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Matemática I
UNIDAD V
LA PARÁBOLA 1.
INTR INTROD ODUC UCCI CIÓN ÓN Una parábola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de una recta fija y un punto fijo que no está en ella. La recta fija se llama directriz de la parábola y el punto fijo se llama foco.
2.
PARÁBO PARÁBOLAS LAS CON VÉRTIC VÉRTICE E EN EL ORIGEN ORIGEN Veamos ahora algunos otros elementos de la parábola. Pensemos en la parábola que tiene su foco en el eje X , digamos en el punto F (p ; 0) 0) y su directriz es la recta cuya ecuación es x p , ver la Figura 1. Para que un punto P (x ; y ) pertenezca a la parábola, debe satisfacer. d (P ; F )
d
(P ; )
(*)
Sustituyen Sustituyendo do las coordenad coordenadas as de P y F , así así como como la ecua ecuaci ción ón de en las fórmulas para calcular la distancia entre dos puntos y la distancia entre un punto y una recta, obtenemos: (x
p )2
(y 0) 0 )2
x
p
12
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación y simplificando obtenemos
y2
4 px
Y
P ( x ; y )
F (p ; 0)
: x = -p
Figura 1
45
X
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Observa en la Figura 1 que la parábola pasa por el punto medio entre el foco y la directriz, dicho punto es la cúspide de la parábola se llama vértice de la parábola. La recta que une al vértice y al foco, que es perpendicular a la directriz es el eje de simetría de la parábola. Veamos ahora el caso cuando el vértice de la parábola está en el origen pero ahora el foco se encuentra en la parte negativa del eje X y la directriz es paralela al eje Y pero corta al eje X en la parte positiva de él. Ver la Figura 2 Y
P (x ; y )
X
F (-p ; 0)
: x = p
Figura 2
El foco es F ( p ;0) y la directriz es x p . Sustituyendo estos valores en la ecuación de la parábola, obtenemos ahora: (x
p )2
(y 0)
2
x
p
12
si elevamos al cuadrado y simplificamos la expresión, llegamos a: y2
4 px
Observemos entonces que el signo del coeficiente de x nos dice hacia qué lado se abre la parábola, si es positivo, se abre hacia la derecha, si es negativo se abre hacia la izquierda. Consideremos todavía otras parábolas con vértice en el origen, pero ahora con el foco colocad sobre el eje Y . Si el foco es F (0; p ) y la directriz es y obtiene: (x
0)
2
(y
46
p ,
p )2
al sustituir estos valores en (*) se
y
p
12
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que al simplificarla se transforma en: x2
4 py
Finalmente, si el foco es F (0; p ) y la directriz es y antes se obtiene: x2
p , procediendo como
4 py
Y
Y
X
F
F X
Parábolas verticales
Podemos resumir los casos de la parábola con vértice en el origen y directriz paralela a uno de los ejes cartesianos en la siguiente tabla:
Posición
Abre hacia
Ecuación
Horizontal
derecha
y2
Horizontal
izquierda
y2
Vertical
Arriba
x2
Vertical
abajo
x2
47
4 px
4 px
4 py
4 py
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BLOQUE I 1.- Encuentra el foco y la directriz de las siguientes parábolas a) y 2
8x
b) x 2
12y
c) x 2
y
d) y 2
e) y 2
24 x
g) y 2
2 x
0
f)
x2
6y
h) 3x 2
0
4 x 0
20y
0
2.- Encuentra en cada caso la ecuación de la parábola con vértice en el origen y con: a) Foco en (0;2)
b) Foco en (-½;0)
c) Foco en (4;0)
d) Foco en (0;-5)
e) Directriz x = 5
f) Directriz y = 3
g) Directriz y = -2
h) Directriz x + 2/3=0
3.- Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen, si el foco está sobre el eje Y y la parábola pasa por el punto P (2;3)
4.- Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen, que abre hacia abajo y su lado recto mide 12.
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3.
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ECUACIÓN ESTÁNDAR DE LA PARÁBOLA Veamos ahora la ecuación de una parábola que tiene su vértice en cualquier punto del plano y su eje de simetría paralelo a alguno de los ejes cartesianos. Si la parábola es horizontal y su foco es F (x 0 p ; y 0 ) , es decir su vértice es V (x 0 ; y 0 ) , y se abre hacia la derecha, la ecuación es:
(y
y 0 )2
4 p (x
x 0 )
y si la parábola se abre hacia la izquierda y su foco es F ( x 0
(y
y 0)
2
4 p ( x
p ; y 0 ) , obtenemos:
x 0 )
Si la parábola es vertical y su foco es F ( x 0 ; y 0
p ) , es decir su vértice es
V (x 0 ; y 0 ) , y se abre hacia arriba, la ecuación es:
(x
x 0 )2
4 p (y
y 0)
Finalmente, si la parábola abre hacia abajo, y su foco es F (x 0 ; y 0 obtenemos:
(x
x 0 )2
49
4 p (y y 0 )
p ) ,
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BLOQUE II 1.- Encuentra la ecuación de la parábola con los datos indicados. a) Foco F (-3;-2); vértice V (-3;-5)
b) Foco F (4;-6); vértice V (2;-6)
c) Foco F (1;4); vértice V (0;4)
d) Foco F (-5;5); vértice V (-5;8)
e) Foco F (0;-2); directriz x = 5
f) Vértice V (3;5/3); directriz y = 2
g) Foco F (5;1); directriz y + 7 = 0
h) Vértice V (3;0); directriz x – 10 = 0
2.- Encuentra la ecuación general de la recta con pendiente foco de la parábola con vértice V ( 2;2) y directriz y
1 2
m 3 que pasa por el
0
3.- En los siguientes casos determine: a) La ecuación de la parábola. b) La ecuación de la(s) recta(s). c) Los puntos de intersección de las rectas con las parábolas.
Y
Y L1
L2
(12,8)
7
4
2
3 X
-2
2
5
2
6
X
-2
4
50
7
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4.- En el siguiente caso determinar:
Y
a
a) La ecuación de la parábola. b) La ecuación de la recta.
5 . 5
c) El valor de a. 5 2K 3K
X
-3
5.- En el siguiente caso, determine:
Q
a) La ecuación de la recta.
10
b) La ecuación de la parábola.
30°
c) Los puntos de intersección.
p 0
4
8
12
6.- Un proyectil se lanza siguiendo una trayectoria parabólica calculada como y
x
0.10x
2
. Unos cuantos minutos después se lanza un antiproyectil en una
trayectoria calculada como y proyectil.
2.50 0.10x 2 diseñada para interceptar al
Trácense las trayectorias de los proyectiles y determínense las coordenadas de su punto común, gráfica y algebraicamente.
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7.- La velocidad de distribución de gas natural que fluye sin problemas en una tubería está dada por V 6.6x x 2 , donde V = velocidad en metros por segundo y x = distancia en metros desde la pared interior del tubo. a)
Trácese la gráfica de V contra x , para el intervalo positivo de V .
b)
¿Cuál es la velocidad máxima del gas?
8.- El cable de un puente suspendido se aproxima a la forma de una parábola. La distancia horizontal entre los puntos más elevados es 100m, y el punto más bajo (vértice) está a 125m por debajo de los puntos más elevados. Si el vértice se coloca sobre el eje y negativo y los puntos más altos sobre el eje x , ¿cuál es la ecuación de la parábola?
9.- Pedro desea cerrar un patio rectangular con 200pies de material para cerca. Si x = longitud, entonces (100 – x ) = ancho y el área A = x (100 – x ). a) Trácese la gráfica de A contra x e identifíquese la curva. b) ¿Cuál es el área máxima que Pedro puede cerrar?
10.- La deflexión
(mm) de una viga está dada por la ecuación: y 3x 12x 7.68 ; donde x es la distancia en metros desde uno de los extremos de la viga. y
2
a)
¿Cuál es la distancia d (m) entre los apoyos?
b)
¿Cuál es la máxima deflexión f (mm) de la viga?.
Y
d
X f
L
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11.- La función de demanda para cierta marca de videocasetes está dada por 0.01q
2
8 donde p es el precio unitario al mayoreo en dólares, y q es la cantidad demandada cada semana, en unidades de millar. Trace la curva de demanda correspondiente. ¿Arriba de cuál precio ya no habrá demanda?, ¿Cuál es la cantidad máxima demandada por semana? p
0.2q
12.- El receptor de una antena parabólica de televisión dista 3pies del vértice y se encuentra situado en su foco. Hallar una ecuación de la sección del receptor.
13.- El casquete de un faro buscador tiene un reflector parabólico que forma un “cuenco” de 12 pulgadas de extremo a extremo con una profundidad de 8 pulgadas, como se ve en la figura. Si el filamento del bulbo está en el foco del reflector, ¿a qué distancia del vértice del reflector se encuentra?
Encontrar: a)
La distancia focal.
b)
Deduzca una ecuación de la parábola.
c)
La ecuación de la recta directriz.
d)
¿A qué altura la parábola tiene un diámetro 8 pulgadas?
14.- La figura muestra el puente George Washington en New York cuyo cable de suspensión tiene forma parabólica. De acuerdo a datos brindados en la figura encuentre:
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a)
El vértice de la parábola.
b)
La ecuación de la parábola.
c)
La posición del foco.
MISCELÁNEA 1.- Demostrar
que el cuadrilátero cuyos A (6; 2), B ( 2; 1),C ( 1;3), D ( 5;2) es un rombo.
2.- Dados los puntos
vértices
son
M (2;2), N (5; 2) , hallar en el eje de abscisas un punto P de
modo que el ángulo MPN sea recto.
3.- Los puntos A (2;5), B (1; 1),C (7;1) y D son los vértices de un paralelogramo, tal que BD es una diagonal. Si M divide a AB en la razón ½ y N es punto medio de BC , hallar el punto T que es intersección de MC y DN .
4.- Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°. La recta de menor inclinación pasa por P (2;1),Q (9;7) y la recta A (3;9), B (2; y ) . Hallar la ordenada de B .
de
mayor
inclinación
pasa
por
5.- Dados dos vértices opuestos de un cuadrado A (2;2),C (5;3) . Hallar los otros dos vértices.
6.- Dos de los vértices de un paralelogramo ABCD son los puntos A (2;1) y B (5;-3). Hallar los otros vértices C y D (x 1 ; y 1 ) sabiendo que el punto de intersección de sus diagonales está en el eje de ordenadas y que se cumple 4 x 1 3y 1 28 .
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7.- Los vértices de un cuadrilátero son
A (2;4),B (4;6),C (8;2),D (4; 2) . Hallar
d (P ;Q ) donde P divide a la diagonal BD en la razón 3 y Q divide a la diagonal AC en la razón 2/5.
8.- Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son los puntos
A (2;4), B (0;6) .
Hallar los otros dos vértices sabiendo que las diagonales se bisecan en el eje Y y que el área del paralelogramo es 16u2. Sugerencia: El paralelogramo se divide en dos triángulos cuyo lado común está en el eje Y. Calcular cada área como la mitad de la base por la altura.
9.-
P (2;10 /3),Q (5;19 / 3),R (5;7 / 3) son los (primeros) puntos de trisección de los
segmentos AB , BC y CA respectivamente. Determine A , B , C , el baricentro y el área del triángulo ABC .
10.- Para O (0;0) se tiene un triángulo ABO , recto en B . Si (2;-1) es el punto de la hipotenusa OA que divide a ésta en la razón 2/3 y OB es el cateto contenido en la recta que pasa por (2;1). Hallar las coordenadas de los puntos A y B .
11.- En el triángulo ABC , A (2;1), el lado AB mide 5 y es paralelo a la recta 3x 4y 10 , el lado AC mide 12 y forma con el lado AB un ángulo cuya tangente es 33/56. Si B se encuentra a la derecha de A y C encima de A y B , determine los vértices B y C y las tangentes de los otros ángulos.
12.- La recta H: 3x 5y 4 0 contiene a la altura AM de un triángulo rectángulo isósceles ABC relativa al vértice A (-3;-1), siendo BC el lado desigual. Hallar las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados del triángulo, si AM = 34
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13.- Dadas las rectas: L1 : x
y 2
0 , L2 : x
y 5
0 , L3 : x
y 5
0
Determinar la ecuación de la recta paralela a L 3 de modo que las cuatro rectas limiten un rectángulo de área 32u2.
14.- Un vértice de un rectángulo está en el punto (6;1); sus diagonales se intersecan en (2;4) y uno de sus lados tiene pendiente –2. Determinar los otros dos vértices.
15.- Una parábola con vértice en el origen de coordenadas tiene como foco el punto (0;2). a) Determinar la ecuación de su directriz. b) Determinar la ecuación de dicha parábola.
16.- Hallar la ecuación de la parábola que tenga por foco F (-5/3;0) y directriz la recta L : 3x 5 0
17.- Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el origen sabiendo que es simétrica respecto al eje Y , y que pasa por el punto D (4;-8)
18.- Hallar la ecuación de la parábola que tiene el vértice en V (-2;1) y cuyos extremos del lado recto son (0;0) y (-4;0).
19.- Hallar la ecuación de la parábola de eje horizontal, con foco en F (-2;3) y vértice sobre la recta L : 5x
2y
4.
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20.- El eje de una parábola es mediatriz del segmento MN donde M (-7;7) y N (9;7) son puntos de dicha parábola. Si la ecuación de la directriz de la parábola es y = -3, hallar: a) la ecuación de la parábola, si la ordenada del foco es menor que 3.
b) La longitud del lado recto y las coordenadas del foco.
21.- En la figura se muestran 2 resortes de longitud inicial 3pulg. La relación entre la fuerza aplicada y la deformación de un resorte es F
K
d
.
a) Halle las ecuaciones para I y II.
b) Si se cuelga en el resorte I un peso de 0,5N y en el resorte II un peso de 0,4N, ¿cuál es la distancia L(cm) que separa a ambos resortes?
F (N)
I
II
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5
0,5 N
0,4 0,3 0,2 0,1
d (cm) 1
2
3
4
5
6
7
8
9
L
0,4 N
10
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22.- Determine el valor de x. Y
42
x
25
(35;14)
53°
X
-10
23.- Determine las coordenadas de los puntos R y S. Y
12 9
S
R
-12
-6
3
6
X
24.- La resistencia de 1 000 pies de alambre de cobre N° 14 a 20°C es 2.6 , a 75°C es 3.1 . la resistencia R es función lineal de la temperatura t dada por R = R 0 + at, donde R 0 es la resistencia a 0°C y a es una constante. Obténgase R y a, para el alambre, tomando en cuenta los datos previos.
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25.- La fuerza F (en libras) ejercida sobre un resorte es una función lineal de la distancia x que el resorte se estira: F = kx (k = constante). Si k = 1.5 lb/pies para un cierto resorte, trácese la gráfica de F contra x variando desde x = 0pies hasta x = 6pies.
26.- El peso “normal” de una persona es una función lineal de su estatura. El peso está dado aproximadamente por la fórmula W = 0.97H – 100, cuando W se expresa en kilogramos y H en centímetros. Grafíquese W contra H , desde H = 150cm (4pies 11pulg) hasta H = 200cm (6pies 7 pulg).
27.- A partir de la siguiente figura:
F
a) Determine las ecuaciones que relacionan a las variables F y d de los gráficos 1 y 2. b) ¿Para qué valor de d, la distancia vertical entre los gráficos 1 y 2 es 5?
GRÁFICO 1
5
4 GRÁFICO 2 32.0° d a
15
28.- A partir de la siguiente gráfica indique el valor de la máxima tensión: U (voltios) R
15
85 7
12
40
60° -20 (75,-20)
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t (s)
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29.- La temperatura de congelación del agua es 0°C (o 32°F). La temperatura de ebullición es de 100°C (o 212°F). Utilice esta información para encontrar una relación lineal entre la temperatura en °F y la temperatura en °C. ¿Qué incremento de temperatura en °F corresponde a un incremento de temperatura de 1°C?
60
