EJERCICIOS 1. Markus Boggs es gerente de Nest Egg Invesments. Recientemente, Markus estaba interesado en las tasas de rendimiento de los últimos cinco años de dos diferentes fondos mutuos. Megabucks, Inc., mostro un periodo de cinco años, tasas de rendimiento del 12, 10, 13, 9 y 11%, mientras que Dynamics Corporation arrojo 13, 12, 14, 10 y 6%. Un cliente se acerco a Boggs y expreso su interés en uno de estos fondos mutuos. ¿Cuál debería escoger Boggs para su cliente? Vale destacar que ambos fondos ofrecen un rendimiento promedio de 11%. Para Megabucks:
=
= Para Dynamics:
=
= Megabucks es la inversión más segura para dicho cliente.
2.El Sr. Boggs desea determinar la estabilidad del periodo de una acción en particular. Decide basar su juicio en la estabilidad de la desviación estándar del precio de cierre diario de dicha acción. Al revisar las paginas financieras, Boggs sabe que la acción ha sido transada en la bolsa durante algún tiempo y que hay muchos precios de cierre desde hace varios meses. En lugar de utilizar todos estos precios, Boggs decide simplificar su aritmética y seleccionar una muestra aleatoria de n=7 días. (aunque 7 probablemente es una muestra muy pequeña, servirá por el momento para los propósitos que se tienen). Boggs nota que los precios de cierre son de US$: 87, 120, 54, 92, 73, 80 y 63.
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3.Se utilizan dos procesos para producir discos de computador. Han surgido problemas respecto a las variaciones en los tamaños de tales discos. Con base en los datos de muestra aquí observados, de ocho tamaños de discos en pulgadas para cada proceso, explique cual proceso aconsejaría usted si su objetivo es minimizar la desviación en el tamaño alrededor de la media.
Proceso 1:
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=
= Proceso 2:
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4.Explique con sus propias palabras que miden la varianza y la desviación estándar. ¿Por qué su cálculo es algo diferente para las poblaciones y las muestras?
La varianza y desviación estándar de una población proporcionan una medida más significante sobre el punto hasta el cual se dispersan las observaciones alrededor de su media. La varianza y desviación estándar de una muestra representan medidas de dispersión alrededor de la media. 5. Un analista de inversiones sugiere que usted invierta en Booner Securities en lugar de Reliable Stocks. Dadas las tasas anuales de rendimiento que se muestran a continuación para una muestra de cada inversión. ¿Qué le dice al analista si usted desea minimizar se exposición al riesgo?
Booner:
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= Reliable:
=
=
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6.Curly, Moe y Larry venden seguros de vida para la Shemp Insurance Company. El Sr. Shemp ascenderá a uno de sus vendedores a un cargo administrativo con base en su desempeño en ventas. Su decisión depende de cual miembro de su equipo de ventas tiene (1) el promedio más alto en ventas y (2) el registro de ventas más consistente. Dados los siguientes datos de muestra semanales en ventas, ¿Cuál vendedor obtendrá al ascenso?
Curly:
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= Moe:
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=
= Larry:
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7.El director de vuelo de P&P requiere información respecto a la dispersión del número de pasajeros. Las decisiones que se tienen al respecto a la programación y al tamaño más eficiente de los aviones, dependerá de la fluctuación en el transporte de pasajeros. Si esta variación en número de pasajeros es grande, se pueden necesitar aviones más grandes para evitar el sobrecupo en los días en los que el transporte de pasajeros es más solicitado. La tabla de frecuencia para P&P es la siguiente:
=
= =
8. El ausentismo diario en su oficina parece ir en aumento. El año pasado un promedio de 47,8 empleados estuvo ausente algunos días, con una desviación estándar de 14,7, se recolecto una muestra de datos para el año en curso y se ubicaron en la tabla de frecuencias que se muestra a continuación. Calcule la media, mediana, moda y la desviación estándar para estos datos y compárelos con los del año anterior. ¿A qué conclusión llega?
=
= =
9. Anteriormente, el tiempo para completar un trabajo en las oficinas de Harmon electronics había arrojado las siguientes estadísticas en horas: una media de 12.2, una mediana de 13.2 y una moda de 14.5. La varianza fue de 8.21. Se reflejan datos más recientes en la siguiente tabla de frecuencias. El Sr.
Harmon lo contrata como consultor externo para evaluar los cambios en la eficiencia de los empleados. Calcule los estadísticos correspondientes con base en esto datos.
=
= =
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=
10. En un artículo de la revista American Journal of Obstretrics and Gynecology se describió un estudio de la forma de ondas de la velocidad de flujo arterial sanguíneo en la región pélvica y en las extremidades inferiores de fetos con crecimiento retardado. En este articulo se afirmo que los datos preliminares sugieren que “el índice de pulsaciones de la arteria femoral no se puede utilizar como indicador de consecuencias fetales adversas, en tanto que el flujo ausente o retrogrado de la arteria umbical parece que esta mas correlacionado con las consecuencias fetales adversas”. Los siguientes valores representan las edades gestacionales de 10 fetos con crecimiento retardado estudiados: Calcular la asimetría y la curtosis
= Moda= 33,35
=
=
= = =
=10.01
11. En un estudio de cómo influye la violencia social y política en los riesgos de complicación del embarazo en mujeres con edades entre 19 y 40 años inscritas en cuidados prenatales en Mérida, en la siguiente tabla se muestra el numero de complicaciones prenatales: Calcular la asimetría y la curtosis.
= Moda= 4
=
=
= =
=11.95
12. A continuación se dan los resultados obtenidos con una muestra de 50 universitarios, la característica es el tiempo de reacción ante un estimulo auditivo: Calcular la asimetría y la curtosis.
Xi 0.094-0.100 0.100-0.106 0.106-0.112 0.112-0.118 0.118-0.124 0.124-0.130 0.130-0.136
fi
Fi
Xi fi
0.097 3 3 0.291 0.103 7 10 0.721 0.109 11 21 1.199 0.115 11 32 1.265 0.121 10 42 1.210 0.127 4 46 0.508 0.133 4 50 0.532
(XI- )
(XI- )2
-0.018 -0.012 -0.003 0 0.003 0.012 0.018
0.000324 0.000144 0.000009 0 0.000009 0.000144 0.000324
= =
=
= = = 0.000199
13. La capacidad de gasto anual en actividades educativas de una familia elegida aleatoriamente de una población universitaria del departamento de Lima es una variable de experimentación con media aritmética de 400 y desviación estándar de 100. Se requiere estimar el importe tal que exista 88.1% de probabilidad de que la familia elegida aleatoriamente gaste como máximo tal cantidad. DATOS:
P(z)= 88.1%= 0.881
=
14. El consumo mensual de una persona elegida aleatoriamente a partir de la población de un país es una variable normal con media aritmética de 500 y desviación estándar de 100. ¿Cuál es el nivel tal que exista 76.73% de probabilidad que dicha variable supere tal nivel? DATOS:
z= 76.73%= 0.7673
=
15. La posición sanguínea sistólica media de hombres de 20-24 años de edad es 123 con una desviación típica de 137 se sabe que la presión sanguínea se distribuye normalmente. Si se selecciona al azar uno de estos hombres. ¿Cuál es la probabilidad de que su presión sanguínea sea mayor que 139.44?
0.12 = 0.54776 → 1 – 0.54776= 0.45224
16. Del problema anterior. ¿Cuál es la probabilidad de que su presión sanguínea sea menor que 110?
-0.095 = 0.53983 → 1 – 0.53983= 0.46017
17. Los coeficientes de inteligencia CI de las personas tienen una distribución aproximada a la normal con media 100 y desviación estándar 10. ¿Cuál es la probabilidad que el CI de cualquier individuo quede en el intervalo 100 a 110?
0 = 0.50000 → 1 – 0.50000= 0.50000
1 = 0.84134 → 1 – 0.84134= 0.15866 0.50000 – 0.15866 = 0.34134
18. Para cierta prueba la calificación media es 500 y desviación típica 100. Se desea aprobar al 75% de los candidatos que rinden esta prueba. ¿Cuál debe ser la calificación mínima aprobatoria?
=
19. La vida útil de un componente eléctrico tiene una distribución normal con una media de 2000 horas que una desviación estándar de 200 horas. ¿Cuál será la probabilidad de que un componente elegido al azar dure entre 1800 y 2200?
-1 = 0.15866 → 1 – 0.15866= 0.84134 2(0.84134) -1= 1.68268-1= 0.68268
20. Del problema anterior. ¿Cuál es la vida útil del 90% de los componentes electrónicos?
=
21. Los pesos de los paquetes recibidos en un almacén tienen una media de 300 libras, con una desviación estándar de 50. ¿Cuál es la probabilidad de que 25 paquetes puestos al azar excedan el límite de seguridad de este que es de 8200 libras? 25(300) = 7500
2.8 = 0.49744 → 1 – 0.49744= 0.50256
22. Ciertos focos fabricados por una compañía, tiene una duración media de 800 horas y una desviación típica de 60 horas. Hallar la probabilidad de que una muestra al azar de 16 tubos tomada de entre ellos tenga una duración de entre 790 y 810 horas.
0.67 = 0.24857 → 2(0.24857)= 0.49714
23. Del problema anterior hallar la probabilidad de que una muestra al azar de 16 tubos tomada menor de 785 horas.
0.5000 - 0.34134 = 0.15866
24. Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de 14. Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75 y 90.
0.76115 - 0.35942 = 0.40173
25. Con los datos del problema anterior calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55 y 70.
-0.96407 – (-0.76115) = -0.20292
26. Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de prestamos en Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de 70000 y una desviación estándar de 20000. Esta manñana se recibió una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad que el monto solicitado sea de 80000 o superior.
1 – 0.69146 = 0.30854 27. Del problema anterior encuentre la probabilidad que el monto solicitado oscile entre 65000 y 80000.
0.69146 – 0.40129= 0.29017
28. Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tienen una distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5 minutos. ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos?
0.13350 (100%) = 13.35%
29. Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond, Virginia tiene una distribución normal, con una media de 1200 y una desviación estándar de 225. Al fabricante le gustaría establecer niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad que se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de inventario? 5% = 0.05
1 – 0.05 = 0.95
z = 1.65
=
30. El fabricante de una impresora laser informa que la cantidad media de páginas que imprime un cartucho antes de reemplazarlo es de 12200. La distribución de páginas impresas por cartucho se aproxima a la distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 820 páginas. El fabricante desea proporcionar lineamientos a los posibles clientes sobre el tiempo que deben esperar que les dure un cartucho. ¿Cuántas páginas debe indicar el fabricante por cartucho? 99% = 0.99
1 – 0.99 = 0.01
z = 0.02
=
31. Una distribución normal tiene una media de 80 y una desviación estándar de 14. Determine el valor por encima del cual se presentara 80% de las observaciones. 80% = 0.80
1 – 0.80 = 0.20
z = 0.78814
=
32. En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad privada en Estados Unidos era de 20082. Suponga que la distribución de los costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y que la desviación estándar es de 4500. El 95% de los estudiantes de univeridades privadas paga menos de ¿Qué cantidad? 95% = 0.95
1 – 0.95 = 0.050
z = 1.64
=
33. La altura, en centímetros, de un grupo de alumnos y alumnas de una misma clase es:
150, 169, 171, 172, 172, 175, 181 182, 183, 177, 179, 176, 184, 158 Calcula la mediana y los cuartiles y explica el significado de estos parámetros. Ordenamos: 150 - 158 - 169 - 171 - 172 - 172 - 175 - 176 - 177 - 179 - 181 - 182 - 183 – 184 Mediana: La mitad de los alumnos tiene una estatura inferior a 175.5 cm. Q1 = 171cm. El 25% de los alumnos miden menos de 171 cm de altura. Q3 = 181cm. El 75% de los alumnos miden menos de 181 cm de altura.
34. Halla la mediana, los cuartiles y el percentil 60 en cada una de las siguientes distribuciones, correspondientes a las notas obtenidas en un test que han hecho dos grupos de estudiantes: A: 25 – 22 – 27 – 30 – 23 – 22 – 31 – 18 24 – 25 – 32 – 35 – 20 – 28 – 30 B: 27 – 32 – 19 – 22 – 25 – 30 – 21 29 – 23 – 31 – 21 – 20 – 18 – 27 Ordenamos: A 18 - 20 - 22 - 22 - 23 - 24 - 25 - 25 - 27 - 28 - 30 - 30 - 31 - 32 – 35 Mediana: 25 Q1 = 22 Q3 = 30
B 18 - 19 - 20 - 21 - 21 - 22 - 23 - 25 - 27 - 27 - 29 - 30 - 31 – 32 Mediana: Q1 = 21 Q3 = 29
35. Se han medido los pesos y las alturas de 6 personas, obteniéndose los siguientes datos: Calcular el coeficiente de variación y diga si están más dispersos los pesos o las alturas.
=
=
= =
=
=
= = Las alturas se encuentran más dispersas que los pesos.
36. El número de errores cometidos en un test por un grupo de personas viene reflejado en la siguiente tabla. Hallar la mediana y los cuartiles inferior y superior y explique su significado. ¿Cuál es el número medio de errores por persona?
a) Me = 2. Significa que el 50% de las personas cometen entre 0, 1 ó 2 errores.
b)
Q1 = 1
El 25% de personas comete 1 error o ninguno.
Q3 = 3
El 75% de personas comente 3 errores o menos de 3 errores.
=
37. Al preguntar a un grupo de personas cuánto tiempo dedicaron a ver televisión durante un fin de semana, se obtuvieron estos resultados. Hallar la media y desviación típica.
=
=
= 38. La media del diámetro interior de una muestra de 200 lavadoras producidas por una máquina es 1,275 cm. y la desviación típica de 0,0125 cm. El propósito para el cual se han diseñado las lavadoras permite una tolerancia máxima en el diámetro de 1,26cm a 1,29 cm., de otra forma las lavadoras se consideran defectuosas. Determinar el porcentaje de lavadoras defectuosas producidas por la máquina, suponiendo que los diámetros están distribuidos normalmente.
2 (0.11507) = 0.23014 (100) = 23.01%
39. Si X está distribuida normalmente con media 5 y desviación típica 2, hallar P (X > 8).
40. Cierto tipo de pieza para automóvil tiene un promedio de duración de tres años, con una desviación estándar de 0,5 años. Suponga que las duraciones de las piezas son normalmente distribuidas y encuentre la probabilidad de que una pieza determinada tenga un tiempo de duración de más de 3,5 años.
41. Una fábrica de alimentos empaca productos cuyos pesos están normalmente distribuidos con media de 450 gramos y desviación estándar de 20 gramos. Encuentre la probabilidad de que un paquete escogido al azar pese entre 425 y 486 gramos.
0.10565+0.03593 = 0.14158 = 1 – 0.14158 = 0.85842 42. En un proceso industrial el diámetro de una arandela es muy importante. El comprador establece en sus especificaciones que el diámetro debe ser de 3,0 ± 0,01 mm. La condición es que no acepta ninguna arandela que se salga de estas especificaciones. Se sabe que en el proceso el diámetro de las arandelas tienen distribución normal con media de 3,0 mm y una desviación estándar de 0,005 mm. ¿Qué porcentaje de arandelas será rechazado?
0.5000+0.02275 = 0.52275 = 1 – 0.52275 = 0.47725 (100) = 47.73% 43. Determine el área situada debajo de la curva normal estándar que está: a) A la izquierda de z = 0,94 Área = 0.82639 b) A la derecha de z = - 0,65 Área = 0.74215 c) A la derecha de z = 1,76 Área = 0.03920 d) A la izquierda de z = - 0,85 Área = 0.19766
e) Entre z = - 0,87 y z = - 1,28 Área = 0.19215
Área = 0.10027
Resp: 0.19215 – 0.10027 = 0.09188
f) Entre z = - 0,34 y z = 0,62 Área = 0.13307
Área = 0.23237
Resp: 0.13307 – 0.23237 = 0.36544
44. Determine las probabilidades de que una variable aleatoria tome un valor entre 12 y 15 dado que tenga una distribución normal con: a) µ= 10 y σ= 5
0.34134 – 0.15542 = 0.18592 b) µ= 20 y σ= 10
0.28814 – 0.19146 = 0.09668
45. Obtenga Z si: a) El área de la curva normal entre 0 y Z es 0,2019 Área = 0.2019 = Z = 0.53 b) El área de la curva normal a la derecha de Z es 0,8810 Área = 0.8810 = Z = 1.18 c) El área de la curva normal a la derecha de Z es 0,0336 Área = 0.0336 = Z = 1.83 d) El área de la curva normal entre -Z y Z es 0,2662 Área = 0.2662 = Z = ±0.34
46. La cantidad de radiación cósmica a la cual está expuesta una persona mientras vuela en avión es una variable aleatoria que tiene una distribución normal, con una media de 4.35 y desviación estándar de 0.59. Determine las probabilidades de que una persona que va en este vuelo está expuesta a: a) Más de 5,00 de radiación cósmica.
b) Entre 3,00 y 4,00 de radiación cósmica.
0.27760 – 0.01130 = 0.2663
47. La cantidad real de café instantáneo que vierte una máquina en jarras de 4 onzas varía de una jarra a otra, y se puede fijar como una variable aleatoria que tiene una distribución normal con desviación estándar de 0.04 onzas. Si solo el 2% de las jarras va a contener menos de 4 onzas de café. ¿Cuál debe ser el contenido medio de estas jarras?
=
48. Una empresa fabrica juntas teóricas para el trasbordador espacial de la NASA. Las cuales se han diseñado para sellar conexiones y piezas en el sistema de combustible a fin de impedir fugas. Un tipo de juntas ha de tener 5 centímetros de diámetro para que encaje como es debido; no puede variar arriba o abajo en más de 0,25 cm. sin provocar una fuga peligrosa. La empresa afirma que esta junta tiene 5 cm. de media con una desviación típica de 0,17 cm. Si estas cifras son correctas y se supone una distribución normal de los diámetros, los funcionarios de la NASA desean determinar: a) La proporción de juntas que se adaptarán correctamente.
b) La proporción de juntas que son defectuosas. 1 – 0.85844 = 0.14156 c)La probabilidad de que cualquier junta tenga un diámetro superior a 5,3 cm.
d) La probabilidad de que una junta tenga un diámetro comprendido entre 4,9 y 5,2 cm.
0.22240 + 0.38100 = 0.6034
e) La probabilidad de que una junta elegida al azar tenga un diámetro entre 5,3 y 5,5 cm.
0.3920 – 0.00164 = 0.03756
49. Los gastos mensuales en alimentación para familias de cuatro miembros en una ciudad grande son en promedio de $420 con una desviación estándar de $80. Si los gastos mensuales en alimentación siguen una distribución normal: a) ¿Qué porcentaje de estos gastos es menor de $350?
0.18943 (100%) = 18.94%
b) ¿Qué porcentaje de estos gastos está entre $250 y $300?
0.06681 – 0.01659 = 0.05022 (100%) = 5.02%
c) ¿Qué porcentaje de estos gastos es menor de $250 o mayor de $450?
0.01659 + 0.35197 = 0.36856 (100%) = 36.86%
50. Las calificaciones de las pruebas de admisión de una Universidad tienen distribución normal con una media de 450 y desviación de 100 puntos. a) ¿Qué porcentaje de las personas presentan calificaciones entre 400 y 500 puntos?
2 (0.19146) = 0.38292 (100%) = 38.3%
b) Suponga que la calificación de una persona es de 630. ¿Qué porcentaje de las personas tienen mejores calificaciones?
0.03593 (100%) = 3.59%
c) Si la Universidad no admite alumnos con menos de 480 puntos de calificación. ¿Qué porcentaje de personas que presentan el examen califican para entrar a la Universidad?
0.38209 (100%) = 38.21%
BIBLIOGRAFIA:
John B. Kennedy, Adam M. Neville. Estadística para Ciencias e Ingeniería. Segunda edición. Murray R. Spiegel, Rensselear Polytecnic Institute. Larry J. Stephens, University of Nebraska at Omaha. Estadística. Tercera edición. Allen L. Webster. Estadistica Aplicada a los Negocios y la Economía. Tercera edición. Jay L. devore. Probabilidad y Estadistica para Ingeniería y Ciencias. Sexta edición.
