I.E. “Leonardo de Vinci”
C
m
2
28
2m A
a
M
N
B
5 3
S u b – Á r e a : Tr i g o n o m e t r í a
1
3 º S ec unda ri a
I.E. “Leonardo de Vinci”
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS DEFINICIÓN
Es la razón o cociente que se establece con los lados de un triángulo rectángulo, y con respecto a uno de sus ángulos agudos. ELEMENTOS
A
1 . A C : h i p o t e n u s a A C = b 2 . A B B C : c a t e t o s A B = c BC = a
b
c
B
3 . A + C = 9 0 º ! " a # 2
C
a
TEOREMA DE PITÁGORAS
a2 + c2 = b2 OBSERVACIÓN:
* Con respecto al ángulo : “c es cateto opuesto! “a es cateto adyacente. * Con respecto al ángulo : “a es cateto opuesto! “c es cateto adyacente. "e de#ine:
senA =
c a t e t o o p u e s to hipotenusa
c s cA =
hipotenusa c a te to o p u e s to
c o sA =
c a te to a # $ a c e n te hipotenusa
secA =
hipotenusa c a t e to a # $ a c e n t e
ta n A =
c a t e to o p u e s to c a te t o a # $ a c e n te
c o tA =
c a te to a # $ a c e n t e c a te to o p u e s to
Sub – Área: Trigonometría
2
3º Secundaria
I.E. “Leonardo de Vinci”
Ejercicios $.% "e tiene un triángulo rectángulo &'C Calcular:
0. "iendo “ un ángulo y ade)ás se tiene que:
8 15 , calcule: 1 ( sen 2 cos 2
tan
( = b.tanC + c.tan' % c 2. En un triángulo &'C, "i)pli#icar:
E = a.cot& % c.sen' a/ $ d/
. Calcular “, si:
cos
5 18
1. "i:
b/ 2 e/ -
sec '
a/ $ d/ $3
10
%
&
. Calcular:
( tan 2 '
C
A
)
c/
B
%
*2 . sen'
b/ $2 e/ 2
c/ $
3. 4el grá#ico, 5allar:
(
3
,tan tan + .
. Calcular: “cot
cot a 2 C
m
2 2m
28 A
5
M
N
B
6. En un triángulo &'C "e sabe que: tan& = tanC. 7allar: “cotC
3
tan
-.% calcular “, si: $.
tan 5 tan
"i:
5 8
'
b/ e/ $
. 4eter)ine “tan
8
a/ d/ 2
a
a/ , d/ ,3
c/
Sub – Área: Trigonometría
3
b/ ,e/ $
c/ ,0
3º Secundaria
I.E. “Leonardo de Vinci” $$. En un triángulo rectángulo la altura relati8a a 9sta es la cuarta parte de la )is)a. Calcular la secante del ángulo #or)ado por esta altura y la )ediana relati8a a la 5ipotenusa.
$2.
1
A
b )
a/ 2 d/ -
$. En un triángulo &'C 5allar “sen&, si se cu)ple: 2cot& = cot'. Calcular: ( = tan.tan
"i: Calcular: M
a/ 2 d/ -
$3. En un triángulo rectángulo la su)a de sus lados )ayores es 21 y la di#erencia de sus lados )enores es . Calcular la tangente del )enor ángulo agudo. a/ , d/ ,10
b/ ,1 e/ ,13
c/ ,1-
$6. En la #igura )ostrada: &4 = 0 y 4C = . Calcular: cos2. “:
ángulo
B
agudo.
1) ,sen cos +
b/ e/ 0
c/
$1. En un triángulo rectángulo los n)eros de las longitudes de sus lados son: 3! ;+-/ y ;+1/. 7allar el seno del )ayor ángulo agudo, si: < .
1 *
b/ e/ 0
C
M
cot
5 a b
a
$-.
Calcular: ( = tan + cot
7allar “csc2
B
$.
$0.
c/
A
/
-
C
2. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la 5ipotenusa es oc5o 8eces el área de dic5o triángulo. "i “ es uno de los ángulos agudos. Calcular: sec.csc
Sub – Área: Trigonometría
*
3º Secundaria
I.E. “Leonardo de Vinci”
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS NOTABLES Ejercicios 1. Cacua": ( = ,sec2*5º + tan*5º . cot3)º 2cos0º a 0 b 1 c 2 # 3 e *
' 3)º *5º
2. Cacua": ( = ,tan0º + sec30º sen0º sec0º
0º
3. Cacua":
M a 3 # 5
10
tan 3)º csc 53º sec *5º csc *5º b 2 e 1
a 2 # 5
b 3 e
c *
c * 10.
6i:
' ' ' sec tan 2sen 3 * ; , ' ' 1 tan2 3 Cacua": ; ,
*. -ete"mine e ao" #e 4' en: 5'.sen53º sec0º = 2' + ,tan0º + cot30º2 a 3 b 5 c ) # 9 e 11 5. Cacua":
(
a b c
11.-e ";ico haa" 4cot
6ien#o:
a 2 # 2
*5º
a = tan3)º + csc53º b = sen*5º . sec*5º c = 2sen0º . tan30º b 3 c * e 3
' + 3
2' + 1
. -ete"mine e ao" #e 4m pa"a 7ue 4' sea 30º.
cos 2 ' a 2 # 5
b 3 e
m1 m1 c *
a 1 # 0
5' 3
b 1) e 1*
c 0*
12.-e ";ico haa" 4tan ,ABC- es cua#"a#o A B
). 6i: tan = cos30º. Cacua": sen 8. -ete"mine 4tan en e ";ico.
-
3)º C
(
30º
9. -e ";ico haa" 4'.
Sub – Área: Trigonometría
13.%e#uci":
5
3º Secundaria
I.E. “Leonardo de Vinci” sen30º csc 30º sec 0º cos 0º tan2 0º tan *5º cot *5º 3
a 1 # 1*
b 12 e 15
18.
-e ";ico most"a#o cacua": 4tan.
B
C
(
c 13
&
1*.-e ";ico cacua" 4tan' a#ems 4& es e cent"o #e a semici"cun;e"encia. -
'
19.(n e ";ico most"a#o. /aa" 4' si ABC- es un cua#"a#o $ ( = 35.
3)º
A
B
&
a 2 # 05
-
A
C
b 1 e
c 3
15.Cacua" 4cot most"a#o.
#e
B
acue"#o
a
C '
";ico
3)º
(
A
-
B
a 18 # 19
8
b 15 e 22
c 12
A
2
0º
C
10
20. (n e ";ico most"a#o. /aa" 4' si: -C = 10. B
1.6abien#o 7ue ABC es un t"inuo e7uite"o #on#e C- = 2,AB. /aa": 4tan.
'
23º
3)º
A
C
B
a 13 # 9 A
b 12 e
C
21.
<
M
&
53º 2
tan
*5º 2
Cacua":
-
1). 6ien#o 4& cent"o $ 4< punto me#io #e . /aa": 4tan. A
tan
c 11
22.
Cacua":
23.
-e ";ico cacua" 4cot si: -C = )A-. B M
N
A
B
a # *
Sub – Área: Trigonometría
0º -
b 2 e
C
c 3
3º Secundaria
I.E. “Leonardo de Vinci”
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Ejercicios 1. A 7u> es iua: ) tan )0º 8 < sen . csc 5 5
a tan*5º # 2tan*5º
b tan0º e 5sen3)º
). Cacua" 4 + si: sen cos2 = 0 sen . csc* = 1 a 50º # 0º
c tan30º
b *0º e 80º
c 30º
8. Cacua": 2. Cacua" 4' ,au#o
(
8' 1º . cot ' )º 1 5 2
tan a 1º # *º
b 2º e 5º
c 3º
b e 39
a 1 # *
11.
a 1 # *
3sen, ' 15º + cos, )5 ' + 2sen, ' 15º + b 2 e 5
c 3
. %e#uci": < = ,5cos20º 3sen)0º csc)0º a 1 # *
b 2 e 5
b 20º e 3º
c 2*º
/aa" 4' sen*0º.cos*5º.sec,'+30º=cos50º..csc,'+30 º
5. %e#uci":
<
c 3
6i: tan,2' + $ . cot*0º = 1 sen ,' $ = cos)0º Cacua": 2' 5$ a *0º # 32º
c @@@
b 2 e 5
cos 0º
10.
?. sen10º . cos10º = 1 ??. cos*º . sec*º = 1 ???.sec2**º . cos2**º = 1 b @@ e @@
c 3
3sen*0º < 2 tan 29º * sec 22º cos 50º cot 1º csc 8º
c 3)
*. ?n#ica" e"#a#e"o ,@ o ;aso , sen co""espon#a:
a @ #
b 2 e 5
9. %e#uci":
3. 6i: tan = 3tan3º . cot3º + 3 Cacua": sec2 a ) # 3
a 1 # *
sen10º tan 20º cos 80º cot )0º
a 12º # 15º
c 1*º
12. 6i: tan,2' + 20º tan,80 3' = 1 Cacua": 2sen3' tan )0º . tan,3' 10º M cos,50º ' a 1 # *
c 3
13.
Sub – Área: Trigonometría
b 13º e 18º
)
b 2 e 5
c 3
6i:
3º Secundaria
I.E. “Leonardo de Vinci” n
sen *2º tan 32º cos *8º cot 58º
1).
Cacua":
< sen a 1 # 25
tan
3n
b 15 e 2
2n
a 12º # 13º
c 2
b 11 e 1*
a 1 # 5
c 30º
15. 6i: A + 2B = 90º Cacua": 3 tan, A B ) tan, A B tan A < 2 cot 2B cot B cot 3B a 10 # 13
a 193 # 0
c 12
6i:
sen, 3º . csc,5*º 2 = 1 Cacua": 2sen A tan, + tan cos 2 a 1 # *
b 2 e 5
c
b 19* e 1
c 195
6i: tan.tan'.tan,' + $ = tan2$ sec2' = csc$
.... ,? .... ,??
/aa" 4 en:
sen 2 , ' 10º + cos 2 ,2 $ 10º + tan sen, ' $ +
c 3
Sub – Área: Trigonometría
b 2 e )
19. 6abien#o 7ue: sen2' = cos3' (aua": M = sen2,19º + ' + cos2,2' + 9 + tan2,*' 12
20. 1.
c 1*º
6abien#o 7ue: sen,2a + b.sec,12º 2c = cos,a 2bcsc,)8º + 2c Cacua": M = tan,2a + b + c . tan,a 2b c
6i: tan,2' + 25º = cot,5' 5º + tan*5º 2cos0º -ete"mina" 4' ,au#o b 20º e *5º
b 15º e 1º
18.
1*.
a 10º # *0º
/aa" 4' *tan3)º . sen,3' + 20º = 9tan230º . cos2'
a 30º # 3º30
8
b 18º30 e 3º
c 2º30
3º Secundaria
