#VALUE! Determinar TIR Supongamos que un inversor puede comparar un bono con Valor Nominal (VN) de $1.000, plazo de vencimiento de 4 años, tasa cupón de 12%, pagado anualmente. por $ 1.200. Determine el rendimiento al vencimiento del bono. Valor Nominal (VN) Plazo de Vencimiento Tasa cupon (Pagado Anualmente) Precio (P)
Año 0
1000 4 12% 1200
1200
Año 1 120 0.943396226
Año 2 120 0.889996
1200
113.2075472
Factor (6%)
Factor (7%) 1200
Año 3 120 0.839619283
Año 4 1120 0.792094
106.7996
100.754314
887.1449
0.934579439
0.873439
0.816297877
0.762895
112.1495327
104.8126
97.95574523
854.4426
V Absoluto 38.54577394 30.63943718
1% X X= 0.79% TIR= 7.00%
-0.79%
6.21%
almente. por
-7.906337
30.63944 38.54577
#VALUE!
Supongamos el caso de un bono con Valor Nominal de $ 1.000, pago de cupón de $ 100 (10%) al final de cada año y al que le restan 3 años hasta su vencimiento. La tasa de rendimiento al vencimiento requerido por el inversionista es del 12% anual. Determine cuanto se puede pagar por ese bono (Valor Presente, Precio)
Valor Nominal (VN) Plazo de Vencimiento Tasa cupon (Pagado Anualmente) Precio (P)
1000 3
10%
Determinar Rendimiento al Vencimiento (RAV o TIR)
12% Año 1
Año 2
Año 3
Cupones RAV 12%
100 0.892857143
100 0.797193878
1100 0.711780248
Valor Presente
89.28571429
79.71938776
782.9582726
PRECIO
951.9633746
#VALUE! Consideremos un bono con Valor Nominal de $ 1.000, pago de cupón 10% anual pagado semestralmente y al que le restan 3 años hasta su vencimiento. La tasa de rendimiento al vencimiento requerido por el inversionista es del 12% anual. Determine su precio.
Valor Nominal (VN) Plazo de Vencimiento Tasa cupon (Pagado Anualmente) Precio (P) Determinar Rendimiento al Vencimiento (RAV o TIR)
Cupones (1000*(10%/2)) RAV 12% Valor Presente PRECIO
1000 4 10% 1200 12%
Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3 Periodo 4 Periodo 5 Periodo 6 50 50 50 50 50 1050 0.943 0.890 0.840 0.792 0.747 0.705 47.17 950.83
44.50
41.98
39.60
37.36
740.21
#VALUE!
Precio de un Bono del Estado En el mercado secundario están disponibles los siguientes bonos: Bono A: Bono cupón cero a un año que se adquiere por 1.000 € y se amortiza por 1.110 €. Bono B: Bono cupón cero a dos años que se adquiere por 600 € y se amortiza por 726 €. Determine el precio de adquisición de un Bono del Estado de nominal 1.000 € que proporciona un cupón anual del 11% y al que restan dos años para su amortización.
Año 0 1 2 TIR
Bono A (1,000.00) 1,110.00
Bono B (600.00) 0.00 726.00
11.000%
10.000%
ETTI 11.00% 10.00%
Factor
Bono Estado (1,016.45) 0.9009009 110.00 0.82644628 1,110.00 10.051%
Bonos.xls
#VALUE!
Rentabilidad de un Bono
Calcular la rentabilidad de un bono a 5 años, cupón 10% anual que se adquiere por el nominal.
Solución
TIR
Cupón % Nominal Cupón
10% efectivo anual
10% anual $100.00 $10.00 anual
Año 0 1 2 3 4 5
Flujo Caja -$100.00 $10.00 $10.00 $10.00 $10.00 $110.00
Por ser un bono estandar la TIR se puede calcular simplemente dividiendo el cupón entre el nominal. O bien diciendo que la TIR coincide con el Cupón expresado en porcentaje. TIR
10%
También se puede calcular la TIR acudiendo la la fórmula TIR de Excel. TIR
10%
Un bono estandar es aquel que cumple las siguientes condiciones: 1 Se adquiere por el nominal 2 Se amortiza por el nominal (no existe prima de amortización) 3 La periodicidad de cobro de cupón es constante. Un bono estandar se puede interpretar como un préstamo americano. Por ello, se puede calcular el tipo de interés que paga sin más que dividir el cupón entre el nominal. Esto es, cupón (en %) y TIR coinciden.
ular simplemente dividiendo el TIR coincide con el Cupón
a fórmula TIR de Excel.
iste prima de amortización)
préstamo americano. Por ello, se ás que dividir el cupón entre el
#VALUE!
Rentabilidad de un Bono de cupón semestral
Calcular la rentabilidad de un bono a 5 años, cupón del 5% semestral que se adquiere por el nominal.
Solución Cupón % Nominal Cupón
TIR
10.25% efectivo anual
5% semestral $100.00 $5.00 semestral
Semestre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Flujo Caja -$100.00 $5.00 $5.00 $5.00 $5.00 $5.00 $5.00 $5.00 $5.00 $5.00 $105.00
Por ser un bono estandar la TIR se puede calcular simplemente dividiendo el cupón entre el nominal. O bien diciendo que la TIR coincide con el Cupón expresado en porcentaje. Pero en este caso al ser semestrales los flujos, la TIR es semestral. Finalmente hemos de anualizarla. TIR semestral TIR
5% 10.25%
También se puede calcular la TIR acudiendo la la fórmula TIR de Excel. TIR semestral TIR
5% 10.25%
e se adquiere por el nominal.
R se puede calcular simplemente dividiendo el iciendo que la TIR coincide con el Cupón n este caso al ser semestrales los flujos, la TIR de anualizarla.
R acudiendo la la fórmula TIR de Excel.
#VALUE!
TIR de un Bono En el mercado secundario cotiza un bono al 102% sobre el nominal que es de 1.000 $, paga un cupón del 6% anual venciendo el primero de ellos dentro de un año. El bono madura a los 4 años y paga una prima de amortización de 20 $. Calcular la TIR.
Solución
TIR
Cupón % Nominal Cupón Prima Amort. Precio % Precio Año 0 1 2 3 4
6% anual $1,000.00 $60.00 anual $20.00 $1.02 $1,020.00 Flujos Caja -$1,020.00 $60.00 $60.00 $60.00 $1,080.00
5.8824% efectivo anual
Este bono no es un bono estandar , pero como coincide el precio de adquisición con el de amortización más la prima (1.020 $) se puede calcular la TIR como si de un bono estandar se tratara. Esto es, dividiendo el cupón entre el precio de adquisición. TIR 5.8824% También se puede calcular la TIR usando la fórmula de Excel TIR 5.8824%
s de 1.000 $, paga un cupón del a los 4 años y paga una prima de
estandar , pero como coincide el el de amortización más la prima ar la TIR como si de un bono es, dividiendo el cupón entre el
r la TIR usando la fórmula de
#VALUE!
Precio de un Bono en el mercado secundario Determinar el precio de adquisición de un bono en el mercado secundario que cotiza al 3,4% efectivo anual y al que restan para su amortización 3 años y 9 meses. El cupón es del 1,5% semestral. TIR 3.40% efectivo anual TIR trimestral 0.8394% efectivo trimestral Tiempo 3 años y 9 meses Trimestres 15 Trimestres Cupón % 1.50% semestral Cupón $1.50 semestrales Nominal $100.00
Trimestre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Flujos Caja -P $1.50 $0.00 $1.50 $0.00 $1.50 $0.00 $1.50 $0.00 $1.50 $0.00 $1.50 $0.00 $1.50 $0.00 $101.50
Precio
99.45 €
El precio del bono es el Valor Actual de los Flujos de Caja que promete el bono a futuro, descontados a su TIR. Ha sido necesario trabajar con perodicidad trimestral porque el tiempo más pequeño entre dos fluos de caja es el trimestre. Concretamente, el tiempo entre la adquisición y el cobro del primer cupón. Además para que el VAN funcione es imprescindible poner flujo de caja cero en los trimestres donde no se paga cupón. Si esas celdas se dejan vacias la formula no funciona bien. Sabemos que el tiempo entre la adquisición y el cobro del primer cupón es de un trimestre ya que la amortización del bono coincide con el pago del último cupón, y contando los periodos hacia atrás en el tiempo llegamos a la conclusión de que el bono se adquiere en t=1/2 semestres.
o que cotiza al 3,4% efectivo anual y al que mestral.
el Valor Actual de los Flujos de Caja que uro, descontados a su TIR.
bajar con perodicidad trimestral porque el tiempo os fluos de caja es el trimestre. Concretamente, quisición y el cobro del primer cupón. Además cione es imprescindible poner flujo de caja cero de no se paga cupón. Si esas celdas se dejan funciona bien.
po entre la adquisición y el cobro del primer stre ya que la amortización del bono coincide con pón, y contando los periodos hacia atrás en el conclusión de que el bono se adquiere en t=1/2
#VALUE!
Prima de amortización Un inversor adquiere un bono en el mercado secundario por el nomial. El bono paga un cupón semestral del 6% nominal anual, venciendo el próximo dentro de 6 meses, y se amortiza dentro de 18 meses, con una prima de amortización de 10 $. El nominal del bono es de 1.000 $. Calcular la rentabilidad del bono.
Solución
TIR
Cupón nominal % Cupón % Nominal Cupón Prima Amort. Precio % Precio
6% nominal anual 3% semestral $1,000.00 $30.00 semestral $10.00 $1.00 $1,000.00
Semestre 0 1 2 3
Flujo Caja -$1,000.00 $30.00 $30.00 $1,040.00
6.7554% efectivo anual
TIR semestral TIR
3.32% 6.7554%
El bono paga un cupón semestral del 6% nominal e 18 meses, con una prima de amortización de 10
efectivo semestral efectivo anual
#VALUE!
Nominal del bono Se puede adquirir un bono en el mercado secundario por P €. Su nominal es N € y vence dentro de 3 años y 2 meses. El bono proporciona un cupón semestral del 8% nominal anual. El primer cupón por importe de 50 € se cobrará dentro de p meses. Calcular N.
Solución Cupón nominal % m Cupón semestral % Cupón
Nominal
8% nominal anual 2 numero de subperiodos contenidos en el periodo 4% 50 €
Cupón (€) = Cupón (%) x Nominal Nominal
1,250.00 €
1,250.00 €
al es N € y vence dentro de 3 años y 2 meses. El upón por importe de 50 € se cobrará dentro de p
#VALUE!
Deuda perpétua
Determinar el precio de mercado de un bono de deuda perpétua con cupón anual del 3%, TIR del 10%, nominal de 1.000 € y sabiendo que hoy cobrará el cupón.
Solución Cupón % Nominal Cupón TIR
Precio
330 El precio de un bono es el valor actual de los flujos de caja futuros descontados a su TIR.
3% anual 1,000.00 € 30.00 € anuales 10%
Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 : : :
∞
Prestación -P
Contraprestación 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 : : : 30
Precio Precio
330.00 € 330.00 €
ón anual del 3%, TIR del 10%, nominal de 1.000
o de un bono es el valor actual de los flujos de uros descontados a su TIR.
#VALUE!
Cupón que percibe el inversor Don Andrés adquiere un bono en el mercado primario por 970 €. El bono es de 1.000 € nominales y proporciona un cupón de C € durante 4 años, amortizándose por el nominal. Todos los cupones se ingresan en una cuenta corriente bancaria que proporciona una rentabilidad del 2% efectivo anual. Si Don Andrés obtiene una rentabilidad del 4% efectivo anual durante los 4 años por sus 970 €, determinar el importe del cupón. Solución
Cupón
Precio Nominal Tiempo C/C Rentabilidad inversor Cupón
Año 0 1 2 3 4
32.70 €
970.00 € 1,000.00 € 4 años 2% efectivo anual 4% 32.70 € <-- Método 1
Flujo Caja Flujos Caja -970 970.00 € C 32.70 € C 32.70 € C 32.70 € 1000+C 1,032.70 €
Saldo en C/C Rentabilidad del inversor
V.F. C/C 34.70 € 34.02 € 33.35 € 1,032.70 €
Otra forma de resolverlo es plantear la ecuación, despejarla y efectuar los cálculos con la ayuda de Excel Cupón
32.70 € <-- Método 2
1,134.76 € 1,134.76 € 4.000000% efectivo anual
#VALUE!
Meses transcurridos Doña Isabel adquiere un bono de deuda pertétua en el mercado secundario por 1.349,89 €. El bono paga un cupón semestral de 20 €. La TIR del bono en el momento de la compra es del 3%. Calcular cuantos meses transcurren desde la compra hasta el cobro del primer cupón.
Solución
Meses
4
Precio 1,349.89 € Cupón 20 € semestral TIR 3% efectivo anual TIR semestral 1.4889% efectivo semestral TIR mensual 0.2466% efectivo mensual Vencimiento Perpétua Semestre
Flujos Caja 0 1 2 3 4 5 6 7 8 : : :
∞
20 € 20 € 20 € 20 € 20 € 20 € 20 € 20 € : : : 20+N
Valor Actual de la Renta Perpétua en t=1 semestres 1 Valor de la Renta 1 mes antes 2 Valor de la Renta 2 meses antes 3 Valor de la Renta 3 meses antes 4 Valor de la Renta 4 meses antes 5 Valor de la Renta 5 meses antes 6 Valor de la Renta 6 meses antes 7 Valor de la Renta 7 meses antes 8 Valor de la Renta 8 meses antes Otra forma de resolverlo con Buscar Objetivo Meses Diferencia
49,89 €. El bono paga un cupón r cuantos meses transcurren
1,363.26 € 1,359.91 € 1,356.56 € 1,353.22 € 1,349.89 € 1,346.57 € 1,343.26 € 1,339.95 € 1,336.66 € 1,349.89 € 4.00 -
€
0 1 2 3 4 5 6 7 8
#VALUE!
ETTI del cuarto año En el mercado secundario cotizan los siguientes bonos: A. Bono cupón cero a un año. TIR del 4% B. Bono cupón explícito a dos años. Cupón anual del 5% y TIR del 4,2%. C. Bono cupón cero a tres años, que se adquiere por 870 € y se amortiza por el nominal que es de 1.000 €. D. Bono cupón explícito a cuatro años. Cupón anual del 4,8% y precio de adquisición del 99% sobre el nominal Calcular la TIR de un bono cupón cero a cuatro años.
Año 0 1 2 3 4 TIR
Bono A (100.00) 104.00
Bono B (101.50) 5.00 105.00
Bono C (870.00) 0.00 0.00 1,000.00
Bono D (99.00) 4.80 4.80 4.80 104.80
Bono E (10,056.47) 0.00 10,920.00
4%
4.2%
4.751%
5.083%
4.205%
Precio D Diferencia
99 0.00
Coeficientes: -0.16847215 -0.17521104 -0.01839716 3.83274149 Año 0 1 2 3 4
Bono A (100.00) 104.00
Bono B (101.50) 5.00 105.00
Bono C (870.00) 0.00 0.00 1,000.00
Bono D (99.00) 4.80 4.80 4.80 104.80
Bono H -328.80 0.00 0.00 0.00 401.67 5.1316422%
ETTI
Factor
4% 0.96153846 4.205% 0.92092258 4.751% 0.87 5.1316422% 0.81858957
Bono F (9,816.00) 0.00 499.20 499.20 10,899.20
Bono G (102,170,527.92) 0.00 0.00 5,451,264.00 119,019,264.00
Bono H (97,427,928,239.95) 0.00 0.00 0.00 119,019,264,000.00 5.1316422%
ECO
#VALUE!
Cupón de un Bono Un inversor adquiere un bono en el mercado primario por 900 €. El bono es de 1.000 € nominales y proporciona un cupón anual de C € durante 4 años, amortizándose por el nominal. Todas las cuantías recibidas se ingresan en una cuenta corriente bancaria que proporciona una rentabilidad del 5% efectivo anual. Si el inversor obtiene una rentabilidad del 7% efectivo anual durante los 4 años por sus 900 €, determinar el importe del cupón C. Cupón
41.6953 <-- Método 1
Año
Bono -900.00 41.70 41.70 41.70 1,041.70
0 1 2 3 4
900 1 0 , 07 C 4
S
4 5%
Cta. Cte. -41.70 -41.70 -41.70 -1,041.70
1000
Montante
1,179.71 5%
Neto -900.00 0.00 0.00 0.00 1,179.71 6.99990131% 7.00000000% -0.00009869%
Cupón
41.6963 <-- Método 2
#VALUE!
Bono perpétuo Calcular la TIR de un bono perpétuo que paga un cupón de 52 € anuales y se adquiere por 1.000 €. El próximo cupón vence dentro de 1 año.
Años
Flujo caja 0 - 1,000.00 € 1 52.00 € 2 52.00 € 3 52.00 € 4 52.00 € 5 52.00 € 6 52.00 € 7 52.00 €
∞
1,052.00 €
Años 01 2 3 4 : : :
∞
Flujo caja 1,000.00 € 52.00 € 52.00 € 52.00 € 52.00 € : : : 1,052.00 €
Cupón Precio
Método 1 Método 2 Método 3
dquiere por 1.000 €. El próximo
52.00 € 1,000.00 €
TIR 5.200% 5.200% 5.200%
#VALUE!
Bono perpétuo con cobro del primer cupón a distinta frecuencia Calcular la TIR de un bono perpétuo que paga un cupón de 52 € anuales y se adquiere por 1.026 €. El próximo cupón vence dentro de 6 meses.
Semestre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Flujo Caja -1026 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0
TIR
-7.5299407% -7.5299407% -5.9879551% -5.9879551% -4.7651143% -4.7651143% -3.7781911% -3.7781911% -2.9697189% -2.9697189% -2.2989090% -2.2989090% -1.7361149% -1.7361149% -1.2593397% -1.2593397% -0.8519646% -0.8519646% -0.5012320% -0.5012320% -0.1972081% -0.1972081% 0.0679413% 0.0679413%
Método 1 Precio 1,026.00 € VAN 1,026.00 € TIR 5.1983%
Método 2 VA 1,026.00008 € TIR 5.1983% VA-Precio 0.00 €
Evolución de la TIR 3.0% 2.5% 2.0% 1.5% 1.0% 0.5%
0.0% 1
49
97 145 193 241 289 337 385 433
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0
0.3004653% 0.3004653% 0.5054009% 0.5054009% 0.6868465% 0.6868465% 0.8481652% 0.8481652% 0.9921393% 0.9921393% 1.1210865% 1.1210865% 1.2369511% 1.2369511% 1.3413740% 1.3413740% 1.4357480% 1.4357480% 1.5212618% 1.5212618% 1.5989348% 1.5989348% 1.6696454% 1.6696454% 1.7341539% 1.7341539% 1.7931208% 1.7931208% 1.8471224% 1.8471224% 1.8966633% 1.8966633% 1.9421868% 1.9421868% 1.9840834% 1.9840834% 2.0226985% 2.0226985% 2.0583385% 2.0583385% 2.0912754% 2.0912754% 2.1217519% 2.1217519% 2.1499851% 2.1499851% 2.1761689% 2.1761689% 2.2004780% 2.2004780% 2.2230691% 2.2230691% 2.2440837% 2.2440837% 2.2636495% 2.2636495%
97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152
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52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0
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52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0
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489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500
52 0 52 0 52 0 52 0 52 0 52 0
2.5662060% 2.5662060% 2.5662065% 2.5662065% 2.5662070% 2.5662070% 2.5662075% 2.5662075% 2.5662080% 2.5662080% 2.5662084% 2.5662084%
Método 3 Cupón 52.00 € Precio 1,026.00 € TIR 5.1983%
#VALUE!
Dos inversiones Un ahorrador dispone de un capital inicial de C $ que desea invertir durante 3 años. Con este capital acomete dos inversiones simultaneamente (A y B). El capital destinado a la inversión A es un 30% menor que el destinado a la inversión B. Inversión A Imposición a interés compuesto durante 3 años. El montante alcanzado durante el primer año asciende a 88.037,15 $ y al final del tercer año es de 99.479,25 $ Inversión B Aquiere q bonos que serán amortizados dentro de 3 años. Cada bono proporciona cupones semestrales de 16,53 $, venciendo el próximo dentro de 6 meses. Cada bono se amortiza por el nominal (350 $) y se adquiere por E $. Los cupones son ingresados, en el momento de percibirse, en una cuenta bancaria que proporciona una rentabilidad del 2% efectivo anual. Sabiendo que la rentabilidad obtenida por éste señor durante los 3 años, por sus C $ iniciales, ha sido del 4,3% efectivo anual, calcular q.
Inversión A Año
Montante 0 1 2 3
Ca 88,037.15 $ VFa=
99,479.25 $
99,479.25 $ 88037,15(1+i)2=99479,25
Ca(1+i)=88037,15 Ca(1+i)3=99479,25
Ca=
82,819.52 $
Cb=
118,313.60 $
ia= 6.30%
201,133.12 €
C=
Inversión B Un bono Semestre
Flujo Caja 0 1 2 3 4 5 6
-E 16.53 16.53 16.53 16.53 16.53 366.53
i2=
VF de un Bono =
Inversión Conjunta VF=VFa+VFb VF=C(1+0,043)^3
0.9950%
451.68 $
VF = VFb=VF-VFa= Número de bonos q=
228,210.97 $ 128,731.72 $ 285.00634 bonos 285 bonos
apital acomete dos e el destinado a la
e el primer año
ona cupones se amortiza por el mento de percibirse, en
ha sido del 4,3%
#VALUE! Suponga un bono a cuatro años con un cupón anual del 5% y un nominal de $100. Si el rendimiento del mercado es de un 8%, ¿cuál es la duración de este bono? Respuesta
1
2
3
4
5
Periodo
Cupón
Factor de Descuento
4=(1*2)/3
5=2/3
4.6296296 8.5733882 11.907484 308.71254
4.6296296 4.2866941 3.9691612 77.178135
333.82304
90.063619
0 1 2 3 4
5 5 5 105
1.08 1.1664 1.259712 1.360489
Duración = 3743.7619/848.36853 = La duración del bono es de 3.71 años
3.706525
#VALUE! Un inversionista está considerando invertir en dos bonos, A y B. El bono A genera cupones de UF50 por año y entrega un nominal de UF1000 al cabo de 5 años. El bono B, es un bono a 3 años que entrega UF65 por año y un principal de UF1000 al vencimiento. Si el horizonte de planificación del inversionista es de 3.5 años y la tasa de mercado es de un 7%, ¿cuánto debe invertir en cada uno de los bonos? Respuesta Como primer paso se debe calcular la duración de cada bono, así la duración del bono A será: 1
2
3
4
5
Periodo
Cupón
Factor de Descuento
4=(1*2)/3
5=2/3
1.07 1.1449 1.225043 1.310796 1.4025517
46.728972 87.343873 122.44468 152.57904 3743.1774
46.728972 43.671936 40.814894 38.144761 748.63549
4152.274
917.99605
0 1 2 3 4 5
Duración:
50 50 50 50 1050
4.523194
1
2
3
4
5
Periodo
Cupón
Factor de Descuento
4=(1*2)/3
5=2/3
60.747664 113.54703 2608.0717
60.747664 56.773517 869.35724
2782.3664
986.87842
0 1 2 3
Duración:
65 65 1065
1.07 1.1449 1.225043
2.819361
Se sabe que la duración de una cartera se obtiene promediando de duración de cada bono, por lo tanto, como el horizonte de inversión del agente es de 3.5 años, para determinar el monto a invertir en cada bono, se debe resolver la siguiente ecuación: 3.5 = w*4.523194 + (1-w)*2.819361 w=0.399
Lo que significa que se debe invertir un 39.9% del capital en el bono A y un 60.1% en el bono B.
al de UF1000 al vencimiento. de mercado es de un 7%,
uración del bono A será:
uración de cada bono, s, para determinar el
A y un 60.1% en el bono B.
#VALUE!
Bonos de igual cupón en euros Dos bonos se amortizan en la misma fecha, dentro de 3 años. Ambos bonos se pueden adquirir hoy a la par: el bono A por 1.000 € y el bono B por 500 €. Ambos proporcionan un cupón anual, el bono A del 5% y el bono B del 10%. El bono A tiene una prima de amortización de 150 €. Se pide calcular la TIR de un bono cupón cero a tres años que se adquiera en la misma fecha que los otros dos bonos.
Año 0 1 2 3 TIR Cupón
Bono A -1000 50 50 1200 9.55% 5%
Bono B Bono Cupón 0 -500 -500 50 0 50 0 550 650 10.00% 10%
9.139288% 0%
#VALUE!
Réplica del Bono Cupón cero a ocho años Sean dos bonos A y B que maduran dentro de 8 años. El bono A se emitió hace 22 años cuando los tipos de interés estaban altos y proporciona un cupón del 10% anual. Por el contrario, el bono B se emitió hace 2 años cuando los tipos de interés estaban más bajos y proporciona un cupón del 5% anual. El nominal es de 1.000 €. La ETTI que se deduce del mercado en estos momentos es la siguiente: A plazo de un año es del 2%, y experimenta incrementos de un punto al año, hasta llegar al 9% para un plazo de 8 años. Calcular las TIR de los bonos A y B. Crear un Bono C sintético combinando los bonos A y B, que sea un Bono Cupón Cero a un plazo de 8 años. Y calcular la TIR del bono C.
ETTI (Zero Yield Curve)
Año (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
(1+rs)-s
ETTI 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% TIR
0.9803922 0.9425959 0.8889964 0.8227025 0.7472582 0.6663422 0.5834904 0.5018663
Bono A -1,115.23 € 100.00 € 100.00 € 100.00 € 100.00 € 100.00 € 100.00 € 100.00 € 1,100.00 €
Bono B -808.55 € 50.00 € 50.00 € 50.00 € 50.00 € 50.00 € 50.00 € 50.00 € 1,050.00 €
Bono C -501.87 € 0.00 € 0.00 € 0.00 € 0.00 € 0.00 € 0.00 € 0.00 € 1,000.00 €
7.9952%
8.3797%
9.0000%
Observe que la TIR A es distinta de la TIR B. Esto se debe a que la TIR es una media de rentabilidades ponderada por los flujos de caja. Y el bono B tiene mayor peso relativo que el bono A, en el largo plazo (en la amortización). Esto unido a que, al ser la ETTI a largo superior a la ETTI a corto, hace que la TIR del bono B sea superior a la TIR del bono A.
0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 1
2
3
4
5
6
Observe que la TIR A es distinta de la TIR B. Esto se debe a que la TIR es una media de rentabilidades ponderada por los flujos de caja. Y el bono B tiene mayor peso relativo que el bono A, en el largo plazo (en la amortización). Esto unido a que, al ser la ETTI a largo superior a la ETTI a corto, hace que la TIR del bono B sea superior a la TIR del bono A.
7
8
#VALUE!
Sensibilidad del precio de un bono ante las variaciones de los tipos de interés En el mercado cotizan a la par dos bonos (A y B) que pagan un cupón del 5% anual, y se amortizan por el nominal. El bono A es un bono a 3 años, mientras que el bono B vence a los 30 años. La TIR de ambos en este momento es del 5%. Si repentinamente la TIR de ambos bonos cae un punto, calcular como influye esto en el precio de ambos bonos. ¿Y si la TIR aumentara un punto?
TIR Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Bono A Bono B 5% 5% Bono A Bono B -100.00 € -100.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 105.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 5.00 € 105.00 €
TIR Nuevo Precio
Bono A 4% 102.78 €
Bono B 4% 117.29 €
TIR Nuevo Precio
Primera Regla de Oro de la Renta Fija Precio y Rentabilidad se mueven en sentido contrario Vea que al bajar la rentabilidad al 4% el precio de ambos bonos aumenta, y que al subir la rentabilidad al 6% el precio de ambos bonos se reduce. Segunda Regla de Oro de la Renta Fija La sensibilidad de un bono ante las variaciones de los tipos de interés es mayor cuanto mayor es la duración del bono. Vea que el bono a 30 años incrementa más el precio cuando la rentabilidad cae, y reduce más el precio cuando la rentabilidad aumenta. El bono a 30 años es más
ones de los tipos de interés
Bono A 6% 97.33 €
Bono B 6% 86.24 €
de Oro de la Renta Fija ntido contrario precio de ambos bonos aumenta, y que al subir s bonos se reduce.
a de Oro de la Renta Fija aciones de los tipos de interés es mayor cuanto
más el precio cuando la rentabilidad cae, y dad aumenta. El bono a 30 años es más
#VALUE!
Rentabilidades negativas en renta fija El Sr. A es un inversor que adquiere un bono a 30 años por 100 €, paga de cupón anual del 7% y se amortiza por el nominal que es de 100 €. Transcurrido un año, un instante después de cobrar el primer cupón decide vender el bono en el mercado secundario. El bono es adquirido por otro inversor, el Sr. B. En ese momento (t=1) el bono cotiza en el mercado a un precio P que proporcionaría al Sr. B una TIR del 8% en caso de mantener el bono durante los 29 años que restan hasta su vencimiento. Calcular la rentabilidad del Sr. A. Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Sr. A -100 7+P
Sr. B -P 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 107
Sr. A -100 95.84 €
Sr. B TIR Sr. A -88.84 € 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 107
-4.158%
#VALUE!
Duración y Duración Modificada
P
Calcular la duración y la duración modificada de los siguientes bonos: Año
ETTI 0 1 5% 2 6% 3 7% 4 8% 5 9% 6 10%
Bono A -Pa 1,070.00 €
Bono B -Pb 80.00 € 1,080.00 €
Bono C -Pc 90.00 € 90.00 € 1,090.00 €
Bono D -Pd 100.00 € 100.00 € 100.00 € 1,100.00 €
n
C 1 r t 1
Bono E -Pe 110.00 € 110.00 € 110.00 € 110.00 € 1,110.00 €
Bono F -Pf 120.00 € 120.00 € 120.00 € 120.00 € 120.00 € 1,120.00 €
Bono G -Pg 0.00 € 0.00 € 0.00 € 0.00 € 0.00 € 1,000.00 €
n
D
tC 1 r t 1 n
t 1
ETTI 0 1 5% 2 6% 3 7% 4 8% 5 9% 6 10%
(1+rt)-t 0.952381 0.8899964 0.8162979 0.7350299 0.6499314 0.5644739
t (1+rt)-t
Bono A Bono B Bono C Bono D Bono E -1,019.05 € -1,037.39 € -1,055.58 € -1,074.40 € -1,094.73 € 0.952381 1,070.00 € 80.00 € 90.00 € 100.00 € 110.00 € 1.7799929 1,080.00 € 90.00 € 100.00 € 110.00 € 2.4488936 1,090.00 € 100.00 € 110.00 € 2.9401194 1,100.00 € 110.00 € 3.2496569 1,110.00 € 3.3868436
TIR
t
t
C 1 r
DM Año
t
t
t
D 1 r
Bono F -1,117.45 € 120.00 € 120.00 € 120.00 € 120.00 € 120.00 € 1,120.00 €
Bono G -564.47 € 0.00 € 0.00 € 0.00 € 0.00 € 0.00 € 1,000.00 €
5.0000%
5.9619%
6.8866%
7.7654%
8.5904%
9.3542%
10.0000%
Duración de Macaulay (años)
1.000
1.927
2.762
3.492
4.111
4.616
6.000
Duración Modificada (años)
0.952
1.818
2.584
3.241
3.786
4.221
5.455
t
Los Bonos Cupón Cero son los de mayor duración entre todos los bonos que maduran a ese plazo.
#VALUE!
Fórmula aproximada de la sensibilidad del Precio Sea un bono a cinco años con cupón anual del 10% cuya TIR es r = 12% anual. Calcular el precio, la duración y la duración modificada. Determinar en términos aproximados el nuevo precio del bono si los tipos bajan hasta el 10%, y compararlo con el precio real del bono tras la bajada de tipos. El Precio en función de la Rentabilidad Es una curva decreciente
t
Ct 92.79 € 10.00 € 10.00 € 10.00 € 10.00 € 110.00 €
0 1 2 3 4 5
TIR Duración Duración Modif. Precio Aprox. Precio Real
(1+r)-t 0.89285714 0.79719388 0.71178025 0.63551808 0.56742686
Inicial 12% 4.13546179 3.6923766 92.79 € 92.79 €
Ct (1+r)-t
Ct t (1+r)-t
8.93 7.97 7.12 6.36 62.42 92.79
8.93 15.94 21.35 25.42 312.08 383.73
Variación % -2%
Final 10%
7.38% 7.77%
99.64 € 100.00 €
145 125 105 85 65 0
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
P D r P (1 r )
Analicemos como varía el Precio de un bono (P) ante las variaciones en la rentabilidad (TIR=r) El precio es: n
P t 1
Ct
1 r t
La derivada del precio respecto a su rentabilidad es: n tCt dP 1 1 r t 1 1 r t dr
Como la duración es: n
D
tCt
1 r
t
t 1
P
de donde
dP D P dr (1 r )
TIR (r) 0.0% 0.2% 0.4% 0.6% 0.8% 1.0% 1.2% 1.4% 1.6% 1.8% 2.0% 2.2% 2.4% 2.6% 2.8% 3.0% 3.2% 3.4% 3.6% 3.8% 4.0% 4.2% 4.4% 4.6% 4.8% 5.0% 5.2% 5.4% 5.6% 5.8% 6.0% 6.2%
dP D P dr (1 r ) Y podemos expresar la variación porcentual de precio como:
dP D dr P (1 r ) Donde D/(1+r) es la duración modificada La expresión anterior, en términos aproximados es:
P D r P (1 r ) donde
P P
es la variación porcentual del precio (expresada en tanto por uno)
Además del concepto de duración, existe otro concepto que es el de CONVEXIDAD. La Convexidad de un bono es una medida que nos permite mejorar la aproximación anterior, debido a que se basa en la derivada segunda del precio respecto a la rentabilidad. La convexidad es:
C
1 d 2P P dr 2
Calculemos la segunda derivada del precio respecto a la rentabilidad.
d 2P 1 dr 2 1 r 2
n
t t 1Ct
1 r
t
t 1
Utilizando el concepto de Convexidad podemos establecer una mejor aproximación a la variación porcentual del precio aplicando el polinomio de Taylor de grado dos:
P D 1 2 r Cr P (1 r) 2 Apliquemos la Convexidad al problema anterior. t 0 1 2 3 4 5
Ct 92.79 € 10.00 € 10.00 € 10.00 € 10.00 € 110.00 €
-t
(1+r)
0.89285714 0.79719388 0.71178025 0.63551808 0.56742686
-t
Ct (1+r)
8.93 7.97 7.12 6.36 62.42 92.79
-t
Ct t (1+r)
8.93 15.94 21.35 25.42 312.08 383.73
-t
t (t+1) Ct (1+r)
17.85714286 47.83163265 85.41362974 127.1036157 1872.508624 2,150.71
6.4% 6.6% 6.8% 7.0% 7.2% 7.4% 7.6% 7.8% 8.0% 8.2% 8.4% 8.6% 8.8% 9.0% 9.2% 9.4% 9.6% 9.8% 10.0% 10.2% 10.4% 10.6% 10.8% 11.0% 11.2% 11.4% 11.6% 11.8% 12.0% 12.2% 12.4% 12.6% 12.8% 13.0% 13.2% 13.4% 13.6% 13.8% 14.0% 14.2% 14.4% 14.6% 14.8% 15.0% 15.2% 15.4% 15.6% 15.8% 16.0% 16.2% 16.4% 16.6% 16.8% 17.0% 17.2% 17.4%
17.6% 17.8% 18.0% 18.2% 18.4% 18.6% 18.8% 19.0% 19.2% La Aproximación 2 es mejor que la Aproximación 1, ya que usa la Convexidad que hace referencia19.4% a la derivada 2ª. Por el polinomio de Taylor sabenos que cuanto mayor es el grado del polinomio, y por tanto de 19.6% mayor grado es la derivada utilizada, mejor se aproxima el polinomio a la curva que pretende 19.8% 20.0% TIR Duración Duración Modif. Convexidad Precio Aprox. 1 Precio Aprox. 2 Precio Real
Inicial Variación % Final 12% -2% 10% 4.13546179 3.6923766 18.48 € 92.79 € 7.38% 99.64 € 92.79 € 7.75% 99.99 € 92.79 € 7.77% 100.00 €
0.16 0.18 0.2
Precio (P) 150.00 € 148.71 € 147.43 € 146.17 € 144.92 € 143.68 € 142.46 € 141.25 € 140.06 € 138.88 € 137.71 € 136.55 € 135.41 € 134.28 € 133.16 € 132.06 € 130.96 € 129.88 € 128.81 € 127.76 € 126.71 € 125.68 € 124.65 € 123.64 € 122.64 € 121.65 € 120.67 € 119.70 € 118.74 € 117.79 € 116.85 € 115.92 €
115.00 € 114.09 € 113.19 € 112.30 € 111.42 € 110.55 € 109.68 € 108.83 € 107.99 € 107.15 € 106.32 € 105.50 € 104.69 € 103.89 € 103.10 € 102.31 € 101.53 € 100.76 € 100.00 € 99.25 € 98.50 € 97.76 € 97.03 € 96.30 € 95.59 € 94.88 € 94.17 € 93.48 € 92.79 € 92.11 € 91.43 € 90.77 € 90.10 € 89.45 € 88.80 € 88.16 € 87.52 € 86.89 € 86.27 € 85.65 € 85.04 € 84.43 € 83.83 € 83.24 € 82.65 € 82.07 € 81.49 € 80.92 € 80.35 € 79.79 € 79.24 € 78.69 € 78.14 € 77.60 € 77.07 € 76.54 €
76.02 € 75.50 € 74.98 € 74.47 € 73.97 € 73.47 € 72.97 € 72.48 € 71.99 € 71.51 € 71.04 € 70.56 € 70.09 €
#VALUE! CALCULO DE LA TASA EFECTIVA
Una empresa propietaria de una tarjeta de crédito anuncia que su tasa de interés es del 2% mensual. Calcular la tasa de interés efectiva semestral. i= 2% mensual n= 6 meses ie= Semestral
ie=
Donde: ie= i= n= ^= 12.62%
Calcular la tasa efectiva semestral y anual si el interés nominal se expresa en un 5% trimestral. Semestral i= 5% Trimestral n= 2 Trimestres ie= Semestral ie=
10.25%
Anual i= 5% Trimestral n= 4 Trimestres ie= Anual ie=
21.55%
Tasa de interés efectiva por período Tasa de interés nominal por período Número de perídos de capitalización Signo de elevación de potencia
erés es del
#VALUE! SEGREGABLES Un fondo de inversión se plantea sustituir Bonos al 10,3% con vencimiento 15-06-05 por Bonos Segregables 4,25% con vencimiento 30-07-05. La cotización al 20-10-02 es la siguiente: - Bonos 10,30% , cotización venta a 114,21% (ex cupón) - Segregables 4,25% , cotización compra a 99,49% (ex cupón)
días cupón en euros precio ex cupón % cupón corrido € precio P
Venta bono 10,30 127 10.3 114.21 3.58 117.79
Compra segregable 82 4.25 99.49 0.95 100.44
ratio conversión
nominales
1.1727
1.1675 4.96
cupones en euros
4,96 239 días 20/10/02
30/07/03
4,96 30/07/04
4,96+116,76 30/07/05
117,79
TIR o rentabilidad de la operación: 117,79 = 4,96 (1 + r)^(- 239/365) + 4,96 (1 + r)^[-(1+ 239/365)] + 121,72 (1 + r)^[-(2+ 239/365)] r = 4,47%
prueba de rentabilidad 0.04477
vencimiento (días) 239 604
flujos 4.96 4.96
valor actual unitario valor actual 0.9717 4.82 0.9301 4.61
bonos del 4,25 por cada uno de 10,30
1/(1+r) 0.957148463
969
121.72
0.8902
108.36 117.79
BONO 29
Duración de un bono
Duración de un bono con vencimiento dentro de 9 años y medio, siendo el vencimiento del primer cupón, del 5%, dentro de medio año.
tasa r: 0.0475
Fechas
Flujos Ci
plazos: i
(1 + r)^i
30.05.95 30.05.96 30.05.97 30.05.98 30.05.99 30.05.00 30.05.01 30.05.02 30.05.03 30.05.04
5 5 5 5 5 5 5 5 5 105
0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5
1.023474475 1.072089512 1.123013764 1.176356918 1.232233871 1.29076498 1.352076317 1.416299942 1.483574189 1.554043963 precio: Duración:
Duración bono perpétuo:
Ci / (1 + r) ^i ixCi / (1 + r)^i 4.8853197 4.6637897 4.4523052 4.2504107 4.0576713 3.8736719 3.6980161 3.5303256 3.3702393 67.5656561 104.3474055 7.628800838
2.442659844 6.995684517 11.13076295 14.87643736 18.2595208 21.30519531 24.03710471 26.47744231 28.64703384 641.8737332 796.0455748
En particular, coloque como tasa de rentabilidad el 5%, ¿que ocurre? ¿y si cambiamos el primer vencimiento para dentro de un año? Copie de nuevo la hoja en espacio libre y modifique el número de flujos y el plazo a la amortización, siempre ésta a la par. Comprobará que la duración aumenta a medida que aumenta el plazo, lógicamente, pero nunca sobrepasará la cifra límite obtenida a partir de:
1+1/r en nuestro caso, nunca la duración alcanzará el valor: 1 + 1 / 0,0,475 =22,05 años.
22.05263158 años
LA GESTIÓN ACTIVA: La gestión activa de una cartera de renta fija se utiliza cuando los inversores suponen que el mercado NO es eficiente, de forma que identificando a los bonos infravalorados se pueden obtener rendimientos superiores a los del mercado. Pero como dicha infravaloración no podrá mantenerse mucho tiempo (teoría de la linea de mercado) [periodo de work out time], hay que comprar y / o vender con frecuencia para "batir el mercado". Así: la Duración de una cartera puede alterarse permutando algunos de los bonos que la componen por otros nuevos [denominado permuta por anticipación de los tipos de interés o rate anticipation swaps]. En este sentido, la compra de futuros aumenta la duración de la cartera y viceversa. Una expectativa al alza de los tipos de interés garantiza un descenso en la duración de la cartera y por tanto del riesgo, mientras que una previsión de descenso de tipos repercute en un aumento de la duración.
tipos repercute en un aumento de la duración.
entro de 9 años y medio, siendo el dentro de medio año.
ntabilidad el 5%, ¿que ocurre? ¿y si dentro de un año?
y modifique el número de flujos y el la par. Comprobará que la duración o, lógicamente, pero nunca
anzará el valor: 1 + 1 / 0,0,475 =22,05
dentificando a los bonos mucho tiempo (teoría de la
muta por anticipación de los
una previsión de descenso de
#VALUE! a) periodos: -96.491228 -94.765502 -93.281438 -91.892537 -89.263565 en negativo para calcular la TIR
Valor actual de un bono americano y cálculo de la TIR
1 110 11.5 12 12.5 12.5
2 111.5 12 12.5 12.5
3
112 12.5 12.5
4
112.5 12.5
5
tipo Rt:
112.5
0.14 0.1475 0.15 0.155 0.16
Valor actual 96.491228 94.765502 93.281438 91.892537 89.263565 precios
Curva de Rentabilidad TIR 14.000% 14.708% 14.940% 15.360% 15.761%
Ci Precio: P = Suma (1
TIR:
+ Ri)^i
P = Ci an|TIR + C (1 + TIR)^(-n)
1) Respecto a los bonos cupón cero está construida. Así: el tipo de interés con para operaciones a un año es el 14%, p operaciones a dos años, el 14,75%, et
2) Sin embargo para los bonos convencio de Deuda Pública con pago de cupón exp primero se deberá calcular el bono, descontando cada flujo con los tant interés señalados en la ETTI, luego, la t interna de rentabilidad de cada uno de ellos para poder construir la curva de rendimien cual difiere muy poco, por defecto, de la E
En el ejercicio se consideran 5 bonos americanos con distintos plazos a la amortización, se conocen los tipos spot Rt para cada uno de los plazos. Se calculan, primero, los precios de los bonos y luego sus TIRs Actividad propuesta: Este es un ejemplo de estructura ETTI creciente. Introduce los datos de otra ETTI que sea decreciente o invertida. Observa los nuevos valores actuales y las nuevas TIRs obtenidas.
Cálculo de los precios y la TIR de un bono
b) periodos: bono A bono B
1 6 8
2 6 8
3 6 8
4 6 8
5 106 108
tipo Rt:
Valor actual
0.05 0.055 0.0625 0.07 0.08
precios
Curva de Rentabilidad TIR
a los bonos cupón cero, su ETTI ya uida. Así: el tipo de interés contado raciones a un año es el 14%, para ones a dos años, el 14,75%, etc.
rgo para los bonos convencionales Pública con pago de cupón explícito, e deberá calcular el precio de cada ontando cada flujo con los tantos de eñalados en la ETTI, luego, la tasa entabilidad de cada uno de ellos: TIR, construir la curva de rendimientos, la e muy poco, por defecto, de la ETTI
ETTI.xls #VALUE!
Réplica del Bono Cupón Cero a dos años ETTI.xls En el mercado se encuentran los siguientes bonos: El Bono A, que es un Bono Cupón Cero a un año, que se adquiere por 100 € y se amortiza por 110 €. El Bono B, que es un Bono Cupón Explícito del 8% anual, que madura a los dos años por el nominal que es de 1.000 €. La periodicidad del cupón es anual y el próximo vence dentro de un año, adquiriéndose en estos momentos por un precio PB, que supone una TIR del 9%. Calcular la TIR de un Bono C que es un Bono Cupón Cero Implícito y duración 2 años. Año Bono A 0 -100.00 € 1 110.00 € 2 TIR
10%
Bono B Bono C -982.41 € -100,064.98 € 80.00 € 0.00 € 1,080.00 € 118,800.00 € 9%
8.9600%
Para conseguir un Bono Cupón Cero se han de combinar los Bonos A y B de tal forma que el cupón intermedio sea cero. Para conseguir esto se pueden hacer cualquiera de las dos alternativas siguientes: Opción 1: Comprar 110 bonos B y vender 80 bonos A (+110B-80A) Opción 2: Comprar 80 bonos A y vender 110 bonos B (+80A-110B) Con ambas alternativas se consigue que el cupón intermedio sea cero. De las dos alternativas elegimos la primera porque es la que nos dará un flujo de caja negativo en cero y positivo en t=2. Si se elige la opción 2 los flujos serán del mismo importe pero de signo contrario. Para evitar que los flujos de caja que se van obteniendo en los bonos sintéticos sean de importes muy grandes, se puede trabajar con el minimo común múltiplo, de la siguiente forma.
Input 1 110.00
Input 2 80.00
m.c.m. #NAME?
Output 1 #NAME?
Output 2 #NAME?
En lugar de multiplicar por 110 y por 80, multiplicaremos por 11 y por 8. Año 0 1 2 TIR
Bono A -100.00 € 110.00 €
Bono B -982.41 € 80.00 € 1,080.00 €
Bono C' -10,006.50 € 0.00 € 11,880.00 €
10%
9%
8.9600%
De esta forma el Bono C' es equivalente al bono C ya que sus flujos de caja son proporcionales y la TIR la misma. Método 2 Primero calculamos el precio del bono B usando la TIR Luego, planteamos la ecuación que calcula el precio del bono B usando la ETTI, pero como ya conocemos el precio del bono B, sustituimos y la única incógnita que nos queda en la ecuación es el valor de la ETTI para el año dos que coincide con la TIR del bono C, por ser este un bono cupón cero a dos años. Año Bono A 0 -100.00 € 1 110.00 € 2 TIR
10%
Bono B -982.41 € 80.00 € 1,080.00 €
ETTI 10% 8.9600%
(1+ETTI)
1.1 0.909090909 1.089600187 0.842297792
9% Precio B Diferencia
1/(1+ETTI)^n
982.41 € -5.49811E-07
100 € y se amortiza por 110 €. a los dos años por el nominal que entro de un año, adquiriéndose en
forma que el cupón intermedio sea cero.
de caja negativo en cero y positivo en t=2.
sean de importes muy grandes, se puede trabajar con
caja son proporcionales y la TIR la misma.
la ETTI, pero como ya conocemos el precio del s el valor de la ETTI para el año dos que años.
#VALUE!
Bono Cupón explícito a tres años Suponga que además de los bonos del Problema 1, se encuentra en el mercado un Bono D que es una Bono Cupón Explícito que madura a los tres años, paga cupón anual del 7% anual, y se puede adquirir por un precio del 97%. Calcular r03, r23 y r13.
Año 0 1 2
Bono A -100.00 € 110.00 €
Bono B
Bono C
-982.41 € -100,064.98 € 80.00 € 0.00 € 1,080.00 € 118,800.00 €
3 TIR
r03 r23 r13
10%
9%
8.9600%
Bono D
Bono E
Bono F
-97.00 € 7.00 € 7.00 €
-9,970.00 € -1,107,385,967.17 € 0.00 € 0.00 € 770.00 € 0.00 €
107.00 €
11,770.00 €
1,398,276,000.00 €
8.17%
8.0848%
r02
Bono B -982.41 €
Bono C #NAME?
Bono D -97.00 €
Bono E #NAME?
Bono F #NAME?
r23 r23
r03 7.1397% 10% 10% 7.9299% 6.3554% 8.9600% 6.3554% 8.0848%
(1+r13)2=(1+r12)(1+r23)
6.3554% 7.1397%
Bono A -100.00 €
r13 r12
Formulas (1+r03)3=(1+r02)2(1+r23)
8.0848%
La misma tabla que la anterior pero aplicando el minimo común múltiplo Año 0
r01 r01
1 2 3 TIR
110.00 €
80.00 € 1,080.00 €
#NAME? #NAME?
7.00 € 7.00 € 107.00 €
10%
9%
#VALUE!
8.17%
Input 1 110.00 110.00 #NAME?
Input 2 80.00 7.00 #NAME?
m.c.m. #NAME? #NAME? #NAME?
Output 1 #NAME? #NAME? #NAME?
#NAME? #NAME? #NAME?
#NAME? #NAME? #NAME? #VALUE!
Output 2 #NAME? #NAME? #NAME?
#VALUE!
Precio de un Bono usando la ETTI Con toda la información de los tres problemas anteriores calcular el precio y la TIR de un bono que cotiza en el mercado por un precio P, paga un cupón anual del 5% anual, madura a los 3 años y su nominal es de 10.000 €.
Plazo 1 año 2 años 3 años Cupón % Nominal Cupón
Notación
r01 r02 r03 5% 10,000 € 500.00 €
ETTI
Año 0 10.000% 1 8.9600% 8.08%
Flujo Caja -P 500.00 €
Valor Actual Flujos de Caja 9,191.33 € 454.55 € 500.00 €
500.00 €
421.15 €
500.00 €
3 10,500.00 €
8,315.63 €
10,500.00 €
2
Precio TIR
9,191.33 € 8.1462%
y la TIR de un bono que cotiza en os 3 años y su nominal es de
A B 1 Bonos.xls 2 3
C
D
E
F
G
H
I
J
#VALUE!
4 Precio de adquisición 5 6 Calcular el Precio de adquisición de un Bono de cupón anual 5% amortizable por el nominal a los 3 años y cuya TIR 7 es del 3%. 8 9 Nota: Cuando no se da el Nominal de un bono se supondrá que es de 100 € de esta forma el precio se puede 10 interpretar como un porcentaje sobre el Nominal. 11 Método 1 12 13 14 Cupón % 5% anual Año Flujo Caja Precio 15 Nominal 100.00 € 0 -P 105.66 € 16 Tiempo 3 años 1 5.00 € 17 TIR 3% 2 5.00 € 18 Cupón 5.00 € 3 105.00 € 19 20 Método 2 21 22 105.66 € Precio 23 105.66 € 24 25 Método 3 26 27 Precio 28 Año Flujo Caja TIR 3% #NAME? 29 1-Jan-03 -P Cupón % 5% 30 1-Jan-04 5.00 € 31 1-Jan-05 5.00 € 32 1-Jan-06 105.00 € 33 34 Método 4 35 36 Precio 37 Cupón % 5% anual Año Flujo Caja 105.66 € 38 Nominal 100.00 € 0105.66 € 39 Tiempo 3 años 1 5.00 € TIR calculada 40 TIR 3% 2 5.00 € Diferencia 41 Cupón 5.00 € 3 105.00 € 42 34 BONO www.excelavanzado.com
3.000000% 0.000000% 5/3/2012
A
B
C
D
E
F
G
H
I
1
#VALUE!
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Precio de venta Se compra un bono de nominal 1.000 € en el mercado secundario el 1 de julio de 2004 por 922 €. El cupón semestral es del 5% nominal anual y el próximo pago se efectuará el 1 de enero de 2005. Se vende el bono el 1 de mayo de 2005 por un precio P, obteniéndose una rentabilidad del 5% efectivo anual. Calcular P.
Solución Nominal Fecha Compra Precio Fecha cobro 1er cupón Fecha Venta Rentabilidad obtenida % Cupón semestral nominal Cupón semestral % Cupón semestral
Fecha 7/1/2004 1/1/2005 5/1/2005
Precio de Venta 1,000.00 € 7/1/2004 922.00 € 1/1/2005 5/1/2005 5% efectivo anual 5% nominal anual 2.5% efectivo semestral 25.00 €
Flujo Caja Flujos de Caja 922.00 € 922.00 € 25.00 € 25.00 € +P 934.83 €
TIR
BONO 35
934.83 €
#NAME?
Resuelto con Solver porque al resolverlo con 'Buscar Objetivo' no se alcanzaba la precisión necesaria.
www.excelavanzado.com
5/3/2012
A
B
C
D
E
F
G
H
I
1
#VALUE!
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
Cupón Corrido Se adquiere el 17 de octubre de 2004 un Bono del Estado que cotiza a un precio excupón del 105,874% (1058,74 €). Cupón del 4,3% pagadero el 15 de junio de cada año, y con vencimiento el 15 de junio de 2007. Calcule el cupón corrido, el precio de adquisición del bono y su TIR.
Solución
Fecha adquisición Pex % Pex Nominal Cupón % Cupón Pago cupón Vencimiento
BONO 36
TIR Precio Cupón Corrido
17-Oct-04 105.874% 1,058.74 € 1,000.00 € 4.30% 43.00 € 15-Jun 15-Jun-07
#NAME? efectivo anual 1,073.35 € 14.61 €
Nº de días desde el último cupón Nº de días del periodo de cupón Total días del periodo entre cupones Cupón Corrido Precio=Pex+Cc TIR
Fecha Flujos caja 15-Jun-04 17-Oct-04 - 1,073.35 € 15-Jun-05 43.00 € 15-Jun-06 43.00 € 15-Jun-07 1,043.00 €
124 241 365 14.61 € 1,073.35 € #NAME?
La fórmula TIR.NO.PER da la TIR siempre ANUAL. Por el contrario, la fórmula TIR da la TIR referida al periodo utilizado. Si se trabaja con periodicidad mensual dará una TIR mensual, que luego tendremos que anualizar.
www.excelavanzado.com
5/3/2012
#VALUE!
Dos opciones de invesión en bonos A un inversor que dispone de 20.000 € le ofrecen dos opciones de inversión: La opción A consiste en adquirir un bono cupón cero que se amortizará por 39.343,03 € dentro de 5 años. La opción B consiste en adquirir un bono de cupón explícito C, periodicidad bimestral, recibiendo el primero transcurridos 2 años y el último al cabo de 5 años. El nominal es de 20.000 €. Si ambas opciones son financieramente equivalentes, calcular: a) La rentabilidad anual efectiva ofrecida por ambas alternativas. b) Calcular el cupón bimestral de la segunda opción. Opción A 20,000.00 € 39,343.03 €
Co C5
Opción B 824.73 € VF 39,343.03 € Diferencia - € C
VA
20,000.00 € <-- Comproboción
i i6
14.49000% 2.2809%
EjerciciosVarios.xls #VALUE!
Valoración con la ETTI En el mercado cotizan los siguientes bonos: El bono A es un Bono Cupón Cero con vencimiento a un año y TIR del 5%. El bono B es un Bono Cupón Cero a dos años y TIR del 6%. El bono C es un Bono Cupón Explícito del 3% anual a 3 años, que se adquiere por 905 € y se amortiza por el nominal que es de 1.000 €. El bono D es un Bono Cupón Cero a 4 años y TIR del 7%. Determinar la TIR de un Bono Cupón Explícito del 8% anual a 4 años.
Año 0 1 2 3 4 TIR
Bono A -28.57 € 30
Bono B -26.70 € 0 30
Bono C -905.00 € 30 30 1030
5%
6%
6.59%
Comprobación Precio Bono C
905.000000
Bono D Bono E -762.90 € -849.728678 0 0 0 0 0 1030 1000 0 7.00%
6.62%
Bono F -103.7315364 8 8 8 108 6.9008113%
ETTI 5% 6% 6.6233% 7%
Factor 0.9524 0.8900 0.8250 0.7629
Opta04P3.xls #VALUE!
Réplica del bono cupón cero a dos años En el mercado cotizan los siguientes bonos: Bono A: Es un bono cupón cero a un año cuya TIR es del 10% Bono B: Es un bono cupón explícito del 7% anual que madura a los dos años, amortizándose por el nominal y que se adquiere por un precio del 96,4045% (9.640,45 €). Calcular la TIR del Bono C que es un bono cupón cero a dos años.
Año 0 1 2 TIR
Bono A -636.36 700.00
Bono B -9,640.45 700.00 10,700.00
Bono C -9,004.09 0.00 10,700.00
10%
9.045183%
9.011437%
#VALUE!
Cálculo del precio de un bono mediante la ETTI Se sabe que la TIR de los bonos cupón cero de cierto mercado son del 2%, 3%, 4% y 5% para los plazos de 1, 2, 3 y 4 años respectivamente. Calcular el cupón que paga un bono que se amortiza a los 4 años por su nominal que es de 1.000 euros, y se adquiere por 968,09 €. Cupón Precio Diferencia Año
ETTI 0 1 2 3 4
(1+ETTI)^-t 2% 3% 4% 5%
TIR
0.98039216 0.94259591 0.88899636 0.82270247
40.00001327 968.09 0.0000010 Bono -968.09 € 40.00 40.00 40.00 1,040.00 4.897765%
#VALUE!
Rentabilidad negativa en Renta Fija Una Sra. adquiere a la par un Bono a 30 años, cupón 4% nominal anual pagadero por semestres. Transcurridos tres meses vende el Bono a un Sr. que lo mantiene hasta su vencimiento obteniendo una TIR del 4,2%. Calcular la rentabilidad obtenida por la Sra. expresada en tanto efectivo anual.
Precio TIR Sra.
98.33 € -6.507234%
LADE2005jun.xls #VALUE!
ETTI del cuarto año En el mercado secundario cotizan los siguientes bonos: A. Bono cupón cero a un año. TIR del 4% B. Bono cupón explícito a dos años. Cupón anual del 5% y TIR del 4,2%. C. Bono cupón cero a tres años, que se adquiere por 870 € y se amortiza por el nominal que es de 1.000 €. D. Bono cupón explícito a cuatro años. Cupón anual del 4,8% y precio de adquisición del 99% sobre el nominal Calcular la TIR de un bono cupón cero a cuatro años.
Año 0 1 2 3 4 TIR
Bono A (100.00) 104.00
Bono B (101.50) 5.00 105.00
Bono C (870.00) 0.00 0.00 1,000.00
Bono D (99.00) 4.80 4.80 4.80 104.80
Bono E (10,056.47) 0.00 10,920.00
4%
4.2%
4.751%
5.083%
4.205%
Precio D Diferencia
Coeficientes: -0.16847215 -0.17521104 -0.01839716 Año 0 1 2 3 4
Bono A (100.00) 104.00
Bono B (101.50) 5.00 105.00
Bono C (870.00) 0.00 0.00 1,000.00
99 0.00
3.83274149 Bono D (99.00) 4.80 4.80 4.80 104.80
Bono H -328.80 0.00 0.00 0.00 401.67 5.1316422%
ETTI 4% 4.205% 4.751% 5.1316422%
nominal que es de 1.000 €. ición del 99% sobre el nominal
Factor 0.96153846 0.92092258 0.87 0.81858957
Bono F (9,816.00) 0.00 499.20 499.20 10,899.20
Bono G (102,170,527.92) 0.00 0.00 5,451,264.00 119,019,264.00
Bono H (97,427,928,239.95) 0.00 0.00 0.00 119,019,264,000.00 5.1316422%
#VALUE!
Duración modificada Con la estructura de tipos del problema 3, calcular la duración modificada de un bono a 4 años, cupón del 4% anual.
Año
(1+ETTI)
ETTI 0 1 2 3 4
2% 3% 4% 5% TIR
-t
0.980392157 0.942595909 0.888996359 0.822702475
Bono -968.09 € 40.00 40.00 40.00 1,040.00 4.897765%
Duración Duración Dur Modifc
(1+r)^-t
Ct(1+r)^-t
Ctt(1+r)^-t
0.95330916 0.90879835 0.86636579 0.82591444
38.1323663 36.351934 34.6546316 858.951019
38.13236631 72.70386801 103.9638948 3435.804075
968.089951
3650.604205
3.77093492 años 3.77093492 años 3.5948668
<--- Método 1 <--- Método 2
#VALUE!
Variación aproximada del precio de un bono Un bono que se puede adquirir por 10.000 € experimenta una disminución en su rentabilidad de 10 puntos básicos (pipos). Determinar en términos aproximados el nuevo precio del bono sabiendo que la duración modificada del bono es 4. Precio Var. Rentab. DM
10,000.00 € -0.100% 4
Var. % Precio Nuevo P Aprox.
0.400% 10,040.00 €
#VALUE!
Uso de la ETTI En el mercado cotizan los siguientes bonos: El bono A es un Bono Cupón Cero con vencimiento a un año y TIR del 5%. El bono B es un Bono Cupón Cero a dos años y TIR del 6%. El bono C es un Bono Cupón Cero a tres años y TIR del 7%. El bono D es un Bono Cupón Explícito del 3% anual a 4 años, que se adquiere por 940 € y se amortiza por el nominal que es de 1.000 €. Determinar la TIR de un Bono Cupón Explícito del 8% anual a 4 años.
Año 0 1 2 3 4 TIR
Bono A -28.57 € 30
Bono B -26.70 € 0 30
Bono C -24.49 € 0 0 30
Bono D Bono E Bono F -940 -860.239742 -111.469297 30 0 8 30 0 8 30 0 8 1030 1030 108
5%
6%
7%
4.68%
Comprobación Precio Bono D
940.000000
ETTI 5% 6% 7% 4.6055%
Factor 0.9524 0.8900 0.8163 0.8352
4.61% 4.7818938%
Observe como se han elegido los nominales de los Bonos A, B y C para conseguir anular rápidamente los flujos de caja del Bono D, al construir el Bono E.
precio #VALUE!
Precio de un bono a 4 años conocidos otros cuatro bonos a 4 años de cupón explícito Conocemos los flujos de caja de 4 bonos de cupón explícito a 4 años (Bonos A, B, C y D). Supongamos que NO conocemos la ETTI. Nos piden calcular el precio del Bono E que es otro bono a 4 años de cupón explícito.
-0.430635758
Año
ETTI 0 1 2 3 4
5% 6% 7% 8%
Fac. Dto. 0.95238095 0.88999644 0.81629788 0.73502985 TIR Cupón
2.830368814
6.21565156
1.384615385
Bono A Bono B Bono C Bono D Bono E Objetivos -87.07780577 -100.652626 -107.440037 -90.4715 -1040.46331 4 8 10 5 90 0 4 8 10 5 90 0 4 8 10 5 90 0 104 108 110 105 1090 0 7.8921% 4.00%
7.8038% 8.00%
7.7654% 10.00%
7.8684% 5.00%
7.7842% 9.00%
PE Comprobación 1040.46331 Diferencia 0
#VALUE!
ETTI del tercer año Dado un bono cupón explícito que madura a los 3 años, paga un cupón anual del 5% percibiéndose el primero dentro de un año y se amortiza por el nominal que es de 10.000 €, se sabe que su TIR es del 6,25158745% anual. En el mercado los tipos de interés corrientes a uno, dos y tres años son respectivamente: 4,26%, 5,03% y r. Determinar r. Cupón % Nominal Cupón TIR
5% 10,000 € 500 € 6.25158745%
Año
Tipo Corriente 0 1 2 3
4.26% 5.03% 6.33%
Flujo Caja Factor Dto. -9,667 € 500 € 0.95914061 500 € 0.9065114 10,500 € 0.83182613
Con la TIR Con la ETTI Diferencia
Precio Bono 9,667.00 € 9,667.00 € -0 €
#VALUE!
Precio de un bono con prima de amortización Calcular el precio de un bono de nominal 10.000 €, que paga un cupón del 2% semestral durante 15 años, y una prima de amortización de 300 €, sabiendo que su TIR es del 4%.
Semestre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Flujos Caja (10,210.62) 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 200.00 10,500.00
Método 1 Método 2 TIR
Precio 10,210.62 € 10,210.62 € 4.00%
#VALUE!
Bono más cuenta corriente Un señor adquiere un bono por P € de duración 5 años, se amortiza por el nominal (1.000 €) y con cupones semestrales al 8% nominal anual. Todos los ingresos los deposita en el momento de recibirlos en una cuenta que remunera al 7% efectivo anual. Siendo la rentabilidad anual efectiva obtenida por sus P € durante los 5 años del 9% efectivo anual, calcular el precio del bono.
Cupón
40
Semestre 01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Saldo en C/C
Flujo Caja 954.08 € 40 40 40 40 40 40 40 40 40 1040 1,467.97 €
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Vencimiento común de varios bonos Un inversor adquiere los siguientes activos de renta fija que vencen en la misma fecha: A. Un Bono del Estado a tres años, de cupón C euros y precio 994 euros. B. Una Letra del Tesoro, con vencimiento a 18 meses y precio 940 euros C. Una Letra del Tesoro, con vencimiento a 12 meses y precio 970 euros Si la rentabilidad obtenida por el inversor es del 4%, calcular C. 39.68 €
C
Semestre 0 1 2 3 4 5 6 TIR
Bono A -994 0 39.6832109 0 39.6832109 0 1039.68321 4.1853%
Bono B 0 0 0 -940 0 0 1000 4.2113%
Bono C
TOTAL 0 -994 0 0 0 39.6832109 0 -940 -970 -930.316789 0 0 1000 3039.68321
3.0928%
4.0000%
fecha:
