TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 3: TAREA 7 - EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA, SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS
Present!" P"r: JOSE JAIR JAI R RODRIGUE# RODR IGUE# AMAYA AMAYA $ COD: %%&''(&3)3
ALGEBRA, TRIGONOMETRIAY GEOMETRIA ANALITICA $ 3*%3*%A+3* GRUPO: 3*%3*%+()
Present!" : DIBER ALBEIRO ALBEIR O VAUIRO VAUIRO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA DISTANCIA - UNAD U NAD CEAD LA GUAJIRA ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIV ADMINIST RATIVAS, AS, CONTABLES, ECON.MICAS Y DE NEGOCIOS - ECACEN MAYO %3 DE &*%7
INTRODUCCI.N
En el presente trabajo se pueden encontrar la resolución de los ejercicios planteados para la Tarea 7, unidad 3: Ejercicios de Geometría Analítica, Sumatorias y Productorias. Se elaboraron una seria de ejercicios, para demostrando los conocimientos aduiridos y !enerando partición conjunta con los compa"eros del !rupo colaborati#o, con la interacción de todos, ocupando un rol, tambi$n mostrando cada uno su punto de #ista construyendo un trabajo e%itoso
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD Pr"/0e1 %2 Pr 0"s 4nt"s 5 / !eter16nr 0 reset68 !6stn6 e406!6n, r e0 4nt" !eter16nr 0 ""r!en! s"066t!2
( 7,6 ) y (3,2)
2
/2 (−2,6 ) y ( 3,4 ) 2 L !6stn6 entre !"s 4nt"s es ), 4n" !e 0"s 4nt"s es 9 &, ;< 5 e0 "tr" 4nt" ,)<2 C4=0 es e0 80"r !e 0 ""r!en! ; en e0 4nt" 92
<
( 7,6 ) y (3, 2 ) D"n!e x 1=7, y 1= 6, x 2=3, y 2=2 2 y 2− y 1 ¿ 2 x 2− x 1 ¿ +¿ ¿ d =√ ¿ 2
2− 6 ¿ 3− 7 ¿
2
+¿
¿ d = √ ¿
> √ 32
/< (− 2 , 6 ) y ( 3 , 4 ) D"n!e x 1=−2, y 1=6, x 2=3, y 2=4 2
y 2− y 1 ¿ 2 x 2− x 1 ¿ +¿
¿ d =√ ¿
4 −6 ¿
2 2
3−(−2)¿
¿ d =√ ¿
+¿
d = √ 25 + 4
d = √ 29
< L !6stn6 entre !"s 4nt"s es ), 4n" !e 0"s 4nt"s es 9 &, ;< 5 e0 "tr" 4nt" ,)<2 C4=0 es e0 80"r !e 0 ""r!en! ; en e0 4nt" 92 d =5 W ( 2, x ) Q ( 6, 5 ) D"n!e x 1=2, y 1 = x , x 2=6, y 2=5 y 2− y 1 ¿ 2
x 2− x 1 ¿ d
2
2
+¿
=¿ 2
5− x ¿ 6 −2 ¿
2
+¿ 5 =¿ 2
−2 ( 5 ) ( x ) + x 2 25=16 + ¿
2
5¿
25=16 + 25−10 x + x
2
x 2−10 x + 16 =0
( x −8 ) ( x − 2 )= 0 x =2 x =8
Pr"/0e1 &2 De1"strr ?4e: @6r/"0 5 !eter16ne: 2 Centr" /2 ""s 2 Vrt6es 2
−8 y 2+ 12 x + 16 y + 20=0
2
−8 y 2+ 12 x +16 y =−20
3 x 3 x
2
3 x
−8 y 2+ 12 x + 16 y + 20=0 reresent 4n
9
(
x 2 +
(
2 x +
) (
4 x 3
4
) (
4 x
−
3
)
−64 y 2− y =−20 64
2 y −
9
y 4
)
=
−20 9
( x+ ) − ( y − y )= −
1
2
64
2
1
3
2
9
4
144
( ) ( )
1
2
x +
64
3
2
−
1
y −
9
2
1 8
( ) + ( y− ) = 2
− x +
2
8
17
17
9
64
=
() 4
64 9
−17 576
2
2 3
8
17
1
1
( y− ) − ( x−( )) +¿ √ √ ( ) ( ) 2
1
+
2
1
3
5
2
2
17
8
1
3
Centr" ( h , k )=
(
−2 3
1
,
8
)
, a=
√ 17 8
, b=
"" ( h , k + c ) , ( h , k − c )
(
−2 3
)(
1
, +c , 8
−2 3
1
, −c 8
√( ) ( ) − + − ( )( 2
c=
)
2
√ 17 + √ 17 = √ 1241 8
3
2 3 √ 1241 , 3 24
24
2 3 −√ 1241
,
3
,
Vert6es ( h , k + a ) , ( h , k −a )
( − , +a) ,( − , − a) 2 1
3
8
2 1
3
8
24
)
√ 17 3
(−
2 1 + √ 17
3
,
8
) (− ,
2 1− √ 17
3
,
8
)
Pr"/0e1 32 De1"strr ?4e: %* & ' & & % > %'' es 0 e46n !e 4n e06se 5 !eter16ne: 2 Centr" /2 ""s 2 Vrt6es &' ( ) * ( ) ( ) &+ &** -&'%()(% ) -*y()&+y &** &'-%( ) %/0)&/&'')*-y()*y)* &**)&/&')&+ &'-%)&/&'()*-y)((&+&
x +
1 10
¿2
¿ y + 2 ¿2 ¿ 4¿ 10 ¿ ¿ x +
1 10
¿2
¿ y + 2 ¿2 ¿ 4¿ ¿ ¿ x + 0.1 ¿
¿ y + 2 ¿2 ¿ ¿ ¿ ¿
2
2
x −h ¿
¿ 2 y − k ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
a( *'.'3
a +.3(
b( &+.&
b *.'&
1 '.&
2
4(
*'.'3 &+.&
2
2 C @, <
(3.53 2 *.65
2 -'.&, (
B 22oordenada de los #$rtices eje mayor V% > @, < & -'.&, ( ) *'.'3 & -'.&, *(.'3
V& > @, - < ( -'.&, ( 8 *'.'3 ( - '.& , 36.'3 2oordenada de los #$rtices eje menor
V3 > @ /, < 3 -'.& ) *.'&, ( 3 -*.&&, (
V' > @ $ /, < * -'.& 8 *.'&, ( * -3.5&, (
2 2oordenadas de los 9ocos % > @, < & -'.&, ( ) *.65 & -'.&, +.65
& > @, - < ( -'.&, ( 8 *.65 ( -'.&, (.65
Pr"/0e1 '2 D! 0 e46n, 6!ent6F6r entr", 8rt6es 5 F""s2 - ) 7 ( ) - ; 0 ( &+
&
(0
a( &+
a*
b( (0
b0
1 7
2
&+ (0
<0
2
5
2 -1, <
23
2entro 2 -7, 0 2oordenada de los #$rtices a. $rtices: Para el eje mayor tenemos
V 1=( h , k + a ) & -7,0)* & -7,5
V 2=(−0.1,−2 −6.33 ) ( -'.&, 6.33 2oordenadas de los #$rtices eje menor
V3 > @ /, < 3 -7 )0,0 3 -(,0
V' > @ $ / ,)<
* -7 0,0 * -&(,0 2oordenadas de los 9ocos Estos se ubican en el eje mayor de la elipse
% > @, < & -7,0 )3 & -7,6
& > @, -< ( -7, 0 3 3 -7,(
2 2 Pr"/0e1 )2 =emostrar ue la ecuación x + y +2 y − 49=0 Es una circun9erencia.
=eterminar: a. 2entro b. >adio 2 2 x + y + 2 y − 49=0
x
2
+ y 2 + 2 y = 49
x
2
+( y 2 + 2 y )= 49
2 2 x + ( y + 2 y + 1 ) =49 + 1
x
2
+( y +1)2 =50 2
( x −0 )2 +( y −(−1 ))2=( √ 2∗5 )
Centr" ( a , b ) =( 0,−1 ) R!6" r = √ 2∗5
7 00r 0 e46n !e 0 ret ?4e s "r e0 4nt" eren!640r 0 ret x −7 y + 21=0 2
( 10,0 ) 5 es
A la recta conocida la #amos a denominar
l 1 y a la recta desconocida la #amos a
l2 .
denominar
Primero se procede a calcular la pendiente de la recta conocida. x −7 y + 21=0 x −7 y =−21 ?ultiplicamos toda la e%presión por &. 7 y = x + 21 1
21
7
7
y = x +
2omo se tiene para rectas perpendiculares ue: m 1∗m 2 =−1 1 7
∗m 2 =−1
m 2 =−7 A1ora planteamos la ecuación de la recta
l2 .
y =−7 x + b
Pero la recta pasa por el punto
( 10,0 ) .
0 =−7 ( 10 ) + b 70= b
Entonces:
y =−7 x + 70
C"1r"/6"n "n Ge"He/r
(2 Un 6r4nFeren6 "rt 0 ee ; en !"s 4nt"s, t6ene !e r!6" %* 4n6!!es, e0 entr" est= en (−2, k ) 5 s "r e0 4nt" ( 8,− 4 ) 200r 0 e46n Hener0 !e !6@ 6r4nFeren62 =esarrollo
Planteamos la ecuación canónica.
( x −h )2 +( y −k )2= R2 >eempla@amos de acuerda a los datos dados en el enunciado
( x + 2)2 +( y −k )2=100 2omo el punto -6,* satis9ace dic1a ecuación, lo podemos reempla@ar en la ecuación canónica. uedando ue:
( x + 2)2 +( y −k )2=100
( 8 + 2 )2+(−4 − k )2 =100 A1ora
(−4 −k )2=100 −( 8 + 2)2 (−4 −k )2=100 −(10 )2
(−4 −k )2=100 −100 (−4 −k )2=0 Sacamos la raí@ cuadrada
√ (−4 − k ) = 0 2
−4 −k =0 −k = 4 k =−4 2on esto planteamos la ecuación canónica.
( x + 2)2 +( y + 4 )2=100 Para conse!uir la ecuación canónica se procede a resol#er los cuadrados. 2 2 x + 4 x + 4 + y + 8 y + 16=100
2 2 x + 4 x + y + 8 y + 20−100 =0
inalmente, la ecuación !eneral es: 2 2 x + 4 x + y + 8 y −80 =0
2omprobación con Geo!ebra.
Pr"/0e1 2 Res"08er 0 s6H46ente s41t"r6 5 "1r"/r "n Ge"He/r2
( 3 k + 4 )k ∑ k =−1 2 k + 3 3
Para Para
Para
Para
−1 es 1 0 es
1 es
2 es
1 3 7 5 100 7
3 es
Para
1+
1 3
2197 9
7
100
5
7
+ +
+
2197 9
=
82256 315
=261,13
Pr"/0e1 %*2 Res"08er 0 s6H46ente s41t"r6 5 "1r"/r "n Ge"He/r2 2
i +4 ∏ =− 3
i
1
Para
−1 es 3
Para
0 es 4
Para
1 es 5
Para
2 es 12
3∗4∗5∗12=720
CONCLUSI.N Bna #e@ reali@ada la acti#idad, se puede concluir ue con el desarrollo de este trabajo recibimos los conocimientos de la unidad 3 y lo aplicamos en la solución de ejercicios de Geometría Analítica, Sumatorias y Productorias, podemos decir ue todos estos ejercicios tienen procedimientos similares para su despeje. Adicionalmente, se obser#ó ue es de #ital importancia la con9irmación de la respuesta de la ecuación a tra#$s de Geo!ebra para #eri9icar ue uedó correctamente solucionado el ejercicio.
BIBLIOGRAÍA •
•
>ondón, C. -('&&. Al!ebra, Tri!onometría y Geometría Analítica. Do!ot =.2.: Bni#ersidad Facional Abierta y a =istancia. P!inas (76 8 30'. >ecuperado de: 1ttp://1dl.1andle.net/&'05+/73'& Andalón, C. -('&'. Ecuación !eneral de la recta. >ecuperado de: 1ttps://youtu.be/0b2HISG