ACTIVIDAD COLABORATIVA UNIDAD 2
RELACIONES Y FUNCIONES
CURSO: TEORÍA DE NÚMEROS
PRESNTADO POR OSCAR JAVIER SALAZAR GOMEZ
GRUPO: 551120_10
TUTOR: CARLOS EDMUNDO LÓPEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA_UNAD ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 2
Preguntas Iniciales: ¿Qué es un conjunto contable e incontable? En matemáticas, un conjunto numerable es un conjunto con la misma cardinalidad (número de elementos) que un subconjunto del conjunto de números naturales. Un conjunto numerable es o bien un conjunto finito o un conjunto infinito numerable. Por ejemplo, un conjunto T es numerable o contable cuando entre este conjunto y el conjunto de todos los números naturales se puede establecer una biyección. De modo que el conjunto tiene la misma cardinalidad que el conjunto N. Un conjunto S es contable si existe una función inyectiva f desde 1, 2, 3,...}.1
S a los números naturales N = {0,
Si a un conjunto f llega a ser también sobreyectiva (y por lo tanto biyectiva), entonces S se llama infinito numerable. En otras palabras, un conjunto es infinito numerable si tiene correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales, N. Como se señaló anteriormente, esta terminología no es universal. Algunos autores utilizan contable en el sentido de lo que aquí se llama infinito numerable, y no incluyen los conjuntos finitos. Formulaciones alternativas (equivalentes) de la definición en términos de una función biyectiva o una función sobreyectiva también se puede dar. Véase abajo. Un conjunto no numerable es un conjunto que no puede ser enumerado, es decir, un conjunto tal que no existe una función sobreyectiva del conjunto de los números naturales a dicho conjunto. Es decir, un conjunto A es no numerable si no existe ninguna función f tal que:
Un conjunto A es no numerable si no existe una función inyectiva:
Un conjunto A es no numerable si su cardinal es mayor que Aleph-0:
¿Qué es un homomorfismo y un isomorfismo? El término ‘isomorfismo’ quiere decir ‘igual forma’, con ello se busca destacar la idea según la cual existen similitudes y correspondencias formales entre diversos tipos de sistemas. La palabra isomórfico se refiere entonces a la construcción de modelos de sistemas similares al modelo original. El descubrimiento de un isomorfismo entre dos estructuras significa fundamentalmente que el estudio de cada una puede reducirse al de la otra, lo cual deja ver en claro dos puntos de vista desiguales sobre cada cuestión y suele ser primordial en su adecuada comprensión. Dos estructuras matemáticas entre las que existe una relación de isomorfismo se llaman isomorfas. En álgebra abstracta, isomorfismo es una biyectiva f tal que f y su inverso (que sería f elevado a -1) sean ambos homomorfismos. Esto significa que dos sistemas tienen una parte de su estructura general.
En matemáticas, un homomorfismo (o a veces simplemente morfismo) desde un objeto matemático a otro con la misma estructura algebraica, es una función que preserva las operaciones definidas en dichos objetos.
¿Explique brevemente los números de Fibonacci y de Lucas? Dé un ejemplo de cada ítem.
Los números de Fibonacci, son probablemente la sucesión de números mas famosa del mundo por diferentes razones, una de las principales es que la razón entre un número de Fibonacci y su sucesor, tiende al número de oro (también conocido como número áureo o proporción áurea), que se repite infinitamente en la naturaleza y al parecer, de alguna manera, define la belleza. A este número de oro, lo
y está dado por:
Ejemplo: Hagamos un ejemplo sencillo de como obtener usando los números de Fibonacci. Si no está familiarizado con los números de Fibonacci, los listaré a continuación (note que cada número es el resultado de la suma de sus dos predecesores):
Ahora tomemos, por ejemplo 89 y 55. Su cociente es bastante cercano a
:
Y de esta manera, entre mas grande sea el par de números de Fibonacci consecutivos, más cercano será su cociente a . Lastimosamente para Fibonacci, su sucesión no es la única de la que se puede obtener el número de oro (de hecho hay infinidad de sucesiones). Ahora, me gustaría que el lector tomara un lápiz y un pedazo de papel (y tal vez una calculadora) e hiciera lo siguiente: escoja sus dos números enteros positivos favoritos, para mayor agilidad, le recomiendo que no tengan más de dos dígitos cada uno; en mi caso serán 19 y 11, pero no tienen que ser números primos necesariamente.
Ahora súmelos, y de la misma manera en la que se obtienen los números de fibonacci continúe (recuerde, cada número es el resultado de la suma de sus dos predecesores).
Y de esta manera, se obtiene la sucesión:
Los números de Lucas son los números pertenecientes a la sucesión de enteros , llamados así por el matemático François Édouard Anatole Lucas (1842-1891), que estudió tanto que la secuencia y los números de Fibonacci estrechamente relacionados con los Lucas. No deben ser confundidos con la Sucesión de Lucas , que es la sucesión a la cuál pertenecen los números de Lucas. De manera similar a los números de Fibonacci, cada número de Lucas se define como la suma de sus dos inmediatos anteriores, formando así una secuencia de enteros de Fibonacci. Los dos primeros números Lucas son L0 = 2 y L1 = 1 en contraposición a los dos primeros números de Fibonacci que son F0 = 0 y F1 = 1. Aunque estrechamente relacionado en la definición, los números de Lucas y de Fibonacci presentan propiedades distintas.
Los números de Lucas pueden así ser definidos como sigue:
La secuencia de números Lucas es: 2,1,3.4.7,11,18,29,47,76,123…
EJERCICIOS
1. Sean J= {0,1,2,3,4} y defina la función F:J →J de la siguiente manera: Para cada x que pertenece a J () = 2 + 2 + 4 2. Encuentre lo siguiente:
a) F(0) b) F(2) c) F(4) Entonces :
Se tiene: : →
{
() = 2 + 2+ 4
: : → =
x
f(x)
0
4
2
12
4
28
{(0,4), (2,12), (4,28)}
2.
Escribir cada relación en una tabla y dibuje la gráfica.
a)
Relación R en {1,2,3,4 } definida por (, )
∈
2 ≥
X
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
y
1
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
b) La relación = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,3),(3,1)} = {1,2,3} Se nota que el dominio de R = {1,2,3} y el recorrido de R= {1,2,3}
X
1
1
2
2
3
3
y
1
2
1
3
3
1
3. Determine si las siguientes relaciones son de equivalencia en el conjunto de personas: Recordemos que : Para que una relación sea equivalente debe cumplir tres propiedades:
Re flexiva : x, x A xRx
Simétrica : xy, xRy yRx Transitiva : xyz , xRy yRz xRz a) {(, )| y tienen los mismos padres}.
Sí es Re flexiva porque : x, x A xRx Sí es Simétrica porque : xy, xRy yRx Sí es Transitiva porque :
xyz , xRy yRz xRz
Sí es una Re lación de equivalencia
b) {(, )| y tienen el mismo apellido}.
Sí es Re flexiva porque : x, x A xRx Sí es Simétrica porque : xy, xRy yRx No es Transitiva porque :
xyz , x , y R, y, z R x , z R
por diferir en uno de los dos apellidos
No es una Re lación de equivalencia
c) {(, )| es más alto que }. No es Re flexiva porque : x, x A x, x R No es Simétrica porque : xy, x A y B x , y R y, x R No es Transitiva porque : xyz , x, y R, y, z R x, z R
No es una Re lación de equivalencia
d) {(, )| y viven en el mismo barrio}. Sí es Re flexiva porque : x, x A xRx Sí es Simétrica porque : xy, xRy yRx Sí es Transitiva porque : xyz , xRy yRz xRz
Sí es una Re lación de equivalencia
e) {(, )| y son de la misma edad}. Sí es Re flexiva porque : x, x A xRx Sí es Simétrica porque : xy, xRy yRx Sí es Transitiva porque : xyz , xRy yRz xRz
Sí es una Re lación de equivalencia
4. Encuentre si la relación es una relación de equivalencia. a) {(1,1,),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1)}. Sí es Re flexiva porque : x, x A xRx Sí es Simétrica porque : xy, xRy yRx Sí es Transitiva porque : xyz , xRy yRz xRz
Sí es una Re lación de equivalencia
b) {(x,y)|2 divide a x+y} (2,4)|2 2| 2+4 Es una relación simétrica, es reflexiva y es transitiva por tanto es una relación de equivalencia. La suma de los números pares es un número par, todo número par es divisible por dos. Si 2y 4 son divisibles por 2 entonces 2+4 es divisible por dos.
c) {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(5,1),(3,5),(5,3),(1,3),(2,1)}. Sí es Re flexiva porque : x, x A xRx Sí es Simétrica porque : xy, xRy yRx Sí es Transitiva porque : xyz , xRy yRz xRz
Sí es una Re lación de equivalencia
d) {(x,y)|1 ≤ ≤ 6 ∧ 1 ≤ ≤ 6}. x 1, 2,3, 4,5, 6 y 1, 2,3, 4,5, 6 Es una relación de equivalencia en: [1]=[2]=[3]=[4]=[5]=[6]={1,2,3,4,5,6 }
5. Determine cuáles de las siguientes relaciones de congruencia son verdaderas y cuáles son falsas:
a) 10≡3 mod 2 La congruencia se define como: a≡b mod(m) si
m| b-a
Entonces tenemos: a=3 , b=10 , m=2 (3-10) =-7
2|-7 no es un número exacto porque 2 no divide exactamente a 7. No es
una congruencia; por tanto, es falso.
b) 12≡3 mod 10 Entonces tenemos: a=20 , b=40 ,m=12 (3-12) =-9
10|-9 no es un número exacto porque 10 no divide exactamente a -9; por
tanto es falso.
c) 20≡40 mod 12
Entonces tenemos: a=20, b=40 , m=12 (40-20) =20 12| 20 no es un número exacto porque 12 no divide exactamente a 20; por lo que es falsa esta congruencia.
6.
Sea X={1,3,5} y Y={a,b,c,d}. Defina la función dada en el diagrama de flechas :
Por ser una función de la forma f(x) = b , donde b es una constante, se conoce como una
función constante.
a) Escriba el dominio y el codominio de g. Dom g 1,3,5 Codom g a,b, c, d
b) Encuentre g(1), g(3), g(5). Las imagenes de los elementos1, 3, 5 son respectivamente : g 1 b g 3 b g 5 b
c) ¿Cuál es el rango de g? Rango g :b
d) ¿Es 5 una imagen inversa de a? No. Porque no hay f 1 a
e) ¿Es 1 una imagen inversa de b?
Sí . f 1 b 1
f)
¿Cuál es la imagen inversa de b?
el elemento b posee tres imagenes inversas : f
1
b 1, 3, 5
g) Represente a g como un conjunto de pares ordenados. g como conjunto de pares ordenados : g 1, b, 3, b, 5, b
7. Halle las funciones compuestas dadas según el siguiente gráfico: Sea X={a,b,c}, Y={x,y,z}, Z={u,v,w}. Se define : → , : → .
a) ∘ . Los conjuntos de pares ord enados de las funciones son : f a, y , b, x , c, z g
x
,
v
y w z u ,
,
,
,
Verificamos si existe g f : Dom g x, y, z Rang f a, b, c
Dom g Rang f g
b)
( ∘ )−1
Como g
g c)
f No existe
f No existe ; por tan to tampoco tiene inversa :
1
f No existe.
−1
Como la función g es : g x, v, y, w, z , u La inversa de la función g es g 1, será : g 1 v, x, w, y , u, z
d) −1 Como la función f es : f a, y , b, x, c, z La inversa de la función f es f
1
, será :
f 1 y, a, x, b, z , c
e)
−1 ∘ −1
Los conjuntos de pares ordenados de las funciones inversas f 1 y g 1 son : f 1 y, a , x, b , z , c g1 v, x , w, y , u, z Verificamos si existe f 1 g 1 : Dom f 1 x, y, z Rang g 1 x, y, z
Dom f 1 Rang g 1 x, y, z f 1 g 1 Sí existe Luego :
v, x g x, b f v, b f w, y g y, a f w, a f u, z g z , c f u, c f 1
1
1
1
1
1
1
1
g 1 1
g 1 g 1
f 1 g 1 v, b, w, a , u, c
Establezca como están relacionadas ( ∘ )−1 y −1 ∘ −1
f)
g
1
f No existe, mientras que f 1 g 1 si existe.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_numerable https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_no_numerable https://matematica.laguia2000.com/general/isomorfismo https://elblogdecontar.wordpress.com/2016/07/04/fibonacci-y-lucas-parte-ii/
