47676461 MatLab Guia Para Alumnos de Reactores Quimicos

Nociones básicas de MatLab 7.0 Para la asignatura Reactores Químicos de 4º curso de I nge ngeniero niero Quím Químico en en la la UGR UGR Curso 2008/2009 Miguel García Román

Nociones básicas de MatLab 7.0

Índice. 1. Primeros pasos con Matlab.

5

1.1. La pantalla de MatLab

5

2. Uso de operadores y realización de operaciones sencillas

6

2.1. Formato de los números en MatLab

6

2.2. Operaciones con escalares y funciones matemáticas básicas

7

2.3. Definición de variables escalares

8

3. Manejo de matrices (arrays)

8

3.1. Introducción manual de matrices

8

3.2. Manipulación y Operaciones con matrices.

10

4. Representaciones Representaciones gráficas: El comando ‘plot’

15

4.1. El comando plot.

15

4.2. Representación de gráficos a partir de funciones.

18

4.3. Representar varias funciones en el mismo gráfico.

18

4.4. Dar formato a los gráficos.

21

4.5. Escalas no lineales y gráficos especiales.

22

5. Ficheros de programa (script).

25

5.1. Ejecución de un fichero script: El directorio de trabajo actual.

25

5.2. Asignación de valores a las variables de un fichero script y comandos de salida.

26

5.3. Importación y exportación de datos.

27

6. Ficheros de función.

27

6.1. Creación de un fichero de función.

28

6.2. Variables Globales.

29

6.3. Funciones ‘inline’.

32

7. Programación Programación en MatLab.

32

7.1. Operadores relacionales y operaciones lógicas.

33

7.2. Sentencias de programación.

35

8. Algunas aplicaciones importantes de MatLab.

37

8.1. Polinomios.

37

8.2. Ajuste de curvas. La función polyfit.

38

8.3. Interpolación.

39

8.4. Solución de ecuaciones de una variable.

40

8.5. Cálculo del máximo y mínimo de una función.

40

8.6. Integración numérica.

42

8.7. Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

42

3

4


1. Primeros pasos con Matlab. MatLab es un potente programa de cálculo cuyo nombre proviene de Matrix Laboratory, lo que indica que trabaja con matrices como dato básico. El programa

posee una serie de funciones principales y otras accesorias, que van siendo progresivamente desarrolladas, y que constituyen las denominadas “cajas de herramientas” (“toolboxes”). A continuación se abordarán, de forma progresiva, los aspectos principales que se necesitan para trabajar con este programa, hasta el nivel que se precisa para cursar la asignatura de Reactores Químicos, correspondiente al 4º de la titulación de Ingeniero Químico de la Universidad de Granada.

1.1.

La pantalla de MatLab

La pantalla principal de MatLab cuenta con tres subventanas que por defecto estarán presentes la primera vez que se abre el programa. Éstas son: -

Command Window , que es la que nos permite introducir las órdenes o

comandos en el programa. -

Command History Window , que muestra la secuencia de comandos ejecutados

-

Current Directory Window/Workspace, muestra los programas presentes en el

directorio actual, aunque haciendo clic en la pestaña correspondiente situada bajo la ventana, se muestran los valores de las variables que se hayan asignado.

Además de éstas existen otras ventanas importantes: -

Figure Window, que muestra las figuras resultado de algún comando, y por

tanto aparece cuando se ejecutan éstos, aunque puede dejarse fija si se desea.

5

Nociones básicas de MatLab 7.0 Editor Window, que permite escribir programas (scripts), y se abre mediante

-

el Menú File (New → M-File). Existe también una ventana de ayuda ( Help Window ), que se activa mediante la tecla F1, y que resulta de gran utilidad, ya que dadas las amplísimas posibilidades que ofrece MatLab, es imposible disponer de un manual que abarque todas ellas.

2. Uso de operadores y realización de operaciones sencillas En primer lugar se dan una serie de normas generales de uso de la Ventana de Comandos: 1) Cada comando es ejecutado cuando se pulsa Enter (  ), y el resultado se visualiza en la pantalla, excepto que se escriba un punto y como (;) tras el comando escrito, en cuyo caso el resultado se almacena, pero no se muestra. 2) Las flechas del cursor ( () pueden usarse para volver a mostrar los comandos anteriormente introducidos. 3) Se puede insertar un salto de línea introduciendo puntos suspensivos (‘…’) y pulsando ‘ ’. Esto es útil para comandos largos. 4) El programa no procesa lo escrito tras símbolo ‘%’, por lo que este es muy útil para escribir comentarios, sobre todo en programas (script). 5) El comando clc sirve para limpiar la ventana de comandos

2.1.

Formato de los números en MatLab

El formato por defecto de los números en MatLab muestra sólo cuatro decimales (formato short). A continuación se enumeran los principales formatos numéricos que maneja MatLab. Hay que tener en cuenta que la forma en que MatLab realiza los cálculos es independiente de cómo se muestran los resultados. -

Formato long: muestra hasta 14 decimales

-

Formato short e/long e: análogos al short y al long, pero que usa siempre notación científica. Formato short g y long g: elige la mejor opción entre short o short e y long o

-

long e.

El uso del formato short g es bastante recomendable, ya que emplea la notación científica sólo cuando es necesario para visualizar el número. Para cambiar entre los distintos formatos se puede usar el comando format (el cambio sólo es válido para la presente sesión) o bien hacerlo desde el Menú File

Preferences, en el apartado Command Window (el cambio se mantiene al

→

entrar y salir del programa). A continuación se muestran algunos ejemplos de aplicación de estos formatos:

6

Nociones básicas de MatLab 7.0 >> format short >> a=[1.5777889 0.0000005 548129453975]

a =

1.0e+011 *

0.0000

0.0000

5.4813

>> format short e >> a=[1.5777889 0.0000005 548129453975]

a =

1.5778e+000

5.0000e-007

5.4813e+011

>> format short g >> a=[1.5777889 0.0000005 548129453975]

a =

1.5778

2.2.

5e-007

5.4813e+011

Operaciones con escalares y funciones matemáticas básicas

MatLab permite realizar operaciones con escalares de forma análoga a una calculadora, usando los siguientes operadores: Operador

Operación

Ejemplo

+

2+3

¼

Suma Resta Multiplicación

/ó\

División

−

^

Potencia

2−3 2¼3 2/3 = 3\2 =

2 3

2^3 = 23 = 8

Las operaciones pueden realizarse directamente con números, o bien con variables, a las que previamente se les asigna un valor numérico (un escalar o una matriz). Además MatLab dispone de una vastísima librería de funciones, algunas de las cuales se abordarán con más detalle en estas notas. Sin embargo, en la siguiente Tabla se recoge la forma de escribir en MatLab las funciones matemáticas elementales.

7


2.3.

Función

Descripción

sqrt(x) exp(x) abs(x) log(x) log10(x) factorial(x)

raíz cuadrada exponencial(e x) valor absoluto logaritmo natural logaritmo decimal (factorial de x, x!)

Definición de variables escalares

La asignación de valores escalares es muy sencilla, como se ve en el siguiente ejemplo que asigna el valor 15 a la variable x: >> x=15



A partir de este momento es posible usar la variable x en cálculos sucesivos o como argumento de funciones. En cuanto al nombre de las variables, este puede tener hasta 63 caracteres, que pueden ser letras, dígitos y el carácter de subrayado, si bien deben comenzar por una letra. Hay que tener en cuenta que MatLab distingue mayúsculas de minúsculas. Si se desea borrar alguna o todas las variables, se debe usar el comando clear , especificando después el nombre de las variables a borrar. Si no se especifica nada, las borra todas ellas.

3. Manejo de matrices (arrays) MatLab maneja los datos siempre en forma de matrices. Éstas pueden ser unidimensionales (vectores fila o columna) o bidimensionales (matrices propiamente dichas). Los elementos de una matriz pueden ser números, variables predefinidas, caracteres o funciones matemáticas.

3.1.

Introducción manual de matrices

La forma más sencilla de introducir los elementos de una matriz, cuando éstos son conocidos, es hacerlo manualmente mediante la ventana de comandos. Para ello basta con escribirlos entre corchetes y separados por un espacio o coma (elementos de una misma fila) o un punto y coma (elementos de diferentes filas), tal y como se observa en los ejemplos siguientes: >> A=[1 2 3] A = 1

2

3

>> B=[1;2;3] B = 1 2 3

8

Nociones básicas de MatLab 7.0 >> C=[1 2 3;4 5 6] C = 1

2

3

4

5

6

Otra forma de introducir vectores es especificar el primer término (a), la diferencia entre cada dos términos (d), que obviamente no puede variar, y el último término (z), p. ej., x=[ a: d: z ] . Esto resulta útil para especificar, por ejemplo, los valores de la variable independiente (x) para los cuales se representarán los valores correspondientes de la variable dependiente (y). >> x=[0:0.25:1] x = 0

0.25

0.5

0.75

1

Es también posible crear un vector especificando el primer y el último elemento (a y b, p. ej.), así como el número total de elementos del vector (n). La distancia entre dos elementos sucesivos dependerá, evidentemente, del número total de términos que deseemos. Para hacer esto se usa el comando linspace, de la forma siguiente: x=l i nspace( a, b, n) . >> x=linspace(1,4,7) x = 1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Si no se especifica el número de elementos se considera 100 por defecto. Una vez introducida una matriz es conveniente conocer algunos comandos para trabajar con ellas: •

Para obtener el elemento i-ésimo de un vector A, escribiremos A( i )

•

Si es una matriz, tendremos que especificar tanto la fila como la columna en la que se encuentra el elemento en cuestión. Así si se encuentra en la fila ‘i’ y en la columna ‘j’, escribiremos : A( i , j )

•

De esta forma es posible también asignar nuevos valores al elemento que queramos, sin modificar el resto de la matriz.

•

Si queremos especificar un rango de elementos de un vector o matriz, usaremos “dos puntos”, de la siguiente manera: i. A( m: n) : Se refiere a los elementos comprendidos entre las posiciones ‘m’ a ‘n’ del vector A.

9


ii. M( : , n) : Se refiere a todos los elementos de la columna ‘n’ de la matriz M. iii. M( : , n: m) : Se refiere a los elementos de las columnas ‘n’ a la ‘m’ de la matriz M. Lo anteriormente indicado para las columnas de una matriz, se puede hacer para las filas, siendo las órdenes: M( n, : ) y M( n: m, : ) . Además con esta misma notación es posible añadir elementos a un vector, o filas o columnas a una matriz ya creada, como en el siguiente ejemplo. >> A=[1 2 3 4] A = 1

2

3

4

2

3

4

>> A(5)=5 A = 1

5

>> M=[1 2 3;4 5 6] M = 1

2

3

4

5

6

>> M(3:4,:)=[7 8 9;10 11 12] M =

3.2.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Manipulación y Operaciones con matrices.

Para trabajar con matrices disponemos de los siguientes operadores:

10


Operador

Función

’

Transposición

+

Suma

Comentario

Cambia las filas por columnas y viceversa Sirven para sumar y restar matrices, que deberán tener el mismo número de filas y columnas, de acuerdo con las reglas algebraicas de suma y resta de matrices. También sirven para sumar o restar

-

Resta

un escalar a una matriz, en cuyo caso lo sumará o restará a todos los elementos de la misma. Efectúa el producto de matrices, siguiendo las leyes algebraicas. Por ello las dimensiones de las

*

Multiplicación

matrices a multiplicar serán: (m,n) * (n,p) = (m,p). También permiten multiplicar un escalar por una matriz, lo que implica hacerlo por cada uno de sus elementos. Realiza el producto escalar de dos vectores. dot(a,b) sería el producto escalar de los

vectores a y b, que deben ser dos vectores (fila o dot

Producto escalar

columna) con el mismo número de elementos. Equivale a la multiplicación matricial de un vector fila x un vector columna del mismo número de elementos.

^

Potencia

Sólo se puede aplicar a matrices cuadradas. Un caso particular es la potencia -1, que nos da la matriz inversa, la cual también se puede obtener mediante el comando inv(…)

inv(A)

Inversa

Devuelve la matriz inversa de A (es lo mismo que A^-1)

det(A) /

Determinante

Calcula el determinante de la matriz A (cuadrada)

División derecha

A/B = A*inv(B)

11

Nociones básicas de MatLab 7.0 Operador

Función

Comentario

\

División izquierda

A\B = inv(A)*B

eye(n)

Matriz identidad

Genera una matriz identidad de orden ‘n’

Las dos formas de división de matrices son útiles para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Por ejemplo, sea el sistema de ecuaciones lineales y su forma matricial: 3 x + 2 y − z = 10 8 x − 3 y + 4 z = 21 5 x + 2 y + z = 13

⎡3 2 − 1⎤ ⎡ x⎤ ⎡10⎤ ⎢8 − 3 4 ⎥ * ⎢ y⎥ = ⎢21⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣5 2 1 ⎥⎦ ⎢⎣ z⎥⎦ ⎢⎣13⎥⎦

Su resolución en MatLab, de dos formas posibles: >> A=[3 2 -1;8 -3 4;5 2 1]; >> B=[10;21;13]; >> x=inv(A)*B x = 3.225 -0.7 -1.725 >> x=A\B x = 3.225 -0.7 -1.725

Ahora bien, el anterior sistema también admite la siguiente forma matricial:

⎡ 3 8 5⎤ [x y z]* ⎢⎢ 2 − 3 2⎥⎥ = [10 21 13] ⎢⎣− 1 4 1⎥⎦ En este caso su resolución en MatLab requeriría usar la división derecha:

12

Nociones básicas de MatLab 7.0 >> a=A' a = 3

8

5

2

-3

2

-1

4

1

21

13

>> b=B' b = 10

>> x=b*inv(a) x = 3.225

-0.7

-1.725

3.225

-0.7

-1.725

>> x=b/a x =

En este punto conviene aclarar que para entender las diferentes operaciones con matrices que se han resumido en la tabla y ejemplos anteriores es necesario conocer o recordar el álgebra matricial, acudiendo para ello a un texto general de matemáticas. A parte de las anteriores operaciones, MatLab también permite operar con las matrices elemento a elemento. La operación elemento a elemento no sigue las reglas del álgebra matricial, en lo que se refiere al producto y la división, ya que lo que hace es operar con cada par de elementos de la matriz que ocupen la misma posición. Por eso este tipo de operaciones sólo se pueden hacer con matrices de las mismas dimensiones, tal y como sucede con la suma y resta algebraica de matrices. Para que las operaciones de multiplicación, división y potenciación se realicen elemento a elemento es necesario añadir un punto delante de los símbolos: .*

./

.\

.^

En los siguientes ejemplos se muestra como aplicar las anteriores operaciones: >> v=[1 2 3 4 5]; >> w=[2 2 2 2 2];

13

Nociones básicas de MatLab 7.0 >> k=v.*w k = 2

4

6

8

10

>> y=v./w y = 0.5

1

1.5

2

2.5

>> r=v.^2 r = 1

4

9

16

25

Las operaciones elemento a elemento son muy útiles para calcular los valores de una función, y, para distintos valores de la variable/s independiente/s. Para ello se aplica la función a un vector previamente definido, como en el ejemplo siguiente. Luego podríamos usar ese conjunto de valores para hacer una representación gráfica de la función en cuestión. >> x=[1 2 3 4 5]; >> y=x.^2

Esta operación sin el punto, conduciría a un error, al no ser x una matriz cuadrada

y = 1

4

9

16

25

>> y=x.^2-5./x y = -4

1.5

7.3333

14.75

24

Las funciones predefinidas de MatLab también funcionan elemento a elemento cuando se aplican a un vector, como en el siguiente ejemplo.

14

Nociones básicas de MatLab 7.0 >> a=[9 16 25]; >> b=sqrt(a) b = 3

4

5

Además existe una serie de comandos que conviene conocer para trabajar con matrices o vectores: a)

l engt h( A) : Devuelve el número de elementos del vector o matriz A

b)

si ze( A) : Devuelve un vector fila [m,n], donde m y n representan el

número de filas y columnas respectivamente de la matriz A. c)

max( A) : Si A es un vector devuelve el elemento mayor.

d)

mi n( A) : Si A es un vector devuelve el elemento menor.

e)

sor t ( A) : Si A es un vector devuelve el mismo vector, pero ordenado

en orden ascendente. f)

mean( A) : Si A es un vector devuelve la media de sus elementos.

g)

medi an( A) : Si A es un vector devuelve la mediana de sus elementos.

h)

st d( A) :

Si A es un vector devuelve la desviación estándar de sus elementos.

Los anteriores comandos, cuyo uso se ha explicado sobre vectores, pueden también ser aplicados sobe matrices, pero en ese caso realiza la operación correspondiente sobre cada columna de la matriz, con lo que devuelve un vector.

4. Representaciones gráficas.

4.1.

El comando plot.

La generación de gráficos en dos dimensiones en MatLab se lleva a cabo usando el comando plot, cuya sintaxis es la siguiente: plot(x,y, ‘especificadores de línea’, ‘propiedades’, ‘valores’)

•

‘x’ e ‘y’ son dos vectores con el mismo número de elementos, siendo el primero

de ellos el que contiene los valores de la variable x (eje de abscisas) y el segundo de la variable y (eje de ordenadas), aunque sus nombres pueden ser cualesquiera.

15


Al usar la sentencia anterior, MatLab abre la ‘ventana de gráfico’ y presenta un gráfico x-y, en el que los puntos aparecen unidos por una línea continua. •

Los especificadores de línea son los argumentos que definen el tipo y aspecto de

la línea y/o marcador que se usará para la representación de los datos. En la Tabla siguiente se resumen los más importantes: Estilo línea

Especif.

Color

Especif.

Marcador

Especif.

Continua

-

rojo

r

signo más

+

Discontinua

--

azul

b

círculo

o

De puntos

:

magenta

m

asterisco

*

Rayas y puntos

-.

verde

g

punto

.

cian

e

cuadrado

s

amarillo

y

diamante

d

estrella blanco

w

de cinco

p

puntas estrella negro

k

de seis

h

puntas Para utilizar estos especificadores hay que hacerlo en la secuencia: ‘color Estilo de línea

→

→

Estilo de marcador’. Por ejemplo: ‘b-*’ dibujaría una línea

continua azul, con asteriscos azules como marcadores. •

Las Propiedades y Valores permiten modificar la apariencia de la curva o los

marcadores, actuando concretamente sobre el grosor de la línea, el tamaño de los marcadores, el color de borde y de relleno de los marcadores. Por ejemplo, el comando markerfacecolor permite modificar el color de relleno de los marcadores. Se escribe cada propiedad entre comillas simples, y a continuación su respectivo valor, separado por una coma, y también entre comillas simples. El orden de las propiedades es indiferente. Mediante esta opción es posible indicar también el color y estilo de la línea, tipo de marcador, etc., tal y como se muestra en el ejemplo siguiente A continuación se incluyen como ejemplo los comandos para representar dos gráficos diferentes y las salidas correspondientes.

16

Nociones básicas de MatLab 7.0 >> %-Gráfico 1-% >> anno=[1996:1:2005]; >> ventas=[523 587 669 854 901 1050 1043 1076 1115 1100]; >> plot(anno,ventas,'r-*') >> plot(anno,ventas, 'color','r','marker','*','LineStyle','-')) >> %- Gráfico 2 -% >> x=[0:pi/16:2*pi]; >> y=sin(x); >> plot(x,y,'r:')

1200

1100

1000

900

800

700

600

500 19 96

1 997

19 98

19 99

200 0

200 1

20 02

20 03

200 4

200 5

Gráfico 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2

0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

-1 0

1

2

3

4

5

6

7

Gráfico 2 Como puede apreciarse para realizar el Gráfico 1, que presenta la evolución anual de las ventas de una empresa, simplemente se han introducido los dos vectores que contiene los datos a representar (años y ventas). En el Gráfico 2 lo que se representa 17


es la función seno. Para ello se ha creado un vector con valores de la variable x comprendidos entre 0 y 2 π, y luego se define el vector ‘y’ como el seno del vector x (MatLab los calcula elemento a elemento). A continuación se representan y frente a x.

4.2.

Representación de gráficos a partir de funciones.

En el ejemplo anterior se ha usado el comando plot para representar una función, lo que requiere calcular los valores de dicha función en el intervalo a representar, como se ha visto. Existe otra forma de representar funciones, que implica el uso del comando fplot. La sintaxis del mismo es la siguiente: fplot ('funcion', limites, especificadores de linea)

Un ejemplo de su uso puede verse a continuación, con su correspondiente salida. >> %- Gráfico 3 -% >> fplot('cos(x)',[0 2*pi],'g--')

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0

1

2

3

4

5

6

Gráfico 3

4.3.

Representar varias funciones en el mismo gráfico.

En muchas ocasiones se hace necesario representar varias funciones o curvas en el mismo gráfico, o incluso incluir dos gráficos en la misma ventana gráfica. Para lo primero, hay tres posibles opciones: 1) Usar el comando plot, colocando en los argumentos los datos y opciones de representación de cada curva, una a continuación de la otra, tal y como se muestra en el ejemplo: 18

Nociones básicas de MatLab 7.0 >> %- Gráfico 4 -% >> anno=[2001:1:2005]; >> ingresos=[2000 3500 3750 3600 3800]; >> gastos=[2100 2800 2950 3000 3050]; >> plot(anno,ingresos,'g-o',anno,gastos,'r-.s')

2) Usando el comando plot para representar la primera curva, y luego introduciendo la instrucción hold on para que mantenga dicho gráfico con los mismos ejes y formatos, de modo que tantas nuevas instrucciones plot como vayamos introduciendo, las presentará sobre el gráfico inicial. Si queremos generar un nuevo gráfico habrá que usar el comando hold off antes de teclear un nuevo plot. >> %- Gráfico 4 -% >> anno=[2001:1:2008]; >> ingresos=[2000 3500 3750 3600 3800 3900 3950 4000]; >> plot(anno,ingresos,'g-o') >> gastos=[2100 2800 2950 3000 3050 3100 3600 3550]; >> hold on >> plot(anno,gastos,'r-.s')

3) Mediante el comando line, que permite añadir curvas a un gráfico existente, pero sin necesidad de usar el hold on. La sintaxis de line es parecida la de plot, pero los atributos de color, tipo de marcador, estilo de línea, etc. han de

ponerse indicando la propiedad y su respectivo valor, es decir, de la misma manera que con plot, pero line no admite especificadores de línea. También permite construir un gráfico sin usar previamente plot. >> %- Gráfico 4 -% >> anno=[2001:1:2008]; >> ingresos=[2000 3500 3750 3600 3800 3900 3950 4000]; >> plot(anno,ingresos,'g-o')

19

Nociones básicas de MatLab 7.0 >> gastos=[2100 2800 2950 3000 3050 3100 3600 3550]; >> line(anno,gastos,'color','r','marker','s','LineStyle','-.')

Todas estas entradas darían lugar al siguiente gráfico: 4000 3800 3600 3400 3200

3000 2800 2600 2400 2200

2000 2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

Gráfico 4 Cuando se trata de colocar varios gráficos en una misma ventana gráfica, pero separados en subventanas, se utiliza el comando subplot, que permite indicar el número de subventanas y la posición del gráfico a representar dentro de ellas. Su sintaxis es: subplot(m,n,p)

siendo m x n el número de subventanas (m filas y n columnas) y p la posición del gráfico dentro de ellas, contando de arriba a abajo y de izquierda a derecha. A continuación se incluye un ejemplo de su utilización. >>%- Gráfico 5 -% >> x=[1 2 3]; >> y=[1 2 3]; >> subplot(2,2,1) >> hold on >> plot(x,y)

20

Nociones básicas de MatLab 7.0 >> subplot(2,2,2) >> plot(x,2*y) >> subplot(2,2,3) >> plot(x,y.^2) >> subplot(2,2,4) >> plot(x,y.^-2)

Que da lugar a la siguiente gráfica: 3

6

2.5

5

2

4

1.5

3

1

2 1

1.5

2

2.5

3

10

1

8

0.8

6

0.6

4

0.4

2

0.2

0

1

1.5

2

2.5

3

1

1.5

2

2.5

3

0 1

1.5

2

2.5

3

Gráfico 5 4.4.

Dar formato a los gráficos.

Hasta ahora se ha visto como crear representaciones gráficas elementales y dado formato a líneas y marcadores, pero no al resto del gráfico: título y escala de los ejes, título del gráfico, leyenda, etc. Existen comandos que permiten hacer esto, y que son de utilidad cuando el gráfico es generado mediante un programa. Estos comandos no se han incluido en la presente guía, pero se puede obtener mayor información sobre los mismos usando la ayuda del MatLab (basta escribir “Annotating Plots” en el buscador). Además estas opciones están también disponibles en la propia ventana gráfica que se despliega cada vez que ejecutamos plot. Basta desplegar el editor de propiedades en el menú “View” y hacer clic sobre cada una de las partes del gráfico, para que se desplieguen sus

21


propiedades. Al gráfico número 6, que se muestra a continuación, se le ha dado formato de esta manera.

) x ( o n e s

x (radianes)

Gráfico 6

4.5.

Escalas no lineales y gráficos especiales.

Terminaremos este apartado describiendo brevemente la generación de gráficos especiales y el uso de escalas logarítmicas y coordenadas polares. A parte de los gráficos presentados hasta ahora, que representan puntos discretos y líneas, MatLab permite también construir gráficos especiales, como los de barras, sectores o histogramas. Para ello dispone de los comandos: −

Gráfico de barras verticales: bar(x,y)

−

Gráfico de barras horizontales: barh(x,y)

−

Gráfico de sectores: pie(x)

−

Histogramas: hist(x)

A continuación se presentan algunos ejemplos de cada uno de estos gráficos. >> anno=[2000:2003]; >> casos=[27 34 45 41]; >> bar(anno,casos,'r') >> xlabel('año')

45 40 35

s30 o s a25 c e d20 º n15 10 5

>> ylabel('nº de casos')

0

2000

2001

2002

2003

año

Gráfico 7

22

Nociones básicas de MatLab 7.0 >> anno=[2000:2003]; 2003

>> casos=[27 34 45 41]; 2002

>> barh(anno,casos,'r')

o ñ a 2001

>> xlabel('nº de casos') 2000

>> ylabel('año')

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

nº de casos

Gráfico 8 >> ventas=[28 34 145 541];

5%

4% asturiana nestlé m.blancas

>> pie(ventas)

danone

19%

72%

Gráfico 9 >> x=[2 4 6 5 2 3 9 5 6 4 2

12

1 5 7 8 9 9 9 9 6 6 6 6 5 2

10

2 4 4 3 4 7 5 2 8 2 4 5 5 7

s 8 o n m6 u l a º n

7 1 1 1 5];

4

>> hist(x) >> hist(x,8)

2

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

nota

8 es el número de intervalos en que divide el

Gráfico 10

rango de valores a representar.

Otro aspecto interesante es el uso de escala logarítmica, muy utilizada para linealizar ciertas relaciones. Para generar un gráfico con escala logarítmica (doble o simple) se usan los comandos loglog(x,y), semilogx(x,y) ó semilogy(x,y), donde x e y son los datos a representar. Por ejemplo, para la función y = x 1.5, la representación en escala lineal y doble logarítmica sería:

23

Nociones básicas de MatLab 7.0 1000

>> x=linspace(0,100,101);

800

>> y=x.^1.5;

600

y 400

>> plot(x,y)

200

0 0

20

40

60

80

100

x

Gráfico 11 >> loglog(x,y)

10

10

3

2

y 10

1

0

10 0 10

10

1

10

2

x

Gráfico 12 A continuación se presenta un ejemplo de aplicación con ejes semilogarítmicos, donde el uso de la escala logarítmica en el eje de ordenadas permite la obtención de un representación lineal. >> x=linspace(0,100,101); >> y=5*exp(-x/25);>> >> plot(x,y) >> semilogy(x,y)

Por último se introduce el comando polar, que permite obtener gráficos en coordenadas polares, y cuya sintaxis es: polar (theta, radio, 'especificadores de linea') 90

>> t=linspace(0,2*pi,200);

1

120

60 0.8 0.6

>> r=cos(2*t);

150

30 0.4 0.2

>> polar(t,r,'r--')

180

0

210

330

240

300 270

Gráfico 13

24


5. Ficheros de programa (script). Hasta ahora hemos usado la ventana de comandos para introducir todas las instrucciones en MatLab. Sin embargo, esto obliga a ir introduciendo las instrucciones una a una, lo cual no es cómodo cuando se trata de un número elevado de ellas. Para estos casos se recurre a escribir programas (“scripts”) que permiten, al ejecutarse, introducir todas las instrucciones deseadas de una sola vez. Estos programas pueden escribirse en el editor de MatLab (File

→

New

→

M-File) o en

cualquier editor de texto, y luego copiarse al editor de MatLab. Su extensión es .m. Las primeras líneas de los mismos deben ser comentarios que expliquen brevemente su función, y para guardarlos (en File

→

Save As…) se deben seguir las mismas

normas que con las variables a la hora de darles nombre. Además los nombres de los ficheros no podrán ser iguales a los de ninguna de las variables definidas o a los de alguna función o comando predefinidos de MatLab.

5.1.

Ejecución de un fichero script: El directorio de trabajo actual.

Una vez guardado, para ejecutar un fichero script, basta con escribir su nombre en la ventana de comandos de MatLab y pulsar la tecla Enter (  ). Es indispensable que el fichero se haya guardado en el directorio de trabajo actual de MatLab (por ejemplo, C:\MATLAB7\work), que es en el que el programa busca 1 y guarda los ficheros. En caso de que el fichero se encuentre en otro directorio, será necesario cambiar el directorio actual (mediante la ‘Current Directory Window’) a aquel donde se haya grabado el fichero que pretendemos ejecutar. En la figura siguiente se muestra el fichero ej1, que representa la función y=exp(x) entre 0 y 10. icono ‘Run’

Otra forma de ejecutar un fichero script es mediante el icono ‘Run’, que se encuentra en el editor de ficheros, como se muestra en la figura anterior. 1

Realmente MatLab busca en todos los directorios incluidos en el ‘Set Path’, de donde se pueden añadir y quitar las rutas, mediante el menú File Set Path… →

25


5.2.

Asignación de valores a las variables de un fichero script y comandos de salida.

Las variables utilizadas en un fichero script son compartidas (variables globales) con las que se introducen mediante la ventana de comandos. Esto quiere decir que es posible asignarles un valor o bien dentro del propio fichero, como en el ejemplo 1, o bien mediante la ventana de comandos. Lo primero nos evita tener que teclear cada vez los valores de las variables, pero obliga a editar el m-file cada vez que queremos modificar los valores de las variables. La asignación mediante la ventana de comandos permite cambiar más fácilmente los valores, pero obliga a teclearlos cada vez. Otra posibilidad consiste en escribir una/s línea/s de código en el fichero script, para que cada vez que lo ejecutemos nos pida el valor de alguna o todas las variables, como se aprecia en el ejemplo 2.

En el ejemplo 2 se usa el comando input(‘mensaje’) para asignar la variable x. De esta forma aparece en pantalla un texto (mensaje) preguntando al usuario el valor que desea asignar a la variable. Además se usa el comando disp, que es un comando de salida, para mostrar el resultado. El comando disp puede servir para mostrar un texto, en cuyo caso necesita las comillas simples, o bien puede usarse para mostrar el valor de una variable, para lo que no deben usarse comillas, tal y como se muestra en el ejemplo 2. Cuando se usa disp para mostrar el valor de una variable sólo se visualiza dicho valor, pero no el nombre de la variable. Una limitación del comando disp es que no permite intercalar el valor de la variable entre dos cadenas de texto. Para ello hay que recurrir a otro comando de salida, fprintf, que además permite dar formato y grabar las salidas a un fichero. Mayor

información acerca de este comando, cuya sintaxis es más compleja, puede encontrarse a través de la ayuda del MatLab.

26


5.3.

Importación y exportación de datos.

Es muy frecuente que en el tratamiento de datos con MatLab tengamos que importar datos desde otros programas, como por ejemplo desde una hoja de cálculo de Excel, o también que queramos volcar el resultado de los cálculos realizados con MatLab en una hoja de cálculo de Excel. Para la importación de datos MatLab cuenta con un asistente que facilita la labor, y que es capaz de identificar datos en formatos diferentes. Para usar dicho asistente debemos ir a la opción Import Data… del menú File. Cuando se trata de datos que están en Excel, MatLab permite importarlos utilizando un comando específico, xlsread, que tiene la ventaja de que podemos incluirlo en un fichero script, e invocarlo mediante el mismo. La sintaxis de este comando es la siguiente: nombre_variable=xlsread('nombre_fichero','nombre_hoja','rango')

Los tres parámetros anteriores son cadenas de datos que representan el nombre del fichero, la hoja correspondiente dentro del mismo, y el rango dentro de la hoja. El rango debe indicarse de la forma B4:C16, según la notación usada por Excel. En realidad sólo es imprescindible el nombre del fichero, ya que el comando actúa por defecto sobre todos los datos numéricos que haya en la Hoja1. Para exportar datos a Excel puede usarse el comando xlswrite, el cual tiene la siguiente sintaxis: xlswrite('nombre_fichero',nombre variable,'nombre_hoja','rango')

Los parámetros son análogos a los del comando xlsread. El archivo de Excel puede ya existir, en cuyo caso pedirá confirmación para sobrescribir los datos (cosa que sucederá si el rango especificado ya estaba ocupado con datos previos), o bien puede ser creado mediante el mismo comando.

6. Ficheros de función. Como se ha visto, MatLab cuenta con numerosas funciones predefinidas ( sin(x), factorial(x), exp(x), etc.) que pueden ser utilizadas simplemente escribiendo

su nombre en la ventana de comandos o en un fichero script. Sin embargo a veces es necesario definir nuevas funciones, para lo cual se utilizan los ficheros de función. Estos ficheros son realmente de script y contienen el código de la función, de modo que una vez creados pueden ser invocados mediante la ventana de comandos, como cualquier función predefinida de Matlab, o lo que es más importante, por medio de otro fichero de programa, del que realmente constituyen un subprograma. Lo normal

27


es que una función se utilice asignando su salida a una variable, como si se tratara de una operación matemática (ver ejemplo en la página 27).

6.1.

Creación de un fichero de función.

Tal y como se ha indicado los ficheros de función se crean como un fichero de script, es decir, mediante el editor de MatLab u otro editor de textos, y luego se guardan dándoles el mismo nombre que a la función y la extensión .m. Para poder ejecutarlos deberán encontrarse en el directorio actual de trabajo de MatLab, como cualquier fichero script. Constan, obligatoriamente, de las siguientes partes: 1) Definición de la función: Ha de incluirse en la primera línea de texto ejecutable. Tiene la siguiente estructura: function [argumentos de salida] = nombre_función (argumentos de entrada)

I) La palabra ‘function’, en minúsculas, debe ser la primera que aparezca. II) A continuación deben incluirse los argumentos de salida, es decir la/s variable/s donde MatLab almacenará el resultado de los cálculos. Si son varios deben ir separados por comas. III) Después del signo igual se escribe el nombre de la función, con el que luego se la invocará. IV) A continuación del nombre se deben indicar el o los argumentos de entrada, es decir, la/s variable/s cuyos valores hay que dar a la función para que realice los cálculos u operaciones que posteriormente se especificarán. Si son varios los argumentos, deben ir separados por comas. 2) Línea H1 y líneas de ayuda, se trata de líneas de comentario, es decir, van detrás de el signo %, en las cuales se describe la función y como usarla. Son opcionales, pero de gran utilidad. La línea H1 es la primera de las líneas, debe contener una breve descripción de la función, y su peculiaridad es que a partir de su contenido es posible hacer búsquedas en MatLab con el comando lookfor. El resto de líneas deben explicar el uso de la función, qué son cada uno de los argumentos de entrada y salida, etc. Cuando en MatLab se teclea Help nombre_funcion, el contenido de estas líneas aparece.

3) Cuerpo de la función, que define las operaciones y cálculos a realizar con los argumentos de entrada para obtener los argumentos de salida.

28


A continuación se muestra un ejemplo de fichero de función. En el se ha definido la función HCmolmass, la cual calcula el peso molecular de un hidrocarburo saturado (alcano), al introducir su número de carbonos.

A continuación se muestra la entrada y salida en la ventana de comandos de MatLab cuando se invoca a la función, así como cuando se usa el comando Help, para obtener ayuda sobre ella. >> PM_metano=HCmolmass(1) PM_metano = 16

>> help HCmolmass Función que calcula la masa molecular de un alcano a partir de su número de carbonos Para utilizarla basta introducir como argumento el número de carbonos del hidrocarburo saturado (alcano) cuya masa molecular se pretende calcular.

6.2.

Variables Globales.

Cada función de MatLab usa una serie de variables (asignadas a los argumentos de entrada y salida), de modo que, por defecto, los valores que se asignan a dichas variables sólo son accesibles a la función en cuestión. Es decir, que estas variables, que se denominan locales, sólo sirven para que se hagan los cálculos dentro de la propia función, pero no es posible acceder a su valor desde la ventana de comandos o por parte de un fichero script diferente. De hecho, la variable no aparece en el

29


‘workspace’, como sucede con aquellas variables que se asignan directamente en la ventana de comandos o por un fichero script, que no sea de función. Cuando se desea que una variable generada por una función sea accesible desde un programa diferente es necesario declarar dicha variable como global. Para ello hay que colocar la sentencia: global nombre_variable

tanto antes del cuerpo de la función como antes del código del programa que vaya a utilizarla. Por ejemplo, si hacemos un pequeño programa (ej3.m) que muestre el valor de las variables MW y n creadas por la función HCmolmass, este podría ser su código.

Para que el programa tenga acceso a ambas variables ambas deben ser también declaradas globales en el código de la función:

De esta forma, podríamos leer los valores de MW y n mediante el programa ej3, tal y como se ve en las siguientes secuencias de comandos.

30

Nociones básicas de MatLab 7.0 >> PM_metano=HCmolmass(1) PM_metano = 16 >> ej3 El valor de MW de un alcano es: 16 cuando el número de carbonos es igual a: 1

Sin embargo hay que ser muy cuidadoso a la hora de utilizar las variables globales, ya que una vez su valor ha sido asignado al ejecutar la función por primera vez, ya no cambia al ejecutar la función una segunda vez, lo que puede dar lugar a errores. Véase a continuación lo que ocurriría si tras teclear el ejemplo anterior en la ventana de comandos, intentamos usar la función HCmolmass para calcular el peso molecular de un hidrocarburo de 2 carbonos. >> PM_etano=HCmolmass(2) Warning: The value of local variables may have been changed to match the globals. Future versions of MATLAB will require that you

declare

a

variable

to

be

global

before

you

use

that

variable. > In HCmolmass at 6 PM_etano = 16

Como puede verse, la variable MW mantiene su valor anterior, e incluso el MatLab advierte del posible error. Para poder aplicar nuevamente la función HCmolmass es necesario borrar los valores de las variables globales, mediante el comando clear global, tal como se ve a continuación, donde también se aprecia como se nos sigue

advirtiendo de un posible error. >> clear global >> PM_etano=HCmolmass(2)

31

Nociones básicas de MatLab 7.0 Warning: The value of local variables may have been changed to match the globals. Future versions of MATLAB will require that you

declare

a

variable

to

be

global

before

you

use

that

variable. > In HCmolmass at 6 PM_etano = 30

6.3.

Funciones ‘inline’.

En MatLab existe otra forma de definir funciones sin crear un fichero de función. Esta forma se puede usar directamente en la ventana de comandos, o bien en el código de un fichero script normal. Para ello se utiliza el comando inline, con la siguiente sintaxis: nombre = inline('expresión matematica')

El nombre de la función se pone en primer lugar, y a continuación, tras el comando inline se coloca, escrita en forma de cadena, la expresión matemática que se debe evaluar, como en el ejemplo siguiente: >> raiz_cubica=inline('x^(1/3)') raiz_cubica = Inline function: raiz_cubica(x) = x^(1/3) >> r=raiz_cubica(27) r = 3

Es posible definir funciones ‘inline’ con más de una variable, o aplicarlas a vectores o matrices (usando las operaciones elemento a elemento). Para más información, consultar la ayuda de MatLab.

7. Programación en MatLab. Hasta ahora hemos escrito pequeños programas en MatLab, tanto en ficheros script, como en ficheros función. Todos ellos eran muy simples y no permitían, por ejemplo, fijar condición alguna a la hora de realizar los cálculos o repetirlos un número

32


controlado de veces. Para ello MatLab dispone de sentencias de programación de tipo condicional y de bucles, de forma similar a la mayoría de los lenguajes de programación de propósito general. En este apartado revisaremos la sintaxis de dichas sentencias, aunque comenzaremos repasando los operadores relacionales y las operaciones lógicas en MatLab.

7.1.

Operadores relacionales y operaciones lógicas.

En la Tabla siguiente se incluyen los operadores relacionales que se utilizan en MatLab. Operador relacional < > <= >= == ~=

Descripción Menor que. Mayor que. Menor o igual que. Mayor o igual que. Igual a. Distinto de.

Estos operadores se usan en operaciones lógicas, cuya salida es siempre un 1 (verdadero) o un 0 (falso), o una matriz de unos y/ó ceros, como puede verse en los ejemplos siguientes. >> A=1; >> B=5; >> r1=A> r2=A>B r2 = 0 >> C=[1 2 3 4 5]; >> D=[0 -3 6 4 8]; >> r3=C>D r3 = 1

1

0

0

0

33


Como puede verse las matrices o vectores se comparan elemento a elemento. Las variables r1, r2 y r3 del ejemplo anterior son variables lógicas, a diferencia de A, B, C ó D que son variables numéricas. Es también importante conocer los operadores lógicos que podemos usar en MatLab, que son los siguientes. Cuando se aplican a vectores o matrices, estos operadores trabajan elemento a elemento. •

& (and): Compara dos escalares, vectores o matrices y devuelve el valor

verdadero (1) si los dos valores comparados son verdaderos (distintos de 0), y falso (0) en caso contrario. Puede escribirse A&B ó and(A,B). •

|

(or): Compara dos escalares, vectores o matrices y devuelve el valor

verdadero (1) si uno de los dos valores comparados o los dos son verdaderos (distinto de 0), y falso (0) si los dos son falsos (0). Puede escribirse A|B ó or(A,B).

•

xor: Se diferencia de or en que en este caso sólo da verdadero si uno de los

elementos comparados es verdadero y el otro falso, pero da falso si los dos son verdaderos. •

~ (not): Se usa con un solo operando (escalar, vector o matriz) y devuelve otro

operando del mismo tipo con el valor verdadero (1) para cada elemento que sea falso (0) y falso (0) para los elementos verdaderos (1). Puede escribirse ~A ó not(A).

MatLab tiene además predefinidas una serie de funciones lógicas, que se enumeran a continuación, y que pueden resultar de mucha utilidad: •

Función all: Aplicada a un vector, devuelve 1 (verdadero) si todos sus elementos son distintos de 0, y devuelve 0 (falso) si alguno/s de los elementos del vector son iguales a 0.

•

Función any: Aplicada a un vector, devuelve 1 (verdadero) si alguno de sus elementos es distinto de 0, y sólo devuelve 0 (falso), si todos los elementos son 0.

•

Función find: Aplicada a un vector devuelve el índice de los elementos que son distintos de 0. Es posible aplicarla usando operadores lógicos, de la forma find(A>5), lo cual devolvería el índice de los elementos que sean mayores que

5 en el vector A. Los operadores lógicos, junto con las funciones anteriores son muy útiles cuando se comparan series de datos, como en el siguiente ejemplo, en el que se analizan las notas de un grupo de alumnos, buscando los que tienen notable.

34


>> notas=[5 6 4 8 3 9 2 4 6 8 9 9 5 6 7 7.5 4 7 7 8]; >> A=notas>=7; >> B=notas<9; >> C=A&B; >> notables=find(C) notables = 4

10

15

16

18

19

20

Como puede verse el vector ‘notables’ contiene los índices de los elementos del vector ‘notas’ que son menores de 9 y mayores o iguales que 7, es decir que corresponden a un notable. Si tenemos todos los nombres de los alumnos en un vector, será muy fácil generar otro vector con los nombres de aquellos que tienen notable.

7.2.

Sentencias de programación.

Abordaremos a continuación la sintaxis de los principales tipos de sentencias de programación en MatLab: ♦ Sentencias condicionales:

La sentencia i f

Permiten ejecutar una serie de comandos si se verifican unas condiciones previamente especificadas. La instrucción que se usa es ‘ if … end’ según el diagrama de flujo siguiente:

Detrás de if deben escribirse una serie de operaciones lógicas, del modo: if a
Nociones básicas de MatLab 7.0 if (d
Todas las variables que se empleen deben haber sido previamente asignadas. También es frecuente que sea necesario usar una serie de instrucciones u otra según se cumplan unas u otras condiciones. Para ello se emplean las estructuras ‘if … else … end’ o ‘if … else … elseif … end’, según el diagrama de flujo siguiente:

Como puede verse la sentencia else nos permite elegir entre dos grupos de instrucciones, y la sentencia elseif entre tres grupos, aunque, como pueden usarse todas las elseif que queramos, realmente lo que nos permite es elegir entre tantos grupos de instrucciones como queramos. En caso de usarse la sentencia elseif no es obligatorio terminar con un else. Existe además otra sentencia condicional, que es switch-case. Para más información se puede consultar la ayuda de MatLab. ♦ Bucles:

Permiten ejecutar una instrucción o conjunto de ellas un número determinado de veces. Los más importantes son los siguientes: Bucle f or - end

Su peculiaridad es que tenemos que conocer, desde el primer momento, el número de veces que la instrucción se repetirá. La estructura del mismo es:

36

Nociones básicas de MatLab 7.0 for k = f:s:t ……… ……… (serie de comandos en MatLab) ……… end k es la variable que se irá actualizando. f es el primer valor que toma la variable k s es el incremento de la variable k cada vez que se ejecuta la serie de comandos

comprendida entre for y end. t es el valor máximo (o mínimo, si s es negativo) que alcanzará la variable k. Una

vez alcanzado, los comandos comprendidos entre for y end, no se ejecutarán más. Bucle whi l e- end

En este caso no se conoce el número exacto de ejecuciones de los comandos del bucle que serán necesarias, por lo que éstos se ejecutarán mientras se cumpla una determinada condición, que obviamente debe especificarse. Su estructura por tanto, es: while expresión_condicional ……… ……… (serie de comandos en MatLab) ……… end

Para que esta estructura funcione es imprescindible que al menos una de las variables de la sentencia condicional cambie de valor cada vez que se ejecutan los comandos. La sentencia break puede usarse para romper un bucle, especialmente cuando éste contenga sentencias condicionales. Cuando el MatLab llega a esta instrucción, salta directamente a la sentencia end y da por terminado el bucle.

8. Algunas aplicaciones importantes de MatLab. Hasta el momento hemos descrito los aspectos básicos del MatLab, por lo que, aunque una descripción detallada de las posibilidades del programa no es factible ni es nuestro objetivo, conviene para finalizar repasar algunas aplicaciones particularmente útiles y frecuentes del mismo.

8.1.

Polinomios.

En MatLab un polinomio se introduce como un vector fila, cuyos elementos son los coeficientes del polinomio. Si el polinomio no contiene todos los términos (por ejemplo, tiene el x 3, pero no el x 2), deberá ponerse un 0 en el lugar del coeficiente correspondiente al término que falta.

37


Para operar con polinomios existen algunas funciones predefinidas que merece la pena conocer: −

polyval(p,x): Permite calcular el valor del polinomio p en el punto x. Si x es

un vector, generaría un conjunto de valores del polinomio, en vez de un único valor. −

roots(p): Genera un vector con las raíces del polinomio p. polyder(p): Genera un vector con los coeficientes de la derivada del

−

polinomio p.

8.2.

Ajuste de curvas. La función pol yf i t .

Es muy frecuente cuando se tratan datos experimentales que se plantee la necesidad de ajustarlos a un polinomio o a otro tipo de función. La función polyfit permite ajustar un conjunto de puntos a un polinomio de dos formas diferentes. Su sintaxis es la siguiente: polyfit(x,y,n)

El comando anterior calcula el polinomio de grado n que mejor ajusta el conjunto de puntos cuyas coordenadas ‘x’ (variable independiente) e ‘y’ (variable dependiente) vienen dadas por los vectores x e y respectivamente. El máximo grado será siempre inferior en una unidad al número total de puntos a ajustar, es decir al número total de elementos de los vectores x ó y. Hay que ser muy cauteloso cuando se usan polinomios de alto grado que pasan por todos o casi todos los puntos, ya que en estos casos se producen desviaciones muy importantes entre los puntos, como puede verse en la imagen siguiente, donde se usan dos polinomios de grado diferente para ajustar un conjunto de cinco puntos, mediante la función polyfit. 10

8

5 puntos – grado 4

7.5

9 7

8 6.5

7

6

5.5

6

5

5 4.5

4 4 0

2

4

6

8

p=polyfit(x,y,2)

10

0

2

4

6

8

10

12

12

r=polyfit(x,y,4)

38


La función polyfit también permite ajustar datos a otros tipos de funciones básicas, siempre que previamente se linealicen éstas, como por ejemplo: y=b·xn

→

log(y)=log(b)+n·log(x)

Para ajustar una serie de puntos (x,y) a una función potencial podríamos usar el comando polyfit de esta forma: p=polyfit(log(x),log(y),1)

8.3.

Interpolación.

Cuando disponemos de una serie de datos en forma de puntos (x,y) podemos obtener el valor de y para un x diferente, aunque normalmente dentro del rango de valores de x conocidos. A esto se le llama interpolar. Para interpolar existen diferentes métodos matemáticos, que suponen una determinada tendencia para la evolución de los datos; por ejemplo, lo más sencillo es suponer que los valores varían linealmente entre cada pareja de datos conocidos. Para realizar interpolaciones en MatLab se usa la función interp1, que tiene la siguiente sintaxis: yi=interp1(x,y,xi,’metodo’) x e y son las coordenadas de los puntos (datos) conocidos. xi son los valores de la

variable independiente x para los cuales deseamos conocer el correspondiente valor de y (variable dependiente), que se almacenarán en el vector yi. Es también posible especificar el método de interpolación. Los tres más importantes son: −

linear: supone un segmento lineal entre cada par de puntos.

−

spline: supone un segmento polinómico cúbico entre cada par de puntos.

−

pchip: utiliza interpolación de Hermite cúbica (también 'cubic').

En la siguiente figura se aprecian tres casos de interpolación con cada uno de los métodos anteriores. La línea continua representa la función real a la que pertenecen los puntos. La línea discontinua corresponde a los puntos interpolados.

linear

spline

pchip

39


Además MatLab cuenta con un asistente para la interpolación mediante polinomios de forma interactiva, permitiendo el cálculo de residuos y la comparación de distintos ajustes con polinomios de diferente grado. Para usarla, una vez generado el gráfico, hay que entrar en la herramienta Basic Fitting, en el menú Tool, de la ventana de gráficos.

8.4.

Solución de ecuaciones de una variable.

Toda ecuación de una variable, polinómica o no, puede ponerse en la forma f(x) = 0, con lo que su solución es posible resolviendo dicha ecuación. Para ello MatLab cuenta con la función fzero, cuya sintaxis es: fzero(‘funcion’,x0)

El comando anterior devuelve un escalar x que satisface la igualdad f(x) = 0. Para realizar este cálculo MatLab emplea métodos numéricos iterativos, de modo que hay que suministrar un valor, x0, próximo a la solución esperada, para que comience las iteraciones. La función que hay que poner como argumento puede ser una cadena de texto o bien se la puede definir mediante un fichero de función. A continuación se muestra un ejemplo, que nos permite resolver la ecuación ‘ x 2 + 8 = ex ’ >> sol=fzero('x^2-exp(x)+8',0) sol = 2.7421

Una buena forma de averiguar dónde una función tiene una solución, o simplemente si la tiene, es realizar una representación gráfica de la función

8.5.

Cálculo del máximo y mínimo de una función.

MatLab cuenta con una función para calcular el máximo o mínimo local de una función de una variable. Se trata de fminbnd, que se usa de la siguiente forma: fminbnd(‘funcion’,x1,x2)

El comando anterior devuelve el valor donde la función especificada alcanza el mínimo, dentro del intervalo x1

≤

x

≤

x2. Para visualizar el valore que toma la

función, hay que modificar ligeramente la sintaxis: [x fval]=fminbnd(‘funcion’,x1,x2)

De esta forma el valor de la función en x se asigna a la variable fval.

40


El valor mínimo de la función puede encontrarse dentro del intervalo (mínimo local) o en los extremos del mismo (mínimo absoluto). MatLab siempre busca el mínimo local, y luego lo compara con el valor de la función en los extremos del intervalo, devolviendo el punto donde la función alcanza el menor valor, como se aprecia en el siguiente ejemplo: 1000

0

-1000

) x ( f

-2000

-3000

-4000

-5000 -10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x

>> [x fx]=fminbnd('2.5*x^3-21*x^2+0.25*x-5',-10,10) z = -10 fx = -4.6075e+003 >> [x fx]=fminbnd('2.5*x^3-21*x^2+0.25*x-5',0,10) x = 5.5940 fx = -223.1207

La función fminbnd se puede también usar para encontrar el máximo, para lo cual basta aplicarla a la función multiplicada por −1.

41


8.6.

Integración numérica.

La integración es una operación muy frecuente en los cálculos científico-técnicos, y en una gran cantidad de ocasiones no es posible realizarla analíticamente, sino que es necesario usar la integración numérica, incluso porque lo que se conoce no es la función a integrar (que además puede no ser integrable), sino una serie de puntos. Para ello se pueden usar las siguientes funciones: −

quad ó quadl: Realiza la integración numérica de una función, y se debe usar

de la forma siguiente: quad(‘funcion’,a,b)

siendo a y b los límites de integración y la función una cadena de texto o una función existente en MatLab o predefinida por el usuario. La función siempre debe escribirse de forma que permita realizar operaciones elemento a elemento, ya que esta es la forma de calcular que usa MatLab. El comando quadl sólo se diferencia del quad en la forma de calcular la integral, que es más precisa en quadl que en quad.

−

trapz: Realiza la integración numérica a partir de un conjunto de puntos, dado

por sus coordenadas x e y, de la forma: trapz(x,y)

8.7.

Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

MatLab posee numerosas herramientas de cálculo para abordar la resolución de ecuaciones diferenciales, desde las más simples (ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, ODE) hasta casos más complejos y sistemas de ecuaciones diferenciales. A continuación se describirán los pasos para resolver un caso sencillo con las funciones predefinidas de MatLab. I) Partiremos de una ecuación diferencial en la que se describe la evolución de una variable dependiente (y) en función del tiempo (t). En general esa ecuación debe ponerse en la forma general:

dy dt

=

f ( y, t)

t0 ≤ t ≤ tf

y(t0 )

=

y0

La solución al problema será una función o más frecuentemente un conjunto de valores de dicha función en el intervalo considerado.

42


II) Una vez formulado el problema convenientemente, se debe crear un fichero de función que calcule los diferentes valores de dy/dt según la ecuación diferencial

planteada, es decir, según f(t,y). function [deriv]=ejemplo(t,y) deriv = f(x,y)

III) A continuación hay que seleccionar el mejor método para hallar la solución . MatLab dispone de diferentes funciones predefinidas para ODEs de primer orden, que son aplicables en función del nivel de complejidad del problema. En la siguiente tabla se resumen las más importantes: Nombre de la función (método)

Descripción

ode45

Para ecuaciones no demasiado complejas. Obtiene la solución en un solo paso,ideal para intentar obtener una primera aproximación. Se basa en el método Runge-Kutta. Para ecuaciones no demasiado complejas. Obtiene la solución en un solo paso. Está también basado en el método Runge-Kutta. Es más rápido pero menos preciso que el método ode45. Para ecuaciones no demasiado complejas. Obtiene la solución en múltiples pasos. Para ecuaciones complejas. Obtiene la solución en varios pasos. Se utiliza cuando ode45 falla. Para ecuaciones complejas. Obtiene la solución en un solo paso. Permite resolver algunas ecuaciones que no puede resolver ode15. Para ecuaciones de dificultad media. Para ecuaciones complejas. A veces más eficiente que ode15s.

ode23

ode113 ode15s ode23s

ode23t ode23tb

Lo normal es utilizar el ode45, y si no da resultado recurrir a los demás, empezando por el ode15s. IV) Se resuelve el problema usando el método seleccionado: [t,y]=nombre_metodo(‘funcion’,tspan,y0) 

nombre_metodo puede ser cualquiera de los indicados en la tabla anterior.



‘funcion’ debe ser el nombre (cadena de texto) usado para designar a la

función generada en el paso II. 

tspan es un vector que define el intervalo de valores de tiempo (o de la

variable independiente que sea) para el que se calculará la solución.

43


Necesariamente tspan debe tener dos elementos, el punto inicial y final [ti,tf], aunque lo normal es que se trate de un vector con todos los valores

de la variable independiente, t, para los cuales queremos conocer el valor de la función y. 

y0 es el valor de la función y para t 0, que debe ser conocido.



[t y] es la solución, es decir, el conjunto de valores de la función y para

cada uno de los valores de t especificados mediante el vector tspan A continuación se aplica la metodología descrita (pasos I a IV) a un problema sencillo: La desactivación térmica de una enzima a 60ºC sigue una cinética de primer orden con una constante de desactivación de 0.05 min -1. Se pide representar gráficamente su actividad residual entre 0 y 60 minutos, considerando que dicha actividad representa el porcentaje sobre la actividad a tiempo 0.

I) Se plantea el problema como una EDO de primer orden 2: dA dt

=

−0.05· A

0 ≤ t ≤ 60

A(0)

=

100

II) Se crea un fichero función que calcule los valores de dA/dt:

Como variables de entrada de la función se ponen t y a, lo que es necesario para usar luego la función ode45, aunque en este caso dA/dt no es función directa de t. III) Usaremos el método ode45 IV) Resolvemos el problema mediante: [t a]=ode45('desact',[0:1:60],100);

2

Al tratarse de una EDO muy sencilla se podría resolver integrando directamente la ecuación, pero lo haremos mediante los métodos numéricos que incorpora el MatLab.

44


V) Por último representamos los valores de A frente al tiempo, mediante una orden plot, lo que conduce a: 10 0

80

60 % , A

40

20

0

0

10

20

30 t, min.

40

50

60

45

Esta guía se basa en el libro “Matlab: Una introducción con ejemplos prácticos”

de Amos Gilat, Ed. Reverté, Barcelona, 2006. Este libro es traducción de la segunda edición de la obra, publicada por John Wiley & Sons, USA, 2005.

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47676461 MatLab Guia Para Alumnos de Reactores Quimicos

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