Taller T aller 1
Marmol Espitia Miguel Angel vega
INVESTIGACION DE OPERACIONESDOCENTE: ING EDISON A!"ERTO S#ARE$ DOMING#E$
GRUPO3 3 17 21
17. Muifina es una pastelería reconocida en la ciudad de Montería, ella elabora dos tipos de torta: Vienesa y Real. Cada torta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de !" #ts, $ientras %ue una torta Real necesita $edio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce &"" #tas. de beneficio. 'n la pastelería se pueden hacer diaria$ente hasta 1!" Kg. de bizcocho y !" Kg. de relleno, aun%ue por proble$as de $a%uinaria no pueden hacer $(s de 1! tartas de cada tipo. )Cu(ntas tortas Vienesas y cuantas Reales deben *ender al día para %ue sea $(+i$o el beneficio : for$ule el anterior enunciado co$o un proble$a de progra$aci-n lineal.
oluci-n 'n pri$er lugar hace$os una tabla para organizar los datos: /ipo 0 2izcocho Relleno 2eneficio /. Vienesa + 1.+ ",!"+ !"+ /. Real y 1.y ",!""y &""y 1!" !"
3unci-n ob4eti*o 5hay %ue obtener su $(+i$o6:
f ( x , y ) =250 x + 400 y
u4eta a las siguientes condiciones 5restricciones del proble$a6: x + y ≤ 150 0,250 x + 0,500 y ≤ 50
x ≤ 125
y ≤ 125
x ≥ 0, y ≥ 0
Considera$os las rectas au+iliares a las restricciones y dibu4a$os la regi-n factible: #ara ".!+".!"y8!", - + y8"" + " ""
9 1"" "
#ara + y 81!"
+ " 1! "
9 1!" "
a otras dos son paralelas a los e4es
;l e4e <9 +81! ;l e4e <=
y 81!
9 las otras restricciones 5+ e y $ayor o igual a cero6 nos indican %ue las soluciones deben estar en el pri$er cuadrante a regi-n factible la he$os coloreado de Verde: 1)% 1(% 1'% 1%% *% )% (% '% % %
&%
1%%
1&%
'%%
'&%
'ncontre$os los *>rtices: 'l <5","6, el ;51!, "6 y el ?5", 1""6 se encuentran directa$ente 5son las intersecciones con los e4es coordenados6 e obser*a %ue la restricci-n Resol*iendo el siste$a:
y ≤ 125
es redundante 5es decir @sobraA6
x + 2 y =200
x + y =150, Por reducción obtenemos y =50, x =100
Otro vértice es el punto
C ( 100, 50 )
9 el Blti$o *>rtice %ue nos falta se obtiene resol*iendo el siste$a: x + y =150
x =125
Cuya Solución es : x =125, y =25 B ( 125, 25)
0,0 ) , A ( 125,0 ) , B ( 125,25 ) ,C ( 100,50 ) y D ( 0,100 ) os *>rtices de la regi-n son O (
i dibu4a$os el *ector de direcci-n de la funci-n ob4eti*o aciendo 250 x + 400 y =0
( ) =−(
y =−
+ " ""
9 " D1!
250
400
x
125 x 200
)
f ( x , y ) =250 x + 400 y
1)% 1(% 1'% 1%% *% )%
( 100,50 ) máximo
(% '% % %
&%
1%%
1&%
'%%
'&%
e *e gr(fica$ente %ue la soluci-n es el punto ( 100,50 ) ya %ue es el *>rtice $(s ale4ado 5el Blti$o %ue nos encontra$os al desplazar la rectas 250 x + 400 y =0 6 o co$proba$os con el $>todo analítico, es decir usando el teore$a %ue dice %ue si e+iste soluci-n Bnica debe hallarse en uno de los *>rtices a funci-n ob4eti*o era: f ( x , y ) =250 x + 400 y , sustituyendo en los *>rtices obtene$os
f ( 125,0 )= 31,250
f ( 125,25 )= 31,250 + 10,000 = 41,250
f ( 100,50 )= 25,000 + 20,000 = 45,000
f ( 0,100 ) =40,000
'l $(+i$o beneficio es &!,""" y se obtiene en el punto 51"", !"6 Conclusi-n: se tienen %ue *ender 1"" tartas *ienesas y !" tartas reales.
1. Reddy MiEEs produce pinturas para interiores y e+teriores, M1 y M. a tabla siguiente proporciona los datos b(sicos del proble$a.
#intura para e+teriores Matería #ri$a, M1 Materia #ri$a, M Gtilidad #or /oneladas 5$iles de H6
/on de $ateria pri$a de #intura para interiores ?isponibilidad diaria $(+i$a 5ton6 F & & 1 F ! &
Gna encuesta de $ercado indica %ue la de$anda diaria de pintura para interiores no puede ser $ayor %ue 1 tonelada $(s %ue la pintura para e+teriores. /a$bi>n, %ue la de$anda $(+i$a diaria de pintura para interiores es de toneladas. Reddy desea deter$inar la $ezcla -pti$a 5la $e4or6 de productos para e+teriores y para interiores %ue $a+i$ice la utilidad diaria total. 3or$ule el anterior enunciado co$o un proble$a de progra$aci-n lineal. 'l $odelo de progra$aci-n lineal, co$o en cual%uier $odelo de in*estigaci-n de operaciones, tiene tres co$ponentes b(sicos: • • •
as *ariables de decisi-n %ue se trata de deter$inar 'l ob4eti*o 5la $eta6 %ue se trata de opti$izar as restricciones %ue se deben satisfacer
Definimos las variables: =18toneladas producidas diaria$ente, de pintura para e+teriores =8toneladas producidas diaria$ente, de pintura para interiores #ara for$ar la funci-n ob4eti*o, la e$presa desea au$entar sus utilidades todo lo posible. i I representa la utilidad diaria total 5en $iles de pesos6, el ob4eti*o de la e$presa se e+presa así: Maximizar =5 x 1+ 4 x 2
; continuaci-n se definen las restricciones %ue li$itan el uso de las $aterias pri$as y la de$anda. 5Gso de $ateria pri$a para a$bas pinturas6
≤ 5?isponibilidad $(+i$a de $ateria pri$a6
egBn los datos del proble$a: uso dela materia !rima M 1, !or d"a= 6 x1 + 4 x 2 #on $sode lamateria !rima M 2, !or d"a = x 1+ 2 x 2 #on 9a %ue la disponibilidad de las $aterias pri$as M1 y M se li$ita a & y F toneladas, respecti*a$ente, las restricciones correspondientes se e+presan: 6 x 1+ 4 x 2 ≤ 24 ( Materia !rima M 1 )
x 1+ 2 x 2 ≤ 6 ( Materia Prima M 2 )
a pri$era restricci-n de la de$anda indica %ue la diferencia entre la producci-n diaria de pinturas % 2− % 1 para interiores y e+teriores, , no debe ser $ayor %ue 1 tonelada, y eso se traduce en: 2−¿ x 1 ≤ 1
x ¿
a segunda restricci-n de la de$anda estipula %ue la de$anda $(+i$a diaria de
pintura para interiores se li$ita a toneladas, y eso se traduce co$o:
x 2 ≤ 2
.
'l $odelo de Reddy MiEEs co$pleto es: Maximizar : =5 x 1+ 4 x 2 Su&eto a : x 2 ≤ 2
6 x 1+ 4 x 2 ≤ 24
x 1+ 2 x 2 ≤ 6
− x 1 + x 2 ≤ 1
x 1 , x2 ≥ 0
Cual%uier *alor de
x 1 y x 2
%ue satisfaga todas las restricciones del $odelo es una soluci-n
factible. ;hora haga$os el paso 1, es decir deter$inar el espacio de soluciones factibles. x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 #ri$ero se tendr(n en cuenta las restricciones de no negati*idad, es decir, . 'n la figura de aba4o el e4e horizontal
x 1
y el e4e *ertical
x2
, representan las *ariables pintura para
e+teriores y pintura para interiores, respecti*a$ente. 'n consecuencia, las restricciones de no
negati*idad li$itan el (rea del espacio de soluciones al pri$er cuadrante. #ara tener en cuenta las otras restricciones, pri$ero se sustituye cada desigualdad con una ecuaci-n y a continuaci-n se grafica la recta resultante, ubicando dos puntos diferentes de ella. #or e4e$plo, despu>s de sustituir 6 x 1+ 4 x 2 ≤ 24 6 x 1+ 4 x 2=24 con la recta , se pueden deter$inar dos puntos distintos, con x 2=0 , x1 =4 y con x 1=0 , x 2=6
. ?e este $odo la recta pasa por los puntos 5",F6 y 5&,"6 es lo
%ue se identifica con 516 en la figura de aba4o. a de$(s rectas se dibu4an d en la $is$a $anera. 6 x 1+ 4 x 2 ≤ 24 ( 1)
x 1+ 2 x 2 ≤ 6 ( 2 )
− x 1 + x 2 ≤ 1 (3 )
x 2 ≤ 2 (4 )
x 1 , ≥ 0 (5 )
x 1 , ≥ 0 (6 )
, ) & ( + ' 1 % %
1
'
+
(
&
)
,
*
'spacio factible del $odelo de Reddy MicEEs5 lo %ue encierra la parte de ;zul6
J. Co$bustibles ?e+tra produce gasolina y ;C#M a un costo de .""" y &.""" pesos por gal-n respecti*a$ente. Mediante un estudio se ha establecido %ue para producir un gal-n de gasolina se re%uieren & horas ho$bre de traba4o, F horas $(%uina y litros de petr-leoL $ientras %ue para producir un gal-n de ;C#M se re%uieren horas ho$bre de traba4o, ! horas $(%uina y 1" litros de petr-leo. ;de$(s, se sabe %ue para %ue no haya subutilizaci-n de los recursos se deben consu$ir
$íni$o J" horas ho$bre y $íni$o J"" horas $(%uina al $es. )u> cantidad de cada co$bustible se debe fabricar si se sabe hay una disponibilidad $ensual de "" litros de petr-leo TABLA 3.10 #ROD!TO 'A"OL$%A A# &
RE!R"O
D$"#O %$B$L$D
O%"!&O &$%$&O
&
J"
F
!
J""
N/R< H"""
1" H&""
""
?efinici-n de *ariables x 1='alones de (asolina)ue sedebe fabricar !or mes x 2='alonesde Ac!m)ue se debe !ormes
/eniendo en cuenta la definici-n de las *ariables el $odelo $ate$(tico %ueda #lanteado de la siguiente $anera. Min* =2000 x 1 + 4000 x 2
4 x 1 + 8 x 2 ≥ 320
6 x 1+ 5 x 2 ≥ 300
8 x 1+ 10 x 2 ≤ 800
x 1, x 2 ≥ 0 0ue*a$ente, siguiendo el $is$o proceso utilizado hasta el $o$entoL se grafiD can las restricciones y la funci-n ob4eti*o. 'sto se $uestra en la figura J.O, donD de se encuentra so$breada el (rea factible de soluci-nL así co$o los puntos -pti$os. #ri$era restricci-n 1 +¿ 8 x2 =320
{
si+x1 =0=¿ x 2= 40 ( 0,40 ) si+x 2=0 =¿ x1= 80 ( 80,0 ) 4 x¿
egunda Restricci-n
{
si+x 1= 0=¿ x 2=60 ( 0,60 ) si+x2 =0=¿ x 1=50 ( 50,0)
1 +¿ 5 x 2=300
6 x ¿
/ercera restricci-n 1 +¿ 10 x 2= 800
{
si+x 1= 0=¿ x 2=80 ( 0,80 ) si+x2 =0=¿ x 1=100 ( 100,0) 8 x ¿
(unci)n ob*etivo 'n la funci-n ob4eti*o
Min* =2000 x 1 + 4000 x 2
se *an a o$itir los tres ceros para facilidad en
el c(lculo y al final en la interpretaci-n el resultado se $ultiplica por $il. 'stableciendo un *alor arbitrario de " para I, se obtiene lo siguiente: 1 +¿ 4 x 2=80
{
si+x 1=0 =¿ x2 =20 ( 0,20 ) s i + x2= 0=¿ x 1= 40 ( 40,0 ) 2 x¿
O"TENCI-N DE !A SO!#CI-N -PTIMA a recta I8", %ued- deba4o del (rea factible de soluci-n, por lo %ue se traslada paralela$ente hacia esta (rea hasta %ue to%ue el pri$er punto de la $is$a. e obser*a %ue toca si$ult(nea$ente el punto ; y el punto 2 5cr>a$e o h(galo6L y todos los puntos inter$edios en este seg$ento de recta. 'sto indica %ue el proble$a tiene $uchas soluciones -pti$as.
Valores Y .% *% ,% )% &% (% +% '% 1% % %
1%
'%
+%
(%
&%
)%
,%
*%
.%
1%%
11%
1'%
'n lo %ue respecta a este te+to se hallar( la soluci-n en los dos puntos e+tre$os del seg$ento de recta %ue es soluci-n -pti$a del proble$a. "oluci)n en el punto a Co$o se puede obser*ar en la figura J.OL en el punto ; se intersectan las dos pri$eras restricciones. 'ntonces, se utiliza el siguiente procedi$iento para encontrar los *alores de las *ariables. 4 x (¿ ¿ 1 + 8 x 2=320 ) % (6 )
6 x (¿ ¿ 1 + 5 x2 =300) % (− 4 ) ________________________________________
¿
¿
___ 28 x2 =720, y des!e&ando se obtiene
x 2=
/o$ando el *alor de 4 x 1 + 8
x 2
720 28
=
360
$íni$o de:
7
180 70
y ree$plaz(ndolo en cual%uiera de estas dos restricciones se obtiene:
( ) 180
14
=
=320 , despe4ando se obtiene %ue x 1=
Min =2
( ) + ( ) = 200 7
4
180 7
160.
200 7
Con lo cual se obtiene un costo
$nterpretaci)n +e la soluci)n en el punto A 200
'sta soluci-n indica %ue se deben producir de galones de ;C#M
x 2=
7
de galones de gasolina
x 2=
180 7
180
y
7
180 7
para obtener un costo total $íni$o de H1F".""". 5Recuerde %ue
se había di*idido por $il la funci-n ob4eti*o6. 'l lector podr( corroborar %ue se consu$e e+acta$ente J" horas ho$bre y J"" horas $(%uina. 5Ree$place la soluci-n en las restricciones. ;de$(s, de los "" litros de petr-leo disponibles, se consu$en en la producci-n J.&""P7L por lo %ue est(n sobrando ."" litros de este recurso.
"oluci)n en el punto B Co$o se puede obser*ar en la figura, la soluci-n es directa y es =18" y =8"L para obtener un costo $íni$o de la siguiente for$a: Min =2 ( 80 ) + 4 ( 0 )= 160 $nterpretaci)n +e la soluci)n en el punto B. #ara esta soluci-n se deben producir " galones de gasolina y cero galones de ;C#M para obtener un costo $íni$o de H1F".""". 'n esta soluci-n se consu$en e+acta$ente J" horas ho$bre, &" horas $(%uina 5recuerde %ue el $íni$o a consu$ir es J"", por lo %ue se est( consu$iendo 1" horas $(%uina por enci$a del $íni$o establecido6 y F&" litros de petr-leo 5hay una disponibilidad de "" litrosL luego est(n sobrando 1F"6. itros. r*ese, %ue los dos *alores de la funci-n ob4eti*o hallados son e+acta$ente el $is$o 5H1F"."""6L esto l-gica$ente debe ser así, pues se est( asegurand o %ue el proble$a tiene soluci-nes -pti$as $Bltiples.
