Metodo Dual

Investigación de Operaciones – Método Dual

Método Dual

Caracas, Enero de 2011

0


Índice



Introducción

………………………………………..............

2



Método Dual

………………………………………..............

3



Teoría de la Dualidad

………………………………………..............

7



Método Dual-Simplex

………………………………………..............

8



Ejercicios Prácticos

………………………………………..............

13



Conclusión

………………………………………..............

19

1


Introducción

Todo problema de Programación Lineal tiene asociado un segundo problema, conocido como su problema Dual. Ambos están relacionados estrechamente, hasta el punto de que el modelo de uno puede obtenerse a partir del modelo del otro y la solución óptima del modelo del primero proporciona información completa acerca de la solución óptima del segundo.

Una de las ventajas de la existencia del problema dual es la posibilidad de reducir el esfuerzo computacional al resolver ciertos modelos de Programación Lineal. Pero más importante aún es la relación que existe entre la dualidad y el análisis de sensibilidad, tema del próximo capitulo, el cual estudia el efecto que las variaciones en los parámetros de un modelo tienen en la solución óptima de este. Además, los valores óptimos de las variables del modelo dual suministran información económica muy importante acerca del valor implícito de los recursos que se utilizan en el problema que se esta resolviendo.

2


MÉTODO DUAL El dual es un problema de PL que se obtiene matemáticamente de un modelo primal de PL dado. Los problemas dual y primal están relacionados a tal grado, que la solución símplex óptima de cualquiera de los dos problemas conduce en forma automática a la solución óptima del otro. El

método simplex además de resolver un problema de PL llegando a una

solución óptima nos ofrece más y mejores elementos para la toma de decisiones. La dualidad y el análisis de sensibilidad son potencialidades de éste método. En la mayoría de los procedimientos de PL, el dual se define para varias formas del primal, dependiendo de los tipos de restricciones, de los signos de las variables y del sentido de la optimización. La experiencia nos indica que en ocasiones, los principiantes se confunden con los detalles de esas definiciones. Más importante aún es que el uso de esas definiciones múltiples puede conducir a interpretaciones inconsistentes de los datos en la tabla símplex, sobre todo en lo que respecta a los signos de las variables.

El concepto de dualidad indica que para cada problema de PL hay una asociación y una relación muy importante con otro problema de programación lineal, llamado precisamente dual. La relación entre el problema dual y su asociado, es decir el problema original llamado primal, presenta varias utilidades: 

Aporta elementos que aumentan sustancialmente la compresión de la PL.



El análisis de dualidad es una herramienta útil en la solución de problemas de PL, por ejemplo: más restricciones que variables.



El problema dual tiene interpretaciones e informaciones importantes que muestran que los análisis marginales están siempre involucrados implícitamente al buscar la solución óptima a un problema de PL.

3


La forma estándar general del primal se defina como; para maximizar o minimizar:

sujeto a;

FORMA DE PRESENTAR EL PROBLEMA DUAL MIN = 2X1 - 3X2 Sujeto a: 1X1 + 2X2

12

4X1 - 2X2

3

6X1 - 1X2 = 10 X1,2

4


1. Llevar el problema a su equivalente de maximización, multiplicando la función objetivo por –1: MAX -2X1 + 3X2 2.

–1

ambos lados: -4x1 + 2x2

-3

3. Para las restricciones de igualdad, obtener 2 restricciones de desigualdad, una de form

6X1 – 6X1 – 6X1 – 1X2

10

-6X1 + 1X2

-10

Así el problema primal se ha replanteado en la forma equivalente: MAX Z= -2X1 + 3X2 Sujeto a: 1X1 + 2X2

12

-4X1 + 2X2

-3

6X1 – 1X2

10

-6X1 + 1X2

-10

5


4. Teniendo el problema primal convertido a la forma canónica de un problema de maximización, es fácil llevarlo al problema dual: MIN

12Y1 – 3Y2 + 10Y3

Sujeto a:

Y1 –4Y2 + 6Y3’–

-2

2Y1 + 2Y2 – 1Y3’ + 1Y3’’

Y’3 y Y’’3 ambas se refieren a la tercera restricción

3

del problema primal.

6


TEORIA DE LA DUALIDAD

Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con el. Uno se denomina primal y el otro dual. Los 2 poseen propiedades muy relacionadas, de tal manera que la solución óptima a un problema proporciona información completa sobre la solución óptima para el otro. Las relaciones entre el primal y el dual se utilizan para reducir el esfuerzo de computo en ciertos problemas y para obtener información adicional sobre las variaciones en la solución óptima debidas a ciertos cambios en los coeficientes y en la formulación del problema. Esto se conoce como análisis de sensibilidad o post-optimidad.

DEFINICION DEL PROBLEMA DUAL. Para poder elaborar el problema dual a partir del primal, este se debe presentar en su forma canónica de la siguiente forma:

Maximizar Sujeto a:

7


El problema dual se puede obtener a partir del problema primal y viceversa de la siguiente manera: 1. Cada restricción de un problema corresponde a una variable en el otro. 2. Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema son iguales a los coeficientes respectivos de la función objetivo en el otro. 3. Un problema busca maximizar y el otro minimizar. 4. El problema de maximización tiene restricciones tiene restricciones

que y el problema de minimización

que.

5. Las variables en ambos casos son no negativas.

Método Dual - Simplex. Aprovechando las propiedades de los problemas asociados primal y dual, se desarrolló el método dual-simplex que se aplica: en algunos casos de análisis de sensibilidad, como ocurre en cambios de los recursos del problema; también para resolver problemas de objetivo mínimo y al menos una restricción de tipo >=, o para ahorro en cálculos evitando los métodos simplex penal y dos fases. Se aplica cuando el problema cambia a no factible, pero el renglón Z se presenta óptimo. Ahora observe y compare la aplicación ( ) de criterios del simplex en coeficientes del modelo de PL resumido, a los problemas primal y dual.

8


Criterios del simplex en coeficientes del modelo de PL resumido, a los problemas primal y dual. Enseguida se presenta una comparación funcional del simplex y el dual simplex.

Comparación funcional del simplex y el dual simplex.

Criterios del método dual-simplex para el c ambio de base. En el algoritmo dual-simplex aplican los siguientes criterios para cambio de base:

Criterio de factibilidad Se aplica en el dual-simplex para determinar, entre las variables básicas, una VS que

salga de la base, eligiendo para salir la que corresponda al valor más negativo en la columna de solución. Esto es válido tanto para el objetivo mínimo como para el máximo.

Criterio de optimalidad Se aplica en el dual-simplex para determinar, entre las variables no básicas, una VE que

entre a la base con el siguiente procedimiento:

Criterio de Optimalidad en el método dual-simplex.

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Elemento Pivote Se ubica como pivote al coeficiente que corresponde al cruce del renglón y columna elegidos con los criterios del cambio de base.

EL MÉTODO DUAL SIMPLEX Como sabemos, el método simplex es un algoritmo iterativo que iniciando en una solución básica factible pero no óptima, genera soluciones básicas factibles cada vez mejores hasta encontrar la solución óptima (sí esta existe). Nótese que la base de su lógica es mantener la factibilidad, mientras busca la optimalidad. Pero surge la posibilidad de usar otro esquema igualmente iterativo, que como contraparte del simplex, comienza en una solución básica óptima, pero no factible y mantiene la inmejorabilidad mientras busca la factibilidad. Con este procedimiento se llega igualmente a la solución óptima.

El nuevo algoritmo fue desarrollo en 1954 por C. E. Lemke y se conoce con el nombre de Método Dual-Simplex. A continuación se presenta su estructura y un ejemplo para ilustrar su aplicación.

Algoritmo Dual-Simplex para un modelo de maximización

Primero se debe expresar el modelo en formato estándar, agregando las variables de holgura y de exceso que se requieran.

Enseguida, en las ecuaciones que tengan variables de exceso (resultantes de restricciones de tipo >), se debe multiplicar por (-1) en ambos lados , para hacer positivo el coeficiente de la variable de exceso, y formar así un vector unitario que nos permita tomar esta variable de exceso como una variable básica inicial. sin necesidad de agregar una variable artificial en esa restricción.

10


Al hacer lo anterior se logra que debajo de las variables básicas aparezca una matriz identidad, que es la que el simplex siempre toma como base inicial. Obtendremos que los términos del lado derecho de las ecuaciones multiplicadas por (-1) quedan con signo negativo, lo cual hace que la solución inicial sea infactible. Es importante destacar que este proceso es muy útil ya que en muchos modelos evita la inclusión de variables artificiales en el momento de transformar un modelo a formato estándar.

El algoritmo para resolver un modelo de maximización es el siguiente: Paso 1: Hallar una solución básica inicial infactible e inmejorable Escribir el tablero inicial tomando a las variables de holgura y de exceso como variables básicas iniciales.

Paso 2: Prueba de factibilidad a. Si todas las variables básicas son no negatívas, la actual solución es la óptima. b. Si hay al menos una variable básica negativa, seleccionar como variable de salida, ( llamémosla (XB)s ), a aquella con el valor mas negativo. Los empates se pueden romper arbitrariamente.

Paso 3: Prueba de inmejorabilidad a. Sí en el renglón de la variable básica de salida (XB)s todos los coeficientes de reemplazo con las variables no básicas son no negativos, la solución del modelo es óptima ¡limitada. Se termina el proceso. Si en el renglón de la variable básica de salida (XB)s, hay al menos un coeficiente de intercambio negativo , se efectúan los cocientes entre el efecto neto de cada variable no básicas y su correspondiente el coeficiente de intercambio negativo.

11


Es decir, siendo (XB)s la variable de salida se calculan todos los cocientes Se toma como variable de entrada (llamémosla Xe ) a aquella que corresponda al mínimo de los cocientes del anterior conjunto. Si la variable de entrada es Xe el elemento pivote será el elemento (Se)s El empate se puede romper arbitrariamente. b. Aplicar la operación de pivoteo para generar la nueva tabla, en la cual aparezca Xe como variable básica en lugar de la variable de salida (XB)s c. Repetir el algoritmo a partir del paso 2.

Ejemplo de aplicación del Método Dual Simplex Sea el siguiente modelo: Maximizar

| Z=

| -2X1 | -2X2 | -3X3 |

Sujeto a :

| 2X1 | +4X2 | +2X3 | >

| 10

|

| 3X1 | -3X2 | +9X3 | =

| 12

|

| con

|

| X1, X2, X3 > 0

|

Expresemos el modelo en formato estándar

Maximizar

| Z=

| -2X1 | -2X2 | -3X3 |

Sujeto a :

| 2X1 | +4X2 | +2X3 | -IE1 | | 3X1 | -3X2 | +9X3 |

|

|

|

|=

| 10

|

| -IE2 | =

| 12

|

multipliquemos por (-1) en ambos lados de las ecuaciones, para formar los vectores unitarios, requeridos para contar con una base inicial unitaria. Maximizar

| Z=

| -2X1 | -2X2 | -3X3 |

|

|

| 12


Sujeto a :

| -2X1 | -4X2 | -2X3 | +IE1 | | -3X1 | +3X2 | -9X3 |

|=

| -10

|

| +IE2 | =

| -12

|

Ejercicios Prácticos Ejemplo 1:

Primo Min Z = 3X1 - 2X2 + X3

Sujeto a : 2X1 -

-

2X1 - 3X2 + X3 2X1 + 3X2 -

-1

-

2X1 + 3X2 - X4 x´s

- 2X1 + 3X2 - X

8 - 2X1 - 3X2 + X4

-8

0

Dual Max Z = W1 - W2 + 8W3 - 8W4

Sujeto a :

13


2W1 - 3W2 + 2W3 - 2W4 -3W1 + 3W2 + 3W3 - 3W4 W1 - W2

3 -2

1

- W3 -

Ejemplo 2:

Primo: Max Z = 3X1 - X2 Sujeto a; -X1 + 2X2 ≥ 5 X1 + 3X2 ≤ -2 X´s³0

Dual: Max Z= 5W1 - 20W2 Sujeto a; -W1 + W2 ≤ 3 2W1 + 3W2 ≤ -1 W1

0, ,W2 ³ 0

14


Ejemplo 3: Primo : Min Z = -2X1 +13X2 +3X3 - 2X4+ X5 + 5X6 Sujeto a; X1 - X2 + 4X4 – X5+ X6 = 16 X1 + 7X4 - 2X5 + 3X6 ≥ - 1 5X2 + X3 - X4+ 2X5 - X6 ≤ 5 Xi ³ 0, para 1=1,2,3 X4

0

X5, X6 No restringidas Dual: Max Z=16W1 - W2+ 5W3 Sujeto a; W1 + W2 + ≤ -2

-W1 + + 5W3 ≤ 13 + + W3 ≤ 3

4W1 + 7W2 - W3 ³ ≥ -2 W1 -2W2 +2W3 = 1 5W1 + 3W2 - W3 = 5 W1 no restringida, ,W2 ³≥ 0, W3 ≤ 0

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Ejemplo 4: Una compañía fabrica 4 modelos de escritorios, cada escritorio es primero construido en el taller de carpintería y entonces es enviado al departamento de acabados, donde este es barnizado, encerado y pulido, se proporciona a continuación la siguiente información:

1. Los insumos (materia prima y accesorios) están disponibles en cantidades suficientes y todos los escritorios pueden ser vendidos.

2. La compañía desea determinar la mezcla óptima de productos tal que se maximice la ganancia.

3. Las limitaciones de capacidad por departamento par el próximo periodo de planeación son: 6000 H.H (Horas-Hombre) en el taller de carpintería y 4000 H.H en el de acabados. 4. Las horas hombre requeridas por tipo de escritorio y sus ganancias se dan a continuación ESCRITORIO 1

2

3

4

Taller de carpintería (H.H)

4

9

7

10

Depto. de acabados (H.H)

1

1

3

40

Ganancias (en miles de

12 20

18

40

pesos)

16


Primo Dual Max Z=12+X120+X218X3+40X4 Sujeto a: 4X1+9X2+7X3+ 10X4 ≤ 6000 X1+ X2+ 3X3+ 40X4 ≤ 4000 X´s ≥ 0

Tabla Inicial: XB

X1

X2

X3

X4

X5

X6

LD

Zj-Cj

-12

-20

-18

-40

0

0

0

X5

4

9

7

10

1

0

6000

X6

1

1

3

40

0

1

4000

XB

X1

X2

X3

X4

X5

X6

LD

Zj-Cj

0

20/3

10/3

0

44/15

4/15

56000/3

X1

1

7/3

5/3

0

4/15

-1/15

4000/3

X4

0

-1/30

1/30

1

-1/150

4/150

200/3

Tabla Final

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Las variables del dual o precios sombra se encuentran en la fila Zj –Cj bajo las columnas que aportaron en la tabla inicial las variables de holgura. ( 1ª. Restricción que aporto la 1ª columna de la matriz identidad, estará relacionada con W1 , 2ª restricción que aportó la 2ª columna de la matriz identidad, estará relacionada con W2 y así sucesivamente.

El precio sombra o W, indicará que por cada unidad que se incremente la disponibilidad del recurso i, la función objetivo Z mejorara en W unidades. Indicar:

a) si W

0 en su ecuación correspondiente la variable de holgura es igual a cero, es decir

se usan todos los recursos de esta restricción. b) Sí W=0, en su ecuación correspondiente la variable de holgura es diferente de cero, es decir no se usan todos los recursos de esta restricción. Para que adquirir más artículos ce cierto recurso si su precio sombra W es igual a cero, es decir que no se han usado todos los artículos de este recurso. Interpretando en este ejemplo:

De la tabla: Por cada Hora-Hombre extra que se tenga en el departamento de acabados la ganancia se incrementará en 4/15 pesos. Por cada Hora-Hombre extra que se tenga en el taller de carpintería la ganancia se reducirá en 44/15 pesos.

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Conclusión

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Metodo Dual

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