Trang 33
Chươ ng III: C ơ thuyế t phé p biế n đổ i ơ sở lý thuy Wavelets 3.1
ng nhượ c điểm Phép biến đổi Fourier kinh điển và nhữ ng
Từ trướ trướ c đến đến nay có nhi nhiềều phươ phươ ng ng pháp phân títích ch títínn hiệ hiệu. Đượ c biế biết đến đến nhiềều nhấ nhi nhất là phân títích ch Fourier, trên cơ cơ ssở phân ở phân tích mộ một títínn hiệ hiệu thành thành tổ tổng của của các các hàm hàm sin vớ vớ i các tầ tần số s ố khác khác nhau. Nó nhau. Nóii cách cách khác, khác, phân títích ch Fourier là kỹ thu thuậật biế bi ến đổi đổi tín tín hiệ hiệu từ từ miề miền thờ thờ i gian sang miề miền tầ tần số số. Vớ Vớ i nhiề nhiều títínn hiệ hiệu, phân títích ch Fourier rất có ích ích vì nội dung tầ tần số số của của títínn hiệ hiệu là rất quan trọng. trọng. Biế Biến đổi đổi Fourier của của títínn hiệ hiệu x(t) và biế biến đổi đổi Fourier ngượ ngượ c của của nó đượ c xác xác định định bở bở i biể biểu thứ thức sau: ∞
∫
X ( f ) = x(t )e − j
2π ft
dt
(3.1)
−∞
∞
∫
x(t ) = X ( f )e j 2 ft dt π
(3.2)
−∞ FT đó, x(t) và X(f) đượ c gọi gọi là một cặ đổi Fourier: x(t ) ← → X ( f ) Trong đó, cặp biế biến đổi
Biế Biến đổii đổ Fourier Hình 3.1: Biế n đổ i Fourier
Mặc dù có nhi nhiềều hiệ hiệu quả như nhưng phé ng phépp biế biến đổi đổi Fourier (như (như là phân títích ch các các tín tín hiệ hiệu tuầ tuần hoàn, hoàn, thuậ thuận lợ lợ i cho các các phép phép chậ chập títínn hiệ hiệu) vẫ vẫn có nhữ những hạn hạn chế chế. Khi biế biến đổi đổi sang miề miền tầ tần số số, thông tin thờ thờ i gian đã bị mất. Nế Nếu mộ một thuộ thuộc títính nh títínn hiệ hiệu
Trang 34
không thay đổi đổi nhiề nhiều theo thờ thờ i gian, nó đượ c gọi gọi là tín tín hiệ hiệu tĩ nh, nh, thì thì các các nhượ nhượ c điểm trên không có ảnh ảnh hưở hưở ng ng quan trọng. trọng. Tuy nhiên, nhiề nhiều títínn hiệ hiệu có chứ chứa các các thông số số động: động: trôi, nghiêng, biế biến đổi đổi đột đột ngộ ng ột, khở khở i đầu đầu và kết thú thúcc của của các các sự s ự kiệ kiện. Nhữ Những đặc đặc tính tính này này thườ thườ ng ng là phầ phần quan trọng trọng nhấ nhất của của títínn hiệ hiệu, và phân títích ch Fourier không thích thích hợ hợ p để phát phát hiệ hiện chúng. chúng. 3.2 Phép biến đổi Fourier thờ i gian ngắn
Các Các tín tín hiệ hiệu thườ thườ ng ng gặp trong thự thực tế thườ thườ ng ng là tín tín hiệ hiệu không dừ dừng (ví dụ tín tín hiệ hiệu nhạc, nhạc, tín tín hiệ hiệu nhiễ nhiễu, …) thì phân títích ch Fourier hoàn hoàn toàn toàn không mang lại lại các các xét mộ giản để thấ điều này. này. Xét Xét trườ thông tin hữ hữu ích. Ta xét một ví dụ đơ n giản thấy rõ đi trườ ng ng hợ hợ p títínn hiệ hiệu xung δ(t), phé (t), phépp biế biến đổi đổi Fourier F(ω)=1, vớ vớ i ∀ω. Ta thấ thấy rằ r ằng thông tin về về vị trí xung trong miề miền thờ thờ i gian hoàn hoàn toàn toàn không phát phát hiệ hiện trong miề miền tần số. Như Như vậy, biế biến đổi đổi Fourier không phân títích ch đượ c biế biến thiên tầ tần số trong từ từng vùng vùng theo thờ thờ i gian của của tín tín hiệ hiệu. Nó u. Nóii cách cách khác khác nó không có tính tính cục cục bộ về thờ thờ i gian. Do đó cần cục cục bộ bộ hóa hóa biế biến đổi đổi Fourier để có thể thể phân títích ch các các títínn hiệ hiệu không tĩ nh. nh. Để khắ khắc phục phục nhữ những hạn hạn chế chế của của biế biến đổi đổi Fourier, phé Fourier, phépp biế biến đổi đổi Fourier thờ thờ i gian ngắ ngắn – STFT đượ c đề xuấ xuất. Biế Biến đổi đổi này này còn còn đượ c gọi gọi là biế biến đổi đổi Fourier cử cửa sổ hay biế biến đổi đổi Gabor. Ý tưở ng ng này này là sự cục cục bộ b ộ của của biế biến đổi đổi Fourier, sử sử dụng dụng hàm hàm cửa sổ xấp xỉ trung tâm nơ nơ i định định vị. vị. Vì vậy, như như biế biến đổi đổi wavelet, biế biến đổi đổi là sự khai triể triển theo hai thông số số tần số và dịch dịch thờ thờ i gian. Tuy nhiên, nó có đi điểm khác khác biệ biệt là kích kích thướ thướ c cửa sổ đượ c định định trướ trướ c khác khác vớ i tỷ lệ cửa sổ đượ c dùng dùng trong biế biến đổi đổi wavelet. Tín Tín hiệ hi ệu nguyên thủ thủyy đượ c phân thành thành từ từng đoạn đoạn bằ bằng cách cách nhân vớ i mộ một hàm hàm cử cửa sổ sổ w(t - τ), sau đó thự thực hiệ hiện biế biến đổi đổi Fourier: Hình Hình 3.2 mô tả tả biế biến Đổi Đổi Fourier thờ thờ i gian ngắ ngắn.
Trang 35
Biế Biến đổi đổi Fourier thờ thờ i gian ngắ ngắn Hình 3.2: Biế n Đổ i Fourier thờ i gian ngắ n
∞
STFT f ( w,τ ) =
∫ w (t − τ ) f (t )e *
(3.3)
− jwt
dt = g w,τ (t ), f (t )
−∞
g w,τ (t ) = w(t − τ )e − jwt
trong đó: đó:
giả sử hàm hàm cử hóa để có c ửa sổ w(t) đượ c chuẩ chuẩn hóa
w(t ) = 1
và khả tích tích tuyệ đối, ta có tuyệt đối,
công thứ thức biế biến đổi đổi Fourier ngượ ngượ c : 1 ∞∞ f (t ) = STFT F ( w, τ ) g w,τ (t ) dwdt 2π −∫∞−∫∞
(3.4)
Vậy khuyế khuyết điểm chính chính của của biế biến đổi đổi STFT là khi kích kích thướ thướ c cửa sổ đượ c chọn chọn thì tất cả các các tần số s ố đượ c phân títích ch vớ i cùng cùng độ phân giải giải th t hờ i gian và tần số. Do vậ vậy khi phân títích ch títínn hiệ hiệu gồ gồm nhiề nhiều thành thành phầ phần tầ tần số số hoặ hoặc thờ thờ i gian, STFT chỉ có khả năng cho độ phân giải giải tươ ng ng đối đối về tần số tốt vớ i các các títínn hiệ hiệu có thờ thờ i gian tồn tại tại ngắ ngắn. Nói Nói tóm tóm lại lại vấ vấn đề liên quan đến đến độ rộng của của hàm hàm cử cửa sổ sổ là : hàm cử cửa sổ sổ hẹp hẹp : phân giải giải thờ thờ i gian tố tốt, phân giải giải tầ tần số số kém. kém. − Nếu hàm − Nếu hàm hàm cử cửa sổ sổ rộng: phân giải giải tầ tần số số tốt, phân giải giải thờ thờ i gian kém. kém. 3.3 Độ phân giải của tí n hiệu và nguyên lý bất định
Độ phân giải giải của của títínn hiệ hi ệu có chiề chiều dài dài hữ hữu hạn hạn là số mẫu tố t ối thiể thiểu cầ c ần có để biể biểu diễ diễn tín tín hiệ hiệu đó. đó. Như Như vậy độ phân giải giải của của títínn hiệ hiệu liên quan đến đến nội dung
Trang 36
thông tin của của tín tín hiệ hiệu. Vớ i títínn hiệ hiệu có chiề chiều dài dài vô hạn hạn có năng lượ ng ng hữu hạn hạn và suy giảm giảm ở vô ở vô cùng cùng thì ta định định nghĩ a chiề chiều dài dài của của títínn hi h iệu là khoảng khoảng chứ chứa hầ h ầu hết thông tin của của tín tín hiệ hiệu (ví (ví dụ chứ chứa 90% nă năng lượ lượ ng ng của của títínn hiệ hiệu). Ở tín tí n hiệ tục, việ đổi tỉ lệ không làm làm thay đổi đổi độ phân giải, giải, vì nó hi ệu liên tục, việc thay đổi ảnh hưở hưở ng ng đồng đồng thờ thờ i cả tốc độ lấy mẫ mẫu và chiề chiều dài dài của của títínn hiệ hiệu nên số số mẫu để biể biểu diễ diễn tín tín hiệ hiệu là hằng số s ố. Ở tín tín hiệ hiệu rờ rờ i rạc, rạc, lấ lấy mẫ mẫu lên và nội suy không ảnh hưở hưở ng ng độ phân giải giải vì các các mẫ mẫu nộ nội suy là dư. Lấ Lấy mẫ mẫu xuố xuống bở bở i N làm làm độ phân giải giải giảm giảm đi N lầ lần và không thể thể khôi phụ khôi phụcc đượ c. c. làm thay đổi đổi độ nét nét (sharpness) theo thờ Khi nhân tỷ lệ sẽ làm thờ i gian hoặ hoặc theo tầ tần số, tức là chỉ đáp đáp ứng một trong hai yêu cầ cầu trên. Độ nét nét đượ c gọi gọi là độ phân giải giải trong thờ thờ i gian-tầ gian-tần số (như (nhưng nó khác khác vớ i độ phân giải giải ở trên liên quan đến đến nội dung thông tin). Năng lượ lượ ng ng của của títínn hiệ hiệu đượ c định định nghĩ a là : ∞
∫ f (t )
2
(3.5)
dt
−∞
Tín Tín hiệ hiệu f(t) đượ c gọi gọi là tín tín hiệ hiệu có tâm nă năng lượ lượ ng ng tại tại a nế nếu thỏ thỏa: a: ∞
∫ (t − a ) f (t − a )
2
(3.6)
dt = 0
−∞
Xét Xét một tín tín hiệ hiệu có năng lượ ng ng bằng 1 và có tâm nă năng lượ l ượ ng ng tại tại gốc tọa tọa độ đổi Fourier F(w) thỏ thỏaa mãn mãn : f(t) vớ vớ i biế biến đổi
∫
2
t f (t ) dt = 0 va
#
∫
2
w F (w) dw = 0
(3.7)
Độ rộng thờ thờ i gian ∆t của f(t): ∞
2
∆ t =
∫ t f (t ) 2
−∞
2
dt
(3.8)
Trang 37
Độ rộng tầ tần số số ∆w ∞
2
∆w =
∫w
2
2
(3.9)
f (w) dw
−∞
Định Định ngh ĩ a về về nguyên lý bấ bất định: định: Nếu f(t) triệ triệt tiêu nhanh hơ hơ n ∆2t ∆2w ≥
1 t
khi t→±∞ thì:
π
(3.10)
2
Dấu bằ bằng chỉ chỉ xảy ra khi : f (t ) =
α −α t 2 e π
gọi là tín hiệ hiệu Gauss.
Nguyên lý bấ bất định định có vai trò quan trọ tr ọng vì nó đặt đặt ra chặ chặn trên cho độ nét tố tối đa cho cả đổi tích độ cả thờ thờ i gian và tầ tần số. Như Như vậy, việ việc nhân tỉ tỉ lệ không làm thay đổi rộng thờ thờ i gian và tầ tần số số. 3.4 Lý thuyết về biến đổi wavelets 3.4.1 Giớ i thiệu
Để đáp ứng đượ c yêu cầ cầu độ phân giả giải ổn định định vớ i các tín hiệ hiệu có nhiề nhiều thành phầ phần thờ thờ i gian và tầ tần số, ta cầ cần dùng mộ một phươ phươ ng ng pháp biế biến đổi đổi sao cho độ phân giả giải thờ thờ i gian và tầ tần số số có thể thể thay đổi đổi mộ một cách thích nghi vớ vớ i đặc đặc tính củ của tín hiệ hiệu trên mặ mặt phẳ phẳng thờ thờ i gian và tầ tần số số. Vấ V ấn đề này đượ c giả gi ải quyế quyết bằ b ằng cách thay thế thế phép dờ dờ i đơ n giả giản trong STFT bằ bằng phép dờ dờ i và đổi đổi thang độ (shifts and scales). Điều này dẫ dẫn đến đến sự sự ra đờ i củ của mộ một phép biế biến đổi đổi mớ mớ i đó là phép phép biế biến đổi đổi wavelets. Phân tích tích Wavelet cho phép phép sử dụng dụng các các khoảng khoảng thờ thờ i gian dài dài khi ta cầ cần thông tin tầ tần số s ố thấ thấp chính chính xác xác hơ h ơ n, n, và miề miền ngắ ng ắn hơ h ơ n đối đối vớ vớ i thông tin tầ tần số số cao. Ở đây cho thấ thấy sự tươ ng ng phản phản vớ i cách cách nhì nhìnn títínn hiệ hiệu dựa theo thờ thờ i gian, tầ tần số, STFT :
Trang 38
Biế Biến đổ đổii Wavelet Hình 3.3: Biế n đổ i Wavelet Vậy phân títích ch wavelet không dùng dùng một miề miền thờ thờ i gian – tầ tần số, mà là miề miền thờ thờ i gian – tỷ lệ.
Hình 3.4: Mô t ả các miề n biế n đổ i của tín hiệu Đị nh nghĩ a Wavelet Wavelets là các dạng dạng sóng sóng nhỏ nhỏ có thờ thờ i gian duy trì tớ i hạn hạn vớ i giá trị trung bình bình bằ bằng 0. So sánh sánh vớ vớ i sóng sóng sin thì sóng sóng sin không có khoảng khoảng thờ thờ i gian giớ giớ i hạn hạn – nó kéo kéo dài dài từ từ âm vô cùng cùng đến đến vô cùng. cùng. Và trong khi sóng sóng sin là trơ trơ n tru và có thể thể dự đoán, đoán, wavelet lại lại bấ bất thườ thườ ng ng và bất đối đối xứ xứng. Hình Hình 3.6 mô tả tả sóng sin và wavelet .
Trang 39
Hình 3.5: Sóng sin và wavelet Phân tích tích Wavelet chia tách tách títínn hiệ hi ệu thành thành các các phiên bả phiên bảnn dịch dịch vị và tỷ lệ (co dãn) dãn) của của một hàm hàm đơ n hay gọi gọi là hàm hàm mẹ wavelet. Vì vậy títínn hiệ hiệu vớ i thay đổi đổi nhanh có thể thể phân títích ch tố tốt vớ vớ i mộ một wavelet bấ bất ổn định định hơ hơ n là vớ i mộ một sóng sóng sin trơ trơ n. n. Các Các đặc đặc tính tính cục cục bộ bộ sẽ đượ c miêu tả tốt hơ hơ n vớ vớ i các các wavelet. Số chi chiều
Phân tích tích Wavelet có thể thể áp á p dụng dụng cho dữ dữ liliệệu hai chiề chiều (cá ( cácc hình hình ảnh) và về nguyên tắ tắc cho dữ dữ liliệệu có số chiề chiều cao hơ hơ n. n. Các biế biến đổi đổi wavelet phổ phổ biế biến đượ c chia thành 3 loạ loại: biế biến đổi đổi wavelet liên tục, biế biến đổi đổi wavelet rờ rờ i rạc và biế biến đổi đổi wavelet đa phân giải giải (wavelet multiresolution-based). 3.4.2 Bi ến đổi Wavelet liên t ục
toán học học quá trình trình phân títích đổi Về mặt toán ch Fourier đượ c thự thực hiệ hiện bở i biế biến đổi Fourier: ∞
F (ω ) =
∫ f (t ) e
− jω jω t
dt
(3.8)
−∞
là tổng ở mọ mọii thờ thờ i điểm của của títínn hiệ hiệu f(t) nhân vớ vớ i một hàm hàm mũ phứ phức (có thể thể phân tích tích thành thành các các thành thành phầ phần thự thực và ảo). ả o). Kế Kết quả của của phép phép biế biến đổi đổi là các các hệ h ệ số F(ω ). Các Fourier F(ω Các hệ số Fourier khi nhân vớ vớ i một sóng sóng sin tầ tần số ω sẽ thành thành các các
thành thành phầ phần sin tạo tạo ra títínn hiệ hiệu nguyên thủ thủy. y. Hình Hình 3.7 trình bày cá các thành thành phầ phần sóng sóng sin vớ vớ i các các tầ tần số số khác khác nhau.
Trang 40
Tín hiệu
Hình 3.6: C ác thành phần sóng sin vớ i các t ần số khác nhau Biế Biến đổi đổi Wavelet liên tụ tục (Continuous Wavelet Transform - CWT) củ c ủa một hàm f(t) đượ c bắ b ắt đầu đầu từ t ừ một hàm Wavelet mẹ mẹ (mother Wavelet) ψ (t), ψ (t) có thể thể là bấ bất kỳ kỳ một hàm số số thự thực hoặ hoặc phứ phức liên tụ tục nào thoả thoả mãn các tính chấ chất sau đây: Tích phân suy rộ rộng trên toàn bộ bộ trụ trục t củ của hàm ψ (t ) là bằ bằng 0. Tứ Tức là: +∞
∫ψ (t )dt = 0
(3.11)
−∞
Tích phân nă năng lượ lượ ng ng củ của hàm trên toàn bộ bộ trụ trục t là mộ một số số hữu hạ hạn, tứ tức là: +∞
∫ Ψ (t )
2
dt < ∞
(3.12)
−∞
Điều kiệ kiện (3.12) có ngh ĩ a là hàm ψ (t) phả phải là mộ một hàm bình phươ phươ ng ng khả khả tích, hàm ψ(t) thuộ thuộc không gian L2(R) các hàm bình phươ phươ ng ng khả khả tích. Biế Biến đổi đổi Wavelet liên tụ tục của một hàm bình phươ phươ ng ng khả khả tích f(t) đượ c tính theo công thứ thức: +∞
W (a, b) =
1
∫ f (t )
a
−∞
t − b dt a
Ψ∗
(3.13)
là một hàm củ của hai tham số số thự thực a và b. Dấ Dấu * ký hiệ hiệu là liên hiệ hiệp phứ phức của ψ(t). Vớ i:i: Ψa ,b (t ) =
1 a
t − b a
Ψ
(3.14)
Trang 41
Chúng ta có thể thể viế viết: +∞
W ( a, b) =
∫ f (t )Ψ , (t )dt ab
(3.15)
−∞
Theo toán họ học ta gọ gọi đây là tích vô hướ hướ ng ng củ của hai hàm f (t) và ψa,b(t) 1
Giá trị trị
a
là hệ số chuẩ chuẩn hoá để đảm đảm bảo rằng tích phân nă năng lượ ng ng của
độc lậ hàm ψa,b(t) sẽ sẽ độc lập vớ vớ i a và b : +∞
∫ Ψ , (t )
2
ab
+∞
dt =
−∞
∫ Ψ(t )
2
dt
−∞
(3.16)
Vớ i mỗ mỗi giá trị trị của a thì ψa,b(t) là mộ một bả bản sao củ của ψa,b(t) đượ c dị dịch đi b đơ n vị trên trụ trục thờ thờ i gian. Do đó b đượ c gọ gọi là tham số số dịch. Đặt Đặt tham số số dịch b = 0 ta thu đượ c: c: Ψa , 0 (t ) =
1
t Ψ a a
(3.17)
càng nhỏ, nhỏ, wavelet Trong (3.5) cho thấ thấy rằng a là tham số số tỷ lệ. Hệ số tỷ lệ càng càng càng đượ c nén nén mạnh mạnh hơ hơ n. n.
Tín hiệu
ng ứ ng ng vớ i các tỉ lệ và vị trí khá c nhau Hình 3.7: Các thành phần wavelet t ươ ươ ng
Khi a >1 : hàm wavelet sẽ sẽ đượ c trả trải rộ rộng Khi 0< a <1: thì hàm sẽ sẽ đượ c co lạ lại.
Trang 42
Phép biế biến đổi đổi ngượ ngượ c củ của biế biến đổi đổi Wavelets liên tụ tục đượ c títính nh như như sau: +∞
∫ Ψ(t )e
Ψ (ω ) =
− jwt
dt
(3.18)
−∞
Vớ i Ψ (ω ) là biế biến đổi đổi Fourier củ của ψ (t ) : Nếu W(a,b) là biế biến đổi đổi CWT củ của f(t) bằ bằng hàm Wavelet ψ(t), thì biế biến đổi đổi ngượ ngượ c củ của biế biến đổi đổi CWT sẽ sẽ đượ c tính như như sau: 1
∞
∞
1
W (a, b)Ψ , (t )dadb C ∫ ∫ a 2
f (t ) =
ab
−∞ −∞
(3.19)
vớ i giá trị trị của C là: ∞
C =
∫
[Ψ (ω )]2 ω
−∞
(3.20)
Biế Biến đổi đổi CWT chỉ chỉ tồn tạ tại nế nếu C dươ dươ ng ng và hữ hữu hạ hạn. Do đó C đượ c gọ gọi là điều kiệ kiện tồn tại của biế biến đổi đổi Wavelet. Đây cũng là điều kiệ kiện một hàm cầ cần phả phải thoả thoả mãn để có thể thể đượ c lự lựa chọ chọn làm hàm wavelet. Có thể thể xem biế biến đổi đổi CWT như như là mộ một ma trậ trận hai chiề chiều các kế kết quả quả của phép tính tích vô hướ hướ ng ng giữ giữa hai hàm f (t) và ψa,b(t) . Các hàng củ của ma trậ trận tươ tươ ng ng ứng vớ vớ i các giá trị trị của a và các cộ cột tươ ng ng ứng vớ i các giá trị trị của b do cách tính biế bi ến đổi đổi wavelet theo tích vô hướ hướ ng ng đã trình bày ở trên: ở trên: ∞
f (t ), g (t ) =
∫ f (t ) g −∞
∞ ∗
(t )dt ⇒ f (t ), Ψa ,b (t ) = ∫ f (t )Ψa ,b (t )dt −∞
(3.21)
3.4.3 Biến đổi wavelets rờ i rạc DWT (Discrete Wavelet Transform)
Việ Việc tính toán các hệ hệ số wavelet tạ tại tất cả các tỉ tỉ lệ là một công việ việc hết sức phứ phức tạp, sẽ tạo ra mộ một lượ ng ng dữ liliệệu khổ khổng lồ. Để đơ n giả giản ngườ ngườ i ta chỉ chỉ chọ chọn ra một tậ t ập nhỏ nh ỏ các giá trị trị tỉ lệ và các vị vị trí để trí để titiếến hành tính toán, cụ cụ thể thể lựa chọ chọn tiế ti ến hành tạ tại các tỷ tỷ lệ và các vị vị trí trên cơ cơ ssở lu ở luỹỹ thừ thừa cơ s ơ số 2 thì kế kết quả quả thu đượ c sẽ
Trang 43
hiệ hiệu quả quả và chính xác hơ hơ n rất nhiề nhiều. Quá trình chọ chọn các tỷ tỷ lệ và các vị vị trí để trí để tính toán như như trên tạ tạo thành lướ lướ i nhị nhị tố (dyamic). Mộ Một quá trình trình phân tích như như thế thế hoàn toàn có thể thể thự thực hiệ hiện đượ c nhờ nhờ bi biếến đổi đổi wavelet rờ rờ i rạ rạc (discrere wavelet transform/ DWT). Phân tích wavelet, các xấ p xỉ và chi tiế t
Vớ i nhiề nhiều títínn hiệ hiệu, nội dung tầ tần số thấ thấp là quan trọng trọng nhấ nhất, nó xác xác định định títínn hiệ hiệu. Nội dung tầ tần số cao chỉ làm làm tă t ăng thêm hươ hươ ng ng vị. vị. Ví dụ như như giọ giọng ng nói nói ngườ ngườ i,i, nếu tách tách bỏ bỏ phầ phần cao tầ tần, giọ giọng ng có khác khác như nhưng vẫ vẫn có thể thể hiể hiểu đượ c nộ n ội dung. Tuy loại bỏ tần số đến một mức nào nào đó, đó, sẽ không nghe rõ nữa. Còn Còn đối đối nhiên nế nếu loại s ố thấ thấp đến vớ i ảnh ta quan tâm đến đến hai thuậ thuật ngữ ngữ là xấp xỉ là thành phầ phần tỉ lệ cao tươ tươ ng ng ứng thành thành phầ phần tầ tần số số thấ thấp của của ảnh và chi tiế tiết tươ tươ ng ng ứng thành thành phầ phần tầ tần số số cao của của ảnh, thành phầ tỉ lệ thấ thấp. Vớ V ớ i phân títích ch wavelet ta thu đượ c hai thành phần tươ ng ng ứng trên, cụ thể thể việ việc thự thực hiệ hiện như như sau :
Tín hiệ hiệu
Xấp xỉ xỉ
Chi tiế tiết
Hình 3.8: Biế n đổ i wavelet r ờ ời r ạc của tín hiệu
Trang 44
Do đó, việ việc tính toán biế biến đổi đổi DWT thự thực chấ chất là sự sự rờ i rạc hoá biế biến đổi đổi Wavelet liên tụ tục (CWT); việ việc rờ rờ i rạ rạc hoá đượ c thự thực hiệ hiện vớ vớ i sự sự lựa chọ chọn các hệ hệ s ố a và b như như sau: a = 2m,
b=2mn
m, n ∈ Ζ
(3.22)
Có thể thể hiể hiểu phép biế biến đổi đổi Wavelet rờ rờ i rạc – DWT như như là áp dụ dụng một tập các bộ bộ lọc thông cao và thông thấ thấp. Hình Hình 3.10 minh hoạ hoạ dạng tổng quát củ của biế biến đổi đổi DWT mộ một chiề chiều. Theo đó tín hiệ hiệu nguyên gố gốc đượ c cho đi qua các bộ bộ lọc thông cao H (highpass) và thông thấ thấp L (lowpass) rồ rồi đượ c lấ lấy mẫ mẫu xuố xuống hệ hệ số 2 tạ tạo thành biế biến đổi đổi DWT mứ mức 1.
L (lọ (lọc thông thấ thấp)
↓2
Xấp xỉ xỉ
H (lọ (lọc thông cao)
↓2
Chi tiế tiết
S (tín hiệ hiệu)
Hình 3.9: Quá trình phân tích tín hiệu dùng biế n đổ i DWT một chiề u Từ biế biến đổi đổi DWT mộ một chiề chiều có thể thể mở r ở rộng định định ngh ĩ a biế biến đổi đổi hai chiề chiều theo cách: sử sử dụng các bộ bộ lọc riêng biệ biệt, thự thực hiệ hiện biế biến đổi đổi DWT mộ một chiề chiều đối đối vớ vớ i dữ liệ liệu vào (ả (ảnh) theo hàng rồ rồi kế kế titiếếp thự thực hiệ hiện theo cộ cột. Sau khi thự thực hiệ hiện biế biến đổi đổi DWT lầ lần lượ t như nh ư vậy ta sẽ sẽ tạo ra 4 nhóm hệ hệ số biế biến đổi. đổi. Quá trình biế biến đổi đổi DWT hai chiề chiều có thể thể minh hoạ hoạ như như hình 3.11, trong đó 4 nhóm hệ hệ số là: LL, HL, LH, HH (chữ (chữ cái đầu đầu tiên tươ tươ ng ng ứng là thự thực hiệ hiện lọc theo hàng, chữ chữ cái thứ thứ hai tươ tươ ng ng ứng thự thực hiệ hiện lọ lọc theo cộ cột).
Trang 45
ẢNH
DWT
L
H
Theo hàng hàng
LL
HL
LH
HH
DWT Theo cộ cột
Hình 3.10: Minh hoạ DWT hai chiề u cho ảnh
3.4.4 Phân tích đ a phân giải
Vào nă năm 1986, Stephane Mallat và Yves Meyer lầ l ần đầu đầu tiên đặt đặt ra ý tưở tưở ng ng phân tích đa phân giả giải (MRA : multire solution analysis) [13,25,38], vào phạ phạm vi phân tích wavelets. Đây là mộ một ý tưở ng ng mớ i và đáng chú ý nhằ nhằm giả giải quyế quyết hình ở trựực giao củ thứ thức tổ tổng quát trong việ việc xây dự dựng cơ cơ ssở tr của wavelets. Hơ Hơ n nữ nữa phân tích đa phân giả giải là trung tâm củ của tấ tất cả cả các phép xây dự dựng nên hàm cơ cơ ssở wavelets. ở wavelets. Khi nhìn bứ bức ảnh, mộ một cách tổ tổng quát chúng ta thấ thấy sự sự liên kế kết củ của nhữ những vùng tươ ng ng quan cấ cấu trúc và mứ mức độ xám mà kế kết hợ hợ p thành hình dạ dạng đối đối tượ tượ ng. ng. Nế Nếu đối đối tượ ng ng nhỏ nhỏ hoặ hoặc sự s ự tươ ng ng phả phản thấ th ấp thì thông thườ thườ ng ng chúng ta khả khảo sát chúng ở độ ở độ phân giả giải cao. Nế Nếu đối đối tượ ng ng có kích thướ thướ c lớ n hoặ hoặc có độ tươ ng ng phả phản cao thì chúng ta khả khảo sát chúng dướ dướ i tầ tầm quan sát thô. Nế Nếu cả cả đối đối tượ tượ ng ng có kích thướ thướ c vừ v ừa và nhỏ nhỏ - hoặ hoặc có độ tươ ng ng phả phản cao và thấ thấp, đượ c biể biểu diễ diễn cùng lúc thì ta phả phải khả khảo sát chúng ở vài ở vài độ phân giả giải khác nhau. Quá trình phân tích DWT đượ c lặ lặp lạ lại, các xấ xấp xỉ xỉ hoàn toàn đượ c tách ra, do đó một tín hiệ hiệu đượ c phân tích thành nhiề nhiều thành phầ phần phân giả giải khác nhau, tiế tiến trình đượ c thự thực hiệ hiện theo hình 3.12.
Trang 46
H
↓2
S
H L
↓2
↓2
H L
↓2
L
Hình 3.11: Phân tích tín hiệu đ a mứ c
Về lý thuyế thuyết quá trình phân tích đa mức có thể thể lặp lạ l ại mãi mãi như nhưng trong thự thực tế, sự phân tích có thể thể chỉ chỉ thự thực hiệ hiện cho đến đến khi có đượ c tín hiệ hiệu chi tiế tiết phù hợ p vớ vớ i chấ chất lượ lượ ng ng củ của tín hiệ hiệu cầ cần phân tích (tùy thuộ thuộc vào từ từng ứng dụ dụng cụ cụ thể thể). Hình 3.13 mô tả tả phân tích 3 mứ mức củ của tín hiệ hiệu hình ảnh.
HL
LL
ẢNH LH
HH
LL LL
LL HL
LL LH
LL HH
LH
Mức 1 LL HL
LL LH
HL
HH
Mức 3 Hình 3.12 : Minh hoạ
HH Mức 2
LL HH
LH
HL
DWT kiể u dyadic mứ c 3
Trang 47
3.4.5 Tái tạ o (tổ ng hợ p) wavelet
Tín hiệ hiệu sau khi phân tích để ứng dụng vào từ từng mục đích riêng sau đó cần đượ c tổ t ổng hợ h ợ p lạ l ại để có đượ c tín hiệ hiệu gố g ốc ban đầu đầu mà không bị bị mất thông tin. Quá đổi wavelet nghị trình này gọ gọi là tổ tổng hợ p hay còn gọ gọi là biế biến đổi nghịch (IDWT inverse discrete wavelet transform).
H
↓
↑ H
S L
…
↓ L
phân tích
↑
H
…
S
↑ ↑
H’
L’
L’
t ổ n ổng g hợ p
ổng g hợ p đ a mứ c dùng DWT Hình 3.13 : Quá trình phân tích và t ổ n
3.4.6 Các bộ l ọ c tái tạ o
Viêc lấ lấy mẫ mẫu xuố xuống trong quá trình phân tích tạ t ạo ra méo dạ dạng gọ gọi là alias, điều này cho thấ thấy cầ cần chọ chọn lự lựa các bộ bộ lọc cho quá trình phân tích và tái tạ tạo sao cho liên quan gầ gần giố giống nhau để loạ loại bỏ bỏ hiệ hiệu ứng alias này. Các bộ bộ lọc cầ cần dùng này gọ gọi là bộ lọc gươ gươ ng ng cầ cầu phươ phươ ng ng QMF (quadrature mirror filter). Hình 3.15 mô tả tả bộ lọc hai kênh cho dãy mã hóa và giả giải mã mộ một chiề chiều
Trang 48
Hình 3.14: Bộ lọc hai kênh cho dãy mã hóa và gi ải mã một chiề u
m củ a wavelets và ứ ng dụ ng 3.5. Ư u đ iể m củ a wavelets 3.5.1 Ư u đ iể
dịch chuyể còn trong biế Sự dịch chuyển thờ thờ i gian – tầ tần số là tuy tuyếến títính nh trong STFT, còn biến đổi đổi wavelets có sự thay đổi đổi thang độ / dị / dịch ch thờ thờ i gian tuyế tuyến tính của của hàm hàm ψ(t). Độ phân giải giải thờ thờ i gian và tần số trong STFT độc độc lập vớ i tần số phân títích ch ω, còn còn trong biế biến đổi đổi wavelets độ phân giải giải thờ th ờ i gian tỷ lệ thu thuậận vớ v ớ i w, độ phân giải giải tầ t ần số s ố tỷ lệ nghịch nghịch vớ vớ i w. Hàm Hàm cử c ửa sổ s ổ w(t) của của STFT là một hàm hàm thông thấ thấp còn còn hàm hàm wavelet mẹ ψ(t) ψ (t) là một hàm hàm thông dải. dải. Theo nguyên lý bất định định : không thể thể đạt đạt đượ c độ phân giải giải cao trong cả 2 miề miền thờ th ờ i gian và tần số s ố. Đặc Đặc títính nh đáng đáng chú ý của của phép phép biế bi ến đổi đổi wavelet là độ phân giải giải thờ thờ i gian tố tốt ở t ở tần số số cao, độ phân giải giải tầ tần số số tốt ở t ở tần số số thấ thấp. Vì vậy thích thích hợ hợ p vớ i việ việc phân tích tích các các títínn hiệ hiệu gồm các các thành thành phầ phần tần số cao có thờ thờ i gian tồ tồn tại tại ngắ ngắn và các các thành thành phầ phần tầ tần số số thấ thấp có thờ thờ i gian tồ tồn tại tại dài. dài. Biế Biến đổi đổi wavelets cho phép phép làm làm nổi bật títính nh cục cục bộ của của títínn hiệ hiệu, biế biến đổi đổi Fourier chỉ có thể thể nhậ nhận biế biết títính nh đều đều đặn đặn toàn toàn cục cục của của títínn hiệ hiệu hoặ hoặc chỉ nhậ nhận biế biết tính tính đều đều đặn đặn trong cử cửa sổ s ổ nào nà o đó (trong trườ trườ ng ng hợ h ợ p phép phép biế bi ến đổi đổi Fourier đượ c cục cục bộ hóa). hóa). Ngượ Ngượ c lại, lại, phé phépp biế biến đổi đổi Wavelet sẽ cách cách ly điểm gián gián đoạn đoạn này này ra khỏi khỏi
Trang 49
phầ phần còn còn lại lại của của títínn hiệ hiệu và đáp đáp ứng của của biế biến đổi đổi Wavelet tại tại lân cậ cận điểm gián gián đoạn đoạn sẽ làm làm nổ nổi bậ bật điểm này. này. 3.5.2 M ộ t số ứ ố ứ ng d ụ ng nổ i bậ t củ a Wavelet
3.5.2.1 Nén tín hi ệu
Do đặc đặc điểm của mình, wavelet đặc đặc biệ biệt tốt khi sử sử dụng để nén hay phân tích các tín hiệ hiệu không dừ dừng, đặc đặc biệ biệt là tín hiệ hiệu ảnh số s ố và các ứng dụ d ụng nén tiế tiếng nói, nén dữ dữ liệ liệu. Việ Việc sử sử dụng các phép mã hoá bă băng con, bă băng lọ lọc số số nhi nhiềều nhị nhịp và đổi Wavelet rờ i rạc tươ ng biế biến đổi ng ứng vớ i loạ loại tín hiệ hiệu cần phân tích có thể thể mang lạ lại nhữ những hiệ hiệu quả quả rất rõ rệ rệt trong nén tín hiệ hiệu. Do tính chấ chất chỉ chỉ tồn tại trong các khoả khoảng thờ thờ i gian rấ rất ngắ ngắn (khi phân tích tín hiệ hiệu trong miề miền thờ thờ i gian tầ tần số số) mà các hệ số của biế biến đổi đổi Wavelet có khả khả năng tập trung nă năng lượ ng ng rất tốt vào các hệ hệ số biế biến đổi. đổi. Các hệ hệ số mang thông tin chi tiế tiết củ c ủa biế bi ến đổi đổi Wavelet thườ thườ ng ng rấ r ất nhỏ nhỏ và có thể thể bỏ qua mà không ảnh hưở h ưở ng ng tớ tớ i việ vi ệc mã hoá dữ dữ liliệệu (trong phươ phươ ng ng pháp mã hoá ảnh hay tiế tiếng nói là nhữ những tín hiệ hiệu cho phép mã hoá có tổ tổn thấ thất thông tin). 3.5.2.2. Kh ử nhiễu
Tính chấ chất củ c ủa biế biến đổi đổi Wavelet mà chúng ta đã xét tớ tớ i trong phầ phần ứng dụng cho nén tín hiệ hiệu đượ c mở mở rrộng bở bở i Iain Johnstone và David Donohos trong các ứng dụng khử khử nhi nhiễễu cho tín hiệ hiệu. Phươ Phươ ng ng pháp khử khử nhi nhiễễu này đượ c gọi là Wavelet Shrinkage Denoising (WSD). Ý
tưở ng ng cơ c ơ bbản củ c ủa WSD dựa trên việ việc tín hiệ hiệu nhiễ nhiễu
sẽ lộ rõ khi phân tích bằ bằng biế biến đổi đổi Wavelet ở các ở các hệ hệ số biế biến đổi đổi bậc cao. Việ Việc áp dụng các ngưỡ ngưỡ ng ng loạ loại bỏ bỏ tươ ng ng ứng vớ vớ i các bậ bậc cao hơ hơ n củ của hệ hệ số Wavelet sẽ có thể thể dễ dàng loạ loại bỏ bỏ nhi nhiễễu trong tín hiệ hiệu. 3.5.2.3. Mã hoá ngu ồn và mã hoá kênh
Sở d ở d ĩ Wavelet ĩ Wavelet đượ c ứng dụng trong mã hoá nguồ nguồn và mã hoá kênh vì trong mã hoá nguồ nguồn thì chúng ta cầ cần khả khả năng nén vớ vớ i tỷ lệ nén cao còn trong mã hoá kênh thì cầ cần khả khả năng chố chống nhiễ nhiễu tố tốt. Biế Biến đổi đổi Wavelet kết hợ hợ p vớ vớ i mộ một số số phươ phươ ng ng
Trang 50
pháp mã hoá như như mã hoá Huffman hay mã hoá số số học có thể thể thự thực hiệ hi ện đượ c cả c ả hai điều trên. Vì thế thế sự sử dụng biế biến đổi đổi Wavelet trong mã hoá nguồ nguồn và mã hoá kênh là rấ rất thích hợ hợ p. p. 3.6 Giớ i thiệu một số họ wavelets 3.6.1 Bi ến đổi Wavelet Haar
Biế Biến đổi đổi Wavelet Haar là biế biến đổi đổi đơ n giả giản nhấ nhất trong các phép biế biến đổi đổi Wavelet. Hình vẽ vẽ 3.16 mô tả tả dạng hàm ψ (t) vớ vớ i biế biến đổi đổi Haar. Do tính chấ chất đơ n giả giản củ của biế biến đổi đổi Haar mà nó đượ c ứng dụ dụng tươ tươ ng ng đối đối nhiề nhiều trong nén ảnh.
Hình 3.15. Hàm ψ (t)c (t)của biế n đổ i Haar
Haar wavelet có đặc đặc títính nh : Độ rộng xác xác định định : 1 Độ dài dài bộ bộ lọc lọc : 2 đối vớ hàm wavelet : 1 Số moment bằ bằng 0 đối vớ i hàm 3.6.2. Bi ến đổi Wavelet Daubechies
Giố Giống như như Meyer, Daubechies cũng là mộ một nhà khoa họ học có công lao to lớ lớ n trong việ việc nghiên cứ cứu phát triể triển phép biế biến đổi đổi Wavelet . Biế Biến đổi đổi Daubechies là mộ m ột trong nhữ những phép biế biến đổi đổi phứ phức tạp nhấ nhất trong biế biến đổi đổi Wavelet , khám khám phá ra cái cái gọi gọi là Wavelet trự trực giao khoảng khoảng chặ chặt- khiế khiến cho phân títích ch wavelet rờ rờ i rạc rạc có giá trị
Trang 51
thự thực tế t ế. Họ H ọ biế biến đổi đổi này đượ c ứng dụ d ụng hế h ết sứ s ức rộ r ộng rãi, biế biến đổi đổi Wavelet áp dụ d ụng trong JPEG2000 [27] là mộ một biế biến đổi đổi trong họ họ biế biến đổi đổi Wavelet Daubechies. Tên gọi gọi của của họ Wavelet Daubechies đượ c viế vi ết là dbN, vớ vớ i N là thứ thứ tự và db là tên họ wavelet. Dướ i đây là mộ một số số hàm ψ(t) của của họ họ biế biến đổi đổi Wavelet Daubechies:
Daubechies 2
Daubechies 3
Daubechies 4
Daubechies 5
Hình 3.16 Hàm ψ( t t) của họ biế n đổ i Daubechies n vớ i n=2, 3, 4, 5
DbN có các các đặc đặc títính nh : Độ rộng xác xác định định : 2N - 1 Độ dài dài bộ bộ lọc lọc : 2N Số moment bằ bằng 0 đối đối vớ vớ i hàm hàm wavelets : N
3.6.3. Bi ến đổi Wavelet Biorthogonal (song trự c giao)
Họ các các wavelet biể biểu thị thu thuộộc títính nh của của pha tuyế tuyến títính, nh, cầ cần cho tái tái tạo tạo títínn hiệ hiệu và hình hình ảnh. Nhờ Nhờ dùng dù ng hai wavelet, mộ một cho phân títích ch (bên trái) trái) và một cho tái tái tạo tạo (bên phả (bên phải) i) thay vì chỉ dùng dùng mộ một cái, cái, đã đạt đạt đượ c các các đặc đặc títính nh thú vị. vị.
Trang 52
Hình 3.17 M ột vài hàm ψ( t t) của các cặ p họ biế n đổ i Biorthogonal
Bior Nr, Nd có các các đặc đặc títính nh : Độ rộng xác xác định định : 2Nr + 1 cho tổ tổng hợ hợ p và 2Nd + 1 cho phân títích ch Độ dài dài bộ bộ lọc lọc : max(2Nr, 2Nd) + 2 Có tính tính đối đối xứ xứng Số moment bằ bằng 0 đối đối vớ vớ i hàm hàm wavelet : Nr – 1 3.6.4. Bi ến đổi Wavelet Coiflets
Xây dự dựng bở bở i I. Daubechies theo đề nghị của của R. Coifman.
Hình 3.18 Hàm ψ( t t) của họ biế n đổ i Coiflets
Độ rộng xác xác định định : 6N - 1 Độ dài dài bộ bộ lọc lọc : 6N
Trang 53
Gần đối đối xứ xứng Số moment bằ bằng 0 đối đối vớ vớ i hàm hàm wavelets : 2N Số moment bằ bằng 0 đối đối vớ vớ i hàm hàm tỷ lệ : 2N – 1 3.6.5. Bi ến đổi Wavelet Symlets
Symlets là wavelet gầ gần đối đối xứng, đượ c đề nghị bở i Daubechies là điều chỉnh chỉnh của của họ db. Đặc Đặc tí tính của hai họ là tươ ng nh của ng tự t ự.
Hình 3.19. M ột vào hàm ψ( t t) của họ biế n đổ i Symlets
3.6.6. Bi ến đổi Wavelet Morlet
Wavelet này này có hàm hàm mứ mức, như nhưng rõ ràng. ràng.
Hình 3.20: Hàm ψ( t t) của biế n đổ i Morlet
Trang 54
3.6.7. Bi ến đổi Wavelet Mexican Hat
Wavelet này này không có hàm hàm mức và là dẫn xuấ xuất của của một hàm hàm mà tỷ lệ vớ i đạo đạo hàm hàm bậ bậc hai của của hà hàm mậ mật độ xác xác suấ suất Gauss.
Hình 3.21. Hàm ψ( t t )của biế n đổ i Mexican Hat
3.6.8. Bi ến đổi Wavelet Meyer
đặt nề Yves Meyer là mộ một trong nhữ những nhà khoa họ học đã đặt nền móng cho phép biế biến đổi đổi Wavelet . Phép biế biến đổi đổi Wavelet mang tên Meyer cũng là mộ một phép biế biến đổi đổi thông dụ dụng, và là hàm hàm mức xác xác định định theo miề miền tần số. Biế Biến đổi đổi này có khả khả năng phân tích tín hiệ hiệu tố tốt hơ hơ n nhiề nhiều so vớ vớ i biế biến đổi đổi Haar . Dạng củ của hàm
(t ) vớ i biế biến đổi đổi Meyer cho ở hình ở hình vẽ vẽ:
Hình 3.22: Hàm ψ (t ) của biế n đổ i Meyer
