3 Interes Com Pues To

Matemáticas financieras

Régimen de capitalización de interés compuesto

UNIDAD III. RÉGIMEN DE CAPITALIZACIÓN DE INTERÉS COMPUESTO Introducción y conceptos básicos Si un capital C al terminar un periodo de inversión (por ejemplo un año) genera un monto M; no se retira entonces al segundo periodo éste dinero empieza a crecer nuevamente como si fuera un nuevo capital. En el interé interéss simple, simple, el capita capitall que genera genera interes intereses es permane permanece ce constante durante todo el periodo que dura el préstamo (o la inversión). En cambio en el interés interés compuesto compuesto el valor del dinero generado generado por concepto de intereses, se convierte parte del capital en el siguiente periodo de capitalización. El interés simple generado al final del primer periodo se suma al capital original formándose un nuevo capital y así sucesivamente. El interés compuesto se puede calcular como la diferencia entre el capital original y el valor futuro: I=M-C

Ejemplo Ejemplo 1. Se depositan $100,000 en una cuenta que paga 10% de interés semestral. Determine: a) ¿Cuál ¿Cuál es el inte interés rés ganad ganadoo a los 6 meses meses??

c) Si el monto monto obtenido obtenido en el inciso inciso anterio anteriorr se deja como como capital capital para otros 6 meses, determine el nuevo monto al finalizar este nuevo plazo. M=C ( 1 + ni ) 1 M=$110,000 1 + ( 1 semestre ) ( 0.1 semestre 000 )  = $121, 00

Periodo de capitalización. Es el tiempo en el cual el interés generado se convierte en parte del capital. En el caso del ejemplo anterior el periodo de capitalización es de 6 meses. Frecuencia de conversión o capitalización. Es el número de veces que el dinero se capitaliza en un año. En el caso del ejemplo anterior fue de dos veces, ya que cada semestre se capitaliza el dinero. Ejemplo 2. Cuál es la frecuencia de conversión de una cuenta bancaria que capitaliza el dinero en un periodo: a) Trim Trimes estr tral al Frecuencia de conversión=

Meses en un año 12 = Mese eses en en u un n tr trime imestre stre 3

=4

Meses en un año Mese Mesess en en un un bim bimes estr tree

=6

b) Bimestral Frecuencia de conversión=

=

12 2

I=niC 1 I=(1semestre) ( 0.1 semestre ) ( $100, 00000 )

= $10, 00000

b) Si no se retira el dinero de la cuenta; cuanto es el valor acumulado en la misma: M=C+I = $110,000

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

Tasa de interés compuesto. Se expresa en forma anual y cuando es necesario con el periodo de capitalización, algunos ejemplos son: 20% anual capitalizable mensualmente 20% anual capitalizable bimestralmente 20% anual capitalizable trimestralmente 20% anual capitalizable cuatrimestralmente 20% anual capitalizable semestralmente 20% anual capitalizable anualmente 1



Ejemplo 3. Se depositan $100,000 en una cuenta que paga 20% de interés anual capitalizable semestralmente. Determine: a) El monto después de un semestre. M=C ( 1 + ni )

 

 0.2 1   = $110, 000 ÷  2 semestre  

En resumen lo que se hizo fue:

  0.2   ÷ = $110, 000 Monto al final del 1er periodo   2  

M=$100,000 1 + 

El monto al final del periodo Se usa como capital del siguiente periodo

M=$100,000 1 + ( 1semestre ) 

Nótese que la tasa anual se convierte a semestral para poder multiplicar por un periodo semestral b) El monto después de dos semestres. Como en interés compuesto el monto del periodo inmediato anterior se convierte en el capital del periodo siguiente; el cálculo que debe hacerse es: M=C ( 1 + ni )

  0.2 1   = $121, 000 M=$110,000 1 + ( 1semestre )  ÷  2 semestre    El monto del periodo inmediato anterior fue de $110,000 el cual se acumula como capital del periodo siguiente. c) El monto después de tres semestres. Nuevamente se usa el monto del periodo inmediato anterior que fue de $121,000 como capital. M=C ( 1 + ni )

 

 0.2 1   = $133,100 ÷  2 semestre  

M=$121,000 1 + ( 1semestre ) 

El monto del periodo inmediato anterior fue de $110,000 el cual se acumula como capital del periodo siguiente.


  0.2   ÷ = $121, 000 Monto al final del 2do periodo   2  

M=$110,000 1 + 

  0.2   ÷ = $133,100 Monto al final del 3er periodo   2  

M=$121,000 1 + 

Ahora observe la operación con la cual se obtuvo el monto al final del primer periodo:

  0.2   ÷ = $110, 000 Monto al final del 1er periodo   2  

$100,000 1 + 

Y observe como se obtuvo el monto al final del segundo periodo:

  0.2   ÷ = $121, 000   2     0.2     0.2   $100,000 1 +  ÷ 1 +  ÷ = $121,000   2     2  $110,000 1 + 

El monto al 3er periodo se obtendría:

  0.2     0.2     0.2   ÷ 1 +  ÷ 1+  ÷ = $133,100   2     2     2 

$100,000 1 + 

2



Por similitud el monto al final del 4to periodo:

 

 0.2   1 +  0.2   1 +  0.2   1 +  0.2   = $146,410         2     2     2     2  

$100 ,000 1 + 

O también se puede abreviar como: 4

  0.2   ÷ = $146, 410   2  

$100,000 1 + 

El monto al final del 5to periodo: 5

  0.2   M=$100,000 1 +  ÷ = $161,051   2   Con este ejercicio deducimos la fórmula de interés compuesto para “n” periodos de capitalización transcurridos: n M=C ( 1 + i )

Ejemplo 4. Se realiza un depósito de $100,000 a 5 años; realizar dos tablas para comparar los montos obtenidos desde el año cero (capital) hasta el año 5 considerando una tasa del 20% anual y usando una columna para interés simple y otra columna con interés compuesto capitalizable anualmente. Año Monto a interés simple Monto a interés compuesto. La tasa es anual capitalizable anualmente 0 $100,000 $100,000 1 $120,000 $120,000 2 $140,000 $144,000 3 $160,000 $172,800 4 $180,000 $207,360 5 $200,000 $248,932 Recomendación: EL ESTUDIANTE EN SU CASA CON UNA COMPUTADORA OBTENDRÁ LAS CANTIDADES DE LA TABLA ANTERIOR INTRODUCIENDO LAS ECUACIONES DE INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO SEGÚN SEA LA COLUMNA QUE CALCULE.

Donde: M. Monto o valor futuro del dinero. C. Capital (o principal) también llamado valor presente n. Periodos de capitalización transcurridos en un plazo de tiempo. i. Tasa de interés, debe convertirse al mismo plazo que los periodos de capitalización transcurridos “n”; es decir, si contabilizamos periodos transcurridos mensuales (n esta en meses), la tasa debe ser mensual.

Para hacer este ejercicio usando el paquete EXCEL. Sigue esta liga: http://marcelrzm.comxa.com/MateFin/TallerComparacionIntereses.xls


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Ejemplo 5. Repita el mismo ejemplo 4. Pero si la tasa de interés en la columna de interés compuesto se capitaliza: a) Semestralmente b) Cuatrimestralmente c) Trimestralmente d) Bimestralmente e) Mensualmente ESTA ACTIVIDAD DEBERÁ RESOLVERSE POR PARTE DEL ALUMNO BAJO SUPERVISIÓN DEL PROFESOR. Puede revisar la solución de un ejemplo similar en la siguiente liga: http://www.youtube.com/watch?v=lIQzn0Z551c http://www.youtube.com/watch?v=AV4fLjLe0n4


Actividad 3.1. Taller para el uso de EXCEL Interés simple y compuesto. PUEDE HACERSE EN EQUIPO. Realiza tanto el caso como el foro que se muestran a continuación:

CASO: Se realiza un depósito de $10,000 a 5 años bajo una tasa del 15% anual; se pide: a) Realizar dos tablas para comparar los montos obtenidos desde el año cero (capital) hasta el año 5 considerando una tasa del 15% anual y usando una columna para interés simple y otra columna con interés compuesto capitalizable semestralmente. b) Realizar las gráficas para comparar el crecimiento de cada uno de los montos. Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS, siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección: http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm

Ejemplo 6. Determine la frecuencia de conversión y el periodo de capitalización para tasas de interés anuales que se capitalizan: a) Semestralmente b) Cuatrimestralmente c) Trimestralmente d) Bimestralmente e) Mensualmente ESTA ACTIVIDAD DEBERÁ RESOLVERSE POR PARTE DEL ALUMNO BAJO SUPERVISIÓN DEL PROFESOR.


Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: [email protected]; [email protected]; [email protected] y [email protected] Recuerde enviar dicho correo con copia a usted mismo y en asunto colocar “Actividad 3.1. Taller para el uso de EXCEL Interés simple y compuesto”.

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Interés compuesto En el interés simple, el capital que genera intereses permanece constante durante todo el periodo que dura el préstamo (o la inversión). En cambio en el interés compuesto el valor del dinero generado por concepto de intereses, se convierte parte del capital en el siguiente periodo de capitalización. El interés compuesto se puede calcular como la diferencia entre el capital original y el valor futuro: I=M-C La ecuación usada para el interés compuesto es: n M=C ( 1 + i ) Donde: M. Monto o valor futuro del dinero. C. Capital (o principal) también llamado valor presente n. Periodos de capitalización transcurridos en un plazo de tiempo. i. Tasa de interés, debe convertirse al mismo plazo que los periodos de capitalización transcurridos “n”; es decir, si contabilizamos periodos transcurridos mensuales (n esta en meses), la tasa debe ser mensual.



Ejemplo 1. Si se depositan $500,000 en un banco a una tasa de interés del 18% anual capitalizable mensualmente; determine el monto acumulado en los siguientes plazos: a) Dos años b) Tres años Solución: Los datos del problema son: C = $500,000 i = 18% anual capitalizable mensualmente Y solo para el inciso a) Plazo = 2 años M=C(1+i)n

  0.18   M=$500,000 1+  ÷   12   La tasa anual se capitaliza mensualmente, por lo cual se divide entre 12 para convertirla en tasa mensual

2(12)

= $714, 751.41 La cantidad de periodos en los cuales se capitaliza el dinero es de 2(12) = 24 esto debido a que la capitalización es mensual

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Ejemplo 2. Se obtiene un préstamo bancario de $15,000 con intereses del 12% anual capitalizable trimestralmente; determine el monto a pagar si el plazo es de: a) Un año b) Dos años c) 7 meses y medio. Solución inciso a): Datos:

C = $15,000 i = 12% anual capitalizable trimestralmente

Plazo = 1 año Procedimiento y resultado inciso a): n M=C ( 1 + i )

 

M=$15,000  1 +

4(1)

0.12  4

÷ = $16,882.63 

Solución inciso b): Datos:


Solución inciso c): Datos:


Plazo = 7 meses y medio Procedimiento y resultado inciso c): n = 7.5/3 = 2.5 trimestres n M=C ( 1 + i ) 2.5

 0.12  = $16,150.43 M=$15,000  1 + 4 ÷   Ejemplo 3. Se contrata un préstamo bancario por $150,000; la tasa de interés es de 20% anual convertible semestralmente. ¿Cuál es la cantidad que deberá pagarse si se liquida el préstamo en un solo pago 15 meses después de haberlo obtenido? ESTE PROBLEMA SERÁ RESUELTO POR EL ALUMNO BAJO SUPERVISIÓN DEL PROFESOR. http://www.youtube.com/watch? v=D53P8NDjlqM

Plazo = 2 año Procedimiento y resultado inciso b): n M=C ( 1 + i )

 

M=$15,000  1 +

4(2)

0.12  4

÷ = $19, 001.55 


Ejemplo 4. Se LIQUIDA un préstamo bancario en $150,000; la tasa de interés es de 20% anual convertible semestralmente. ¿Cuál es la cantidad que se pidió prestada originalmente si el plazo transcurrido fue de 15 meses? ESTE PROBLEMA SERÁ RESUELTO POR EL ALUMNO BAJO SUPERVISIÓN DEL PROFESOR.

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Actividad 3.2. Ejercicios de interés compuesto. Resuelve los siguientes ejercicios de interés compuesto: 1.- Cuanto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $300,000 si se reembolsa al año capital más intereses bajo una tasa de 40% anual capitalizable: a) Bimestralmente b) Cuatrimestralmente c) Semestralmente d) Anualmente 2.- Cuánto dinero se pidió prestado a un banco si después de dos años y cinco meses se pagaron $300,000 bajo una tasa de 45% anual capitalizable: a) Bimestralmente b) Cuatrimestralmente c) Semestralmente d) Anualmente Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS, siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección: http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm


EJERCICIOS ADICIONALES: Porque ustedes lo pidieron!!!! 1.- Determine cuanto debe pagarse para liquidar una deuda de $120,000 contratada al 6% anual capitalizable mensualmente; si han transcurrido 2 años. 2.- Si se debe pagar $500,000 para liquidar una deuda que fue contratada a una tasa del 12% semestral capitalizable bimestralmente hace 1 año con 5 meses; determine cuanto fue el valor que se pidió prestado originalmente. 3.- Si se debe pagar $500,000 después de haber transcurrido 15 meses; de una deuda con valor original de $350,000 determine cuál es la tasa de interés anual capitalizable semestralmente. 4.- Si se deben pagar $1,000,000 cuando la cantidad adeudada originalmente fue de $600,000 con una tasa de interés del 30% anual capitalizable bimestralmente; determine cuanto tiempo en meses ha transcurrido. 5.- Si se debe pagar $500,000 por una deuda contratada hace 10 meses bajo una tasa del 6% anual capitalizable bimestralmente, determine el valor de la deuda original. M

Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: [email protected]; [email protected]; [email protected] y [email protected] Recuerde enviar dicho correo con copia a usted mismo y en asunto colocar “3.2. Ejercicios de interés compuesto”.

= C(1 +i) n C(1 + i) n = M C=

M (1 + i) n

=

$500,000 10

= $475,732.84

 1 + 0.06  2   6  

6.- Si se contrata una deuda $450,000 bajo una tasa del 14% anual capitalizable mensualmente; determine cuanto se deberá en 13 meses. 13  0.14  = $523,237.96 n M = C(1 + i ) = $450,0001 +   12 

Tasa de interés efectiva, nominal y equivalente Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

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Régimen de capitalización de interés compuesto m

 j  ( 1+i ) = 1+ ÷  m  m j   i= 1+ ÷ − 1  m 

Tasa nominal: Es la tasa de interés anual pactada que rige una operación financiera durante un plazo determinado. Tasa efectiva anual: Es la tasa a la cual se capitaliza el dinero anualmente; aun cuando el dinero se capitalice semestral, trimestral o mensualmente. El procedimiento para obtener una tasa equivalente ya sea nominal o anual, es el siguiente: Sea “i” la tasa de interés efectiva anual. Sea “j” la tasa de interés nominal anual. Sea “m” el número de veces que la tasa nominal se capitaliza al año Tasas de interés compuesto capitalizable Semestralmente Cuatrimestral Trimestral Bimestral Mensual

El número de veces que dicha tasa se capitaliza al año es de: 2 3 4 6 12

FORMULA PARA CALCULAR LA TASA EFECTIVA ANUAL “i” DE INTERÉS A PARTIR DE UNA TASA NOMINAL “j” QUE SE CAPITALIZA “m” VECES EN EL AÑO

Ejemplo 1. Determine la tasa efectiva anual de interés para una tasa del 18% anual capitalizable mensualmente. Datos: i=? j = 18% anual capitalizable mensualmente m=12 periodos de capitalización en 1 año para la tasa nominal “j” m

 j  − 1 ÷  m  12 1+ 0.18  − 1 = 0.1956  12 ÷  

i= 1+ i=

i=19.56%

RESULTADO i = 19.56% anual

Cuando el monto generado por ambas en el plazo de un año llega a coincidir, dichas tasas son equivalentes entre si. Monto bajo tasa efectiva = Monto bajo tasa nominal M=M m

( 1+i ) =

1+ j   m ÷

De aquí en adelante ya depende que se solicite, si la tasa efectiva anual o la tasa nominal de interés; como puede notarse el caso más sencillo es obtener la tasa efectiva anual: Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

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En caso de que se busque calcular la tasa nominal de interés a partir de una tasa efectiva anual, el despeje queda de la siguiente manera:

Finalmente esta el caso de querer convertir tasas de interés nominales pero con distintos periodos de capitalización. Debemos realizar el siguiente razonamiento

m

( 1+i ) =

1+ j   m÷   m 1+ j  = 1+i  m÷ ( )   1+ j  = 1+i m1  m÷ ( )   1+

j m j m

Monto obtenido bajo una tasa de interés con “n” periodos de = capitalización al año

Es decir, si se nos da una tasa NOMINAL con “m” periodos de capitalización al año, podemos calcular una tasa EQUIVALENTE a esa tasa nominal pero con “N” de periodos de capitalización al año (distinta cantidad de periodos de capitalización).

1

= ( 1+i ) m 1

= ( 1+i ) m − 1  

1

 

j = m ( 1+i ) m − 1

FORMULA PARA CALCULAR UNA TASA NOMINAL “J” QUE SE CAPITALIZA “M” VECES EN EL AÑO A PARTIR DE UNA TASA EFECTIVA ANUAL “I”

Ejemplo 2. Determine una tasa nominal capitalizable mensualmente que genere el mismo monto que la tasa equivalente de 19.562% anual Datos: j = ? m = 12 periodos de capitalización en 1 año de la tasa “j” i = 19.562% 1     1   j = 12 ( 1+0.19562 ) 12 −1 = 0.18  

j = m ( 1+i ) m − 1

RESPUESTA: j = 18% anual capitalizable mensualmente. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

Monto obtenido bajo una tasa de interés con “m” periodos de capitalización al año.

M=M N

 iEQ   1+ N ÷    iEQ   1+ N ÷   1+

iEQ N i EQ N iEQ

m

=

1+ j   m÷  

=

1+ j  N  m÷  

=

1+ j  N  m÷  

m

m

m

 j  N =  1+ ÷ − 1  m   j Nm    = N  1+ ÷ − 1  m    

TASA EQUIVALENTE CON “N” CAPITALIZACIONES AL AÑO OBTENIDA A PARTIR DE UNA TASA “j” CON “m” CAPITALIZACIONES AL AÑO. 9



Ejemplo 3. Calcular una tasa que se capitaliza semestralmente que sea equivalente a una tasa del 18% anual capitalizable mensualmente. Datos: iEQ = ? N = 2 periodos de capitalización al año de la tasa equivalente j = 18% anual m = 12 periodos de capitalización en el año de la tasa “j” i EQ

i EQ

 j Nm    = N  1+ ÷ − 1  m     12  0.18 2    − 1 = 0.18689 = 18.689% = 2  1+  12 ÷   

RESULTADO: i EQ=18.689% capitalizable semestralmente EN RESUMEN: Si se desea calcular: Tasa efectiva anual “i” de interés a partir de una tasa nominal “j” que se capitaliza “m” veces en el año. Tasa nominal “j” que se capitaliza “m” veces en el año a partir de una tasa efectiva anual “i” Tasa equivalente “iEQ” con “n” capitalizaciones al año obtenida a partir de una tasa “j” con “m” capitalizaciones al año.

La fórmula es: m

i=

1+ j  − 1  m÷    

1

 

j = m ( 1+i ) m − 1

i EQ

 j Nm    = N  1+ ÷ − 1  m    

Videos de repaso del tema: http://www.youtube.com/watch?v=KxBw4wua1II http://www.youtube.com/watch?v=Zl81z35VLJk http://www.youtube.com/watch?v=ebyG-95IDzk


Actividad 3.3. Tasa de interés efectiva, nominal y equivalente. Resuelve los siguientes ejercicios: 1.- Determine la tasa de interés efectiva que se recibe de un depósito bancario si la tasa nominal es del 45% anual capitalizable : a) Bimestralmente b) Cuatrimestralmente c) Semestralmente d) Anualmente 2.- Para una tasa que produce un rendimiento del 25% anual efectivo determine su tasa nominal capitalizable: a) Bimestralmente b) Cuatrimestralmente c) Semestralmente d) Anualmente 3.- Determine la tasa nominal convertible trimestralmente que resulte equivalente a una tasa del 35% convertible: a) Bimestralmente b) Cuatrimestralmente c) Semestralmente d) Anualmente Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS, siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección: http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: [email protected]; [email protected]; [email protected] y [email protected] Recuerde enviar dicho correo con copia a usted mismo y en asunto colocar “3.3. Tasa de interés efectiva, nominal y equivalente.”.

PROPUESTA: Después de haber hecho esta actividad a mano, incorpore las ecuaciones en EXCEL para confirmar. 10



EJERCICIOS ADICIONALES. 1.- Para una tasa del 19% anual que se capitaliza cada bimestre, determine cuál será: a) La tasa efectiva anual. b) La tasa equivalente pero con una capitalización mensual.

Solución inciso A) m 6  j   0.19  i = 1 +  − 1 = 1 +  − 1 ≅ 0.2056 = 20 .56 % 6   m   Solución inciso B) i EQ

m 6     j  N  1 + 0.19  12 −1 ≅ 0.1885 =18.85%   = N  1 + − 1 = 1 2      m     6     

2.- Para una tasa equivalente del 20% anual; determine una tasa nominal que se capitaliza: a) Cada mes b) Cada cuatrimestre

Solución inciso A)  

1

j = m (1 + i) m

1 −1 =12(1 + 0.2) 12 −1 ≅ 0.1837 =18.37%   

Solución inciso B)  

1

j = m (1 + i ) m

1 −1 = 3(1 + 0.2) 3 −1 ≅ 0.1879 =18.79%   


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Otra forma es considerando el mes 0 como fecha focal, entonces la ecuación queda:

Ecuaciones de valores equivalentes Como se ha visto en temas pasados, el dinero cambia de valor en el tiempo, y $1 peso en el presente no valdrá lo mismo que un peso en el futuro; la relación de equivalencia que hemos estudiado entre el monto o valor futuro y el capital o valor presente viene dado por la ecuación: M=C(1+i)

X

( 1 + 0.02 )

3

$100

( 1 + 0.02 )

1

+

1

+

$100

(1 + 0.02 )

2

+

2

+

$100

(1 + 0.02 )

3

La cual al despejar: X

n

( 1 + 0.02 )

Ejemplo 1. Determine la cantidad que debe pagarse en un solo pago trimestral vencido para saldar una deuda de 3 pagos mensuales vencidos de $100. Si el dinero cambia de valor a una tasa del 2% mensual capitalizable mensualmente.

=

X=

3

=

$100

( 1 + 0.02 )

$100 ( 1 + 0.02 )

( 1 + 0.02 )

3

1

X=$100 ( 1 + 0.02 )

2

+

$100

(1 + 0.02 )

$100 ( 1 + 0.02)

( 1 + 0.02)

2

$100

(1 + 0.02 )

3

+

3

$100 ( 1 + 0.02)

( 1 + 0.02)

3

3

+ $100 (1 + 0.02 ) 1 + $100=$306.04

Primero debemos hacer la gráfica que relacione las cantidades en el tiempo, esta gráfica se le conoce comúnmente como diagrama de flujo de caja. X (Pago trimestral)

Mes 0 transcurrido

$100

$100

1

2

$100 3

Hay varias formas de igualar el pago trimestral desconocido X con el valor al cual equivalen los pagos mensuales. Todas estas formas es variando la fecha o el punto en el tiempo de referencia (fecha focal). Una manera es considerando la fecha focal ubicada en el pago trimestral. Quedando de la siguiente forma: 2 1 X=$100 ( 1 + 0.02 ) + $100 (1 + 0.02 ) + $100=$306.04


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Ejemplo 2. Se tiene una deuda bancaria que se ha planeado liquidar en dos pagos de $250,000 cada uno realizados en el mes 3 y 6 (son pagos trimestrales); si se desea liquidar dicha deuda en pagos bimestrales, siendo el primero de $100,000 el segundo de $200,000 ¿Cuál debe ser el valor del último pago? La tasa a la cual cambia el dinero es de 36% anual capitalizable mensualmente.

El diagrama de flujo simplificado en miles de pesos: X X $15 $15 $15

Nuevamente realizamos el diagrama de flujo de caja. 100mil

Ejemplo 3. Al comprar un automóvil se pagarán 3 documentos con pagos de $15,000 a pagar en 30, 60 y 90 días; si se desea pagar en dos exhibiciones iguales de 30 y 60 días ¿Cuál debe ser el importe de estos últimos pagos? Considere que el dinero cambia a una tasa de 3.5% mensual; capitalizable mensualmente.

$200mil

X

$250mil

$250mil Mes 0 transcurrido

0

1

2

3

4

5

 

2

4

0.36  12

3

 0.36   0.36  ÷ + $100 1 + 12 ÷ = $250 1 + 12 ÷ +250     

X

4

0.36  0.36  0.36  = $250 1 + + 250 − $200 1 + −$100 1 + ÷ ÷ ÷  12   12   12 

X = $198.451 (en miles de pesos) X = $198,451 (en pesos normales)

Tomando la fecha focal como el mes 1, queda (en miles de pesos para ahorrar espacio): X+

X ( 1 + 0.035)



X 1 +



2

3

= $15 +

$15 ( 1 + 0.035 )

+

$15

( 1 + 0.035 )

2

Factorizando el valor de X:

Por lo tanto al despejar el valor de X queda: 3

2

6

Podemos usar la fecha focal como el mes número 6; quedando las ecuaciones de la siguiente manera (en miles de pesos para ahorrar espacio): X + $200 1 +

1

 $15 $15 = $15 + +  ( 1 + 0.035)  ( 1 + 0.035) ( 1 + 0.035) 2

$15 + X=

1

$15 ( 1 + 0.035)

+

$15

( 1 + 0.035)

1 1+ ( 1 + 0.035)

2

= $22.121

X = $22,121.75 (en pesos normales)


13


EL ALUMNO REALIZA LOS EJEMPLOS 1, 2 Y 3 NUEVAMENTE PERO CON LAS SIGUIENTES MODIFICACIONES: Ejemplo 1 Modificado. Determine la cantidad que debe pagarse en un solo pago trimestral para saldar una deuda de 3 pagos mensuales vencidos de $100. Si el dinero cambia de valor a una tasa del 20% anual capitalizable mensualmente.

Ejemplo 2. Se tiene una deuda bancaria que se ha planeado liquidar en dos pagos de $250,000 cada uno realizados en el mes 3 y 6 (son pagos trimestrales); si se desea liquidar dicha deuda en pagos bimestrales, vencidos siendo el primero de $100,000 el segundo de $200,000 ¿Cuál debe ser el valor del último pago? La tasa a la cual cambia el dinero es de 40% semestral capitalizable mensualmente. Ejemplo 3. Al comprar un automóvil se pagarán 3 documentos con pagos de $15,000 a pagar en 2, 4 y 6 meses; si se desea pagar en dos exhibiciones iguales en los meses 2 y 4 ¿Cuál debe ser el importe de estos últimos pagos? Considere que el dinero cambia a una tasa de 35% semestral; capitalizable mensualmente. Ejemplo 4. Para una deuda que se planea liquidar en un solo pago trimestral vencido, determine el valor equivalente de 3 pagos mensuales vencidos; la tasa de interés es del 30% anual capitalizable mensualmente. El valor de los pagos mensuales es de $12,000. Ejemplo 5. Para una deuda en el presente (no ha transcurrido ningún mes) de $100,000; se desea liquidar con dos pagos bimestrales vencidos, determine el valor de dichos pagos bimestrales si la tasa de interés es del 10% anual capitalizable al mes. Ejemplo 6. Para una deuda que se planea pagar con $100,000 en el mes 1 y con $200,000 en el mes dos, se liquidará con dos pagos iguales que ocurrirán en el mes 3 y 4; determine el valor de dichos pagos si la tasa es del 16% anual capitalizable mensualmente. Recomendación: consulta más ejemplos por tu cuenta usando los libros de la biblioteca. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez


Actividad 3.4. Ecuaciones de valores equivalentes. Resuelve los siguientes ejercicios: 1.- En la compra de un televisor con valor de $14,500 se realizan dos pagos iguales a 3 y 6 meses ¿Cuál es el importe de dichos pagos si la tasa es del: a) 2% mensual capitalizable mensualmente b) 6% trimestral capitalizable trimestralmente c) 24% anual capitalizable mensualmente d) 20% anual capitalizable trimestralmente 2.- Para realizar la compra de un terreno se paga $160,500 de enganche y se firman dos documentos por la misma cantidad a pagar dentro de 1 y 2 años. Si se desea comprarlo solo en dos pagos iguales; uno de enganche y el otro al cabo de un año, determine el monto de dichos pagos si la tasa de interés es del: a) 2% mensual capitalizable mensualmente b) 6% trimestral capitalizable trimestralmente c) 24% anual capitalizable mensualmente d) 20% anual capitalizable trimestralmente 3.- Una empresa compra una maquinaria con valor de $50,000; si se realiza un pago de $10,000 de contado ¿Qué cantidad deberá liquidar la deuda al cabo de 6 meses si la tasa de interés es del: a) 30% anual capitalizable al mes. b) 20% anual capitalizable al semestre Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS, siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección: http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: [email protected]; [email protected]; [email protected] y [email protected] Recuerde enviar dicho correo con copia a usted mismo y en asunto colocar “3.4. Ecuaciones de valores equivalentes”. PROPUESTA: Después de haber hecho esta actividad a mano, incorpore las ecuaciones en EXCEL para confirmar. 14



OTROS EJERCICIOS ADICIONALES. Ejemplo 7. Para la compra de una maquinaria se ha pactado realizar un pago de contado de $40,000 pesos y dos pagos de $10,000 dentro de uno y dos meses respectivamente; si dicho contrato se cambia por tres pagos iguales dentro de 2, 3 y 4 meses respectivamente; indique el valor de los pagos si la tasa de interés es del 10% anual capitalizable al mes.


15

3 Interes Com Pues To

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