4 barras

Universidad de Colima. Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Ingeniería Mecánica Eléctrica.

Análisis y diseño de mecanismos.

Alumno: Luis Aleandro Carrillo !uáre".

#$ %&.. 'ro(esor: )r. )r. !ergio Llamas *amorano.

Análisis cinemático cinemático del mecanismo mecanismo de cuatro cuatro barras.

Co+uimatlán, Colima. -iernes,  de noviem/re de 01.

Análisis cinemático del mecanismo de de cuatro barras barras

2ndice. 1. Introducción. 2. Desarrollo. 2.1 Análisis de posición. 2.2 Análisis de velocidad. 2.3 Análisis de aceleración. 3. Caso de estudio. 3.1 Análisis primario. 3.2 Análisis velocidad. 3.3 Análisis de aceleración 4. Conclusiones 5. iblio!ra"#a. $. Ane%os $.1 Aceleración para el punto & $.2 Disco de datos

Análisis ( dise)o de mecanismos

1 2 2 8 10 12 12 15 18 24 25 2$ 2$ 2'

&á!ina 2

Análisis cinemático del mecanismo de de cuatro barras barras

. Introducci3n. *n meca mecani nism smo o se de"i de"ine ne como como una una comb combin inac ació ión n de cuer cuerpo poss resi resist sten ente tess conec conecta tado doss por por medi medio o de artic articul ulac acio iones nes móvi móvile less para para "orm "ormar ar una una caden cadena a cine cinemá mátitica ca cerra cerrada da con un esla eslabó bón n "i+o "i+o ( cu(o cu(o prop propósi ósito to es tran trans" s"or orma marr el movimiento. ,sta ,sta tran trans" s"or orma maci ción ón de movi movimi mien ento to se llev lleva a a cabo cabo medi median ante te dist distin inta tass con" con"i! i!ur urac acio ione ness de cuer cuerpo poss r#!i r#!ido doss- me+o me+orr cono conoci cido doss como como esla eslabo bone ness- ( articulaciones móviles- tambin nombradas pares cinemáticos. &or e+emplo un mecanismo biela/manivela/corredera cu(o propósito es trans"ormar el movimiento rotacional de un motor en movimiento lineal. tro caso es el del mecanismo de cuatro barras- el cual es utiliado- principalmente- para trans"ormar un movimiento rotatorio en otro oscilatorio.

a ima!en ue se muestr stra a la iu iuie ierd rdaa- es un meca mecani nism smo o de cuatro barras sencillo como el ue se e%plicó en el e+emplo anterior- cu(o propósito es trans"ormar el movimiento circular de la manivela s s en movi movimi mien ento to osci oscila lato tori rio o del del se!uidor p.

6i!ura 1. 7ecanismo de cuatro barras básico.

Aora analiaremos un mecanismo de cuatro barras cu(o acoplador- eslabón les un cuerpo r#!ido con "orma de trián!ulo escaleno ( sobre ese cuerpo r#!ido e%iste un punto & del cual ueremos conocer su posición- velocidad ( aceleración para cualuier posición de la manivela.


&á!ina 3

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras

0. )esarrollo. 9n esta sección se arán los si!uientes análisis en el mecanismo de cuatro barras de la "i!ura 2: 





Análisis de posición: 9ncontraremos los án!ulos de inclinación del acoplador ( se!uidoras# como las coordenadas del punto &. Análisis de velocidad: btendremos las velocidades an!ulares del acoplador ( se!uidoras# como celeridades lineales del punto &. Análisis de aceleración: &or ;ltimo- se encontrarán las e%presiones para obtener las aceleraciones an!ulares tanto del acoplador como del se!uidoras# como la aceleración lineal del punto &.

2.1 Análisis de posición.

&ara vida de acer el desarrollo se esta sección- nos !uiaremos en la si!uiente ima!en de un mecanismo de cuatro barras.

6i!ura 2. 7ecanismo de cuatro barras en análisis.

o primero ue se ace en el análisis al!ebraico de cualuier mecanismo- es escribir la ecuación de cierre del circuito. r 2 + r 3= r 1+ r 4 ⃗


⃗

⃗

&á!ina 4

⃗

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras Aora escribimos la ecuación anterior en "orma polar. j θ 2

jθ 3

j θ 4

r 2 e + r 3 e =r 1 + r 4 e

r 2 senθ2 + r 3 sen θ3=r 4 senθ 4

ue!o elevamos al cuadrado ambas e%presiones ( las sumamos. r 3 ( sen θ 3+ cos θ3 )= r 4 ( sen θ 4 + cos θ 4 ) + r 3 2

2

2

2

2

2

2

+ r ( sen θ + cos θ )+ r + 2 r r 2

2

2

2

2

2

2

1

1

4

cos θ 4

−2 r r cos θ −2 r r (co
2

>acemos uso de las si!uientes identidades tri!onomtricas. 2

1

2

2

= sen β + cos β

( − δ )= cosβ cosδ + senβ senδ

cos β

<"= ?ustituimos
2

2

2

2

r 3 =r 4 + r 3 + r 2 + r 1 + 2 r 1 r 4 cos θ 4−2 r 1 r 2 cos θ2−2 r 2 r 4 cos (θ 4− θ2)

s =r 1−r 2 cos θ2

y

s

=−r senθ 2

2

<= @ambin podemos obtener el valor de !ama para en los pasos si!uientes "acilitar el proceso al!ebraico- primero obtenemos el valor de s en "unción de r 3- r 4 ( γ . s =r +r −2 r r cosγ 2

2

3

2

4

3

4


&á!ina 5

2

2

4

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras Aora- en la ecuación anterior sustituimos el valor de s pero en "unción de r 1- r 2 ( θ 2- ( despe+amos γ . γ =

−1 r3 cos

2

2

2

2

+ r −r − r + 2 r r 4

1

2

1

2

cos θ2

2 r3 r4

2

2

2

−r + r + r + r −2 r r 3

4

1

2

1

2

cos θ2

2 r4

+r

1

cos θ4

−r ( cos θ 2

2

cos θ4

+ senθ senθ ) =0 2

4

eacomodamos a;n más ( acemos coincidir el primer trmino con cos γ. r −r (¿ ¿ 2 senθ2 ) senθ 4=0 (¿ ¿ 1 −r 2 cos θ2) cos θ 4 +¿ 2

−r

2

2

2

2

r 3 −r 4 −r 1 −r 2 + 2 r 1 r 2 cos θ 2+ 2 r 4 −2 r 4 3

2 r3 r4

2

+¿

educimos el primer trmino convenientemente ( sustituimos las e%presiones en <= e
s

cos θ 4

+ s y senθ −r cosγ + r =0 4

3

4

<+= Al mane+ar tanto seno como coseno de un mismo án!ulo en <+=- resulta conveniente sustituir esos valores por identidades tri!onomtricas de la mitad del án!ulo. 1

() () () ()

−tan

cosη =

+ tan

1

2tan

senη =

+ tan

1

η

2

2

2

η

2

η

2

2

η

2


&á!ina $

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras Aora sustituimos estas identidades con sus respectivos án!ulos en <+= ( reacomodamos.

( r −r 4

x

cosγ − s 3

) tan

2

( ) θ4 2

+2 s y tan

( )+ ( θ4 2

r 4−r 3 cosγ − s ) =0 x

r 2 senθ2 ∓ r 3 senγ

−1

r 4−r 1 + r 2 cos θ 2−r 3 cosγ

<1= &ara encontrar el θ 3 tenemos ue acer un proceso totalmente análo!o al anteriorpor lo tanto no tiene caso desarrollarlo au#- solamente se e%presará el resultado. −1

θ3=2 tan

−r senθ ± r senγ r + r −r cos θ −r cosγ 2

3

1

2

2

4

2

4

<2= &ara encontrar la posición del punto & nos !uiaremos de la "i!ura si!uiente.


&á!ina 

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras 6i!ura 3. 7ismo mecanismo de 4 barras de la "i!ura 2- pero aora con el vector de posición del punto &- respecto al ori!en A.

De la "i!ura 3 podemos deducir la distancia al punto &- el án!ulo del vector ( por consi!uiente el vector de posición. r p= √ r 2 + r 5 + 2 r 2 r 5 cos ( θ3 + α −θ2 ) 2

θ6= tan

2

<3=

+ r sen ( θ + α −θ ) r cos θ + r cos ( θ + α −θ )

−1 r2 senθ 2 2

2

5

3

2

5

3

2

r p= r p ( cos θ6 i^ + senθ 6 j )

<4=

^

⃗

<5= 2.2 Análisis de velocidad

Como se di+o al inicio de la sección- el propósito de esta subsección es encontrar las velocidades an!ulares de los eslabones 3 ( 4- o acoplador ( se!uidos- es lo mismo. Despus de esto- tenemos ue encontrar las velocidades lineales del punto &- tanto en la coordenada x como y . &rimero- de la ecuación de cierre de circuito
Aora separamos las partes real e ima!inaria de la e%presión anterior ( "ormamos el si!uiente sistema de ecuaciones. r 3 ω3 senθ 3−r 4 ω 4 senθ 4 =−r 2 ω 2 senθ2 r 3 ω3 cos θ3 −r 4 ω 4 cos θ4 =−r 2 ω2 cos θ2

Aplicamos el mtodo de Cramer al sistema anterior ( aciendo uso de esta identidad tri!onomtrica sen (β-δ) = senβcosδ + cosβsenδ obtenemos los si!uientes resultados ω3 ( ω4. r sen ( θ −θ ) ω= ω r sen ( θ −θ ) <$= 2

2

4

3

4

3

3


2

&á!ina 8

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras ω 4=

r 2 sen ( θ2−θ 3 ) r 4 sen ( θ4 −θ3 )

ω2

<= os valores de θ 3 ( θ 4 son obtenidos de <1= ( <2=- respectivamente- θ 2 es nuestra variable independiente ( ω2 es constante- (a ue la manivela es movida por un motor de velocidad constante en la ma(or#a de los casos. Aora podemos encontrar la velocidad del punto & valindonos de las si!uientes e%presiones. v hk = ω × r hk <)= v h =v hk + v k
⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

6i!ura 4. Dia!rama del mecanismo de 4 barra para análisis de la velocidad en el punto &.

9n la "i!ura 4 observamos ue el cuerpo r#!ido BCP !ira a una misma velocidad an!ular ω3 en cualuier punto- por lo tanto- podemos encontrar la velocidad del punto P respecto a B con <)= ( lue!o sustituirla en
⃗ v =ω × ⃗ r PB

⃗

3

PB

?ustituimos los valores de ω3 ( r 5.


&á!ina '

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras ^ )×[ r v =( ω k ⃗ PB

3

5

cos

( θ + α ) î+ r 3

sen ( θ3 + α ) j ^

5

⃗ v =−r ω sen ( θ + α ) i^ + r ω PB

5

3

3

5

3

cos

]

( θ + α ) j

^

3

Aora encontramos la velocidad absoluta del punto B.

[

^ ) × r 2 cos ( θ2 ) î + r 2 sen ( θ2 ) j v B=( ω2 k ⃗

^

]

v B=−r 2 ω2 sen ( θ 2 ) i^ + r 2 ω2 cos ( θ 2 ) j ^

⃗

<= 6inalmente sustituimos
[

] [

]

v P= −r 2 ω2 sen ( θ2 )−r 5 ω 3 sen ( θ3 + α ) i^ + r 2 ω2 cos ( θ2 ) + r 5 ω 3 cos ( θ3 + α ) j ⃗

^

<8= o a( ue con"undir el án!ulo α
9l análisis para encontrar la aceleración del punto & comiena con encontrar las aceleraciones an!ulares del acoplador ( se!uidor- de una manera similar al procedimiento en la subsección 2.2 utiliado para encontrar las velocidades an!ulares de los eslabones mencionados. &osteriormente- se ace un análisis del mecanismo utiliando ál!ebra vectorial para encontrar la aceleración total del punto B as# dica aceleración del punto P respecto del B. 9n esta sección solamente se mostrarán las ecuaciones ue sirven para encontrar los parámetros buscados en este apartado- aceleraciones an!ulares del acoplador ( se!uidor- ( aceleración total del punto &E sin embar!o en el ane%o al "inal del documento- se a!re!ará el procedimiento utiliado para lle!ar a estas soluciones. r 2 α 2 sen ( θ 2−θ4 )+ r 2 ω2 cos ( θ2−θ 4 ) + r 3 ω 3 cos ( θ4 −θ3 )− r 4 ω 4 2

α 3=

2

2

r 3 sen ( θ 4−θ 3 )

<'= r 2 α 2 sen ( θ2−θ 3 )+ r 2 ω2 cos ( θ2−θ 3 ) + r 3 ω3− r 4 ω 4 cos ( θ4 −θ3 ) 2

α 4=

2

2

r 4 sen ( θ 4− θ3 )

<10= Análisis ( dise)o de mecanismos

&á!ina 10

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras A Px=−r 2 α 2 sen ( θ2 ) −r 2 ω2 cos ( θ2 )− r 5 α 3 sen ( θ 3+ α ) −r 5 ω3 cos ( θ 3+ α ) 2

2

<11= A Py= r 2 α 2 cos ( θ2 ) −r 2 ω2 sen ( θ 2) + r 5 α 3 cos ( θ3 + α ) −r 5 ω3 sen ( θ 3+ α ) 2

2

<12= De esta manera se conclu(e el análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras de la "i!ura 2.


&á!ina 11


4. Caso de estudio. @odo el desarrollo de ecuaciones anterior- "ue eco para acer un análisis del si!uiente mecanismo de cuatro barras. Donde las dimensiones e%presadas son:

 r 1 = 411 mm  r 2 = #1 mm 

    

6i!ura 5. 7ecanismo en estudio.

r 3 = 45# mm r 4 = 6#1 mm r 5 = 00# mm  = #1$ !2 = # rad7s 2 = 1 rad7s0

Anti89orario.

os análisis si!uientes "ueron evaluados con un códi!o pro!rama en 7atlab 2010 versión .10. 3.1 Análisis de posición

os resultados arro+ados en el análisis son los ue se presentan a continuación. θ2

θ3

θ4

γ

rP

128.$82 108.83 '$.$31 '3.5'3 '$.18 101.$8 108.8 11$.315 123.$4 130.51 13.03$

18.1'5 20.'4$ 2.425 35.248 43.144 50.430 5$.$33 $1.3$ $4.358 $5.3$ $4.358

'.4 203.'4 2'2.8$0 343.4'3 3$.4' 34.'5 30.$44 358.2'$ 340.551 31'.45$ 2'$.54

(°) 0 20 40 $0 80 100 120 140 1$0 180 200

110.48 8.83 $'.205 58.34$ 53.043 51.33' 52.154 54.'38 5'.40$ $5.3$ 2.$8


&á!ina 12

rPx (mm) /$2.08 /25.824 5.120 4.181 /24.32 /0.284 /122.30 /12.'0 /215.12 /24$.424 /2$2.43

rPy 5.153 202.333 2'2.815 343.4$8 3$$.'1$ 3$8.330 34'.8$1 313.814 2$3.520 203.2'1 138.083

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras 220 240 2$0 280 θ2

81.103 '0.3$ 100.08$ 10'.12 θ3

142.480 14.000 150.51$ 152.85$ θ4

$1.3$ 5$.$33 50.430 43.144 γ

22.80' 248.$5$ 223.'0$ 1'.$'1 rP

153.5'3 151.$$2 144.53' 128.$82

35.248 2.425 20.'4$ 18.1'5

1$8.114 131.$11 8$.$'3 '.4

(°) 300 320 340 3$0

118.34$ 124.23 123.5'3 110.48

/2$2.82$ /248.283 /221.02 /184.''4 rPx (mm) /145.3$2 /108.'5$ /82.$41 /$2.08

3.125 13.$1 /35.514 /$'.05 rPy /84.453 /3.824 /2$.1'4 5.153

@abla 1. esultados del análisis de posición.

9stos datos tabulados se e%presan en las si!uientes !rá"icas.

Frá"ica 1. Au# se muestra la variación del án!ulo " 3 con respecto de " 2.


&á!ina 13


Frá"ica 2. bservamos la variación del án!ulo " 4 con respecto de " 2.

Frá"ica 3. bservamos la variación del án!ulo transmisión  con respecto de " 2.


&á!ina 14


Frá"ica 4. bservamos la tra(ectoria del punto & .

3.2 Análisis de velocidad

A continuación se muestran los cálculos ecos por el al!oritmo creado en 7atlab. θ2 (°) 0 20 40 $0 80 100 120 140 1$0 180 220 240 2$0 280

ω3

ω4

(rad/s) /15.000 /15.000 /1$.80 /12.'53 /10.8' /5.2' /5.52 0.250 /2.44$ 3.315 /0.240 4.80 1.3' 5.545 2.4$ 5.$5 3.'34 5.452 5.000 5.000 $.$4 3.45 .14 3.02 .338 2.228 $.''4 1.233


VPx 112.302 1$4.43 $'0.3$4 /20.051 /1$'.$4 /21$2.831 /2255.851 /2043.215 /1$04.440 /101$.45 314.58 '18.888 13'2.44' 1$0.13

&á!ina 15

VPy (mm/s) 5431.1$$ 4'12.84' 2'1.'84 1532.3' 514.'11 /380.083 /11'1.1' /1882.8$1 /2408.418 /232.121 /210.'5 /23$8.1'2 /1821.'0 /1085.313

VP 554$.'24 5220.1'2 2''8.538 1$'3.121 15$.82$ 21'5.'3 2551.033 28.4$' 28'3.'08 2'15.0$ 22'.00 2540.214 22'2.'' 1''1.82'

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras 300 320 340 3$0

5.52 2.$33 /4.44 /15.000

/0.250 /2.'4' /8.301 /15.000

1$8.105 138$. 881.8'0 112.302

/142.$0 1134.122 3114.48 5431.1$$

1$'3.121 1'1.45 323.188 554$.'24

@abla 2. esultados del análisis de velocidad.

os valores de la !rá"ica anterior se observan !rá"icamente a continuación.


&á!ina 1$


Frá"ica 5. Gelocidad del eslabón 3 para cada posición de la manivela.

Frá"ica $. Gelocidad an!ular del eslabón 4.


&á!ina 1


Frá"ica . 9sta !rá"ica muestra la velocidad del punto & en dirección H.

Frá"ica 8. Gelocidad del punto & en dirección .


&á!ina 18


Frá"ica '. Gelocidad absoluta del punto &.

3.3 Análisis de aceleración.

A continuación se muestran los cálculos ecos por el al!oritmo creado en 7atlab. θ2 (°) 0 20 40 $0 80 100 120 140 1$0 180 180 200 240

α3

α4

(rad/s ) /3$0.288 /1$8.135 1.28 2'.184 2$2.4$4 302.202 1$.5'' 1.5' 113.4'8 '3.328 '.825 44.2 $2.815 15.5$4 53.'81 /3.0$3 48.3'2 /15.255 43.085 /22.'1 43.085 /22.'1 3$.354 /2.2'2 15.0'5 /32.15$


APx

2

41.044 /11.5' /$4.40 /52.24 /30.435 /11.4 3.151 14.55$ 22.$02 2.402 2.402 2'.0'' 2'.0''

&á!ina 1'

APy (m/s2) 5'.500 /83.10 /3.54 /48.802 /40.312 /3$.81 /32.$33 /2$.4$4 /18.445 /'.23 /'.23 0.41 0.41

AP 2.283 84.50' '.'18 1.4'4 50.511 38.$11 32.85 30.203 2'.13 28.'1 28.'1 2'.103 2'.103


;0
<4

<6

A'=

A'y
/3.2$' /50.11 /82.211 /1$0.'25 /302.20' /1$8.135

2.815 23.$28 1$.$05 $.'' /5.801 /1'.$8

10.105 1'.225 2.$1' 35.41 4$.0$0 $$.458

@abla 3. esultados del análisis de aceleración.

Frá"ica 10. Aceleración an!ular del eslabón 3.


A'

&á!ina 20

2'.5'4 30.4$1 32.22$ 3$.382 4$.424 $'.33$


Frá"ica 11. Aceleración an!ular del eslabón 4.

Frá"ica 12. Aceleración del punto & en dirección H.


&á!ina 21


Frá"ica 13. Aceleración del punto & en dirección .

Frá"ica 14. Aceleración total del punto &.


&á!ina 22

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras Además de ue se realió el pro!rama en 7atlab para encontrar las variables mostradas anteriormente- tambin se io una simulación en el pro!rama LorBin! 7odel. 9l mecanismo ue se introdu+o es el ue se muestra a continuación.

Frá"ica 15. 7ecanismo realiado en la simulación ( tra(ectoria del punto ue se analia.

9n base a al mecanismo mostrado- cu(as dimensiones son las especi"icadas en el caso de estudio.

Frá"ica1$. Gelocidades del punto & en sus componentes H

&á!ina 23


Frá"ica 1. Aceleración del punto &
Frá"ica 18. Gelocidad an!ular del acoplador
Frá"ica 1'. Aceleraciones an!ulares del acoplador

&á!ina 24


Conclusiones. >aciendo comparaciones entre las !rá"icas realiadas en 7atlbad ( las !eneradas por LorBin! model- todas son mu( similaresE en al!unos casos- parecen cambiar de tama)o- pero esto es debido a ue los e+es coordenados no si!uen la misma escala. o anterior lo podemos observar mirando la !rá"ica 4 ( la 15- en donde ambas representaciones de la tra(ectoria del punto &- en donde la !rá"ica 4 pareciera ue está in"lada respecto a la de la !rá"ica 15. >ablando de las velocidades observamos en la !rá"ica 18- nos dice a simple vista ue el acoplador se mueve en el mismo sentido ue el se!uidor. 9n las velocidades del punto & de la !rá"ica 1$- se muestran los valores en los ue la velocidad en H o en  es cero- aciendo ue conver+an la velocidad total con la otra velocidad ue no es nula. 9n el dia!rama de aceleraciones se muestran valores en donde conver!en la aceleración con al!una otra- cuando la contraria es nula- lo mismo ue en las !rá"icas de velocidad. Aora- analiando las !rá"icas de velocidad ( aceleración del punto &- 1$ ( 1 respectivamente- observamos ue cuando la velocidad lineal del punto & es positiva- la aceleración lineal es ne!ativa- ( viceversa- para al!una de las dos componentes cartesianas.  bien- de esta manera de conclu(e el traba+o presente- a!re!ando in"ormación adicional en los ane%os al "inal del documento donde se encuentra el códi!o "uente ue !eneró las !rá"icas en 7atlab ( las !rá"icas !eneradas como imá!enes- as# como la simulación en LorBin! 7odel.


&á!ina 25


>i/liogra(ía. 1. ?>IF9- Mosep 9. ( MosepuicBer- Mon Mr. @eor#a de máuinas ( mecanismos. 7%ico- 7cFraN/>ill- 2001- $13p. 2. @- obert . Desi!n o" maciner(: an introduction to te s(ntesis and anal(sis o" mecanisms and macines. ?econd edition. *?ALCK7cFraN/>ill- 1'''- 80$p.


&á!ina 2$


Ane=os. Análisis de aceleración del punto P.

&rimero debemos encontrar las aceleraciones an!ulares de los eslabones 3 ( 4 o acoplador ( se!uidor. Derivamos 2 veces la ecuación de cierre del circuito
j θ 3

j θ 4

j r 2 w 2 e + j r 3 w3 e = jr 4 w4 e j θ 2

2

j θ 2

j r 2 ∝2 e −r 2 w 2 e

+ j r

3

∝

3

j θ 3

2

j θ3

jθ 4

e − r 3 w3 e = j r 4 ∝4 e

− r w e j θ 2

4

?@

4

4

&ara vida de acer más sencilla las operaciones si!uientes dividimos toda la ecuación <1= entre e jθ ( aplicamos la "órmula de 9uler. 3

( θ −θ ) 2

3

¿ ¿ θ −θ ( θ −θ ) cos (¿)+ j sin ¿ ¿ θ −θ ¿ &?0@ ¿ ( θ −θ ) θ −θ ¿ cos ¿ ( θ −θ )−sin ¿−r w ¿ j cos ¿ r ¿ 2

3

2

3

4

3

4

3

4

3

2

2

3

2

2

2 ∝2

bservemos ue en la parte real de la ecuación no se involucra a O 3- por lo tanto si tomamos solamente la parte real de <2=. θ4 − θ3

−r

∝2 2

¿ sin ( θ −θ ) −r w cos ( θ − θ )− r w =−r 2

2

Despe+amos

3

∝

4

2

2

2

2

3

3

3

∝4 sin 4

de <2=.


&á!ina 2

(θ −θ )−r w 4

3

4

2

cos 4

¿

&?4@

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras θ4 − θ3 r 2 ∝2

¿ ¿ sin ( θ −θ ) + r w cos ( θ −θ )+ r w −r w ∝ =¿ 2

2

3

2

2

2

2

3

3

3

4

2 4

cos

¿

&?6@

4

&ara encontrar acemos al!o similar a lo anteriormente mostrado- sólo ue para este caso- dividiremos <1= entre e jθ ( aplicaremos la "órmula de 9uler. ∝

3

4

θ 2−θ 4

¿ ¿ θ −θ cos (¿)+ j sin ( θ −θ ) ¿ ( θ −θ ) j cos ( θ − θ )−sin ¿ &?#@ ¿ ( θ −θ ) cos ( θ −θ )+ j sin ¿ ¿ j cos ¿−r w ¿ r ¿ 2

4

2

3

4

3

4

3

3

4

4

4

2

2

2

2 ∝2

?eparamos la parte real de <5=. −r

2 ∝2

sin

( θ −θ )−r 2

Despe+amos

4

∝3

w 2 cos ( θ 2− θ4 )− r 3 ∝3 sin ( θ3−θ 4 )− r 3 w3 cos ( θ3−θ 4 )=−r 4 w 4 &?@ 2

2

2

de la ecuación <$=

r 2 ∝2 sin ( θ 2−θ 4 ) + r 2 w2 cos ( θ2−θ 4 )+ r 3 w3 cos ( θ3− θ4 )−r 4 w4 2

∝

3

=

2

2

2

r 3 sin ( θ3 −θ4 )

Con estas e%presiones encontramos la aceleración del punto &. a BA = ⃗ α × r BA t

& ?B@

⃗

⃗ a = ω× ⃗ v = ω ×( ω × ⃗ r ) n BA

BA

⃗

⃗

⃗

BA

&?@

A BA = A B− A A &?1@ t

n

A = a + a ⃗

&?@

&rimero encontramos la aceleración tan!encial ( normal en el punto . P Aceleración tan!encial de . Análisis ( dise)o de mecanismos

&á!ina 28

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras ^ ) × ( r 2 cos θ2 i^ + r 2 sin θ2 j ) =−r 2 ∝2 sin θ 2 i^ +r 2 ∝2 cos θ2 j a B=( ∝2 k t

^

^

PAceleración normal de . a B =ω 2 × ( ω 2 × r 2 ) n

⃗

⃗

⃗

^ ) x [ ( ω 2 k ^ ) x ( r 2 cos θ 2 i^ + r 2 sin θ 2 j ) ] a B=( ω2 k n

⃗

^

a B=−r 2 ω2 cos θ2 i^ + r 2 ω 2 sin θ 2 j n

2

2

^

?umamos las dos aceleraciones normal ( tan!encial de  para obtener la total θ2 2

r 2 ∝2 cos θ2−r 2 ω2 sin ¿ j

& ?0@

^

[

]

2 A B = −r 2 ∝2 sin θ2−r 2 ω 2 cos θ 2 i^ +¿ ⃗

Aora encontraremos la velocidad relativa del punto & respecto de . P9ncontramos la velocidad tan!encial del punto & respecto del . θ 3+ ∝ r 5 cos ( θ3 + ∝ ) î + r 5 sin (¿) j @ t ^ )× ¿ a PB=( ∝3 k ^

⃗

a PB=−r 5 ∝3 sin ( θ3 + ∝) i^ + r 5 ∝3 cos ( θ3 + ∝ ) j t

^

P9ncontramos la velocidad normal del punto & respecto del .

⃗ a =ω × ( ω × r ) n PB

⃗

3

⃗

⃗

3

5

θ 3+ ∝ r 5 cos ( θ3 + ∝ ) î + r 5 sin (¿) j ^

⃗ a =¿ n PB

¿ ^ ( ω k ) × ¿ ^ ¿ ×¿ ω k

?

3

3

⃗ a =−r ω n PB

2

5

3

cos

( θ + ) î−r 3

∝

2

5

ω 3 r 5 sin (θ3 + ∝) j ^

?umamos las componentes tan!enciales ( normales para obtener una aceleración total.


&á!ina 2'


(θ + ) 3

( θ + )− r 3

∝

5

∝

ω 23 sin ( θ3 + ∝ )

r 5 ∝3 cos ¿ j ^

−r

5

∝

3

sin

( θ + )−r ω A PB=¿ 3

∝

5

2 3

cos

¿ î +¿ ¿

⃗

De <10= podemos obtener una e%presión para la aceleración total del punto &: A P= A B + A PB & ?6@

As#- sustituimos <12= ( <13= en <14= ( obtendremos la e%presión deseada.

⃗

A Px=−r 2 ∝2 sin θ2− r 2 ω 2 cos θ2−−r 5 ∝3 sin ( θ3 + ∝)− r 5 ω3 cos ( θ3 + ∝ ) &?#@ 2

2

θ2

( θ + )− r 3

⃗

∝

2

5

ω3 sin ( θ 3+ ∝)

&?@

A Py= r 2 ∝2 cos θ2−r 2 ω 2 sin ¿¿+ r 5 ∝3 cos ¿ ¿ 2

as "órmulas dadas en <15= ( <1$= contienen ∝ sin sub#ndice ( con sub#ndice. Al"a con sub#ndice 2 ó 3 es la aceleración an!ular re"erente al eslabón del n;mero de su sub#ndice. 7ientras ue al"a sin sub#ndice representa la ma!nitud del án!ulo ´ del acoplador del eslabón 3. ´ ( BC entre los se!mentos PB


&á!ina 30

4 barras

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