UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
INFORME DE LABORATORIO N°3 DINAMICA DE ROTACION DOCENTE: Ing. José Venegas Romero INTEGRANTES: Apellidos y nombres:
Firma
Rosso Ramos Luis Enrique Carbajal D!ila "anuel André
CURSO: F#si$a I %"&''() SECCIÓN: *C+ FECHA DE PRESENTACIÓN: ( de no!iembre de ',-
ÍNDICE
1. #. 3. 0. -. 4. . 7. 5.
Resue!""""""""""""""""""""""""""""...".3 A!$e%e&e!$e e'(e)*e!$+,"""""""""""""""""""""".Fu!&+e!$ $e/)*%""""""""""."""""""""""""".1# M+$e)*+,es e2u*(s""""""""""""""""""""""....."1P)%e&**e!$ )esu,$+&s"""""""""""""""""""""1 Resu,$+&s"""""".""""""""""""""""""""""..15 C!%,us*!es"""""""""""""""""""""""""""..36 Re%e!&+%*!es"""""""""""""""""""""""...."36 Re8e)e!%*+s 9*9,*);8*%+s"""""""""""""""""""""..31
1. RESUMEN R$+%*/! es el mo!imien/o de $ambio de orien/a$i0n de un $uerpo o un sis/ema de re1eren$ia de 1orma que una l#nea %llamada eje de rotación) o un pun/o permane$e 1ijo. La ro/a$i0n de un $uerpo se represen/a median/e un operador que a1e$/a a un $onjun/o de pun/os o !e$/ores. El mo!imien/o ro/a/orio se represen/a median/e el !e$/or !elo$idad angular 2 que es un !e$/or de $ar$/er desli3an/e y si/uado sobre el eje de ro/a$i0n. Cuando el eje pasa por el $en/ro de masa o de gra!edad se di$e que el $uerpo 4gira sobre s# mismo5.
2
La ro/a$i0n /ambién puede ser os$ila/oria2 $omo en un péndulo % izquierda). Los giros son $omple/os s0lo $uando la energ#a es lo su1i$ien/emen/e al/a % derecha). El gr1i$o superior mues/ra la /raye$/oria en el espa$io 1asi$o. En ingenier#a me$ni$a2 se llama )e<,u%*/! a una ro/a$i0n $omple/a de una pie3a sobre su eje %$omo en la unidad de revoluciones por minuto )2 mien/ras que en as/ronom#a se usa es/a misma palabra para re1erirse al mo!imien/o orbi/al de /rasla$i0n de un $uerpo alrededor de o/ro %$omo los plane/as alrededor del 6ol). En as/ronom#a es 7abi/ual dis/inguir en/re el mo!imien/o de ro/a$i0n y el de re!olu$i0n $on los siguien/es sen/idos: •
La )$+%*/! de un $uerpo alrededor de un eje %e8/erior o in/erior al $uerpo) $orresponde a un mo!imien/o en el que los dis/in/os pun/os del $uerpo presen/an !elo$idades que son propor$ionales a su dis/an$ia al eje. Los pun/os del $uerpo si/uados sobre el eje %en el $aso de que és/e sea in/erior al $uerpo) permane$en en reposo.
•
La orien/a$i0n del $uerpo en el espa$io $ambia $on/inuamen/e duran/e la /rasla$i0n.
•
9n ejemplo de ro/a$i0n es el de la ierra alrededor de su propio eje de ro/a$i0n2 $on un per#odo de ro/a$i0n de un d#a sidéreo.
•
La )e<,u%*/! de una par/#$ula o de un $uerpo e8/enso $orresponde a un mo!imien/o de /rasla$i0n del $uerpo alrededor de o/ro.
•
9n ejemplo de re!olu$i0n es el de la ierra alrededor del 6ol2 $on un periodo de re!olu$i0n de un a;o.
P+,+9)+s %,+
3
MOVIMIENTO DE ROTACION
#. ANTECEDENTE E=PERIMENTAL
4
El siguien/e an/e$eden/e 1ue reali3ado /ambién en las ins/ala$iones de la 9ni!ersidad
rgi$a. I!$)&u%%*/! El proye$/o de labora/orio es reali3ado por la 1al/a de $ono$imien/o e8perimen/al sobre el mo!imien/o de ro/a$i0n? $ono$iendo de es/a solo la par/e /e0ri$a. 6iendo es/e labora/orio de suma impor/an$ia para la $omprensi0n de o/ros labora/orios $omo DI<@"ICA. Las /é$ni$as empleadas para es/e 1in 7an sido es/udiadas en $lase $omo en labora/orios an/eriores2 /ales $omo: opera$iones !e$/oriales2 deri!adas y los $on$ep/os para gra1i$ar ade$uadamen/e la $ur!a de $alibra$i0n del resor/e. O9>e$*< bser!ar el mo!imien/o de rodadura de una rueda de "a8Bell y a par/ir de las medi$iones e1e$/uadas de/erminar el momen/o de iner$ia de la rueda $on respe$/o al eje perpendi$ular que pasa por su $en/ro de gra!edad. E2u*( •
9n par de rieles paralelos %$omo plano in$linado)
•
9na rueda de "a8Bell
•
9n $ron0me/ro digi/al
•
9n pie de rey
•
9na regla milime/rada
•
9na balan3a
•
9n ni!el
Figura -. 6is/ema armado para el e8perimen/o
Fu!&+e!$ Te/)*% 5
a) Conser!a$i0n de la energ#a me$ni$a. b) Des$omposi$i0n de la energ#a $iné/i$a en energ#a de /rasla$i0n y energ#a de ro/a$i0n. La rueda "a8Bell $ons/a de un aro de radio R y de un eje $il#ndri$o $on$én/ri$o de radio r %rR). Al dejar al eje sobre los rieles el sis/ema e8perimen/ara un mo!imien/o de rodadura. En la 1igura - se mues/ra una rueda de "a8Bell en dos posi$iones su mo!imien/o. =, y = son las posi$iones del $en/ro de gra!edad de la rueda en los pun/os ms al/o y ms bajo de la /raye$/oria. Figura '. 6is/ema esquema/i3ado del e8perimen/o
or el prin$ipio de $onser!a$i0n de energ#a:
E%,) EC%,) G E%) EC%) H1ri$$i0n
%-'.-)
6i en =, la rueda par/e del reposo
"g7, G "g7 EC%) H1ri$$i0n
%-'.')
Las pérdidas por 1ri$$i0n2 H 1ri$$i0n2 se deben a la 1ri$$i0n por despla3amien/o %$alor perdido por ro3amien/o) y a la 1ri$$i0n por rodadura %$alor produ$ido por la de1orma$i0n de las super1i$ies en $on/a$/o). Las pérdidas por rodadura son despre$iables en el $aso de $uerpos r#gidos. 6i a7ora e!i/amos el desli3amien/o %pa/inaje) podemos suponer que las pérdidas por 1ri$$i0n son insigni1i$an/es. El mo!imien/o de rodadura puede ser $onsiderado $omo un $onjun/o $on/inuo de ro/a$iones su$esi!as $on !elo$idad angular A es la !elo$idad angular alrededor de A i y r es la dis/an$ia de = a A i %radio del eje $il#ndri$o). /ra manera de !isuali3ar el mo!imien/o de rodadura2 qui3s ms na/ural2 es $onsiderada $omo la $omposi$i0n de una /rasla$i0n del $en/ro de masa =2 ms una ro/a$i0n simul/nea2 $on !elo$idad angular = alrededor de =. 6e puede demos/rar que A G = %!eri1#quelo) omando el segundo pun/o de !is/a2 la energ#a $iné/i$a $ons/a de dos par/es:
ECGECECR
%-'.()
Donde EC signi1i$a energ#a $iné/i$a de /rasla$i0n y ECR energ#a $iné/i$a de ro/a$i0n 6
EC =
1 2
2
M V G+
1 2
2
IG ω
%-'.)
Donde V= es la !elo$idad del $en/ro de masa2 I= es el momen/o de iner$ia respe$/o al eje de ro/a$i0n que pasa por = %que en es/e $aso es el de sime/r#a). ero V = G V A G r2 en/on$es: 1
2
1
2
Mgh0= Mgh4 + MV G + I G V G / r 2
2
2
%-'.)
De es/a e8presi0n podemos $al$ular I = si $ono$iéramos V =. 6e obser!ara en es/e e8perimen/o que el mo!imien/o de /rasla$i0n /an/o del $en/ro de gra!edad $omo el eje ins/an/neo de ro/a$i0n es uni1ormemen/e a$elerado. endremos por lo /an/o: 1
2
X = a t ,V =at : esdecir V =2 x / t 2
7
%-'.)
P)%e&**e!$
-. 9sando el ni!el de burbuja2 ni!ele el plano que sir!e de sopor/e a los rieles. '. "arque en los rieles los pun/os A ,2 A-2 A'2 A2 separados unos -, $m en/re s#. (. "ida $on el pie de rey el dim e/ro del eje $il #ndri$o que se apoy a sobre los rieles. enga en $uen/a que el eje 7a su1rido desgas/e desigual. . Fije la in$ lina$i0n de los rieles de manera que la rue da e8perimen/e un mo!imien/o de rodadura pura %sin pa/inaje). . Coloque la ru eda en re poso en la pos i$i0n A ,2 suél/ela y simul/neamen/e $omien$e a medir el /iempo %es de$ir2 /, G ,)? mida los in/er!alos de /iempo / -2 /'2 /(2 / $orrespondien/es a los /ramos A ,A-2 A,A'2 A,A(2 A,A2 respe$/i!amen/e2 ome /res medi$iones para /-2 /'2 /( y die3 medi$iones para / . . "ida la masa de la !olan/e y la di1eren$ia de las al/uras en/re las posi$iones = , y =. K. "odi1ique la in$lina$i0n de los rieles %/eniendo $uidado de e!i/ar el desli3amien/o de la rueda) y mida ( !e$es /
y la nue!a di1eren$ia de al/uras
en/re =, y =. . "ida los radios2 espesores y longi/udes de la rueda de "a8Bell y su eje %$omo para $al$ular su !olumen). M. 6uspenda la rue da de "a8Bell de su bord e in/erior y mida el per iodo de su os$ila$i0n alrededor de un eje paralelo a su eje de sime/r#a. %Es/os da/os debe guardarlos para el siguien/e e8perimen/o).
8
CÁLCULOS ? RESULTADOS -. Considerando los /iempos promedios para / -2 / '2 / ( y /2 gra1ique los pun/os %,2,)2 %/-2 A,A-)2N %/2 A,A). OEs el mo!imien/o de /rasla$i0n uni1ormemen/e a$eleradoP
//' /( /
/%s) .MKK . -,.('(( --.(
d%m) ,.,.' ,.( ,.
x vs t 0.45 0.4 0.35 f(x) = 0x^2 - 0x + 0 0.3 0.25 x (m) 0.2 0.15 0.1 0.1 0.05 0 0 0 2 4 6
0.4 0.3 0.2
8
10
12
14
t (s)
Figura (. Apro8ima$i0n lineal de la posi$i0n !s /iempo Como la 1un$i0n es una 1un$i0n $uadr/i$a2 su deri!ada de segunda orden ser $ons/an/e2 la $ual es la a$elera$i0n de /rasla$i0n del $en/ro de masa.
abla -. Da/os 82 / 9
'. =ra1ique /ambién d !s / '
x vs t2 0.5
0.4
0.4
f(x) = 0x
0.3
0.3
x (m) 0.2
0.2
0.1 0 0
0
0.1 20
40
60
80
100
120
140
160
t2 (s2)
Figura . Apro8ima$i0n lineal posi$i0n !s /iempoQ (. 6uponiendo que la a$elera$i0n de /rasla$i0n es $ons/an/e y apli$ando la des!ia$i0n s/andard y propaga$i0n de errores2 $al$ular. a) La a$elera$i0n del $en/ro de masa a =. 2
aG =
d x = 0.00574( m2 ) 2 dt s
b) La !elo$idad de /rasla$i0n2 V 2 del $en/ro de masa en posi$i0n = . V 4=
dx m =0.00574 (11.638) ≈ 0.0668 ( ) dt s
$) La !elo$idad angular de la rueda en el ins/an/e / . El radio de la rueda es de ,.,( m2 por lo /an/o: V4 rad ω 4= R ≈ 1.0604 s
( )
d) El momen/o de iner$ia de la !olan/e2 usando la e$ua$i0n %-'.) " G ,.('' g R G ,.,,( m g G M.mSs' V G ,.,,K%/) mSs 8 G ,.,,'K%/') m 10
ara el ∆ h es/e:
se $omprueba que2 por la longi/ud del riel y la al/ura de
∆ h 6.55 131 = = x 61.5 1230 2
I =M R (
2g
( ∆ h)
V
2
−1 )
−3 −6 5.99718 10
→ I =3.0798∗10 (
∴I
∗
( 0.00574 t )
=5.57510803∗10− Kg .m 4
2
(t ) 2
− 1)
2
e) OCules son las medi$iones que in/rodu$en mayor in$er/idumbre en el $l$ulo del momen/o de iner$iaP Las medi$iones de las dimensiones del dis$o $on el pie de rey2 la rela$i0n en/re el
∆hy x
y la diminu/a2 pero no nula pérdida de
energ#a por 1ri$$i0n. 1) OC0mo in1luye la longi/ud del re$orrido sobre el !alor de IP 6e puede apre$iar que a /ra!és de la apro8ima$i0n de la 1un$i0n !elo$idad y posi$i0n2 el momen/o de iner$ia es $ons/an/e. g) OC0mo in1luye la in$lina$i0n de los rieles sobre el !alor de IP A mayor pendien/e del plano in$linado de los rieles2 7abr mayor momen/o de iner$ia del !olan/e.
7) Cal$ule el momen/o de iner$ia a par/ir de la de1ini$i0n:
∫
I = ( dm ) r
2
y
las medi$iones geomé/ri$as e1e$/uadas sobre la rueda y el eje $il#ndri$o. Compare $on %d). Aproximado !a prorci"de masas de ac#erdo a !a $ig#ra : 1
2
I = M1 R +6 2
(
1 3
)
1
M 2 % + M 3 ( R 1+ R 2 ) 2
2
2
2
11
1 2
( 0.01711) ( 0.016 ) + 6 2
−4
(
1 3
)
( 0.085555 ) ( 0.052 ) + 1 ( 0.023954) ( ( 0.052 ) + ( 0.0063 )
I =4.97732695∗10 Kg .m
2
2
2
2
)
2
Figura . Dimensiones del eje de la rueda Figura . Dimensiones de la rueda
3. FUNDAMENTO TEORICO 6E=T< RI
EC2 G W m !$'
NNNNNNNNNNNN.. %-)
Donde !$ es la !elo$idad lineal del $en/ro de masa. 12
or o/ra par/e la energ#a $iné/i$a de ro/a$i0n de los $uerpos r#gidos se e8presa por:
EC2R G W I B'
NNNNNNNNNNNN... %')
Donde &e *!e)%*+ )@*& $on respe$/o a un eje de ro/a$i0nI es y Be,sue!$ la !elo$idad angular&e, $on%ue)( respe$/o al mismo eje .
DETERMINACIÓN TEÓRICA DEL MOMENTO DE INERCIA El "omen/o de Iner$iaI de un $uerpo respe$/o a un eje de ro/a$i0n se de1ine por:
I G ∫r' dm
NNNNNNNNNNNNN%()
Donde r es la dis/an$ia de un di1eren$ial de masa Xm al eje de ro/a$i0n. Eje de ro/a$i0n
r
Xm
FI=9RA K. ""E< DE I
"omen/odeIner$ia
I
Cuerpo "GR'S'
Dis$o
ubo Cil#ndri$o
"G%R
abla '. "omen/os iner$iales de $uerpos $ono$idos
13
'
'
R-')S'
UNIDADES En el sis/ema in/erna$ional 6I las unidades para el momen/o de iner$ia son: g.m'
DETERMINACIÓN E=PERIMENTAL DEL MOMENTO DE INERCIA ara ob/ener el momen/o de iner$ia de un $uerpo en 1orma e8perimen/al2 permi/iremos que es/e ruede sin resbalar por un plano in$linado. Adems2 debemos /ener en $uen/a los siguien/es $onsidera$iones: a) La $onser!a$i0n de la energ#a me$ni$a. b) Los $on$ep/os de energ#a $iné/i$a de ro/a$i0n y de /rasla$i0n. $) El despla3amien/o del $uerpo debe ser s0lo por rodadura sin desli3amien/o. La posi$i0n del $uerpo es/a represen/ada por la posi$i0n de su $en/ro de masa Z=Z.
Fig. . Diagrama del sis/ema ro/a$ional
6i el $uerpo pasa de la posi$i0n =o a la posi$i0n = 2 /endremos por el eorema /rabajo[energ#a:
%Ep E$)o G %Ep E$) H1ri$i0n
Donde H1ri$i0n se re1iere al /rabajo reali3ado por 1uer3as las e8/ernas? en nues/ro $aso debido a la 1uer3a de 1ri$$i0n. 14
En el $aso que el $uerpo par/a del reposo en = reali3ado por la 1ri$$i0n es/ar dado por:
mg7o G mg7 E$ H1
o
/endremos que el /rabajo
NNNNNNNNNN.
%)
ara es$ribir es/a e$ua$i0n 7emos /enido en $uen/a el esquema de la1igura -. La e$ua$i0n %) represen/a la pérdida de energ#a me$ni$a por ro3amien/o. A7ora2 si /enemos en $uen/a las $ondi$iones e8igidas para es/e e8perimen/o2 /endremos H1 G ,2 es de$ir2 $omo la rueda no resbala podemos asumir que la pérdida de energ#a me$ni$a por 1ri$$i0n es despre$iable. Adems2 la ausen$ia de desli3amien/o signi1i$a que el pun/o de $on/a$/o del eje juega el papel del $en/ro ins/an/neo de ro/a$i0n de modo que:
!= G = r
NNNNNNNNNNNNN.
%)
Donde != es la !elo$idad lineal del $uerpo en alguna posi$i0n =2 mien/ras que= represen/a la !elo$idad angular del $uerpo en la misma posi$i0n = respe$/o a su eje de sime/r#a o de ro/a$i0n? y r el radio del eje de giro. Luego2 /eniendo en $uen/a las e$ua$iones %-)2 %')2 %) y %) se ob/iene la siguien/e e$ua$i0n:
mg7o [ mg7 G W m!' W I=!'Sr'
NNNNNNN..
%)
Es de$ir2 si $ono$emos la !elo$idad del $uerpo en el pun/o %! ) pr$/i$amen/e es/ar#a de/erminado el momen/o de iner$ia %I=) del $uerpo $on respe$/o al eje de sime/r#a.
MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO Considerando que el mo!imien/o del $en/ro de masa del $uerpo es uni1ormemen/e a$elerado %!er pregun/a del $ues/ionario) y que par/e del reposo2 /endremos las siguien/es e$ua$iones que permi/en de/erminar dire$/amen/e ! del e8perimen/o: 15
8 G W a/'
Despla3amien/o: Velo$idadins/an/nea:
!Ga/
Donde 8 es la dis/an$ia re$orrida y a la a$elera$i0n del mo!imien/o. Combinando las e$ua$iones /endremos la !elo$idad del $uerpo: ! G '8S/
NNNNNNNNNNNN %K)
0. EUIPOS ? MATERIALES
Rueda de Maxwell
Soporte con dos varillas paralelas
FI=. M.- R9EDA DE "A\HELL
FI=. M.' 6RE C< ' VARILLA6
Regla graduada de 1 metro en milímetros
Tablero de MAPRESA con Tornillos de nivelación
16
FI=. M.( RE=LA =RAD9ADA
FI=. M. A&LER DE "ARE6A
Cronómetro
ivel
FI=. M.
FI=. M. CR<"ER
!alan"a
PideRee#
Fig. M.K &alan3a
Fig. M. ie de Rey
-. PROCEDIMIENTO Al re$oger los ma/eriales $on los $uales se /rabajaran2 se pro$ede a a$oplar las varillas sobre el tablero de MAPRESA 2 luego2 se u/ili3an los /ornillos de abajo para poder ni!elar el /ablero. 6e debe asegurar que la volante %Rueda de Maxwell) no se es$ape para los $os/ados2 para es/o se regula $on el uso del nivel el $ual indi$a si el tablero es/a debidamen/e alineado. As# es la manera de llegar al per1e$/o balan$e del tablero.
17
Fig. -,.
Figura --. 6is/ema Ro/a$ional An/es de pasar a la segunda par/e de la e8perien$ia2 se debe medir la al/ura del pun/o A, $on respe$/o al tablero de MAPRESA2 /ambién la del pun/o A. 6e /oma ese lugar $omo re1eren$ia2 debido que el /ablero 7a sido ni!elado $on respe$/o a la mesa. La medida del peso de la !olan/e /ambién debe ser /omado2 para es/o se u/ili3a la balanza.
18
ara la segunda e8perien$ia2 se modi1i$a la in$lina$i0n de las varillas2 de /al manera que /enga mayor pendien/e. En es/e $aso2 se !uel!en a /omar medidas de /iempo2 pero solo desde A, 7as/a A2 y solo ( repe/i$iones. or o/ro lado2 las al/uras de los pun/os son /ambién medidas2 y ano/adas.
Finalmen/e2 se indi$a /omar las dimensiones de la rueda de Maxwell de /al manera que luego2 se pueda $al$ular el momen/o de iner$ia de /oda la !olan/e. ara es/o2 se u/ili3a el vernier2 el $ual es un ins/rumen/o de medi$i0n pre$iso para peque;as medidas. As# es $omo se es/udia /ambién el dime/ro del eje $il#ndri$o que se apoya sobre las rieles.
Adems2 de la mayor $an/idad de !alores de la rueda. or ejemplo2 se $onsidera la rueda e8/erna2 la rueda in/erna2 las barras que se en$uen/ran en/re ambas ruedas y el eje $il#ndri$o del medio. Es/as se$$iones2 1orman la rueda de Maxwell.
4. RESULTADOS DATOS OBTENIDOS Masa
de la volante!"# de la Rueda de Maxwell
$imensiones
19
Me&*&+s &e ,+ Rue&+ &e M+'e,,
1. grosor
12.c7m
10.55
2.66 cm
FI=9RA-'. DI"E<6I
#.
0.675 0.33 cm 3.95 cm
FI=9RA -'.-. EJE DE LA R9EDA
3.
2.8 cm
2.635 cm grosor 20
FI=9RA -'.' EJE - DE LA R9EDA DE "A\HELL
0.
2.2cm
2. cm grosor
FI=9RA -'.( EJE ' DELA R9EDA DE "A\HELL -.
0.315 cm 15.240 cm
/- %s) /' %s) /( %s) / %s) / %s) / %s) /K %s) / %s) /M %s)
/-, %s)
R"EDI
A,A-
2,
2,
2KK
2MM
2K'
2K'
2
2K'
2-K
2K'
2(
A,A'
K2'M
K2'
K2--
K2'
K2,'
2MK
2KM
K2,'
K2
K2,
K2-
A,A(
M2,
M2''
2'
M
2
2KK
2M
2KK
M2(-
2K(
2M--
A,A -,2( -,2K- -,2( -,2 -,2( -,2( -,2, -,2( -,2M
-,2(
-,2(
FI=9RA -'. EJE
( DE LA R9EDA DE "A\HELL
%) &onsiderando los tie mpos promedios pata t %' t(' t' * t!' +ra,ique los puntos -.'.)' -t%'A.A%)'/ -t!'A.A!)0 1Es el movimiento de traslación uni,ormemente acelerado2
/ promedio %s)
\ osi$i0 %m.) n
2(
,2-
A,A-
K2-
,2'
A,A'
2M--
,2(
A,A(
21
-,2(
,2
A,A
abla (. Da/os 8 !s /
X (m) 0.5 0.4 f(x) = 0.05x - 0.17 R² = 0.99
0.3 0.2 0.1 0
4
5
6
7
8
9
10
Tiempo(s) X(cm)
Polynomil(X(cm))
!in" # (X (cm))
Figura -(. Apro8ima$i0n lineal de 8 !s /
22
11
() 3ra,ique tambi4n d vs0 t (
Los !alores 7allados para 1ormar la $ur!a de 8 !s. / m2 son los siguien/es: \
/'%s)
%m.) ,2-
'(2,
A,A-
,2'
-2,M
A,A'
,2(
KM2,
A,A(
,2
-,2
A,A
osi$i0n
X(m) 0.45 0.4 f(x) = 0x + 0.02 R² = 1
0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0
0
20
40
60
80
100
120
t2(s)
5abla !0 $atos x vs tQ
6i+ura %!0 Aproximación de x vs tQ
23
) Suponiendo que la aceleración de traslación es constante * aplicando la desviación Standard * propa+ación de errores' calcular a) 7a aceleración del centro de masa A30
6e $ono$e que la a$elera$i0n es la segunda deri!ada de la /raye$/oria2 por lo /an/o2 al momen/o de e1e$/uar la deri!ada de la 10rmula 7allada al momen/o de ajus/ar la $ur!a2 se puede 1$ilmen/e demos/rar $ual es la a$elera$i0n del $en/ro de masa A=. Es/a es la e8presi0n represen/ada por medio de la deri!ada: A( t )
=
∂2x ∂t 2
Al momen/o de anali3ar es/e resul/ado2 se 7alla lo siguien/e:
2
A( t ) =
2
∂ (0.174t + 0.168t + 0.135) dt
2
or lo /an/o2 la a$elera$i0n ser igual a: A(t ) = 0.348
cm s2
b) 7a velocidad de traslación' 8 !' del centro de masa en posición 3!0
6e $ono$e que la !elo$idad es la primera deri!ada de la /raye$/oria2 por lo /an/o2 al momen/o de deri!ar la 10rmula 7allada en la e8presi0n se en$uen/ra la !elo$idad del $en/ro de masa en la posi$i0n V. La e8presi0n represen/ada por medio de la deri!ada es: V( t ) =
∂x ∂t
Al momen/o de anali3ar es/e resul/ado2 se 7alla lo siguien/e: 2
V( t ) =
∂ (0.174t + 0.168t + 0.135)
0.348t + 0.168
∂t
9
or lo /an/o2 la a$elera$i0n ser igual a:
24
V( t ) = (0.348t + 0.168)
cm s
[' El !alor de / es de -.( seg. y $omo ]/ G ^,. _%/)2 _%/) G -, seg. G ^,.,, seg.
]/
or lo /an/o2 la e$ua$i0n es 1orma de la siguien/e manera: V4 = (0.348(14.53 ± 0.005) + 0.168)
V4 = (5.22444 ± 0.00174)
cm s
cm s
c) 7a velocidad an+ular de la rueda en el instante!t0
6e $ono$e que !=
G =`r ^ ] !=
or lo /an/o2 de los da/os en$on/rados pre!iamen/e 7allados2 se $ono$e que el radio de la !arilla es: r G %,.(-K ^ ,.,') $m Adems se $ono$e de la par/e %b)2 de es/a pregun/a2 que la !elo$idad de V= es: V= G %.'' ^ ,.,,-K) $mSs Al momen/o de a$omodar la 10rmula pre!iamen/e es/able$ida2 se en$uen/ra que la !elo$idad angular %)2 es igual a:
ω=
V4 r
=
(5.22444 ± 0.00174) rad (0.3175 ± 0.025)
ω = (16.455 ± 1.301)
s
rad s
d) El momento de inercia de la volante' usando la ecuación :0
mg7o [ mg7 G W m!' W I=!'Sr' Como se desea 7allar el momen/o de iner$ia de la !olan/e2 se debe poner a /oda la e$ua$i0n en /érminos de =I . or lo /an/o2 la 10rmula se 7alla as#: 25
IG
=
2
M VG
2
⋅r
2
1 2 ( g ⋅ h0 − g ⋅ h4 − VG ) 2
Los !alores $ono$idos pre!iamen/e2 son los siguien/es: + 9 ;0#% m
Resol!iendo $on los da/os ob/enidos2 se llega a lo siguien/e: 2(0.4784) ⋅ 0.00001008 ⋅ (0.40221 − 0 − 0.001364738) 0 . 002729477
IG =
I G = [ 0.003533476 ] ⋅ (0.400845261)
I 4 ≈ (0.001416377 ± 0.00003305821)
kg m2
e) 1&u>les son las mediciones que introducen ma*or incertidumbre en el c>lculo del momento de inercia2
Algunos de los 1a$/ores que in/rodu$en mayor n>mero de in$er/idumbre en las medi$iones son: la desigualdad de los rieles sobre las $uales la rueda de "a8Bell se desli3a2 $reando un $ambio en los di1eren/es /ramos. Adems2 las medidas /omadas $on el pie de rey2 a pesar de ser un ins/rumen/o de gran e8a$/i/ud2 se pueden $ome/er errores. or o/ro lado2 las medi$iones que se pueden dar son la medi$i0n del /iempo $on el $ronome/ro el $ual nun$a es e8a$/o pues depende de la rea$$i0n 7umana. Al momen/o de e1e$/uar los $l$ulos del $en/ro de masa2 el medidor se puede equi!o$ar porque las medidas son muy peque;as. or ms que los in!es/igadores deseen apro8imar las $ondi$iones lo mayormen/e posible a $ondi$iones per1e$/as2 la 1ri$$i0n es una 1uer3a que no se puede menospre$iar en e8perimen/os de labora/orio. or lo /an/o2 se pierde energ#a a /ra!és del desli3amien/o de la rueda de "a8Bell. b!iamen/e2 se asume $omo pero $omo men$iona2 es/o /an soloy en un $aso ideal2 $ual nodespre$iable2 se da en la realidad. Essems2 la 1uer3a de es gra!edad la resis/en$ia del el aire2 pueden ser min>s$ulos2 pero /ambién /endrn un e1e$/o en la rueda. /ro de las $ausas de in$er/idumbre ser#a el error obser!ado al medir la masa de la rueda de "a8Bell. ,) 1&ómo in,lu*e la lon+itud del recorrido sobre el valor de ?2
26
Para responder a esta pre+unta' compare el valor de ? obtenido de las mediciones en los puntos 3%' 3(' 3' * 3!0
Las al/uras en los di1eren/es /ramos son las siguien/es: h. 9 !0% cm' h % 9 0.": cm' h( 9 (0.: cm' h 9 %0.(: cm' h! 9 . cm
Al $ono$er que la 10rmula de la !elo$idad es: V( t ) = (0.348t + 0.168)
cm s
6e puede $al$ular la !elo$idad en los di1eren/es /ramos: V1 = (0.348t + 0.168) •
cm s
V1 = 2.54136
cm s
V2 = 3.7524
cm s
V3 = 4.62224
cm s
t1 = 6.82s
V2 = (0.348t + 0.168)
•
cm s
t 2 = 10.3s
V3 = (0.348t + 0.168) •
cm s
t 3 = 12.8s
Cono$iendo las !elo$idades en esos /ramos2 se $al$ula rpidamen/e la !elo$idad angular:
ω1 =
V1 2.54136 rad = = 8.00428 r 0.3175 s
ω2 =
V2 3.7524 rad = = 11.81858 r 0.3175 s
•
•
ω3 = V3 = •
r
4.62224 = 14.55824 rad 0.3175 s
or lo /an/o2 se puede generali3ar la siguien/e 10rmula para poder en$on/rar los momen/os de iner$ia en los di1eren/es ins/an/es:
27
Mg ⋅ h0 = Mg ⋅ hAi +
1
Mg ⋅ h0 = Mg ⋅ hAi +
1
I Ai
=
2
M ⋅g 2
ω
2
2
M ⋅ V Ai +
1
M ⋅ V Ai +
1
2
2
⋅ ( h0 − hAi ) −
2
2
I Ai ⋅
2
I Ai ⋅ ω Ai
M ⋅ V Ai
2
2
2
ω
Ai
V Ai r2
Ai
1e) T)+: A6 A1 Rempla3ando: h. @ h% 9 .0.%.(:' m % 9 #0..!(# rad
I1 ≈ 0.00149683 kg ⋅ m 2
#& T)+: A6 A# Rempla3ando: h. @ h( 9 .0.(.: m' ( 9 %%0#%#:# rad
I 2 ≈ 0.001372747 kg ⋅ m 2
3e) T)+: A6 A3 Rempla3ando G h. @ h 9 .0..":m' 9 %!0::#(! rad
I 3 ≈ 0. 001356991kg ⋅ m 2
0$ T)+: A6 A0 allado en la par/e %d) de es/a pregun/a:
28
I 4 ≈ 0.001416377 kg ⋅ m 2
Al momen/o de $omparar los !alores ob/enidos2 se obser!a que la !aria$i0n en/re es/os no es mu$7o2 pues/o que /odos ya$en en un !alor ms o menos pare$ido. Es/o $omprueba que el momen/o de iner$ia no /iene e1e$/o alguno debido a la in$lina$i0n obser!ada por la /raye$/oria2 ni la longi/ud dl re$orrido. Los e1e$/os de es/as di1eren$ias !ienen a ser 1a$/ores e8/ernos2 mas no di1eren$ias en el momen/o de iner$ia. I1 ≈ 0.00149683 kg ⋅ m 2 I 2 ≈ 0.001372747 kg ⋅ m 2 I 3 ≈ 0.001356991kg ⋅ m 2
I 4 ≈ 0.001416377 kg ⋅ m 2
I PRO M =
I1 + I 2 + I 3 + I 4 4
= 0.001410736kg ⋅ m 2
el mayor por$en/aje de error obser!ado se $al$ula de la siguien/e manera: ( I PROM − I 3 ) x100% = 0.00537%
≈ 0.0054%
El por$en/aje de error es /an peque;o que se puede de$ir que /iende a $ero2 por lo /an/o se demues/ra que 7ay $onser!a$i0n en el e!$ &e *!e)%*+. +) 1&ómo in,lu*e la inclinación de los rieles sobre el valor de ?2
De la siguien/e de1ini$i0n:
I G ∫r' dm 6e obser!a que no se mues/ra en ning>n momen/o que la in$lina$i0n /endr e1e$/o alguno en la medi$i0n del momen/o de iner$ia. Es/o demues/ra en/on$es que la in$lina$i0n en los $uales se en$uen/ren los rieles no a1e$/ar de ninguna manera a los resul/ados ob/enidos por medio de los $l$ulos.
∫ -dm) r ( * las h) &alcule el momento de inercia a partir de la de,inición ? 9 mediciones +eom4tricas e,ectuadas sobre la rueda * el eje cilCndrico0 &ompare con -d)0
29
rimero2 debe 7allarse la densidad de la rueda de "a8Bell2 median/e la siguien/e e$ua$i0n:
ρ=
masa volumen
Los resul/ados2 son los siguien/es:
π ⋅ (R2 − r 2 ) ⋅ h Volumen- G
G .K,,
π ⋅ ( R2 − r 2 ) ⋅ h Volumen' G
G ,.KM b⋅r ⋅h
Volumen( G
G K.-M
π ⋅ (R2 − r 2 ) ⋅ h Volumen G
G K.KM
π ⋅ (R2 − r 2 ) ⋅ h Volumen G
G -.-
VolumenAL G V- V' V( VV
ρ
G-,M.K masa g 478.4kg = = = 4.35 3 volumen 109.75cm3 cm
ρ = 4.35211
9/ili3ando el mé/odo ense;ado en el labora/orio ara - : 1
2
2
I 1 = m1 ( R + r ) 2
−7
I 1 =12873.29 x 10
ara ' 30
g cm 3
I2 =
1 12
m2 a& + m ´x
I 2 =51.74 'g.m
2
ara ( 1
2
2
I 3 = m3 ( R + r ) 2
I 3 =51.056
ara 1
I 4= m 1 ( R + r 2
2
2
)
I 4 =19.979
ara
I G =13254.805 x 10
Al momen/o de anali3ar es/a in1orma$i0n2 y $ompararla $on el momen/o de iner$ia e8perimen/al 7allado en la parte -d) de es/a pregun/a2 se puede obser!ar que e8is/e un error2 sin embargo2 es/e es $asi despre$iable2 algunos de los 1a$/ores que pueden 7aber 7e$7o que es/o sea posible son las 1uer3as e8/ernas a$/uan/es en el pro$eso del $l$ulo del momen/o de iner$ia e8perimen/al. % Error = 0.001416377 − 0.001207017 = 0.000209359x100%
= 0.021%
31
. CONCLUSIONES
6e puede $on$luir que el momen/o de iner$ia no /iene $ambio alguno a lo largo de /oda la /raye$/oria del m0!il2 mien/ras des$iende la pendien/e. n e1e$/o en el m0!il $uando la pendien/e se $ambia debido que la 1ormula empleada para 7allar el momen/o de iner$ia no /iene ninguna par/e que e8plique eso. Adems2 solo depende de o/ros 1a$/ores. demos/rado al de es/udiar !alores de alguno los /iempos 1inales Es/o en lasquedo dos in$lina$iones delmomen/o riel. La pendien/e no los /endr e1e$/o en los resul/ados y siempre se $onser!ar un momen/o de iner$ia similar. Al momen/o de $al$ular los resul/ados2 es impor/an/e /omar en $uen/a la $an/idad de dé$imas a las $uales se es/n apro8imando los resul/ados. Es/o se debe al 7e$7o que los momen/os !ar#an por min>s$ulos !alores los $uales no /ienen e1e$/o aparen/e2 pero $uando se anali3an de/enidamen/e2 si logran a /ener un resul/ado dis/in/o. Al momen/o de ajus/ar una $ur!a2 en la $ual se en$uen/ran los !alores en$on/rados en las e8perien$ias del labora/orio2 es impor/an/e poder saber que es/os ayudan a en$on/rar una uni1ormidad en los resul/ados que siempre puede !ariar debido a los errores e8is/en/es. or es/e mo/i!o2 las $ur!as se ajus/an a !alores promedio que pueden dar un $ompor/amien/o a$ep/able de los 7alla3gos en el labora/orio. A pesar de no 7aber sido empleado mu$7o en el in1orme de labora/orio2 la /eor#a del eorema de 6/einer2 es una 1orma muy $om>n para poder 7allar los momen/os de iner$ia de un ni!el de re1eren$ia uni1orme2 del $ual se desprenden di1eren/es !alores. "edian/e esa /eor#a se puede 7allar 1$ilmen/e los resul/ados porque se /oma un eje de re1eren$ia y a par/ir de ese2 se mues/ran los di1eren/es resul/ados.
7. RECOMENDACIONES ay que 1amiliari3arse $on los elemen/os ne$esarios para el e8perimen/o disponibles y adems de lo$ali3ar las salidas prin$ipales de emergen$ia. Deben respe/arse siempre las indi$a$iones o/orgadas por el pro1esor para e!i/ar $ualquier /ipo de a$$iden/es por a$$iones inne$esarias. Adems2 se debe $ono$er la lo$ali3a$i0n e8a$/a de e8/in/ores2 mangueras y la!a ojos. 6er#a re$omendable pensar en 1ormas de disminuir la $an/idad de error en el /rabajo por medio de medi$iones ms e8a$/as. Es/o se puede lograr por medio de menores por$en/ajes de error al momen/o de medir las dimensiones de los apara/os. Adems de mayor e8a$/i/ud en algunas medidas /omadas. "ejor $alibra$i0n de los ins/rumen/os podr#a 7a$er que los resul/ados 1uesen ms pre$isos. Como asegurarse que la rueda de "a8Bell ruede sobre un mismo /raye$/o y no se des!#e a los lados. Es/as $osas se deben $onsiderar para 7allar !alores ms $er$anos al momen/o de iner$ia /e0ri$o. 32
5. BIBLIOGRAFÍA
Fundamento Teórico
o
o
o
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Información del Momento de Inercia htt5&66hy5er5hysics.5hy+astr.su.edu6hase6mi.html htt5&6678on3d.com6theory6moi6moi.html htt5&66888.terra.es65ersonal6dellund6ayuda6inercia.htm
Información de la Conservación de la Energía htt5&66888.rc.nasa.o:66;+1<6air5lane6thermo1f.html htt5&66888.school+for+cham5ions.com6science6motionla8s.htm htt5&66888.school+for+cham5ions.com6science6motionla8s.htm
Equipos y Materiales Fotos de instrumentos htt5&66my.e*ec5c.com6=a5lehnen65endulum.if htt5&66eocities.com6afisica<>>16 htt5&66888.canadian8eih.com6imaes6ra5hics63eam.5 htt5&66n.thisoldhaus.com65ortfolio6oects6cue6metal+cue+<.5 htt5&66888.middleschoolscience.com6cent.if
Cálculos y Resultados 'icrosoft *cel <>>> 'icrosoft ord <>>> ? 'icrosoft ditor de cuaciones 3.>
33
