Clasificación de Los Números y Sus Propiedades

Clasificacionn de los numeros Clasificacio y sus propiedades

Mundo Estudiante

DIANA LUCIA GONZÁLEZ ROSAS http://mundoestudiante-luxdies13.blogspot.mx/

Clasificacion de los numeros << LOS NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES>>

ÍNDICE 1. Los Números Nú meros reales .................................................. ...................................................... ................2 1.1.Naturales 1.1. Naturales .............................................................. ................2 1.2.Enter 1.2. Enteros os ................................................................... ............................................... .................... ................2 1.3.Racionales............................................................. 1.3. Racionales............................................................. ................3 1.4.Irracion 1.4. Irracionales ales ................................................ ........................................................... ........... ................3 1.5.Reales 1.5. Reales ................................................ .................................................................... .................... ................3 1.6.Imagin 1.6. Imaginarios arios ................................................ ........................................................... ........... ................3 1.7.Complejos 1.7. Complejos .................................................. ............................................................. ........... ................4 1.8.Esqu 1.8. Esquema ema ..................................................... ................................................................ ........... ................4 1.9.Diagram 1.9. Diagrama a de Venn ............................................. ................5 2. Propiedades de los números Reales .............. ..................... ....... ......... ................ .......6 6 2.1.Conmut 2.1. Conmutativa ativa ......................................................... .............................................. ........... ................6 2.2.Asociativa 2.2. Asociativa ............................................................. ................6 2.3.Distributiva 2.3. Distributiva ........................................................... ................7 2.4.Elemento 2.4. Elemento neutro o identidad ............................ ................7 2.5.Inverso 2.5. Inverso ................................................................... ................7 2.6.Ejemplo 2.6. Ejemplo .................................................................. .............................................. .................... ................8 2.7.Ejercicio 2.7. Ejercicioss ..................................................... ................................................................ ........... ................8 2.8.Referen 2.8. Referencias cias ................................................ ........................................................... ........... ................9

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Diana Lucia González Rosas (LuxDies)

http://mundoestudiante-luxdies13.blogspot.mx/

Clasificacion de los numeros << LOS NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES>> LOS NÚMEROS REALES

Los números reales se emplean en toda la matemática por lo que resulta útil clasificar los diferentes tipos de números que manejamos. Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales, Reales, Imaginarios, y Complejos. NATURALES

Son aquellos números que nacieron de la necesidad de d e contar o enumerar, enu merar, con estos números contamos los elementos de un conjunto o expresamos el lugar u orden que ocupa un elemento. Se denotan por :

ℕ

ℕ = {1,2,3,4,5,…..∞ } Desde 1 al infinito

NOTA: La suma y la multiplicación de números naturales dan como resultado otro número natural.

ENTEROS

Son una generalización de los números naturales, incluye al cero y los enteros negativos, nos permiten expresar, dinero adeudado, la temperatura bajo cero, niveles bajo el mar, etc. Dicho conjunto se denota por :

ℤ

ℤ = {∞……5,4,3,2,1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … … ∞} Desde menos infinito hasta infinito O también:

ℤ+ = {1, 2, 3, 4, 5, … … ∞} ℤ− = {∞……5,4,3,2,1} {0} Enteros Positivos

Enteros Negativos

Cero

NOTA: La suma, la resta y la multiplicación de números enteros resultan otro número entero. En la división solo cuando la división es exacta. Página 2



Clasificacion de los numeros << LOS NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES>> RACIONALES

Se llama número racional a todo número que puede expresarse como el cociente (división o fracción) de dos enteros con denominador distinto de cero. Esto quiere decir que:

   ,   ℤ    ≠ 0 

Todo número que se puede expresar en fracción

En ocasiones los números racionales se expresan como decimales finitos o decimales infinitos periódicos. El conjunto de los números racionales se denota por .

ℚ

IRRACIONALES

Son aquellos que no pueden expresarse de manera man era fraccionaria o tienen cifras decimales infinitas no periódicas, tales como:

 =3.14592

℮ =3.14592

  

Todo número decimal que no se puede expresar en fracción

ℚ′

REALES

Pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas, en otras p alabras, todas las clasificaciones anteriores forman parte del conjunto de los números reales, los cuales se denotan por

ℝ

IMAGINARIOS

Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Cada número imaginario puede ser escrito como bi donde b es un número real e i es la unidad imaginaria. Donde:

  ℝ  = √ 1 1  = 1 No existen las raíces r aíces de números negativos, ningún número elevado al cuadrado es negativo, esos resultados son imaginarios.

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COMPLEJOS

Es el número compuesto de dos partes, un número real y un número imaginario, conectados por la suma de la forma , dicho conjunto se denota por .

  

ℂ

Estos números así como los imaginarios, se trabajan solo en niveles muy avanzados.

COMPLEJOS Un real mas un imaginario

REALES

IMAGINARIOS

Todos los números que conocemos

RACIONALES Todas las fracciones

Numero que no existe

IRRACIONALES Número no fraccionario

ENTEROS De menos infinito a infinito

NATURALES

Del 1 al infinito Página 4




DIAGRAMA DE VENN

ℚ ℤ

ℚ′

ℝ

ℕ

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Clasificacion de los numeros << LOS NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES>> PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

A continuación veremos las propiedades de los números reales, yo recomiendo leer con atención y trates de entenderlo lo mejor posible, pues yo te aseguro que tan solo con saber estas propiedades, te será mucho más sencillo resolver ciertas operaciones en un futuro. PROPIEDAD CONMUTATIVA

En la adición (suma) y en la multiplicación el orden es intrascendente, es decir: No importa que posición tenga, el resultado es el mismo.

Suma

 =  35 = 8 53 = 8

Multiplicación Ejemplo

= 35 = 15 53 = 15

Da el mismo resultado sin importar el orden PROPIEDAD ASOCIATIVA

La agrupación, cuando se suman o multiplican mu ltiplican más de dos números reales, no afectará el resultad final, es decir: No importa como lo agrupes, el resultado es el mismo

Suma

Multiplicación

     =      = Ejemplo 3  5  2=10 (35)2=30 3(52) = 30 3  5  2 = 10 Da el mismo resultado sin importar la agrupación

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Clasificacion de los numeros << LOS NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES>> PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

Multiplicar un número y la suma de d e dos o más cifras equivale a multiplicar cada cifra por el número y luego sumar los resultados, es decir: Como la misma palabra lo indica, puedes “distribuir” el número de afu era entre los de

adentro, sin ignorar el signo que los suma.

  =      =    Ejemplo 3  52=16 35  2 = 21 32  52=16 35  32 = 21 ELEMENTO NEUTRO O IDENTIDAD

Es el elemento que al operarlo durante una u na suma o la multiplicación con cualquier número real, produce o da como resultado el mismo número real r eal respectivamente.

Suma

Multiplicación

0 es el elemento neutro

1 es el elemento identidad

1 = 

0 = 

INVERSO

Es el elemento que al operarlo con un número real bajo la suma o multiplicación da como resultado el elemento identidad de cada operación respectivamente.

Suma

Multiplicación

   = 0 -a es el inverso aditivo o negativo de a

1   = 1

1/a es el inverso multiplicativo o reciproco de a

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Con esto terminamos de ver las propiedades más básicas y útiles de los números reales, ahora explicaré una demostración de las mismas, para que te des una idea de d e dónde y en qué momento usar estas propiedades. EJEMPLO

Si p, q, r, y s denotan números reales demuestre qué:

     =        Muy bien, ahora debemos de demostrar qué propiedad p ropiedad se utilizó para llegar a este resultado. Si utilizamos la propiedad distributiva con la segunda agrupación, nos queda ría así:

       Y una vez más, si volvemos a usar la propiedad distributiva obtendremos:

       Y de esta forma ya hemos demostrado la igualdad. Te dejo aquí unos ejercicios parecidos. EJERCICIOS

Demuestre qué propiedades se usaron en las siguientes igualdades.

1. 2. 3. 4.

710=107 23   = 3  2 2   =22 2 2=23

Describa la expresión aplicando la propiedad indicada. Distributiva Asociativa

55= 73 = Página 8




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