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RAZONAMIENTOMATEMÁTICO 4to AÑO DE SECUNDARIA

Situaciones Lógicas y Recreativas Operaciones Matematicas Distribuciones y Analogias Repaso Criptoaritética Orden de Información Cuadro de Decisiones Repaso Métodos Operativos Métodos Operativos II Resolución de Ecuaciones Planteo de Ecuaciones Edades Repaso Relojes Repaso Fracciones Reducción a la Unidad Tanto por Ciento Repaso Series Numéricas Uso de la Sigma Conteo de Figuras Repaso Análisis Combinatorio I Análisis Combinatorio II Repaso Certezas Probabilidades Situaciones Geométricas Áreas de Regiones Sombreadas Repaso

5 14 18 23 27 32 40 47 52 58 64 69 76 82 86 94 98 105 111 117 121 127 132 138 141 147 154 158 164 171 179 188

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4t0 AÑO DE SECUNDARIA

Razonamiento Matemático

Situaciones Lógicas y Recreativas Objetivos Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:

“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar”. Hipatía

 Utilizar sus habilidades creativas con sentido lógico al afrontar la resolución de nuevas situaciones problemáticas.

Ejemplo 2: Siendo el mañana de pasado mañana martes, ¿qué día será el anteayer del ayer de mañana? a) sábado b) lunes c) domingo

d) miércoles e) jueves

Resolución: ♦ Dato : +1 + 2 = +3 < > martes Piden : -2 -1 + 1 = -2

 Descubrir lo ameno que es jugar con las matemáticas.

J

V

-2 -1

Nociones Previas Los ejercicios tratados en este capítulo muestran situaciones, a veces familiares; pero relacionados con el pensamiento creativo, y a medida que los vayas resolviendo, amigo lector, mejorará notoriamente tu capacidad de razonamiento. Para resolver estos tipos de problemas se deben sacar conclusiones con solamente un criterio lógico, sin hacer uso de conocimentos profundos de la matemática y la lógica. Se verán problemas sobre relación de tiempos, ejercicios con cerillos, problemas sobre parentescos, problemas sobre traslados, problemas sobre calendarios, problemas sobre certezas y problemas sobre orden de información.

4to de Secundaria

I. PROBLEMAS SOBRE RELACIÓN DE TIEMPOS Ejemplo 1: Siendo jueves el mañana de hoy, ¿qué día será el anteayer del mañana de pasado mañana? a) miércoles b) martes c) sábado

d) jueves e) lunes

Resolución:

S

D

L

M

0 +1 +2 +3

(Piden)

(Dato)

∴ Rpta.: e Reto Un reo tiene ante sí dos puertas: una lo conduce a la libertad y la otra a la silla eléctrica. Puede hacer una sola pregunta a uno de los guardias de las puertas. Uno de ellos siempre miente y el otro dice la verdad. ¿Qué debe preguntar para salvarse?, ¿qué puerta diría tu compañero que debo abrir para salir?

♦ Jueves < > + 1 + 0 Jueves < > + 1 (Dato) ♦ Piden: -2 +1 + 2 = +1 < > jueves

∴ Rpta.: d

Un eulerino... un triunfador

5


Piden:

Ejemplo 3:

Ayer del ayer de anteayer -1

Si el anteayer de dentro de 5 días es domingo, ¿qué día será el pasado mañana de ayer de hace 3 días del pasado mañana de mañana? a) lunes b) martes c) jueves

d) sábado e) viernes

retroceder -4

-3

-2

-4

0

+1

jueves

viernes

sábado

domingo

lunes

martes

Incógnita

-2 + 5 <> domingo +3 <> domingo ... (I)

Piden: +2 - 1 - 3 + 2 + 1 = 1 ...(II) ahora de (I) y (II): Dato

+1 viernes

-2

= -1 - 1 - 2 = - 4

Resolución: Dato:

-1

+2

+3

sábado

domingo

Incógnita

∴ Rpta.: e

Dato

∴ Rpta.: c

II. PROBLEMAS SOBRE PARENTESCO Ejemplo 1: Camila ve en la vereda a un hombre y dice: “El único hermano de ese hombre es el padre de la suegra de mi esposo”. ¿Qué parentesco tiene el hermano de ese hombre con Camila? a) padre

b) tío

c) tío abuelo

d) abuelo

e) suegro

Resolución: Hagamos un gráfico:

Ejemplo 4: Si el anteayer del mañana de pasado mañana es martes, ¿qué día fue el ayer del ayer de anteayer? a) lunes b) martes c) jueves

∴ Del gráfico se deduce que el hermano de ese hombre es el abuelo de Camila.

abuelo

∴ Rpta.: d

d) sábado e) viernes

Resolución: Dato: Anteayer del mañana de +1

-2

pasado mañana <> martes +2

⇒ -2 + 1 + 2 <> martes

Reto Moviendo solamente un cerillo debemos lograr una igualdad verdadera. No es válido tachar el signo “igual” con una cerilla y obtener una desigualdad verdadera; la expresión final debe ser una auténtica igualdad.

+1 <> martes

6


4to de Secundaria


Ejemplo 2: En un restaurante estaban presentes: 1 padre, 1 madre, 1 tío, 1 tía, 1 hermano, 1 hermana, 1 sobrino, 1 sobrina y 2 primos. Si cada uno consumió un menú de 5 soles, ¿cuánto gastaron en total, como mínimo? a) 30 soles Resolución:

b) 40 soles

c) 20 soles

d) 50 soles

e) 60 soles

En este tipo de problemas debemos tener en cuenta, en el momento de la resolución, que cada uno de los integrantes de la familia puede desempeñar en un mismo problema papeles diferentes. Así por ejemplo una misma persona puede ser padre e hijo a la vez. Luego haciendo un esquema utilizando la menor cantidad de personas, se tiene:

∴ Como mínimo estuvieron 4 personas. Luego pagaron 4(S/. 5) = S/. 20

La peluquería sucia Perico iba camino a la costa del sol, a pasar unas vacaciones, cuando, al atravesar un pueblo, se le averió el auto. Mientras se lo arreglaban, decidió hacerse cortar el cabello. El pueblo sólo tenía dos peluquerías, la de Pepe y la de Tony. Perico echó una ojeada por la luna de la peluquería de Pepe. El espectáculo no fue de su agrado. Perico: “¡Vaya suciedad! Hay que limpiar el espejo, el suelo está lleno de cabello, el peluquero está sin afeitar y lleva un corte de cabello horrible”. No es de extrañar que Perico se marchara de allí, y fuera a dar un vistazo a la peluquería de Tony. Perico miró a través del escaparate. Perico: ¡que diferencia! El espejo está limpio, el suelo bien barrido y Tony lleva un corte de cabello perfecto. Pero Perico no entró. Regresó en cambio a la otra peluquería, pese a lo sucia que estaba, para que le corten el cabello allí. ¿A qué obedece su conducta? a) No le gustó Tony. b) Pepe le ofreció otro servicio adicional. c) Escogió al azar. d) Escogió al mejor peluquero, que en está ocasión es Pepe. e) La de Pepe estaba más cerca de su casa.

∴ Rpta.: b Reto Hay que cambiar de sitio catorce cerillas de esta “rejilla” para lograr formar tres cuadrados.

Resolución: “Como ningún peluquero se corta el cabello a sí mismo y como la villa tiene solamente dos, entonces cada uno de ellos lleva el corte que le hizo el otro. Perico fue prudente al decidirse por la más sucia de las peluquerías pues su dueño le había hecho un corte de cabello perfecto al propietario de la otra”.

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7


Ejemplo 1:

Ejemplo 3:

Debido a un error al escribirse una expresión, se cambió de lugar una cifra y se obtuvo lo siguiente: 82 + 36 = 100. ¿Cuál debió ser la expresión correcta?

a) 100 d) 170

b) 120 e) 190

Ejemplo 4:

Dado el siguiente conjunto de poleas, si «A» gira en el sentido horario, «B» y «C» ¿en qué sentido giran?

Dado el siguiente arreglo de palitos de fósforo.

B

c) 150 C

Resolución:

A ¿Cuántos debo sacar para que queden dos palitos?

Resolución:

82 + 36 = 100

Resolución:

∴ Rpta.: a

a)

Giros contrarios

b)

Giros contrarios

Ejemplo 2: Ubica los números del 1 al 8, uno en cada círculo, de tal manera que la suma de los lados sea 13.

c)

Giros iguales Ejemplo 5:

d)

¿Cuántos palitos como mínimo debo mover para que el perrito vea a la derecha y continúe feliz?

Giros iguales

Entonces: H A H C

H A

H

A

A B

Resolución: A (Antihorario) B (Antihorario) 4

8

8

H (Horario)

C (Horario)

7

3 6

1

Resolución:

2

5


4to de Secundaria


Nivel I 1) Utilizando cuatro veces el número "4" forma todos los números del 0 al 10, inclusive. Usa (+ , - , x , ÷)

3) Con tres cifras "3" y utilizando las operaciones fundamentales (+, -, x, ÷) obtén los números: a) 9 =

8) Escribe la palabra "DOSIS" en los tres casilleros mostrados (un caracter por casilla).

b) 11 =

0: 44 - 44

c) 12 = 9) ¿Qué contiene la caja mostrada?

1:

2:

4 4 + 4 4

3:

4+4+4 4

4:

5:

6:

7:

8: 4 + 4 + 4 - 4

9:

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

5) La siguiente figura representa seis tazas, las tres primeras están llenas con café y las tres restantes vacías. Moviendo una sola taza deben quedar intercaladas, es decir, una llena y una vacía. ¿Qué taza movería y cómo?

10:

2) La siguiente columna de cinco filas contiene 15 cifras impares. 1 1 1 + 3 3 3 5 5 5 7 7 7 9 9 9

4) ¿Cuántas personas como mínimo hay en 4 filas de dos personas por fila?

1

2

3

4

5

6

GIL FRÁ

3 1 6 5

Producto Peruano

10) La figura mostrada representa una piscina de forma cuadrada con cuatro árboles en las esquinas. Se desea aumentar el doble del tamaño de la piscina sin sacar los árboles y con la condición de que cada árbol quede siempre al costado de la piscina. ¿Cómo se puede lograr?

6) Con cinco palitos de fósforo forma veintiuno.

7) ¿En qué condición se cumple que 11 + 3 = 2?

11) Une los puntos con cuatro líneas rectas trazadas sin levantar el lápiz del papel ni pasar dos veces por una misma línea.

El problema consiste en tachar nueve cifras, eligiéndolas de manera que al sumar las columnas de las seis restantes se obtenga el número 1111.

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9


12) En una vecindad las casas son demasiado pequeñas y por esa razón los baños están al frente. Dibuja tres caminos que partan de cada una de las casas (A, B y C) y vayan al baño respectivo sin cruzarse con los otros dos caminos y sin salir de la vecindad.

16) La siguiente distribución de cubos se pinta totalmente. ¿Cuántos cubos quedaron con sólo dos caras pintadas?

Casa B Casa A

Baño C

20) En la siguiente figura, cambia de posición dos palitos, para obtener cinco cuadrados iguales.

Casa C

Baño B

Baño A

13) Agrega cuatro palitos de fósforo en la figura para obtener uno.

17) Completa el siguiente cuadro, sabiendo que el número que va en cada casillero es la suma de los dos de abajo, adyacentes a él.

21) En la siguiente figura, quita dos palitos para que queden dos triángulos equiláteros. (No vale dejar cabos sueltos).

19 7

20 8

14) En la siguiente expresión, mueve una cifra para que se verifique la igualdad:

Obs.: No vale dejar cabos sueltos.

22) Retira diez palitos, para obtener cinco cuadrados iguales.

18) Dispón en cada casillero una cifra comprendida entre el 1 y el 6 (sin repetir), de tal manera que la suma en las columnas sea la misma. 23) Divide la siguiente figura en seis partes con sólo dos líneas rectas.

23 + 2 = 10

Nivel II

15) ¿Cuántos cubos iguales (unitarios) hay en la figura?

10

19) Coloca los números del 1 al 6 (sin repetir) en los círculos correspondientes, para que la suma de los lados sea 10.


24) Mediante tres líneas rectas, corta el siguiente cuadro en siete partes, de tal manera que en cada parte haya una flor.

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25) Divide la figura en cuatro partes exactamente iguales en forma y tamaño.

Nivel III 30) Si tengo cinco trozos de cadenas conformados por tres eslabones cada uno, ¿cuántos eslabones debo abrir y cerrar como mínimo para formar una sola cadena?

33) Se quiere medir exactamente 7 litros de kerosene pero solo se dispone de medidas de 3 y 5 litros. ¿Cuántos trasvases como mínimo se debe hacer?

26) Divide la figura en cuatro partes exactamente iguales en forma y tamaño. a) 1 d) 4

27) Se tiene una tabla de seis metros de largo por tres metros de ancho y se desea (dándole un sólo corte a dicha tabla luego uniendo las dos partes) obtener otra tabla que tenga 9m de largo por 2 m de ancho. ¿Cómo se debe realizar dicho corte?

b) 2 e) 5

31) ¿Cuántas monedas como mínimo se debe mover para pasar de la posición I a la posición II?

I

28) Usando solamente ocho cifras "8" se debe formar números que al sumarlos resulte 1000. ¿Cómo debemos hacer?

c) 3

a) 3 d) 2

c) 7

b) 3 e) 6

c) 4

c) 5

32) Se tiene dos baldes de 7 y 4 litros de capacidad, respectivamente. Explica cómo se debe hacer para medir 1 litro de agua exactamente.

29) Se tiene una balanza de platillos y tres pesas diferentes de 3; 4 y 6 kg. Explica cómo se debe hacer para pesar exactamente 5 kg.

4to de Secundaria

b) 6 e) 3

34) ¿Cuántos fósforos debes agregar como mínimo para formar siete cuadrados?

a) 2 d) 5

II b) 4 e) 1

a) 5 d) 4


35) Sobre una mesa hay 8 dados, uno encima del otro (ver figura). El pequeño Juanito da vueltas alrededor de la mesa y debe averiguar, sin tocar los dados, cuántos puntos en total han quedado ocultos. Podría decir Ud., ¿cuál fue el valor hallado por Juanito? a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56

11


36) Coloca los números del 1 al 9, uno en cada casillero, de tal manera que la suma de las columnas, filas y diagonales sea 15.

41) Suprimiendo de la figura ocho palitos, debe obtenerse otra de solo seis cuadrados, que siga siendo simétrica en relación a un eje dado.

45) Los cinco cubitos mostrados poseen goma en todas sus caras. Para formar un cubo mínimo, se pegan algunos cubitos más. ¿Cuántos de ellos necesitarían goma adicional?

37) Coloca los números 3; 4; 5; 6; 7 y 8 (sin repetir), de tal manera que la suma de cada lado sea 18.

=

18 =

18

=1

8

42) En la figura, reemplaza las letras por números del 1 al 8 (sin repetir), de tal forma que en níngún caso un número cualquiera sea vecino con su consecutivo. ¿Cuál es el menor valor de «B + C»?

38) ¿Cuántos fósforos debes mover como mínimo para formar cinco cuadrados?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

a) 7 b) 9 c) 10 d) 11 e) 8

E

F

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

46) Ubica los números: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9 en las casillas de la figura, sin repetir, de manera que en cada aspa del molino la suma sea la misma. Halla el máximo valor que toma cada aspa.

a) 15 b) 17 c) 18 d) 14 e) 16

A B C D G H

43) Coloca las cifras del 1 al 7 en cada espacio de los círculos para que en cada círculo de la figura, la suma sea 13.

47) Completa los números que faltan en los casilleros, teniendo en cuenta que la suma de dos números consecutivos de cualquier fila debe dar el número superior, sin repetirse. 9 5

39) En cada caso, mueve una cifra para que se verifique la igualdad.

3

a) 101 - 102 = 1 b) 432 - 27 = 360

40) En los vértices del cubo adjunto, coloca los números del 0 al 7 (sin repetir) para que la suma de dos números de cada arista sea un número primo.

43) Distribuye en las casillas del tridente, los números del 1 al 13, de tal manera que la suma de las filas I, II, III y IV sea la misma. I

II

48) Completa los números que faltan en los casilleros, teniendo en cuenta que la suma de dos números consecutivos de cualquier fila debe dar el número superior, sin repetirse.

III

20 12

IV

3

7 2

12


4

4to de Secundaria


Operaciones Matemáticas Operación Matemática Es el proceso de transformación de una o más cantidades en otras nuevas, mediante una serie de operaciones basadas en las operaciones básicas matemáticas. OPERADOR MATEMÁTICO Es un símbolo que representa a una operación matemática. Nos da la identificación de una regla o definición. OPERACIÓN MATEMÁTICA

OPERADOR MATEMÁTICO

Adición

+

Sustracción

-

Multiplicación

×

División

÷ .

Radicación Valor Absoluto

| |

Sumatoria

∑

Ejemplo 1:

Ejemplo 3:

Si a b =

3

2

a + 2b , 8b+a

halla (4 * 2) * (3 * 4) halla 3

2. Resolución:

Resolución: 3

2 =

33 + 2(2)2 8(2) + 3

(2(4)2+ 2) * (2(3)2+ 4)

= 35 19

5

Límite

Lim

Integral

∫

Derivada

dy dx

Las reglas de operación se basan en las operaciones básicas ya conocidas. Ejemplo: Operador

a * b = 2a2 - 2ab + 5b Regla o ley de formación

Operación Matemática

4to de Secundaria

*

5

2(5) + 5 = 7,5 2

Ejemplo 2: Si

(4 * 2) * (3 * 4)

Ejemplo 4:

a * 2b3 =

a+b , 2

Si x = 2x + 5 y halla

Máximo entero

2a + b , 2

Si a * b =

x

= 8x + 7,

x

halla 3 * 54. Resolución: Resolución:

En x = 2x + 5

a * 2b3 = 3 * 54

hacemos x = x

a = 3 ⇒ a = 9

entonces : x

= 2 x + 5

2b3 = 54

por otro lado:

x

b3 = 27 ⇒ b = 3

igualando: 2 x + 5 = 8x + 7

3 * 54 =

9+3 =6 2


= 8x + 7

x = 4x + 1

13


Ejemplo 5: Si m ∆ n

= m (n ∆ m)2,

calcula 16 ∆ 2. 6) Si x = 5x + 1,

Nivel I Resolución:

Debemos hallar la definición de "∆".

1) Si: a * b = 4a + 5b,

En : m ∆ n = m (n ∆ m)2 ... 1

hacemos m = n y n = m

calcula

2

a) 8 d) 11

b) 3 e) 17

c) 15

calcula 2 * 3. a) 21 d) 25

b) 23 e) 26

c) 19 7) Sabiendo que m = 2m + 3,

obtenemos: n ∆ m = n (m ∆ n) ... 2 2

reemplazo

2

en

1

:

2) Si m # n = m2 + n2,

m ∆ n = m [n(m ∆ n)2]2

m ∆ n = mn2 (m ∆ n)4 Despejando: m ∆ n =

Luego 16 ∆ 2 =

3

16 x 22

=

Multiplicamos 326 x 618

326 x 618 = 201 468

14

b) 18 e) 15

a) 11 d) 15

b) 13 e) 19

c) 16

c) 12

1 4

3) Si ∆ es un operador, de tal modo que:

x ∆ y = x2 + 5y,

calcula 2 ∆ 5. a) 21 d) 20

b) 29 e) 17

x

calcula (5

(-3

b) 901 e) 615

2) c) 118

halla (2 # 1) # 3 a) 92 d) 114

b) 111 e) 120

c) 96

calcula 7 # 2. a) 46 d) 45

b) 44 e) 49

c) 42 10) Se sabe que:

a * b = 2a - b y m ∆ n = (m + 1) (n - 1),

halla (5 * 1) ∆ (2 * 1)

5) Si m * n = (m + n) (m2-mn+n2),

a) 742 d) 845

1)

9) Si a # b = (a + b)2 - (a - b)2,

4) Si a # b = (a + b) (a - b),

y = x2 + y2,

c) 27

= 180 000 = 5 400 = 12 360 = 3 708 201 468

5

8) Sabiendo que:

El famoso calculista Inaudi, para multiplicar se sirve de un método particular. Éste es del modo siguiente:

Total

a) 21 d) 26

mn2 1

halla

calcula 1 # 5.

1

3

Multiplicación Inaudi

300 x 600 300 x 18 618 x 20 618 x 6

calcula 2 * 1. a) 6 d) 3

b) 5 e) 9

c) 18


a) 20 d) 9

b) 26 e) 15

c) 12

4to de Secundaria


q 11) Si 2p * 2 = p - pq,

16) Si se sabe que:

halla 8 * 3 a) -12 d) 30

b) -20 e) 32

x = x2 + 1

c) -25

12) Si

a b = ax + 3b

3 2 = 21,

20) Si se sabe que:

Nivel II

calcula:

b) 42 e) 35

a) x4 + 2x2 + 4 b) x4 + 1 c) x2 + 2 d) x2 + 4 e) x2 + 2x + 1

c) 38

F(x) = x2 + 2x + 1,

halla F(1) + F(-2) + F(F(0)) a) 5 d)8

- x2 . x

x

F(x) = x2 - 1,

halla F(x+1) - F(x) a) 2x + 1 d) 1 b) x2 + 1 e) 2x c) x2+2x+1

p ∆ q = p + 2q

13) Si

a

b =

a+b a - b , 3 5

a) 10 d) 12

x

4 =

2 3

b) 11 e) -10

halla "x" en: (6 ∆ 3) ∆ 6 = (x + 2) ∆ (x - 2)

halla x en:

a) 24

b) 25 3

d) 16 3

e) 22 3

c) 26 3

n = (n)(n+1)(n)(n+1) ...

4to de Secundaria

5

+

6

b) 765 432 c) 4 500 e) 493 862

19) Sabiendo que:

x y = xy + xy + xy + ... "xy" sumandos

c) 24

halla

a) 74 088 d) 78 588

c) 2

5 ∆ ( 4 ∆ 17 ) b) 14 e) 20

..

∞

y F(a) = 2 ,

halla "a". a) 2

d) ∞

b) 0

e) 2 ... 2

halla "x" en: 5 * x = x * ( 3 * 1)

15) Si a ∆ b = a2 - 1 ; si a > b a ∆ b = b2 - a ; si b > a, calcula:

a) 12 d) 16

. xx

23) Sabiendo que: a * (b + 1) = 2a - 3b, 2n factores

(x * 3) * (1 * 2) = 14 b) 1 e) 4

c)

18) Sabiendo que:

a) 0 d) 3

22) Si F(x) = Xx

c) -11

14) Si a * b = 2a + b, halla x en:

c) 9

17) Si se cumple que:

b) 0 e) 10

21) Si se sabe que:

calcula 5 4 a) 37 d) 40

halla a) 256 d) 16

3 4

1/36 b) 144 e) 20

c) 72


a) 32 5

b) 19 5

d) 37 3

e) 12

c) 28 5

24) En el conjunto de los números enteros se define la operación * del siguiente modo: * a = 2a; si a es impar * a = a; si a es par Entonces el valor de * (*3) + *[(*5) + 5] es: a) 24 d) 12

b) 36 e) -32

c) 48

15


25) Definimos la operación entre números enteros:

a * b = 2a; si 0 < b < 20 y a * b = b + 1 en otros casos.

Entonces: (5 * 21) * 3 es igual a: a) 25 d) 42

b) 21 e) 27

26) Si a ∆ b =

b) -1/4 e) 4

c) 3/4

b = ab +

1 a) 2

1 b) 3

1 d) 4

e)

a b

a ∆ b = 3 (a + b),

halla "x" en:

b) 8 e) 4

2 3

3a - 2b ; si a > b a∆b= 3b - 2a ; si b > a

halla "x" en: x -1 4 2

b) 3/2 e) 5/3

a) 11 d) 9

c) 7/3

2

5 3

−

3

x 2

3

= 5

4

7

x a) 1/3 d) 13

b) 7 e) 14/3

c) 3

5 c) 400

32) Si:

a∆ b=

a-b ; para a ≠ b a2 - b2 0

para a = b

en la expresión 5 ∆ x = 2 ∆ [1 ∆ (-2 ∆ 3)] donde x ≠ 5, el valor de x es: a) -1 d) 3

16

c) 13

halla el valor de x que satisface a la ecuación: 1

a) (a * b) * a = a + 4b b) a * b = b * a c) (a * b) * b = a + 4b d) (a * b) * (a * b) = (a + 2b)2 e) (a * b) * c = a * (b * c)

1 2

b) 100 e) 50

b) -10 e) 8

b = a + b - c , a c

Nivel III

2

a) 25 d) 10

calcula: E = (3 ∆ 1) ∆ (1 ∆ 2)

31) Sean x e y números naturales. Si se define x * y = x + 2y, entonces es verdadera:

4

c) -1

35) Si

=b .c,

5

b) -2 e) 2

x) 3 c) 4

efectúa:

a) 1 d) 5

34) Si en el conjunto de los números naturales se define el operador ∆ por:

a b = ad - bc, c d

a) 6 d) 13/2

x * 25 = 2525 * x

c) 12

30) Si se sabe que:

1 , 2

halla x24 en la ecuación:

2) ∆ 1 = 20 ∆ x

a) 27 d) 60

a

c

x * y = yx

5 3 =2 2 8

halla "x" en: 1 3 (5 3) = 11 ( 2 2

28) Si

a

27) Sabiendo que:

m

(6

a*a y a+b

33) Definimos la siguiente operación en el conjunto de los números reales positivos:

m n= n ∆m y

c) 44

x * y = x - 2y, entonces 6 ∆ 2 es: a) -3/4 d) 1/4

29) Si se sabe que:

b) -7 e) 6

c) -3


a-b 36) Si a * b = , entonces: ab 1

1

1

1

* 3 ) * ( 4 * - 5 ) es igual ( 2

a: a) -1/9 d) -10/9

b) 1/8 e) 7/9

c) 2/9

4to de Secundaria


37) Si:

41) Si:

"b" factores

a(a -1)(a - 2)...

a

( b )= b(b-1)(b-2)...(3)(2)(1) ,

8

10

a) 15

b) 81

3 d) 4

e)

( 3) : ( 5 )

calcula

c)

2 9

1 2

x

= x2 - 1

45) Si:

x

= x (x + 2) ,

calcula:

(

3

+ 2

b) 49 e) 25

a* y a∆b= b* al resultado de (4 ∆ 3) ∆ 6 es:

42) Si: a* =

a+2 , a-1

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

(

2

39) Si a # b = a b + 35b 4a halla:

1

)( b ),

5# [5 # {5 # (5# (....))}] 100 operadores

a) 1 d) 5

b) 3 e) 10

40) Si m * n =

(

calcula ((2*) )

d) 105 14

121 e) 16

m2 + 6 , 2

43) Si P

m n

( )

10000 operadores

c) 81 6

a) 1

b) -1

d) -2

e)

b) 18 e) 9

c) 36

calcula m en: m

= 42 b) 2 e) 0

b=

calcula 3 a) 2 d) 8

a)2

(b

a

c) 2

c) 3

4

,

5. b) 4 e) 10

1 2

a * b = 2 (b * a) - b ,

calcula a) 3 d) 20

x = (x - 6)x+1 ,

calcula:

a) 0 d) 1201

)

2

c) 6

48) Si:

1

4to de Secundaria

+ 3 - 2

b) 10002 c) 10001 e) 11

=a+5,

47) Si:

= P(m) - P(n) ,

calcula P(n) P(2)

44) Si

a

a) 1 d) 6

∆

121 b) 6

= a2 - 1 y

x = x (x + 1) ,

b2 - 1 y b c = (c - 1)2 ;

a) 95 5

3

a

a) 64 d) 81

c) -2

E = 4 * (5 * (6 * (...)))

a) 1002 d) 102

46) Si

calcula:

calcula:

c) 81

b∆ =

2

a) 64 d) 36

38) Si m * = m2 - 8

)

2

b) 1 e) 123

3

4

100 ...

c) 100


1 * 10. b) 8 e) 23

c) 4

49) Si:

x = 3x + 6 y

x + 1 = 3x - 6 ,

calcula a) 31 d) 28

10 b) 30 e) 26

c) 29

17


Distribuciones y Analogías En el presente capítulo, veremos diferentes tipos de ordenamientos, principalmente numéricos. A veces intervienen letras, las cuales representarán un valor numérico.

Analogías:

Analogías Son ordenamientos en general de tres columnas, cuyo valor central va entre paréntesis. El objetivo es encontrar una ley de formación.

Distribuciones Son arreglos en filas y columnas, en donde la solución se obtiene en forma vertical (columna) u horizontal (fila).

Ejemplo 1:

2 5 8

Ejemplo 3:

( 7 ) 3 (26) 1 ( ) 4

Resolución: 1.a Fila 2.a Fila 3.a Fila

Distribuciones Gráficas Son arreglos de números, representados en un gráfico. La regla de formación se obtiene en base al gráfico.

Distribuciones:

3 2 3

5 7 x

11 17 25

Resolución: 22 + 3 = 7 52 + 1 = 26 82 + 4 = 68 (el valor pedido)

2 × 3 + 5 = 11 5 × 2 + 7 = 17 8 × 3 + x = 25 ∴ x=1

Ejemplo 2:

2 5 8

10102 (12) 201031 (14) 100356 ( )

Ejemplo 4:

3 2 4

2 3 4 2

3 2 9 1

4 3 x 16

Resolución: Resolución: 1.a Fila 2.a Fila 3.a Fila

18

(1 + 1 + 2) (3) = 12 (2 + 1 + 3 + 1) (2) = 14 (1 + 3 + 5 + 6) (4) = 60 (el valor pedido)


(De izquierda a derecha) En la 1.a columna 23 = 4 × 2 a En la 2. columna 33 = 9 × 1 a En la 3. columna 43 = x × 16 ∴x=4

4to de Secundaria


Distribuciones Gráficas: Ejemplo 5: 1 18 3 1

2

3 1

40 1

5

6)

Nivel I

2 3

x 3

En cada caso, halla el valor que falta.

3

Resolución:

1) 2 5 8

a) 24 d) 22

1.er gráfico: (3 + 2 + 1) (3) = 18 2.° gráfico: (1 + 1 + 3 + 5) (4) = 40 er

3. gráfico: (1 + 2 + 3 + 3 + 3) (5) = 60 = x

CÁNTAROS Tenemos dos cántaros de barro como los mostrados en la figura, con la particularidad de que ambos carecen de marca alguna; esto es, su contenido no se puede medir. Sólo sabemos que uno tiene once litros de capacidad y el otro siete. Usando únicamente los dos cántaros y un río caudaloso, ¿como conseguir exactamente seis litros de agua? ¿Cómo lo harías?

( 7 ) 4 (14) 3 ( ) 3

2) 6 18 13

3) 2 5 4

(53) 100 (22) 24 ( ) 113

a) 6 d) 2

a) 20 d) 8

5)

5 1 X

4to de Secundaria

4

2 3

1 9

3

7) 5 4 7

b) 16 e) 80

c) 17

19 5

4

b) 58 e) 55

c) 56

(30) 4 (40) 6 ( ) 7

3 5 6

a) 20 d) 21 10) 5 8 3

b) 61 e) 32

c) 58

6 20 X b) 18 e) 17

c) 22

(65) 12 (45) 5 ( ) 7

a) 35 d) 27

2

b) 16 e) 13

c) 39

(26) 1 (18) 2 ( ) 3

9) 2 4 3

3

b) 20 e) 16

c) 11

X

a) 20 d) 18

6

a) 65 d) 30

2 4 X

7

2 2

8) 8 7 9

5 2

5

c) 63

b) 8 e) 5

5 3 125

X

3

a) 52 d) 30

b) 58 e) 66

3 2 1

4) 3 2 9

c) 21

13

2

a) 40 d) 42

b) 23 e) 10

a) 14 d) 90

14

b) 30 e) 32

c) 26

c) 10


19


11) 1 3 2

2 4 2

2 4 1

a) 5 d) 7

16)

b) 3 e) 8

3

8

10

c) 4

5

5 3 2 17

13)

a) 24 d) 36

b) 8 e) 10

7

c) 9

5

6

36

17)

3

14)

4

6

13

15 5

15) 2

40

2 b) 15 e) 17

27

5

8

7 15

X

36

3

c) 23

12 13 20 X

b) 13 e) 17

c) 24

14

X

5

8

5 2

9

4

3 6

2 2

3

b) 14 e) 23

X

c) 20

3

20

b) 12 e) 63

23) 3 5 6

24) 2 7 5

10 16 X

b) 4 e) 2

c) 7


b) 33 e) 29

c) 31

(14) 10 (28) 14 ( ) 30 b) 32 e) 35

c) 20

(72) 3 (1600) 5 ( ) 8

a) 8000 d) 5000

c) 48

c) 7

( 7 ) 2 (22) 3 ( ) 7

a) 40 d) 48

25) 2 4 5

4 a) 60 d) 55

5 8 2

(24) 3 (18) 3 ( ) 1

a) 28 d) 27

2

a) 12 d) 22

c) 19

b) 6 e) 10

a) 6 d) 5

2 5

5 6 2

22) 4 3 2

11

14

b) 13 e) 18

5

c) 12

6

5

9

b) 20 e) 80

a) 20 d) 16 19)

4

5 10

5

4

X a) 10 d) 13

21) 3 4 5

c) 27

6

5

8

28

c) 16

3

6

4

18) 4

b) 13 e) 18

4

b) 32 e) 26

a) 60 d) 32

X

a) 12 d) 17

12

9 9 X

6

15

a) 9 d) 8

8 49

6 4 10

a) 15 d) 17

20

X

4 1 5 X

a) 12 d) 13

8

20

14 7

12) 2 2 3 7

20) 4 3 7

Nivel II

0 8 X

b) 7000 e) 6000

c) 4000

4to de Secundaria


26) 5 10 25

32)

( 3 ) 4 ( 5 ) 5 ( ) 2

a) 6 d) 3

b) 5 e) 4

6

4

9

8

3

5

c) 9

2

36) 6

4 1 X

a) 6 d) 9 28) 7 3 4

4 6 5

a) 15 d) 16

4

3 3 8 b) 7 e) 10

29 19 X b) 18 e) 20

2 4 3

a) 8 d) 4 30) 15 X 26

5 4 3 8 7

c) 21

8 17 4 4 9

12 7 X 8 5

b) 3 e) 4

X 15

c) 7

37) 6 5 4

a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

4

23 5

5

28 12

9

35)

38) Halla el número que falta en el gráfico:

a) 72 d) 98

b) 54 e) 52

c) 50

20

6 4 3

a) 3 d) 5

56

26

20 12

23 13

X 82

49 60

15

c) 92

b) 35 e) 32

36

5 1

8

90

3 4

5

b) 10 e) 9

X 5

c) 8

40) Indica el número que falta en: c) 37

1 0

2 1 4 4 11

8 7 X b) 12 e) 4

8

b) 82 e) 102

a) 6 d) 12

En cada caso, halla el valor que falta:

31) 5 6 4

c) 28

39) Indica el número que falta en:

48

a) 33 d) 36

7

2

5

X 20

c) 2 a) 48 d) 53

8

12 7

8 8

Nivel III

4

5

7

c) 8

8

X

b) 30 e) 25

?

8 7 8

3

b) 27 - 3 c) 26 - 2 e) 27 - 1

a) 32 d) 24

3 13 20 2

4

(30) 9 (26) 8 ( ) 11

c) 21

25 16 27 b) 5 e) 3

b) 18 e) 17

a) 6 d) 5

34)

29) 5 2 X

33)

6

a) 28 - 2 d) 28 - 1

7

a) 15 d) 19 c) 8

3

11 X

27) 3 5 6

12 24 6

3

3

5

9 2

X

1

6

-2

5

4 12 13

15 a) -5 d) 5

c) 7

4to de Secundaria


b) 4 e) -4

c) 6

21


41) 1 2 4

45)

( 1 ) 1 (72) 3 ( ) 2

a) 162 d) 64

B

G

E

L

b) 240 e) 256

c) 128

A

S B

C

E 42) B E G

(H) (Ñ) ( )

43) 25

3

6

15

24

5

12

46) 2 7 5

3

9 ?

21 a) 21 d) 27 44)

a) T d) V

c) U

b) 26 e) 24

B

C

D

E

L

?

C

E

G

b) P e) T

c) Q

c) 8

2

15

5

7

32

35

101

37

c) U

a) 60 d) 30

(9) 5 (50) 1 ( ) 25 b) 40 e) 63

3

9

102

X b) 79 e) 64

c) 83

c) 60

2

3

36

27

3

4

6

1

2 x 4 a) 121 d) 144

6 b) 64 e) 169

c) 72

48) 4 (18) 3 16 (16) 2 289 ( ) 5 a) 375 d) 515

22

b) 12 e) 10

LA EXTRAÑA COMPRA

F

F

a) R d) S

J

c) 25 47)

A

4 7 x

a) 9 d) 11 50)

b) S e) W

a) 30 d) 50

7

3 4 5

D

A

b) T e) Y

49) 2 1 3

H

?

D C C

a) S d) Z

D

b) 430 e) 455

c) 425


Una mujer entra en una tienda y observa atentamente los artículos, numerados y colocados por orden en una estantería. Una vez que los ha visto, le dice al dependiente: "Disculpe, ¿cuánto cuesta ese?". "¿Qué número es señora?", responde el dependiente, que no ha estado atento. "El uno". "Ah. Son cincuenta soles, señora". La mujer se queda pensativa, mira otra vez a la estantería y dice: "¿Y el número quince?". "Pues serían cien soles, como es natural", responde éste. "Comprendo. Quisiera entonces el ciento cincuenta y seis", concluyó la señora. El dependiente le hizo un pequeño descuento de cinco soles, dejándoselo todo por ciento cuarenta y cinco soles. ¿Qué estaba comprando la señora?

4to de Secundaria


Repaso Nivel I 1) Diez expedicionarios fuimos capturados por una tribu de salvajes caníbales. Nos hicieron formar un círculo y contaban: uno, dos, tres y mataban al tercero, y así iban dando la vuelta matando a uno de cada tres. Como estaba con mi hermano decidimos colocarnos en lugares claves para salvarnos, pues perdonarían la vida a los dos últimos. ¿En qué lugares nos colocamos? a) 1 y 2 d) 2 y 8

b) 4 y 10 c) 7 y 10 e) 1 y 8

4) El otro día en los jardines del parque escuché a dos personas la siguiente conversación: "Ten en cuenta que mi madre es la suegra de tu padre". ¿Qué parentesco une a las 2 personas? a) Padre - hijo b) Tío - sobrino c) Hermanos d) Abuelo - nieto e) Padrino - ahijado 5) En una reunión se encuentran presentes un abuelo, una abuela, 2 padres, 2 madres, 2 esposos, 2 esposas, una tía, 1 nuera, 1 nieto, una nieta, un cuñado y una cuñada. ¿Cuántas personas como mínimo se encuentran presentes en la reunión?

2) La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi: a) Tía b) Hija c) Hermana

d) Sobrina e) Madre

a) 6 d) 9

7) Si

a) 5 d) 2

b) 4 e) 6

c) 3

4to de Secundaria

halla: (5 * 3) * (2 * 4) a) 625 d) 400

b) 49 e) 0

halla F(x + 1) - F(x) a) 2x + 1 d) 1 b) x2 + 1 e) 2x c) x2 + 2x + 1

9) Si x ; xy > 0 x+y x*y= x.y ; xy < 0

halla (2 * - 1) * - 4 a) 3

b) -1

d) -2

e)

c) 8

6) Si a2; a > b a*b= 2 b ; a < b

3) ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para que la igualdad incorrecta que se da a continuación, se convierta en una igualdad verdadera?

b) 7 e) 5

8) Si F(x) = x2 - 1 ,

c) 169

c)

1 4

1 3

10) En los siguientes arreglos, halla x en: 2 ( 9 ) 1 3 (29) 2 4 ( x ) 3 a) 60 b) 6 c) 67 d) 50 e) 70

p ∆ q = pq ; p > q p ∆ q = qp ; p < q

halla: 1 ∆ 27 ∆ 4 ∆ 1 2 3

(

)( )

a) 27

b) 9

1 d) 81

e) 64

c)

1 3


11) 13 22 2 3 6 7 a) 20 d) 1

31 10 x b) 10 e) 4

c) 3

23


12) 5 2 3 11 a) 13 d) 20

5 2 6 17

5 4 3 x

b) 15 e) 16

c) 17

Encontrar el número que falta en cada caso:

13) 6 5 4 ... 5 7 a) 2 d) 6

31 13 18 b) 3 e) 7

c) 5

15) B (H) E (Ñ) G (...) a) S d) Z

c) 12

24

d) Domingo e) Lunes

b) T e) Y

2 0 x

b) 2 e) 5

15 12

19 4

2

3

x

2

1

3

b) 6 e) 3

c) 5

2 13 3

3 20 1

4 x 6

8

7

9

b) 28 e) 32

c) 26

24) Halla “x”.

a) 24 d) 30

25) En un restaurante estaban presentes: 1 padre, 1 madre, 1 tío, 1 tía, 1 hermano, 1 hermana, 1 sobrino, 1 sobrina y 2 primos. Si cada uno consumió un menú de 5 soles, ¿cuánto gastaron en total, como mínimo?

c) 3

a) 30 soles b) 20 soles c) 60 soles

d) 40 soles e) 50 soles

26) Si 2x - 5 = 2x+1 + x+12, 21) ¿Qué día será el mañana del anteayer del siguiente día del ayer si el mañana del anteayer del ayer es sábado?

1 1 0

b) 3 e) 8

a) 1 d) 4

c) U

10 6

a) 4 d) 2

c) 5

17) Hace 2 días se cumplía que el anteayer del ayer de mañana era martes. ¿Qué día de la semana será cuando a partir de hoy transcurran tantos días como los días que pasan desde el ayer de anteayer hasta el día de hoy? a) Lunes b) Martes c) Jueves

a) Martes b) Jueves c) Miércoles

23) Halla “x”.

d) Jueves e) Martes

20) ¿Cuántos palitos hay que quitar como mínimo para dejar sólo uno?

D C C

Nivel II 16) 2 4 5 2 3 3 a) 2 d) 7

a) Viernes b) Lunes c) Domingo

19) Si dentro de tres días ocurrirá que el mañana del anteayer del ayer del pasado mañana de ayer será jueves, ¿qué día fue el pasado mañana del mañana del ayer de hace 3 días?

14) 1 ( 1 ) 1 2 (72) 3 4 (...) 1 a) 1 b) 24 d) 64 e) 36

18) Sabiendo que el mañana del anteayer del mañana de pasado mañana es jueves, ¿qué día será el anteayer del ayer del mañana de hace 2 días ?

d) Sábado e) Domingo

a) Domingo b) Lunes c) Miércoles

d) Sábado e) Martes

a) 1 d) 9

27) Si

22) M e p r e g u n t a r o n ¿ c u á n t o s hermanos tengo? y respondí: “Tengo 8, pero conmigo no somos 9; porque somos 6 y somos 4 y además porque soy el último y el primero”. ¿De cuántas personas se habla? (sin contarme a mí) a) 7 d) 10

b) 8 e) 11

halla

3 b) 5 e) 3

ab # ba =

c) 7

a.b , b-a

calcula 81 # 64 a) 7 d) 4

b) 12 e) 13

c) 6

c) 9


4to de Secundaria


28) Si (2x - 1) % 3y = (x + 3) (2y - 1),

halla 5 % 12 a) 15 d) 36

b) 21 e) 42

c) 24

Enunciado Halla x en los siguientes arreglos:

29) 12 ( 5 ) 3 43 (15) 3 32 ( x ) 8 a) 37 b) 17 d) 31 e) 43

c) 17

2

4 2

b) 9 e) 11

3

8

a) 12 d) 6

7 5 2 c) 13

17

5 20 x

b) 4 e) 8

a) Sobrino - Tía b) Hijo - Madre c) Primo - Prima d) Hermano - Hermana e) No se sabe

a) 1 d) 4

37) Si 3

c) 13

4to de Secundaria

c) 1

36) Emilio invitó a comer al cuñado de su padre, al suegro de su hermano, al hermano de su suegro y al padre de su cuñado. ¿Cuántos invitados tuvo?

4

3

b) 3 e) 5

35) Mi tía Julia es la hermana de mi madre. Martha es la hermana de mi tía, pero no es mi tía. ¿Qué parentesco existe entre mi hermano Eduardo y Martha?

3 3 x

halla 81 * 8 a) 10 d) 14

d) Domingo e) Viernes

34) Se sabe que la siguiente operación es incorrecta. ¿Cuántos palitos como mínimo deben cambiar de posición para que la operación sea correcta?

a) 2 d) 4

Nivel III

31) 2 1 1 5 1 8 a) 6 d) 12

a) Lunes b) Miércoles c) Jueves

38) Si 3a * b . a = a + 2b ,

39) Halla x en: 5 7 8 5 9 4 a) 6 d) 7

b) 8 e) 16

8 7 x

c) 13

4 6 5

b) 9 e) 5

c) 8

c) 14

30) 7 ( 7 ) 7 9 ( 6 ) 4 25 ( x ) 4 a) 10 b) 13 d) 18 e) 11

32)

33) Si dentro de 3 días será lunes, entonces el ayer del pasado mañana del anteayer del ayer del mañana será:

b) 2 e) 5

m n =

c) 3

m+n m-n

a) 0 d) 6

42) Halla x en: 7 (26) 5 (42) 3 ( x ) a) 36 d) 24

x 2 = 2x 3 b) 5 e) 13

41) Halla x en: 12 (72) 6 (48) 15 ( x ) a) 70 d) 72

3 1 2 b) 38 e) 46

c) 56

18 24 12 b) 60 e) 84

c) 80

3 8 9 b) 42 e) 56

c) 48

43) Si x * y = x - y + 2 (y * x) ,

m ≠ n; calcula x en

40) Halla x en: 7 (31) 9 (37) 11 ( x ) a) 42 d) 64

c) 2


hallar 12 * 3 a) 2 d) 6

b) 3 e) 9

c) 4

25


44) Dado:

24 * 31 = 14 36 * 51 = 33 64 * 71 = 34

calcula 59 * 11 a) 47 d) 46

b) 14 e) 41

c) 102

45) Si a ○ b = 3 (b ○ a) - 5b ,

calcula E = (7 ○ 5) + 3 4 a) 12 d) 17

b) 14 e) 15

c) 16

46) Se define el conjunto de los números naturales:

y-1 y+1

3 2

Calcula 4 # 9.

x #

a) 2 d) 8

y

b) 3 e) 5

y

=( x)

2

c) 4

47) Se define R ▽ S = 4R2 + 3

Calcula 6 ▽[7 ▽(8 ▽(9 ▽...))] a) 130 b) 137 c) 125 d) 147 e) No es posible determinarlo

48) Si: x2 - xy x▽y= -1; x-y x ≠ y; xy ≠ 0

calcula 1 ▽(1 ▽(1 ▽(1 ▽...))) a) 1 d) 3

b) 0 e) F.D.

c) 2

49) Dado:

a b= halla a) 2 d) -2

26

{

(a-b) x (-b-a); si a < b (a-a) x (-b-b); si a ≥ b

E = ( 2 2 ) + ( -2 2 ) b) 1 e) 4

c) -1

Hipatia de Alejandría Hipatia (o Hypatia) nació en Alejandría (Egipto), en el año 370 de nuestra era y murió en esa misma ciudad en el año 415. Fue una mujer científica, filósofa neoplatónica y maestra, que con su sabiduría y sus enseñanzas contribuyó en gran medida al desarrollo de las Matemáticas y la Astronomía. Su padre Teón de Alejandría era un célebre matemático y astrónomo, muy querido y apreciado por sus contemporáneos. Teón fue un sabio que no se contentó con guardar los conocimientos de la ciencia para sí y sus discípulos sino que hizo partícipe de ellos a su propia hija, algo verdaderamente insólito en el siglo IV. Hipatia por su parte era una mujer abierta a todo el saber que su padre quisiera volcar sobre ella y así fue como se educó en un ambiente académico y culto. En efecto, Teón le transmitió su conocimiento sobre las matemáticas y la astronomía además de la pasión por la búsqueda de lo desconocido. Los historiadores han llegado a asegurar que incluso superó al padre, y que muchos de los escritos conservados que se suponen de Teón son en realidad de la hija. La casa de Hipatia se convirtió en un lugar de enseñanza donde acudían estudiantes de todas partes del mundo conocido, atraídos por su fama. Uno de sus alumnos fue Sinesio de Cirene, obispo de Ptolemaida (en Fenicia), rico y con mucho poder. Este personaje dejó escrita mucha información sobre Hipatia, su maestra. Por medio de él pudo llegar a conocerse los libros que ella escribió para la enseñanza, aunque ninguno ha llegado a nuestros días. Otro alumno llamado Hesiquio el Hebreo escribió unas obras que se conservan, en las que también hace una descripción sobre las actividades de Hipatia y asegura que los magistrados acudían a ella para consultarle sobre asuntos de la administración. Dice también que fue una persona muy influyente en el aspecto político. También se interesaba por la mecánica y ponía en práctica la tecnología. Se sabe que inventó un aparato para destilar el agua, un hidrómetro graduado para medir la densidad de los líquidos y un artefacto para medir el nivel del agua. Pero Hipatia era pagana y le tocó vivir en tiempos duros para el paganismo. Su situación llegó a ser muy peligrosa en aquella ciudad que se iba haciendo cada vez más cristiana. En el año 412, para sustituir a su tío Teófilo, el obispo Cirilo de Alejandría fue nombrado patriarca, un título de dignidad eclesiástica que sólo se usaba en Alejandría, Constantinopla y Jerusalén, que equivalía casi al del papa de Roma. Un obispo de Egipto del siglo VII llamado Juan de Nikio, habla de la muerte de Hipatia. Cuenta cómo un grupo de cristianos impetuosos y violentos, seguidores de un lector llamado Pedro, fueron en su busca, la golpearon, la desnudaron y la arrastraron por toda la ciudad hasta llegar a un templo llamado Cesareo; allí continuaron con la tortura cortando su piel y su cuerpo con caracolas afiladas, hasta que murió; a continuación descuartizaron su cuerpo y lo llevaron a un lugar llamado Cinaron y allí finalmente lo quemaron. De esta manera creyeron dar muerte a lo que ellos llamaban idolatría y herejía.


4to de Secundaria


Criptoaritmética En el presente capítulo, analizaremos situaciones donde tendremos que averiguar valores escondidos (valores numéricos), los cuales están representados en forma literal o simbólica. CRIPTOARITMÉTICA es una palabra compuesta, que proviene de "Cripto", escondido, y "aritmio", numeral.

Ejemplo 1:

Ejemplo 3:

Halla A + B + C en:

Halla la suma de cifras del producto:

ABC + B35 = C81 Sean: : producto de tres valores

abc

: numeral de tres cifras

* * 4 0

B 3 5

* * * 7 0

Resolución:

C + 5 = 11 C=6 (en unidades) B + 3 + 1 = 8 B = 4 (en decenas) A + B = C A=2 (en centenas) ∴ A + B + C = 12 Ejemplo 2:

1. Si

a b c +

m n r

7 3 5 ×

4 2

1 4 7 0

2 9 4 0

3 0 8 7 0 Respuesta : 18

Halla A + B + C en:

entonces x = 1

x y z p

* 4 * *

aa(2b)c: numeral de cuatro cifras

PROPIEDADES

4 *

A B C + C 8 1

(a+1)(2b)(3a): numeral de tres cifras

7 * * ×

Resolución:

abc

ABC2 × 7 = 32CBA Resolución:

A B C 2 ×

2. Si

a b +

c d

p q

entonces b + d = 10

m n q

7

3 2 C B A 2 × 7 = 14 7C + 1 = 3B 7B + 3 = 4C

A=4 C=5;B=6

∴ A + B + C = 15

4to de Secundaria


27


Ejemplo 4: Halla Q + U + E + S + O en QUE + QUE = ESOS Nivel I

7) Si:

1) Si AB8 + 2BA = 611 ,

Resolución:

Q U E +

Q U E

E S O S E + E = S 1 1 2 Q + Q = 12 6 6

b) 9 e) 8

c) 10

2) Si A8GA + 5B1 = 5B95 ,

8) Si

U + U = O (letra "O") 3 3 6

halla 2A + B. a) 15 d) 12

b) 13 e) 10

Halla el cociente. * * * *

2 4

4 8

* * *

2 4

- 8

Resolución: 2 4

4 8

201

- - 2 4 2 4

- 8

Cociente : 201

28

b) 31 e) 33

c) 27

halla CACA b) 5757 e) 1313

c) 4242

9) Halla la suma de cifras totales que faltan en: * 5 * × a) 40 * 6 b) 35 c) 18 * 7 * 8 d) 39 * * * 9 e) 17 1 * * 0 *

halla abcd+badc+dcba+cdab. a) 13444 d) 15444

b) 14443 c) 15433 e) 14445

5) Halla 12A + BB1 ,

4 8 2 4

a) 26 d) 32

4) Si a + b + c + d = 13 ,

- - * *

B ≠ 0 , halla A + 2B + 3C.

d) 330671 e) 770361

1CABLE×3 = CABLE1 ,

a) 2828 d) 2525

c) 11

3) Si ABBC + CCA = 2C35 Ejemplo 5:

halla ALA × ROTA a) 930371 b) 660371 c) 550371

halla A + B. a) 6 d) 11

ROTA × A = 5041 ROTA × L = 15123

si 7A3B × 6 = 4AB86. a) 241 d) 300

b) 250 e) 352

10) Si: AMOR + ROMA = 12562 (O es cero) halla AA + RR + MM a) 163 b) 251 c) 178 d) 136 e) 187

c) 236 11) Si

6) Halla a + b + c en: 2abc × 3 = abc1 a) 23 b) 30 c) 20 d) 19 e) 18


*

PEZ = * ,

halla P + E + Z a) 20 d) 16

b) 13 e) 17

c) 14

4to de Secundaria


12) Halla la suma de cifras del dividendo en: * * * * 3 * * 4

2 2 *

- 7 *

* *

- 1 *

* *

* 2

a) 12 d) 18

b) 14 e) 21

16) Si UU + NN + II = UNI ,

c) 16

b) 11 e) 15

C C A

y además B ≠ 0 ,

halla A + 2B + 3C. a) 26 d) 32

b) 31 e) 33

halla p + a + n. b) 6 e) 9

c) 7

UNO + UNO = DOS y O = 2 halla U + N. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) Más de una es correcta.

×

B A A

halla A . B a) 35 d) 30

23) Si:

9

4 4

6

b) 1544 e) 1744

c) 1844

b) 32 e) 28

c) 36

6 8 A

A

A

B37

B 8 B 5

- C A

C A

- -

halla A + B - C. a) 9 d) 3

19) Halla el cociente de:

b) 8 e) 2

c) 6

ABCABC : ABC

a) 11 d) 1100 20) Si:

1

b) 101 e) 110 C C C A

A B A A

c) 1001

B + B 4 0

b) 15 e) 12

24) Si

y además A ≠ 0 , halla A + B + C. a) 14 d) 18

4to de Secundaria

c) 24

A A B +

halla el segundo producto parcial.

b) 32 e) 21

2

a) 5344 d) 1644

halla A + M + I + G + A.

22) Si:

15) Si

G I G 6 2

a) 26 d) 28

c) 27

5 4

a) 5 d) 8

I M 1 M

1 3 5 2

m1m+m2m+m3m+...+m7m = pan11

c) 16

2 C 3 5

18) Si: 14) Si:

A B B C +

c) 13

A M I G A +

b) 18 e) 15

17) Si:

halla A + L + I. a) 12 d) 14

halla U + N + I. a) 19 d) 20

13) Si ALI × 9 = ... 843 ,

21) Si:

Nivel II

c) 13


A 8 5 2

36

3 6

B3A

B 2 5 B 0 8 - B 7 2

B A A

- 2 8

halla A × B. a) 10 d) 4

b) 20 e) 6

c) 3

29


25) Si:

4 A 5 B

5 2 A 31) Si:

A 8 3 5

b) 6 e) 10

AMAR + RAMA = 9328

BA7808 ÷ 8 = 4BA76 ,

halla A + B. a) 11 d) 8

35) Halla el mayor valor que puede tomar "M + A + R" si:

Nivel III

c) 12

halla "A + B". a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

y además cada letra representa una cifra impar menor que 9. a) 13 d) 17

c) 8

b) 15 e) 22

c) 19

2

26) Si AB = 18A9 ,

32) Si:

halla A × B. a) 15 d) 16

b) 18 e) 24

halla TODO a) 5010 d) 5020

b) 4020 e) 4030

c) 6010

B37

- C A

27) Si TOMA + DAME = 7 507 ,

A

C A

- -

a) 3 d) 8

b) 4 e) 12

* * *

halla a + b + c. b) 11 e) 14

c) 5

33) Halla la suma de las cifras que reemplazan a los asteriscos (*).

2

a) 10 d) 13

halla "A + B - C"

28) Si ab = 17ca ,

36) Si:

B 5

donde T > D y O = cero

A

B 8

c) 12

6 8 A

c) 12 a) 45 d) 46

4 * * * *

c) 44

2

halla x (a + b + c). a) 70 d) 77

b) 84 e) 98

c) 91

30) Sabiendo que: 5 × CUATRO = VEINTE

y además "A" es cero, calcula:

T+R+E+I+N+T+A a) 20 d) 21

30

b) 24 e) 27

c) 18

34) Si: 973 ********* *** ******* - **** 1*** -**** ***9 - - **** * * * 6 -- *** *** - - halla la suma de las cifras del dividendo. a) 54 d) 53

b) 55 e) 52

* × * * 7

b) Sólo II c) II y III e) I y II

37) Si: PENA × 99 = ...1403 ,

*

29) Si x5 = abca ,

4 * * 3 *

son ciertas: I. La suma de las cifras del producto es 22. II. L a s u m a d e l a s c i f r a s reemplazadas por los asteriscos, tanto en el multiplicando como en el multiplicador, es 19. III. La suma de las cifras de los productos parciales es 22. a) Sólo I d) Todas

* × 7 3

b) 42 e) 47

* * * 3 *

c) 56


halla "P + A + N + E". a) 24 d) 22

b) 26 e) 23

c) 25

34) Si:

******* *** - - -** ** -*** * * * - - 8

** **8**

da como respuesta la suma de las cifras del dividendo. a) 30 d) 33

b) 31 e) 29

c) 32

4to de Secundaria


39) Si:

42) Si:

46) Si:

ANITA × 8 = PEPITO

ABC × 6 = C59C ,

abcde × 99 = ...77232 ,

donde O : cero halla "P+E + P + I + T + O".

a) 33 d) 32

b) 25 e) 28

halla "B + C". a) 5 d) 8

c) 30

b) 6 e) 9

c) 7

a) 40 d) 38

b) 36 e) 35

c) 37

47) Si:

40) Si: 3 * 4 * * - 8 * * * - -

halla a + b + c + d + e.

* *

**

SIN + SIN = NADA ,

****

* * * 8 - 8

a) 20 d) 14

da como respuesta la suma de las cifras del cociente si éste toma el menor valor posible.

43) Si:

a) 8 d) 5

b) 4 e) 3

c) 7

a) 6 d) 9

* * 5 * * * -

**

* 0 6 * * * * * b) 7 e) 10

A3BB × 8 = 4BA76 ,

1**,5

44) Si: A * C * -

c) 8

b) 7 e) 10

B * * * -

1 * * 2

4to de Secundaria

a) 8 d) 9

5B

c) 17

* * 7 * -

* 5

**

* * * * - b) 13 e) 12

c) 10

17 49) Si: TOC × TOC = ENTRE ,

b) 396 e) 336

45) Halla la suma de producto: 7 * 2 * 6 * * * * 8 1 * 1 * a) 8 b) 9 d) 11 e) 12

5 * -

c) 8

halla "A . B . C" a) 252 d) 198

b) 16 e) 15

48) Halla la suma de cifras de la raíz.

halla "A + B". a) 6 d) 9

41) Reconstruye la siguiente división y da como respuesta la suma de las cifras de la parte entera del cociente. 3 * * * - * * -

halla N + D + S + A.

c) 450

calcula T + R + E + N. a) 17 d) 18

b) 12 e) 15

c) 13

cifras del 50) Si: * × * * 0 c) 10


PAPA + MAMA = BEBE

y además AE = A × B ,

calcula B + E + B + E. a) 22 d) 26

b) 20 e) 12

c) 24

31


Orden de Información Objetivos  Afianzar el desarrollo de la creatividad y el ingenio.  Potenciar la habilidad analítica.  Ejercitar la capacidad recreativa con la matemática.

NOCIONES PREVIAS En este capítulo nos encontraremos con diversos tipos de problemas en cuya resolución debemos tener en cuenta lo siguiente:  La información que nos da el problema necesita ser ordenada.  Se comienza el ordenamiento utilizando la información precisa o la más relacionada.  Debemos verificar que la respuesta final que hallamos cumpla con las condiciones del problema. A. ORDENAMIENTO LINEAL En este caso se procede a ordenar la información, ubicando los datos en forma vertical u horizontal, según corresponda. a) Creciente o decreciente

Ejemplo 1: En una fiesta se encuentran 4 amigos, Sandro, Luis, Pedro y Martín. Además:

32

 Sandro es más alto que Martín pero más bajo que Luis.  Pedro es más alto que Sandro. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.  El más alto de los 4 es Luis. ( )  El más bajo es Martín. ( )  Es imposible que Pedro sea el más alto. ( )

Ejemplo 2: Se sabe que:    

Carlos es 3 cm más alto que Diego. Juan es 2 cm más bajo que Diego. Juan es 5 cm más bajo que Carlos. Lucy es 3 cm más baja que Diego.

Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.  Diego y Juan son de la misma talla. ( )  Lucy es la más baja. ( )  Diego es el más alto. ( )

Nota Las proposiciones:  A no es mayor que B, significa que A puede ser menor o igual que B.  A no es menor que B, significa que A puede ser mayor o igual que B.


b) Lateral

El procedimiento es similar al seguido en el ordenamiento creciente o decreciente. izquierda oeste occidente

↔ ↔ ↔

derecha este oriente

Ejemplo 1: Un postulante a la Católica compra 6 libros y los ubica en un estante de su biblioteca de la siguiente manera:  El libro de Aritmética está siempre junto y a la izquierda del de Álgebra.  El libro de Física siempre junto y a la izquierda del libro de Química.  El libro de Geometría está a la izquierda del de Álgebra.  El libro de Trigonometría está a la derecha del de Aritmética y a la izquierda del libro de Física. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.  El libro que está a la derecha de los demás es el libro de Química. ( )  El libro que está a la izquierda de los demás es el libro de Aritmética. ( )  El cuarto libro, contando desde el extremo derecho, es el libro de Álgebra. ( )  El quinto libro, contando desde el extremo izquierdo, es el libro de Física. ( )

4to de Secundaria


Ejemplo 2: Cinco amigos van al Estadio Monumental a ver el clásico “U” vs. Alianza Lima y ocupan 7 asientos seguidos en fila. Si se sientan juntos siempre que no sean del mismo sexo, y en ese caso se deja un asiento desocupado, entonces un jugador desde el campo observa que:  Susy está en el extremo derecho.  Braulio está entre Leandro y Lucía.  Boris está a la izquierda de Leandro que está sentado junto a Susy. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.  Lucía se sienta en el extremo izquierdo. ( )  Braulio se sienta junto a Lucía. ( )  La quinta posición, a partir del extremo derecho, está vacía. ( )  La quinta posición, a partir del extremo izquierdo, está vacía. ( ) B. ORDENAMIENTO POR POSICIÓN DE DATOS En este tipo de ejercicios , algunos datos ya tienen una posición determinada y la ubicación de los otros está en función de ellos. Los problemas más comunes son los problemas de edificios y los de carreras. Ejemplo 1: Cuatro hermanos viven en un edificio de 4 pisos. Si Arturo vive en el primer piso, Mario vive abajo de Jorge y Willy vive en el piso inmediatamente superior al de Mario, ¿en qué piso vive Willy? 4 3 2 1

4to de Secundaria

En conclusión :

Ejemplo 2: Se observa nueve automóviles estacionados en fila, y cada uno de ellos es de un color determinado. Se desea saber el color del auto que está en el segundo lugar, sabiendo que:  El primero es blanco.  El de color habano está entre el negro y el gris.  El verde está entre el azul y el rojo.  El de color arena está al último.  El rojo está entre el verde y el lila.  El negro está después del habano.  El gris entre el lila y el habano. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Gómez Barrera Muñoz Aburto 2.° Durán 1.° Calderón 6.° 5.° 4.° 3.°

Ejemplo 4: Pedro es menor que Pepe, Pipo es menor que Pino y Pepe es menor que Pipo, ¿cuál es el mayor? Resolución: Empecemos representando en segmentos verticales la información inicial con precisión, no debemos suponer lo que el enunciado nos indique; veamos: “Pedro” es menor que “Pepe”

Pepe

Ejemplo 3: Un edificio de 6 pisos está ocupado por 6 familias, cada familia ocupa un piso, los Aburto viven 2 pisos más arriba que los Calderón y 2 pisos más abajo que los Barrera, los Durán viven en el segundo piso y los Gómez no viven adyacentes con los Aburto. ¿En qué piso viven los Muñoz?

Según el primer dato hay 2 posibilidades: 6.° 5.° 4.° 3.°

(2) Barrera

Barrera Aburto Aburto

2.° 1.° Calderón

“Pipo” es menor que “Pino”

Pino Pipo

Resolución:

(1)

Pedro

Calderón

Puesto que los Durán viven en el 2.° piso, sólo es posible (1). Los Gómez no viven en el 4.° piso, sino en el 6.° En consecuencia los Muñoz viven en el 4.° piso.


Nótese que es necesario trazar 2 segmentos debido a que no se presenta ningún vínculo entre las anteriores proposiciones. * Ahora utilicemos, el vínculo que los relacionan: “Pedro” es menor que “Pipo” Pino Pipo Pepe Pedro

∴ Se aprecia que el mayor es Pino.

33


C. ORDENAMIENTO CIRCULAR

Ejemplo 5: En la llegada a la meta de 100 metros planos en Madrid, un periodista hizo las siguientes anotaciones de los siete atletas participantes (Ñol, Pepe, Mario, Cano, Kilito, Trilcito).  Ñol llegó antes que Pepe y después que Mario.  Mario llegó después que Cano y éste después que Kilito.  Trilcito llegó antes que Cano. ¿Quién llegó en cuarto lugar? Resolución: Pepe Mario Cano

  

Ñol  Mario Cano  Kilito Trilcito

En estos casos se presenta la información indicando que se ubican los datos alrededor de un objeto, formando así una línea cerrada (circunferencia). Ejemplo 1: Seis amigos se sientan a comer helados alrededor de una mesa. - Julio está al lado de Carlos y al frente de Ana. - David no se sienta nunca al lado de Ana y de Carlos. Entonces es siempre cierto que: A) Ana y Carlos se sientan juntos. B) David está a la derecha de Julio. C) David está a la izquierda de Julio. D) Ana y Carlos están separados por un asiento. Resolución

Carlos

5.°

4.°

3.°

rio

Ca no

Ma

Ño

Pep e

6.°

l

“Trilcito” y “Kilito” 2.°

Julio

1.° Ana

Julio Ana

Carlos

∴ En cuarto lugar Mario. (Primera posibilidad)

(Segunda posibilidad)

Ejemplo 6: Dada la siguiente información: I) Aristóteles es menor que José. II) José es un año menor que Walter. III) Walter es 21 años menor que Renán. Si resto las edades de Renán y José, obtengo:

Renán 21

José

∴ Rpta.: d Ejemplo 2: Seis amigos juegan dominó alrededor de una mesa redonda. David no está al lado de Coquito ni de Silvia. Piero no está al lado de Liz ni de Silvia. Coquito no está al lado de Piero ni de Liz. Regina está junto y a la izquierda de Coquito. ¿Quién está sentado junto y a la derecha de Coquito?

Resolución:

Walter 1

Al analizar las alternativas, observamos que la que cumple en ambas posibilidades es la “D” (no es necesario el segundo dato).

- = 22

Resolución * Empezando por el último dato, tendremos:

Aristóteles

∴ 22 años.

34

D P

L

R

S C

∴ A la derecha de Coquito esta Silvia.


4to de Secundaria


Genio e Ingenio Durante su etapa como profesor activo, al final de un examen un alumno se acercó a Albert Einstein y le comentó sorprendido: “¡Las preguntas del examen de este año son las mismas que las del año pasado!” “Sí” - le contestó Einstein - , “pero este año las respuestas son totalmente diferentes”.

Nivel I 1) Se sabe que Juan es mayor que José, Julio es menor que Jesús y José no es menor que Jesús. ¿Quién es el menor de todos? a) Juan d) Jesús b) José e) Falta datos c) Julio 2)

A es mayor que B y menor que C. C es mayor que D pero menor que E. D es mayor que A. ¿Quién es el mayor de todos? a) A b) B c) C

¡Cuidado! Existen ejercicios en los que hay más de un ordenamiento; para que una afirmación sea verdadera debe cumplirse en todos los posibles ordenamientos.

d) D e) E

3) Según el problema anterior, ¿cuántas personas son mayores que A? a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2 4)

Si A está a la derecha de B, C está al oeste de D y B está a la derecha de D. ¿Quién está sentado a la derecha de las demás?

a) A b) B c) C

d) D e) Faltan datos

6)

a) A b) B c) D

4to de Secundaria


d) E e) Falta información

7) Se sabe que: - Harry es mayor que Ron pero menor que Hermione. - Dobby es mayor que Hagrid pero menor que Draco. - Harry es un niño, en cambio Hagrid es adulto. ¿Quién es el menor de todos? a) Harry d) Hagrid b) Ron e) Dobby c) Hermione 8) Según el problema anterior, Dobby es mayor que «n» personas, halla «n». a) 2 d) 5 b) 3 e) Falta c) 4 información 9) S e p e s a a 6 a m i g o s y s e decide entregar la siguiente información:

5) Según el problema anterior, ¿cuántas personas se sientan a la izquierda de B? a) 0 d) 3 b) 1 e) Faltan datos c) 2

Se sabe que: - A es mayor que B. - C es la mayor del grupo. - D es mayor que A. - E es menor que A. ¿Quién es el menor de todos?

- Noño pesa más que el Chavo pero menos que Jaimito el cartero. - El señor Barriga pesa más que Kiko. - Don Ramón pesa menos que Kiko pero más que el Chavo. ¿Quién es el que pesa menos? a) Noño d) El Chavo b) Kiko e) Falta c) Don Ramón información

35


10) Alrededor de una mesa circular con cuatro sillas distribuidas simétricamente se sientan cuatro hermanas: Ana, Bea, Cleo y Deo. Además, se puede observar que: - Ana no se sienta frente a Cleo. - Deo se sienta a la izquierda de Ana.

¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero?

12) Seis amigos A, B, C, D, E y F se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Y se sabe que: - A se sienta junto y a la derecha de B, y exactamente frente a C. - D no se sienta junto a B. - E no se sienta junto a C. Podemos deducir con certeza que:

a) Bea está sentada al lado de Ana. b) Cleo está sentada exactamente frente a Bea. c) Cleo está sentada a la izquierda de Ana. d) Deo está sentada exactamente frente a Cleo. e) Deo está sentada al lado de Cleo. 11) Amelia, Blanca, Carla y Dante están sentados alrededor de una mesa circular con cuatro sillas distribuidas simétricamente. Se cumple que: - Dante y Carla se sientan juntos. - A la izquierda de Blanca se encuentra Amelia.

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. Dante se sienta frente a Amelia. II. Amelia está sentada frente a Carla. III. A la izquierda de Dante se encuentra Blanca. a) Sólo b) Sólo II c) Sólo III

d) I y III e) Ninguna

a) D está entre C y A. b) E está al lado de F. c) E está exactamente frente a F. d) C se sienta junto a B. e) B se sienta a la derecha de D. 13) A invita a B, C, D, E y F a cenar pero este último no pudo asistir. Los que asisten se sientan en una mesa de 6 asientos debidamente distribuidos. - A se sienta junto a E. - E está frente a B. - El asiento vacío no está junto a A, D y E. ¿Entre quiénes está E? a) A y B b) B y C c) A y C

d) D y C e) D y B

14) En una mesa cuadrada están Pedro, Pablo, Wilma y Betty uno en cada esquina. - Frente a Pedro está Betty. - Pablo no está a la izquierda de Betty. ¿Quién está a la izquierda de Wilma? a) Betty b) Pablo c) Pedro

d) Nadie e) Falta información

15) Cinco amigos A, B, C, D y E se sientan alrededor de una mesa de 5 sillas distribuidas simétricamente. - A se sienta junto a B. - D no está junto a C.

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Se puede afirmar que: I. D está junto a A. II. E está junto a C. III. B está junto a D. a) Sólo I b) Sólo II c) I y II

d) I y III e) Todas

Nivel II 16) En una carrera entre cinco amigas, se sabe que Elvira llegó antes que Mariela, Laura antes que Fabiola, Elvira después de Sonia, y Laura después de Mariela. ¿Quién ganó la carrera? a) Elvira b) Fabiola c) Laura

d) Mariela e) Sonia

17) En una competencia de natación, se sabe que Andrés llegó dos segundos después de Daniel, pero un segundo antes que Bruno. Ernesto llegó dos segundos antes que Carlos, quien llegó un segundo antes de Daniel. Si Ernesto tardó 9 segundos en llegar a la meta, ¿cuánto tiempo empleó Bruno en llegar a la meta? a) 15 segundos b) 13 segundos c) 12 segundos d) 11 segundos e) 10 segundos 18) De una carrera de autos, donde no hubo empates, se obtuvo la siguiente información con respecto a los cinco primeros puestos: - El auto número 12 llegó tres puestos después del auto número 22. - El auto número 33 llegó tres puestos después del auto número 47. - El auto número 12 y el auto número 88 llegaron en puestos consecutivos. ¿Qué auto llegó en primer lugar? a) El auto número 22 b) El auto número 33 c) El auto número 88 d) El auto número 12 e) El auto número 47

4to de Secundaria


19) En un edificio de seis pisos funcionan las siguientes empresas A, B, C, D, E y F. Además, se sabe lo siguiente: - E se encuentra en el segundo piso. - B no se encuentra en el sexto piso. - F no se encuentra en el tercer piso. - D se encuentra dos pisos más arriba que A. - B se encuentra dos pisos más arriba que F. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) E se encuentra en el quinto piso. b) F se encuentra en el sexto piso. c) C se encuentra en el quinto piso. d) A se encuentra en el sexto piso. e) D se encuentra a tres pisos de E.

a) Sólo A b) Sólo B c) Sólo C

d) A y C e) B y C

21) Se ha colocado sobre una mesa y en fila tres teléfonos celulares: uno rojo, uno azul y uno plateado. Cada teléfono celular es de un tamaño diferente: pequeño, mediano y grande. Con respecto a su ubicación sobre la mesa, se sabe lo siguiente: - A la izquierda del grande está el pequeño. - A la derecha del mediano está el azul. - A la derecha del rojo está el mediano.

4to de Secundaria

a) El plateado de tamaño mediano. b) El plateado de tamaño grande. c) El rojo de tamaño pequeño. d) El rojo de tamaño grande. e) El negro de tamaño grande. 22) En un edificio de seis pisos viven Amelia, Andrés, Alberto, Jorge, Juan y Luis. Cada uno en uno piso diferente. Se sabe lo siguiente: - Alberto vive en el segundo piso. - Andrés vive tres pisos más arriba que Juan. - Luis y Jorge viven en pisos adyacentes. - Andrés vive un piso más arriba que Amelia.

¿Quién vive en el quinto piso? a) Alberto b) Amelia c) Jorge

20) Respecto de las ciudades A, B, C, D, E y F se sabe lo siguiente: - D se encuentra al este de C y al oeste de B. - E está al este de F y al oeste de C. - A está al este de F y al oeste de E. ¿Cuáles de las siguientes ciudades están al este de E?

¿Qué teléfono se encuentra a la izquierda de los demás?

d) Luis e) N.A.

23) Se sabe lo siguiente: - Carla pesa más que Sofía. - Liliana pesa menos que Ana. - Sofía pesa más que Eva y que Ana. - Olga pesa más que Sofía.

Podemos afirmar con certeza que: a) Eva pesa más que Ana. b) Olga pesa más que Carla. c) Liliana pesa menos que Eva. d) Ana pesa más que Carla. e) Olga pesa más que Liliana.

24) Se colocan cinco cartas sobre una mesa, formando una fila. El orden en que se encuentran las cartas cumple con las siguientes condiciones: - El as se encuentra a la derecha de la reina y del rey. - El 7 está en el extremo izquierdo y adyacente al 10.


Si el rey se encuentra junto al as, entonces es imposible que: a) El 10 se encuentre entre el 7 y el rey. b) La reina se encuentre junto al 10. c) Entre el rey y el 10 haya una carta. d) El rey y la reina ocupen lugares adyacentes. e) El rey se encuentre a la izquierda de la reina.

25) A, B, C, D y E se sientan alrededor de una mesa circular con seis sillas distribuidas de manera simétrica. Se sabe que: - A se sienta a la derecha de B pero no junto a ella. - A se sienta a la izquierda de C pero no junto a ella. - D no se sienta junto a C. Marca la lista que indica todos los que pueden estar junto a la silla vacía. a) B y C b) A y B c) A y C

d) A, B y C e) A, B, C y E

26) Andrés, Arturo, Juan, Diana, Elena y Fabiola se encuentran sentados alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Se cumple que: - Juan está sentado exactamente frente a Andrés. - Elena no está sentada junto a Juan. - Andrés está sentado junto y a la derecha de Arturo.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) D i a n a e s t á s e n t a d a exactamente frente a Arturo. b) F a b i o l a e s t á s e n t a d a exactamente frente a Elena. c) Juan está sentado a la izquierda de Fabiola. d) Arturo está sentado a la derecha de Juan. e) Andrés y Elena no se sientan juntos.

37


27) Cinco personas: Hugo, Isabel, Jorge, Katty y Milagros se sientan alrededor de una mesa circular con cinco asientos distribuidos simétricamente. Se cumple que: - Hugo se sienta junto a Isabel. - Isabel y Jorge se sientan juntos. - Katty no se sienta junto a Jorge.

Todas las siguientes afirmaciones pueden ser verdaderas, excepto: a) Jorge se sienta a la derecha de Hugo. b) Katty y Milagros se sientan juntas. c) Milagros se sienta junto a Jorge. d) Hugo y Katty se sientan juntos. e) Isabel y Milagros se sientan juntas.

28) En una mesa circular con seis asientos simétricamente colocados, se van a sentar seis personas respetando las siguientes condiciones: Sofía no puede estar sentada al lado de Leticia ni de Jimena, Maricela no puede estar al lado de Cecilia ni de Jimena, Leticia no puede estar al lado de Cecilia ni de Maricela, Gabriela se sentará junto y a la derecha de Leticia.

¿Quién estará sentada junto y a la izquierda de Maricela? a) Gabriela b) Leticia c) Sofía

d) Cecilia e) F.D.

29) Ocho amigos A, B, C, D, E, F, G y H se sientan alrededor de una mesa circular con ocho asientos simétricamente distribuidos. Se cumple que: - C se sienta frente a F y junto a G. - A y G se sientan juntos. - A se sienta exactamente frente a E. - H se sienta exactamente frente a B.

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¿Dónde se sienta D? a) Exactamente frente a G. b) A la izquierda de B. c) A la derecha de F. d) Junto a C. e) Junto y a la izquierda de E.

30) César, Ciara, Talía, Teresa, Tomás y Vielka se encuentran sentados alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se cumple que: - César está sentado junto a Talía y junto a Vielka. - Clara y Teresa se sientan juntas. - Te r e s a e s t á s e n t a d a exactamente frente a Vielka.

¿Cuántos ordenamientos posibles hay? a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

Nivel III

Enunciado I En el observatorio del Morro Solar, mediante un telescopio, se ha podido visualizar cuatro cráteres lunares de iguales dimensiones, y se sabe que el cráter CL1 está ubicado al este de cráter CL2; el cráter CL3 está al oeste del cráter CL4, y CL2 a su vez está ubicado al oeste de CL3.

31) ¿Cuál es el cráter ubicado más al oeste? a) CL1 b) CL2 c) CL3

d) CL4 e) F.D.

33) Las siguientes afirmaciones son verdaderas a excepción de: a) El cráter CL1 puede estar al oeste de CL4. b) El cráter CL1 puede estar entre el CL2 y el CL3. c) El cráter CL3 está entre el CL2 y el CL4. d) El cráter CL4 puede estar al oeste de CL2. e) El cráter CL2 no está al este del CL3. 34) Para determinar el orden relativo entre los cuatro cráteres, es suficiente saber que: I. El cráter CL3 está al oeste del CL1. II. El cráter CL1 está al oeste del CL4.

a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente. d) Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. e) Se necesita más datos.

35) Si el cráter CL4 está al oeste del CL1, entonces es necesariamente cierto que: a) El cráter CL4 está más lejos del CL2 que el CL3. b) El cráter CL3 está más cerca del CL2 que del CL4. c) El cráter CL1 está entre el CL3 y el CL4. d) El cráter CL2 es el que está más cerca del CL3. e) Más de una es correcta.

32) ¿Cuál es el cráter ubicado más al este? a) CL1 b) CL2 c) CL3

d) CL4 e) F.D.


4to de Secundaria


36) Cinco personas "A", "B", "C", "D" y "E" trabajan en un edificio de seis pisos, cada una en un piso diferente. Además: - "A" trabaja en un piso adyacente al que trabaja "B" y "C". - "D" trabaja en el quinto piso. - Adyacente y debajo de "B" hay un piso vacío.

40) Si "F" está a la derecha de "D", entonces es cierto que:

¿Quién trabaja en el cuarto y sexto piso, respectivamente? a) "B" y "C b) "E" y "C" c) "C" y "E"

d) "C" y "A" e) N.A.

37) En una carrera participan seis personas. Se sabe que "A" no llegó en lugar impar, "C" llegó equidistante a "F" y "B" llegó último. "E" no ganó la competencia.

¿En qué lugares llegaron "D" y "F" respectivamente? a) 2.° y 3.° b) 1.° y 4.° c) 1.° y 2.°

d) 3.° y 4.° e) 3.° y 2.°

Enunciado II Seis amigos, "A", "B", "C", "D", "E" y "F", se sientan alrededor de una mesa circular en seis asientos distribuidos simétricamente.

Además: - "C" se sienta frente a "E". - "A" se sienta junto a "D". - "B" se sienta a la izquierda de "C".

38) ¿Cuántas posibles soluciones hay? a) 1 b) 2 c) 3

a) "D" se sienta junto a "C". b) "B" está a la derecha de "A". c) "F" se sienta junto a "E". d) "B" se sienta junto a "E". e) "A" se sienta a la izquierda de "C".

d) 4 e) 6

39) Si "F" se sienta junto a "E", entonces es cierto que: a) "C" se sienta junto a "A". b) "B" se sienta frente a "D". c) "A" se sienta a la izquierda de "E". d) Ninguna es cierta. e) Más de una es cierta.

4to de Secundaria

Enunciado III Alrededor de una mesa circular hay ocho asientos colocados simétricamente, en los cuales se sientan siete personas: Ana, Bárbara, Claudia, Ricardo, Miguel, Javier y Luis. Además: - Ana se sienta frente a Bárbara y junto a Claudia. - Ricardo se sienta frente a Claudia y a la izquierda de Bárbara. - Javier y Luis se sientan juntos.

41) Se deduce necesariamente que: I. Miguel se sienta junto a Ana. II. Claudia se sienta junto a Miguel. III. Ricardo se sienta junto a un lugar vacío. a) I y II b) II y III c) I y III

d) Sólo I e) Ninguna

42) Bárbara se sienta: a) Al lado de Luis. b) Junto a Javier. c) Junto a Claudia. d) Adyacente a Ricardo. e) Junto a Miguel. 43) Si Miguel se sienta junto a Bárbara, ¿cuántos ordenamientos posibles hay? a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

44) ¿Cuántos ordenamientos posibles hay? a) 2 d) 8

b) 4 c) 6 e) Más de ocho


45) Si llega Diego y ellos lo invitan a su mesa, ¿dónde se sentará si no pueden agregar otra silla más? a) Frente a Javier b) Frente a Miguel c) Entre Ana y Claudia d) Entre Ana y Claudia e) Junto a Miguel

Enunciado IV De una prueba rendida por seis alumnos, se conoce la siguiente información: - José no tiene mejor nota que Ana, pero sí mejor nota que Carmen. - Sonia tiene mejor nota que Ana. - Elsa tiene mejor nota que Daniel y no tiene peor nota que José.

46) Se deduce que: a) Elsa tiene peor nota que Ana. b) José tiene la misma nota que Sonia. c) Ana tiene la misma nota que José. d) Ana tiene mejor nota que Daniel. e) Sonia tiene mejor nota que José. 47) ¿ C u á l s e r í a u n p o s i b l e ordenamiento creciente en función de sus notas? a) Carmen - José - Elsa - DanielAna - Sonia. b) Daniel - José - Carmen - ElsaAna - Sonia. c) Daniel - Carmen - José - AnaSonia - Elsa. d) Carmen - Daniel - Elsa - JoséAna - Sonia. e) Ninguno de los anteriores 48) ¿Quiénes pudieron obtener la misma nota? I. Elsa y Ana II. Daniel y Sonia III. Sonia y Elsa a) Sólo I d) Todas

b) Sólo II c) Sólo III e) I y III

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Cuadro de Decisiones RELACIÓN DE DATOS (CUADRO DE AFIRMACIONES) Se debe construir una tabla en la cual se relacionan los datos proporcionados marcando las relaciones correctas y eliminando las negativas. Ejemplo 1: Tres amigas, Carmen, Fátima y Milagros, comentan sobre el color de polo que llevan puesto. - Carmen dice: “Mi polo no es rojo ni azul como los de ustedes”. - Milagros dice: “Me gustaría tener un polo verde como el tuyo”. - Fátima dice: “Me gusta mi polo rojo”. ¿Qué color de polo tiene cada una? Resolución

Primero construimos un cuadro con todas las posibilidades. Azul

Rojo

Verde

Gauss a la edad de diez años, su maestro solicitó a la clase que encontrará la suma de todos los números comprendidos entre uno y cien. El maestro, pensando que con ello la clase estaría ocupada algún tiempo, quedó asombrado cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. Gauss reveló que encontró la solución usando el álgebra, el maestro se dio cuenta de que el niño era una promesa en las matemáticas.

Carmen Fátima Milagros

Primer Dato: Como Carmen no usa polo rojo ni azul, entonces usa polo verde.

Carmen

Azul

Rojo

Verde

X

X



Fátima

X

Milagros

X

Tercer Dato: Fátima tiene polo rojo Rojo X

Verde

Carmen

Azul X

Fátima

X



X

Milagros



Por lo tanto: Carmen  Verde

40

X

Fátima  Rojo

Reto ¿Cuántas cerillas hay que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad?

 X

∴ Milagros  Azul


a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

4to de Secundaria

c) 3


Resolución

Ejemplo 2: Mily, Pili, Lenín y Ely terminaron sus estudios de Medicina, Ingeniería, Matemática y Derecho, se sabe que: - Mily no estudia Medicina. - Pili hubiera estudiado Derecho si Lenín hubiera estudiado Ingeniería. - Ely quiere empezar a estudiar Matemática. - Lenín estudiaría Medicina si Pili no lo hiciera. - Mily estudiaba Derecho pero se trasladó a Matemática, ¿qué estudia Pili?

Viuda Ruiz

Quiroz

Páez

Ana

No

Sí

No

Carmen

Sí

No

No

Betty

No

No

Sí

∴ Betty Páez

∴ Rpta.: b

Resolución * De los dos primeros enunciados: - Lenín no estudia Medicina. - Pili no estudia Derecho, Lenín no estudia Ingeniería.

Reto

Tres amigos en el bar Medicina Mily

Ingeniería

Matemática

Derecho

No

Pili

No

Lenín

No

Ely

- Lenín estudiaria Medicina si Pili no lo hiciera. - Mily estudiaba Derecho pero se trasladó a Matemática. Se tiene: - Ely no estudia Matemática. - Lenín no estudia Medicina, Pili si estudia Medicina. - Mily estudia Matemática.

Medicina

Ingeniería

Matemática

Derecho

Mily

No

No

Sí

No

Pili

Sí

No

No

No

Lenín

No

No

No

Sí

Ely

No

Sí

No

No

Ejemplo 3: De tres amigas se sabe que: - Ana y la divorciada visitan siempre a Carmen. - Ana era muy amiga del fallecido esposo de la señora Cruz. - La viuda y Betty son menores que la señora Quiroz. - La señora Páez es bien alegre. El nombre correcto es: a) Betty Ruiz d) Carmen Páez

b) Betty Páez e) Carmen Ruiz

4to de Secundaria

Les voy a contar una vieja historia que muy bien pudiera ser real: Van tres amigos a tomarse un refresco. Después de tomarlo, al pedir la cuenta, es donde viene el lío. - Amigos : Camarero, nos trae la cuenta, por favor. - Camarero: Son 300 pesetas, caballeros. Y cada uno de ellos pone 100 pesetas. Cuando el camarero va a poner el dinero en caja, lo ve el jefe y le dice: - Jefe : No, esos son amigos míos. Cóbrales sólo 250 ptas.  El camarero se da cuenta que si devuelve las 50 ptas puede haber problema para repartirlas y decide lo siguiente: - Camarero: Ya está. Me quedaré con 20 ptas y les devuelvo 30, diez para cada uno. Les devuelve a cada uno 10 ptas. Ahora es cuando viene el problema. Si cada uno puso 100 ptas y le devuelven 10 ptas, realmente puso cada uno de ellos 90 ptas. 90 x 3 = 270 ptas. Si añadimos las 20 que se queda el camarero son 290 ptas. ¿DÓNDE ESTÁN LAS OTRAS 10 PESETAS ?

c) Ana Páez


41


Nivel I 1) Aldo, Cirilo y Baltazar tienen por ocupaciones: relojero, panadero y pianista; no necesariamente en ese orden. Se sabe que Cirilo nunca tuvo buen oído para la música; la habilidad que tiene Aldo con las manos es comparable con la de un cirujano. Luego; Baltazar, Aldo y Cirilo son respectivamente: a) Relojero, pianista y panadero b) Pianista, relojero y panadero c) Panadero, pianista y relojero d) Pianista, panadero y relojero e) Relojero, panadero y pianista 2) Tres niños tienen como mascotas a un sapo, un pez y a un hámster y les han puesto como nombres Boris, Alex y Cuty. Se sabe que Alex no croa y que a Boris le cambian poeriódicamente el agua. Entonces; el pez, el hámster y el sapo se llaman, respectivamente: a) Alex, Boris y Cuty b) Cuty, Alex y Boris c) Boris, Cuty y Alex d) Alex, Cuty y Boris e) Boris, Alex y Cuty 3) Por mi casa viven un gordo, un flaco y un enano que tienen diferentes temperamentos. Uno para alegre, otro colérico, y el otro triste. Se sabe que al gordo nunca se le ve reir; el enano para molesto porque siempre lo fastidian por su tamaño. Entonces, es cierto que: a) El gordo para alegre. b) El flaco para triste. c) El enano para triste. d) El flaco para alegre. e) El gordo para colérico.

42

4) Tatán, Tetén y Titín son 3 ladronzuelos que robaron un reloj, una billetera y una chompa (no necesiamente en ese orden). Se sabe que Tetén utilizó el artículo que robó para abrigarse, en cambio el artículo que robó Tatán se malogró con un golpe. Entonces; el reloj, la billetera y la chompa fueron robados respectivamente por: a) Titín - Tetén - Tatán b) Tatán - Titín - Tetén c) Tetén - Tatán - Titín d) Tatán - Tetén - Titín e) Titín - Tatán - Tetén 5) Hay 3 ciudades cuyos nombres son Pomacocha, Lauribamba y Tantamarca; cada una tiene un clima particular. En una hace mucho frío, en otra hace mucho calor y en otra siempre llueve. Se sabe que en Lauribamba hay unas playas bellísimas y en Pomacocha casi no hay vegetación. Entonces, es cierto que: a) En Pomacocha no hace frío. b) En Lauribamba llueve mucho. c) En Tantamarca no hace calor. d) En Pomacocha hace frío. e) Más de una es correcta. 6) Luis y Carlos tienen diferentes ocupaciones y viven en distritos diferentes. Se sabe que el vendedor visita a su amigo en Lince, Carlos vive en Breña y uno de ellos es doctor. Luego es cierto que: a) El doctor vive en Breña. b) Carlos no es vendedor. c) El que vive en Lince es vendedor. d) Luis es doctor. e) Ninguna es cierta.


7) En una oficina trabajan 3 chicas, cuyas edades son 18, 21 y 24 años; después del trabajo gustan de ver TV, viendo cada una un programa diferente, Maritza es mayor que la menor, pero menor que la mayor. A la mayor de todas le gustan los noticieros. Mercedes para cantando todo el día en la oficina. Gladys ha engordado ahora último. Una de ellas siempre llega cuando su telenovela favorita ha comenzado y la que usa cabello largo ve videos musicales. Entonces se puede afirmar que: a) La de 18 años ve telenovelas. b) Quien ve noticias es la mayor. c) A Maritza no le gustan los noticiarios. d) Gladys ve telenovelas. e) Más de una es correcta 8) Tres parejas de esposos asisten al matrimonio de un amigo. Ellos son Jorge, Herbert y Oswaldo; y ellas son Rosa, Maribel y Lourdes. Una de ellas fue con un vestido negro; otra con azul y la otra con rojo. La esposa de Jorge fue de negro. Oswaldo no bailó con Maribel en ningún momento. Rosa y la de vestido azul fueron al matrimonio de Lourdes. Herbert es primo de Lourdes. Jorge y el esposo de Lourdes siempre se reúnen con el hermano de Herbert. Entonces, es cierto que: a) Rosa fue con Jorge y estuvo vestida de negro. b) La esposa de Oswaldo fue de rojo. c) Maribel y Herbert son esposos. d) Lourdes fue de negro. e) Más de una es cierta.

4to de Secundaria


9) Tres luchadores practican las artes marciales en gimnasios diferentes. Uno practica judo, otro karate y otro kung - fu. Además uno de ellos es cinturón negro, otro es cinturón marrón y otro cinturón naranja. Sus nombres son Wen Li, Chi Lau, Pio Kiu. Se sabe que Wen Li y Chi Lau practicaban antes karate; pero ahora ya no. El judoka es cinturón naranja; Pio Kiu y el de cinturón marrón no se conocen. Wen Li es amigo de los otros dos. Entonces se puede afirmar que: a) Wen Li es judoka cinturón negro. b) El que practica Kung - Fu es cinturón negro. c) Pio Kiu es cinturón negro. d) El karateca es Wen Li. e) El judoka es cinturón marrón. 10) Yo, tú y él sentimos hambre, frío y sed (no necesariamente en ese orden). Si tú me das de comer, entonces yo te abrigo. Entonces él siente: a) hambre d) dolor b) frío e) calor c) sed

12) En una carrera de caballos participaron 5 de estos veloces animales: Jet, Trueno, Galaxia, Expreso y el gran favorito Láser. Se sabe que no llegaron a la meta más de uno a la vez. Además se sabe que Expreso llegó después de Jet y Galaxia. Trueno llegó entre los 3 primeros puestos. El favorito no defraudó. Galaxia llegó a la meta antes que Trueno por una nariz. Los últimos tres lugares los ocuparon respectivamente. a) Trueno - Galaxia - Expreso b) Jet - Expreso - Galaxia c) Trueno - Jet - Expreso d) Expreso - Jet - Trueno e) Galaxia - Trueno - Expreso 13) Margarita, Azucena, Rosa y Violeta, son 4 chicas que reciben de sus enamorados un ramo de flores cada una, que de casualidad concuerdan con sus nombres aunque ninguna recibió uno de acuerdo al suyo. Se sabe que el ramo de rosas lo recibió Azucena pero ni Rosa ni Violeta recibieron las azucenas. Entonces, Violeta recibió: a) Azucenas d) Rosas b) Margaritas e) F.D. c) Violetas

11) Tres estudiantes universitarios estudian en universidades diferentes: UNI, San Marcos y Villarreal. Además viven en distritos diferentes: Breña, Lince y Miraflores. Se sabe que el que vive en Miraflores estudia en la Villarreal, dos de ellos se conocen: Fausto y el que estudia en la UNI siguen la misma carrera, Elmer quiere trasladarse a la UNI, Fausto cruza por Lince para ir a la Villarreal y Gabriel vivía antes en Breña; entonces es cierto que: a) Elmer estudia en San Marcos y vive en Lince. b) El que vive en Breña estudia en Villarreal. c) Gabriel y el que vive en Lince no están en la UNI. d) En San Marcos estudia el que vive en Breña. e) Más de una es cierta.

14) Señala el equipo y número de "A". a) X ; 3 d) Z ; 3 b) Y ; 1 e) X ; 2 c) Y ; 2

4to de Secundaria


Nivel II ENUNCIADO I Tres jugadores : "A", "B" y "C" pertenecen cada uno, a uno de los equipos "X", "Y" y "Z". Cada uno lleva un número diferente en su camiseta: 1, 2 ó 3 y juega en un puesto diferente: defensa, volante o delantero. Además: - "A" no es defensa y lleva el número 2. - "B" juega en "Z" y no lleva el número 3. - El delantero lleva el número 3 y es amigo del que juega en "X".

15) El equipo y puesto de "C" es: a) X; delantero d) Z; defensa b) Y; defensa e) Y; delantero c) Z; volante

Para calentarse los sesos Este problema, supuestamente desarrollado por Einstein y de acuerdo con él, sólo el 2% de los que lo intentan resolver lo

logran. ¿Estás tú dentro de ese 2%?

Hechos: 1. Tenemos cinco casas de cinco diferentes colores. 2. En cada casa vive una persona de diferente nacionalidad. 3. Estos cinco dueños beben bebidas diferentes, fuman marcas diferentes y tienen mascotas diferentes. Datos: 1. El inglés vive en la casa roja. 2. La mascota del sueco es un perro. 3. El danés bebe té. 4. La casa verde es la inmediata a la izquierda de la casa blanca. 5. El dueño de la casa verde toma café. 6. La persona que fuma Pall mall cría pájaros. 7. El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill. 8. El hombre que vive en la casa del centro toma leche. 9. El noruego vive en la primera casa. 10. La persona que fuma Blend vive junto a la que tiene gatos. 11. El hombre que tiene caballos vive junto al que fuma Dunhill. 12. La persona que fuma Blue Masters bebe cerveza. 13. El alemán fuma Prince. 14. El noruego vive junto a la casa azul. 15. El hombre que fuma Blend tiene un vecino que bebe agua. La pregunta es: ¿Quién tiene por mascotas PECES?

43


ENUNCIADO II

ENUNCIADO III

ENUNCIADO V

Cinco personas ejercen diferentes profesiones: veterinario, médico, ingeniero, abogado y matemático; y viven en ciudades distintas: Iquitos, Arequipa, Tacna, Lima y Huancayo. Además:

Don Pablo tiene tres hijos deportistas: uno practica fútbol, otro voley y el otro básquet. Cada uno de ellos representa a un instituto armado diferente: Ejército, Naval y Aviación.

- A Carlos le hubiera gustado ser ingeniero y quisiera vivir en Huancayo. - El que vive en Lima es médico y el abogado vive en Huancayo. - Ni Juan ni Carlos viven en Lima. - El matemático no vive en Tacna y Eduardo no sabe curar animales. - Pablo es el mejor amigo del médico y viajará a Arequipa para visitar al ingeniero. - Daniel viaja a Iquitos para participar en un congreso de veterinarios.

Además: - Raúl no juega en el ejército. - Humberto no juega en la naval. - El que juega en el equipo del ejército no practica fútbol. - El que juega en el equipo de la naval practica voley. - Humberto no juega básquet. - Felipe entrena todos los sábados.

Andrea, Cynthia, Elena, Sandra y Virginia son actriz, bailarina, cantante, escultora y pintora, pero no necesariamente en ese orden. Todas ellas viven en un mismo edificio, pero en pisos diferentes: 1; 4; 7; 10 y 12. Además: - La persona que vive en el piso 4 conoce a la actriz y no es pintora. - Andrea vive en el piso 10 y es amiga de la bailarina. - Cynthia vive en el piso 12 y es hermana de la pintora. - Elena es escultora y se ha peleado con la persona que vive en el piso 4. - La cantante vive en el piso 1 y es más alta que Sandra.

16) ¿Quién vive en Tacna? a) Carlos b) Juan c) Daniel d) Eduardo e) Pablo 17) ¿Qué profesión ejerce Carlos? a) Veterinario b) Médico c) Ingeniero d) Abogado e) Matemático 18) Pablo es el mejor amigo de: a) Juan b) Eduardo c) Daniel d) Carlos e) No se puede precisar 19) ¿A quién visitará Pablo? a) Eduardo b) Juan c) Carlos d) Daniel e) Daniel o Eduardo

44

20) ¿Qué deporte practica Felipe? a) Voley d) Voley o básquet b) Fútbol e) F.D. c) Básquet

ENUNCIADO IV Alfredo, Beto, Carlos y Diego son mecánico, electricista, soldador y carpintero; y llevan uniformes blanco, amarillo, rojo y azul. Además: - El mecánico derrotó a Beto en sapo. - Carlos y el soldador juegan a menudo el Bingo con los hombres de rojo y azul. - Alfredo y el carpintero tienen envidia del hombre de uniforme azul, quien no es electricista. - El electricista usa uniforme blanco.

21) ¿Qué oficio tiene Carlos? a) Ingeniero d) Electricista b) Carpintero e) Soldador c) Mecánico


22) ¿Quién es la pintora? a) Andrea b) Cynthia c) Sandra d) Virginia e) No se puede precisar 23) ¿Quién es la cantante? a) Andrea b) Cynthia c) Sandra d) Virginia e) No se puede precisar 24) ¿Con quién se ha peleado Elena? a) Virginia d) La cantante b) Andrea e) La bailarina c) Cynthia 25) ¿ C u á l d e l a s s i g u i e n t e s afirmaciones es verdadera? a) Cynthia es bailarina y vive en el piso 12. b) Elena es escultora y vive en el piso 7. c) Virginia es pintora y vive en el piso 10. d) Andrea es pintora y vive en el piso 7. e) Sandra es bailarina y es más baja que Andrea.

4to de Secundaria


ENUNCIADO VI

Nivel III

33) Para determinar qué nacionalidad tiene cada una, basta saber que:

Aldo, Basilio, Carlos, Duilio y Ernesto tienen una hermana cada uno. Amigos como son, cada uno se terminó casando con la hermana de uno de los otros.

ENUNCIADO VII

I. Ángela no es uruguaya. II. Clara no es argentina a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente d) Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. e) Se necesita más datos.

Cuatro personas, Ángela, Blanca, Clara y Diana, tienen nacionalidades diferentes: argentina, boliviana, uruguaya y peruana, pero no necesariamente en ese orden. Además, cada una tiene un auto de diferente marca: A, B, C y D, y de diferente color: azul, blanco, celeste y rojo.

- Robustiana es la esposa de Aldo y la hermana de Basilio. - La esposa de Basilio se llama Lucrecia. - Ernesto está casado con Vicentina - Samotracia es la esposa de Duilio. - Lucrecia es la hermana del marido de la hermana de Carlos. - La hermana de Ernesto se llama Malena.

26) ¿Quién es la esposa del hermano de Samotracia?

- Blanca tiene el auto de marca C. - La peruana tiene el auto de color blanco y marca B. - Diana es boliviana. - Ángela tiene el auto de color celeste. 29) ¿ Q u é n a c i o n a l i d a d t i e n e Blanca? a) Argentina b) Boliviana c) Peruana d) Uruguaya e) No se puede precisar

a) Robustiana d) Samotracia b) Lucrecia e) Vicentina c) Malena 27) ¿Quién es la esposa de Duilio? a) Robustiana d) Samotracia b) Lucrecia e) Vicentina c) Malena 28) ¿Quién es la hermana del esposo de Carlos? a) Robustiana d) Samotracia b) Lucrecia e) Vicentina c) Malena

30) El auto de marca C es de color: a) Azul b) Blanco c) Celeste d) Rojo e) No se puede precisar 31) Podemos deducir con certeza que:

I. Ángela es peruana. II. Clara tiene el auto rojo. III. Diana tiene el auto de marca A. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III

d) I y II e) I y III

32) La asociación correcta es: a) Ángela - argentina - auto blanco b) Blanca - auto blanco - marca C c) Clara - peruana - marca B d) Ángela - uruguaya - marca D e) N.A.

4to de Secundaria


ENUNCIADO VIII Héctor, Juan, Gerardo y Pedro tienen un negocio diferente cada uno: calzado, textiles, computadoras y relojes, y sus edades son 25, 30, 35 y 45 años, pero no necesariamente en ese orden. Si se sabe que: - Héctor tiene el negocio de calzados. - El mayor tiene el negocio de textiles. - La persona que tiene el negocio de computadoras es la menor. - Juan es mayor que Gerardo, pero menor que Héctor. - Pedro no es el menor. 34) ¿Quién es el mayor? a) Héctor b) Juan c) Gerardo d) Pedro e) No se puede precisar 35) ¿Qué edad tiene Gerardo? a) 25 años b) 30 años c) 35 años d) 45 años e) No se puede precisar 36) ¿Quién tiene el negocio de los relojes? a) Héctor b) Juan c) Gerardo d) Pedro e) No se puede precisar

45


37) Es verdad que:

I. Se conoce la edad de Juan. II. No se conoce la edad de Héctor. III. Juan tiene 15 años menos que Pedro. a) I y II b) II y III c) I y III

d) Todas e) Ninguna

ENUNCIADO IX Ocho diplomáticos extranjeros, Andrea, Blanca, Cecilia, Daniel, Ernesto, Franco, Gloria y Hugo, están reunidos, y se sabe que: - Andrea y Daniel sólo hablan inglés, francés y español. - Blanca sólo habla inglés, francés y ruso. - Cecilia sólo habla alemán y español. - Ernesto sólo habla español. - Franco sólo habla ruso. - Gloria y Hugo sólo hablan alemán y francés. 38) ¿Qué idioma es el que predomina entre los diplomáticos? a) Alemán b) Español c) Inglés

d) Francés e) Ruso

39) ¿Cuál de las siguientes parejas puede conversar sin necesidad de un traductor? a) b) c) d) e)

Andrea y Blanca Cecilia y Franco Ernesto y Gloria Ernesto y Hugo Franco y Hugo

40) ¿Cuáles de las siguientes personas pueden servir de traductores entre Blanca y Cecilia? a) b) c) d) e)

Andrea Ernesto Hugo Andrea y Ernesto Andrea y Hugo

41) Si Ernesto y Franco desean conversar, ¿de cuántos de los otros diplomáticos necesitarán para que funcionen como traductores? a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

42) ¿Con cuántos de los otros diplomáticos puede conversar Cecilia sin necesidad de un traductor? a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

43) ¿Quién vive en Tacna? a) María b) Lucía c) Irene d) Sandra e) No se puede precisar

44) La asociación incorrecta es: a) Arquitectura - María b) Lucía - Derecho c) Irene - Educación d) Sandra - Cuzco e) Cuzco - Educación 45) Si la que estudia Derecho vive en Arequipa, entonces es cierto que:

I. Sandra vive en Lima. II. Irene vive en el Cuzco. III. Lucía vive en Arequipa. a) Sólo I b) Sólo I c) Sólo III

d) I y II e) Todas

ENUNCIADO X María, Lucía, Irene y Sandra viven en cuatro ciudades distintas: Lima, Arequipa, Cuzco y Tacna, estudiando una carrera diferente: Educación, Historia, Derecho y Arquitectura. Además, se sabe que: - María no vive en Cuzco. - Lucía no vive en Tacna. - La que vive en Cuzco no estudia Derecho. - Lucía no estudia Educación. - Quien vive en Tacna estudia Arquitectura. - Sandra estudia Historia y no vive en Cuzco.

46) ¿Quién vive en el Cuzco? a) Irene b) Luisa c) María d) Sandra e) No se puede precisar

47) La que estudia Historia vive en: a) Cuzco b) Lima c) Arequipa d) Tacna e) No se puede precisar

48) ¿Quiénes pueden vivir en Lima? a) María o Irene b) Lucía o María c) Sandra o María d) Lucía o Sandra e) Más de una es correcta

46


4to de Secundaria


Repaso

Nivel I 1) Si AB + 35 = 99 ,

halla A + B. a) 10 d) 12

b) 11 e) 8

2) Si

A B 8 + 2 B A

halla A + B.

3) Si

b) 9 e) 8

c) 10

5 B I

5 B 9 5 halla 2A + B. a) 15 d) 12

b) 13 e) 10

c) 11

4) Cinco personas entran a una tienda con el propósito de adquirir un artículo determinado cada uno. Los nombres son: Amelia, Jorge, Mercedes, David y Marco. Los artículos a comprar son: pantalón, chompa, blusa, zapatos y cartera. Se sabe que ni Jorge ni Mercedes compraron chompa, Amelia no encontró zapatos que hagan juego con la cartera que le regalaron por sus cumpleaños y David se compró un par de zapatos. Entonces, David y Marco compraron, respectivamente:

4to de Secundaria

- "A" trabaja en un piso adyacente al que trabajan "B" y "C". - "D" trabaja en el quinto piso. - Adyacente y debajo de "B" hay un piso vacío.

a) Maestra b) Psicóloga c) Secretaria

d) Bailarina e) F.D.

8) Mónica y Juan Carlos tienen cuatro hijas de 12, 9, 6 y 3 años.

6) Manuel es mayor que Luis y Miguel menor que Raúl, pero éste y Manuel tienen la misma edad. Además Miguel es menor que Luis. De las siguientes afirmaciones:

7) Las señoras Adela, Beatriz y Florencia tienen una hija cada una. De las hijas, una es maestra, otra es psicóloga y la tercera es secretaria ejecutiva. La hija de Adela es la maestra. Viviana sólo puede ser la hija de Beatriz o de Florencia. La hija de Beatriz no es psicóloga. Claudia sólo puede ser la hija de Adela o de Florencia. Viviana no trabaja de secretaria ejecutiva. La tercera joven se llama Gladys. ¿Cuál es la profesión de Claudia?

¿quiénes trabajan en 4.° y 6.° piso respectivamente? a) C y E b) A y B c) A y C d) E y B e) C y D

A 8 6 A +

Zapatos - chompa Pantalón - zapatos Zapatos - pantalón Chompa - zapatos pantalón - chompa

5) Cinco personas, A, B, C, D y E trabajan en un edificio de 6 pisos, cada una en un piso diferente. Si sabe que:

6 1 1

a) 6 d) 11

c) 9

a) b) c) d) e)

I. M a n u e l e s m e n o r q u e Miguel. II. M a n u e l e s m a y o r q u e Miguel. III. Luis es menor que Raúl. IV. Luis es mayor que Raúl.

- Una se llama Paula. - La mayor tiene el doble de años que Mabel. - Sumando las edades de la menor y de Silvia resulta la edad de Beatriz. De acuerdo con ello, la menor es: a) Silvia b) Beatriz c) Mabel

d) Paula e) Mónica

¿cuáles son corretas? a) Sólo I b) II y III c) III y IV

d) Sólo II e) Todas


47


9) Don Juan tiene 3 hijos deportistas: uno practica fútbol, otro básquetbol y el tercero rugby. Cada uno de ellos representa a un club diferente: Atlético, Defensores y Ateneo.

12) C u a t r o a m i g o s s e s i e n t a n alrededor de una mesa circular, Bruno no está sentado frente a Cristóbal, Amado está a la izquierda de Cristóbal. Por lo tanto se puede afirmar:

- Ricardo juega en el Ateneo. - Fernando no juega en el Club Defensores. - El que juega en el Atlético no practica fútbol. - El que juega en el equipo de Defensores practica Rugby. - Fernando juega básquetbol.

¿De qué club forma parte Carlos y qué deporte practica?

13) Halla x en: 2 (16) 4 (32) 3 ( x ) a) 60 d) 28

a) b) c) d) e)

Defensores - Rugby Atlético - básquet Atlético - fútbol Ateneo - fútbol Defensores - básquet

10) Del problema anterior, ¿quién juega en el club Defensores y qué deporte juega?

a) Carlos - fútbol b) Fernando - básquet c) Carlos - rugby d) Juan - rugby e) Ricardo - fútbol

11) Seis conocidos personajes de las historietas cómicas se encuentran reunidos alrededor de una mesa circular: Superman no está sentado al lado de Batman ni de Robin; Flash no está al lado del Hombre Araña ni de Robin; Batman no está al lado del Hombre Araña ni de Flash. El Chapulín Colorado está a la izquierda de Batman ¿Cuál de las siguientes parejas de personajes están juntos?

a) Batman y Chapulín b) Robin y Flash c) Superman y Batman d) Hombre Araña y Batman e) Chapulín y Superman

48

a) Darío está frente a Cristóbal. b) Bruno está frente a Amadeo. c) Cristóbal está a la derecha de Bruno. d) Darío y Bruno no están juntos. e) Más de una afirmación es correcta.

14) Halla x en: 3 2 1 2 5 4 a) 4 d) 8

15) Si

3 2 3 b) 54 e) 30

7 1 x

c) 23

c) 1

a) 13 b) 15 c) 16 d) 12 e) 14

[(((...*4)*3)*2)*1]*b+1

halla

1000 operadores

a) 100 d) 2b

b) b c) 3b e) No se puede

20) Si m2 + 1 = m4 + 2m2 - 3 ,

halla 16 * 216 b) 20 e) 10

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

18) Ubica los números 2; 3; 4; 5; ...; 9 en las casillas sin repetir, de manera que en cada aspa del molino la suma sea la misma. Entonces dicha suma será:

2p * q3 = 2p - 3q

a) 2 d) -2

19) Si a * b = ab - a + b , a

8 1 0

b) 3 e) 10

17) ¿Cuántos palitos hay que quitar como mínimo para obtener 2 cuadrados de diferente tamaño sin dejar cabo suelto?

c) -3

halla

3 - 1

a) 4 3 d) -4 3

b) -2 3 e) 3

c) - 3

Nivel II 21) Si 16) Si TOMA + DAME = 7507

y T > D

;

O = cero ,

b) 4020 e) 4030

b

c) 6010


=c

siempre que a = bc , calcula

halla TODO a) 5010 d) 5020

a

a) 1 d) 3

9 4

×

b) 0 e) 4

8 2

×

4 9

c) 2

4to de Secundaria


22) Halla x en: 13 (62) 9 (72) 25 ( x ) a) 80 d) 57

23) Halla x en: 2 5 4 3 2 20 a) 6 d) 4

24) Halla x en: 23 1 52 2 x 3 a) 25 d) 82

ENUNCIADO 2 3 3

En una playa de estacionamiento entran cuatro autos. Además:

b) 75 e) 93

2 4 11

- El auto del gringo tiene tres ocupantes. - En uno de los autos va un mulato. - E l To y o t a p e r m a n e c e cuatro horas en la playa de estacionamiento. - El auto que llega primero permanece tres horas. - El auto con sólo un ocupante es del chino. - El auto que llega inmediatamente después del Datsun es el que permanece cuatro horas en la playa de estacionamiento. - E l a u t o d e l n e g r o l l e g a inmediatamente después del que permanece una hora y del que permanece dos horas en la playa de estacionamiento. - El auto con dos ocupantes llega inmediatamente después del Ford. - El auto con cuatro ocupantes no es Volkswagen y llega último a la playa de estacionamiento. - E l a u t o d e l g r i n g o l l e g a inmediatamente antes del auto con dos ocupantes.

c) 61

11 9 x

b) 3 e) 5

c) 7

7 12 18 b) 53 e) 36

c) 71

25) Si SIN + SIN = NADA ,

halla N + D + S + A. a) 20 d) 14

b) 16 e) 15

c) 17

26) Halla DARA si: A + DD = ARR a) 9202 d) 7202

b) 8101 e) 9101

a) gringo, chino, mulato, negro b) chino, mulato, gringo, negro c) chino, gringo, negro, mulato d) negro, chino, mulato, gringo e) mulato, gringo, chino, negro Nivel III

31) Si: 1MADRE × 3 = MADRE1 ,

halla MAMA a) 2828 d) 2525

b) 5757 e) 7171

c) 4242

32) Halla A . B . C A B 1 5B * * 17 C * * * * * - - 2 a) 252 b) 396 d) 198 e) 336

c) 450

27) ¿Qué auto llegó primero?

30) Ordena en función al instante de llegada a la playa de estacionamiento.

c) 8202

a) Volkswagen d) Toyota b) Ford e) F.D. c) Datsun

28) ¿Qué auto llegó último a la playa de estacionamiento?

a) Volkswagen d) Toyota b) Ford e) F.D. c) Datsun

29) Permaneció una hora en la playa de estacionamiento.

4to de Secundaria

33) Si: ...23518 ÷ 99999 = RATON ,

a) El que tenía dos ocupantes. b) El auto del mulato. c) El auto del chino. d) El Datsun. e) El que tenía tres ocupantes.


calcula RA + N + 6 - OT a) 2 d) 6

b) 3 e) 12

c) 0

34) Si: N × 375 = ...625 N × 427 = ...021

halla la suma de las 3 últimas cifras de: E = N × 156 a) 15 d) 21

b) 17 e) 23

c) 19

49


38) Para determinar con certeza, quién es la menor, basta saber que:

35) Halla el valor de: a+b+c+d+e si abcde7 × 5 = 7abcde

a) 18 d) 21

b) 20 e) 13

c) 23

ENUNCIADO Cinco hermanas: Ana, Brenda, Claudia, Diana y Eliana, se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Y se sabe que: - Ana se sienta junto a Brenda y exactamente frente a Claudia. - Claudia no es menor que Brenda ni que Diana. - La mayor se sienta junto y a la derecha de Ana.

36) ¿Dónde se sienta Diana?

a)Adyacente a Eliana y Claudia. b) Adyacente a Brenda y Claudia. c) Junto a Brenda. d) A la derecha de Eliana. e)Al lado de Claudia.

I. To d a s t i e n e e d a d e s diferentes II. Ana, Brenda y Claudia son trillizas. a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente. d) Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. e) Se necesitan más datos.

39) Halla ABCABC ÷ ABC a) 11 d) 1100

b) 101 e) 110

y da como respuesta nn. a) 4 d) 8

b) 256 e) 36

I. Diana se sienta exactamente frente a la mayor. II. Brenda está adyacente a Ana y Diana. a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente. d) Cada uno de los datos por separado, es suficiente. e) Se necesitan más datos.

50

- A no es defensa y lleva el número 2. - B juega en Z y no lleva el número 3. - El que juega en W lleva el número 4 y está casado con la hermana de C. - El delantero lleva el número 3 y es amigo del que juega en X.

41) ¿A qué equipo pertenece el jugador que lleva el número 1? a) W b) X c) Y d) Z e) No se puede precisar

c) 27

37) Para determinar con seguridad, dónde está el lugar vacío, es suficiente saber que:

Cuatro jugadores, A, B, C y D, pertenecen, cada uno, a uno de los equipos W, X, Y y Z. Cada uno al jugar por sus equipos lleva un número: 1; 2; 3 ó 4 y juega en un puesto diferente: arquero, defensa, medio o delantero. Y se sabe que:

c) 1001

40) Calcula “n” en: n (2n) (n+1) = n + 1; n ∈ IN

ENUNCIADO

42) ¿En qué puesto juega el que pertenece al equipo Y? a) Defensa b) Delantero c) Arquero d) Medio e) No se puede precisar

43) ¿Qué número lleva el jugador D? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) No se puede precisar


4to de Secundaria


44) ¿ C u á l e s d e l a s s i g u i e n t e s afirmaciones son verdaderas?

I. D está casado con la hermana de C. II. C es amigo de A. III. B y D son amigos. a) I y II b) II y III c) I y III

d) Todas e) Ninguna

45) Si el arquero juega en W, entonces es cierto que:

48) Si x

= x+5 + 2

0

= 0,

Reto

halla:

a) -275 b) -200 c) -110

El Sobrante

275 d) -525 e) -150

49) Si: SAM = 5 × S × A × M M-1

y

I. A es medio II. B es defensa III. D es arquero

...ASM =

calcula M + A + T + E + S

a) I y II b) II y III c) I y III

a) 20 b) 21 c) 22

d) Todas e) Ninguna

b

= (a6) ( 6 b) ,

a2

calcula:

a) 24 b) 4 c) 16

3

1 2

d) 23 e) 30

50) ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para tener una igualdad? (No está permitido romper o doblar palitos)

46) Si

...TEM ,

64 27

Reto

Isa...no baila sola

d) 9 e) 8 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

47) Si a # b = 26a - 25b , calcula: M = (1#2) (3#4) (5#6) ...(49#50)

a) 1 b) 0 c) 50

El director de una banda de menos de 50 músicos de un pueblo de León estaba desesperado. Hiciese como hiciese la formación de sus músicos para desfilar, siempre le sobraba uno que se llamaba Cano y tocaba los platillos. Si colocaba a los músicos de 4 en fondo, le sobraba uno, el pobre Cano que tenía que ir solo al final; si formaban en columna de a tres, el problema seguía siendo el mismo: Cano y sus platillos otra vez solos al final. Incluso cuando la banda desfilaba de dos en dos ocurría igual. Luisa, la mujer de Cano, que era una gran observadora, propuso al director que los colocase de 5 en fondo. Éste le hizo caso y, ¡sorpresa!, todas las filas quedaron completas, ya no sobraba el pobre Cano. ¿Cuántos músicos tenía la banda?

Isa invitó a diecisiete amigos a su fiesta de cumpleaños. Asignó a cada invitado un número del 2 al 18, reservándose el 1 para ella misma. Cuando todo el mundo estaba bailando, se dio cuenta de que la suma de los números de cada pareja era un cuadrado perfecto. ¿Adivinas el número de la pareja de Isa?

d) 49 e) 25

4to de Secundaria


51


Métodos Operativos Ejemplo 2:

Reto Ejemplo 1:

Una fuga peligrosa Debido a una fuga en una válvula, el camión cisterna pierde por cada 10 km, la mitad de su capacidad y 10 galones más. Luego de 40 km se quedó vacío. ¿Cuántos galones tenía inicialmente el camión cisterna?

Si a una cantidad la divides entre 5 y luego la multiplicas por 6; al resultado obtenido le extraes la raíz cuadrada y luego le quitas 2, finalmente obtendrás 4. ¿Cuál es la cantidad inicial? a) 10 d) 30

b) 15 e) 60

c) 20

Carlos, Einstein y Luis se ponen a jugar con la condición que el que pierda duplique el dinero de los demás. Si cada uno pierde una apuesta y al final terminan con S/. 48, 56 y 28, ¿cuánto tenían inicialmente? a) b) c) d) e)

72; 40 y 20 soles 60; 52 y 20 soles 40; 72 y 20 soles 60; 52 y 20 soles 42; 70 y 20 soles

Resolución: Operaciones Directas Cantidad inicial

Operaciones inversas El propósito de este capítulo es mostrar artificios y métodos que abrevien planteamientos tediosos y saturados cálculos en la resolución de problemas. El desafío es saber reconocer en qué casos se aplican y cuál es el procedimiento de solución. Operaciones Directas

x

Resolución:

Operaciones Inversas

Incógnita

30

÷5

x5

Jugador Inicio

6 x6

÷6 ( )

2

+2

-2 Dato final

4

Carlos

1.a 2.a 3.a partida partida partida

?

48 ?

Einstein

36

Luis Total

132

132

56 ?

28

132

132

4

∴ La cantidad inicial es 30 Dato

Operaciones Inversas

El total que aparece en esta línea no varía. Efectuando operaciones inversas, empezando por el dato final, tendremos:

Se emplea este método efectuando las operaciones, empezando del final (dato) hasta el inicio (incógnita) e invirtiendo las operaciones dadas.

52

Ordenando la información:

Resultado


4to de Secundaria


Jugador Inicio Carlos

72

12

24

Einstein

40

80

28

40

80

28

132

132

132

Luis Total

132

Resolución:

1.a 2.a 3.a partida partida partida 48 +2

56

∴ Tenían 72, 40 y 20 soles.

Ejemplo 3: Cinco gallinas cuestan tanto como 12 patos, y 8 patos valen lo mismo que 18 pavos. Si se sabe que 6 pavos cuestan S/. 60, ¿cuánto cuestan 2 gallinas?

∴ 4 codos

Resolución: 5 gallinas 8 patos 6 pavos x soles

Regla Conjunta Reto

<> <> <> <>

4

12 patos 18 pavos 60 soles 2 gallinas 4

2

5(8)(6)(x) <> 12(18)(60)(2) (x) <> 108

Un gran problema Rosa viajó a Malasia y quizó comprar un par de zapatillas talla 39 (10 pulg), pero en ese lugar la medida es en kobas (1 pulg = 13 kobas). ¿Qué medida deberá pedir?

Observa que en las dos columnas están las mismas unidades, luego se procede de la siguiente manera: (5)(2)(3)(4) = (6)(1)(5)(x) 4=x

∴ S/. 108

Nivel I Halla el valor de la incógnita. 1)

Ejemplo 4:

12 x 4=

Por 3 cocos me dan 8 sandías, y por 16 sandías sólo recibo 4 piñas. ¿Cuántos cocos debo dar para recibir 30 piñas?

+2=

-3= ?

÷5=

a) 7 b) 13 c) 20

d) 5 e) 12

Resolución: 2)

3 cocos <> 8 sandías 16 sandías <> 4 piñas 30 piñas <> x cocos 2

En aquellos problemas donde se da una serie de equivalencias (igualdades) se aplicará el siguiente procedimiento: El procedimiento de solución consiste en verificar que el segundo miembro de cada igualdad sea de la misma especie que el primero de la siguiente y así sucesivamente, para finalmente multiplicar estas igualdades.

15

3(16)(30) <> 45 <>

x

8(4)(x) x

1 = 8 x

x2=

=

5 =5 2

a) 4 b) 7 c) 10

d) 12 e) 20

3)

Ejemplo 5: En cierto sistema de medida se tienen las siguientes equivalencias: 5 codos 2 palmos 3 pies 4 brazos

3 4

÷ =

2

∴ S/. 45

x

= = = =

6 palmos 1 pie 5 brazos "x" codos

x +7=

a) 16 b) 4 c) 12

x

3 = 8

x

7 =7 2

+2=

3

d) 9 e) 36

Halla el valor de "x".

4to de Secundaria


53

=


4) A un número se le multiplica por 2, luego se le suma 30, al resultado se le extrae la raíz cuadrada, finalmente se le divide entre 6 y se obtiene 2. Halla el número inicial.

a) 55 b) 26 c) 50

d) 57 e) 58

8) Si a la edad que Lucy tendrá dentro de 2 años se le multiplica por 2, al producto le restamos 2, a todo esto se le divide entre 2, y le extraemos la raíz cuadrada al resultado, obtengo 5. ¿Cuál es la edad de Lucy?

5) A cierto número le hago las siguientes operaciones: lo elevo al cubo, al resultado le quito 4 y lo divido por 3, obteniendo como resultado final 20. Halla el número inicial.

a) 4 b) 3 c) 6

d) 2 e) 8

6) Al preguntar a Abel por su edad, él respondió: "Si a mi edad le sumo 14, a lo obtenido le resto 2, y al resto le saco raíz cuadrada para después multiplicarlo por 4, y a este producto sumarle 46, para finalmente dividirlo por 3, obtengo 22". ¿Qué edad tiene Abel?

a)13 años b) 12 años c) 14 años

d) 15 años e) 16 años

7) Se le pregunta la edad a Karina y ella responde: "Si a mi edad la multiplicas por 4, luego al resultado le extraes la raíz cuadrada, después le sumas 10 al resultado y por último lo divides entre 4, obtienes 4". Entonces su edad es:

a) 6 años b) 4 años c) 9 años



9) Por 2 mandarinas me dan 4 naranjas, y por 6 naranjas recibo 3 manzanas. ¿Cuántas mandarinas debo dar para recibir 6 manzanas?

a) 5 b) 7 c) 8

d) 6 e) 10

10) En una librería, 6 lapiceros equivalen a 14 lápices, y 5 lápices a 7 borradores. Si por S/. 5 dan 2 borradores, ¿cuántos lapiceros dan por S/. 49?

a) 8 b) 7 c) 6

d) 10 e) 12

a) S/. 30 b) S/. 40 c) S/. 50

a) 14 b) 13 c) 12

d) 15 e) 16

14) En un mercado, por 6 kg de azúcar dan 10 kg de arroz; de la misma manera, por 8 kg de arroz, dan 12kg frijoles, y por 10 de frijoles dan 2 kg de pollo. ¿Cuántos kilogramos de pollo nos darán por 60 kilogramos de azúcar?

a) 20 kg b) 10 kg c) 30 kg

d) 40 kg e) 24 kg

15) Por 4 fichas rojas me dan 2 fichas azules, por 16 azules me dan 4 negras, y por 3 negras me dan 8 amarillas. ¿Cuántas fichas rojas me darán por 6 amarillas?

a) 12 b) 18 c) 24

d) 16 e) 14

Nivel II

11) Sabiendo que 5 soles equivalen a 2 dólares, 8 dólares equivalen a 4 marcos, y 6 euros equivalen a 12 marcos, ¿cuántos soles equivalen a 5 euros? d) S/. 20 e) S/. 60

16) Halla el valor de x. 5 2

x x =

÷

÷

a) 10 b) 12 c) 16

10 = 7

+2=

6 =4 4

d) 20 e) 40

12) En un bazar se observa que el precio de 8 polos equivale al precio de 6 camisas, y 10 camisas cuestan tanto como 12 pantalones. Si 15 pantalones cuestan S/. 600, ¿cuál es el precio de 10 polos?

54


13) En un pueblo africano por 2 lanzas dan 6 cuchillos, y por 5 cuchillos dan 10 escudos. ¿Cuántos escudos dan 8 lanzas?

a) S/. 360 b) S/. 300 c) S/. 250

d) S/. 200 e) S/. 280


4to de Secundaria

x

12 = 46


17) Juan duplica el dinero que llevaba al principio y luego gasta S/, 100. Lo que le queda vuelve a duplicarlo y luego gasta S/. 180. Si aún le quedan S/. 100, ¿cuánto dinero tenía inicialmente?

21) Cada vez que hace un negocio, una persona duplica su dinero pero de inmediato gasta S/. 10. Si luego de dos negocios sucesivos tiene S/. 290, ¿cuánto tenía inicialmente?

a) S/. 60 b) S/. 120 c) S/. 110

d) S/. 220 e) S/. 160

18) Una señora vende limones de la siguiente manera: cada día vende la mitad de los limones que tenía en ese momento más 3. Si luego de 3 días le quedan 5 limones, ¿cuántos limones tenía la principio?

a) 80 b) 82 c) 83

d) 84 e) 88

19) Cuatro amigos A, B, C y D juegan a los dados y acuerdan que aquél que pierda un juego triplicará el dinero de los otros tres. Si luego de 4 juegos cada uno perdió un juego en el orden mencionado y se retiran con S/. 81 cada uno, ¿cuánto ganó o perdió el primero? a) Ganó S/. 81 b) Ganó S/. 82 c) Perdió S/. 136 d) Perdió S/. 82 e) Perdió S/. 163

20) Juan se puso a jugar con el dinero que llevaba, logra duplicarlo e inmediatamente gasta $ 10; con lo que queda juega por segunda vez, triplica su dinero y gasta $ 30; juega por tercera vez, pierde la mitad, gasta $ 80 y se retira con $ 10. ¿Cuánto tenía inicialmente?

a) $ 40 b) $ 80 c) $ 20

d) $ 30 e) $ 10

4to de Secundaria

a) S/. 130 b) S/. 40 c) S/. 160

d) S/. 120 e) S/. 80

22) Cada vez que sale al recreo un alumno gasta la mitad de su dinero y S/. 3 más. Si luego del tercer recreo se quedó sin dinero, ¿cuánto tenía inicialmente?

a) S/. 60 b) S/. 52 c) S/. 42

d) S/. 36 e) S/. 144

23) Angélica le da S/. 6 a Bruno; luego éste le da S/. 12 a Angélica. Si ahora ella tiene S/. 42 y él S/. 34, ¿cuánto tenía cada uno inicialmente (en soles)?

a) 50 y 26 b) 36 y 40 c) 30 y 46

d) 42 y 34 e) 44 y 32

24) Carmen le da S/. 20 a Gabriela; luego ésta le duplica el dinero a Carmen; entonces ésta le da S/. 10 a Gaby. Si ahora tienen S/. 46 y S/. 62 respectivamente, ¿cuánto tenía cada una inicialmente (en soles)?

a) 56 y 52 b) 80 y 28 c) 40 y 68

d) 48 y 60 e) 58 y 60

25) Si la cantidad de bolas que posee Pepe se le multiplica por 4, luego le quitamos 2, después lo dividimos entre 6 y le sacamos la raíz cuadrada, se obtiene 5; ¿cuántas bolas eran propiedad de Pepe?

a) 38 b) 36 c) 28

26) En un trueque, por 2 cuadrados se reciben 16 círculos y por 8 círculos se reciben 3 triángulos. ¿Cuántos triángulos se recibirán por 12 cuadrados?

a) 24 b) 30 c) 36

d) 32 e) 12

27) En un pueblo de la sierra se realiza un trueque: 10 sacos de camote se cambia por 4 de papa, 12 sacos de olluco se cambia por 18 de yuca, y 15 sacos de camote por 6 de yuca. ¿Cuántos sacos de papa darán por 20 de olluco?

a) 10 b) 20 c) 30

d) 15 e) 24

28) En una juguetería el precio de 4 muñecas equivalen al de 6 pelotas, el de 9 rompecabezas al de 2 pistolas, y el de 15 pistolas al de 30 muñecas. ¿Cuántas pelotas equivalen al precio de 18 rompecabezas?

a) 16 b) 18 c) 12

d) 8 e) 10

29) Si el trabajo de 8 hombres equivale al de 12 niños, el de 6 niños al de 4 niñas, y el de 16 niñas al de 8 mujeres, ¿el trabajo de cuántos hombres equivaldrá al de 30 mujeres?

a) 100 b) 60 c) 120

d) 80 e) 40

d) 12 e) 37


55


30) Halla el precio de 100 varas de paño, teniendo en cuenta que 6 varas equivalen a 5 m, que 18 m cuestan 54 francos y que 1 franco vale $ 0,20.

a) $ 52 b) $ 56 c) $ 64

d) $ 50 e) $ 51

34) Se tienen dos depósitos de vino, A y B. De A pasan a B 20 litros; luego de B pasan a A la mitad de los litros que tiene B. Si quedan A y B con 115 y 35 litros, respectivamente, ¿cuántos litros tenía B inicialmente? a) 40 d) 60 b) 30 e) 80 c) 50

39) Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero volvió al juego y perdió la mitad de lo que le quedaba, repitió lo mismo por tercera y cuarta vez, hasta que le quedó sólo 8 soles. ¿Cuánto dinero perdió?

35) De la granja López se pasaron a la granja Pérez tantas gallinas como el doble de las que había en esta granja. Al día siguiente se regresaron de la granja Pérez a la de López tantas gallinas como el triple de las que quedaron la noche anterior. Si ahora López tiene 40 gallinas y Pérez 45, ¿quién ganó y cuántas?

40) Cada día Martha escribe en su cuaderno la tercera parte de las hojas en blanco que tiene más dos hojas. Si después de tres días consecutivos le quedan aún dos hojas en blanco, ¿cuántas hojas escribió?

a) S/. 80 b) S/. 150 c) S/. 64

d) S/. 120 e) S/. 128

Nivel III 31) Un número es sometido a las siguientes operaciones, se le aumenta una vez el propio número, luego le restamos 4 y se le multiplica por el doble de tres, finalmente se le extrae la raíz cuadrada, al valor que quedaba resultando 6 3. ¿Cuál es el exceso del número respecto a 10?

a) 2 b) 1 c) 4

d) 8 e) 3

32) A un número Z se le disminuye 10, al resultado se le cuadruplica, al resultado se incrementa en 12, luego se divide entre 4 y se resta 7, obteniéndose 40. Halla dicho número. I. Es un número natural mayor que 40 y es par. II. Es un número natural menor que 50. III. Es un número natural que está entre 50 y 60. a) Solo I d) I y II b) Solo II e) I y III c) Solo III 33) Cada vez que Mariano va a la casa de su tío, éste le duplica el dinero que tiene y Mariano en agradecimiento le compra una torta de S/. 20. Si en un día Mariano visitó a su tío 3 veces y al final terminó con S/. 4. ¿Cuánto dinero tenía antes de la primera visita? a) S/. 40 d) S/. 17 b) S/. 28 e) S/. 15 c) S/. 18

56

a) López, 20 d) Pérez, 10 b) López, 40 e) López, 10 c) Pérez, 20

36) Patty cada día gasta la mitad de lo que tiene más S/. 10. Si gastó todo en 3 días, ¿cuánto tenía al principio?

a) S/. 120 b) S/. 160 c) S/. 150

d) S/. 140 e) S/. 180

37) El nivel del agua de un pozo en cada hora desciende 8 cm por debajo de su tercera parte hasta quedar vacío luego de 3 horas. ¿Qué profundidad tenía el agua inicialmente?

a) 57 cm b) 56 cm c) 55 cm

a) 17 b) 19 c) 23

d) 25 e) 21

41) Vanessa escribe cada día las 3/4 partes de las hojas en blanco de un cuaderno, más 5 hojas. Si al cabo de 3 días escribió todas las hojas. Son ciertas: I. Escribió 420 hojas. II. No es cierto que en el segundo día no escribe 80 hojas III. El primer día escribe más de 320 hojas.

a) Sólo I b) I y II c) Sólo II

d) II y III e) Todas

d) 66 cm e) 104 cm

38) Halla la profundidad de un pozo de agua, sabiendo que cada día su nivel desciende 16 cm por debajo de su tercera parte, quedando vacío al cabo del cuarto día.

a) 185 cm b) 180 cm c) 165 cm

d) 195 cm e) 175 cm


4to de Secundaria


42) Ricardo, Coco, Polo y Toño, deciden jugar, teniendo en cuenta las siguientes reglas: Son ciertas: I. El primero en perder deberá aumentar $ 10 a cada uno de los demás. II. El segundo en perder deberá duplicar el dinero de los demás. III. El tercero deberá aumentar $ 20 a cada uno de los demás. IV. El cuarto deberá triplicar el dinero de los otros tres. Se sabe que perdieron en el orden antes mencionado y al finalizar la cuarta partida cada uno quedó con $ 2,40. ¿Quién perdió más?

a) Ricardo b) Coco c) Polo

d) Toño e) Coco y Toño

43) Con 3 cuadernos se obtiene un libro y con tres libros una enciclopedia. ¿Cuántas enciclopedias se obtendrá con 225 cuadernos?

a) 2 b) 23 c) 25

d) 27 e) 31

44) En un mercado, el precio de 6 limones es igual al precio de 8 zanahorias y 4 zanahorias igual que 2 papas. ¿Cuántos limones darán por el precio de 2 papas?

a) 2 b) 4 c) 3

d) 1 e) 5

45) En el problema anterior, si cada limón cuesta S/. 0,20, ¿cuál será el precio de 5 papas?

a) S/. 1,20 b) S/. 1,80 c) S/. 1,50

d) S/. 2,10 e) S/. 0,75

46) El precio de 7 toros es igual al precio de 10 vacas, el precio de 2 vacas es igual al precio de 14 ovejas y el precio de 15 ovejas equivale al precio de x toros. Halla x.

a) 1,5 b) 2 c) 1,8

47)

Si se sabe que: 1 kg = 2,2 libras 1 ton = 1000 kg 1 kg = 1000 gramos ¿cuántos gramos hay en 1 libra?

a) 6,25 b) 1,22 c) 3,82

48) 36 celulares Motorhola cuestan tanto como x Erickhijo. Halla x.

a) 42 b) 48 c) 55

Hermanas y hermanos. Tres amigas, Irene, Sandra y Erika, tienen un hermano cada una. Con el tiempo, cada chica acaba saliendo con el hermano de una de sus amigas. Un día Irene se encuentra con el hermano de Sandra y le dice: “¡Mira!, ahí veo entrar al cine a alguien con tu pareja”. ¿Puedes decir cómo están formadas las parejas?

d) 4,25 e) 4,54

Bellnorth se dedica a la venta de celulares. Sobre los precios se sabe que: - 3 Motorhola cuestan tanto como 5 Noquea. - 12 Noquea cuestan tanto como 11 Erickhijo. - 22 Erickhijo cuestan tanto como 4 Sargent. - 10 Sargent cuestan tanto como 3 Parasonia.

d) 60 e) 70

Reto

Las tres hijas Después de tiempo Juan y Luis se encuentran por la calle. Juan le pregunta a Luis ¿cómo están tus hijas y cuántos años tienen? Luis, le contesta: el producto de las tres edades es 36 y la suma, el número del portal en el que vives. Juan le dice: “entonces, me falta un dato”, y Luis le contesta “es cierto, la mayor toca el piano”. ¿Cuál es la edad de cada hija?

49) 36 celulares Motorhola, ¿a cuántos Parasonia equivalen?

a) 2 b) 3 c) 5

d) 6 e) 9

50) Si un Motorhola cuesta $ 100, ¿cuánto cuesta un Noquea?

4to de Secundaria

d) 1,2 e) 3

Reto

a) $ 167 b) $ 60 c) $ 80

d) $ 70 e) $ 75


57


Métodos Operativos Reto

Gran pollada bailable Piolín y Silvestre organizaron una "pollada" con sus amigos. Si asistieron 52 sujetos y se contaron 144 patas, ¿Cuántos lindos gatitos asistieron?

Resolución: 1. Falsa suposición (F.S.) Si asumimos que todas las botellas son de 5 L, tendríamos: 27 x 5L = 135 L 2. Error total (E.T.): 135 - 111 = 24

4. Número de = Error total Error unitario camisas 150 =6 = 25

3. Error unitario (E.U.): 5-3=2

Método del Rombo

E.T. 4. N.º de elementos = E.U. (el menor)

24 = 12 botellas de 3 L 2

Como disponemos de 27 botellas, entonces hay 15 botellas de 5 L. Rpta.: 15 - 12 = 3 botellas más

Falsa Suposición El presente método se emplea en problemas donde hay un cierto número de elementos que presentan dos características diferentes y además se indica el total de estas características obtenidas a partir de los elementos.

3. Error unitario (E.U.): En cada camisa que cuesta S/. 20 se esta cometiendo un error de: 45 - 20 = S/. 25 más

Ejemplo 3: Debo pagar 2050 soles con 28 billetes de 50 y 100 soles. ¿Cuántos billetes de 50 soles debo emplear? a) 15 d) 13

b) 17 e) 14

c) 16

Resolución: Ejemplo 2: En un bazar se vende cada camisa en S/. 20 y cada pantalón en S/. 45. Si Rodolfo compró nueve prendas gastando S/. 255, ¿cuántas camisas compró?

Aplicando el método del rombo, obtenemos: S/. 100 (billete) -

x 28 billetes

2050 soles

-

Resolución:

Ejemplo 1: Se quiere embotellar 111 L de aceite en 27 botellas, unas de 5 L y otras de 3 L. ¿Cuántas botellas de 5 hay más que de 3 L?

58

1. Falsa suposición (F.S.) Si las nueve prendas compradas costaron S/. 45 cada una, se habría gastado: 9 x S/. 45 = S/. 405 2. Error total (E.T.): Como el verdadero gasto fue de S/. 255 entonces hay un error de: 405 - 255 = S/. 150 más


S/. 50 (billete) #de billetes = 28 x 100 - 2050 100 - 50 de 50 soles ∴ # de billetes de 50 soles = 15 Rpta.: a

4to de Secundaria


Ejemplo 4: A una fiesta entran un total de 350 personas entre niños y niñas, recaudándose S/. 1550, debido a que cada niño pagaba S/. 5 y cada niña S/. 4. ¿Cuál es la diferencia entre niñas y niños? a) 200 d) 50

b) 300 e) 350

c) 150

Resolución: Aplicando el método del rombo, obtenemos:

Diferencia total y unitaria Se aplican en aquellos problemas donde se comparan cantidades; en un caso, sobrante o ganancia y en el otro caso, faltante o pérdida. Se originan 2 diferencias, una total y una unitaria. La incógnita del problema se origina por el cociente de la diferencia total y la diferencia unitaria.

-

S/. 1550

S/. 4 (niña) # de niñas =

Sara al comprar 20 manzanas, le sobran 4,8 soles, pero al adquirir 24 manzanas le faltarían 1,2 soles. ¿Cuánto cuesta cada manzana? b) S/. 1,5 e) N.A.

c) S/. 1,4

Resolución

-

350 personas

Ejemplo 7:

a) S/. 1,2 d) S/. 1,6

S/.5 (niño) x

los S/. 40 que faltaba y todavía quedaría S/. 50, es decir se reuniría: 40 + 50 = S/. 90 más. Luego, el número de amigos es: 90 ÷ 5 = 18 amigos.

350 x 5 - 1550 5-4

Ahora calculamos el número de niños # de niños = 350 - 200 = 150 Luego: Diferencia entre niñas y niños es 200 - 150 = 50 Rpta.: d

Reto

Chifa "Pon Tu" En un chifa están sentadas ocho personas en cada mesa y hay 4 personas de pie, pero si se hubieran sentado 10 en cada mesa, quedarían 2 mesas libres. ¿Cuántas personas hay?

4to de Secundaria

Ejemplo 5: Si compro 5 libros de Razonamiento Verbal me faltaría 30 soles, pero si compro 2 libros me sobraría 18 soles, ¿cuánto cuesta cada libro?

Aplicando el método del rectángulo, obtenemos: Sobra: S/. 4,8

20 Mz -

Dinero 24 Mz

Resolución: Caso 1 Caso 2

Total

Falta: S/. 1,2

D.U.

5

2

3

Precio de c/= S/. 4,8 + S/. 1,2 24 - 20 manzana

D.T.

-30

+18

48

=S/. 1,5

(falta)

(sobra)

Costo = 48 = S/. 16 3 c/libro

Ejemplo 6: Un grupo de amigos decide hacer una colecta para comprar un equipo de sonido. Si cada uno colabora con S/. 20, faltarían S/. 40 y si cada uno colabora con S/. 25, sobrarían S/. 50. ¿Cuántos eran los amigos?

Rpta.: b Para hallar el dinero con que cuenta Sara se puede aplicar dos casos, veamos: 1.er Caso: Dinero de Sara= 20(S/.1,5) + S/. 4,8 = S/. 34,8 2.º Caso: Dinero de Sara=24(S/. 1,5) - S/. 1,2 = S/. 34,8

Resolución: Cada amigo: S/. 20 → Falta: S/. 40 Cada amigo: S/. 25 → Sobra: S/. 50 Observa que si cada amigo colabora con: 25 - 20 = S/. 5 más, se completaría


+

59


5) Si pagué una deuda de 1200 dólares con 36 billetes de 50 y 10 dólares, ¿cuántos billetes de 50 dólares he usado?

Nivel I 1) En un granja donde hay vacas y gallinas se contaron 45 cabezas y 150 patas. ¿Cuántas gallinas hay en la granja?

a) 15 b) 20 c) 30

a) 40 b) 10 c) 20

6) Para entrar a una feria, los adultos pagan S/. 30, pero los niños sólo pagan S/. 15. Se vendieron entre adultos y niños, un total de 82 entradas. ¿Cuántas entradas de adultos se vendieron si resulta que en total se recaudaron S/. 2175?

d) 30 e) 25

3) En un taller se encuentran 100 vehículos entre automóviles y motos. Si el número de ruedas que hay es 230, ¿cuántas motos hay en el taller?

a) 15 b) 85 c) 45

a) 35 b) 25 c) 15

60

d) 5 e) 55

a) 19 b) 72 c) 41

d) 11 e) 63

7) En un dibujo hay 22 figuras geométricas entre hexágonos (de 6 lados) y cuadrados (de 4 lados). Si en total se tienen 108 lados, ¿cuántos hexágonos hay en el dibujo?

d) 60 e) 75

4) En una playa de estacionamiento de una universidad donde sólo hay autos y bicicletas, el vigilante para saber que no le faltaba ninguno contaba siempre 60 timones y 190 ruedas. ¿Cuántas bicicletas hay en la playa de estacionamiento?

d) 21 e) 20

a) 6 b) 8 c) 72

d) 76 e) 40

d) 10 e) 25

2) En una hacienda donde hay conejos y patos se contaron 50 cabezas y 180 patas. ¿Cuántos conejos hay en la hacienda?

a) 16 b) 15 c) 14

9) Al envasar 176 litros de leche en depósitos de 4 y 2 litros, se usaron en total 80 de dichos depósitos. ¿Cuántos eran de dos litros?

a) 13 b) 12 c) 11

d) 10 e) 9

8) En un taller de reparación de bicicletas se encontraron 30 vehículos entre bicicletas y triciciclos. Si en total hay 70 ruedas, ¿cuántos triciclos hay?

a) 5 b) 10 c) 15

10) Aldo tiene doce billetes, algunos de $ 10 y otros de $ 20. Si en total tiene $ 170, ¿cuántos billetes tiene de cada tipo?

a) 7 y 5 b) 10 y 2 c) 6 y 6

d) 9 y 3 e) 4 y 8

11) Si a cada uno de mis alumnos les entrego S/. 6 me sobrarían S/. 40, pero si les entrego S/. 8, me faltarían S/. 40. ¿Cuántos alumnos tengo?

a) 40 b) 20 c) 30

d) 60 e) 50

12) Si Jorge le da a cada uno de sus sobrinos S/. 10 le sobrarían S/. 30, pero si les diera S/. 12 le faltaría S/. 24. ¿Cuántos sobrinos tiene Jorge?

a) 27 b) 7 c) 18

d) 19 e) 26

d) 20 e) 25


4to de Secundaria


13) Para comprar 15 lápices me faltan S/. 12, pero si compro 8 lápices me sobran S/. 9. ¿De cuánto dinero dispongo?

a) S/. 32 b) S/. 31 c) S/. 30

d) S/. 33 e) S/. 35

14) Después de haber comprado 20 calculadoras del mismo precio me sobran S/. 70, y me faltaría S/. 30 para comprar otra. ¿Cuánto dinero tengo?

a)S/. 2000 b) S/. 2060 c) S/. 2080

d) S/. 2070 e) S/. 2100

15) Después de haber comprado 12 libros del mismo precio, me sobran S/. 60, y me faltan S/. 24 para comprar otro. ¿Cuánto dinero tengo?

a)S/. 1048 b) S/. 1088 c) S/. 1068

d) S/. 1098 e) S/. 1100

Nivel II 16) En una granja se crian pavos y conejos y se cuentan en total 48 ojos y 68 patas. ¿Cuántos pavos hay?

a) 12 b) 8 c) 10

d) 16 e) 14

17) En una tienda de periódicos se venden dos revistas de publicación mensual; la revista X que cuesta S/. 30 y la revista Y que vale S/. 40. Si en este instante se vendieran todas las 30 revistas, el vendedor recibiría S/. 950 como producto de la venta. ¿Cuántas revistas Y tiene en este momento?

a) 16 b) 10 c) 20

d) 5 e) 25

4to de Secundaria

18) En cierta empresa de transporte de carga, hay 68 camiones, algunos de 10 ruedas y el resto de 4 ruedas menos cada uno. Si en total hay 624 ruedas entre todos los camiones, ¿cuántas llantas tienen los camiones de 10 ruedas, en total?

a) 540 b) 140 c) 480

d) 90 e) 280

19) En un grupo de 30 insectos entre moscas y arañas se contaron 220 patitas. ¿Cuántas arañas hay en dicho grupo?

a) 10 b) 20 c) 15

d) 25 e) 22

20) Una vendedora lleva al mercado 60 cajas de frutas entre manzanas y mandarinas cuyo importe total es S/. 360. Si el precio de cada caja es S/. 8 y S/. 4, respectivamente, entonces el número de cajas de mandarinas es:

a) 30 b) 20 c) 10

d) 40 e) 50

21) Cada vez que salgo con Carla gasto S/. 25, y cada vez que salgo con Danitza gasto S/. 35. Si he salido 30 veces (con Carla o Danitza) y gasté S/. 800, ¿cuántas veces he salido con Danitza?

a) 10 b) 25 c) 8

d) 5 e) 6

22) Se desea envasar 120 litros de vino en botellas de 3 y 5 litros. Si el total de botellas es 32, ¿cuántas son de 5 litros?

a) 12 b) 8 c) 6

23) Una pulga recorre en línea recta una distancia de 74 centímetros dando 18 saltos, algunos de cuatro y otros de cinco centímetros de largo. ¿Cuántos saltos de 4 cm dio?

a) 16 b) 12 c) 8

d) 4 e) 2

24) En un corral hay 180 patas y 54 cabezas. Si lo único que hay son gallinas y conejos, ¿cuál es el número de alas?

a) 36 b) 18 c) 54

d) 48 e) 60

25) En un restaurante se desea cambiar de mesas. Si compran 5 mesas, sobrarían S/. 400 y se compran 9 mesas, faltarían S/. 140. ¿Cuánto cuesta cada mesa?

a) S/. 60 b) S/. 180 c) S/. 75

d) S/. 90 e) S/. 55

26) En el problema anterior, ¿cuánto dinero se tenía para la compra?

a) S/. 460 b) S/. 620 c) S/. 530

d) S/. 500 e) S/. 1300

27) Un padre de familia dispone de cierta cantidad de dinero para comprar cuadernos a sus hijos. Si compra 13 cuadernos, le sobra S/. 70 y si compra 15 cuadernos, le sobra S/. 50. ¿Cuánto cuesta cada cuaderno?

a) S/. 10 b) S/. 12 c) S/. 14

d) S/. 15 e) S/. 16

d) 20 e) 4


61


28) En el problema anterior, ¿qué cantidad de dinero tenía el padre?

a) S/. 185 b) S/. 360 c) S/. 320

d) S/. 180 e) S/. 200

29) Carolina desea comprarse algunos polos. Si compra 7 polos, le faltaría S/. 50 y si compra 5 polos le faltaría S/. 10. ¿Cuánto cuesta cada polo?

a) S/. 12 b) S/. 25 c) S/. 22

d) S/. 18 e) S/. 20

30) En el problema anterior, ¿cuánto dinero tenía Carolina?

a) S/. 100 b) S/. 90 c) S/. 75

d) S/. 82 e) S/. 86

Nivel III 31) Entre gallos, gallinas y conejos hay 60 animales. el total de patas es 150 y el número de conejos es inferior en 5 al número de gallos. Determina el número gallos, gallinas y conejos.

a) 32, 1 y 27 d) 25, 15 y 20 b) 17, 31 y 12 e) 20, 25 y 15 c) 30, 5 y 25

32) En un cuartel de 100 soldados todos se disponen a hacer planchas. En un determinado momento, el sargento pudo observar sobre el piso 298 extremidades. ¿Cuál es el número total de soldados haciendo planchas?

a) 74 b) 54 c) 51

62

d) 49 e) 41

33) En un examen por cada respuesta correcta se obtiene 20 puntos y por cada error se descuenta 10 puntos. Un alumno contestó las 50 preguntas del examen y obtuvo 640 puntos. Entonces es cierto que: I. Tuvo 12 errores. II. Tuvo 36 aciertos. III. Le descontaron 200 puntos.

36) Un litro de leche pura pesa 1010 gramos. Si un vendedor entregó 45 litros de leche que pesaban 45,2 kg, calcula la cantidad de agua que contenía esta entrega. a) 20 L d) 25 L b) 15 L e) 9 L c) 8 L

37) En una granja hay 40 animales entre pollos y cuyes. Si en total hay 140 patas, entonces podremos afirmar que: I. Hay 20 cuyes más que pollos. II. Hay 10 pollos y 30 cuyes. III. Si contamos todos los ojos y las patas de los cuyes, se obtiene 180.

a) Sólo I b) Sólo II c) I y II

d) I y III e) Todas

34) En una prueba un alumno gana 10 puntos por cada respuesta correcta y pierde 4 puntos por cada equivocación. Si después de contestar todas las preguntas que son 120; obtiene 500 puntos. Entonces son ciertas: I. S e e q u i v o c ó e n 5 0 preguntas. II. Acertó 80 más de las que no acertó. III. Si obtuvo 780 puntos, acertó en 90 problemas.

a) Sólo I b) II y III c) I y II

d) I y III e) Sólo II

35) A la academia concurrían algunos con sus triciclos y otros con sus bicicletas. El guardían para saber que no le faltaba ninguno, contaba siempre 860 ruedas y 608 pedales. Entonces: I. Si contamos los pedales de todas las bicicletas obtenemos 104. II. La diferencia entre el número de triciclos y bicicletas es 204. III. Hay 252 triciclos. Son ciertas:

a) Sólo I b) II y III c) Sólo II


d) I y III e) Todas

38) U n a u t o r e c o r r i ó 1 4 0 k m en 20 horas. Los primeros kilómetros l o s h i z o a u n a veloc i d a d d e 10 km/h y el resto a 5 km/h. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Durante 12 horas viajó a razón de 5 km/h. II. Las primeras horas recorrió 80 km. III. Las primeras 10 horas recorrió 100 km.


d) I y III e) Todas

d) I y III e) I y II


4to de Secundaria


39) Los pasajes de Lima a Huaral cuestan S/. 10 en cierta empresa de transporte, mientras que para Huacho cuestan S/. 2 más. Cierto día sólo se vendieron 63 pasajes para Huacho y Huaral, recaudándose S/. 174. Si todos los pasajeros que iban a Huaral hubiesen ido a Huacho y viceversa, ¿cuánto se habría recaudado?

a) S/. 742 b) S/. 668 c) S/. 672

d) S/. 728 e) S/. 712

40) María trabaja en una empresa en la cual por cada día de trabajo le pagan S/. 30 y por cada día que falta le descuentan S/. 5 de su sueldo. ¿Cuántos días habrá trabajado, si al final de 45 días la empresa le paga S/. 300?

a) 30 días b) 10 días c) 25 días

d) 15 días e) 20 días

41) Un niño compró 8 caramelos y le sobró S/. 12. Si hubiera comprado 20 caramelos, le faltaría S/. 12. ¿Cuánto dinero tiene el niño?

a) S/. 30 b) S/. 28 c) S/. 26

d) S/. 32 e) S/. 24

42) Se organizó una colecta para comprarle un regalo al profesor de R.M. Si cada alumno diera S/. 5 sobraría S/. 20, pero si cada alumno diera S/. 3 faltaría S/. 8. ¿Cuántos alumnos hay en total y cuánto cuesta el regalo?

a) 28 y S/. 29 d) 14 y S/. 90 b) 14 y S/. 60 e) 28 y S/. 50 c) 14 y S/. 50

4to de Secundaria

43) Al comprar 9 libros me sobran S/. 50 y me faltan S/. 70 para comprar uno más. ¿Cuánto dinero tengo?

a) S/. 1130 b) S/. 1200 c) S/. 1080

d) S/. 970 e) S/. 975

44) En un congreso, si los integrantes se sietan de 3 en 3 sobrarían 4 bancas y si se sientan de 2 en 2, quedarían de pie 18 integrantes. ¿Cuántos son los integrantes?

a) 30 b) 78 c) 62

d) 75 e) 68

45) Si se forman filas de 8 niños sobran 4 pero faltarían 8 niños para formar 3 filas más de 7 niños. ¿Cuántos niños son?

a) 64 b) 76 c) 84

d) 92 e) 72

46) Si regalo 7 caramelos a cada uno de mis sobrinos, me faltarían caramelos para 2 de ellos, pero si regalo 5 caramelos a cada uno, me sobrarían 2. ¿Cuántos sobrinos tengo?

a) 6 b) 7 c) 8

48) Un grupo de feligreses acude a una iglesia. Si se sientan 10 feligreses en cada banca, quedan 2 bancas libres y si se sientan 8 feligreses en cada banca, entonces quedarían 10 feligreses de pie. ¿Cuántos feligreses son?

a) 140 b) 150 c) 120

d) 110 e) 130

49) Si quiero comprar 5 tijeras me faltarían S/. 20 y si quiero comprar 7 tijeras me faltarían S/. 50. ¿Cuánto cuesta cada tijera?

a) S/. 10 b) S/. 15 c) S/. 20

d) S/. 25 e) S/. 30

50) Si vendo 120 boletos en una rifa ganaría S/. 300, pero si sólo vendo S/. 100 únicamente ganaría S/. 200, ¿a cuánto pienso vender cada boleto?

a) S/. 2 b) S/. 4 c) S/. 5

d) S/. 6 e) S/. 8

d) 9 e) 10

47) Para la rifa de un departamento se pusieron a la venta 1890 boletos y se pensó ganar S/. 106800; pero sólo se vendieron 980 boletos, originándose una pérdida de S/. 2400. Halla el precio del departamento.

a) S/. 60 000 d) S/. 180 000 b) S/. 200 000 e) S/. 120 000 c) S/. 40 000


63


Resolución de Ecuaciones CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES SEGÚN SUS SOLUCIONES

Objetivos  R e v i s a r l o s p r i n c i p i o s básicos para la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita, así como la resolución de sistemas de ecuaciones con dos o tres incógnitas.  Comprender y asimilar de manera adecuada la solución de los ejercicios planteados.

Pueden ser compatibles o incompatibles. Ecuación compatible Es aquella que tiene al menos una solución posible. Se subdivide en: * Determinada: Si tiene un número finito de soluciones. Ejemplos:

DEFINICIÓN Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas que tienen como mínimo una variable. A las variables que intervienen en una ecuación se les denomina incógnitas y a los valores que satisfacen la igualdad se les llama soluciones de la ecuación. Ejemplos:

x2 = 16 → Tiene dos soluciones: 4 y -4

x+y=5 x-y=3 (Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas) Solución: x = 4 ya que satisface y = 1 ambas ecuaciones

* 3 x + 5 = 11 → solución: x = 2

Ejemplos:

Resolución: Transponiendo términos tenemos:

x-5=x-3-2

Ecuación incompatible Es aquella que no tiene solución posible.

igualdad

Ejemplo 1

Si tiene

incógnita

2x + 7 = x + 10 Recuerda que al transponer términos, estos cambian de signo.

2x - x = 10 - 7 x=3

Ejemplos:

incógnita

64

Ejemplo:

Resuelve: 2x + 7 = x +10 * Indeter minada: infinitas soluciones.

xº = 1; x ≠ 0

igualdad

Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se busca obtener, en caso de que existan.

3x + 2 = 14 → Tiene una solución: 4

Ecuación

* x 2 = 4 → solución:

SISTEMA DE ECUACIONES

x=2ó x= -2

x+3=x-3 0.x=3


4to de Secundaria

¡Ah! ... y no olvides que la incógnita debes ubicarla a un solo lado de la igualdad.


Ejemplo 2 Resuelve:

Ejemplo 4 x 2x x +7 = + +1 6 3 2

Resuelve la ecuación: (1+3x)2 = (5 - x)2 + 4(1 - x)(3 - 2x)

Resolución: En primer lugar, hallamos el MCM de los denominadores: x 7 2x x 1 + = + + 6 1 3 2 1 6 - 1 - 3 - 2 - 1 3 - 1 - 3 - 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1 - 1

2 3

x + 42 = 4x + 3x + 6

6x

6

x

=

Procura siempre que la variable permanezca con coeficiente positivo.

Ejemplo 3

Eliminando el corchete, se obtiene: 4x + 6x - 12x + 24 = 72 - 6x Transponiendo al primer miembro todos los términos con "x" y al segundo los numéricos, tendremos: 4x + 6x - 12x + 6x = 72 - 24 reduciendo:

4x = 48

48 x= 4

∴x = 12

4to de Secundaria

Nivel I

Uniendo términos semejantes:

1) Resuelve y da como respuesta "x2". 7x + 23 = 6x + 25

36x = 36 36 36

x=

∴x = 1 Ejemplo 5

Calcula x en:

Se calcula el MCM (4, 6) = 12. Luego se multiplica ambos miembros de la ecuación: 12(

Calcula x en: x2 - 5x + 6 = 0 Resolución:

x2 - 5x + 6 = 0 -3 -2

a) 4 b) 5 c) 3

d) 2 e) 0

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

4) Resuelve la ecuación y da como respuesta "xx": 5(2x + 7) + 3 = 48

Ejemplo 6

x x

d) 1 e) 0

3) Resuelve: 3(x - 3) + 13 = 4x - 1

x+1 x x 1 + = + ( 4 6 4 6

3(x+1) + 2(x) = 3(x) + 2(1) 3x + 3 + 2x = 3x + 2 2x = -1 x = -1/2

a) 3 b) 4 c) 2

2) Resuelve la ecuación y da como respuesta "3x". 2(x + 5) + 30 = 5(x + 7)

x+1 x x 1 + = + 4 6 4 6

Resolución: Resolviendo el paréntesis: 4x + 3[2x - 4x + 8] = 72 - 6x

x-2=0 x=2

Transponiendo términos al otro miembro: 9x2-x2-8x2+6x+10x+20x=25+12-1

Resolución:

Resuelve la ecuación: 4x+ 3[(2x - 4(x - 2)] = 72 - 6x

∨

Resolviendo los paréntesis: 1+6x+9x2=25-10x+x2+12-20x+8x2

42 - 6 = 4x + 3x - x 36 =

x - 3 = 0 x = 3

Resolución:

Luego MCM = 6 Así tenemos:

(x - 3)(x - 2) = 0 Luego se iguala cada factor a cero.

a) 2 b) 0 c) 1

d) 3 e) 4

5) Resuelve la ecuación: 2(7x + 4) = 8(2x + 3) → -3x → -2x -5x


a) -6 b) -8 c) -7

d) -5 e) N.A.

65


6) Resuelve: a+1 7 1-a + =6 2 10 5

a) 18 b) 19 c) 20

d) 21 e) 22

7a+1 3(a-1) 2(a+1) + = 10 10 5 a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

8) Resuelve la ecuación y da como respuesta "aa". 7(2a + 3) + 10 = 17

a) 2 b) 4 c) 6

18) Halla el conjunto solución. x - 8y = 0 2y + 3 x = 13

a) 33 b) 31/33 c) 33/31

d) 8 e) -1

a) 18 b) 19 c) 20

9) Resuelve: 2(3a - 7) + 5(a + 3) = 23 a) 3 b) 0 c) 4

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

11) Resuelve y da como respuesta "xx". 7(x - 3)- 5(x+2)+11(x+1) = 19

a) 28 b) 27 c) 29

66

d) 17 e) 6

a) 14 b) 13 c) 12

d) 16 e) 6

15) Resuelve:

d) 2 e) 1

10) Resuelve: 11(2x - 7) + 2(5x - 4) - 3(2x - 5) = -18

14) Resuelve: m m-2m +9 = 4 2

1+a-

d) 31 e) 4/33

13) Resuelve la ecuación: 2a + 4 - 5 = 3(a - 7)

7) Halla "2a" si:

12) Resuelve la ecuación: 9(a-1) 2(a+1) 10 + = 6 2 3

1 a 1 2a = + + 16 3 6 2 9

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 7

16) Resuelve:

d) {

1 ; 4} 2

e) {2; -2}

19) Resuelve la ecuación: 50(x - 2) = 10(3x + 4)

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8

20) Halla "x". 2x+7 3x+8 = 6 7

a) 4 b) 1/2 c) 1/4

d) 2 e) 3

21) Resuelve: 5x 7x 4x-5 8x-15 11x-3 + = 4+ 2 5 2 5 2

Nivel II

a) 1 b) -1 c) 5/7

d) 3 e) -4

22) Resuelve:

3x + 2y = 18 x - y = -4

a) {4; 1 } 2 1 b) {2; } 2 1 c) {3; } 3

x x 12 = x+4 x+2 (x+4)(x+2)

a) x = 2; y = 4 b) x = 3; y = 6 c) x = 2; y = 6 d) x = 4; y = 3 e) x = 5; y = 2

a) -7 b) 6 c) 7

d) -6 e) -13

17) Resuelve y halla el conjunto solución. y=x+2 2x = 5 - y

d) 30 e) 31

a) {1; 2} b) {2; 1} c) {3; 1}

d) {1; 3} e) {1; 0}


4to de Secundaria


23) Resuelve: x+1 x+2 x-3 x+4 + + = x-1 x-2 x-1 x-2

a) 3 b) -1 c) 1

d) 2 e) -2

24) Resuelve:

28) Calcula x . y en:

a) 25 b) 4 c) 25/4

x-y+1=4

a) 17 b) 34 c) 51

a) 3 b) 4 c) 2

d) 4/25 e) N.A.

d) 1 e) 0

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

x x+3 x + = +4 3 6 4 4 4

a) 6 b) 12 c) 18

a) a b) b c) a+b

d) ab e) a-b

36) Calcula el valor de "x" en:

30) Calcula "x" en:

d) 24 e) 30

2 -1 ( x+5 ( = b +(a+2)(a-2)+2ab-1 2

x-5

25 + (a + b)

a) a2 b) b2 c) (a+b)2

d) a2 . b2 e) (a-b)2

37) Despeja "x" en:

x-5 =2 d) 45 e) 54

a) 1 b) 3 c) 2

32) Calcula "m".

d) 34 e) 36

d) 4 e) 6

5m-20 4m - 32-5m = 3 3 a) -1 b) 0 c) 1

d) 2 e) 3

a) 0 b) 1 c) 2

5(m+n) - m+n p p 2x m+n a) p

b) m-n p mn c) p

=

d) mnp e)

pn p

1

d) 5 e) 4


p 2(m+n)

38) Despeja x en:

2

x 1 x 1 x 1 1 x - - + = - + 3 3 4 4 5 5 6 6

2

33) Resuelve:

4to de Secundaria

1

2x-11 2x - 19 - 2x = 2 2

27) Si: a + b = 11 b + c = 13 a + c = 10; calcula a . b + c a) 52 b) 48 c) 28

x+1 a+b+1 = x-1 a+b-1

a+1 a 1 a - = + 3 3 3 5

d) -2 e) 2

35) Calcula el valor de "x" en:

31) Calcula "x".

1+ 2+ a) 1 b) 2 c) 30

a) -1 b) 0 c) 1

Nivel III

26) Halla "x" en:

d) 18 e) 36

29) Calcula "a".

25) Resuelve y da como respuesta "xx": 2(13x+1) +4 = 31 x

2a 3 5a 2 3a 6a 6 5 + + - = - + + 7 4 9 7 4 13 13 9

2x + y = 6

a(a-3) (a-4)(a-7) =2 11 11

34) Calcula el valor de "a" en:

2

5(a +b +2ab) 2(a+b) + c c2x

a) 1

b)

a-b c a+b c) c

=

c 7a+7b

d) 2a-b c 2 e) (a+b) c

67


39)

Si: a-b+c=5 b-c+d=7 c-d-e=4 a+b+d=9 e - a + f = 2; calcula 2(a + b + c + d + f).

a) 27 b) 54 c) -14

d) 26 e) -28

40)

Si: m-p+n=6 p-n-q=2 n+p-m=7 q + r + s = 10 m - s + q = 9; calcula 2(m + n + p + q + r).

a) 34 b) 48 c) 51

d) 54 e) 68

41) Calcula a + b si: 3a - 8 = -b a=b+4

a) -1 b) 0 c) 2

d) 3 e) 4

42) Si: x = 2y 2y = 3z x + y + z = 11,

halla x + 2y + 3z.

a) 32 b) 26 c) 27

d) 18 e) 29

43) Calcula "x". x(x+1) = 33 4 a) 10 d) 13 b) 11 e) 14 c) 12

44) Halla el valor de "x". 8 x= -7 x a) -7 d) 8 b) -8 e) b y c c) 1

45)

a) 24 b) 32 c) 40

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

50) Si: x + y = 12 y+z=8 x + z = 10, calcula x + y + z.

a) 15 b) 14 c) 13

d) 12 e) 11

d) 48 e) 56 Los números 10, 11, 12, 13 y 14 tienen una curiosa propiedad:

x 6 2y+1 2 = = 2 y ∧ 2+3x x a) 2 b) 3 c) 4

47)

Si 4y = 9x y - x = 40; calcula x.

46) Calcula "x".

49) Calcula "x". 2 ( 4x ( = x(2x - 1) - 2 3

102+112+122 = 132+142

d) 5 e) 6

Calcula "x" en: 5x = 4y x(x + 2y) = (9 + y) (9 - y) a) 3 b) 3,5 c) 4

d) 5 e) 6

48) Calcula x-1. 4 -6 - 21 = x 2x

68

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


4to de Secundaria


Planteo de Ecuaciones Objetivos  Ejercitar la capacidad de comprensión de textos de diversa índole para su posterior simbolización.

por ejemplo: el lenguaje simbólico, el lenguaje cromático, el lenguaje gestual, el lenguaje matemático, el lenguaje textual, etc. Observa los siguientes gráficos: Indica que algo está correcto

 Relacionar e interpretar matemáticamente hechos cotidianos.

Preámbulo La comunicación es una actividad muy importante para la vida y desarrollo de todo ser, pues así se pueden transmitir situaciones de peligro, de hambre, de malestar, etc. Por ejemplo, los animales para poder comunicarse, han logrado desarrollar diferentes tipos de lenguaje, algunos tan sorprendentes y sofisticados como en el caso de los delfines o los murciélagos (que inclusive llevaron al hombre a inventar el radar). Estos animalitos emiten señales sonoras de alta frecuencia, imperceptibles al oído humano. Existen otros lenguajes, quizás más "sencillos" de comprender como es el caso del perro. Es sabido que al llegar a casa, él te recibirá "saludándote" (moviendo la colita). Ésta es una señal de afecto o también cuando en algún momento al acercarnos nos gruñe; ésta es una señal de incomidad. El ser humano, lógicamente, no esperaba esta característica; sin embargo él ha logrado desarrollar diferentes tipos de lenguajes, como

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Indica peligro

Indica silencio

Indica proceso correcto Indica que algo está incorrecto

Indica primeros auxilios

Indica servicios higiénicos masculino

Corresponden al lenguaje simbólico. Cuando caminamos por las calles y el semáforo está en verde para tí, indica que puedes cruzar la pista. Cuando vas a la playa y ves una bandera de color rojo, nos indica que el mar está demasiado agitado y por lo tanto no debes nadar. Éstos son ejemplos del LENGUAJE CROMÁTICO. Ahora estos ejemplos corresponden al LENGUAJE GESTUAL:


En el lenguaje matemático hacemos uso de los "números" (que en realidad son los numerales) y de algunas operaciones conocidas (suma: +; resta: - ; multiplicación: x, etc.). Observa los ejemplos: 7 + 3 x 25 ;

2-

25 3

2

En el lenguaje textual hacemos uso de las letras (que en realidad son grafemas) y las reglas gramaticales. Un ejemplo de este lenguaje es todo lo que has leído anteriormente. Todos estos ejemplos han sido vistos porque en el tema de hoy relacionaremos dos lenguajes: el matemático y el textual, interpretándolos de manera adecuada para la solución de problemas.

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¿Qué significa plantear una ecuación? En el presente capítulo nos va a interesar aprender a plantear correctamente los problemas de ecuaciones dados.

Para entender este tipo de situaciones debes tomarlo como si fuera un texto cualquiera. Quiere decir que debes leerlo pausadamente, respetando los signos de puntuación y analizando párrafo por párrafo. ¡Claro! Hay veces en las cuales pensamos que estos problemas son difíciles, pero esto ocurrre cuando encontramos palabras que no sabemos cuál es su interpretación matemática. ¡Vamos! No te sientas mal, todos al comienzo hemos pensado lo mismo, pero todo depende de ti, de tu fuerza de voluntad. Y recuerda que "los grandes hombres son los que hacen posible, lo que para otros es imposible".

Una frase u oración puede ser representada simbólicamente de una o varias maneras. El estudiante deberá actuar de acuerdo a los requerimientos de cada problema en particular. Sugerencias:  Lee detenidamente el texto del problema hasta comprender de qué se trata.  Ubica los datos y la pregunta.  Elige la(s) varible(s) con las cuales se va a trabajar.  Relaciona los datos con las variables para plantear una o más ecuaciones que al resolver nos den la solución al problema.

Plantear una ecuación es transformar enunciados, conjunto de oraciones o formas verbales o formas matemáticas o simbólicas. Ejemplo 1: Forma verbal

planteo

Forma matemática

(palabras y frases)

(constantes y variables)

Forma Verbal

Forma Simbólica

1) La edad de Einstein aumentada en 5.

1)

2) La suma de 3 números pares consecutivos es igual a 30.

2)

3) El número de caballos excede en 9 al número de cerdos.

3)

4) x es a n como 3 es a 7.

4)

5) El número de mujeres de una reunión es la quinta parte de los presentes.

5)

70


El triple de la suma de un número con 3 es 12. Calcula el triple de dicho número. Resolución: El número: n El triple de ... : 3 ( ) La suma de un número con 3: n + 3 Resumiendo:

3(n + 3)

Debería formalizarse así: 3(n + 3) = 12 →n+3=4 ∴ n=1 ∴Nuestra respuesta será: 3(1) = 3

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Ejemplo 2:

Ejemplo 4:

Una habitación rectangular tiene de largo tres veces su anchura, y su perímetro mide 28,80 m. Halla la anchura y el largo.

Si subo una escalera de 4 en 4 escalones doy 3 pasos más que subiendo de 5 en 5 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?

Resolución: Sea x el ancho.

Resolución:

x 3x Luego: x + x + 3x + 3x = perímetro x + x + 3x + 3x = 28,80 Resolviendo: 8x = 28,80 28,80 x= 8 x = 3,60 ∴ Luego la habitación tendrá 3,60 m de ancho y 10,80 m de largo. Ejemplo 3: El doble de mi edad, aumentado en su mitad, en sus 2/5, en sus 3/10 y en 40; suman 200 años. ¿Cuántos años tengo? Resolución: Mi edad: x Doble de mi edad: 2x Del enunciado obtenemos: 2x +

1 2 3 x+ x+ x +40 = 200 2 5 10

2x +

1 2 3 x+ x+ x = 160 2 5 10

Dando común denominador: 20x+5x+4x+3x = 160 10 32x = 160(10) 32x = 1600 x = 50 años ∴ Tengo 50 años.

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4

4

5 x

x

5

"x" Escalones

"x" Escalones

# de = x pasos 4

# de = x pasos 5

Segunda condición: ba - 9 = ab ... (II) Del dato (I) tenemos: 10a + b - 2a - 2b = a2 + b2 → 8a - b = a2 + b2 ... (I) Del dato (II) tenemos: 10b + a - 9 = 10a + b → 9b - 9a = 9 b - a = 1 ... (II) Resolvemos, reemplazando (II) en (I): 8a - a - 1 = a2 + a2 + 2a + 1 → 5a = 2a2 + 2 Resolviendo:

En el primer caso se dieron 3 pasos más que en el segundo caso, por lo tanto: x x - =3 4 5

a = 2; b = 3

Lo que piden calcular es: (23)2 (2 + 3) = 2645

Resolviendo: x = 60 ∴ La escalera tiene 60 escalones.

Ejemplo 5: Un número positivo menos el doble de la suma de sus cifras es igual a la suma de los cuadrados de estas dos cifras. Además, el número obtenido al permutar sus cifras, menos 9, da el número original. Entonces el producto del cuadrado de dicho número por la suma de sus cifras es:

Reto Expedición: Planeta K Dirige: Mayor P.N. Informe: "El tercer día vimos seres extraños, aunque tienen 20 dedos en total, como nosotros, pero tienen una extremidad menos y un dedo más en cada extremidad, lo que les da un aspecto espantoso". ¿Quién hace el informe?

Resolución: El número positivo: ab El doble de la suma de sus cifras: 2(a + b) La suma de los cuadrados de sus cifras: a2 + b2 Primera condición: ab - 2(a + b) = a2 + b2

... (I)

Número obtenido al permutar sus cifras: ba


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6) Si han transcurrido del día 5/7 de lo que falta transcurrir, ¿qué hora será dentro de 2 horas?

Nivel I 1) La suma de dos números es 872 y su diferencia 328. Halla el mayor de los números.

a) 480 b) 600 c) 720

d) 640 e) 680

2) La suma de dos números excede a 572 en 146. Si la diferencia de los números es 258, halla el número menor.

a) 180 b) 200 c) 220

d) 230 e) 240

3) Entre Juan y Claudia tienen S/. 76. Si el cociente que se obtiene al dividir lo que tiene Juan y lo de Claudia es 5 y aún a Juan le sobra 4, ¿cuánto tiene Claudia?

a) S/. 12 b) S/. 14 c) S/. 16

d) S/. 10 e) S/. 11

4) Un obrero y un capataz cobran por 48 días de trabajo S/. 1200. Si el jornal del capataz es el cuádruple del obrero, ¿cuánto cobrará el obrero por 14 días de trabajo?

a) S/. 110 b) S/. 120 c) S/. 70

d) S/. 100 e) S/. 60

5) Si han transcurrido del día 2 horas más de las que faltan transcurrir, ¿qué hora es?

a) 11 a.m. b) 12 m. c) 3 p.m.

72

d) 1 p.m. e) 10 a.m.

a) 4 p.m. b) 10 a.m. c) 11 a.m.

d) 12 p.m. e) 1 p.m.

7) Si ganase S/. 60 tendría el cuádruple de lo que me quedaría si perdiera S/. 75. ¿Cuánto tengo?

a) S/. 100 b) S/. 80 c) S/. 140

d) S/. 120 e) S/. 130

8) Si comprara 40 libros tendría entonces el quíntuple de lo que me quedaría si hubiera vendido tres, más 15 libros. ¿Cuántos libros tengo?

a) 8 b) 10 c) 12

d) 16 e) 21

9) ¿Cuál es el número cuyo óctuplo aumentado en 24 es tanto como su quíntuplo más 60?

a) 13 b) 12 c) 14

11) Tres veces el número de alumnos del 5.º año amentado en 50 nos da el doble del número de alumnos aumentado en 80. ¿Cuántos alumnos son?

a) 30 b) 38 c) 40

d) 50 e) 32

12) Juana reparte su fortuna a sus tres novios: al 1.º le da el doble de lo que le dio al 2.º y al 3.º $ 200 más que al 2.º. Si su fortuna fue de $ 2200, ¿cuánto le tocó al tercero?

a) $ 800 b) $ 600 c) $ 500

d) $ 700 e) $ 900

13) Un galgo da cuatro saltos recorriendo en cada salto 3 metros más que el salto anterior. Si el galgo recorrió un total de 38 m, ¿cuánto recorrió en el segundo salto?

a) 6 m b) 8 m c) 11 m

d) 14 m e) 17 m

d) 16 e) 17

10) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado tal que el doble de su perímetro, disminuido en 20, es igual al triple de su lado aumentado en 30?

a) 10 b) 12 c) 15

d) 25 e) 30


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14) En un ómnibus viajan el doble de adultos que de niños. Cada adulto pagó 8 soles y cada niño 3 soles. Si se recauda 228 soles en total, ¿cuántos niños viajan en el ómnibus?

a) 15 b) 24 c) 21

d) 18 e) 12

15) S e t i e n e n t r e s n ú m e r o s consecutivos. Si al cuádruple del intermedio le restamos el triple del mayor y a dicho resultado le agregamos el doble del menor resultaría igual a 100. Halla el mayor de ellos.

a) 36 b) 38 c) 35

d) 37 e) 34

16) Yo tengo el triple del dinero que tu tienes. Si restamos nuestro dinero obtenemos S/. 48. ¿Cuánto dinero tengo? a) S/. 24 b) S/. 72 c) S/. 48

d) S/. 16 e) S/. 50

17) La suma de tres números impares consecutivos es 195. Halla el término intermedio.

a) 69 b) 67 c) 63

d) 31 e) 65

18) La suma de cinco números pares consecutivos es 470. Halla la suma del número mayor con el menor.

a) 190 b) 188 c) 176

d) 196 e) 180

d) 18 e) 24

a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

21) ¿Qué hora es, si falta transcurrir dos veces más de lo ya transcurrido? a) 06:00 h b) 18:00 h c) 08:00 h

d) 16:00 h e) 10:00 h

22) La suma de dos números naturales es 15 y el producto de dichos números es 56. Calcula el mayor aumentado en su doble.

a) 24 b) 8 c) 16

d) 32 e) 42

23) Si me encontrara diez soles entonces me faltaría para comprarme una camisa de cien soles, el doble de lo que tengo. ¿Cuántos soles tengo?

a) 20 b)30 c) 40

d) 50 e) 60

24) Federico compra la mitad de un rollo de alambre menos 12 metros, Fernando compra un tercio del mismo rollo más 4 metros, con lo cual recibe 8 metros menos que Federico. ¿Cuántos metros compró Federico?

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a) 30 b) 21 c) 12

20) A una fiesta donde habían 40 hombres y 30 mujeres, llegaron cierto número de parejas, de modo que los 3/5 del número de hombres es igual a 1/3 de las personas presentes. ¿Cuál es el número de parejas presentes?

Nivel II

19) ¿Qué número disminuido en su tercera parte equivale al doble de 7?

a) 72 b)60 c) 64

25) El recíproco de cierto número aumentado en la mitad del número original es igual a la mitad de 3. Calcula dicho número.

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 6

26) Una botella llena de vino cuesta $ 24, pero si se extrae 250 cc vale solamente $ 18. ¿Cuál es la capacidad de la botella? (1000 cc <> 1 L)

a) 0,5 L b) 1 L c) 0,75 L

d) 1,25 L e) 0,25 L

27) Se tienen tres números enteros consecutivos. Si dividimos el menor entre 17, el intermedio entre 7 y el mayor entre 9, observamos que la suma de los dos primeros cocientes excede en 3 al tercer cociente que obtuvimos. ¿Cuál es el menor de los consecutivos?

a) 34 b) 32 c) 37

d) 35 e) 38

28) Se tienen tres números enteros consecutivos. Si dividimos el menor entre 2, el intermedio entre 5, y el mayor entre 8, observamos que la suma de los primeros cocientes excede en 8 al tercer cociente que obtuvimos. ¿Cuál es el menor de los consecutivos?

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

d) 70 e) 80


73


29) El denominador de una fracción excede al doble del numerador en 1. Si al numerador se le resta 4, entonces el valor de la fracción es 1/3. Halla la fracción.

a) 4/9 b) 12/19 c) 13/27

d) 7/9 e) 4/13

33) Para conocer el peso de un cachorro se hizo lo siguiente: I. Se pesó el cachorro con la mamá = x. II. Se pesó el cachorro con el papá = y. III. S e pesaron los dos padres juntos = z. El peso del cachorro es: x+y+z 2

d)

x-y-z 2

e)

x+y+z 3

30) La suma de la cifra de las decenas y la cifra de las unidades de un número de dos cifras es 7. Si el número aumentado en 8 se divide por el doble de la cifra de las decenas, obtenemos como cociente 6. Halla el número.

a)

b)

34) En un rebaño, el número de ovejas más bueyes es 30, el de bueyes más vacas es 50, el de vacas más cabras es 70 y el de vacas más ovejas es 40, entonces el número de bueyes más cabras es:

a) 52 b) 56 c) 58

d) 43 e) 41

Nivel III 31) Para saber la hora en que Juan entra a trabajar basta sumar a las horas que faltan para llegar a las 12 del mediodía, los 2/5 de lo que han transcurrido desde las 12 de la noche. Halla la hora de ingreso de Juan.

a) 8:30 a.m. b) 7:30 a.m. c) 9 a.m.

d) 10 a.m. e) N.A.

32) C u a n d o s e l e p r e g u n t a a Paquito cuántos hermanos tiene, responde así: "Tengo el mismo número de hermanas y de hermanos". Cuando se le pregunta a Mariquita cuántos hermanos tiene, responde así: "Tengo la mitad de hermanas que de hermanos, o lo que es lo mismo tengo el doble de hermanos que de hermanas". Si Paquito y Mariquita son hermanos, diga cuántos hermanos hay en cada sexo.

a) 5 y 3 b) 5 y 4 c) 4 y 3

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d) 3 y 5 e) N.A.

x+y-z 2 c) x-y+z 2

a) 30 b) 40 c) 50

d) 60 e) N.A.

35) Si María tiene S/. 5 más que Patty y ésta tiene S/. 2 más que Carmen, ¿qué cambios se deben hacer para que las tres tengan la misma cantidad de dinero? I. María debe darle S/. 5 a Carmen y S/. 1 a Patty. II. María debe darle S/. 3 a Carmen y S/. 1 a Patty.


d) F.D. e) N.A.

37) Compré el cuádruple de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5 animales más de cada clase, tendría el triple del número de caballos que de vacas. Halla la diferencia entre caballos y vacas.

a) 40 b) 10 c) 30

d) 25 e) 60

38) Calcula la suma de cuatro números consecutivos, tales que la tercera parte de la suma de los dos mayores sea 10 unidades menos que la suma de los dos primeros.

a) 9 b) 21 c) 42

d) 38 e) 19

39) Al preguntar un padre a su hijo cuánto había gastado de los 350 soles que le dio, éste respondió: He gastado las 3/4 partes de lo que no gasté. ¿Cuánto gastó?

a) S/. 200 b) S/. 150 c) S/. 20

d) S/. 330 e) S/. 250

40) Aldo le dice a Beto: "Préstame 30 soles para tener ambos la misma cantidad". Beto le responde: "Mejor págame los 10 soles que me debes y así tendré 9 veces lo que te queda". Entre ambos tienen:

a) 80 soles b) 120 soles c) 100 soles

d) 140 soles e) 60 soles

36) 140 excede al doble de un número en tanto como el triple de dicho número excede a su tercera parte. Halla los dos tercios de dicho número.

a) 20 b) 30 c) 15

d) 25 e) 35


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41) Si mueren los 2/7 de mis ovejas y compro 37 ovejas más, el número de las que tenía al principio queda aumentado en sus 3/8. ¿Cuántas ovejas tenía al principio?

a) 40 b) 36 c) 48

d) 56 e) 60

42) Un VHS cuesta 500 soles menos que un televisor. Si a la cuarta parte del precio del VHS se le aumenta 60 soles, se obtiene la quinta parte del precio del televisor. ¿Cuál es el precio del televisor?

a) 1800 b) 1300 c) 3700

d) 1850 e) 800

43) Dos comerciantes importan 6 docenas de chompas, el primero, y 4 docenas, el segundo. Una vez la mercadería en la aduana, se enteraron que tenían que pagar impuestos, como tenían poco dinero, el primero paga con cinco chompas más 114 soles y el segundo paga con 3 chompas más 126 soles. ¿Cuánto cuesta cada chompa?

a) S/. 136 b) S/. 130 c) S/. 138

d) S/. 140 e) S/. 150

44) Una vaca pesa 100 kg más 2/3 del peso de un carnero, y además el carnero pesa 20 kg más 1/12 del peso de la vaca. ¿Cuánto pesan los dos animales juntos?

a) 120 kg b) 130 kg c) 140 kg

d) 150 kg e) 160 kg

45) Un carpintero vendió 3 sillas más que mesas; pero tanto en las sillas como en las mesas obtuvo lo mismo. ¿Cuántos muebles vendió si las mesas cuestan S/. 360 más que las sillas y recaudó S/. 9600 total?

a) 8 b) 6 c) 5

46) Un hombre compró cierto número de libros por 400 soles. Si hubiera comprado 1/4 más del número de libros que compró por el mismo dinero, cada libro le habría costado 2 soles menos. ¿Cuántos libros compró y cuánto pagó por cada uno?

a) 40 y S/. 10 d) 40 y S/. 15 b) 30 y S/. 10 e) 40 y S/. 20 c) 30 y S/. 15

47) U n t e r r e n o t i e n e f o r m a rectangular. Si tuviera 5 metros más de largo y 5 metros más de ancho, su área se duplicaría. Si tuviera 3 metros menos de largo y 3 metros menos de ancho, el área disminuiría en 66 m2. Halla el área del terreno.

a) 120 m2 b) 150 m2 c) 135 m2

a) El día 9 a las 3 horas. b) El día 10 a las 3 horas. c) El día 8 a las 4 horas. d) El día 9 a las 5 horas. e) El día 8 a las 3 horas.

49) Un padre deja al morir a cada uno de sus hijos la suma de 333300 millones de soles pero muere uno de ellos y la parte de aquél se divide por igual entre los supervivientes, entonces cada uno recibe 388850 millones de soles. ¿Cuántos hijos vivos tiene dicho padre?

a) 5 b) 6 c) 7

a) 50 b) 55 c) 45

d) 60 e) 54

d) 175 m2 e) 165 m2

48) Averigua que día y hora del mes de abril se verifica que la fracción transcurrida del mes es igual a la fracción transcurrida del año si el año es bisiesto.

50) En 2 habitaciones hay un total de 90 focos, de los cuales hay un cierto número de focos prendidos. Luego se prenden tantos focos como el número de focos prendidos excede al de los apagados; resultando el número de focos prendidos el doble de los apagados. ¿Cuántos estaban prendidos inicialmente?

¿Cuánto cuesta uno? - Cien pesetas - contestó el empleado de la tienda. - ¿Y trece? - Doscientas pesetas - Si, entonces ¿quinientos trece...? - Pues claramente, trescientas pesetas, ¿los quiere? - Si, aqui tiene las trescientas pesetas. ¿Qué está comprando el cliente?

d) 8 e) 4

d) 12 e) 13

4to de Secundaria


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Edades nupcial después del séptimo y en el quinto año después de la boda le concedió un hijo. Pero ¡ay!, niño tardío y desgraciado, en camino de la medida de la vida de su padre, lo arrebató la helada tumba. Después de consolar su pena en cuatro años con esta ciencia del cálculo, llegó al término de su vida".

Objetivos  Utilizar las habilidades y capacidades para resolver los diferentes casos de ejercicios sobre edades.  Aplicar métodos prácticos para el planteo y resolución de los ejercicios de manera sencilla y rápida.  Hacer de manera adecuada, las tablas de doble entrada para la resolución de ejercicios sobre edades, donde intervengan dos o más sujetos.

OBSERVACIÓN: Epitafio: Inscripción puesta en una sepultura o escrita como si estuviera destinada a ello. DIOFANTO: (vivió alrededor del año 275) En una antología griega de problemas algebraicos en forma de Epigramas, se recoge el siguiente Epitafio: "Esta tumba contiene a Diofanto. ¡Oh gran maravilla! y la tumba dice con arte la medida de su vida. Dios hizo que fuera un niño una sexta parte de su vida. Añadiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba. Le encendió el fuego

76

En este capítulo se debe tener en cuenta que en los problemas intervendrán: sujetos, tiempos y edades. Sujetos: Son los protagonistas que generalmente son las personas y en algunos casos los animales, los árboles, entre otros. Tiempos: Es uno de los puntos más importantes, pues si se interpreta inadecuadamente el tiempo mencionado, se complicará la resolución del problema. -

- -

Presente: Tengo, tienes, tenemos, mi edad es, tú tienes, la suma de nuestras edades es, ...

En este capítulo desarrollaremos los problemas donde intervienen las edades de uno o más sujetos.

Consideraciones Generales 1) El tiempo transcurre igual para todos desde un mismo tiempo de referencia. Ejemplo 1: hace 6 años

Pasado Presente Futuro José

20

26

33

Cinthia

15

21

28

2) La diferencia de las edades de dos personas siempre permanece constante. Ejemplo 2: hace 5 años

Pasado: Tenía, tenías, hace 20 años, cuando él tenía, ... Futuro: Tendré, dentro de 5 años, cuando tú tengas, tendremos, ...

Edad: Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto. Se da generalmente en años, pero puede darse en días o meses.


dentro de 7 años

dentro de 8años

Pasado Presente Futuro Ricardo Jorge

13

18 12

Cuando Jorge nació, ¿cuántos años tenía Ricardo?

4to de Secundaria


Según el número de sujetos cuyas edades intervienen, los problemas de edades se pueden tipificar en dos: • Tipo I Cuando interviene la edad de un solo sujeto. -y

Hace "y" años

+x E Edad Actual

Dentro de "x" años

• Tipo II

Pasado

Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos. En éste caso es recomendable usar el siguiente cuadro: Tiempo Pasado Presente Futuro

S u j e t o s

A

A1

A2

A3

B

B1

B2

B3

E d a d e s

Tú

- Ahora sigo resolviendo el problema de atrás hacia adelante: "...yo tenía la edad que tú tienes" Pasado Yo

En las celdas correspondientes al tiempo, ¿siempre se deberá colocar presente, pasado y futuro?

Hace 13 años

Edad Actual

Dentro de 23 años

x

Tú

y

E-5=

E+4 →2E - 10 = E + 4 2 ∴ E = 14

Dentro de 10 años tendré 24 años.

4to de Secundaria

x

- Seguimos: "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías..." "Yo tengo el doble..."

Resolución: Hacemos uso de un cuadro en el que se establezcan los tiempos y los sujetos. Pasado

¿Cuál es mi edad? Supongo que es "E". Hace 5 años: E - 5 Edad que tendré dentro de 4 años: E+4 Entonces:

Presente

"Edad que tú tenías..."

Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. ¿Cuántos años tengo si la suma de nuestras edades actuales es 42 años?

Resolución:

x

Yo

Ejemplo 2 Hace 5 años tenía la mitad de los años que tendré dentro de 4 años. ¿Cuántos años tendré dentro de 10 años?

Presente

x

Pasado

Ejemplo 3 54 años

x

- Seguimos hacia adelante: "...edad que tú tenías cuando..." como no se conoce, uso otra variable.

A2 - A1 = B2 - B1 ...(I) A3 - A1 = B3 - B1 ...(II) A3 - A2 = B3 - B2 ...(III) Si Toledo actualmente tiene 54 años, ¿qué edad tuvo hace 13 años y qué edad tendrá dentro de 23 años?

Yo

Tú

Relaciones:

Ejemplo 1

Presente

Pasado

Presente

Yo

x

2y

Tú

y

x

Presente

Yo Tú

- Al leer el enunciado, puedo observar (en medio de toda esa confusión de palabras) que está referido a la edad que TÚ tienes. → Fijo la incógnita de manera apropiada, así: ..."que tú tienes"


Dato: La suma de nuestras edades actuales es 42 años. 2y + x = 42... (I) Además uso el método del aspa: Pasado

Presente

Yo

x

2y

Tú

y

x

x + x = y + 2y

77


2x = 3y → x = 3 y ...(II) 2 Reemplazo (II) en (I) 2y +

3 4y+3y y = 42 → = 42 2 2

→ 7y = 84 → y = 12 ∴ Si y = 12, entonces yo tengo: 2(12) = 24 años

Ejemplo 4 Las edades actuales de Lady y Sebastián están en la relación de 5 a 4, respectivamente. La edad que tendrá Sebastián dentro de 5 años es igual a la edad que tenía Lady hace 4 años. ¿Cuántos años tenía Lady cuando nació Sebastián? Resolución: Ya que las edades son proporcionales a 5 y 4, tenemos: Edad Lady (L) 5 → L = 5k = S = 4k Edad Sebastián (S) 4

* Otro tipo de problema. Nota: Para resolver éste tipo de problemas debes tener presente que: 1. Cuando una persona ya cumplió años, se cumple:

Nivel I 1) Cuando César tenga 19 años, Andrea tendrá 14 años. ¿Cuál será la edad de César, cuando Andrea tenga 22 años?

Año de Edad Año + = nacimiento actual actual 2. Cuando una persona aún no cumple años, se cumple: Año de Edad Año + = -1 nacimiento actual actual

4k + 5 = 5k - 4 → k = 9 L = 5(9) = 45 S = 4(9) = 36 Eso quiere decir que Lady es mayor que Sebastián en: 45 - 36 = 9 años ∴ Cuando nació Sebastián, Lady tenía 9 años.

Ejemplo 5 A una persona, en el año 1965, se le preguntó por su edad y contestó: "Tengo, en años, las dos terceras partes del número que forman las dos últimas cifras del año de mi nacimiento". Halla la suma de las cifras de su edad en dicho año.

Planteando los datos obtenemos: Año de nacimiento

En 1965 edad:

19ab

2 (ab) años 3

1965 =






5) La diferencia de las edades de Carmen y Amelia es tres años actualmente. ¿Cuál será la diferencia de sus edades dentro de 17 años?

2 (39) = 26 años 3 La suma de cifras de su edad es: ∴2+6=8


4) En el momento que Felipe tenga 31 años, Andrés tendrá 22 años. ¿Cuál es la edad actual de Andrés si Felipe hace dos años tenía 11 años de edad?

Luego planteamos: 2 (ab)+ 19ab 3 2 1965 = 1900 + ab + 3 (ab) 5 65 = (ab) → ab = 39 3


3) Cuando Silvia tenga 22 años, Maritza tendrá 29. ¿Cuál es la edad actual de Silvia si Maritza tiene ahora 20 años?

Entonces la edad de la persona es:

78


2) Dentro de siete años Jorge tendrá 27 años. ¿Cuál era su edad hace siete años?

Resolución: Reemplazamos de acuerdo a los datos:




4to de Secundaria


6) Pepe es mayor que Coco por cinco años. ¿En cuántos años será menor Coco que Pepe, dentro de 25 años?

a) 25 b) 20 c) 15

d) 10 e) 5

7) La suma de las edades actuales de Esteban y Manuel es 26 años. Si la diferencia de las mismas es dos años, ¿cuál es la edad del mayor?



8) En el problema anterior, ¿cuál será la edad del menor dentro de ocho años?



9) Rosario es mayor que Carolina por cuatro años. Si la suma de sus edades actuales es 52 años, ¿cuál es la edad de Rosario?



10) Hace cuatro años la suma de las edades de dos señoritas era 38 años. Actualmente, ¿cuál es la suma de sus edades?



17) Un padre le dice a su hijo: "Hace 8 años mi edad era el cuádruplo de la edad que tú tenías, pero dentro de 8 años sólo será el doble". ¿Qué edad tiene el hijo?


4to de Secundaria





13) La edad de Sara es el triple de la edad de Ángel y dentro de 5 años ambas edades sumarán 46 años. En la actualidad Ángel tiene:

18) Dentro de 5 años, tú tendrás la edad que ahora tengo. ¿Qué edad tendrá cuando mi edad y tu edad sean proporcionales a 13 y 8?



14) Según el gráfico: Pasado Presente Futuro Rommel

12

3x

40

Alex

x

24

y

halla "x" e "y"

a) 27 y 30 b) 27 y 37 c) 8 y 35

d) 9 y 37 e) 9 y 18

15) Juan tiene 42 años y Pedro 18. ¿Hace cuántos años la edad de Juan fue nueve veces la edad que tuvo Pedro en ese entonces?


11) La suma de las edades de José, Pedro y César es 42 años. ¿Cuál será la suma de edades dentro de siete años?

12) La edad de William es el doble de la edad de María Belén y hace 12 años la suma de sus edades era 30 años. Entonces María Belén tiene actualmente:

a) 12 b) 14 c) 15

d) 10 e) 11


19) José tiene 24 años, y su edad es el séxtuplo de la edad que tenía Flor cuando José tenía la tercera parte de la edad que tiene Flor. ¿Qué edad tiene Flor?



20) Pedrito es 12 años menor que Susana. Hace 4 años ella era 3 veces mayor que él. ¿Qué edades tienen ahora?

a) 10 y 22 b) 20 y 8 c) 30 y 18

d) 18 y 36 e) 24 y 12

21) Hace 10 años la edad de A era el doble de la edad de B. Actualmente sus edades suman 56 años. ¿Cuál es la edad actual de B?

Nivel II




16) La suma de las edades actuales de 2 profesoras es 47 años, dentro de 4 años la mayor tendrá el doble de la edad que tenía la menor hace 6 años. Halla la edad actual de la mayor.

22) La señora Angela tuvo a los 27 años 2 hijos mellizos; hoy las edades de los tres suman 63 años. ¿Qué edad tendrán los mellizos dentro de 3 años?






79


23) Juana tuvo una hija a los 20 años y una nieta 24 años después, cuando la nieta tenía 11 años la abuela decía tener 45 y la hija 30. ¿Cuál es la suma de los años que ocultan ambas?



24) Hace 7 años tenía x años, y dentro de 5 años tendré lo que tenía hace 9 años más la edad que tenía hace 5. Halla x.

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

28) Un hombre nacido en la primera mitad del siglo XIX tenía x años en el año x2. Luego él nació en:

a) 1849 b) 1825 c) 1812

d) 1836 e) 1806

29) Un padre tiene "a" años y su hijo "b" años. ¿Dentro de cuántos años la relación de sus edades será como 5 es a 4?

a) 4a - 5b b) 9ab c) 9(a + b)

d) 5a - 4b e) 3a - 2b

25) Pepe tiene 30 años y su edad es el triple de la edad que Pepa tenía cuando Pepe tenía la edad que Pepa tiene. ¿Cuántos años tiene Pepa?

30) A Paco le preguntaron su edad y él responde: "Tomen 3 veces los años que tendré dentro de 3 años y réstenle 3 veces los años que tenía hace 3 años y resultará los años que tengo". ¿Cuál es su edad actual?



26) Hace 6 años la edad de Roberto era 4 veces la edad de Pablo. Halla sus edades actuales, sabiendo que dentro de cuatro años Roberto tendrá 2 veces la edad de Pablo.

a) 16 y 25 años d) 11 y 26 años b) 26 y 12 años e) 13 y 23 años c) 16 y 28 años

27) Un padre le dice a su hijo: "Ahora tu edad es la quinta parte de la mía, pero hace 5 años era la novena parte". ¿Qué edad tiene el padre?

a) 40 b) 60 c) 50

d) 70 e) 80


31) ¿Cuántos años tiene una persona, sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 5 años más la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años suman 11?



32) Una persona tiene en 1988 tantos años como el producto de las 2 últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma de cifras de su edad? a) 4 b) 5 c) 6

d) 8 e) 10




34) Hace 6 años la edad de Roberto era 4 veces la edad de Pablo. Halla sus edades actuales, sabiendo que dentro de cuatro años Roberto tendrá 2 veces la edad de Pablo.

a) 16 y 25 b) 26 y 12 c) 16 y 28

d) 11 y 26 e) 13 y 23

35) Richard le dice a Carito: "Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando transcurra el doble de aquel entonces al presente, nuestras edades sumarán 108 años". ¿Qué edad tiene Richard?

Nivel III

80


33) Las edades de un padre y su hijo son tales que el cociente es 4. Si dentro de 8 años el cociente será 5/2, hallar la edad del padre dentro de 10 años.



36) En el año 1969, Aldo cumplió tantos años como lo indicaba la mitad del número formado por las 2 últimas cifras del año de us nacimento. Halla su edad en esa fecha.



37) Hace 12 años las edades de 2 hermanos estaban en la relación de 4 a 3. Si actualmente sus edades suman 59 años, ¿dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 8 a 7?



4to de Secundaria


38) Pedro tendrá P 2 años dentro de 12 años a partir de la fecha. ¿Cuántos años tuvo hace 13 años?

a) P2 + 25 d) P2 - 1 2 b) P + 1 e) P2 - 5 c) (P + 5)(P - 5)

39) Un padre tiene "a" años y su hijo "b" años. ¿Dentro de cuántos años la relación de sus edades será como 5 es a 4?

a) 4a - 5b b) 9ab c) 9(a + b)

d) 5a - 4b e) 3a - 2b

40) Determina la edad que cumplirá una persona en 1995, sabiendo que es igual a la suma de las cifras del año de su nacimiento.



41) Juan le dijo a Pedro: "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63 años". Halla la suma de las edades actuales de ambos.



43) Mi edad es el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63. Podemos afirmar que: I. El mayor tiene 26 años. II. El menor tiene 14 años. III. La diferencia de edades es 7.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III

d) II y III e) I y III


49) Al preguntar la edad de Vanesa, ella respondió: "Si al año en que cumplí los 15 años le suman el año en que cumplí los 26, y le restan la suma del año en que nací y el actual, obtienen 12". La suma de las cifras de la edad de Vanesa es:



45) En el mes de agosto una persona sumó a los años que tiene los meses que ha vivido y obtuvo 226. ¿En qué mes nació dicha persona?

a) Enero b) Febrero c) Marzo

d) Agosto e) Mayo

4to de Secundaria


48) A, B y C tienen 40, 16 y 4 años, respectivamente. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que esas edades formen una progresión geométrica continua?

42) Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 54. ¿Qué edad tengo? d) 28 años e) 30 años

44) Las edades de mi primo mayor y el primo menor viene representadas por dos números que tienen las mismas cifras, pero en orden inverso. Si hace un año mi primo mayor tenía el doble de la edad de mi primo menor, ¿cuántos años tengo si lo mismo que me lleva en edad mi primo mayor yo le llevo al menor?

46) "Cuando tú tengas la edad que yo tengo, tendrás lo que él tenía cuando yo tenía lo que tú tienes, y el tendrá lo que tú y yo tenemos. Se escucha decir a uno de tres hermanos, cuyas edades actuales suman 63 años. El que comenta lo anterior, ¿qué edad tiene?"


47) Las edades de 3 hermanos son menores que 10. Si a cien veces la edad del primero se le suma 10 veces la edad del segundo y a este resultado se le suma la edad del tercero aumentado en 7, se obtiene al final 950 años. Halla las edades y da como respuesta la suma de ellas.





a) 9 b) 10 c) 11


d) 6 e) 12

50) En 1932 yo tenía tantos años como expresan las dos últimas cifras del año de mi nacimiento. Al poner en conocimiento de mi abuelo esta coincidencia, me dijo que con su edad ocurría lo mismo. ¿Cuántos años tenía cada uno de ellos?

a) 18 y 72 años b) 16 y 66 años c) 16 y 72 años d) 18 y 81 años e) 18 y 80 años

81


Repaso 5) En una feria agropecuaria por 3 patos me dan 2 pollos; por 4 pollos me dan 3 gallinas y por 12 gallinas me dan 8 monos. Si 5 monos cuestan 150 soles, ¿cuánto me costará adquirir 5 patos?

Nivel I * Halla el valor de la incógnita. 1) ? ÷3= +1= (

a) 6 b) 12 c) 18 2) ? x5= +5= (

a) -2 b) -4 c) -6

÷5=

+9= 2

(=

16

d) 24 e) 30

2

(=

9

d) -8 e) -10

a) 46 b) 48 c) 44

d) 47 e) 45

4) Si a mi propina se le multiplica por 3, se le divide entre 6, al cociente se le aumenta 4 y finalmente se le divide entre 5, se obtiene 2. ¿Cuánto es mi propina?

a) 14 b) 10 c) 13

82

d) 11 e) 12

a) 24 b) 18 c) 16

d) 28 e) 32

7) A una obra de teatro asistieron 160 personas. Las damas pagaron S/. 12 y los caballeros S/. 15. Si finalmente se recaudó S/. 2178, ¿cuántas damas asistieron?

3) A cierto número se le aumenta 3, se le extrae la raíz cuadrada, se le multiplica por 8 y se le disminuye 5, obteniendo así 51. ¿Cuál es el número?

d) S/. 60 e) S/. 75

6) Hace algunos años por 5 melocotones daban 8 melones, por 9 melones daban 4 manzanas, por 3 naranjas daban 2 manzanas y por 6 plátanos daban 10 naranjas. ¿Cuántos plátanos darán por 50 melocotones?

÷3=

+4=

a) S/. 40 b) S/. 50 c) S/. 55

a) 66 b) 86 c) 84

9) Una empresa tiene una flota de 22 camiones, unos de 4 ruedas y otros de 6 ruedas. Si en total se cuentan 108 ruedas, ¿cuántos camiones de 4 ruedas hay?

a) 12 b) 10 c) 15

d) 8 e) 14

10) Si compro 12 polos me sobrarían S/. 30, pero si deseo comprar 17 polos me faltarían S/. 20. ¿Cuál es el costo de cada polo?

a) S/. 5 b) S/. 10 c) S/. 15

d) S/. 20 e) S/. 30

11) Si entrego 6 caramelos a cada alumno me sobrarían 30 caramelos, pero si siquiera darles 9 a cada uno me faltarían 60 caramelos. ¿Cuántos alumnos tengo?

a) 30 b) 25 c) 20

d) 40 e) 35

d) 85 e) 74

8) Ricardo tiene 61 monedas de S/. 5 y de S/. 2. Si paga una deuda de S/. 223, ¿cuántas monedas de S/. 5 tenía?

a) 37 b) 35 c) 34

d) 36 e) 29


4to de Secundaria


12) Resuelve: 5(x+1) + 3(x-2)= 3(3x-2)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

13) Resuelve: 3(x-4)+5(x-2) = 2(x-6)-4(5-x)

a) -5 b) -3 c) 2

d) 4 e) 6

14) Resuelve: 3x + 2y = 18 x - y = -4 a) x = 2 y = 2

d) x = 4 y=3

b) x = 3 y = 6

e) x = 5 y=2

c) x = 2 y = 6

15) Diana al comprar 8 manzanas le sobran S/. 25, pero si compra 10 manzanas le sobran S/. 15. ¿Cuánto dinero tiene Diana?

a) S/. 65 b) S/. 165 c) S/. 145

d) S/. 175 e) S/. 155

17) Tres jugadores P, Q y R están jugando a los naipes y convienen que el perdedor de cada juego duplicará el dinero de los otros dos. Si pierden cada uno en orden alfabético quedando con 40, 80 y 120 soles, respectivamente, ¿cuánto ganó o perdió el jugador P?

18) De un recipiente lleno de agua, se extraen 12 L, luego se derrama la mitad del líquido, enseguida se agregan 11 L y finalmente se consume la mitad de lo que sobraba. Si al final quedan 18 L, ¿cuál es la capacidad del recipiente?

a) 50 L b) 60 L c) 62 L

d) 64 L e) 72 L

19) Una piscina se ha estado desaguando durante ocho días, hasta que solamente ha quedado en ella 1 galón de agua. Si en cada día se extraía la mitad de lo que había más 2 galones, ¿cuántos galones de agua tenía la piscina al empezar a desaguar?

Nivel II

a) Ganó S/. 75 b) Perdió S/. 75 c) Perdió S/. 85 d) Ganó S/. 85 e) Ganó S/. 45

a) 1194 b) 1348 c) 1356

d) 1250 e) 1276

16) Un número se multiplica por 3, al resultado se le extrae la raíz cuadrada, al resultado se le suma 5 y por último se resta 11 obteniéndose cero. El número inicial era:

• Si entrego cinco caramelos a cada alumno me sobrarían 47 caramelos, pero si les quiero entregar un caramelo más, al último sólo le podría dar 3 carmelos.

20) ¿Entre cuántos alumnos quiero repartir los caramelos?

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

4to de Secundaria

a) 45 b) 48 c) 50

21) ¿Cuántos caramelos tengo?

a)285 b) 292 c) 295

d) 297 e) 303

22) Si acomodo 4 alumnos por carpeta, 8 alumnos se quedarían parados; pero si acomodo 5 alumnos por carpeta, una de ellas quedaría libre. ¿Cuántas carpetas hay?

a)11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

• Si sabemos que: - 5 plátanos <> 7 mangos - 12 naranjas <> 21 toronjas - 4 melones <> 3 papayas - 2 plátanos <> 5 duraznos - 6 naranjas <> 4 mangos - 3 duraznos <> 1 melón

23) Si cada plátano cuesta 70 céntimos, ¿cuánto debo pagar por 2 mangos y 6 naranjas?

a) S/. 2, 5 b) S/. 2,75 c) S/. 2,90

d) S/. 3 e) S/. 4

24) Si cada melón cuesta S/. 2,4, ¿cuánto debo pagar por una papaya y un durazno?

a) S/. 4 b) S/. 3 c) S/. 5

d) S/. 3,6 e) S/. 4,2

d) 51 e) 54


83


25) A un curioso niño se le ocurrió contar todos los pentágonos (5 lados) y todos los triángulos (3 lados) que había redibujado en un folleto de geometría, resultando 600. Si además se le ocurrió contar todos los lados de estas figuras, obteniendo un total de 2340 lados, ¿cuántos triángulos más que pentágonos había en dicho folleto?

a) 60 b) 70 c) 80

a) 20 b) 120 c) 80

d) 40 e) 60

27) Se compraron 90 kg de azúcar, entre rubia y blanca. Si el precio del azúcar blanca es S/. 3 el kilo, mientras que el azúcar rubia cuesta S/. 1 el kilo y en total se pagaron S/. 240, ¿cuánto se hubiera pagado si se hubiera pagado el doble de kilogramos de azúcar rubia y la misma cantidad de kilos de azúcar blanca?

a) S/. 255 b) S/. 250 c) S/. 245

d) S/. 265 e) S/. 260

28) En un examen de R.M. por cada respuesta acertada se obtiene 4 puntos, por cada pregunta en blanco se pierde 1 punto y por cada respuesta incorrecta se pierde 3 puntos. Si Luchito en un examen de 60 preguntas obtuvo 43 puntos y además el número de respuestas acertadas fue el doble del número de respuestas incorrectas, ¿cuántas preguntas no contestó?

a) 15 b) 20 c) 22

84

a) 28 b) 30 c) 32

d) 24 e) 25

d) 36 e) N.A.

30) Halla x en:

d) 68 e) 100

26) En un corral hay pollos y conejos. Un niño que pasaba de visita contó en total 80 ojos y 140 patas de animales. ¿Cuántas patas de conejo hay en total?

29) Resuelve y da el valor de "x", en: x x x + = + 19 3 2 5

11x+4 - 2 = 22 2

a) 6 b) 4 c) 2

31) Cuatro jugadores "A", "B", "C" y "D" convienen en que cada partida el perdedor doble el dinero de los otros tres. Ellos pierden cada uno una partida en el orden indicado por sus nombres, después de lo cual ellos tienen cada uno S/. 48. ¿Cuánto tenía cada uno al principio del juego? a) 30, 45, 99, 27 b) 54, 15, 24, 51 c) 24, 99, 120, 60 d) 108, 27, 48, 51 e) 99, 51, 27, 15

32) Martha que tiene el hábito de lavarse la cabeza diariamente utiliza la misma cantidad de champú. Después de 15 días observa que ha consumido la cuarta parte del frasco. Veinte días más tarde observa que aún le quedan 50 centímetros cúbicos. ¿Cuántos centímetros cúbicos de champú consume diariamente en cada lavado de cabeza?

a) 2 b) 4 c) 8

a) S/. 300 b) S/. 350 c) S/. 375

d) 390 e) 410

d) 1 e) 0

Nivel III

33) Cada vez que Luis visita a su tía ésta le duplica el dinero que él lleva. El sobrino siempre agradece con S/. 400 la bondad de su tía. Un día Luis queriendo ganar más dinero, realizó cuatro visitas sucesivas a la bondadosa tía; pero tal fue la sorpresa de Luis que al cabo de la cuarta visita se quedó sin un sol. ¿Cuánto llevaba Luis al empezar las visitas?

34) El agua contenida en una piscina se ha estado vaciando durante cuatro días, hasta que solamente ha quedado 10 litros de agua. Si en cada día se extraía la mitad de lo que había el día anterior, más 10 litros, ¿cuál fue el volumen de agua inicial en la piscina?

a) 450 L b) 460 L c) 600 L

d) 640 L e) 84 L

35) Un ómnibus en uno de sus recorridos recaudó S/. 200, habiendo gastado 120 boletos y además cada pasaje entero cuesta S/. 2 y cada medio pasaje S/. 1. Averigua cuántos de los pasajeros eran universitarios si éstos superan en 8 a la cantidad de niños.

a) 40 b) 48 c) 24

d) 26 e) 20

d) 5 e) 7


4to de Secundaria


36) En un examen de Razonamiento Matemático un alumno gana 5 puntos por respuesta correcta, pero pierde 7 puntos por cada equivocación. Si después de haber contestado 50 preguntas obtiene 22 puntos, ¿cuántas equivocaciones tuvo?

40) Si cada foto de Pareja se valoriza en S/. 5, ¿en cuánto se debe valorizar la de Medrano?

41) Se sabe que 5 botellas de cerveza cuestan lo mismo que 2 botellas de vino, 2 botellas de whisky cuestan tanto como 12 botellas de ron y 5 botellas de vino igual que 1 botella de whisky. ¿Cuántas botellas de ron se pueden comprar con 25 botellas de cerveza?

d) 15 e) 19

37) Un litro de leche pura pesa 1032 g. Si se tiene 5,5 litros de leche adulterada cuyo peso es de 5628 g, luego podemos afirmar que: I. Un litro de agua pesa 1 kilo. II. En la mezcla hay 1,5 litros de agua. III. En la mezcla, la leche y el agua están en relación de 8 a 3.

a) Sólo II b) Sólo III c) I y II

d) II y III e) Todas

Se tomaron fotos a los profesores de R.M. para entregarlos como recuerdo a los alumnos de 4.º año, lamentablemente los alumnos comenzaron a intercambiarlas de la siguiente manera: - Por 5 fotos de Medrano daban 3 de Wilkins. - Por 3 fotos de Valverde daban 14 de López. - Por 7 fotos de Wilkins daban 12 de Valverde. - Por 6 fotos de Pareja daban 10 de López.

a) S/. 11 b) S/. 14,4 c) S/. 12,8

a) 10 b) 12 c) 15

d) S/. 11,8 e) S/. 13,6

d) 18 e) 20

42) Si por 18 chapitas de Inca Kola se canjea un polo, además 2 polos valen lo mismo que un maletín, entonces un maletín se puede canjear con cuántas chapitas de Inca Kola:

a) 32 b) 36 c) 40

d) 42 e) 28

43) Gino al comprar 12 camisas le faltan S/. 45, pero si compra 10 camisas sólo le faltarían S/. 15. ¿Cuánto dinero tiene Gino?

a) S/. 135 b) S/. 125 c) S/. 145

d) S/. 155 e) S/. 115

38) Si tengo 24 fotos de López, ¿cuántas de Wilkins puedo obtener?

44) Un carpintero pensó comprar 12 martillos, pero observó que le faltarían S/. 60. Sin embargo, si compraba 9 martillos, sólo le hubiese faltado S/. 12. ¿Cuánto dinero tiene el carpintero?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

39) Si tengo 72 fotos de Pareja, ¿cuántas de Medrano puedo obtener?

a) 28 b) 31 c) 25

d) 35 e) 36

4to de Secundaria

a) S/. 270 b) S/. 242 c) S/. 262

d) S/. 224 e) S/. 263

46) Se realizó una colecta para obsequiarle una blusa a una alumna el día de su cumpleaños. Si cada alumno colabora con S/. 8 sobrarían S/. 6, pero si cada uno de ellos diera S/. 6 faltarían S/. 12. ¿Cuánto cuesta la blusa?

a) S/. 65 b) S/. 66 c) S/. 67

d) S/. 68 e) S/. 69

47) Después de resolver, indica el valor de "x2" en: 2x-1 3x+2 + =7 2 4

a) 4 b) 16 c) 17

d) 18 e) 20

48) Resuelve: x-1 x-3 =0 2 3

a) -1 b) -2 c) -3

d) -4 e) N.A.

49) Calcula "x". 4x 2 ( 3 = x(2x - 1)-2

(

a) 30 b) 45 c) 18

a) S/. 152 b) S/. 148 c) S/. 132


d) 5 e) 6

50) Resuelve: 1

d) S/. 128 e) S/. 144

45) Para ganar S/. 28 en la rifa de un minicomponente se hicieron 90 boletos. Vendiéndose únicamente 75, origina una pérdida de S/. 17, entonces el valor del minicomponente es:

a) 2 b) 3 c) 4

3+

5

1 x3 a) 4/3 b) 2/3 c) 8/10

=

1 5 2 1 + 5 15 d) 10/3 e) 4/5

3+

85


Relojes Objetivos  B r i n d a r a l e s t u d i a n t e las pautas teóricas para reconocer y resolver ejercicios sobre relojes.  D a r a c o n o c e r a l o s estudiantes las diferentes técnicas usadas en la resolución de ejercicios referente a relojes.  Aplicar a situaciones reales de la vida diaria referente a la medición del tiempo.

Un reloj de manecillas tiene 12 divisiones mayores que indican las horas, cada una de las cuales está dividida en cinco divisiones menores, las cuales hacen un total de 12 x 5 = 60 divisiones menores en toda la circunferencia que indican los minutos. Por otro lado, se conoce que toda la circunferencia del reloj tiene 360º. Del análisis anterior, tenemos las siguientes equivalencias:

En este capítulo analizaremos problemas derivados de la relación que existe entre la hora que marca el reloj y el ángulo formado por las manecillas del reloj (minutero y horario). DIVISIONES DE UN RELOJ

11

12

1 2

10 9

Las equivalencias anteriores indican lo siguiente: → Si el minutero de un reloj recorre una división, transcurre un minuto y ha barrido un ángulo de 6º.

4 7

6

5

→ A las 6h 30 min, la hora de referencia será las 6 en punto. → A las 4h 20 min, la hora de referencia será las 4 en punto. ÁNGULO FORMADO POR LAS MANECILLAS DEL RELOJ A UNA HORA DETERMINADA Ejemplo 1: ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 6:20 a.m.? 12

9

3

RELACIÓN DE LOS RECORRIDOS DEL HORARIO Y EL MINUTERO En una hora el minutero da una vuelta entera, es decir, recorre 60 divisiones, mientras que el horario recorre solamente 5 divisiones, osea la doceava parte de lo que recorre el minutero. minutero

3 8

Por ejemplo:

60 divisiones<>60 minutos<>360º 1 división <> 1 minuto <> 6º

Ángulos determinados por las agujas de un reloj

Hora referencial: Dada una hora cualquiera, la hora referencial será la hora exacta anterior a dicha hora.

1 hora 1 min

360º 6º

horario 30º 1/2º

6

Hora referencial

11

12

1 2

10 9

3

a

4

8 7

6

5

6:20 a.m.

86


4to de Secundaria


Análisis:

Ejemplo 2:

En 20 minutos, el minutero avanzó: 6º x 20 = 120º

¿Qué ángulo forman las manecillas del reloj a las 7h 50 min?

12

11

1 2

10

3

9

En 20 minutos, el horario avanzó: 1º x 20 = 10º 2

12

11

7

1

3

1

7

6

2

10

120º

9

3

7

Combinando ambos tenemos:

11

5

6

Minutero

12

2 a

9

6

8

7

7

6

¿Cuál es la relación para determinar "a"?

7:50

4 5

6

4 5

5

3 10º

3

4 7

2

2

8 3

8

1

10

1

9

1

10 9

12

12

10 11

11

5

Hora referencial

4

8

Horario

4

8

12

5

6

2

10 9

11

4

8

Análisis:

_________________ a= _______

En 50 minutos, el minutero avanzó:

Mediante el procedimiento anteriormente descrito se puede demostrar que el ángulo formado por las manecillas del reloj a las H horas y M minutos, es:

Horario Relación para hallar "a": 180º + 10º = 120º + a ⇒ a = 70º

_________________________ En 50 minutos, el horario avanzó:

11

12

10

120º

9 8

7

6

2 3

a

10º

__________________________

1

4 5

6:20

11

12

a) Cuando el horario adelanta al minutero: a = 30H - 11M ...(I) 2

1 2

10 9

3

b) Cuando el minutero adelanta al horario:

4

8 7

6

5

a = 11 M -30H ...(II) 2

Minutero

4to de Secundaria


87


Ejemplos usando las fórmulas anteriores: Indica que ángulo forman las manecillas del reloj a las: a) 3h 26 min

POSICIONES PARTICULARES ENTRE LAS MANECILLAS → Superpuestas → a = __________ → Opuestas

→ a = __________

→ Perpendiculares→ a =_________

11

12

⇒ M = _________________ ¿Es la única solución? No. Hay otra solución.

Ejemplos:

1 2

10

¿Qué fórmula debería usar? I o II

9

11

7

12

11

7

3 4

8

______________________________

7

6

5

II

M = ________ H = __________

¿Quién adelanta a quién? _____________________________ a = _______________ ;


H = ________________

=

a = _______________ ; H = ________________

Es decir que uso la: o

6

5

2

9

¿Quién adelanta a quién?

a = ________

4

1

10

I

3 8

5

6

2

9

4

8

1

10

1. ¿A qué hora entre las 7 y 8 p.m. las agujas están opuestas?

3

12

⇒ M = _________________

¿Quién adelanta a quién? _____________________________ b) 7h 20 min


11

12

⇒ M = _________________

1

10

Ejemplo 1:

2

9

2. ¿A qué hora entre las 5 y las 6 las agujas son perpendiculares?

3 4

8 7

12

5

6

11

______________________________

9

3 4

8 6

5

=

9

h

a = _______________ ; H = ________________

a a

3 m 4

8 7

II

M = ________ H = __________ a = ________

1 2

7

Es decir que uso la: o

12

10

¿Quién adelanta a quién?

I

¿Qué hora es. Según el gráfico adjunto?

5 6

a) 7h 24 2/3 d) 7h 23 1/13 b) 7h 24 1/13 e) 7h 24 3/13 c) 7h 23 2/13

¿Quién adelanta a quién? _____________________________

88


4to de Secundaria


Resolución:

Ejemplo 3

Resolución:

Un reloj tiene un atraso de 2 minutos cada 3 horas. ¿Cuánto se atrasará en 1 día?

12

m

1

. div 4

8 m 7 12

2a

5 5div.

3

Resolución: m div.

a a

12

a

5div.

3

30 div.

9

2m

7

6

Se resolverá el problema, empleando la "regla de tres". Tiempo 3 horas 1 día = 24 horas

6

x=

m = 23

m +5 12

5-

1 1 <>23 minutos 3 3

m = a ... (II) 12

Para el minutero Luego la hora será: 7h 23

1 min 3 Rpta.: d

Un reloj se atrasa 3 minutos cada hora y al cabo de 6 horas, luego de sincronizarlo con la hora correcta marca las 8:17. ¿Cuál será la hora correcta?

De (I) y (II) 2 2 div. <> 34 min 7 7 luego la hora será: 2h 34 2 7 Rpta.: a

Adelantos y atrasos En aquellas situaciones donde se encuentran relojes malogrados debemos considerar:

Ejemplo 2: ¿Qué hora indica el reloj de la figura?

+ATRASO

-ADELANTO

TOTAL

TOTAL

12 1

Hora indicada por un reloj atrasado

2 h

9

a

3

d) 2h 33 5/7 e) 2h 32 1/7

4to de Secundaria

-Atraso

+Adelanto

Total

Total

Hora real = Hora adelantada - adelanto

d) 9:12 e) 10:01

Resolución: En 1 hora

se atrasa

En 6 horas

se atrasará

3 minutos x

Por regla de 3 simple directa: 6x3 min =18 min (Atraso total) 1

Hora ⇒ correcta = 8:17 + 18 = 8:35 (Real) Rpta.: c

Hora real = Hora atrasada + atraso

Hora marcada

6

Hora indicada por un reloj adelantado

Hora Real

a) 8:25 b) 8:42 c) 8:35

x=

m 2a

a) 2h 34 2/7 b) 2h 33 4/7 c) 2h 34 3/7

24 .2 = 16 minutos 3

Ejemplo 4:

m = 34

7

2 minutos x

m - 30 = 2a ...(I)

Del esquema: a = 30 - m =

Atraso

Hora = Hora - Atraso atrasada real total Hora = Hora + Adelanto adelantada real


89


11) ¿A qué hora entre las 5 y 6 las agujas de un reloj determinan un ángulo de 90º?

Nivel I Determina en cada caso, cuánto mide el ángulo determinado por las agujas de un reloj cuando éste marque: 1) 4:00 p.m.

Rpta.:

12) Un reloj se atrasa 6 minutos cada 8 horas, ¿cuál será su atraso en un día?

2) 5:40 p.m.

Rpta.: 3) 9:20 p.m. 13) Un reloj se adelanta 15 segundos cada cuarto de hora. ¿Cuánto se adelantará en 6 horas?

4) 6:30 p.m. 5) 9:10 p.m.

Rpta.:

6) 10:40 p.m.

14) Un reloj se atrasa 18 segundos cada 2 horas. ¿Cuánto se atrasará en 14 horas?

7) 8:16 p.m. Rpta.: 8) 2:22 p.m.

9) ¿A qué hora entre las 3 y las 4, las agujas de un reloj determinan un ángulo de 60º? Rpta.:

15) A partir de las 3:15 a.m. un reloj se adelanta 2 minutos cada 4 horas. ¿Qué hora marcará cuando realmente sea las 9:15 p.m.? Rpta.:

Nivel II 16) ¿ C u á n t o m i d e e l á n g u l o determinado por las agujas de un reloj a las 8:20 p.m.?

d) 150º e) 130º

17) ¿Cuánto mide el ángulo que determinan las agujas de un reloj a las 4h 40min?

a) 120º b) 90º c) 100º

d) 110º e) 105º

18) ¿ C u á n t o m i d e e l á n g u l o determinado por las agujas de un reloj a las 10:40 p.m.?

a) 100º b) 70º c) 80º

d) 60º e) 110º

19) ¿Cuánto mide el ángulo que determina las agujas de un reloj a las 5h 10 min?

a) 110º b) 105º c) 115º

d) 95º e) 100º

20) ¿ C u á n t o m i d e e l á n g u l o determinado por las agujas de un reloj a las 6:40 a.m.?

10) ¿A qué hora entre las 9 y las 10 las agujas de un reloj determinan un ángulo de 75º?

a) 140º b) 110º c) 120º

a) 60º b) 36º c) 30º

d) 40º e) 45º

Rpta.:

90


4to de Secundaria


21) Si son las 2h 36 min, ¿qué ángulo forman las agujas de un reloj?

a) 138º b) 117º c) 72º

d) 142º e) 146º

a) 5:15 b) 5:22 c) 5:20

d) 5:14 e) 5:21

23) ¿A qué hora entre la 1 y las 2 están opuestas las agujas del reloj? 1 min 11

a) 1h 42

b) 1h 35 min

c) 1h 38

2 min 11 7 d) 1h 30 min 11 1 e) 1h 36 min 11

24) ¿A qué hora entre las 9 y 10 las agujas de un reloj están en línea recta?

a) 9: 15

b) 9:16

c) 9:16

22) ¿A qué hora entre las 5 y las 6 las agujas de un reloj determinan un ángulo que mide 40º?

25) Entre las 15:00 y 16:00h, ¿a qué hora se superponen las agujas del reloj?

5 11 d) 9:16 4 11 e) 9: 17 1 11

1 min 4 6 b) 3h 2 11 c) 3h 16 1 11 d) 3h 16 4 11 e) 3h 9 11 a) 3h 1

26) Un reloj se atrasa tres segundos por minuto. Si ya tiene un atraso de 3 minutos, ¿cuántos minutos necesita para tener 1 hora de retraso?

a) 125' b) 1140' c) 148'

d) 72' e) 1200'

27) Un reloj se adelanta 7 segundos cada 45 minutos. ¿Cuánto se adelantará en 1 día?

a) 2'18'' b) 4'42'' c) 3'44''

d) 2'48'' e) 5'10''

a) 12:26 h b) 11:34 h c) 11:48 h

d) 12:18 h e) 12:24 h

Nivel III 31) Siendo las 17:20 h un reloj marca 17:28. Si dicho reloj se adelanta a razón de 40s cada hora, ¿a qué hora empezó a adelantarse?

a) 05:30 b) 05:40 c) 05:20

d) 05:48 e) 05:10

32) Siendo las 06:00 a.m., un reloj empieza a atrasarse a razón de 6 minutos cada hora. ¿Qué hora marcará cuando sean las 6:00 a.m. del día siguiente?

a) 03:50 a.m. d) 04:52 a.m. b) 04:48 a.m. e) 03:36 a.m. c) 03:46 a.m.

28) Un reloj se atrasa 3 minutos cada 15 minutos. ¿Qué hora marcará cuando en realidad sea las 10:24h si hace 5 horas que viene funcionando con este desperfecto?

33) A las 12 del mediodía un reloj empieza a atrasarse a razón de 3 minutos cada hora y otro reloj empieza a adelantarse a razón de 2 minutos cada hora. Después de cuánto tiempo ambos relojes estarán marcando la misma hora, por primera vez.

a) 11:24 b) 10:28 c) 09:28

d) 09:25 e) 09:24

29) Un reloj se adelanta 2 minutos cada media hora. Si hace 8 horas que viene funcionando así, ¿qué hora será en realidad cuando dicho reloj marque las 02:38 h?

4to de Secundaria

30) Suky golpeó su reloj a las 8:45h y a partir de ese momento se adelanta 8 minutos cada hora. ¿Qué hora marcará dicho reloj a las 12:00 h?

a) 02:16h b) 02:08h c) 02:18h

d) 02:06h e) 02:10h




34) Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3h. ¿A qué hora empieza a adelantarse si a las 11h 15 min de la noche marca las 11h 27 min?

a) 5:18 h b) 5:17 h c) 5:31 h

d) 5:07 h e) 5:15 h

91


35) Un reloj se atrasa 3 minutos cada 5 horas. Si marcó la hora correcta por última vez a las 8:00 p.m. del día lunes, ¿en qué día y hora se encontrará con un atraso de 18 minutos?

39) Un reloj se atrasa 15 minutos cada 2 minutos. ¿Qué hora marcará dicho reloj cuando sean las 03:15h si hace 5 horas que viene funcionando con este desperfecto?

44) Luego de las 18:00 h, ¿cuál es la hora más cercana en la que las manecillas del reloj forman un ángulo recto?

a) Martes 6:00 a.m. b) Martes 2:00 a.m. c) Miércoles 8:00 p.m. d) Martes 8:00 p.m. e) Miércoles 2:00 a.m.

36) Un reloj se adelanta 2 minutos cada 15 minutos. Si este desperfecto ocurre ya hace 7 horas, ¿qué hora marcan las agujas de tal reloj cuando la hora exacta es 3h 58 min?

a) 3h 52 min b) 3h 02 min c) 4h 52 min d) 4h 54 min e) 4h 56 min

37) Hace 10 horas que el reloj del colegio se atrasa 3 minutos cada media hora. ¿Cuál es la hora exacta si el reloj del colegio indica que son las 11h 28 min?

a) 10h 28 min b) 12 h 28 min c) 11h 56 min d) 12h 56 min e) 10h 15 min

38) E n e s t e m o m e n t o s o n exactamente las 5h 26 minutos. Hace 8 horas que el reloj de César sufrió un desperfecto de modo que cada 20 minutos se adelanta medio minuto. ¿Qué hora marcan las agujas del reloj de César en este momento?


d) 03:32 h e) 02:40h

40) ¿A qué hora inmediatamente después de las 3 de la mañana, el minutero adelanta al horario tanto como el horario adelanta a la marca de las 12?

a) 03:36 h b) 03:24 h c) 03:18 h

d) 03:32 h e) 03:30 h

a) 100º b) 70º c) 80º

d) 60º e) 110º

a) 3h 1 4 min 11 6 b) 3h 2 min 11 1 c) 3h 4 min 11 1 d) 3h min 11 9 e) 3h 11 min

43) Luis comienza un viaje cuando las agujas del reloj están superpuestas entre las 8 y las 9 a.m. Llega a su destino entre las 2 y las 3 p.m. cuando las agujas del reloj forman un ángulo de 180º. ¿Cuánto tiempo duró el viaje? a) 5 horas b) 4 horas c) 7 horas

42) Entre las 15:00 y 16:00 h, ¿a qué hora se superponen las agujas del reloj?

7 min 11 b) 18h 1 4 min 11 c) 18h 9 1 min 11 9 d) 18h 5 min 11 7 e) 18 h 9 min 11 a) 18h 2

45) ¿A qué hora entre las 6 y 7 las agujas de un reloj determinan un ángulo de 90º por segunda vez?

41) ¿ C u á n t o m i d e e l á n g u l o determinado por las agujas de un reloj a las 10:40 p.m.?

92

a) 02:50 h b) 02:55 h c) 02:35 h

1 min 11 1 b) 6:48 min 11 a) 6:49

c) 6:49 3 min 11 d) 6:48 3 min 11 5 e) 6:49 min 11

46) Una reunión comienza entre la 1 p.m. y las 2 p.m., cuando las agujas de un reloj forman un ángulo de 90º por primera vez, y termina la reunión cuando las agujas forman un ángulo de 90º por segunda vez. ¿Qué hora es? 9 a) 11:18 11 9 b) 11:9 11 9 c) 1:20 11 9 d) 1:22 11

e) 1:21

9 11

d) 6 horas e) 8 horas


4to de Secundaria


47) ¿ Q u é h o r a s e r á s e g ú n e l gráfico? 12

11

50) De acuerdo al gráfico, ¿qué hora es? 12

1

10

11 2

a

9

10

2

2a

3

a

9

2a

3

4

8

4

8 5

7

1

6

7

a) 2h 24 min b) 2h 22 min c) 2h 23 min d) 2h 21 min e) 2h 22 1/2 min

5 6

a) 2:51 b) 2:52 c) 2:53 d) 2:54 e) 2:55

48) ¿Qué hora será exactamente según el gráfico? 12 11

1

10

2 a

9

3

3a

7

En el principio fue... Pitágoras

4

8 5 6


49) ¿Qué hora es según el gráfico? 12 11

1

10

2

a 9

3

a 4

8 7

5 6

a) 3h 55 5/13 min b) 4h 45 4/13 min c) 3h 45 5/4 min d) 3h 58 5/10 min e) 3h 35 5/13 min

4to de Secundaria

Sin duda a Pitágoras le debemos el nacimiento de la Matemática como ciencia. De hecho el término Matemática se lo debemos a él. Podemos resumir la deuda de la Humanidad con los pitagóricos en estos cuatro puntos:  Proporcionan la primera visión cosmológica del universo físico.  Afirman que la esencia del mundo físico es matemática.  Colocan número natural origen, fundamento y explicación de todas las cosas.  Son los responsables de la organización del saber en las 4 ramas que perdurarán hasta los tiempos de Newton: Aritmética, Geometría, Música y Astronomía. El famoso Cuadrivium Medieval. Pero los matemáticos les debemos algo más importante: el nacimiento de la Teoría de Números. Filolao, un siglo después de Pitágoras llegó a afirmar: “Todas las cosas que pueden ser conocidas tienen número; pues no es posible que sin número nada pueda ser conocido ni concebido”. Los pitagóricos consideraban a los números como los componentes últimos de los objetos materiales. Más o menos como nuestros átomos. Seguramente a esta concepción más materialista debamos la existencia de los números triangulares y de los números poligonales desde los albores de la Matemática.


93


Repaso 5) Un padre al morir deja S/. 80000 para que sean repartidos entre sus dos hijos y su esposa. Si el mayor recibe S/. 12000 más que el menor, y la esposa tanto como sus dos hijos juntos, ¿cuánto recibe la esposa?

Nivel I 1) El exceso del doble de un número sobre 18 es igual al triple del número disminuido en 10, ¿cuál es ese número?

a) 8 b) 6 c) 12

d) 14 e) 16

2) Halla tres números enteros consecutivos cuya suma es 111. Da como respuesta el mayor.

a) 38 b) 39 c) 36

d) 41 e) 37

a) 5 cm b) 6 cm c) 7 cm

d) 8 cm e) 9 cm

4) D e 4 5 a l u m n a s q u e s e presentaron a rendir el examen de matemática, el número de aprobadas fue el cuádruple del de las desaprobadas. ¿Cuántas alumnas aprobaron el curso y cuántas no?

a) 36 y 9 b) 37 y 8 c) 38 y 7

94

d) 39 y 6 e) 40 y 5

d) 40000 e) 26000

6) Dentro de 42 años mi edad será el cuádruplo de la edad que tengo. ¿Cuántos años tengo?

3) La cola de un lagarto mide 8 cm y el cuerpo mide el triple de su cabeza. Si el lagarto tiene 32 cm de largo, ¿qué longitud tiene la cabeza?

a) S/. 12000 b) S/. 14000 c) S/. 15000

a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 18

7) La edad de una madre es cuatro veces la de su hija. Si la suma de ambas edades es 55 años, ¿qué edad tiene la hija?



9) La suma de las edades de un padre y su hijo es 64 años. Si la edad del padre excede en siete años al doble de la edad del hijo, ¿cuántos años tiene el hijo?

a) 19 b) 20 c) 21

d) 22 e) 18

10) Dos personas tienen 12 y 32 años, respectivamente. ¿Dentro de cuántos años la edad de la mayor será el doble de la menor?

a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 6

11) Un reloj marca las 10 p.m. ¿Qué hora es en realidad, si hace 6 horas que se atrasa a razón de 3 minutos cada hora?

a) 10:21 p.m. d) 10:28 p.m. b) 9:42 p.m. e) 10:18 p.m. c) 9:42 a.m.

8) Alberto y Manuel son dos condiscípulos cuyas edades suman 24 años. Si Alberto tiene dos años más que Manuel, ¿qué edad tiene el mayor?




4to de Secundaria


12) Un reloj se adelante 2 minutos cada 15 minutos. Si ahora marca las 5h 20 minutos y hace 4 horas que se adelanta, entonces la hora correcta sería:

a) 4:48 b) 4:28 c) 4:30

d) 4:32 e) 4:52

13) Hace ya 90 horas que un reloj se adelanta 2 minutos cada 5 horas. ¿Qué hora señalará el reloj cuando sean en realidad las 6:18?

a) 6:54 b) 7:02 c) 9:30

d) 9:32 e) 7:18

14) Siendo la 1:00 p.m. empieza atrasarse un reloj 4 minutos cada hora. ¿Qué hora indicará cuando la hora correcta sea las 8:00 p.m. del mismo día?

a) 7:12 b) 6:58 c) 6:32

d) 6:42 e) 7:32

15) Siendo las 8:00 a.m., empieza a adelantarse un reloj a razón de 5 minutos por cada hora. ¿Qué hora estará marcando este reloj cuando en realidad sean las 10:00 p.m. del mismo día?

a) 11:10 a.m. d) 11:10 p.m. b) 10:11 a.m. e) 11:01 p.m. c) 10:11 p.m.

Nivel II 16) El número de problemas resueltos por José es tres veces mayor que el resuelto por su hermano Mario. Si José hubiera resuelto ocho problemas menos y Mario 16 problemas más, ambos habrían resuelto igual número. ¿Cuántos problemas resolvió Mario?

a) 11 b) 12 c) 8

17) Si se multiplica el menor y mayor de tres números pares consecutivos se obtiene un número que es 96 unidades menos que el producto del mayor y el segundo número de los tres mencionados. Halla el mayor de ellos.

a) 40 b) 48 c) 42

d) 46 e) 30

22) Jorge tiene tres veces la edad de su primo Fernando. Si Jorge tuviera 12 años menos y Fernando cuatro años más, ambos tendrían la misma edad. ¿Qué edad tiene Fernando?



18) La diferencia de dos números es 32 y el mayor excede a la diferencia en 57. ¿Cuáles son los números?

23) Medrano nació en 1956. En el año de 1978 se casó y tuvo su primer hijo a los 29 años. ¿En qué año su hijo cumplirá 31 años?

a) 57 y 89 b) 36 y 55 c) 57 y 69

d) 47 y 98 e) 57 y 32

19) ¿Qué hora será cuando las horas que falten transcurrir sean la tercera parte de las ya transcurridas?

a) 9 p.m. b) 8 p.m. c) 6 p.m.

d) 2 p.m. e) 4 p.m.

20) La suma de dos números es 404 y su respectiva diferencia es el menor cuadrado perfecto mayor que 180. ¿Cuál es el número menor?

a) 108 b) 114 c) 104

d) 160 e) 100

21) Juan piensa: "Si hubiera nacido en el último año bisiesto que pasó tendría en el 2017 la mitad de la edad que tengo". ¿Qué edad tengo?


a) 2012 b) 2024 c) 2038

d) 2016 e) 2006

24) Preguntando a un profesor por su edad responde: "Si al triple de mi edad se restan 36 años, tendría lo que falta para tener 92 años". ¿Qué edad tiene el profesor?



25) A Simón le preguntaron por su edad y él responde: "Si a mi edad le suman el triple de la edad que tuve hace 4 años, más la edad que tendré dentro de 4 años obtendrán mi edad más 28 años". ¿Cuál es la edad de Simón?

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10


d) 6 e) 10

4to de Secundaria


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26) Un reloj se retrasa 8 minutos cada 24 horas. Si éste marca la hora correcta a las 7 a.m. el 2 de mayo ¿qué hora marcará a la 1 p.m. del 7 de mayo?

a) 11 h 18 min b) 12 h 8 min c) 12 h 42 min d) 12 h 28 min e) 12 h 18 min

27) Un reloj tiene 3 minutos de retraso y sigue retrasándose a razón de 3 segundos por minuto. ¿Cuántos minutos deben transcurrir para tener una hora de retraso?

a) 120 b) 1200 c) 1400

d) 1148 e) 1140

28) En cada día un reloj se adelanta 2 minutos y otro se atrasa 3 minutos. ¿Cada cuánto tiempo vuelven ha indicar la misma hora?



29) Un alumno se acuesta a las 10 h 30 minutos pero pone la alarma de su reloj para que suene a las 6 h 45 min del día siguiente. ¿A qué hora sonará realmente la alarma si el reloj se adelanta 15 segundos cada 15 minutos?

a) 6 h : 53 min : 15 b) 6 h : 57 min c) 6 h : 55 min d) 7 h e) 7 h ; 05 min

30) Un reloj se atrasa un cuarto de minuto durante el día, pero debido al cambio de temperatura, se adelanta un tercio de minuto durante la noche, al cabo de cuántos días se habrá adelantado 2 minutos, sabiendo que hoy al atardecer marca la hora exacta.

a) 10 b) 12 c) 20

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d) 24 e) 30

Nivel III

31) Sabemos que en una tienda donde se venden conejos, palomas y patos, son todos conejos menos 6, son todos patos menos 9 y son todos palomas menos 7. Si Verónica compró todas las palomas y conejos, ¿cuántos animales compró?

a) 12 b) 16 c) 14

d) 9 e) 11

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

36) En un ómnibus llegaron 53 pasajeros, y además por cada pasajero que bajaba subían tres. El precio de cada pasaje era 0,6 soles. Si en total se recaudó 39 soles, ¿cuál es la cantidad de pasajeros que había inicialmente?

a) 28 b) 29 c) 30

d) 31 e) 32

32) Manuel compra la mitad de un rollo de alambre menos 12 metros, Diego compra un tercio del mismo rollo más 4 metros, con lo cual recibe 8 metros menos que Manuel. ¿Cuántos metros compra Manuel?

37) Sonia le dice a Sandra: "Tú tienes 18 años, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 48 años. ¿Qué edad tendrá Sonia dentro de 8 años?"

a) 52 m b) 60 m c) 72 m

d) 144 m e) 48 m

33) Pedro dice: "Lo que tengo más lo que debo da S/. 2800. Si pagara lo que debo me quedaría S/. 1200". ¿Cuánto debe Pedro?

a) S/. 1800 b) S/. 600 c) S/. 2000

d) S/. 800 e) S/. 200

34) Una carreta llena de frutas pesa 3000 kg. Cuando contiene los 2/3 de su capacidad pesa los 7/9 del peso anterior. ¿Cuánto pesa la carreta vacía?

a) 900 kg b) 1000 kg c) 1200 kg

d) 1300 kg e) N.A.



38) Mario tiene el cuádruple de la edad que tenía César cuando él tenía la edad que César tiene; pero cuando César tenga la edad que Mario tiene, ambas edades sumarán 95 años. ¿Qué edad tiene Mario?

a) 20 b) 40 c) 10

d) 15 e) 25

39) Él tiene la edad que ella tenía cuando él tenía la tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella tiene 18 años más de lo que él tiene, halla cuántos años tiene ella.

a) 54 b) 37 c) 43

d) 38 e) 42

35) En una balanza se tienen 38 esferas que pesan 25 g y 77 esferas que pesan 10 g. ¿Cuántas esferas se deben intercambiar para que la balanza se encuentre en equilibrio, sabiendo que de ambos lados se saca la misma cantidad de esferas?


4to de Secundaria


40) En 1918, la edad de un padre era nueve veces la edad de su hijo y en 1923, la edad del padre fue el quíntuplo de la que tenía su hijo. ¿Cuál fue la edad del padre en 1940?



41) Dentro de dos años mi hijo será dos veces mayor de lo que era hace dos años y mi hija será dentro de tres años tres veces mayor de lo que era hace tres años. ¿Cuál será la suma de las edades de dichos hijos?

a) 6 b) 12 c) 9

d) 18 e) 24

42) El profesor de R.M. nació en el año 19ab, su hijo en el año 19ba y en el año de 1992 sus edades estaban en la relación de 4 a 1. ¿Cuál fue la edad del profesor en dicho año?



43) El abuelo, el hijo y el nieto tienen juntos 150 años. El abuelo dice: "Mi hijo tiene tantas semanas como mi nieto en días y mi nieto tantos meses como yo en años". Halla la edad del abuelo.



44) Si al año en que cumplí 10 años le sumamos el año en que cumpliré los 20 años y a este resultado le restamos la suma del año en que nací con mi edad actual, obtendremos el año actual. ¿Cuánto resultará al sumar mi edad actual con el año en que cumpliré los 30 años y restarlo el año en que cumpliré los 40 años?

d) 12 e) 8

45) La edad de Rosa es la cuarta parte de la edad de su padre, que tiene 36 años. ¿Dentro de cuántos años la edad de ella será la mitad de la edad de su padre?


a)12 b) 24 c) 11

d) 22 e) 23

49) Si son entre las 5:00 y 6:00 horas. ¿A qué hora por primera vez se forma un ángulo de 40º?

a)5:10 b) 5:15 c) 5:16

d) 5:20 e) 5:14

50) ¿Qué hora es en el gráfico adjunto? 12

11


1

10

2 M

9

H

46) Si al año que cumplí 25 años le sumamos el año en que cumpliré los 15 años, y a este resultado le restamos la suma del año en que nací con mi edad actual, obtendremos el año actual. ¿Cuánto resultará al sumar mi edad actual con el año en que cumpliré los 40 años y restarle el año en que cumpliré los 50 años?

a)10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

q q

3 4

8 7

a)3:30

c) 3:11

5 6

b) 3:30'23'' 1 min 3 d)3:13 11 min 13 e) 3:15'12''

47) Halla el ángulo formado por las manecillas del reloj en los siguientes casos:

4to de Secundaria

a)3 b) 5 c) 10

48) ¿Cuántas veces durante el día se superponen las agujas de un reloj?

* 4: 12 * 10:44 * 5:40 * 8: 20 * 4:40 * 6: 15 * 11:57 * 2:26


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Fracciones "El ser humano es como una fracción: el numerador es lo que él realmente es y el denominador lo que él cree que es. Mientras más grande el denominador más pequeña la fracción".

Objetivos  Desarrollar la capacidad de abstracción, en el uso de fracciones.  Familiarizar al estudiante en el manejo adecuado, vía operaciones matemáticas de las fracciones y sus múltiples aplicaciones.

Introducción La noción acerca de la fracción es muy antigua y su remoto origen se pierde en la bruma de los tiempos. Se deriva del latín fractum que significa "roto" o "quebrado". En el transcurso de la lucha por la supervivencia, constantemente surgía el problema de repartir la presa capturada, entre una determinada cantidad de individuos dividir los productos agrícolas recogidos de forma mancomunada, aquí el surgimiento de las fracciones, acto que nace por necesidad.

Números racionales NOCIÓN Al cociente de la división de dos números enteros "a" y "b", donde "b" es diferente de cero, se le denomina número racional. El cociente puede ser un número entero y si no lo es puede quedar indicado en la representación del número racional. Luego bajo las condiciones dadas en la noción, podemos representar un número racional así: a o a/b b

Po r e j e m p l o , s o n n ú m e r o s fraccionarios: 2 ; 3 ; 12 ; -3 ; 21 ; 101 ; 7 ; etc. 3 9 14 7 8 19 -4

Fracción Al número fraccionario que presente sus dos términos positivos vamos a denominarlo fracción. ¡Cuidado!, debemos aclarar que esta consideración es sólo con fines prácticos, pues para dar la idea de fracción, haremos uso de "objetos reales".

OBSERVACIÓN Cuando escribimos: a (con b ≠ 0; a, b ∈Z) b Para representar a un número racional, estamos haciendo uso, como puede verse, de dos números. El primero es el número entero "a" sobre la línea horizontal que recibe el nombre de numerador y el segundo número entero "b" ubicado bajo la línea, el cual se llama denominador.

Ejemplo: Según la noción dada, indica cuáles de los siguientes números son fraccionarios y cuáles no lo son: 7 ; 11 ; 8 ; 2 ; 4 ; 72 ; 11111 ; -3 e 6 3 5 13 3395 12 -5 ; p ; e ; 1,1010110...; 6 9 4 3

Números fraccionarios

Resolución:

Se denomina así a todos aquellos números racionales que no representan a números enteros. De acuerdo a la definición si denotamos por "f" al número fraccionario, tendremos:

No son fraccionarios:

a f= ; donde: a ≠ b; b≠0; a, b ∈ Z b

7 ; 11 ; -5 ; p ; e ; 9 4 -3 e 3 1,1010110...; 12 6 Si son fraccionarios: 8 ; 2 ; 4 ; 72 ; 11111 3395 6 3 5 13

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4to de Secundaria

4° Rm I.pdf

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