4.Geo Des - Métodos Descritivos

IFALL – Enge IFA Engenhar nharia ia Civi Civill

Geometria Descritiva

Claudio Bergamini

1


Métodos Descritivos 1.Introdução 2.Método da mudança de planos 3.Método das rotações 4.Método dos rebatimentos

Projeções cotadas 1.Introdução 2.Superfícies topográficas 3.Taludes de corte e aterro

2


Métodos Descritivos 1.Introdução 2.Método da mudança de planos 3.Método das rotações 4.Método dos rebatimentos

Projeções cotadas 1.Introdução 2.Superfícies topográficas 3.Taludes de corte e aterro

2


1. Introdução Métodos descritivos A resolução de um um problema estereométrico estereométrico depende principalmente principalmente da posição posição dos elementos objetivos dados em relação ao sistema mongeano, isto é, a resolução de problemas métricos depende dos dados estarem em posições especiais em relação aos planos de projeção para que se obtenham as verdadeiras grandezas. Os métodos descritivos descritivos são artifícios e operações que que visam aa modificação da posição posição de uma figura objetiva em relação ao sistema em que a representamos, seja deslocando a figura, seja substituindo o sistema. A rigor são dois os métodos descritivos: -O método da mudança dos planos de projeção – que consiste consiste em conservar conservar imóvel a figura objetiva e substituir um dos planos de projeção, ou ambos; e -O método das rotações – que consiste consiste em conservar conservar o sistema de representação representação inicialmente adotado, adotado, girando a figura figura objetiva em torno de eixo eixo convenientemente convenientemente escolhido. -No primeiro caso, cumpre estabelecer condições que preservem a ortogonalidade do sistema mongeano e no segundo, segundo, as que que assegurem assegurem a indeformabili indeformabilidade dade da figura figura objetiva. -Como veremos adiante, um certo tipo de rotação, toma o nome particular de rebatimento, e é geralmente considerado considerado um terceiro terceiro método descritivo por apresen apresentar tar características específicas. 3


2. Método das mudanças Mudança de plano vertical Dado um sistema mongeano, caracterizado em épura pela linha de terra, diz-se que nele foi feita uma mudança de plano vertical, quando se substitui o plano (pi’) por um plano vertical qualquer (pi’1) de modo a obter-se outro sistema mongeano. Este último último sistema ficará caracterizado caracterizado em em épura épura pela nova nova linha linha de terra terra – que é justamente o traço horizontal do plano vertical escolhido. A nova linha linha de terra deverá deverá ser indicada com dois pequenos traços paralelos. paralelos.

4


1. Método das mudanças Observações 1.Em princípio é livre a escolha do novo plano vertical, isto é, podemos considerá-lo, em épura, de qualquer lado da nova linha de terra. Por isso na prática podemos adotar o sentido que evite colisão da antiga projeção horizontal, com a nova projeção vertical.

5


2. Método das mudanças Mudança de plano horizontal Dado um sistema mongeano, caracterizado em épura pela linha de terra, diz-se que nele foi feita uma mudança de plano horizontal, quando se substitui o plano (pi) por um plano horizontal qualquer (pi1) de modo a obter-se outro sistema mongeano. Este último sistema ficará caracterizado em épura pela nova linha de terra – que é justamente o traço vertical do plano de topo escolhido. A nova linha de terra deverá ser indicada com dois pequenos traços paralelos.

6


2. Método das mudanças Observações 1.Em princípio é livre a escolha do novo plano horizontal, isto é, podemos considerá-lo, em épura, de qualquer lado da nova linha de terra. Por isso na prática podemos adotar o sentido que evite colisão da antiga projeção vertical, com a nova projeção horizontal.

7


2. Método das mudanças Mudança de plano de uma reta

Mudança

Regra

de PV

1. Aproveitar a projeção horizontal. 2. Conservar a cota do ponto

de PH

1.Aproveitar a projeção vertical 2. Conservar o afastamento do ponto

1.Aplicar a uma reta dada uma mudança de plano vertical, submetem-se dois pontos quaisquer da reta a esta mudança e unemse suas novas projeções verticais. 2.Observação – para abreviar a operação, devemos utilizar sempre que possível, o traço horizontal da reta, nas mudanças de plano vertical e vice-versa. 3.Tendo em vista os objetivos gerais dos métodos descritivos, devemos aplicar a mudança de plano para que a reta venha ocupar uma posição particular no novo sistema ou seja paralela ou perpendicular a um dos planos de projeção.

8


2. Método das mudanças

Aplicações clássicas Tornar frontal uma reta dada. -Uma reta se tornará frontal se o PV lhe for paralelo. Assim a mudança será de plano vertical.

9


2. Método das mudanças Aplicações clássicas Da mesma forma: -Uma reta se tornará horizontal se o PH lhe for paralelo. Assim a mudança será de plano horizontal.

Observação: Vale assinalar que, em ambos os casos, passamos a conhecer a VG da distância entre os dois pontos e a do ângulo que ela faz com um dos planos de projeção. No sistema primitivo, em que a reta é genérica, todos os atributos métricos eram incógnitos.

Operação Tipo

Mudança Regra

Tornar f rontal

de PV

1.Tornar LT paralela à projeção horizontal 2.Transportar as cotas de dois pontos

Tornar Horizontal

Do PH

1.Tornar LT paralela à projeção vertical 2.Transportar os afastamentos de dois pontos

10


2. Método das mudanças Aplicações clássicas Tornar vertical uma reta dada A questão exige duplamudança, porque uma reta vertical é implicitamente uma frontal. Isto significa que, pela primeira mudança, devemos tornar frontal a reta dada, para em seguida, tomando um plano que lhe seja perpendicular, torná-la vertical

11


2. Método das mudanças Aplicações clássicas Tornar de topo uma reta dada A questão exige duplamudança, porque para tornar uma reta de topo é preciso primeiro torná-la horizontal. Tomar depois um plano vertical que lhe seja perpendicular, apresentando a reta de topo no sistema Operação final. 1ªM Tipo

Dupla-Mudança 2ªM Regra

Tornar Vertical

de PV

de PH

1.Tornar LT perpendicular à projeção vertical 2.Transportar os afastamentos (iguais) de dois pontos

Tornar de Tôpo

de PH

de Pv

1.Tornar LT perpendicular à projeção horizontal 2.Transportar as cotas (iguais) de dois pontos

12



Alterar a reta e o segmento de reta oblíquos para horizontais

Ao colocar o eixo x’ paralelo à projeção horizontal, garante-se que toda a reta e todo o segmento de reta ficam com a mesma cota. Os afastamentos dos pontos A e B serão deslocados para o novo eixo, através de linhas de chamadas a ele perpendiculares. Resultam novas projeções horizontais para os pontos e para a reta e segmento de reta. De notar que x’ está escrito ao contrário, para se marcarem os afastamentos para lá do novo eixo. A distância entre x’ e r2 ou [A2B2] é indiferente, salvo se um exercício exigir uma cota precisa. 13



Alterar a reta e o segmento de reta oblíquos para frontais

Aqui procede-se de modo idêntico ao anterior, mas colocando o eixo x’ paralelo à projeção horizontal da figura. 14



Alterar a reta e o segmento de reta oblíquos para de perfil

Aqui colocou-se o novo eixo na perpendicular à projeção frontal da figura, mas podese também colocar na perpendicular à horizontal. Deslocando as projeções horizontais dos pontos E e F obtém-se uma nova projeção horizontal das figuras. 15


2. Método das mudanças Alterar a reta oblíqua para fronto-horizontal

Esta alteração obriga à utilização de duas mudanças de plano. Aqui a posição intermediaria é frontal, mas poderia ser horizontal. As cotas dos pontos G4 e H4 são iguais às de G2 e H2; os afastamentos de G5 e H5 são iguais aos de G1 e H1. O eixo x’ é paralelo à projeção frontal da reta; o eixo x” é paralelo à nova projeção horizontal. O processo seria idêntico caso se tratasse de um segmento de reta.

16


2. Método das mudanças Alterar a reta oblíqua para vertical

Esta alteração obriga à utilização de duas mudanças de plano, em que a posição intermediaria tem de ser frontal. As cotas dos pontos J4 e K4 são iguais às de J2 e K2; os afastamentos de J5 e K5 são iguais aos novos afastamentos de J1 e K1. O eixo x’ é paralelo à projeção frontal da reta; o eixo x” é paralelo à nova projeção horizontal. O processo seria idêntico caso se tratasse de um segmento de reta. 17



Alterar o segmento de reta oblíquo para de topo

Aqui a posição intermediaria tem de ser horizontal, pelo que o eixo x’ é paralelo a [L2M2]. O eixo x” é perpendicular a [L4M4]. Os afastamentos de L4 e M4 são iguais aos de L1 e M1; as cotas de L5 e M5 são iguais às novas cotas de L2 e M2. O processo seria idêntico caso se tratasse de uma reta.

18


2. Método das mudanças Mudança de plano para planos

Assim como na mudança de planos aplicadas às retas, também nas mudanças de planos aplicadas à planos, temos a mudança de plano singela (plano horizontal ou plano vertical) e duplas mudanças. Nos três primeiros planos abaixo isso não se aplica pois já são os próprios planos de projeção. Nos dois seguintes (Tôpo e Vertical), com apenas uma mudança (singela) conseguimos condições de paralelismo desejadas. Nos dois últimos (Rampa e Obliquo), necessitamos dupla mudança.

19



Mudança singela

Mudança Singela Operação

Tipo

Regra

Tornar vertical

De PH fα – hα → fα – hα1

Tornar tôpo

De PV fα – hα → fα1 – hα

1- Tomar LT perpendicular ao traço vertical. 2- Referir um ponto do plano ao novo sistema 1- Tomar LT perpendicular ao traço horizontal. 2- Referir um ponto do plano ao novo sistema

20



Mudança singela- Plano Obliquo para Plano Vertical

21



Mudança singela- Plano Obliquo para Plano Vertical

22



Mudança singela- Plano Rampa para Tôpo

23



Dupla mudança

Dupla-Mudança Operação

Primeira mudança

Tipo

Regra

Tornar Horizontal

De PV Para tornar de Tôpo fα – hα → fα1 – hα

De PH fα1 – hα → fα1 – hα1

1- Tomar fα1 – hα1 paralela ao traço vertical.

Tornar Frontal

De PH Para tornar Vertical fα – hα → fα – hα1

De PV fα – hα1 → fα1 – hα1

1- Tomar fα1 – hα1 paralela ao traço horizontal.

24


3. Método das rotações O método das rotações consiste em conservar o sistema de representação inicialmente adotado, girando a figura objetiva em torno de eixo convenientemente escolhido. É preciso observar entretanto que ao deslocar um ente objetivo, estaremos modificando também sua posição em relação a outros entes objetivos, o que não ocorre quando se realizam mudanças. Podemos dizer que o método das rotações é a operação descritiva que visa a modificar a posição relativa de dois ou mais entes objetivos, e em particular a posição de qualquer deles em relação ao sistema ortogonal em que os representamos, isto implica na determinação de suas duas novas projeções, por isso, salvo raríssimos casos, ambas as projeções de uma figura girante mudam de posição. Consequentemente: -Não se deve em princípio, utilizar o método das rotações quando o problema puder ser resolvido com mudanças. -Em épura a rotação de um ponto objetivo deve ser feita sempre em torno de um eixo vertical ou de topo, seja no sistema mongeano inicial ou em sistema dele derivado por mudança.

25


3. Método das rotações Rotação de uma reta -Girar uma reta dada, em torno de um eixo vertical até que ela se situe num plano dado. O postulado de pertinência impõe que 2 pontos pertençam ao plano. Se construirmos o eixo pelo traço (I) da reta no plano, este ponto ficará imobilizado no plano, bastando então levar o ponto (J) da reta a pertencer ao plano.

26


3. Método das rotações Rotação de retas e de segmentos de reta

Com as rotações altera-se a posição das figuras geométricas, rodando-as em torno de eixos verticais ou de topo. Por norma, no caso dos segmentos de reta, passa-se o eixo por um extremo e roda-se o outro; no caso das retas passa-se por um dos seus pontos e roda-se um outro. Nos exemplos mostrados parte-se da posição oblíqua, mas pode-se partir doutras posições. 27


3. Método das rotações

Rodar a reta e o segmento de reta oblíquos para frontais

Nestas rotações utiliza-se o eixo vertical contendo o ponto B. O ponto A roda até ao afastamento do B. A projeção horizontal de A roda com o compasso, a frontal desloca-se paralela ao eixo x.

28


3. Método das rotações Rodar a reta e o segmento de reta oblíquos para horizontais

Este caso é o inverso do anterior. Passando um eixo de topo pelo ponto D faz-se rodar o ponto C até ficar com a cota do D.

29


3. Método das rotações Rodar a reta e o segmento de reta oblíquos para de perfil

Aqui o eixo contém o ponto F, fazendo-se rodar o ponto E até à abcissa do outro. Para estas situações é indiferente utilizar um eixo vertical ou de topo.

30


3. Método das rotações Rodar o segmento de reta oblíquo para fronto-horizontal

Aqui é necessário aplicar duas rotações. Primeiro colocou-se o segmento na posição intermédia horizontal, utilizando um eixo de topo; depois colocou-se na posição final, com um eixo vertical. A posição intermédia será frontal se se fizer a primeira rotação com um eixo vertical.

31



Rodar a reta oblíqua para vertical

A primeira rotação consiste em colocar a reta na posição frontal, com um eixo vertical; na segunda, para o colocar vertical, utiliza-se um eixo de topo. A aplicação dos eixos tem de ser feita pela ordem referida.

32



Rodar o segmento de reta oblíquo para de topo

A primeira rotação consiste em colocar o segmento de reta na posição horizontal, com um eixo de topo; na segunda, para o colocar de topo, utiliza-se um eixo vertical. A utilização dos eixos tem de ser feita pela ordem referida.

33


3. Método das rotações Rotação de planos

Para rodar planos utilizam-se também eixos verticais e de topo. Nos exemplos que se vão mostrar parte-se sempre do plano oblíquo. Os desta página resolvem-se com recurso a uma só rotação. O eixo, ao cruzar-se com o plano, intersecta-o num ponto que é fixo durante a rotação. O traço que se pretende rodar roda com ajuda de um segmento de reta que lhe é perpendicular. Rodar o plano oblíquo para de topo

O eixo vertical cruza o plano no ponto I. A reta horizontal serve para determinar esse ponto. O segmento de reta perpendicular a hπ é rodado até à posição em que hπr fica perpendicular ao eixo x. Uma vez que o plano de topo é projetante, o traço fπr passa por I2, ponto que se mantém fixo na rotação. 1.Reta horizontal 2.Eixo vertical 3.Rodar 34


3. Método das rotações Rodar o plano oblíquo para vertical

Aqui procede-se de modo idêntico ao anterior, mas utilizando um eixo de topo que faz rodar o plano até à posição desejada. O traço frontal do plano é rodado até ficar perpendicular ao eixo x. Utiliza-se uma reta frontal para determinar o ponto I. Em qualquer casos, é indiferente essa reta ser horizontal ou frontal. 1.Reta frontal ou horizontal 2.Eixo topo 3.Rodar

35


3. Método das rotações Rodar o plano oblíquo para de rampa

Para que o plano fique de rampa é indiferente utilizar um eixo vertical ou de topo. Neste caso utilizou-se um eixo vertical. A rotação do traço horizontal do plano terminou quando este ficou paralelo ao eixo x. Automaticamente, o outro traço ficou também paralelo ao eixo x. Após a obtenção do traço hπr foi necessário traçar uma reta oblíqua (concorrente com o ponto fixo I, que é fixo), por cujo traço frontal passa o traço fπr. 1.Reta horizontal 2.Eixo vertical 3.Rodar 4.Reta obliqua concorrente em I 5.Traço frontal

36


3. Método das rotações Para alterar o plano oblíquo para horizontal, frontal ou de perfil são necessárias duas rotações. Rodar o plano oblíquo para horizontal

Depois de alterar o plano oblíquo para de topo (ver anterior) aplicou-se um eixo de topo. Em torno desse eixo roda-se o plano até à posição horizontal. Como o eixo e o plano de topo são paralelos não existe ponto de intersecção. Na posição final o traço horizontal desaparece. 1.Plano topo 2.Reta horizontal 3.Eixo vertical 4.Rodar 5.Eixo topo 6.Rodar

37


3. Método das rotações Rodar o plano oblíquo para frontal

Primeiro altera-se o plano para a posição intermédia vertical (ver anterior). Após isso roda-se para a posição frontal utilizando um eixo vertical. Na posição final o traço frontal desaparece. 1.Plano Vertical 2.Reta frontal 3.Eixo topo 4.Rodar 5.Eixo vertical 6.Rodar

38


3. Método das rotações Rodar o plano oblíquo para de perfil

A posição intermédia entre o plano oblíquo e o de perfil tanto pode ser a de topo como a vertical. Aqui coloca-se na posição vertical. Comparando com o caso anterior, bastou rodar o plano vertical mais 90º em torno de um eixo vertical. Naturalmente, os traços do plano ficam coincidentes. 1.Plano Vertical 2.Reta frontal 3.Eixo topo 4.Rodar 5.Eixo vertical 6.Rodar 39


3. Método dos rebatimentos Consideremos dois planos (alfa) e (gama) que se cortam segundo a reta (i). Rebater (alfa) em (gama) é girar o primeiro em torno de sua intersecção com o segundo, até que sejam coincidentes. O plano (alfa)1 diz-se rebatido, enquanto que, por oposição, (alfa) diz-se alçado. Alçar um plano rebatido (alfa)1 é restituí-lo à sua primitiva posição (alfa), ainda por um giro em torno de (i). Assim, rebater e alçar são transformações de mesmo conteúdo operacional, isto é, são uma mesma operação descritiva. A reta (i), tomada como eixo para rebater ou alçar o plano (alfa), denomina-se charneira.

40


3. Método dos rebatimentos - Em sentido restrito, rebater um plano é fazê-lo coincidir com um plano horizontal (ou frontal), por uma rotação em torno da principal do primeiro, que é sua intersecção com o segundo. - No rebatimento de um plano (alfa), todos os seus pontos e retas transformam-se em pontos e retas do plano (alfa)1; no alçado do plano rebatido (alfa)1, todos os pontos e retas transformam-se em pontos e retas do plano (alfa). Dizemos que, no primeiro caso, aqueles entes estavam alçados e foram rebatidos e, no segundo caso, que estavam rebatidos e foram alçados. Em particular os pontos da charneira, não se rebatem nem se alçam. 41


Projeções cotadas 1. Introdução

O método representativo de Monge, ainda não foi superado por qualquer outro devido ao seu perfeito funcionamento simplicidade, apresenta entretanto, alguns inconvenientes na sua aplicação aos estudos de topografia, de hidrologia, de fortificações, e nos projetos de estradas e canais. Os traçados resultantes desses projetos têm dimensões horizontais consideráveis em relação ao seu relevo. Removem-se esses inconvenientes no traçado das respectivas épuras o método das projeções cotadas. -Convenções do método Substituição do plano vertical de projeção pela inscrição do número que indica cota. Sistema de representação mista: gráfica e numérica. A cota é um número algébrico: positiva, corresponde a um ponto colocado acima do plano de comparação, negativa, abaixo desse plano. Plano de comparação é o plano de cota zero. Desenhos em escala: 1/500 , 1/1000 , ETC.

42


Projeções cotadas 2. Superfícies topográficas Topografia - Conceitos Definição: a palavra "Topografia" deriva das palavras

gregas "topos" (lugar) e "graphen" (descrever), o que significa, a descrição exata e minuciosa de um lugar . (DOMINGUES, 1979). -Finalidade: determinar o contorno , dimensão e posição relativa de uma porção limitada da superfície terrestre, do fundo dos mares ou do interior de minas, desconsiderando a curvatura resultante da esfericidade da Terra. Compete ainda à Topografia, a locação, no terreno, de projetos elaborados de Engenharia. (DOMINGUES, 1979). A porção da superfície terrestre, levantada topograficamente, é representada através de uma Projeção Ortogonal Cotada e denomina-se Superfície Topográfica . Isto equivale dizer que, não só os limites desta superfície, bem como todas as suas particularidades naturais ou artificiais, serão projetadas sobre um plano considerado horizontal. A esta projeção ou imagem figurada do terreno dá-se o nome de Planta ou Plano Topográfico . (ESPARTEL, 1987). 43


Projeções cotadas 3. Taludes de corte e aterro Talude: é a face ou a superfície aparente do terreno

depois que se efetuou o corte e o aterro. Taludes de corte:

Resultante do corte do terreno apresentam-se acima da plataforma sendo portanto ascendentes e apresentando normalmente consistência que dispensa compactação. Taludes de aterro:

Resultante do aterro do terreno apresentam-se abaixo da plataforma sendo portanto descendentes e sendo normalmente indispensável sua compactação.

44

4.Geo Des - Métodos Descritivos

Recommend Documents