USO DE IMPEDANCIA Y ADMITANCIA
________________________________________ _________________________ _______________ Como vimos en el capítulo anterior, la impedancia y admitancia se puede manipular con las mismas reglas que se utilizan para los circuitos de corriente co rriente continua. En este capítulo vamos a demostrar estas reglas mediante el cálculo de la impedancia impedan cia total o equivalente para circuitos serie, paralelo y serie-paralelo de corriente alterna. Ejemplo 1
Hallar la impedancia equivalente del circuito siguiente: R !" o#mios, $ !% mH, & !'( Hz
$os elementos están en serie, por lo que q ue nos damos cuenta de que sus impedancias comple)as se suman: °
j39.8 Zeq = ZR + ZL = R + j + j ω L = 12 + j + j*2* *2*π*159*0.01 = (12 + j + j 9.99) 9.99) ohm = 15.6 e j39.8 ohm.
°
Yeq = 1/Z 1/Zeq = 0.064 e - j 39.8 S = 0.0492 – j – j 0.0409 0.0409 S *odemos ilustrar este resultado utilizando medidores de impedancia y el Phasor !a"ram en + v/. 0e1ido a que el medidor de impedancia de + es un dispositivo activo, vamos a usar dos de ellos, tenemos que arreglar el circuito para que los medidores no se in&luyan entre sí.
Hemos creado otro circuito para la medici2n de las impedancias. En este circuito, los dos medidores no 3ven3 la impedancia del otro. El comando Analysis/AC Analysis/Phasor diagram di1u)arán los tres &asores en un diagrama. 4samos el comando Auto Label para sumar los valores y el comando Line del Editor de 0iagramas para a5adir las líneas de trazos au6iliares para la regla del paralelogramo. El circuito para medir las impedancias de las partes
0iagrama &asorial que muestra la construcci2n de 7eq con la regla del paralelogramo
Como muestra el diagrama, la impedancia total, 7eq, puede ser considerado como un vector comple)o resultante o1tenido usando la regla del paralelogramo de la impedancia comple)a ZR # ZL.
Ejemplo 2
Encuentre la impedancia y la admitancia equivalente de este circuito paralelo:
R =20 ohm$ % = 5 µ&$ ' = 20 $a admitancia:
$a impedancia usando la &2rmula Ztot= Z1 Z2 / (Z1 + Z2 ) ara impedancias en paralelo:
Revise sus cálculos utilizando el men8 de análisis de + Calculate nodal voltages. l #acer clic en el medidor de impedancia, + presenta tanto la impedancia y la admitancia y da los resultados en &ormas alge1raicas y e6ponenciales.
9tra &orma de resolver con + este pro1lema es con su intrprete:
om,=2*!*20000 ,=Res(R$(1//om/%)) =125.8545m-1.5815* ,=1/R+*om*% =50m+628.3185m*
Ejemplo 3
Encontrar la impedancia equivalente de este circuito paralelo. 4tiliza los mismos elementos que en el E)emplo !: R !" o#mios y $ !% mH, con & !'( Hz de &recuencia.
*ara los circuitos paralelos, a menudo es más &ácil calcular la admitancia primero: °
Yeq = YR + YL = 1/R + 1/ ( j2*π'*L) = 1/12 – j /10 = 0.0833 – j 0.1 = 0.13 e - j 50 S
°
Zeq = 1 / Yeq = .68 e j 50 ohm.
9tra &orma de resolver con + este pro1lema es con su intrprete:
',=159 om,=2*!*' eq,=res(R$*om*L) eq=4.9124+5.9006*
Ejemplo 4
Hallar la impedancia de un circuito en serie con R !% o#m, C ; µ<, y $ %,= mH, a una &recuencia angular ω '% >rad ? s @& ω / 2π A.('A >HzB.
Z = R + j ω L - j / ω% = 10 + j 5*104 * 3*10-4 – j / (5*104 *4 * 10-6 ) = 10 + j 15 – j 5
7 @!% ) !%B !;.!; e j 45 o#mios. El circuito para medir las impedancias de las partes
El diagrama &asorial generado por +
partir del diagrama &asorial anterior, usamos el triángulo o regla de construcci2n geomtrica para #allar la impedancia equivalente. Empezamos moviendo la cola de ZR a la punta de ZL. Entonces movemos la cola de Z% a la punta de ZR. #ora la 7eq resultante cerrará e6actamente el polígono a partir de la cola del primera &asor ZR y termina en la punta de 7C. El diagrama &asorial muestra la construcci2n geomtrica de 7eq
Doluci2n de ntrprete de +F om:'%>G 7R:RG 7$:om$G 7C:!?om?CG 7:7R)7$-)7CG 7I!%!%)J a1s@7BI!;.!;"!J radtodeg@arc@7BBI;'J Dot#er KayF 7eq:R)om$!?)?om?CG 7eqI!%!%)J 1s@7eqBI!;.!;"!J &i:arc@7B!L%?piG &iI;'J Revise sus cálculos utilizando el men8 de análisis de + Calculate nodal voltages. l #acer clic en el medidor de impedancia, + presenta tanto la impedancia y admitancia, y da los resultados en las &ormas alge1raicas y e6ponenciales.
0ado que la impedancia del circuito tiene una &ase positiva parecido co mo un inductor, podemos llamarlo circuito inductivo - por lo menos en esta &recuencia Ejemplo 5
Encuentra una red serie sencilla que podría reemplazar el circuito en serie del e)emplo ; @a una &recuencia dadaB. Hemos o1servado en el e)emplo ; que la red es inductiva, por lo que puede reemplazarlo por una resistencia de ; o#mios y un !% reactancia inductiva o#m en serie:
L = 10 = ω*L = 50*103 L
→ L = 0.2 m
o se olvide de que, ya que la reactancia inductiva depende de la &recuencia, esta equivalenc ia es válida 8nicamente para una sola &recuencia. Ejemplo 6
Hallar la impedancia de tres componentes conectados en paralelo: R ; o#m, % = 4 µ&$ a7 L = 0.3 mH, a una &recuencia angular ω = 50 ra/s (' = ω / 2π = .94 B.
+eniendo en cuenta que se trata de un circuito en paralelo, se resuelve primero para la admitancia:
1/Z = 1/R +1/ j ω L + jω% = 0.25 – /15 + j0.2 = 0.25 + j 0.1333 °
Z = 1/(0.25 + j 0.133) = (0.25 – j 0.133)/0.0802 = 3.11 – j 1.65 =3.5238 e - j 28.1 ohms.
So:!o7 or e !7;erre;e e <>?@ om,=50 R,=R L,=om*L %,=1/om/% ,=1/(1/R+1//L-1//%) =3.1142-1.6609* aAs()=3.5294 '!,=ra;oe"(ar:()) '!=-28.025
El intrprete calcula la &ase en radianes. i quieres &ase en grados, se puede convertir de radianes a grados al multiplicar por !L% y dividiendo por π. En este 8ltimo e)emplo, se ve una sencilla manera de usar el intrprete incorporado en la &unci2n, radtodeg. Hay una &unci2n inversa tam1in, ra;oe". +enga en cuenta que la impedancia de esta red tiene una &ase negativa como un condensador, por lo que podemos decir que, en esta &recuencia, se trata de un circuito capacitivo. En el E)emplo ; se colocan tres componentes pasivos en serie, mientras que en este e)emplo se colocan los mismos tres elementos en paralelo. Comparando las impedancias equivalentes calcu ladas a la misma &recuencia, revela que son totalmente di&erentes, aun su carácter inductivo o capacitivo.
Ejemplo 7
Encuentra una red serie simple que pueda sustituir el circuito en paralelo del E)emplo / @a una &recuencia dadaB. Esta red es capacitiva de1ido a la &ase negativa, por lo que tratar de reemplazarlo con una cone6i2n en serie de una resistencia y un condensador:
Zeq = (3.11 – j 1.66) ohm = R e – j / ω%e
Re = 3.11 ohm ω*% = 1/1.66 = 0.6024
Por o ;a7;o Re = 3.11 ohm % = 12.048 µ& e podría, por supuesto, sustituir el circuito en paralelo c on un circuito más simple en paralelo en am1os e)emplos E)emplo L Encuentra la impedancia equivalente del siguiente circuito más complicado a la &recuencia & '% Hz:
Dolucion por el interprete de +F om:"pi'%G 7!:R=)om$=G 7":replus@R",!?)?om?CBG 7eq:R!Replus@7!,7"BG
7eqI''.;/(-=;.;'=")J a1s@7eqBI/'."(L!J ra;oe"(ar:(eq))=-31.8455 ecesitamos una estrategia antes de comenzar. En primer lugar vamos a reducir C y R" para una impedancia equivalente, R%. $uego, viendo que R% está en paralelo con los elementos $= y R= conectados en serie, calcularemos la impedancia equivalente de su cone6i2n en paralelo, 2. *or 8ltimo, calculamos eq como la suma de 1 a7 2. quí está el cálculo de R%:
quí está el cálculo de 72:
M por 8ltimo: °
Zeq = Z1 + Z2 = (55.4 – j 34.45) ohm = 65.3 e - j31.8 ohm de acuerdo al resultado de +.
