3 Triángulos - Lineas Notables

LICEO NAVAL

“TENIENTE CLAVERO” SUB DIRECCIÓN DE SECUNDARIA

3

 T

PROFESOR:

GONZALES VILLANUEVA, José

Geometría

TEMA: TRIÁNGULOS II: LÍNEAS  Y PUNTOS NOTABLES ALTURA

Segmento que sale de un vértice y corta en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

Ortocentro (H)

Es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. H: Ortocentro.

PARA RECORDAR.

ODO  TRIÁNGULO  TIENE  UN  SOLO  O RTOCENTRO  RTOCENTRO . T ODO  E S S  UN  PUNTO  INTERIOR  SI  EL TRIÁNGULO  ES  ACUTÁNGULO . E S S  UN  PUNTO  EXTERIOR  SI  EL TRIÁNGULO  ES  OBTUSÁNGULO . S I I  ES  RECTÁNGULO  ESTÁ  EN  EL VÉRTICE  DEL ÁNGULO  RECTO .

Geometría

MEDIANA

Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.

Baricentro (G)

Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un triángulo. G: Baricentro  TEOREMA     

BG  = 2GM  AG  = 2GN  CG  = 2GS  PARA RECORDAR.

ODO  TRIÁNGULO  TIENE  UN  SOLO  BARICENTRO . T ODO  IVIDE  A CADA MEDIANA EN  RELACIÓN  COMO  1 ES  A 2. D IVIDE  E L BARICENTRO  ES  SIEMPRE  UN  PUNTO  INTERIOR . E S S  LLAMADO  TAMBIÉN  GRAVICENTRO  O  CENTRO  DE  TRIANGULAR .

GRAVEDAD  DE  LA REGIÓN 

BISECTRIZ

Segmento que divide a un ángulo interior o exterior en dos ángulos de igual medida.

Geometría

Incentro (I)

Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices interiores de un triángulo, es el centro de d e la circunferencia inscrita

PARA RECORDAR.

ODO  TRIÁNGULO  TIENE  UN  SOLO  INCENTRO . T ODO  E L INCENTRO  EQUIDISTA E  LOS  LADOS  DEL TRIÁNGULO . E L INCENTRO  ES  SIEMPRE  UN  PUNTO  INTERIOR  DEL TRIÁNGULO .

Excentro (E)

Es el punto donde se intersectan dos bisectrices exteriores con una bisectriz interior en un triángulo, es el centro de la circunferencia exinscrita

E: Encentro relativo de PARA RECORDAR.

ODO  TRIÁNGULO  TIENE  TRES  EXCENTROS . T ODO  LOS  EXCENTROS  SON  SIEMPRE  PUNTOS  EXTERIORES  AL TRIÁNGULO .

Geometría

MEDIATRIZ

Es una recta que pasa por el punto medio de un lado cortándolo en forma perpendicular.

: Mediatriz de Circuncentro (O)

Es el punto donde se corta las tres mediatices de un triángulo. C: Circuncentro, es el centro de la circunferencia circunscrita

PARA RECORDAR.

ODO  TRIÁNGULO  TIENE  UN  SOLO  CIRCUNCENTRO . T ODO  E L CIRCUNCENTRO  EQUIDISTA DE  LOS  VÉRTICES  DEL TRIÁNGULO . E S S  UN  PUNTO  INTERIOR  SI  EL TRIÁNGULO  ES  ACUTÁNGULO . E S S  UN  PUNTO  EXTERIOR  SI  EL TRIÁNGULO  ES  OBTUSÁNGULO . S I I  ES  RECTÁNGULO  ESTÁ  EN  EL PUNTO  MEDIO  DE  LA HIPOTENUSA.

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Propiedad: Si: “0” es circuncentro

⇒

. x = 2α .

CEVIANA

Segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación.

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Cevacentro (C)

Es el punto donde se intersectan tres cevianas de un triángulo.

PARA RECORDAR: 

ODO  TRIÁNGULO  TIENE  INFINITOS  CEVACENTROS . T ODO 

OBSERVACIONES: 

-

ARA P ARA

UBICAR  UN  PUNTO  NOTABLE  SÓLO  ES  NECESARIO  TRAZAR  DOS  LÍNEAS 

NOTABLES  DE  LA MISMA ESPECIE .

-

-

N  TODOS  LOS  TRIÁNGULOS  ISÓSCELES  SI  SE  TRAZA UNA DE  LAS  CUATRO  E N  PRIMERAS  LÍNEAS  NOTABLES  HACIA LA BASE ;  ;  DICHA LÍNEA CUMPLE  LAS  MISMAS  FUNCIONES  QUE  LAS  OTRAS . N  TODO  TRIÁNGULO  EQUILÁTERO  EL O RTOCENTRO  RTOCENTRO , BARICENTRO , INCENTRO  Y  E N  CIRCUNCENTRO  COINCIDEN . N  TODO  TRIÁNGULO  ISÓSCELES , EL ORTOCENTRO , BARICENTRO , INCENTRO  Y  E N  EL EXCENTRO  RELATIVO  A LA BASE , SE  ENCUENTRAN  ALINEADOS  EN  LA MEDIATRIZ  DE  LA BASE .

PROPIEDADES CON LÍNEAS NOTABLES 1. Ángulo formado por dos

bisectrices interiores. a  x  90 = + . . 2

Geometría

2.

Ángulo formado por bisectrices exteriores.

do s

a  . x  = 90 − . 2

3.

Ángulo formado por bisectriz interior y bisectriz exterior.

una una a  . x  = . 2

4.

a  . x  = 45 − . 2

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5.

a + b  = x  . . 2

6.

a + b  . x  = . 2

7.

α  − β  . x  = . 2

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