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Excel con aplicaciones en ingeniería
JAVIER GONZÁLEZ CÁZARES
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Contenido DEDICATORIA: ....................................................................................................................................... 4 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................... 5 CICLOIDE ............................................................................................................................................... 6 TAUTÓCRONA ................................................................................................................................... 7 BRAQUISTÓCRONA ......................................................................................................................... 11 INICIAR GRAFICANDO LA CICLOIDE. ................................................................................................. 13 GRAFICAR LA RECTA ........................................................................................................................ 14 PRESENTACIÓN .............................................................................................................................. 15 ENGRANE RECTO ............................................................................................................................. 15 CIRCUITO ELÉCTRICO .......................................................................................................................... 16 CIRCUITO ELECTRICO I ..................................................................................................................... 17 CIRCUITO ELÉCTRICO II .................................................................................................................... 19 BINOMIO DE NEWTON ........................................................................................................................ 22 DISEÑO DE UNA LEVA ......................................................................................................................... 24 Hagamos un análisis de etapa por etapa: ........................................................................................ 28
Perfil del segmento
................................................................................................................... 30
Perfil del segmento
................................................................................................................... 31
Perfil del segmento
................................................................................................................... 32
Perfil del segmento
................................................................................................................... 32
Perfil del segmento
................................................................................................................... 33
GRAFICOS EN 3D ................................................................................................................................. 35 Vértices: Donde se almacenan las coordenadas coordenadas para cada vértice. .............................................. 37 Aristas: Contiene apuntadores a la tabla de vértices para identificar los vértices de que se compone cada arista. .......................................................................................................................... 37 Polígonos: Contiene apuntadores apuntadores a la tabla de aristas para identificar las aristas de que se compone cada polígono. ..................................................................................................................... 37 CILINDROS DE REVOLUCIÓN ................................................................................................................ 37 CILINDRO GENERADO POR UNA RECTA ........................................................................................... 38 CILINDRO DE REVOLUCIÓN .............................................................................................................. 38 CILINDRO GENERADO POR UNA PARÁBOLA .................................................................................... 43 LA PROYECCIÓN GRÁFICA.................................................................................................................... 46
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Contenido DEDICATORIA: ....................................................................................................................................... 4 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................... 5 CICLOIDE ............................................................................................................................................... 6 TAUTÓCRONA ................................................................................................................................... 7 BRAQUISTÓCRONA ......................................................................................................................... 11 INICIAR GRAFICANDO LA CICLOIDE. ................................................................................................. 13 GRAFICAR LA RECTA ........................................................................................................................ 14 PRESENTACIÓN .............................................................................................................................. 15 ENGRANE RECTO ............................................................................................................................. 15 CIRCUITO ELÉCTRICO .......................................................................................................................... 16 CIRCUITO ELECTRICO I ..................................................................................................................... 17 CIRCUITO ELÉCTRICO II .................................................................................................................... 19 BINOMIO DE NEWTON ........................................................................................................................ 22 DISEÑO DE UNA LEVA ......................................................................................................................... 24 Hagamos un análisis de etapa por etapa: ........................................................................................ 28
Perfil del segmento
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Perfil del segmento
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Perfil del segmento
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Perfil del segmento
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Perfil del segmento
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GRAFICOS EN 3D ................................................................................................................................. 35 Vértices: Donde se almacenan las coordenadas coordenadas para cada vértice. .............................................. 37 Aristas: Contiene apuntadores a la tabla de vértices para identificar los vértices de que se compone cada arista. .......................................................................................................................... 37 Polígonos: Contiene apuntadores apuntadores a la tabla de aristas para identificar las aristas de que se compone cada polígono. ..................................................................................................................... 37 CILINDROS DE REVOLUCIÓN ................................................................................................................ 37 CILINDRO GENERADO POR UNA RECTA ........................................................................................... 38 CILINDRO DE REVOLUCIÓN .............................................................................................................. 38 CILINDRO GENERADO POR UNA PARÁBOLA .................................................................................... 43 LA PROYECCIÓN GRÁFICA.................................................................................................................... 46
3 DESCRIPCIÓN .................................................................................................................................. 46 TIPOS DE PROYECCIONES ................................................................................................................ 47 LOS GRÁFICOS POR COMPUTADORA ................................................................................................... 48 PERSPECTIVA .................................................................................................................................. 49 MÉTODOS DE CONSTRUCCIÓN DE PERSPECTIVAS 3D. ..................................................................... 50 ROTACIÓN DE VECTORES .................................................................................................................... 52 ESPACIO FÍSICO TRIDIMENSIONAL ................................................................................................... 53 SIMULACIÓN 3D .............................................................................................................................. 54 REPRESENTACIÓN DE TRANSFORMACIONES TRIDIMENSIONALES........................ ......................... ... 54 DIVERSAS TRANSFORMACIONES ..................................................................................................... 55 APLICACIÓN DE TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA .......................................................................... 56 ROTACIÓN ................................................................................................................................... 57 LAS SOLUCIONES PARA LAS MATRICES SON CONSIDERADAS COMO ECUACIONES: ....................... ... 58 ROTACIÓN Z: ................................................................................................................................... 58 z´ = z ............................................................................................................................................... 58 CENTRADO DE LA FIGURA ............................................................................................................... 58 SISTEMAS TRIDIMENSIONALES TRIDIMENSIONALES EN CIENCIAS NATURALES NATURALES .................................. ........................... ....... 59 ANIMACIONES EN 3D .......................................................................................................................... 62 ESTRUCTURA DE ROTACIONES ........................................................................................................ 63 PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA....................................................................................................... 63 MAPA DE MÉXICO ........................................................................................................................... 71
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DEDICATORIA:
A MI ESPOSA: JOSEFINA A MIS HIJOS: JAVIER ANTONIO Y M. JOSEFINA ADRIANA
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INTRODUCCIÓN Un peligro para las generaciones de países “emergentes” es no poder acceder cada vez más a
softwares originales (ya que son muy caros), lo que genera que proliferen software apócrifos, por lo que un usuario no puede sacarle provecho a sus creaciones. En las escuelas de educación básica no existen programas unificados, un ejemplo: en las primarias los estudiantes acceden a la multimedia, software o programas ya hechos, pero no al desarrollo libre de la creación. En la secundaria debido al auge de las “nuevas tecnologías”, se están descuidando la capacitación técnico-científico, se descuidan los laboratorios de física, química, electricidad, etc.; no existe relación entre estas “nuevas tecnologías” y las ciencias, el laboratorio de computación (nombre mal usado) se enfoca a aplicaciones de oficina, sin relación con las materias, si acaso, podrían relacionarse con la materia del Español. Las empresas no quieren a alguien que use el código, sino a alguien que pueda utilizar el código. El uso de gráficos permite visualizar lo escrito o resuelto en clase de manera más sencilla. Se ponen en juego los entendimientos distorsionados de la matemática a la hora de manipular números, ecuaciones y gráficos en el uso de Excel y Word. Al no usar conceptos aprendidos en el salón de clase suele existir ausencia entre práctica y teoría en la enseñanza de la matemática, no habrá una relación entre entendimiento matemático y situación en la mayoría de los alumnos. Si el lenguaje matemático es ajeno a sus experiencias cotidianas, es natural que no entiendan como debe escribirse. Mediante la realización de prácticas donde implican la relación entre el lenguaje y ortografía matemática les permite reflexionar limitaciones subjetivas de: “pensaba que era más difícil resolverlas”, o “es más fácil hacerlas así”. Permite orientar el entendimiento. En este trabajo el desarrollo de gráficos 3D, permitirá al estudioso ver otra forma de visualizar objetos, sin utilizar otro software, simplemente Excel. Las aplicaciones en la ingeniería permite comprender que no sólo Excel es para la industria Comercial, sino que va más allá. Existen unas palabras de Bill Gates en el que resume cuáles son las características de los nuevos profesionistas en la nueva revolución científico-técnica: “La nueva fuente de riqueza no es material; es la información, el conocimiento aplicado al trabajo para crear valor”.
Profr. J. G. C. Octubre 2010
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CICLOIDE1 "Se me ocurrió describir esa línea arqueada hace más de 50 años, la admiraba como una curva muy graciosa que debería ser apropiada para los arcos de un puente". Galileo Galilei
La idea de encontrar la cuadratura2 y curvatura del círculo, viene desde Arquímedes; El primero en interesarse por ella fue Nicolás de Cusa 3 cuando trataba de encontrar el área de un círculo por integración 4, quien la creyó un medio mecánico para lograr la cuadratura del círculo; luego, pensadores como Kepler y Galilei, estudiaron en profundidad las propiedades de dicha curva. fig.1 Nicolás de Cusa
La cuadratura del círculo llevó al estudio de la hipotrocoide 5: curva trazada por un punto P de un círculo que gira sin deslizamiento dentro de otro círculo fijo 6.
fig. 2. Hipotrocoide
Esta curva tiene dos propiedades básicas: tautócrona7 y braquistócrona8. Para Galileo la tautócrona describía idóneamente la trayectoria de la punta de un péndulo en oscilación, cada oscilación en tiempos iguales e independientes de su amplitud, la necesidad de resolver matemáticamente este problema no fue por “calentura” intelectual, sino por una aplic ación real y práctica, fue por la mejora 1
Del griego, KuKAos significa circular y Ethos, forma ; la más bella de las curvas, en literatura es considerada “La Helena de las curvas”, en recuerdo de la mujer de Menelao , de quien se decía que por ella “se lanzaron al mar un millar de barcos”. 2
Consistía en encontrar un cuadrado de igual área que un círculo, también en hallar un segmento de recta con la misma longitud que una circunferencia. 3 Algunos autores afirman que fue Charles Bouvelles. 4
Consideró el movimiento rotatorio como la única y más directa reflexión del ser –es decir, del proceso de creación del universo mismo – en el dominio visible de la forma y el movimiento. Esa correspondencia se demuestra, como posteriormente lo subrayó Cusa, por lo que se denomina la característica isoperimétrica o de acción mínima de la acción rotatoria. 5
Su nombre se deriva del sustantivo griego
que se le ha antepuesto la preposición 6
, ‘círculo, rueda’ junto con el sufijo
, ‘semejante a’, al
que significa ‘debajo de.
http://cimm.ucr.ac.cr/ciaem/articulos/historia/textos/La%20cicloide:%20un%20recorrido%20por%20sus%20propiedades.*H ern%C3%A1ndez%20Abreu,%20Domingo.*Union_012_011.pdf 7 Significa mismo tiempo. Es la curva de más rápido descenso por gravedad 8 Del griego brachistos, el más breve, cronos, tiempo; el menor tiempo. Es decir, el período de una pelota que rueda hacia atrás y adelante dentro de esta curva no depende de la posición de salida la bola
7 de la exactitud de los relojes aplicados en áreas como la astronomía, mecánica y navegación. La braquistócrona nace de encontrar la catenaria9 ideal para aplicaciones, además se aceleró su solución debido al reto que lanzó uno de los hermanos Bernoulli 10 a grandes matemáticos de su época, y tiene una característica muy curiosa, si deja caer una bola en una tabla (recta) inclinada, y otra en una cicloide, llega más pronto la bola en la cicloide, este problema en particular fue resuelto por los Hermanos Bernoulli11, dando nacimiento al “Cálculo de variaciones”.
TAUTÓCRONA Las fórmulas se deducen a partir de la figura siguiente, cabe decir que son semejantes a las propuestas por Bernoulli, sólo que se considera un desplazamiento, en sentido a la derecha con respecto al origen según se mueve en la hoja Excel:
Fig. 3
En la figura: X1 = C – x Y1 = k – y Por trigonometría elemental:
9
Esta curva está relacionada con la fuerza de gravedad, debido a la forma de un hilo de densidad homogénea sostenido por dos puntos y sometido a la fuerza de gravedad. 10 Johann Bernoulli. 11
Este gran reto histórico fue resuelto por cinco grandes: Hermanos Bernoulli, L´Hópital, Newton y Leibniz.
8
Seno θ =
Coseno θ =
Finalmente:
Donde C es la circunferencia desplazada, r el radio de l a circunferencia. h y k son el centro de la circunferencia. Δh y Δk el centro desplazado.
X1 e y1 la posición desplazada. Θ ángulo
En una nueva hoja Excel, escriba las siguientes fórmulas: Vincule una Barra de desplazamiento en la celda B1, mínimo de 0, máximo de 313. Un ángulo inicial de 0, en la celda B2. Ángulo final en celda B3, con la fórmula =B1/10 (para visualizar el número de grados en la celda B4 escriba =GRADOS(B3). El número de celdas en la celda B5, de 200. Radianes recorridos en celda B6 =B3/B5. En celda A9 escribe 0, luego en celda A10 escribe: =A9+$B$6, copie y pegue hasta A209. En celda B9 escribe =GRADOS(A9), copie y pegue hasta B209. La circunferencia tiene relación con la proyección k, por lo que la fórmula a aplicar es:
Donde L: circunferencia
r: radio α: ángulo 2, π, 360°: constantes
En celda G2 escriba el valor de k. La circunferencia recorrida para cada ángulo, en celda C9, la fórmula =2*PI()*$G$2*B9/360; copie y pegue hasta C209.
9 En celda G1 escribe =2*PI()*G2*B4/360, para ver la distancia total recorrida. La proyección x, se calculará en la columna D a partir de la celda D9, con =C9-$G$2*SENO(A9), copie y pegue hasta D209. La proyección y, de igual manera, pero en celda E9 con =$G$2-$G$2*COS(A9), copie y pegue hasta E209. Una visualización de los cálculos figura 4:
fig.4
Modifique para ser más atractiva su presentación, de manera sencilla, figura 5:
fig.5
La cicloide debe tener un camino que una dos puntos fijos A y B para que una partícula emplee un tiempo mínimo en recorrerlo. El camino más corto es el segmento de la recta que pasa por los puntos A y B, pero el tiempo no depende solo de la longitud del camino sino también de la velocidad de la partícula. Ejercicio: Considere el movimiento de traslación de una bicicleta, describa la trayectoria de la llanta movida por la acción de una persona, desprecie algunos parámetros para visualizar este movimiento, como:
Velocidad de traslación. Velocidad de rotación. Centro de masas.
Considere los siguientes:
10
Posición angular. Radio de la rueda. Flechas, estrella, cadena, cuadro. Dibujo de la persona.
Una presentación sería la siguiente:
fig. 6
Otra presentación más animada es con alguien al volante:
fig. 7
La aplicación de la cicloide va más allá: para diseñar una bicicleta el ingeniero considera que el análisis estático y lineal, el diseño biomecánico de la bicicleta debe proporcionar cadencia al pedaleo 12, momento del tobillo, actividad muscular, fuerzas de resistencia y propulsivas. Todo esto para que el ciclista tenga sesiones de entrenamiento particulares que mejoren su técnica además de su salud. 12
Gutiérrez,M.; Biomecánica y ciclismo, Departamento de educación física y deportiva, Universidad de Granada, Revista Motricidad, 1994.
11 Otras aplicaciones de la curva son el diseño de puentes colgantes, líneas de transmisión de alto voltaje, en engranajes con perfil cicloidal13, en aeronáutica, entre otras. Un estudio vectorial de todas las componentes del sistema, invita a la reflexión de sus usos no sólo didácticos, sino a usos prácticos en nuestra vida cotidiana. BRAQUISTÓCRONA Eppur si muove (Y sin embargo se mueve).
Los métodos formales de descripción de “cuadrar el círculo” con la clase de sistemas matemáticos
normales una figura geométrica curva se puede representar como si fuera recta cuando la estudiamos en los intervalos infinitamente pequeños. El camino que utiliza un tiempo más corto para un móvil que cae por gravedad tiene forma de cicloide; el sentido común (que normalmente conduce a error), nos dice que el camino más rápido para que la bolita pase de A a B es un plano inclinado AB. La trayectoria de un punto en una rueda, la posición o recorrido de un cuenco, permite describir la curva que describe un determinado cuerpo al caer a lo largo de un alambre o hilo o cuerda en un tiempo mínimo, que en Física llaman "Velocidad de Caída Óptima". Uno de los grandes logros de Newton (obtenido simultáneamente también por Bernoulli y Leibniz) es el descubrimiento de la ecuación diferencial de la cicloide. En el siguiente ejemplo, se calcularán las posiciones de una partícula en un tiempo determinado a una velocidad en función de su gravedad, dejo a usted el estudio y las demostraciones de cada fórmula presentada14:
Fig. 8. Posición de la partícula a lo largo de una recta y una cicloide
13
La lubricación de los dientes cicloidales es, pues, algo más eficaz que la de los dientes de evolvente, y esta propiedad es útil en las transmisiones por tornillo sin fin que transmiten cargas importantes. 14
Una interesante demostración, en la web:http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/old/05edumat /geometriahoy/experimentosgeom/ecua.htm.
12
BRAQUISTÓCRONA
x = R * (2θ + π + sen( 2θ + π ))
Posición ( x ; y )
y = - R * ( 1 + cos( 2θ + π ))
Frecuencia angular
RECTA Posición Inclinación Velocidad
Posición ( x, y )
s = 0.5 * g * t2 * sen │β│
; donde: θ = constante
v = g * t * sen │β│
x = s * cos β y = s * sen β
13
Dónde: R = radio 0.5, 2, 4, θ, π = constantes
g = gravedad (9.81 m/s2) v = velocidad (m/s) θ, β = ángulos
seno, coseno, tangente = funciones trigonométricas ω = frecuencia angular (1/s)
Una nota: las fórmulas de la posición para la cicloide, está modificada para que la curva se traslade en el cuarto cuadrante, en el plano cartesiano. Iniciar graficando la Cicloide. En la celda B2 escriba el valor del radio, para la cicloide. Grados: en celda A9 escribe – 90, en la ficha Inicio + Rellenar + Series + Columnas + Límite: 90, + Aceptar. Radianes: en celda B9 escribe =RADIANES(A9), copiar, pegar hasta B189 TABULACIÓN DE LA POSICIÓN X: En la celda E9 escriba la fórmula =$B$2*((2*B9+PI())-SENO(2*B9+PI())), copia, pega hasta E189 TABULACIÓN DE LA POSICIÓN Y : En la celda F9 escribir =-$B$2*(1- COS(2*B9+PI())), copiar, pegar hasta F189. PUNTO DESLIZANTE EN LA CICLOIDE : El valor de ω en celda M2 =RCUAD(9.81/(4*B2)), el tiempo en celda M3, escriba algún valor, el número de celdas en celda M4 =100, el incremento En la celda G9 escriba 0, en celda M5 escriba (Δt / t) =M3/M4. Dibuje una Barra de desplazamiento y link con la celda M6, Max = 100. El tiempo, en la celda G9 con 0, en celda G10 =G9+$M$5, copie y pegue hasta G109. El desplazamiento en celda H9 escribir =-4*$B$2*COS(G9*$M$2) (de la fórmula s = -4*R*cos(ωt)), copiar y pegar hasta H109.
14 El ángulo de la pendiente de la recta tangente a la curva cicloide es: sen θ = s / 4R, por lo que en la celda I9 escribir =ASENO(H9/(4*$B$2)), copiar y pegar hasta I109. Para que el punto se deslice usaremos la función DESREF(), por lo que primero graficamos todos los puntos que recorre el punto: la posición x: en celda K9 escriba =PI()*$B$2+($B$2*(2*I9+SENO(2*I9))), copiar y pegar hasta K109; la posición y: en celda L9 con la fórmula =-2*$B$2+$B$2*(1-COS(2*I9)), copiar y pegar hasta L109. Ahora el punto desplazado la incluimos en la gráfica: en la celda O5 la fórmula =DESREF(K9,M6,0), permite cambiar la posición de x; en la celda P5 la fórmula =DESREF(L9,M6,0), permite cambiar los valores de la posición y. Grafíquela con una gráfica de dispersión con líneas suavizadas. Graficar la recta Recta:
Si una recta debe tener como mínimo dos puntos para formarla, entonces en las celdas N9 y O9 escriba 0, esto quiere decir que inicia en el origen. Luego el otro punto se obtiene cuando la cicloide y la recta se cruzan (intersectan), entonces primero dibujamos una Barra de desplazamiento con link en la celda J2, Max = 180. En la celda N10 el valor de x 2 es la fórmula =DESREF(E9,J2,0), en la celda de O10 el valor de y2 es la fórmula =DESREF(F9,J2,0). Calculamos el desplazamiento con la fórmula =0.5*9.81*G9^2*SENO(ABS($O$12)), en la celda P9, copiar y pegar hasta P109. Pendiente de la recta:
En la celda O12 escribe la fórmula =ATAN(O10/N10), recuerde que son radianes. Tabulación Posición x :
En la celda Q9 =P9*COS($O$12), copie y pegue hasta Q109. Tabulación Posición y :
En celda R9 =P9*SENO($O$12), copie y pegue hasta R109. Punto deslizante:
Procedemos de la misma manera para que el punto se desplace usando la función DESREF(). En la celda S9 escriba =DESREF(Q9,M6,0) para la posición deslizante x. en celda T9 escriba =DESREF(R9,M6,0) para la posición deslizante y.
15 PRESENTACIÓN
fig. 9. presentación final de la cicloide y la recta
Engrane recto
Figura 11. Contacto entre dos engranes
En engranes rectos (fig. 11.), la normal común a perfil del diente en el punto de contacto debe pasar siempre por un punto fijo, llamado de tangencia, con el fin de mantener constante la razón de las velocidades angulares de los engranes. La curva envolvente satisface la ley del engranaje y es la que se usa más a menudo en el perfil de los dientes de engranajes. Frecuentemente se utiliza en el perfil de los dientes de un engranaje, una combinación de las curvas envolventes y cicloide, para evitar interferencia. En esta forma compuesta, aproximadamente el tercio central del perfil tiene forma envolvente, mientras que el resto es cicloidal. Para trazar la involuta (ver sig. fig. 12) debe dibujar un radio del círculo base a un ángulo de presión θ respecto al eje x, obteniéndose así el punto B, luego dibuje una recta tangente a círculo base a partir del punto B y de longitud igual al arco AB, en donde A es el punto de intersección del círculo base con el eje x. obtendremos entonces un
16 punto (x, y) que pertenece al lugar geométrico de la evoluta del círculo base15. Como ejercicio haga los cálculos necesarios para diseñar el perfil de un engrane recto, que tiene las siguientes características: calcula las dimensiones de una rueda dentada recta de Z = 15 dientes, módulo 1. Para ello, usted tiene que dibujar el perfil evolvente del diente, esta trayectoria describe un punto de una línea recta cuando hay rodamiento sin deslizamiento entre la línea y dicha circunferencia. Dibuje la evolvente para cada diente, perfiles de rodamiento, generatriz, tome en cuenta el ángulo de presión de 20°.
Las curvas generadas a partir de las trayectorias de círculos, producen movimientos más profundos: curvas más suaves, o bien más inclinadas; la relación tiempo-distancia, en algunos casos no corresponde con la visión del observador común. Las aplicaciones en la vida cotidiana en la transmisión de fuerzas, velocidades, direcciones, etc. Son la finalidad de las investigaciones matemáticas, su uso y materialización motivan a una profundización a la m ejora de la sociedad.
CIRCUITO ELÉCTRICO Los “modelos” son muy usados en la escuela, hacen que las formulaciones muchas veces tengan
sustento científico y caigan en la especulación, estos aspectos conciernen al campo metafísico del paradigma (supuestos no demostrados o no validados, al inicio de cualquier secuencia de pensamiento), poseen una vertiente heurística (el arte y la ciencia del descubrimiento y de la invención o de resolver problemas mediante la creatividad y el pensamiento lateral o pensamiento
15
http://wapedia.mobi/es/
17 divergente16) y una vertiente ontológica (estudia lo que hay, es decir cuáles entidades existen y cuáles no). Los maestros y estudiantes los utilizan para representar un campo de estudio, pues, desde una y otra vertiente, proporcionan analogías y comparaciones que proporcionan la explicación de los fenómenos. Por ejemplo, desde el punto de vista heurístico, «un circuito eléctrico puede considerarse como un sistema hidrodinámico en estado estacionario», y la formulación ontológica «todos los fenómenos perceptibles se deben al movimiento e interacción de átomos cualitativamente neutros en el vacío». Se puede decir que, los modelos actúan como una especie de dogmas compartidos por los miembros de una comunidad 17. Un circuito eléctrico18 es una cadena de elementos (denominados componentes eléctricos o electrónicos) que unidos de forma adecuada permiten el paso de electrones. Para decir que existe un circuito eléctrico cualquiera, es necesario disponer siempre de tres componentes o elementos fundamentales: 1. Una fuente (E) de fuerza electromotriz (FEM), que suministre la energía eléctrica necesaria en volt. 2. El flujo de una intensidad (I) de corriente de electrones en ampere. 3. Existencia de una resistencia o carga (R) en ohm (también además inductancias, condensadores, fuentes, y/o dispositivos electrónicos semiconductores, conectados eléctricamente entre sí con el propósito de generar, transportar o modificar señales electrónicas o eléctricas), conectada al circuito, que consuma la energía que proporciona la fuente de fuerza electromotriz y la transforme en energía útil, como puede ser, encender una lámpara, proporcionar frío o calor, poner en movimiento un motor, amplificar sonidos por un altavoz, reproducir imágenes en una pantalla, etc. 4. Un instrumento de medida, como galvanómetro, amperímetro o multímetro. 5. Cableado y/o conexiones que completan el circuito
CIRCUITO ELECTRICO I
Construya el modelo de circuito eléctrico que un electrón simbolice el flujo eléctrico. Abra una nueva hoja Excel, a continuación colorear cada celda para formar un circuito eléctrico la idea es que en el cableado “pase” un electrón por una resistencia conectada en serie, de corriente directa: 16
http://es.wikipedia.org/wiki/Heur%C3%ADstica. Descargado 18 junio 2010 THOMAS S. KUHN, The Structure of Scientific Revolutions, The University of Chicago Press, Chicago 1962. 18 http://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_el%C3%A9ctrico, descargado 10 de junio del 2010. 17
18
El ancho de las celdas de 0.5, el alto de las celdas de 3.75, el circuito se dibuja cada calda a lo largo de ésta, usando el botón Color de fuente Negro. A continuación usar el formato condicional para dibujar de color amarillo el electrón. Para ello vaya a la ficha Inicio + Estilos + Formato condicional + Nueva regla + Seleccionar un tipo de regla + Utilice una fórmula que determine las celdas para aplicar formato:
Dar color con clic en Formato…, elegir la fic ha Relleno + Color de fondo + Color elegido + Aceptar:
Para que el electrón sigua el camino del circuito, sigua este paso anterior a lo largo de éste. Vincule una Barra de Desplazamiento en la celda A1. Finalmente queda así:
19
CIRCUITO ELÉCTRICO II
Para este ejemplo, el circuito se dibujará en un gráfico:
La resistencia se inserta en la misma gráfica (desde E6:F12), dándole otro color (rojo para resaltar calentamiento), cuando pase el electrón, con los siguientes puntos:
20
La trayectoria del electrón es a lo largo del mismo circuito dibujado:
Nota: La resistencia (son triángulos, según la simbología generalizada), use las fórmulas siguientes: En las celdas D45, D47, D49, D51, D53, D55, D57, D59, D61, D63:
Estos puntos, no se grafican, es decir servirán de base para graficarlos con una fórmula que los llame cuando sea necesario:
21 En la celda J1 vinculamos con una Barra de Desplazamiento, en Propiedades + Por Categorías + Min 3, Max 106. Estos datos servirán para “dar animación al electrón”; use las fórmulas:
En la proyección x, note que va a la dirección de la tercera columna es decir columna C; en la proyección y es la columna D. La inserción en la misma gráfica es:
La animación queda más o menos así:
El uso de modelos puede suscitar en el estudiante placer, al construirlos por sí mismo al hacer uso de categorías y conceptos generales matemáticos, más aún si estas construcciones son como un juego en el que construye y desmantela cuerpos a partir de bloques, que funcionen o no. Este método hipotético-deductivo (que va de lo inductivo a lo deductivo) deduce predicciones que son verificadas a partir del modelo creado con la realidad, si los resultados son confirmados se afirma
22 que el modelo será válido, conducirá gracias a que las operaciones, instrucciones codificadas en la computadora19, a un concepto lógico frente a un problema aritmético, relacionados con señales físicas (electrónicas) sean manipulables y controlables; por medio de reglas explícitas conduce a la “experiencia humana” al desarrollo de la mente más humana.
BINOMIO DE NEWTON Atribuido a Newton20, asumió mediante la intuición de que se podía operar con series infinitas del mismo modo que con expresiones polinómicas21 finitas. Ya Pascal22 generalizaba las operaciones para binomios a la n potencia, cuando formaba su famoso “Triángulo de Pascal”. Este triángulo simplifica las operaciones en la escuela básica, pero cuando las operaciones son más complejas se usa el Binomio de Newton23. El teorema del binomio se resume de esta manera: Si n es cualquier número entero24, entonces:
Dejaré al lector investigar su demostración. En una nueva hoja Excel escriba:
19
RODRÍGUEZ, RODOLFO J.; Modelos cognoscitivos para la filosofía contemporánea de la mente. Revista de Filosofía de la Universidad de Costa Rica. XXXIV, 423-432. 1996. Descargado 17 junio 2010, http://www.scribd.com/doc/19251026/Modelos-cognoscitivos-para-la-filosofia-contemporanea-de-lamente 20 El teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn alKaraji (c. 953 – c. 1029), fue un matemático e ingeniero persa. Vivió y trabajó la mayor parte de su vida en Bagdad, que era la capital científica y comercial del mundo islámico. Al-Karaji era ingeniero y matemático del más alto nivel. Aunque escribió apoyándose en el trabajo de matemáticos anteriores, es el primero que libera el álgebra de las operaciones geométricas, base de la aritmética griega. 21 Expresión algebraica sobre un dominio D que se obtiene mediante un paso finito de operaciones de suma o multiplicación entre la variable y elementos del dominio. Al decir suma, como en el dominio tenemos inversos aditivos, hablamos de suma algebraica, por lo que está incluida la resta. Sin embargo no se permite la división entre una variable, y por supuesto tampoco raíz cuadrada o alguna función trascendente, como seno, logaritmo, etc. 22
Blaise Pascal (Francia, 1623-1662). Sus trabajos incluyen las ciencias naturales y aplicadas, sus contribuciones para la invención y construcción de calculadoras mecánicas, estudios de la teoría matemática de probabilidad, investigaciones sobre los fluidos, la presión y el vacío, generalizando la obra de Evangelista Torricelli. También escribió en defensa del método científico 23 Véase http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomio. 24 FULLER, Gordon; Álgebra elemental, CECSA, 1981, México.
23
Vuelva a escribir los datos:
En la celda K7 CONCATENAR(C7^I7,D7,"^",I7))).
escriba:
=SI(I7=1,CONCATENAR(C7,D7,E7,F7,G7),SI(I7>1,
En la celda L7 escribe =SI(I2>=2,E7,"") En la celda M7 escriba: =SI(I7>=2,I7*(C7^(I7-1))*F7,"") En celda N7 escriba: =SI(I7>=2,CONCATENAR(D7,"^",I7-1,G7),"") En celda O7 escriba: =SI(I2>=2,E7,"") Celda P7 escriba: =SI(I7>=2,CONCATENAR(((I7*(I7-1)/FACT(2))*C7^(I7-2))*F7^2),"") Celda Q7 escriba: =SI(I7=2,CONCATENAR(G7,"^2"),SI(I7>2,CONCATENAR(D7,"^",(I7-2),G7,"^2"),"")) Celda R7 escriba: ==SI(I2>=3,E7,"") Celda S7 escriba: =SI(I7>=3,CONCATENAR((I7*(I7-1)*(I7-2)*(C7^(I7-3))*(F7^3)/FACT(3))),"") Celda T7 escriba: =SI(I7=3,CONCATENAR(,G7,"^3"),SI(I7>3,CONCATENAR(D7,"^",(I7-3),G7,"^3"),"")) Celda U7 escriba: =SI(I2>=4,E7,"") Celda V7 escriba: =SI(I7>=4,CONCATENAR((I7*(I7-1)*(I7-2)*(I7-3)*(C7^(I7-4))*(F7^4)/FACT(4))),"") Celda W7 4),G7,"^4"),""))
escriba:
=SI(I7=4,CONCATENAR(G7,"^4"),SI(I7>4,CONCATENAR(D7,"^",(I7-
Celda X7 escriba: =SI(I2>=5,E7,"") Celda Y7 escriba: 5))*(F7^5)/FACT(5))),"")
=SI(I7>=5,CONCATENAR((I7*(I7-1)*(I7-2)*(I7-3)*(I7-4)*(C7^(I7-
Celda Z7 escriba: =SI(I7=5,CONCATENAR(,G7,"^5"),SI(I7>5,CONCATENAR(D7,"^",(I7-5),G7,"^5"),"")) Celda AA7 escriba: =SI(I2>=6,E7,"")
24 Celda AB7 escriba: 6))*(F7^6)/FACT(6))),"") Celda AC7 6),G7,"^6"),""))
escriba:
=SI(I7>=6,CONCATENAR((I7*(I7-1)*(I7-2)*(I7-3)*(I7-4)*(I7-5)*(C7^(I7-
=SI(I7=6,CONCATENAR(G7,"^6"),SI(I7>6,CONCATENAR(D7,"^",(I7-
Celda AD7 escriba: =SI(I2>=7,E7,"") Celda AE7 escriba: =SI(I7>=7,CONCATENAR((I7*(I7-1)*(I7-2)*(I7-3)*(I7-4)*(I7-5)*(I7-6)*(C7^(I77))*(F7^7)/FACT(7))),"") Celda AF7 7),G7,"^7"),""))
escriba:
=SI(I7=7,CONCATENAR(G7,"^7"),SI(I7>7,CONCATENAR(D7,"^",(I7-
Finalmente queda así:
Es factible que la generalización de este binomio sea la generalización de dimensiones finitas cualquiera, importante para las aplicaciones de la matemática en la ingeniería del diseño (sistemas oscilatorios25); este alto nivel de abstracción garantiza la generalidad y amplitud de sus aplicaciones. Aunque la fórmula no indica los coeficientes binomiales sino que son generalizados 26, para nuestros usos en Excel se expresan usando factoriales, al desarrollar los factores, aparecerán términos cada vez elegida n potencia, así de igual manera los coeficientes multinomiales según su posición.
DISEÑO DE UNA LEVA El diseño, según Deutchsman27 es “el mecanismo mediante el cual una necesidad es convertida en un plan funcional y significativo”, la leva en sí constituye todo un proceso de diseño, desde formular el plan, hasta su manufactura.
25
nd
THOMSON, William; Theory of vibration with aplications, 2 . Edition, Prentice Hall Inc., 1981, USA. 26 Se ha omitido la forma C ( n , k ) 27 DEUTSCHMAN, Aaron D.; Diseño de máquinas, México, 1987
25 El propósito de este artículo se origina de la relación y aplicación de necesidades intelectuales básicas (ciencias de la ingeniería y matemáticas), como es el diseño de mecanismos útiles en la industria. Una Leva es un mecanismo que impulsa a otro elemento (seguidor), para que haga un m ovimiento específico, por contacto directo. Estos mecanismos se usan en automóviles, máquinas tortilladoras, etc. Las levas son mecanismos muy usados en sistemas mecánicos donde palancas, engranes y conectores complican el análisis dinámico, por ejemplo el sistema de válvula puede ser estudiada por el método de Rayleigh28, donde se reduce el sistema a uno equivalente, las vibraciones dependen de su distribución de masa y rigidez En esta actividad se mencionará el diseño matemático sin demostrar las fórmulas que lo sustentan, tampoco todo el proceso de diseño que involucra el diseño detallado, construcción del prototipo, diseño de producción, etcétera. El lector
posteriormente los estudiará al detalle.
La leva de la figura de la izquierda, se le llama “de placa”, aunque existen otras (de cuña, de tambor y de cara), el método para resolverlas es el mismo para todas29. Se calculará el diagrama de desplazamiento (para darnos una idea de su forma, diseño y comportamiento): donde la abscisa representa el movimiento de entrada (θ, número de revoluciones de la leva) y la ordenada el recorrido del seguidor ( y ). 28
THOMSON, W; “Teoría de vibraciones”, PHI, México, 1982. Además de la clasificación los seguidores se clasifican en: de cuña, de cara plana, de rodillo, de cara esférica (zapata curva) 29
26
La ecuación y = y (θ) representa la naturaleza exacta del perfil de la leva, trazado, fabricación y su comportamiento dinámico. Las variables β y L representan el ángulo de la leva y elevación respectivamente. Cuando existe velocidad constante, no se produce movimiento del seguidor, lo que no es útil para el movimiento de la leva, sólo en algunos casos. Los conceptos teóricos son: movimiento armónico simple 30 y movimiento cicloidal para la construcción de la gráfica de desplazamiento. Sería interesante que el lector trazara el perfil de la leva, primero a mano en una hoja de papel milimétrico; para ello, un método es haciendo que gire no la leva sino el seguidor para trazar el perfil; primero trazando el círculo de excentricidad, es decir, con el círculo primario se dibuja la línea central del seguidor de cada estación, haciendo tangente al círculo de excentricidad 31. El planteamiento de este trabajo es el que sigue: 1. las fórmulas (originalmente planteadas por H. A. Rothbart) son tomadas del libro de Joseph E. Shigley & John J. Uicker Jr 32 y se dedujeron en forma “clásica” a mano. Y su demostración requerirá de un minucioso estudio, a lo cual invito al lector a hacerlo. 2. si ya existen las fórmulas, es fácil trazar el perfil de una leva, para ello se usará la hoja de cálculo Excel. El diseño de una leva, debe cumplir con: o
necesidades de movimiento en cada aplicación.
̈ 30
31
La aceleración es proporcional al desplazamiento y de dirección opuesta de la ec uación diferencial
Para varios ejemplos de cómo hacerlos recomiendo el libro “Máquinas herramientas y manejo de materiales”, Herman W. Pollack, PHI, México, 1982 32 SHIGLEY, Joseph E. & UICKER JR, John J.; “Teoría de máquinas y mecanismos”, Mac Graw Hill, México, 1983
27
o
o
Dibujo del diagrama de desplazamiento, velocidad, aceleración en cada “frontera” de los segmentos. Mantener lo más bajo posible los picos de velocidad y aceleración.
Por ejemplo, un motor con velocidad constante de 150 rpm impulsa una leva de placa con seguidor de movimiento alternativo. El seguidor inicia con una detención, acelera hasta una velocidad uniforme de 0.635 m/sg (25 plg/seg), mantiene esta velocidad a lo largo de 0.03175 m (1.25 plg) de subida, desacelera hasta la parte superior de la elevación, retorna y luego queda en detención por 0.067 seg. La elevación máxima es de 0.0762 m (3.0 plg). Determínense las especificaciones completas del diagrama de desplazamiento. Solución: Velocidad de entrada:
ω = 150 rpm = 15.7079633 rad/seg
Pendiente del segmento de velocidad constante:
33
Si es constante durante el segmento de 49.25 m de subida, la rotación de la leva es:
La rotación durante la detención final:
Con esta información se forma un esquema de: puntos de arranque, desplazamientos, retorno y detención. En el arranque escogemos la curva de movimiento con características de media subida, por lo que se escoge el movimiento semicicloidal.
̅
Ecuaciones para el arranque, segmento
33
metros
:
28
̅ ̅
Para el segmento
, la velocidad es constante, y una pendiente, pero la aceleración es cero.
, se selecciona la curva semicicloidal, pero para mantener la curva un “tirón” lo En el segmento más suave posible, la curva de subida semiarmónica será:
El segmento
̅
[ ]
, la curva es de retorno armónico modificado:
Se puede decir que son fórmulas las más apropiadas para este caso
Hagamos un análisis de etapa por etapa:
̅
La velocidad terminal en el segmento entonces
, el movimiento es semicicloidal, lo que el
(extremo derecho):
Se deduce que:
Igualamos:
Despejamos y sustituimos los valores:
………………………..(1)
,
29
(extremo izquierdo, cuando inicia), de la fórmula:
En el punto C, el ángulo θ=0 por lo que
En este punto la velocidad 2 es igual a la velocidad 3:
…………………………….(2)
Para el punto D, los dos ángulos tienen ecuación:
(extremo derecho) y el valor de la aceleración, de la
Y el ángulo θ=0 (extremo izquierdo)
Igualamos ambas ecuaciones:
Despejamos (y usando la fórmula 2):
;
Queda:
…………………………(3)
También:
L1+L2+L3=L4; L1+
Despejamos aquí:
+L3= 0.0762
30
L1+L3= 00762 – 0.03175
β1+ β2+ β3+ β4+ β5=2
L1 + L3 = 0.04445……………………………….(4)
β1+ β3+ β4 = 2 - 0.785 – 1.0524 = 4.4457 rad ………….(5)
Dejaré que usted amable lector resuelva a mano y compruebe este sencillo sistema de ecuaciones:
L1 + L3 = 0.04445 β1+ β3+ β4 = 4.4457
, y sus soluciones son:
L1 = 0.0322 m
β1 =
L2 = 0.03175 m
β2 =
L3 =
β3 =
L4 = 0.0762 m
β4 =
L5 = 0 m
β5 =
°
Con estos datos, podremos graficar la gráfica de Desplazamiento: Abra una nueva hoja Excel: Los siguientes cálculos definirán el perfil de la leva con las características calculadas:
Perfil del segmento Primero ponemos los datos del perfil desde leva de 91.33°
̅
̅
, con una elevación de 0.0322 m y un ángulo de
31 Luego se tabula desde 0° hasta 91.33°, para que este ángulo se grafique se convierte en radianes en otra columna, en otra se tabula el Perfil 1:
La velocidad para este perfil tiene las características:
Su aceleración:
Perfil del segmento
̅
El intervalo del ángulo es desde 91.33° hasta 136.33°, cuidando cambiarlos a radianes, su perfil: tiene la fórmula en la celda: =$K$12*M13-0.0257208592, Esta fórmula se considera como una recta, por lo que no será difícil deducirla por usted: Le recomiendo usar esta:
..
32 Como su velocidad es constante =$D$105, ya que es el último punto donde se quedó el perfil 1, lo será a lo largo de todo este intervalo. La aceleración ES CERO en todo este segmento.
Perfil del segmento
̅
En este segmento, es un caso especial, ya que inicia fuera del origen por lo que se tabula primero desde el ángulo de 136.33° hasta 163.65°, luego se tabula la función tal como esta, desde 0° hasta 27.32°:
La velocidad también se tabula:
La aceleración es:
Perfil del segmento La curva de retorno armónico tiene el perfil:
̅
33
La velocidad tiene una curva:
La aceleración tiene comportamiento dinámico:
Perfil del segmento
̅
El último perfil tiene como valores para la gráfica cero, tanto como para la velocidad como la aceleración:
Terminemos este ejemplo con el perfil real de la leva en una gráfica ( x , y ), usando funciones trigonométricas: El valor del círculo primario es de 0.0254 m de radio. El ángulo es de 0° hasta 360°
34 La proyección en x, =$G$10*COS(B13) La proyección en y, =$G$10*SENO(B13)+C13 Para finalizar graficamos nuestro valores usando la g ráfica dispersión con líneas suavizadas:
Algo que usted debería explicarse y responder, son los comportamientos en cada segmento:
¿qué sucede en el segmento ¿qué sucede en el segmento ¿qué sucede en el segmento ¿qué sucede en el segmento ¿qué sucede en el segmento
̅̅ ̅̅ ̅
? ? ? ? ?
Recuerde que no tomamos en cuenta la masa del seguidor, que ejercerá una gran fuerza de inercia; las gráficas de velocidad y aceleración nos darán una idea de cambios bruscos, también evite que las gráficas sean discontinuas (sin cambios de escalón). Como actividad complementaria, construya el Diagrama de desplazamientos Perfil, Velocidad y Aceleración, de la siguiente leva con seguidor radial oscilante: inicia con 30° con movimiento cicloidal con 150° de rotación de la leva, luego una detención de 30°, retorna con movimiento cicloidal en 120° y detención en el curso 60°. El círculo primario es de 30 mm, la rotación de la leva es en sentido contrario a las manecillas del reloj.
̅
Observamos un ligero cambio en el segmento , esto permite comparar si nuestros cálculos cubren realmente los requerimientos dinámicos del mecanismo o no, una vez así, haremos los
35 cambios, en tiempo real que consideremos necesarios. El estudio del comportamiento dinámico y cinemático por el método computacional, usando Microsoft Excel reduce el tiempo de diseño, resuelve ciclos completos de movimiento presentando gráficas que refuerzan el análisis y síntesis de este mecanismo. Esto permite que las propiedades cinéticas y dinámicas de una leva, se trasladen a propiedades geométricas: movimiento y cambio, ley y resolución del problema. Si partimos de datos reales y luego al interpretarlos, iniciamos un proceso de abstracción de las características secundarias del problema, al usar fórmulas y teoremas generales, obtenemos resultados muy precisos. Es un gran potencial de abstracción para resolver una necesidad práctica, y si usamos como apoyo los métodos computacionales, nos acercaremos a una explicación profunda y correcta. Recordemos que valorar las cantidades variables en la forma más general y evitar que estos métodos informáticos sean sólo un cúmulo de información (incluso hasta distorsionados), además corregir nuestros diseños o bien ajustarlos según las necesidades prácticas y aplicación lo requiera. Como verá amable lector, note que estudiantes de nivel secundaria pueden resolver fácilmente, el diseño de un mecanismo aplicando fórmulas a cualquier circunstancia concreta, la idea es que las matemáticas se aplican en la vida de la física.
GRAFICOS EN 3D34 Las proyecciones en 2D de objetos en 3D, no es nada nuevo: La geometría nace en Egipto, con el objetivo de medir las fronteras de los campos alrededor del Nilo (alrededor de 300 a.C.). En la Grecia antigua se desarrollan las matemáticas junto con la de la democracia (la geometría de los elementos de Euclides durante dos milenios es un ejemplo de incomparable rigor y perfección). Desde Aristóteles a Kant (y todos los grandes pensadores) medir con la geometría, se convierte en un paradigma para el método científico. Arquímedes estudió la esfera con el método de proyección cilíndrica, muestra que la superficie de un campo de esfera es equivalente a la coincidencia en cilindro, que puede darse en un plano y es fácil de calcular, las superficies de la esfera entre los paralelo son equidistantes y equivalentes. En el método de Arquímedes la superficie de la esfera, incluidas entre dos paralelo juntas, puede servir para representar la esfera en el plano (Planar) de un mapa. La representación que se encuentra es la siguiente: esta representación conserva las áreas, pero no conserva las distancias e incluso en las esquinas. Puede ser una pequeña porción de la esfera bastante fielmente representada en el plano, esto no es válido para las partes que consta de una esfera. Un método eficiente de representar a la esfera en un plano está dado por la proyección estereográfica. En la Edad Media grandes pintores usaron la perspectiva como recurso para representar objetos.
34
Dedicado a mi gran maestro de dibujo técnico profesor Mateo Gallegos, pintor fresnillense †.
36 A lo largo de este ensayo se presentan diferentes formas de graficar superficies en 3D, enfocado al Excel Microsoft, éstos caminos presentan limitaciones en cuanto a límites del propio software, sin embargo podemos visualizar de manera general cómo se grafican con los mismos métodos matemáticos para otras plataformas que existen en el mercado, como una etapa inicial para el que le guste explorar este campo. La gran mayoría de objetos 3D están hechos de polígonos. Un polígono es un área definido por líneas. Para tener un polígono hay que tener al menos tres líneas. Una vez que el polígono tiene un grupo de vértices para definir su forma, necesita la información que le dice que es lo que tiene que parecer. Hay cuatro maneras muy comunes para hacer esto. 1. Sombreado plano: asigna un único color al polígono 2. Sombreado Gourad: los colores son asignados a cada uno de los vértices y después son mezclados por toda la cara del polígono 3. Sombreado Phong: incide en cada uno de los píxeles, basado en el color de los píxeles adyacentes 4. Mapas de texturas: el uso de otra imagen. Esta otra imagen es estirada sobre el objeto como si fuera una segunda piel Actualmente los estudiantes de secundaria ven limitada su visión en cuanto a la aplicaciones de esta hoja de cálculo, limitándose a cálculos sencillos casi casi a nivel aritmético, pero cuando ven que el conocimiento no queda ahí, que va más allá, se les presenta una motivación real. Para la Física el espacio tridimensional es un modelo universo geométrico en que vivimos. Las tres dimensiones son comúnmente llamadas la longitud, la anchura, y la profundidad (o altura), aunque cualquiera de las tres direcciones es mutuamente perpendicular. No existe un solo procedimiento para representar en pantalla (“renderizar”) las condiciones en 3 dimensiones. Esto se debe al objetivo con el que se elabora la escena (estético, ilustrativo, modelado físico, etc.) o a los mismos objetos dentro de ella. Los gráficos por computadora se aplican en arquitectura y diseño (CAD/CAM), en arte, en informes (con gráficas de presentación), entretenimiento (cine, videojuegos), educación, capacitación, visualización de información (negocios, empresas, construcción del conocimiento), procesamiento de imágenes (técnicas aplicadas a las imágenes con el objetivo de facilitar la búsqueda de información), interfaces de usuario (el medio con que el usuario puede comunicarse con la máquina), creación de multimedia, efectos espaciales, etcétera. El cuerpo más sencillo es, por supuesto, un punto35. Como en el caso de las dos dimensiones, podemos definir una recta usando dos puntos estableciendo un sistema de coordenadas y listando sus coordenadas. Requerimos un eje adicional de coordenadas para la tercera dimensión; para que forme ángulo recto con los otros dos puntos. En matemáticas, la geometría analítica (sistema Cartesiano) describe cada punto en el espacio tridimensional por medio de tres ejes de coordenadas. Cada eje es perpendicular a los otros dos 35
Del latín pŭnctum , punzada, picadura. Bien es sabido que un punto no tiene dimensiones, es decir carece de distancia, anchura y largo. Es un concepto abstracto de final de una recta, una posición definida con un máximo de precisión sin parte alguna. Carece de sentido en sí mismo; sólo existe en relación con otros conceptos.
37 en el origen, el punto en el cual ellos se cruzan. Ellos son por convención x , y , z. La posición de cualquier punto en el espacio tridimensional es dada por tres números reales, cada número que da a la distancia de aquel punto de origen medido a lo largo del eje dado, que es igual a la distancia de aquel punto determinado por las otras dos ejes. Otros métodos de determinar la posición de un punto en el espacio tridimensional son las coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas, aunque tenga un sinfín de métodos posibles. Otro modo matemático de ver espacio tridimensional es encontrado en álgebra lineal, donde la idea de independencia es crucial. En la geometría Euclidiana el espacio tiene tres dimensiones porque la longitud es independiente de su anchura o anchura. En la lengua técnica del álgebra lineal, el espacio es tridimensional porque cada punto en el espacio puede ser descrito por una combinación lineal de tres vectores independientes. La representación de frontera que más se utiliza para un objeto gráfico tridimensional es un conjunto de polígonos de superficie que encierra el interior del objeto. Muchos sistemas gráficos almacenan todos los objetos como conjuntos de polígonos de superficie. Esto facilita y acelera la representación de superficie y despliegue de objetos, ya que todas las superficies se describen con ecuaciones lineales. Una representación de polígono para un poliedro define con precisión las características de superficie del objeto, pero para otros objetos, las superficies se teselan (o tejen) para producir una aproximación del enlace de polígonos. Los datos se colocan en tablas que se utilizarán en el procesamiento, despliegue y manipulación de objetos en una escena. Las tablas de datos se organizan en: Tablas geométricas, éstas contienen las coordenadas de vértices y los parámetros para identificar la orientación espacial del polígono. Una organización conveniente para almacenar los datos geométricos es crear 3 listas:
Vértices: Donde se almacenan las coordenadas para cada vértice. Aristas: Contiene apuntadores a la tabla de vértices para identificar los vértices de que se compone cada arista. Polígonos: Contiene apuntadores a la tabla de aristas para identificar las aristas de que se compone cada polígono.
CILINDROS DE REVOLUCIÓN Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:
Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado
38 cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denomina radio. Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono. Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera. Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro. Para dar el efecto de que gira un objeto haré uso de las llamadas familias de curvas, los cambios se generan con la barra de desplazamiento, e ir generando un efecto 3D, a partir del trazo de otra recta (eje Z).
La gráfica de una ecuación en tres variables es una superficie y un cilindro es “una superficie
generada por una recta que se mueve a lo largo de una curva plana dada de tal forma que siempre queda paralela a una recta fija que no está en el plano de la curva dada”. La recta movible se le conoce como generador del cilindro, la curva plana es la directriz del cilindro.
CILINDRO GENERADO POR UNA RECTA
En este caso se dibujarán dos elipses y dos rectas, para dar el efecto 3D. Inicia con una recta: y = - a Luego se cambiará su posición con respecto al trazo de dos elipses una arriba y otra abajo, cambiando sus posiciones según cambien los valores de la barra de desplazamiento.
CILINDRO DE REVOLUCIÓN
SEA LA RECTA x = -5, con las restricciones -5 < y < +5, trace el cilindro de revolución en el plano cartesiano 3D. Solución: Trazamos la recta x = -5, con las restricciones -5 < y < +5, luego trazamos dos elipses en este plano: Para que parezca un cilindro dibujamos dos elipses, uno en la parte superior y otro en la parte inferior de la recta. 1ra elipse: tiene focos en ( -4 , 6 ) y ( 4 , 6 ), con una excentricidad de 0.8 (es un valor arbitrario si aumenta su valor se hace círculo), el centro de la elipse es ( 0 , 6 ). La distancia entre focos es de
y la distancia entre ( -4 , 6 ) y ( 4 , 6 ), es 8. Por lo tanto: 2 a ( 0.8 ) = 8
39 Despejamos: a
8
2(0.8)
5
a=5 Calculamos b: b
a
1
e
2
5 1 (0.8)
2
5 0.36
b=3 Sustituyendo en la ecuación general de la elipse (Cuando el eje principal es horizontal): ( x h)
2
a2
2
( y k )
b2
1
1
Los valores encontrados son sustituidos ( x 0) 5
2
x
2
2
( y 6) 3
2
2
Despejamos para y: 25
y
6
( y 6) 9
9 1
2
x
2
3
25
1
25
5
x
2
Nos queda así: y
3
25 x
5
2
6
Para la segunda elipse se hace el mismo procedimiento pero con los focos ( -4 , -6 ) y con excentricidad de 0.8.
( 4 , -6 ),
La distancia entre focos es de 2ae y la distancia entre ( -4 , -6 ) y ( 4 , -6 ), es de 8, por lo tanto: 2ae = 8 Despejando es igual a
a=5 b=3
Sustituyendo en la ecuación general de la elipse: ( x 0) 5
Despejando:
2
2
( y 6) 3
2
2
1
40
y
3 5
25 x
2
6
Abrimos una nueva hoja Excel, graficamos una primera Elipse: En la celda A3 escribe 0.1, en celda F3 escribimos un vínculo para una Barra de Desplazamiento, un Máximo valor de 1100, en la celda F4 escribe = (F3-50)/10, en celda F5 escribe = TRUNCAR ((600 – F3)/100 , 1). La mitad de la elipse tiene los datos siguientes: En la celda K6 escribe -5, en la celda K6 escribe = K6+$A$3, cópiala y pégala hasta K106. En celda L6 escribe = 3/5*RAIZ (25-K6^2)+6, copia y pega hasta L106. La segunda mitad iniciamos con la celda K107 con el valor = K106-0.1, copia y pega hasta K206. La proyección en y inicia a partir de la celda L107 con la fórmula = -3/5*RAIZ (25-K107^2)+6, copia y pega hasta L206. Para dar la impresión de que el cilindro está generándose, hacemos en otra tabulación lo siguiente: en la celda N6 escribe la fórmula = SI ($K6<=$F$4, K6, N5), copia y pega hasta N106, la proyección y es a partir de la celda O6 con =SI ($K6<=$F$4,3/5*RAIZ (25-N6^2)+6, O5), copia y pega hasta O106. La segunda parte de la Elipse inicia con la proyección en x en la celda N107 con =SI ($F$5<=K107, K107, N106), copia y pega hasta N206, la segunda proyección y inicia en la celda O107 con la fórmula = SI ($F$3>100,-3/5*RAIZ (25-N107^2)+6, $O$106) copia y pega hasta O206.
Haga lo mismo para la celda 2, pero con la fórmula y
3 5
25 x
2
6
Le sugiero que los datos los escriba desde Q6 hasta U206. Escriba las fórmulas =SI (F3>=100,5,""), en las celdas E23 y E24, además en la celdas F23 escribe = SI (F3>=100,3/5*RAIZ (25-E23^2)+6,""), en celda F24 =SI (F3>=100,-3/5*RAIZ (25-E24^2)6,""). Inserte en la gráfica estos puntos.
41
Escriba las fórmulas =SI (F3>=1100,5,""), en las celdas E26 y E27, además en la celdas F26 escribe = SI (F3>=100,3/5*RAIZ (25-E26^2)+6,""), en celda F27 =SI (F3>=100,-3/5*RAIZ (25-E27^2)6,"").
Graficamos para dar la ilusión de tres dimensiones, una recta que pase por el origen, para ello usaremos las fórmulas trigonométricas del coseno y seno. En la celda D30 escribimos 10, celda E29 vinculamos una Barra de Desplazamiento con un Máximo de 45, en celda F29 escribimos = RADIANES (E29), en celdas E30 y F30 escriba 0, en celda E31 escriba = D30*COS (F29), celda F31 la fórmula = D30*SENO (F29). Inserte una gráfica
En celdas E33 y F33 escriba 0, en celda E31 escriba = - D30*COS (F29), celda F31 la fórmula = - D30*SENO (F29). Inserte una gráfica.
42
Cambie los colores de las rectas y figuras para terminar.
43
CILINDRO GENERADO POR UNA PARÁBOLA (PARABOLOIDE ELÍPTICO) x 2 y 2 z a
2
b
2
c
Cuando manejemos curvas de este tipo podemos “adaptarlas” planos de dos coordenadas. Las
gráficas de Dispersión pude usarse si cambiamos la curva por una parábola con vértice en el origen y para dar efecto de tres dimensiones graficamos otra recta inclinada que dará la impresión de 3D, además agregamos una elipse en la parte superior de la parábola para dar el efecto que queremos. Vea el ejemplo en la hoja Excel llamado paraboloide elíptico. En Gráficos seleccione “Superficies 3D”. Otra forma de hacer este ejemplo es mediante la animación que nos ofrece la hoja Excel, se logra usando una gráfica 2D, Dispersión a partir de una media parábola: 4 p y = x 2
Y la elipse, con vértice en el punto ( 0 , k ): x
2
a
2
y k 2 b
2
1
44
.
Nótese que la parábola y la elipse se interceptan; por lo tanto tendremos que encontrara el punto de intersección si conocemos sus ecuaciones. La parábola tiene vértice en el origen y la elipse en el punto ( 0 , k ). 4 p y = x 2 …………………………………..parábola (1)
x
2
a
2
y k b
2
2
1
………………………………elipse (2)
45
Sustituimos la ecuación (1) en (2) a
2
4b
2
y k
2
4 py
py a y k 2
2
2
2
2
py a y
2
2
a b 4b
2
2
2
py a y
a y
2
4b
2
a b 4b
1
2
b
2
2
2ky
1
2
k
2
2a
2
2
ky a k
2
1
2
2
2
p 2a k y a k
2
a b
2
2
a b
2
0
La ecuación es una definida como “ecuación de segundo grado”, que puede resolverse a mano, pero usaré la “fórmula general para ecuaciones de segundo grado”:
y1, 2
y1, 2
y1, 2
y1, 2
4b p 2a k 4b p 2a k 2
2
2
2a
4b p 2a k 2
2
4
16b p
2
2
2
4
2
2a
2
2
2
2
a k 2a p b 4b p 2a
4a
16a
2
2
4a
2
a k 2
2
b
2
4a
4
a
2
4
2
2
k
4a
4
b
2
2
2
2
2
b kp 4a k
4
b kp a b
4a
2
2
2a
a k 2a p 4b p
2
2
kp a
2
4
2
La ecuación obtenida para encontrar la intersección es: 2
y1, 2
2
2
a k 2a p b 4b p 2a
2
4a
2
kp a
4
2
Ésta la introduciremos en la hoja Excel. Nota: Si usted quiere hacer que se haga por este método pero que la parábola esté fuera del origen; la sustitución entre la elipse y la parábola resulta en una ecuación difícil de resolver por los métodos algebraicos, para ello use el análisis numérico por otros medios. Otra alternativa es cambiar el eje de coordenadas.
46
LA PROYECCIÓN GRÁFICA Es un protocolo por el cual una imagen de un objeto tridimensional es proyectada en una superficie plana sin la ayuda del cálculo matemático, usado en el dibujo técnico
La proyección gráfica es un protocolo por el cual una imagen de un objeto tridimensional es proyectada en una superficie plana sin la ayuda del cálculo matemático, usado en el dibujo técnico Descripción El aumento de la longitud focal y la distancia de la cámara a la infinidad en una proyección de perspectiva causan una proyección paralela. La proyección es conseguida por el uso "de proyectores" imaginarios. La imagen proyectada, mental se hace la visión del técnico del cuadro deseado, terminado. Por siguiente del protocolo el técnico puede producir el cuadro previsto en una superficie plana como el papel de dibujo. Los protocolos proporcionan un procedimiento de representación uniforme entre la gente entrenada en la gráfica técnica (dibujo mecánico, diseño por ordenador, etc.).
47 Tipos de proyecciones36 Hay dos tipos de proyección gráfica, categorías cada uno con su propio protocolo:
proyección de perspectiva proyección paralela
La proyección Ortográfica es sacada de los principios de la geometría descriptiva y es una representación de dos dimensiones de un objeto tridimensional. Esto es una proyección paralela (las líneas de proyección son la paralela tanto en realidad como en el avión de proyección). Esto es el tipo de proyección de la opción para dibujos de funcionamiento.
En la proyección paralela, las líneas de vista del objeto al avión de proyección son la paralela el uno al otro. Dentro de la proyección paralela hay una subcategoría conocida como Pictóricas (Pictorials). Los Pictorials muestran una imagen de un objeto como visto de una dirección sesgada a fin de revelar tres direcciones (ejes) del espacio en un cuadro. La proyección paralela los dibujos de instrumento ilustrados a menudo son usados para acercarse proyecciones de perspectiva gráficas, pero hay deformación asistente en la aproximación. Como las proyecciones ilustradas intrínsecamente tienen esta deformación, en el dibujo de instrumento de pictóricas, la gran familiaridad puede ser tomada entonces para la economía del esfuerzo y mejor efecto. La proyección paralela pictórica confía en la técnica de la proyección axonométrica ("para medir a lo largo de ejes"). En pictóricas isométricas (para protocolos ven la proyección isométrica), la dirección de inspección es tal que las tres ejes del espacio aparecen igualmente escorzados 37, de cuales ángulos mostrados entre ellos y también la escala del escorzo son universalmente conocidos. Cierto número de videojuegos pone en acción a sus personajes utilizando un punto de vista en perspectiva 36 37
http://en.wikipedia.org/wiki/Graphical_projection#Types_of_projection; descargado 29 de marzo del 2010.
Escorzo se refiere al efecto visual o la ilusión óptica de que un objeto o la distancia parece más corta de lo que realmente es porque es en ángulo hacia el espectador. Aunque el acortamiento es un elemento importante en el arte, donde la perspectiva visual que está siendo representado, el acortamiento se produce en otros tipos de representaciones bidimensionales de escenas tridimensionales. Algunos otros tipos que pueden ocurrir incluyen escorzo oblicuo dibujos proyección paralela. Representa, acortándolas, según las reglas de la perspectiva, las cosas que se extienden en sentido perpendicular u oblicuo al plano del papel o lienzo sobre que se pinta
48 isométrica, o mejor dicho, en la jerga usual, en "perspectiva 3/4". Desde un ángulo práctico, ello permite desplazar los elementos gráficos sin modificar el tamaño, limitación inevitable para ordenadores con baja capacidad gráfica. En pictóricos dimétricos, la dirección de inspección es tal que dos de los tres ejes del espacio aparecen igualmente escorzados de que la escala asistente y los ángulos de la presentación son determinados según el ángulo de la inspección; la escala de la tercera dirección (vertical) es determinada por separado. Las aproximaciones son comunes en dibujos dimétricos. En pictóricos trimétricos (para protocolos ven la proyección trimétrica), la dirección de inspección es tal que todas las tres hachas del espacio aparecen desigualmente escorzado. La escala a lo largo de cada una de las tres hachas y los ángulos entre ellos es determinada por separado como dictado por el ángulo de la inspección. Las aproximaciones en dibujos Trimétrica son comunes. La proyección oblicua es usada exclusivamente para objetivos ilustrados más bien que para dibujos formales, trabajadores. En un dibujo ilustrado oblicuo, los ángulos mostrados entre las hachas así como los factores de escorzo (escala) son arbitrarios. La proyección de perspectiva es un tipo de proyección donde los objetos tridimensionales no son proyectados a lo largo de líneas paralelas, pero a lo largo de líneas que surgen de un punto solo. Este tiene el efecto que los objetos distantes parecen más pequeños que objetos cercanos. La proyección ortográfica es un sistema de representación gráfica, consistente en representar elementos geométricos o volúmenes en un plano, mediante proyección ortogonal; se obtiene de modo similar a la "sombra" generada por un "foco de luz" procedente de una fuente muy lejana. Su aspecto es el de una fotografía de la Tierra.
LOS GRÁFICOS POR COMPUTADORA Surgieron a principios de los cincuenta en el famoso MIT (Instituto Tecnológico de Masachussets). En él se conectó un osciloscopio a uno de sus ordenadores, de modo que éste podía controlar directamente la posición del haz catódico. Este sistema podía realizar dibujos simples, moviendo el haz de manera que fuese trazando las líneas que lo componían. Sin embargo, cuando la complejidad del gráfico aumentaba, aparecía un problema de difícil solución: el parpadeo. A este problema había que añadirle que el ordenador tenía que dedicar la totalidad de su tiempo de ejecución a mantener fresca la imagen, lo que impedía la realización de cálculos simultáneos. Posteriormente se ideó un tipo de pantalla que mantenía la luminosidad de un punto incluso después de que el haz dejase de iluminarlo, usando una especie de condensador entre el fósforo y
49 el tubo. Para borrar la pantalla, simplemente se descargaba ese condensador. Sin embargo, tenía el problema de que no se podía borrar una parte de la pantalla, sino que se debía borrar toda y reescribir la parte común. A esto habría que unir el bajo contraste de la imagen. i magen. Este sistema de generación de imágenes se le denominó VECTORIAL pues sus imágenes están compuestas por vectores unidos entre sí. PERSPECTIVA En la perspectiva un conjunto de objetos desde un punto determinado se presentan a la vista del espectador, especialmente cuando están lejanos, los objetos están a escala en relación con el espectador. Debido a que es raro tener tener una escena que consiste únicamente en líneas paralelas a los tres ejes cartesianos (X, Y y Z), es raro ver las perspectivas en la práctica con sólo uno, dos o tres puntos de fuga, e incluso una casa sencilla con frecuencia tiene un techo de dos aguas que se traduce en un mínimo de seis conjuntos de líneas paralelas, a su vez corresponde a un máximo de seis puntos de fuga.
Propiedades de la perspectiva: Disminución – Objetos lejanos del observador aparecen más pequeños que objetos del mismo tamaño cercanos al observador Acortamiento – Distancias iguales a lo largo de una línea no son proyectadas a distancias iguales en el plano Los ángulos se preservan sólo en planos paralelos al plano de proyección Es “realista”
Los Software de tipo CAD38, algunos juegos de ordenador (especialmente juegos usando polígonos 3D) y el uso de álgebra lineal (y en particular la multiplicación de matrices), son usados para crear un sentido de perspectiva. La escena es un conjunto de puntos, y estos puntos se proyectan a un plano (pantalla del ordenador) por delante del punto de vista (los ojos del espectador). El problema de la perspectiva es simplemente encontrar las coordenadas correspondientes en el plano correspondiente a los puntos de la escena. Por las teorías del álgebra lineal, una multiplicación de matrices directamente calcula las deseadas coordenadas, evitando así los teoremas de la geometría descriptiva utilizada en el dibujo en perspectiva.
38
(Computer Aided Design). Diseño Asistido por Computadora. Técnicas que permiten a los diseñadores, arquitectos, etc., utilizar en su trabajo herramientas informáticas para acortar los tiempos necesarios en el diseño de productos. El CAD ha crecido en los últimos años de manera fabulosa, principalmente por el abaratamiento de los programas y el aumento de la potencia de las computadoras personales. Un buen programa CAD puede suponer un importante ahorro de trabajo al diseñador, que puede observar, en tiempo real, cómo afectan pequeños cambios a la estructura global del objeto a diseñar. En arquitectura, el CAD facilita la labor de diseño y de cálculo estructural, aportando también información sobre los materiales a utilizar, etc.
50 Pero ¿Por qué usar matrices39? Porque gracias a ellas podremos trasladar , escalar y escalar y rotar en rotar en una misma operación. operación. Si hemos de aplicar a una geometría compleja una serie de transformaciones, transformaciones, no tendremos que calcularlas para cada vértice de esta, solo tendremos que hacerlo una vez, y aplicar el resultado a la geometría; esto, simplifica el cálculo. Para hacer esas tres operaciones en una, bastara con usar la multiplicación de matrices. Actualmente las computadoras usan tarjetas o dispositivos que realizan estos cálculos sobre matrices (hardware), liberando a la computadora de pérdida de energía y tiempo
Métodos de construcción de perspectivas 3D. Dibujar a mano alzada (común en el arte) ar te) construcción (una vez común en la arquitectura) 2. Gráficamente la construcción 3. Utilizando una red de perspectiva 1.
4. Calculando una perspectiva de transformación (común en las aplicaciones 3D de
ordenador) 5. Imitación utilizando herramientas tales como un divisor proporcional (a veces llamado un variscaler). En este ensayo se usará el punto 4, La proyección de la perspectiva requiere una mayor definición. Una ayuda a la comprensión conceptual de la mecánica de esta proyección incluye el tratamiento de la proyección 2D de ser visto a través de un visor de la cámara. La posición de la cámara, la orientación y ámbito de control de ver el comportamiento de la transformación de proyección.
39
Una matriz sería una tabla de elementos ordenadas en filas en filas y columnas. columnas. Si una matriz A tiene n filas y m columnas, diremos que A es una matriz de mxn. Las matrices son una herramienta utilizada para manejar una gran cantidad de combinaciones lineales en una manera homogénea, expresa un sistema de ecuaciones.
51 Mientras que se proyecta imágenes proyectadas ortográficamente representan las tres dimensiones-naturaleza del objeto, no representan el objeto como serían grabadas fotográficamente o percibido por un visor lo observando directamente. En particular, las longitudes paralelos en todos los puntos de una imagen proyectada ortográficamente son de la misma escala, independientemente de que sean muy lejos o cerca del visor virtual. Como resultado, longitudes de cerca al espectador aparecen escorzados. Las operaciones de escala y recorte posterior pueden ser necesarias para asignar el plano 2D en cualquier medio de visualización particular. Lo primero que necesitamos para realizar gráficos 3D es saber proyectar puntos tridimensionales (los del gráfico) sobre un plano (la pantalla o monitor). Para ello vamos a usar unas relaciones muy simples entre triángulos equivalentes. Vamos allá. En el gráfico de arriba vemos representada la proyección del punto P, de coordenadas Y y Z (la X sería perpendicular al gráfico, así que no la representamos). El punto O es donde está situado el ojo del observador, y la línea vertical del medio es la pantalla. El punto, por tanto, se encontraría en el interior del monitor. Vemos que, al unir O con P, la línea corta a la pantalla en el punto P', que será la proyección de P sobre la pantalla. Vemos que tenemos unas coordenadas Z, Z', Y e Y', y dos triángulos equivalentes. Z' es la distancia del observador a la pantalla, así que la llamaremos D. De este modo, para hallar la coordenada Y', que sería la coordenada Y de la pantalla, bastará que usemos un poco de trigonometría, y tendremos que:
Despejamos para encontrar la proyección x´:
Lo mismo que decimos para la X se debe aplicar para la Y. Esta ecuación de arriba presupone que la coordenada (0,0) se halla en la mitad de la pantalla, cosa que no suele ser así; por tanto, si dx es dx es la dimensión de la pantalla en horizontal (en pixeles) y dy la dy la correspondiente para la vertical, tenemos:
Los valores dx y dy se describen a las dimensiones X e Y de la pantalla virtual calculadas en la relación de vista del dispositivo de salida, también es apropiado trasladar el centriode de la figura. figura . Las ecuaciones anteriores presumen el origen de coordenadas está en el ojo del observador, por tanto, para desplazar el origen hasta la pantalla y evitarnos errores, usaremos las ecuaciones.
52
Además de proyectar una figura en pantalla, necesitaremos desplazarla. Para ello, basta con sumar o restar a las coordenadas originales del objeto una cantidad -dx, dy, dz- que correspondan a la longitud del desplazamiento respecto del origen de coordenadas, y luego proyectar el objeto sobre las nuevas coordenadas así obtenidas. Si la normal del plano de visualización (la dirección de la cámara) es paralela a uno de los ejes 3D, la transformación matemática es la siguiente; para proyectar el punto 3D ax, ay, az sobre el punto 2D bx, utilizando un paralelo de proyección ortográfica para el eje y (vista de perfil), se pueden usar las siguientes ecuaciones, Para determinar la coordenada x en pantalla corresponde a un punto en Ax, Az multiplicar las coordenadas del punto por:
() ( ) Para girar un objeto sobre dos ejes sincrónicamente; giramos primero sobre el eje X y luego sobre el Y, que si lo hacemos primero sobre el eje Y, luego sobre el eje X. Esto es debido a que el segundo giro lo hacemos, no sobre el objeto original, sino sobre el objeto ya girado. Un detalle importante al combinar rotación con traslación: no debemos girar una figura que esté desplazada del origen de coordenadas, sino que tenemos que girarla primero y sumarle luego los incrementos a las nuevas coordenadas. Esto es así porque la matriz toma como eje de giro el que pasa por el origen de coordenadas. Si desplazamos el objeto primero, el eje de giro no se trasladará, de modo que lo veríamos girar alrededor de un eje paralelo al que realmente queremos; como ejemplo para explicarlo, si primero giramos el objeto y luego lo trasladamos, girará alrededor de sí mismo en la nueva posición, de igual forma a como gira la tierra sobre sí misma; pero si lo trasladamos primero y lo giramos después, girará alrededor del origen de coordenadas del mismo modo que la Tierra gira alrededor del Sol.
ROTACIÓN DE VECTORES
Sea el vector v levógiro, y v´ figura 3:
en el plano xy gira un ángulo θ (medido en grados y radianes) en sentido
el vector rotado; si r es la longitud del vector (invariable al girar), según la
53
x = r cos ω
y = r sen ω
x´ = r cos (θ + ω)
y´ = r sen (θ + ω)
Usando identidades trigonométricas: r cos (θ + ω) = r cos (θ) cos (ω) – r sen (θ) sen (ω) y también R sen(θ + ω) = r sen(θ) cos(ω) + r cos(θ) sen (ω). x´ = x cos (θ) – y sen (θ)
y´ = x sen (θ) + y cos (θ) Podemos formar una matriz que gira en torno al eje x:
La matriz rotada es (matriz rotación )40.
[ ] *+[]
, esta transformación se le llama transformación de rotación
ESPACIO FÍSICO TRIDIMENSIONAL En un espacio Euclídeo convencional un objeto físico finito está contenido dentro de un ortoedro mínimo, cuyas dimensiones se llaman ancho, largo y profundidad.
40
STANLEY, Grossman, Álgebra lineal , Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1983, págs. 224 – 225.
54 SIMULACIÓN 3D41 La simulación se hace mediante cálculos basados en la proyección de entornos tridimensionales sobre pantallas bidimensionales (monitores de computadora o televisores). Estos cálculos demandan de una gran carga de proceso por lo que algunas computadoras y consolas disponen de cierto grado de aceleración gráfica 3D, gracias a dispositivos desarrollados para tal fin; además disponen de las llamadas tarjetas gráficas con aceleración 3D. Estos dispositivos están formados con uno o varios procesadores (GPU) diseñados especialmente para acelerar los cálculos que admiten reproducir “imágenes tridimensionales”42 sobre una pantalla bidimensional y de esta forma liberar de carga de proceso a la CPU o unidad de proceso central del ordenador.
REPRESENTACIÓN DE TRANSFORMACIONES TRIDIMENSIONALES
Un vector puede representarse así:
⃗ ⃗ ⃗
La traslación, es simplemente una extensión de la que se lleva a cabo en dos dimensiones. Desde este punto de vista podemos representar:
Desde el teorema de rotación de Euler sabemos que cualquier rotación puede ser expresada como una única rotación sobre algún eje. El eje es el vector unitario (la única excepción de signo) que permanece sin cambios por la rotación. La magnitud del ángulo también es única, con su signo está determinado por el signo de que el eje de rotación. El eje puede ser representado como un vector de unidad tridimensional y el ángulo por un escalar.
41 42
http://es.wikipedia.org/wiki/Tridimensional#Simulaci.C3.B3n_3D, descargado 26 de marzo 2010. Este tema es discutido más arriba, estas supuestas imágenes, no son sólo más que proyecciones en 2D.
55 Dado que el eje se normaliza, tiene sólo dos grados de libertad. El ángulo añade el tercer grado de la libertad a esta representación de rotación. Uno puede que desee expresar la rotación como un vector de rotación, un vector tridimensional no normalizan la dirección de que especifica el eje, y la longitud de los cuales es:
̂
Si el ángulo de rotación θ es cero, el eje no está definido unívocamente. Combinar dos rotaciones
sucesivas, cada uno representado por un eje de Euler y ángulo, no es sencilla y de hecho no cumple la ley de la adición de vector, lo que muestra que rotaciones finitas no son realmente vectores en absoluto. Es mejor emplear la notación de matriz (o cuaternión) de rotación, calcular el producto y, a continuación, convertir a eje de Euler y ángulo. En tres dimensiones los matemáticos llaman la secuencia ordenada de los tres ángulos como los ángulos de Euler. Sin embargo, la situación es algo más complicado de lo que hasta ahora hemos indicado. A pesar de la pequeña dimensión, de hecho tenemos una considerable libertad en la secuencia de pares de ejes que usamos, y también tenemos algo de libertad en la elección de los ángulos. Así, nos encontramos múltiples convenciones empleadas cuando tres rotaciones tridimensionales son parámetros para la física, o la medicina o la química, o de otras disciplinas. Cuando se incluye la opción de los ejes del mundo o los ejes corporales, 24 secuencias diferentes son posibles. Y mientras algunas disciplinas llaman a cualquier secuencia de ángulos de Euler, otros dan nombres diferentes (Euler, Cardano, Tait-Bryan, roll-brea de guiñada) a diferentes secuencias. Una de las razones para el gran número de opciones es que, como se señaló anteriormente, las rotaciones en tres dimensiones (y superior) no conmutan. Si invertimos una secuencia de rotaciones, se obtiene un resultado diferente. Esto también implica que no se puede componer dos rotaciones, añadiendo sus ángulos correspondientes. Así, los ángulos de Euler no son vectores, a pesar de la similitud en la apariencia como un triple de los números.
DIVERSAS TRANSFORMACIONES Se modifican puntos (o vectores), permitiendo modificar la escena punto a punto; al modelar objetos usando polígonos, transforma vértices, dibuja aristas y caras que los unen. Tipos de Transformaciones: 1. Traslación: Desplazamos el origen y los ejes de forma paralela.
56 2. Rotación: La rotación sobre un eje cualquiera va a necesitar, en general, ser realizada como una composición de varias transformaciones: a) Traslación del eje de rotación (y los objetos a rotar) de forma que el eje pase por el origen b) Descomposición de la rotación en rotaciones simples respecto a los tres ejes de coordenadas X, Y y Z
c) Deshacer la traslación, efectuando la inversa que se hizo en (a). 3. Escalado: Variamos la escala en los ejes coordenados con el mismo factor de escala (o diferente) para cada eje (factores de escala s i iguales o diferentes). Nos permitirá cambiar las dimensiones de un objeto. Requiere 3 parámetros.
4. Cizallado: No mantiene los ángulos, aunque sí las rectas y el paralelismo.
APLICACIÓN DE TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA Primero se debe tener la información de las coordenadas del objeto a girar, luego se selecciona la transformación geométrica por efectuar. Se emplea la transformación seleccionada a cada una de las coordenadas originales del polígono, para obtener sus coordenadas modificadas. Se redibuja el polígono con las nuevas coordenadas, transformándose el objeto ya modificado.
57 Rotación
[ ] * +
Una matriz de 3 × 3 como la rotación de
Sugiere una matriz (anidada) de 2 × 2 de rotación,
Está incrustado en la esquina superior izquierda:
Ajustamos rotaciones tridimensionales a partir de las tres matrices de rotación bidimensional sobre cada uno de los ejes x, y, y z43.
Estas matrices representan las rotaciones en sentido contrario de un objeto fijo en relación con los ejes de coordenadas, por un ángulo de θ. La dirección de la rotación es la siguiente: R x gira el eje y hacia el eje z, R y gira el eje z hacia el eje x, y R z gira el eje x hacia el eje y . Si el espacio 3D está orientada en la forma habitual, es decir, x ir al frente, y va a la derecha y z va para arriba, estas tres rotaciones son en sentido contrario, cuando el tercero (sin cambios) el eje se dirige hacia el observador. Esta dirección de la rotación puede ser determinada por la regla de la mano derecha.
43
Las demostraciones para estas ecuaciones le recomiendo leer el muy interesante artículo de MARGOLIN, Jed; “The Relationship between Unit Vector Rotations and Euler Angle Functions ”, www.jmargolin.com., 2001, descargado 6 abril de 2010.
58
44
Las soluciones para las matrices son consideradas como ecuaciones:
Rotación x: x´ = x
y´ = Ay cosθx - Az senθx
z´= Ay senθx + Az cosθx
Rotación y: y´= y
x´= Ax cosθy + Az senθy
z´= - Ax senθy + Az cosθy
Rotación z: x´= Ax cosθz + Ay senθz
y´= - Ax senθz + Ay cosθz
z´ = z
CENTRADO DE LA FIGURA En geometría, el centro geométrico centroide o baricentro es la parte del cuerpo donde se distribuye la masa y el centro de gravedad, el cual se puede ver como su punto de equilibrio, y es donde se concentra la masa de todo el cuerpo. En la figura el baricentro se puede encontrar geométricamente, dibujando las medianas a cada vértice, la intercepción entre ellas es el baricentro. También se puede decir que es el lugar imaginario en el que puede considerar que está concentrado todo su peso. El centroide de una figura geométrica es el centro de simetría de la misma. Podría decirse que, el centro de masa y centro de gravedad es el promedio de todos los puntos, ponderado por el local de la densidad o peso específico, respectivamente. El centroide de un conjunto finito de puntos en un espacio vectorial
es:
Si un objeto tiene una densidad uniforme entonces su centro de masa es el mismo que el centro de gravedad. En geografía, el centro de gravedad de una región de la Tierra la superficie, proyectada radialmente sobre dicha superficie, se conoce como su centro geográfico. En el ejemplo que nos centraremos simplemente restamos el punto original y el centriode geométrico.
44
Levógiro: contrario a las manecillas del reloj
59 SISTEMAS TRIDIMENSIONALES EN CIENCIAS NATURALES En química, se usa el sistema tridimensional cuando el enlace químico es ig ualmente intenso en las tres direcciones del espacio (diamante). En magnetismo, el ordenamiento magnético es posible si el acoplamiento magnético es tridimensional (se desarrolla en las tres direcciones del espacio). En matemáticas el sistema tridimensional se representa en el plano cartesiano con los ejes X, Y y Z. Por lo general en estas representaciones se manejan las formas geométricas de tres dimensiones como los cubos o las esferas. Este método visualiza estructuras de compuestos químicos simples, un ejemplo es la una de las cuatro bases nitrogenadas que forman parte del ADN. En una hoja Excel escriba los parámetros de este compuesto: 0.5 0.5 0.7 0.5
-0.11 0 0.12 0
1.5 1.3 1.5 1.3
0.5 0.3 0.5 0.5
0 0.12 0 0
1.3 1.5 1.3 1
0.8 1 0.8 0.8
0 0 0 0
0.8 1 0.8 0.2
1 0.8 0.5 0.2
0 0 0 0
0 0.2 0 0.2
0.2 0.5 0.2 -0.2
0 0 0 0
0.8 1 0.8 1
0.2 0.2 0.5 0.5
0 0 0 0
0.8 0.2 0 -0.5
0.5 0.2 0
0 0 0
0 0.2 0
Es la Timina45, e iniciaremos el estudio de su estructura atómica: Primero escribimos sus parámetros angulares: en la celda F4 el ángulo en x, en celda F7 ángulo en y, en celda F10 el ángulo z, en cada uno de los ángulos los convertiremos a radianes, ya que Excel maneja las fórmulas trigonométricas en radianes.
Centramos este compuesto en relación con los ejes, para ello, restamos su posición y su centriode (que en este caso prácticamente es el promedio de todas las posiciones).
45
Esta sustancia controla los estados de ánimo y el humor, ayuda al sistema nervioso, favorece la memoria y concentración, ayuda al crecimiento, y a la digestión de las grasas y azúcares.
60 Posición en x: =A4-PROMEDIO(A:A), copie y pegue hasta el último de los puntos. Posición en y: =B4-PROMEDIO(B:B), copie y pegue. Posición en z: =C4-PROMEDIO(C:C), copie y pegue.
Recuerde que usaremos las fórmulas de Euler, ya definidas arriba El primer giro lo iniciaremos en x: Proyección x: en la celda P4 escriba: = L4, copie y pegue hasta P39. Proyección y: en celda Q4 escriba: =M4*COS($G$4)-N4*SENO($G$4) Proyección z: en celda R4 escriba: =M4*SENO($G$4)+N4*COS($G$4) Cópielas y péguelas hasta la celda 30.
El segundo giro será en y: Proyección x: en la celda T4 escriba: =P4*COS($G$7)+R4*SENO($G$7), copie y pegue hasta P30. Proyección y: en celda U4 escriba: = Q4 copie y pegue hasta U30. Proyección z: en celda V4 escriba: = -P4*SENO($G$7)+R4*COS($G$7), copie y pegue hasta V30.
El tercer giro será en z: Proyección x: en la celda X4 escriba: =T4*COS($G$10)+U4*SENO($G$10), copie y pegue hasta X30. Proyección y: en celda Y4 escriba: =-T4*SENO($G$10)+U4*COS($G$10)copie y pegue hasta Y30. Proyección z: en celda Z4 escriba: = V4, copie y pegue hasta V30.
61
Para trasladar estos sistemas de coordenadas a un sistema de 2D, aplicamos las fórmulas ya dichas arriba: En la celda AB4 escriba: =$J$4*X4/(Z4+$J$4) para su proyección en x´, cópiela y péguela hasta AB30. En la celda AC4 escriba: =$J$4*Y4/(Z4+$J$4) para su proyección en y´, cópiela y péguela hasta AC30. Seleccione las celdas AB4:AC30 para insertar un gráfico, use el grafico Dispersión con Líneas suavizadas.
Haga los cambios necesarios para que quede así:
62
ANIMACIONES EN 3D Para expresar cualquier transformación afín mediante un producto por una matriz de transformación (en coordenadas cartesianas, una traslación requiere una suma; en coordenadas homogéneas también podemos representar traslaciones mediante productos por matrices de transformación). Para expresar cualquier transformación afín mediante un producto por una matriz de transformación (en coordenadas cartesianas, una traslación requiere una suma; en coordenadas homogéneas también podemos representar traslaciones mediante productos por matrices de transformación), se logra multiplicando las matrices correspondientes a las transformaciones geométricas a combinar, obteniéndose una matriz compuesta. El orden en el que se realizan las operaciones influye al resultado final, hay que tener cuidado de que las operaciones que realice se hagan en el orden correcto tanto si modifica la posición de los objetos como la del sistema de referencia. La transformación quedaría expresada por el producto de matrices:
Dónde:
T es la traslación del punto P 1 al origen Rθ rotación del objeto en un ángulo θ T-1 es la traslación del punto P 1 a su posición original
El orden de ejecución es importante, pues las matrices no siempre cumplen la propiedad conmutativa. Los casos en los que si se cumple: Traslación. Traslación. Rotación. Rotación. Escalado. Escalado. Escalado (Sx = Sy). Rotación.
63 ESTRUCTURA DE ROTACIONES
( ) Una forma muy simple de conseguir una matriz de rotación desde cero es usar ángulos de Euler. Básicamente consiste en primero rotar sobre el eje X, luego sobre el Y, y luego sobre el Z:
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Una esfera es una superficie de una circunferencia que gira alrededor de su diámetro. Es una figura de radio unidad sobre la que se representa el plano complejo por proyección estereográfica. En topología, una 3-esfera (o hiperesfera) es análoga a una esfera en un espacio de mayor número de dimensiones. Una esfera ordinaria, o 2-esfera, consiste de todos los puntos equidistantes de un punto dado en el espacio euclídeo tridimensional ordinario, R3.
Las proyecciones para esta esfera son definidas mediante este análisis geométrico.
64
Primero dibujamos un círculo con radio unitario (a partir de éste dibujar la latitud): Proyección x
√
Proyección y
Proyección z 0
Para dibujar las diferentes latitudes se usan las fórmulas: Proyección x
√
Proyección y
Proyección z
√
Estas fórmulas fueron descubiertas por Mertacor y se diseñaron para una proyección cilíndrica 46. La esfera es envuelta en un cilindro tangente al globo y desarrollada en el plano. En una nueva hoja Excel escriba los ángulos para x, y, z. como aparece a continuación:
A partir de aquí, iniciaremos las matrices para calcular los ángulos de Euler:
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Giorgio Ottaviani ; Introduzione alla cartografia e alla geometria della sfera Liceo L. da Vinci, 13.3.07;
[email protected] www.math.unifi.it/ottavian; Universit`a di Firenze. “Quelli che si innamorano della pratica senza la scienza sono come il nocchiero che monta sulla nave senza il timone o la bussola, e non ha m ai la certezza di dove va” (Aquellos que caen en la práctica sin ciencia son como el barquero que sube en el barco sin timón o la brújula y nunca está seguro a dónde ir) Leonardo da Vinci.
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La matriz de rotación de Euler es definida seleccionando D9:F11:
En f x escriba = MMULT(MMULT(D14:F16,D4:F6),D9:F11),
Luego aparece:
Clic en Aceptar;
A continuación F2 + Ctrl + Shift + Enter:
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Ahora damos valores a la perspectiva y punto de fuga (en F24 = F23 )
PRIMER CIRCULO Ponemos los ángulos de la figura a rotar, desde H3:H33, iniciando desde 0 con incrementos de 15°, en I3:I33 cambiar los ángulos a radianes. En J3 es la proyección x, escribe la fórmula =ABS(1K3^2)^0.5, cópiala y pégala hasta J21, en J22 escribe = -1 *ABS(1-K22^2)^0.5 copia y pega hasta J33. La proyección y, comienza en la celda K3 con la fórmula =SENO(I3), cópiala y pégala hasta K33. Escribe 0 desde L3:L33 para la proyección z. Hasta aquí tenemos una proyección bidimensional de el círculo, pero para tenerla en 3D, procedemos a calcular sus proyecciones en x, y, z, para ello multiplicamos sus matrices, siguiendo el mismo procedimiento: seleccionamos las celdas M3:O3:
Escribe en f x la multiplicación de matrices: =MMULT(J3:L3,$D$19:$F$21), clic en f x :
Clic en Aceptar:
Clic en F2:
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Clic en Ctrl + Shift + Enter:
Cópielo y péguelo hasta M33:O33:
Ahora, para “trasladar” estas coordenadas 2D a coordenadas 3D, en la columna X (columna P),
escribir esta fórmula en P3 esta fórmula =M3*$F$24/($F$23+O3), cópiela y péguela hasta P33. La proyección Y (columna R) escribe la fórmula = N3*$F$24/($F$23+O3) cópiela y péguela hasta R33. Seleccione P3:R33, en la Ficha Insertar + Gráficos + Dispersión + Dispersión con líneas suavizadas + clic:
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Bueno, ya está la primera parte, ahora seguimos con los círculos proyectados en 3D, a lo que las llamaremos Latitudes: Copiamos desde H3:Q33, peguemos en H36, luego en la celda algún número, pero vinculamos esta celda con una Barra de desplazamiento, con un máximo de 360. Hacemos cambios en la columna J36 por esta fórmula =ABS(1-K36^2-L36^2)^0.5, copia y pega hasta J54, en J55 escribe = -1 *ABS(1K55^2-L55^2)^0.5, copia y pega hasta J66. La columna K permanece sin cambios. En la columna L cambiamos valores de la fórmula: =SI($G$36<90,ABS((1-K36^2)^0.5)*SENO(RADIANES($G$36)),ABS((1K36^2)^0.5)*SENO(RADIANES($G$36+180)))
Nota: la fórmula se le suma 180°, es debido a que si se hace esto la curva se regresa. Haga cambios para diferentes valores para notar como cambia la curva elipsoide:
Para dar una mayor realidad a nuestra esfera, graficamos esferas cada 30 grados: Para 30° escribimos este valor en la celda G69, luego desde H69:H84 los ángulos desde 0 hasta 450° (con incrementos de 30°), cambiamos a radianes en las celdas I69:I84, la proyección x en la celda J69 escribe la fórmula = ABS(1-K69^2-L69^2)^0.5, cópiala y pégala hasta J78; luego cámbiala
69 por = -1*ABS(1-K69^2-L69^2)^0.5, en la celda J79, cópiala y pégala hasta J84. La proyección y, inicia en la celda K69 con la fórmula = SENO (I69), copia y pega hasta K84. La proyección z, inicia en la celda L69 con la fórmula = ABS((1-K69^2)^0.5)*SENO(RADIANES($G$69)), copia y pega hasta L79; en la celda L80 escribe la fórmula = -1*ABS((1K79^2)^0.5)*SENO(RADIANES($G$69)), copia y pega hasta L84. Nota: las fórmulas de rotaciones son las mismas, inicias con las proyecciones x, y, z con la matriz haciendo lo apropiado para hacer esta multiplicación: inicia en las celdas J69:L69, escribiendo esta fórmula {= MMULT(J69:L69,$D$19:$F$21)}, copia y pega hasta J84. Las proyecciones equivalentes a 3D, las calculamos en las celdas P69:Q84, primero iniciamos con X: para que la gráfica se proyecte a partir de los 30° cambiamos sus fórmulas acostumbradas por ésta: simplemente que grafique a partir de que sea mayor o igual a 30°, en la celda P69 es: = SI($C$32>=30,(M69*$F$24/($F$23+O69)),""); copia y pega hasta P84. Para la proyección Y en la celda Q69 la fórmula es: = SI ($C$32>=30, (N69*$F$24/($F$23+O69)),""), copia y pega hasta Q84. Este mismo procedimiento se hace para los ángulos 60°, 90°, 120°, 150°, 180°. Una vez terminados, procedemos a graficar lo que calculamos: primero seleccione los datos de la primera esfera, y luego sucesivamente las demás.
Ejercicio: 1. Una vez graficados las Latitudes, grafique las Longitudes de la esfera anterior:
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2. Haga una animación para que la esfera se acerque o se aleje:
3. Haga un mapa de su país o bien un planisferio de todo el mundo:
