona el costo anual mínimo de la siguiente función objetivo: Min (Costo de columna + Costo de platos + Costo de vapor) Donde los costos fijos deben pasarse a forma anual tomando 10 años como vida útil del proyecto. Se conoce que la razón de reflujo optima esta entre . Use cuatro iteraciones del método de sección dorada para encontrar el valor de R que optimiza el sistema.
2
Se supondrá que los costos serán hallados a partir de la siguiente información. Costos fijos de la columna:
. = 10000()
S= número de platos ideales n= eficiencia de platos =0.3
Hallando el número de platos ideales, de la manera siguiente:
= 0.50.5( ) +1 +1
En la cual R es la razón de reflujo, . Se tiene que costo fijo de platos:
Y Costo anual de vapor:
= 100 10 = 10000 ℎ
En la cual Q = la carga térmica del re hervidor en millones de Btu/h Y así se tiene:
.: = [ + + ] . = 10000() +100 + 10000 De acuerdo al método de sección dorada: N.°iteraciones = 4 = n-2, entonces n = 6. Se halla la reducción del espacio al termino de las 4 iteraciones, como sigue:
= 0.618− = 0.0902 ≅ 9%
A continuación, se muestra la tabla resumen por cada iteración: i
ai-1
bi-1
0
1.000 1.382 1.618 1.764 1.764
2.000 2.000 2.000 2.000 1.910
1 2 3 4
li
ri
S (li)
S (ri)
1.382 1.618 9.342 8.708 1.618 1.764 8.708 8.402 1.764 1.854 8.402 8.236 1.854 1.910 8.236 8.142 1.820 1.854 8.297 8.236
Qreb(li)
Qreb (ri)
Cmin(li)
Cmin(ri)
959866.9 1047989.5 4493.8 4456.1 1048017.9 1102477.7 4456.1 4448.2 1102500.8 1136154.8 4448.3 4447.7 1136145.9 1156951.6 4447.7 4448.9 1123279.8 1136136.9 4447.5 4447.7
De forma semejante, para la optimización del reflujo al cabo de las 4 iteraciones; el $ en un intervalo de costo mínimo a un R= 1.820 es de , con ñ una reducción del espacio de optimización de 9% al intervalo original que fue de .
4447.5
= 1.764;1.910
, = 1,2
Se coloca 9 número de platos ideales, a pesar de que en el costo mínimo se trató con su parte no entera(s=8.297). Por consiguiente hallaremos el reflujo óptimo. Se calcula el costo mínimo anual con S= 9 platos
. 9 = 10000(0.8) +100∗ 0.98 +10000∗1 123 279.8 ∗10− = 45898.8 ñ$
También se calcula el costo con reflujo Rmin=1:
5 = 0.5 0.5 (11) +1 1+1 = 11 . 11 = 10000(0.8) +100 0.118 +10000817 227.710− = 46628.3 ñ$
Por último se tiene el ahorro:
ℎ = 46628.3 ñ$ 45898.8 ñ$ = 729.5 ñ$ ℎ = 729.5 ñ$ 10 ñ = 7295 ñ$ Finalmente, el ahorro por los 10 años de vida del proyecto 7295 $ .
Para un R óptimo de 1.820, con un reflujo Rmin=1.0, requiere 9 platos a comparación de los 11 que se necesitaría al operar a reflujo mínimo.
