04/11/2012
Analisis de frecuencia frecuencia Leer: Hidrologia Aplicada, cap 12 Cayo Ramos Taipe
Extremos hidrologicos • Eventos extremos – Avenidas – Sequias
• Magnitud de los eventos extremos esta relacionado con su frecuencia de ocurrencia Magnitude
1 Frequency of occurence
• El objetivo del analisis de frecuencia es relacionar la magnitud del evento con la ocurrencia de su frecuencia a traves de la distribucion de probabilidad • Se supone que los eventos (data) son independientes y vienen de la misma distribucion 2
Return Period • Variable aleatoria: X • Nivel del umbral:
xT
• Evento extremo ocurre si: X xT • Interv. de recurrencia: Tiempo entre ocurrencias de X x
T
• Periodo Retorno:
E ( )
Intervalo de recurrencia promedio entre eventos que igualan o superan el umbral
• Si p Si p es la probabilidad de ocurrencia de un evento extremo, entonces 1 E ( )
o
T
p
P ( X xT )
1 T
3
Mas de periodo de retorno • si p es la probabilidad de exito, entonces (1-p) es la probabilidad de falla • Buscar la probabilidad que (X ≥ x T) por lo menos una vez en N años. p P ( X xT ) P ( X xT ) (1 p) P ( X xT at least once in N years) 1 P ( X xT all N years) N
P ( X xT at least once in N years) 1 (1 p) 1 1 T N
1
4
Ejemplo periodo de retorno • Conjunto de datos – descarga maxima anual para 106 años en rio Colorado cerca a Austin x T = 200,000 cfs
600
)
No. de ocurrencia = 3
sf
500
c 3
0
2 intervalos de recurrencia en 106 años
400
1( w ol F
300
x a M l
200
a u
T = 106/2 = 53 years
n n A
100
0 1905
1908
1918
1927
1938
1948 Year
1958
1968
1978
1988
1998
Si x T = 100, 000 cfs 7 intervalos recurrencia
T = 106/7 = 15.2 años P( X ≥ 100,000 cfs al menos una vez en los proximos 5 años) = 1- (1-1/15.2)5 = 0.29 5
Serie anuales 600
)
500
sf c 3
0
400
1( w ol F
300
x a M l
200
a u n n A
100
0 1905
1908
1918
1927
1938
1948
1958
1968
1978
1988
1998
Year
Considerando serie maxima anual, T para 200,000 cfs = 53 años. El caudal maximo anual para 1935 es 481 cfs. La serie anual de datos maximos, probablemente excluyo algunos Q que son mayores de 200 cfs y el síndrome de fatiga crónica a menos de 481 6
Probability distributions • Normal family – Normal, lognormal, lognormal-III
• Generalized extreme value family – EV1 (Gumbel), GEV, and EVIII (Weibull)
• Exponential/Pearson type family – Exponential, Pearson type III, Log-Pearson type III
7
Análisis de Frecuencia de Eventos Extremos A spe pectos ctos Gene Genera rales les
Para proyectar una obra hidráulica cualquiera es necesario el conocimiento de la magnitud y frecuencia de los caudales (o niveles de agua). El máximo caudal (o nivel) que puede soportar, estas estructuras, con seguridad es denominada caudal del proyecto.. proyecto
El problema en el fondo, es económico a través del costo anual de mantenimiento en una estructura dada, comparada con otras soluciones alternativas. La hidrología proporciona gran variedad de métodos basados en diversos principios, dentro de los cuales se deberá escoger el más adecuado de acuerdo a las circunstancias particulares.
Entiéndase por avenida como un caudal muy grande que sobrepasa la capacidad de transporte del canal generando la inundación de tierras aledañas y problemas de toda índole en diversas áreas de la actividad humana. Trata del cálculo de un caudal critico que tal vez no haya sucedido o que existe una cierta probabilidad de suceder en el futuro. El termino “Prevención de Inundaciones” se aplica al pronóstico de estado futuro de alturas o caudales, asociados al instante de ocurrencia de los mismos, con la finalidad de prevenir los efectos negativos que vengan a suceder. La terminología “Prevención del Tiempo Real” es más apropiada; para calcular anticipadamente la ocurrencia de un evento, a partir del conocimiento del comportamiento del sistema natural y usando como entradas datos como lluvias en determinados lugares de la cuenca y de la red fluvial.
Periodo de Retorno y Riesgo Si en un determinado lugar existe una serie de valores observados de 30 años, por ejemplo, el mayor caudal medido en los 30 años tiene la probabilidad de ser igualadas o superadas una vez cada 30 años aproximadamente según las leyes clásicas de la probabilidad. Si el proyecto exige, por ejemplo un periodo de retorno de 500 años, estamos delante de un problema de extrapolación de datos históricos. El periodo de retorno T o periodo de ocurrencia de una inundación (o tiempo de recurrencia) se define, entonces, como el tiempo medio, en años, en que esa inundación es igualada o superada por lo menos una vez.
C o s t o A n u a l
Costo de las obras
Costo mínimo
Costo de seguro contra inundaciones Periodo de Retorno (años)
Determinación del Período de Retorno
La figura representa los costos que un usuario debería enfrentar para pagar los beneficios de un sistema de protección contra inundaciones, por ejemplo. Si existiese un seguro contra inundaciones, el valor de ese seguro sería decreciente con el T usado en proyectos de la obra (cuanto mayor es T mayor protección ofrece la misma), mientras que el costo de la obra en si crece con T. Dado que el usuario deberá asumir con los dos costos, la curva del costo global indicará el periodo de retorno más adecuado para el proyecto de la obra en cuestión (Villela y Mattos, 1975).
Desafortunadamente, en los países en desarrollo no es común la exigencia de ese tipo de seguro, en la mayor parte de los casos. Así, la fijación de T obedece a criterios relacionados con la vida útil de la obra, el tipo de la estructura, la facilidad de reparación en caso de daños y el peligro de pérdida de vidas humanas en caso de falla.
La consideración de estos factores y la experiencia acumulada a lo largo del tiempo ha producido tablas para la definición del T. Existe otro criterio para escoger el periodo de retorno: la fijación a priori, del riesgo de falla R de la estructura, dentro de la vida útil de la obra. Esto puede ser expresado por la relación: T
1
1
1
R
1/ n
1 R 1 1 T
n
donde: R es el riesgo permisible, o probabilidad de ocurrencia de la máxima descarga durante los n años de la vida útil de la obra. Esa ecuación se encuentra tabulada en la siguiente tabla:
Valores de periodo de retorno T asociado al riesgo R Vida útil de la obra (n) en años
Riesgo (R) 1
10
25
50
100
200
0.01
100
995
2488
4975
9950
19900
0.10
10
95
238
475
950
1899
0.25
4
35
87
174
348
695
0.50
2
15
37
73
145
289
0.75
1.30
7.7
18
37
73
144
0.99
1.01
2.7
5.9
11
22
44
Un análisis de la tabla anterior muestra que si se adopta un riesgo de 10% de que durante los 25 años de vida útil de una cierta presa ocurra una descarga igual o superior a la del proyecto, se debe usar un periodo de retorno de 238 años. Si el periodo de retorno usado fuese de 87 años, por ejemplo, el riesgo de falla de la obra aumenta en 2.5 veces o sea a 25 %.
Valores del tiempo de retorno para proyecto de obras Estructura
T (años)
Caudales de proyecto Vertedor de grandes presas
10000
Vertedor de una presa de tierra
1000
Vertedor de una presa de concreto Galería de aguas pluviales
500 5 a 20
Bocatomas
25 a 75
Pequeñas presas para abastecimiento de agua
50 a 100
Puentes en carreteras importantes
50 a 100
Puentes en carreteras comunes
25
Lluvias de Proyecto: Pequeños canales sin dique:
Canales grandes sin dique:
área rural área urbana
10
área rural
10
área urbana
25
Pequeños canales con diques: área rural
Grandes canales con diques:
5
10
área urbana
50
área rural
50
área urbana
100
Ejemplo: Una alcantarilla tiene una vida útil de 10 años. a) Si el riesgo aceptable de que al menos ocurra un evento que exceda la capacidad de la alcantarilla durante su vida útil es del 10%, ¿qué periodo de retorno de diseño debe utilizarse?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la alcantarilla diseñado para un evento con ese periodo de retorno no sea excedido en su capacidad durante los próximos 50 años?:
Solución: Aplicando la 1ra ecuación para R = 0.1 y n = 10, se obtiene: T = 95 años Aplicando la 2da ecuación para T = 95 y n = 50, se obtiene: R = 0.41. La probabilidad de que la capacidad no sea excedida durante este periodo es: 1- 0.41 = 0.59 (59%).
Métodos Estadísticos Generalidades Los métodos estadísticos se apoyan en la existencia de series que son, sometidas a un análisis de frecuencias basadas por lo tanto en la observación de eventos pasados. Esto implica que la curva de frecuencia definida para un determinado lugar es válida para ese lugar; para un lugar diferente, donde no existen datos medidos; la regionalización permite combinar informaciones de diversos lugares en la cuenca o región. Los resultados serán confiables siempre que exista suficientes datos disponibles y sin modificaciones importantes en el régimen del curso de agua durante el periodo de registro, o después; se acepta entonces, la condición de que el comportamiento del sistema continuará siendo el mismo
Los valores de caudales empleados en la determinación de las curvas de frecuencia serán valores instantáneos, pero en la mayoría de los casos se trabaja con los máximos medios diarios; de lo que resultan series anuales y series parciales. Dentro de los métodos estadísticos podemos mencionar las siguientes distribuciones de probabilidades más usadas en el análisis de máximas avenidas en hidrología. Distribución Distribución Distribución Distribución Distribución Distribución
Log-Normal de 2 Parámetros Log-Normal de 3 Parámetros de Valor Extremo Tipo I o Distribución Gumbel Log-Gumbel Pearson Tipo III Log-Pearson Tipo III
Serie Anual y Serie Parcial La información hidrológica es una secuencia cronológica de caudales medios diarios. De estos caudales podrían ser escogidos los máximas anuales (una para cada año), generando una serie anual. Esto obliga a descartar otros picos elevados que pueden haber ocurrido en el mismo año y permite escoger otros valores en otros años donde nada importante sucedió, desde el punto de vista de inundación. Esa limitación es superada seleccionando los mayores a un determinado limite que puede ser el menor de las descargas de las máximas anuales, obteniéndose de cierta manera una serie parcial. La dificultad con esta última opción es que los eventos así escogidos pueden ser o no independientes; dos eventos muy próximos pueden, en realidad, ser un único evento. Para evitar ese inconveniente, deben ser escogidos eventos separados por un razonable periodo de tiemp
Existe una relación definida entre estos dos tipos de series (Dalrymple, 1962). La siguiente tabla muestra esa relación, en función del periodo de retorno. En términos de periodo de retorno, existe una diferencia en los dos casos; en una serie anual el intervalo de recurrencia es el intervalo medio en el cual un caudal dado ocurrirá como máxima anual.
Periodos de retorno (en años)
Serie Parcial
Serie Anual
0.5
1.16
1.0
1.58
1.45
2.00
2.0
2.54
5.0
5.52
10.0
10.50
20.0
20.50
50.0
50.50
100.0
100.50
En la serie parcial , el periodo de retorno es el intervalo medio entre avenidas de una determinada magnitud, sin relación alguna con año o cualquier otro periodo de tiempo. Esta distinción se aplica a pesar de que para grandes avenidas los dos criterios convergen.
Curva de Frecuencias Para el análisis de frecuencias, la técnica consiste en arreglar la serie en orden decreciente y atribuir a cada valor el número de orden m ( m varía desde 1 hasta n ), siendo n el tamaño de la muestra, esto es, el número de años en el caso de series naturales). A continuación se calcula la frecuencia observada a través de una relación empírica como la de Weibull: P
m n 1
;
T
n 1 m
Existen muchas otras propuestas de fórmulas en la literatura especializada (Viessman et al., 1972)., de esta forma, P es la probabilidad de una determinada descarga a ser igualada o superada cuando el valor de n es suficientemente grande.
El tratamiento más común de los datos así preparados, es el ploteo de los pares de puntos P ó T versus Q en un papel con escalas apropiadas. Para propósitos generales, la escala del papel usado no es importante, habiendo sido propuesta una escala (Dalrymple, 1962) que aproxima el gráfico de una recta.
1 Y ln ln1 T Donde: Y es una distancia lineal y T el periodo de retorno; dando valores a T se puede construir un papel probabilístico, en el cual generalmente los periodos de retorno se colocan en las abcisas y las descargas en las ordenadas; esta última escala puede ser transformada en logarítmica, dando origen a otro papel.
Es común en nuestro país que la mayor parte de los registros disponibles de descargas no sobrepasen 20 o 25 años, y dado que las necesidades del proyecto requieren periodos de retorno superiores; la tendencia es de usar la curva de frecuencia para efectos de extrapolación, por lo que esto debe ser hecho con mucho criterio; la distancia lineal entre 25 y 250 años parece corta en los gráficos, pero la
extrapolación solo puede justificarse cuando se verifica que el fenómeno se ajusta a la ley establecida.
En la práctica es posible efectuar el ajuste de varias distribuciones teóricas a una determinada muestra. Para comparar y concluir cual de ellas, se plotean los valores en el papel respectivo y se escoge la que mejor se aproxima a una línea recta. A continuación serán examinadas con algún detalle, las distribuciones teóricas más usadas para el análisis de máximas avenidas, indicando que no existe un criterio definido para la selección a priori de la distribución más adecuada.
Distribución Log-Normal de Dos Parámetros La distribución Log-Normal es de gran utilidad porque abre el amplio campo teórico de aplicación de la distribución Normal. Como ambas distribuciones, Normal y LogNormal son de dos parámetros , basta calcular la media y la desviación estándar de los caudales y de sus logaritmos, respectivamente. Por el teorema de límite central, tenemos que si X es una variable aleatoria con distribución normal, se puede esperar una variable Y = ln(X), también con distribución normal con media Y y variancia y 2 . La función de densidad de distribución normal para Y es:
1
f (Y )
2 y
e
1 Y y 2 y
2
Para - < Y < Como Y = ln X, entonces:
La relación entre (X) y f(Y) es:
f ( X )
f ( X )
f (Y )
dY
dY
dX
dX
1 2 X y
1 ln X y
e
2
y
1
X>0
X
2
X>0
f(Y): función de densidad de la distribución normal para Y ( Y, y 2 ) ) f(X): función de densidad de la distribución log-normal para X (Y, y 2 Y tiene distribución normal, mientras que X tiene distribución Log-normal. Los parámetros Y y y 2 pueden ser estimados por sus parámetros muestrales mediante la transformación Y i = Ln Xi
Y
Y i
2
S Y
n
Y i
2
nY ²
n 1
Chow (1954), presentó la siguiente relación para calcular sin que sea necesario transformar los datos previamente en sus logaritmos:
Y
1 2
ln
X ² 2
C v
2
S Y
2
ln(C v
1)
C v
S X
X
1
Brakensiek (1958), propuso las siguientes relaciones para obtener la media y variancia de la distribución Log-normal.
X
E ( X ) e
y
1 2
Y 2
C v
e
1/ 2
Y 2
1
Var ( X )
2 X
(e
y2
1)
g = 3C v + C 3
Como f(X) = f(Y)/X ; y siendo f(Y) una distribución normal, se tiene:
f ( X )
f ( Z ) X Y
donde:
Z
Y Y Y
Las tablas de distribución normal estándar pueden ser usados para evaluar la distribución lognormal.
Ejemplo Usando la distribución Log-normal, calcule la frecuencia relativa esperada para el siguiente intervalo de clase: Intervalo de Clase
Z
P(Z)
Frecuencia Relativa Observada (f o)
Frecuencia Relativa Esperada (f e)
40 - 50
-1.07
0.1423
0.152
?
X = 67.5 m3/s
Sx = 21.0 m3/s
Solución: La solución esperada para la distribución lognormal esta dada f e(45) = (X)P(45). Para evaluar P(45), se por: f e(X) = (X)P(X) requiere estimar Y Y C v
S Y
S X
21
Y
0.311
67.5
X
ln(C v 1) ln(0.311 1) 0.30395 2
2
de la tabla de distribución normal P(Z) = 0.1186 =DISTR.NORM.ESTAND.N(-1.182,VERDADERO)
1 2
X ² ln 2 C v 1 Z
ln X
67.5² ln 4.166 2 0.311² 1
1
Y
ln 45
Y
P (45)
P ( Z ) XS y
4.166
0.30395
0.1186 45 0.30395
1.182
0.0087
f e(45) = 10x0.0087 = 0.087. Por lo tanto la frecuencia relativa esperada de dicho intervalo de clase de acuerdo a la distribución Log-normal es: 0.087.
Ejemplo: Si los datos de caudales picos del ejemplo anterior siguen una distribución log-normal, con media = 67.5 y desviación estándar 21; calcule la magnitud correspondiente a un caudal que ocurre una vez en 100 años. Solución: Sea Qo el caudal que ocurre una vez en 100 años entonces: P(Q Qo) = 0.01 P(Q < Qo) = 1 – 0.01 = 0.99 = F(Z) = 0.99 De la tabla de distribución normal estándar, para F(Z) = 0.99, se tiene Z = 2.3263. (=INV.NORM.ESTAND(0.99)) Y = (SY)Z + Y = 0.30395 (2.326) + 4.166 = 4.873 Qo = X = eY = e4.873 = 130.71 m3/s El caudal para un período de retorno de 100 años de acuerdo a la distribución Log-normal es 130.71 m 3/s.
Distribución Log-Normal de Tres Parámetros Esta difiere de la distribución Log-normal de dos parámetros por la introducción de un límite inferior Xo, como: Ln(X – Xo). La función de densidad de X es:
f ( X )
1 ln( X X o ) y
1 ( X X o ) 2 y
e
2
2
y
X > Xo
Xo = parámetro de posición; y = parámetro de escala; Y2 = parámetro de forma
Los momentos de X pueden obtenerse de los correspondientes momentos de la distribución Log-normal de dos parámetros, debido a que las variables aleatorias difieren solo en el parámetro de posición X o: X = Xo + H, siendo H = e Y. X es la Variable aleatoria con distribución lognormal de 3 parámetros; H es la Variable aleatoria con distribución lognormal de 2 parámetros y X o es elParámetro de posición. E ( X )
X
X
( X ) X 0
E
( H )
X 0 E
e
( Y
1 2
X 0
2 E ( X X ) 2 X 2 H
H
2 Y )
2 X
Var ( X ) (e
El coeficiente de asimetría, g, está dado por: y de forma aproximada puede ser:
g (e
Y 2
Y 2
1) e
1)(e
( 2 Y Y 2 )
Y 2
2)
g 0 52 4 85 2
Ejemplo La variable aleatoria X de caudales picos, tiene distribución log-normal de tres parámetros con media 20, desv. estándar 6 y coef. de asimetría 1.5. Determinar el caudal correspondiente a 5 años de período de retorno. Solución: Como:
g 2
Como: X
0.52
(e
2 Y
2
4.85 Y
1) e
( 2 Y
1.5 2
Y
)
entonces: Y2 = 0.20 y Y = 0.447 2
y además Y
Reemplazando se obtiene el valor de: y = 2.4457. De la ecuación:
X
0.20
X 2 36
E ( X ) X 0 e
( Y
1 2
Y 2 )
se obtiene que: X o = 7.25, puesto que y = 2.4457, x = 20 y Para T = 5 años P(Q > Qo) = 1/T = 0.2 F(X) = P(Q Qo) = 1 - 1/T = 0.80 El valor de Z obtenido de la tabla de distrib. normal estándar es: Z = 0.84 Como:
Z
Y
Y
Y
se tiene:
Y
Y
Z Y
2.4457 0.84 0.1447
Finalmente de la relación X = X + eY se tiene que X = 24.05 m3/s
2.821
Distribución de Gumbel La Distribución de Gumbel o de valor extremo, tiene actualmente gran utilidad. Los valores extremos en cuestión serian las descargas diarias máximas anuales, ya que cada una es la máxima entre los 365 valores del año. De acuerdo con la ley de los extremos (Pinto et al., 1976), la ley de distribución de la serie de n términos constituidos por los mayores valores de cada muestra tiende asintóticamente para una ley simple de probabilidades, que es independiente de la que rige la variable aleatoria en las diferentes muestras y en el propio universo de la población infinita. La distribución Gumbel es usado frecuentemente para el estudio de magnitud-duración y frecuencias de lluvias (Hershfield 1961) y como la distribución de valores máximos de caudales anuales de un río. GUMBEL (1958), estudió la aplicación para datos de descargas diarias.
La función de densidad de probabilidad para la distribución de valores extremos Tipo I o Gumbel es:
f ( X )
1
e
X X e
para:
- < X < ;
-<<;>0
El signo (+) se aplica para valores mínimos y el signo (-) para valores máximos. En la función de densidad es el parámetro de escala y el parámetro de posición. La media, la variancia y el coeficiente de asimetría de la distribución del valor extremo Tipo I son:
Media
E ( X )
0.577
E ( X )
0.577
2
Varianza
Coef. Asimetría
g
1.645 1.1396
g 1.1396
2
valores máximos valores mínimos para ambos valores máximos valores mínimos
Si se hace la transformación;
Y e Y f (Y ) e P (Y Y 0 )
(Y ) e
F
F (Y )min
1
; la función de densidad será:
El signo (+) se emplea para eventos mínimos y el signo ( –) para eventos máximos. La función de distribución acumulada es:
e
P (Y Y 0 ) F (Y ) 1 e
Y
X
Y
eY
para valores máximos para valores mínimos
F ( Y ) max
Los estimadores para los parámetros y , por el método de momentos (Lowery y Nash, 1970) son: S ˆ
1.283
X 0.45S
para valores máximos
X 0.45S
para valores mínimos
ˆ
ˆ
Por el método de máxima verosimilitud (Lower y Nash, 1970) son:
ˆ
X X
i
e
e
X i
ˆ
X i
ˆ
e ln n X i ˆ
ˆ
ˆ
Desafortunadamente las ecuaciones de máxima verosimilitud para el estimado de los parámetros y no tienen solución explícita, por lo que es necesario una solución por métodos numéricos. Según Lower y Nash, el método de momentos da resultados satisfactorios en el cálculo de estos parámetros. Ejemplo: Si se muestra de datos de caudales picos tiene como media 81 y desviación estándar 23. Determinar el período de retorno T, correspondiente a Q = 91 m 3/s, si se asume que los datos siguen una distribución Gumbel.
Solución:
ˆ
S
y consecuentemente:
ˆ
1.283
La variable reducida es:
por lo tanto:
17.94
Y
X
91
1
0.45S
70.65
1.134
17.94
1
X
70.65
P (Y 1.134) e T
e
Y
e
e
1.13 4
0.725
3.64
0.725
El método de Gumbel es de fácil aplicación y se basa solo en dos parámetros, la media y la desviación estándar, mientras que otros métodos incluyen el coeficiente de asimetría. Cuando la asimetría es grande, se toma X = ln Q y se procede al análisis como en el caso anterior, constituyéndose una distribución Log-Gumbel; el gráfico establecido corresponde a una recta en el papel de probabilidades correspondiente, si el ajuste es adecuado.
Distribución Pearson Tipo III: La distribución Pearson Tipo III, tiene gran aplicación en el análisis de caudales picos. Su función de densidad es:
f ( X )
Variable reducida:
( X X o ) 1 e Y
( X X o ) /
Xo X < ; - < Xo < ; 0 < < ; 0< <
X
X 0
por lo que:
P(Y Y 0 ) F(Y)
Y
0
Y e 1
f (Y )
Y 1 e Y
Y
dY
El estimado para los parámetros por el método de momentos es: media
E(X) μ X 0
coeficiente de asimetría o sesgo
varianza
g
2
E(X ) 2 2 2
Ejemplo 6: Si los caudales picos de un cierto río siguen una distribución Pearson Tipo III, con media 60, desviación estándar 18 y coeficiente de asimetría 0.9. Calcular aproximadamente la media y el caudal con un período de retorno de 10 años. Solución: 2 g
0.9
ˆ
4.938
2
2
18
2
μ
X 0
Y
X
60
X 0
X
P(Y Y 0 ) F(Y) 1
T
1
4.938
8.10
60 8.10 4.938 20.002
X 0
1
18
ˆ
1 10
Y X 0
0.9
Y
0
Y 1 e Y
dY
Debido a la dificultad de resolver la integral se recomienda usar las tablas de distribución acumulada Gamma o en su defecto obtenerla haciendo uso de la Función estadística DISTR.GAMMA.INV de Microsoft EXCEL. A continuación se describe el procedimiento seguido en la obtención de Y mediante EXCEL: Función: DISTR.GAMMA.INV Calcula, para una probabilidad dada, el valor de la variable aleatoria siguiendo una distribución gamma acumulativa. Sintaxis: DISTR.GAMMA.INV(probabilidad;alfa;beta) Probabilidad : es la probabilidad asociada con la distribución gamma. Alfa : es un parámetro de la distribución. Beta : es un parámetro de la distribución.
Observaciones: Si uno de los argumentos no es numérico, DISTR.GAMMA.INV devuelve el error #¡VALOR! Si el argumento prob < 0 o si probabilidad > 1, DISTR.GAMMA.INV devuelve el error #¡NUM! Si alfa ≤ 0 o si beta ≤ 0, DISTR.GAMMA.INV devuelve el error #¡NUM! Si el argumento beta ≤ 0, DISTR.GAMMA.INV devuelve el error #¡NUM! DISTR.GAMMA.INV utiliza una técnica iterativa para calcular la función. Dado un valor del argumento probabilidad, DISTR.GAMMA.INV reitera hasta obtener un resultado con una exactitud de ±3x10 -7. Si DISTR.GAMMA.INV no converge después de 100 iteraciones, devuelve x el valor de error #N/A. 1 La ecuación para la distribución gamma es: f ( x, , ) x 1 e
Aplicación: En nuestro caso específico: probabilidad = 0.9, = = 4.938, = 1 DISTR.GAMMA.INV(0.9;4.938;1) que da Y = 7.9132. Por lo tanto:
X Y X 0 8.1 7.9132 20.002 84.1
m3
s
Distribución Log-Pearson Tipo III: La transformación puede ser: Z
ln( X )
ó
Z
ln( X
X 0 )
Donde: Z es la variable aleatoria con distribución Pearson III y X la variable aleatoria con distribución Log-Pearson III. La función de densidad para X y Z y la función de distribución se dan a continuación:
f ( X )
f ( Z )
( LnX Y 0 ) 1 e
( Z
1
Z 0 )
( LnX Y 0 ) /
e
( Z Z 0
) /
Z Z 0
P(Z Z 0 ) F(Z)
Z
Z o
( Z Z 0 ) 1 e
Zo= parámetro de posición; = parámetro de escala; = parámetro de forma
X Z X 0
De acuerdo a la distribución Pearson Tipo III:
y para Log-Pearson Tipo III:
X
e
Z
X X 0
ó
e Z
La media, variancia y el sesgo de la distribución Log-Pearson Tipo III son:
E(Z) μ Z
media
variancia
E(Z Z )
coeficiente de asimetría o sesgo
g
2
Z 0
Z
2
2
2
Ejemplo: Si los caudales picos son variables aleatorias, (X) con distribución LogPearson de 3 parámetros tal que Ln(X) tiene media igual a 5, variancia igual a 0.06 y sesgo igual a 0.61. Determinar el caudal correspondiente a un período de retorno de 10 años. Solución: Como:
Como:
Como:
g
2
Z μ Z
0.61
ˆ
10.75
2
2
Z 0
0.08
0.08
ˆ
5
Z 0
10.75
0.0863
5 0.0863 10.75 4.0723
Z Z 0
P(Z Z 0 ) F(Z) 1
1 T
1
1 10
Z
0.9
Z o
( Z Z 0 ) 1 e
La solución de esta ecuación es bastante complicada por lo que será necesario hacer la siguiente transformación: Y
Z
Z 0
F (Y ) 0.9
por lo que:
Y
o
Y 1 e Y
dY
Siguiendo el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior, se obtiene, para: probabilidad = 0.9, = = 10.75, =1 DISTR.GAMMA.INV(0.9;10.75;1) que da Y = 15.1074 Por lo tanto:
Finalmente:
Z Y Z 0 0.0863 15.1074 4.0723 5.376 X
e
Z
e
5.37 6
216.16
m s
3
La distribución Pearson III posee la característica de ser asimétrica y no negativa, lo que lo hace adecuada para describir los caudales máximos; es una distribución de tres parámetros. La media, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría, son definidos por las siguientes relaciones:
X X
S X
n
X X 2 S X X 3
c X
2
X
X X
2
n
X
3
3n
n 1
X X 2n X
n n
3
2
1n 2S X
3
El METODO DE FOSTER representa una aplicación de la distribución Pearson III, a través de un ajuste del coeficiente de asimetría establecido por Hazen: 8.5 ' c X c X 1 n donde n es el tamaño de la muestra de caudales máximos diarios. Para la aplicación del método, se calculan los parámetros media, desviación estándar y el coeficiente de asimetría.
METODO DE FULLER: Es un método de extrapolación de datos históricos basado no en una distribución de frecuencias, pero sí en una regla de probabilidad, que establece la siguiente relación entre y el periodo de retorno T y: Q
Q Q
Q
a b log T
donde Q es el caudal diario más probable con periodo de retorno T; a y b son coeficientes determinados a partir de los datos históricos. Cuando no existen series de datos observados, el autor propone los valores de: a = 1.0 y b = 0.8 obtenidos para un gran número de ríos, y el caudal medio puede encontrarse a través de: 0.8
Q 0.796 A
siendo A el área de la cuenca. De esta forma, el caudal máximo diario Q para un periodo de retorno T en una cuenca de área A se obtiene:
Q 0.796 A0.8 1 0.8 log T
Uso de Factores de Frecuencia en el Análisis de Eventos Extremos: El factor de frecuencia es un valor característico de la ley de distribución Log-Normal, que tiene gran significación en el análisis de eventos extremos y es conocido matemáticamente como la variable reducida. Este término fue usado por Ven Te Chow (1951) en combinación con la fórmula general para el análisis de frecuencias hidrológicas:
Q
Q
KS Q
K es el factor de frecuencia, que depende de la ley de ocurrencia del evento hidrológico y es teóricamente idéntico al factor de asimetría de la curva logarítmica. Para una distribución dada, puede determinarse una relación K – T entre el factor de frecuencia y el periodo de retorno correspondiente que puede expresarse en términos matemáticos o mediante una tabla.
Factor de Frecuencia para la Distribución Normal y Lognormal: Es el mismo que la variable normal estándar Z definida por la ecuación siguiente: El valor de Z correspondiente a una probabilidad QQ de excedencia puede calcularse encontrando el K Z S Q valor de una variable intermedia W: 1/ 2
1/ 2
W
1 ln 2 P
(0 < P 0.5)
1 W ln (1 P ) 2
(P > 0.5)
El valor de Z puede ser obtenida de tablas o calculada con la siguiente ecuación de aproximación: K
Z
W
2.515517 0.802853W 0.010328W 1 1.432788W 0.189269W
2
2
0.001308W
3
Para la distribución Log-Normal, se usa el mismo procedimiento excepto que éste se aplica a los logaritmos de las variables.
Factor de Frecuencia para la Distribución Gumbel y LogGumbel: Para la distribución de Valor Extremo Tipo I, Chow (1953) dedujo la siguiente expresión: K
6
T
T 0.5772 ln ln T 1 1
K 1 exp exp 0.5772 6
Cuando la variable es igual a la media K = 0 y T = 2.33 años, que corresponde al periodo de retorno de la media de la distribución. Para la distribución Log-Gumbel, se usa el mismo procedimiento excepto que éste se aplica a los logaritmos de las variables.
Factor de Frecuencia para la Distribución Pearson III y Log-Pearson III Para la distribución Log-Pearson III, se trabaja con los los logaritmos de la información y luego se procede a calcular la media, desviación estándar y el coeficiente de asimetría. El factor de frecuencia depende del periodo de retorno T y del coeficiente de asimetría C. Cuando C = 0 el factor de frecuencia K es igual a la variable normal estándar Z y cuando C 0 el factor de frecuencia se aproxima (Kite 1977) como: K
C
1
C
2
C
Z Z 2 1 Z 3 6 Z Z 2 1 6 3 6 6
3
C Z 6
4
1 C
5
3 6
Los valores de Z y K para un periodo de retorno dado pueden calcularse a través de las ecuaciones y o en su defecto obtenerse de tablas.
Límites de Confianza para las Distribuciones de Valores Extremos: El gráfico de los datos observados, muestran una tendencia lineal recta. La distribución de los datos de probabilidad acumulada pueden ser descritas por los Límites de Confianza, establecidos a ambos lados de la curva de ajuste, quedando entonces la nube de puntos ploteados dentro de estos límites con un cierto grado de probabilidad. Para ello se calcula, en primer lugar, el intervalo de confianza a partir del error estándar de la media y de la desviación estándar multiplicándose por el estadístico “t” de Student escogido en función del número de grados de libertad ( ):
Intervalo de Confianza: IC
tS Q n
1
2 1/ 2
0.5Z
Límite de Confianza Superior: LCS = Q + IC Límite de Confianza Inferior:
LCI = Q - IC
El número de grados de libertad se calcula se calcula restando el número de parámetros (k) al tamaño de la muestra (n): = n - k
Ejemplo de Cálculo de Máximas Avenidas – Uso de Factores de Frecuencia Año
Q m3/s
Q m3/s
Posición m
2
3
4
1 1970
120.0
261.0
1
1971
151.0
239.0
1972
150.0
210.0
1973
210.0
1974
182.0
1975 1976
P >= Q (%) m/(N+1)
T (años) (N+1)/m
Y=Log Q
5
6
7
3.45
29.00
2.4166
2
6.90
14.50
2.3784
3
10.34
9.67
2.3222
196.0
4
13.79
7.25
2.2923
190.0
5
17.24
5.80
2.2788
261.0
189.0
6
20.69
4.83
2.2765
180.0
189.0
7
24.14
4.14
2.2765
1977
150.0
182.0
8
27.59
3.63
2.2601
1978
189.0
180.0
9
31.03
3.22
2.2553
1979
167.0
179.0
10
34.48
2.90
2.2529
1980
111.0
176.0
11
37.93
2.64
2.2455
1981
126.0
172.0
12
41.38
2.42
2.2355
1982
170.0
170.0
13
44.83
2.23
2.2304
1983
104.0
169.0
14
48.28
2.07
2.2279
1984
151.0
167.0
15
51.72
1.93
2.2227
1985
169.0
163.0
16
55.17
1.81
2.2122
1986
137.0
158.0
17
58.62
1.71
2.1987
1987
179.0
153.0
18
62.07
1.61
2.1847
1988
189.0
151.0
19
65.52
1.53
2.1790
1989
153.0
151.0
20
68.97
1.45
2.1790
1990
239.0
150.0
21
72.41
1.38
2.1761
1991
140.0
150.0
22
75.86
1.32
2.1761
1992
158.0
140.0
23
79.31
1.26
2.1461
1993
196.0
137.0
24
82.76
1.21
2.1367
1994
176.0
126.0
25
86.21
1.16
2.1004
1995
163.0
120.0
26
89.66
1.12
2.0792
1996
190.0
111.0
27
93.10
1.07
2.0453
1997
172.0
104.0
28
96.55
1.04
2.0170
Media Desv. Est.
167.25 34.89
Media
2.2144
Des. Est.
0.0904
Método Log-Normal T
P
Q obs.
Q cal.
LCI
LCS
2
0.5000
169.00
163.82
151.09
177.61
5
0.2000
189.00
195.17
177.64
214.43
10
0.1000
210.00
213.90
191.78
238.56
25
0.0400
255.00
235.85
207.36
268.24
50
0.0200
251.20
217.82
289.71
75
0.0133
259.85
223.58
302.01
100
0.0100
265.87
227.54
310.66
150
0.0067
274.21
232.96
322.75
200
0.0050
280.04
236.72
331.28
300
0.0033
288.15
241.90
343.24
400
0.0025
293.84
245.50
351.70
500
0.0020
298.22
248.25
358.25
1000
0.0010
311.67
256.62
378.53
Método Gumbel T
P
Q obs.
Q cal.
LCI
LCS
2
0.5000
169.00
161.52
147.87
175.17
5
0.2000
189.00
192.35
177.14
207.56
10
0.1000
210.00
212.77
194.32
231.21
25
0.0400
255.00
238.56
214.74
262.39
50
0.0200
257.70
229.39
286.00
75
0.0133
268.82
237.80
299.84
100
0.0100
276.69
243.71
309.68
150
0.0067
287.77
251.99
323.55
200
0.0050
295.62
257.83
333.40
300
0.0033
306.67
266.04
347.30
400
0.0025
314.51
271.84
357.18
500
0.0020
320.58
276.33
364.84
1000
0.0010
339.46
290.24
388.67
Q
m(
3
s/
)
Resultados - Distribución de Gumbel
420.0 400.0 380.0 360.0 340.0 320.0 300.0 280.0 260.0 240.0 220.0 200.0 180.0 160.0 140.0 120.0 100.0 1
10 Q obs.
100 Q cal.
LCI
1000 LCS
T (años)
Método Log-Pearson III T
P
Q obs.
Q cal.
LCI
LCS
2
0.5000
169.00
164.44
151.64
178.32
5
0.2000
189.00
195.37
177.76
214.71
10
0.1000
210.00
213.34
191.34
237.88
25
0.0400
255.00
233.96
206.01
265.71
50
0.0200
248.10
215.67
285.41
75
0.0133
255.97
220.94
296.56
100
0.0100
261.40
224.53
304.33
150
0.0067
268.88
229.43
315.11
200
0.0050
274.07
232.80
322.65
300
0.0033
281.24
237.41
333.15
400
0.0025
286.23
240.60
340.52
500
0.0020
290.06
243.02
346.20
1000
0.0010
301.71
250.34
363.61
Resultados - Distribución Log-Pearson III 380.0 360.0 340.0 320.0 300.0
s/
)
280.0 260.0
3 m(
240.0 220.0
Q
200.0 180.0 160.0 140.0 120.0 100.0
1
10 Q obs.
100 Q cal.
LCI
1000 LCS
T (años)
FACTOR DE FRECUENCIA K = Z, Para la Distribución Normal T
P
W
K
años
125
0.00800
3.1075
2.4093
150
0.00667
3.1656
2.4752
175
0.00571
3.2140
2.5297
1
1.00000
infinito
infinito
200
0.00500
3.2552
2.5762
2
0.50000
1.1774
0.0000
250
0.00400
3.3231
2.6525
3
0.33333
1.4823
0.4303
300
0.00333
3.3775
2.7134
4
0.25000
1.6651
0.6742
350
0.00286
3.4228
2.7641
5
0.20000
1.7941
0.8415
400
0.00250
3.4616
2.8074
0.00222
3.4955
2.8451
6
0.16667
1.8930
0.9674
450
8
0.12500
2.0393
1.1504
500
0.00200
3.5255
2.8785
550
0.00182
3.5524
2.9084
600
0.00167
3.5769
2.9355
650
0.00154
3.5992
2.9603
700
0.00143
3.6197
2.9830
750
0.00133
3.6387
3.0041
800
0.00125
3.6564
3.0236
10
0.10000
2.1460
1.2817
15
0.06667
2.3273
1.5014
20
0.05000
2.4477
1.6452
25
0.04000
2.5373
1.7511
30
0.03333
2.6081
1.8343
35
0.02857
2.6666
1.9026
850
0.00118
3.6729
3.0419
40
0.02500
2.7162
1.9604
900
0.00111
3.6885
3.0591
45
0.02222
2.7592
2.0103
950
0.00105
3.7031
3.0753
50
0.02000
2.7971
2.0542
1000
0.00100
3.7169
3.0905
55
0.01818
2.8310
2.0933
1500
0.00067
3.8245
3.2090
2000
0.00050
3.8989
3.2908
2500
0.00040
3.9558
3.3530
3000
0.00033
4.0016
3.4031
3500
0.00029
4.0399
3.4450
4000
0.00025
4.0728
3.4809
60
0.01667
2.8616
2.1285
65
0.01538
2.8894
2.1605
70
0.01429
2.9150
2.1898
75
0.01333
2.9385
2.2168
80
0.01250
2.9604
2.2418
4500
0.00022
4.1017
3.5124
85
0.01176
2.9808
2.2652
5000
0.00020
4.1273
3.5402
90
0.01111
2.9999
2.2870
7500
0.00013
4.2244
3.6458
95
0.01053
3.0179
2.3075
8000
0.00013
4.2396
3.6624
100
0.01000
3.0349
2.3268
10000
0.00010
4.2919
3.7191
FACTOR DE FRECUENCIA K, Para la Distribución Gumbel T
P
K
años
125
0.00800
3.3115
150
0.00667
3.4541
175
0.00571
3.5747
200
0.00500
3.6791
250
0.00400
3.8535
300
0.00333
3.9959
350
0.00286
4.1163
400
0.00250
4.2205
450
0.00222
4.3125
500
0.00200
4.3947
550
0.00182
4.4691
600
0.00167
4.5370
650
0.00154
4.5994
700
0.00143
4.6573
1
1.00000
infinito
2
0.50000
-0.1643
3
0.33333
0.2538
4
0.25000
0.5214
5
0.20000
0.7195
6
0.16667
0.8770
8
0.12500
1.1198
10
0.10000
1.3046
15
0.06667
1.6347
20
0.05000
1.8658
25
0.04000
2.0438
750
0.00133
4.7111
30
0.03333
2.1887
800
0.00125
4.7614
35
0.02857
2.3108
850
0.00118
4.8087
40
0.02500
2.4163
900
0.00111
4.8533
45
0.02222
2.5093
950
0.00105
4.8955
50
0.02000
2.5923
1000
0.00100
4.9355
55
0.01818
2.6673
1500
0.00067
5.2518
60
0.01667
2.7358
2000
0.00050
5.4762
65
0.01538
2.7987
2500
0.00040
5.6502
70
0.01429
2.8569
3000
0.00033
5.7924
75
0.01333
2.9111
3500
0.00029
5.9126
80
0.01250
2.9617
4000
0.00025
6.0167
85
0.01176
3.0093
4500
0.00022
6.1086
90
0.01111
3.0541
5000
0.00020
6.1907
95
0.01053
3.0965
7500
0.00013
6.5069
100
0.01000
3.1367
8000
0.00013
6.5572
FACTOR DE FRECUENCIA K, Para la Distribución Pearson Coeficiente
de Asimetría (c) -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2.0 -1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2
2
5
0.500
0.200
0.3469 0.3401 0.3326 0.3242 0.3152 0.3054 0.2949 0.2839 0.2722 0.2600 0.2473 0.2340 0.2204 0.2063 0.1919 0.1771 0.1620 0.1466 0.1309 0.1151 0.0990 0.0828 0.0664 0.0499 0.0333
0.6901 0.7055 0.7202 0.7342 0.7476 0.7602 0.7721 0.7832 0.7936 0.8032 0.8120 0.8201 0.8273 0.8338 0.8394 0.8442 0.8481 0.8513 0.8536 0.8550 0.8556 0.8553 0.8543 0.8523 0.8495
PERIODO DE RETORNO EN AÑOS 10 25 50 75 PPROBABILIDAD DE EXCEDENCIA 0.100 0.040 0.020 0.013 0.7460 0.7716 0.7973 0.8229 0.8484 0.8737 0.8989 0.9237 0.9483 0.9724 0.9962 1.0194 1.0421 1.0643 1.0858 1.1066 1.1268 1.1462 1.1648 1.1826 1.1996 1.2157 1.2308 1.2450 1.2583
0.7589 0.7909 0.8242 0.8588 0.8945 0.9312 0.9688 1.0072 1.0462 1.0858 1.1259 1.1663 1.2069 1.2477 1.2886 1.3293 1.3700 1.4104 1.4506 1.4903 1.5296 1.5683 1.6064 1.6438 1.6804
0.7594 0.7916 0.8265 0.8638 0.9034 0.9451 0.9887 1.0342 1.0813 1.1299 1.1799 1.2311 1.2833 1.3365 1.3904 1.4450 1.5002 1.5557 1.6115 1.6675 1.7235 1.7794 1.8351 1.8906 1.9456
0.7616 0.7924 0.8266 0.8640 0.9045 0.9479 0.9939 1.0424 1.0932 1.1461 1.2009 1.2576 1.3159 1.3756 1.4366 1.4988 1.5619 1.6259 1.6906 1.7558 1.8215 1.8874 1.9535 2.0196 2.0856
100
200
500
1000
0.010
0.005
0.002
0.001
0.7648 0.7940 0.8271 0.8641 0.9047 0.9486 0.9958 1.0460 1.0989 1.1545 1.2124 1.2726 1.3349 1.3990 1.4647 1.5320 1.6007 1.6705 1.7414 1.8131 1.8855 1.9585 2.0319 2.1055 2.1793
0.7807 0.8037 0.8323 0.8662 0.9051 0.9489 0.9972 1.0499 1.1066 1.1672 1.2314 1.2990 1.3697 1.4434 1.5198 1.5987 1.6800 1.7633 1.8485 1.9355 2.0239 2.1137 2.2046 2.2965 2.3892
0.8224 0.8331 0.8517 0.8777 0.9109 0.9510 0.9976 1.0505 1.1094 1.1739 1.2439 1.3189 1.3988 1.4832 1.5719 1.6646 1.7610 1.8610 1.9642 2.0704 2.1794 2.2909 2.4047 2.5206 2.6384
0.8716 0.8702 0.8783 0.8958 0.9221 0.9570 1.0001 1.0510 1.1095 1.1752 1.2477 1.3267 1.4120 1.5031 1.5998 1.7019 1.8089 1.9205 2.0366 2.1568 2.2808 2.4084 2.5393 2.6732 2.8099
0.0
0.0000
0.8415
1.2817
1.7511
2.0542
2.2168
2.3268
2.5762
2.8785
3.0905
0.1
-0.0167
0.8362
1.2919
1.7850
2.1075
2.2818
2.4002
2.6703
3.0005
3.2340
0.2
-0.0333
0.8301
1.3011
1.8180
2.1600
2.3462
2.4733
2.7645
3.1235
3.3793
0.3
-0.0499
0.8232
1.3091
1.8499
2.2117
2.4100
2.5458
2.8588
3.2474
3.5262
0.4
-0.0664
0.8155
1.3161
1.8806
2.2625
2.4731
2.6178
2.9528
3.3719
3.6744
0.5
-0.0828
0.8070
1.3221
1.9103
2.3123
2.5353
2.6890
3.0466
3.4968
3.8237
0.6
-0.0990
0.7978
1.3269
1.9387
2.3610
2.5965
2.7595
3.1400
3.6220
3.9740
0.7
-0.1151
0.7878
1.3306
1.9659
2.4085
2.6567
2.8290
3.2329
3.7473
4.1250
0.8
-0.1309
0.7771
1.3332
1.9918
2.4548
2.7159
2.8975
3.3250
3.8726
4.2765
0.9
-0.1466
0.7657
1.3348
2.0164
2.4999
2.7738
2.9650
3.4164
3.9976
4.4283
1.0
-0.1620
0.7536
1.3352
2.0397
2.5437
2.8305
3.0312
3.5069
4.1223
4.5802
1.1
-0.1771
0.7409
1.3346
2.0617
2.5860
2.8859
3.0962
3.5963
4.2464
4.7321
1.2
-0.1919
0.7275
1.3328
2.0822
2.6270
2.9399
3.1599
3.6846
4.3698
4.8838
1.3
-0.2063
0.7135
1.3301
2.1014
2.6665
2.9925
3.2222
3.7718
4.4925
5.0350
1.4
-0.2204
0.6990
1.3262
2.1191
2.7045
3.0435
3.2830
3.8576
4.6141
5.1858
1.5
-0.2340
0.6839
1.3214
2.1355
2.7410
3.0930
3.3423
3.9420
4.7348
5.3358
1.6
-0.2473
0.6683
1.3155
2.1504
2.7759
3.1410
3.4000
4.0249
4.8542
5.4850
1.7
-0.2600
0.6523
1.3087
2.1639
2.8092
3.1873
3.4561
4.1063
4.9723
5.6331
1.8
-0.2722
0.6358
1.3009
2.1760
2.8409
3.2319
3.5105
4.1860
5.0890
5.7801
1.9
-0.2839
0.6190
1.2922
2.1867
2.8710
3.2749
3.5632
4.2641
5.2043
5.9259
2.0
-0.2949
0.6018
1.2826
2.1960
2.8995
3.3162
3.6142
4.3404
5.3179
6.0703
2.1
-0.3054
0.5843
1.2721
2.2039
2.9263
3.3557
3.6634
4.4149
5.4298
6.2131
2.2
-0.3152
0.5667
1.2608
2.2105
2.9515
3.3935
3.7108
4.4876
5.5399
6.3544
2.3
-0.3242
0.5488
1.2488
2.2157
2.9750
3.4295
3.7564
4.5583
5.6482
6.4939
2.4
-0.3326
0.5308
1.2361
2.2196
2.9970
3.4638
3.8001
4.6272
5.7546
6.6317
2.5
-0.3401
0.5128
1.2227
2.2222
3.0173
3.4963
3.8420
4.6940
5.8589
6.7675
2.6
-0.3469
0.4947
1.2087
2.2236
3.0360
3.5271
3.8821
4.7589
5.9613
6.9013
2.7
-0.3527
0.4768
1.1942
2.2238
3.0532
3.5561
3.9204
4.8218
6.0615
7.0331
2.8
-0.3577
0.4589
1.1791
2.2228
3.0688
3.5834
3.9568
4.8826
6.1596
7.1628
2.9
-0.3616
0.4413
1.1637
2.2208
3.0829
3.6091
3.9914
4.9415
6.2556
7.2902
PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE • La bondad del ajuste de una distribución probabilidad puede probarse comparando valores teóricos y muestrales de funciones de frecuencia relativa o frecuencia acumulada.
de los las de
• Se usa la Prueba X 2 m
X 2
i 1
n f xi p xi
2
p xi
2 c
X , v
m p 1, 1
m = Numero de intervalos = nivel de significacion 6/29/2012
p = Numero de parametros usados
FIA DRAT-CAYO RAMOS
63
EJEMPLO Precipitacion Anual
Año
Pp (mm)
Año Pp (mm)
Año Pp (mm)
Año Pp (mm)
Año Pp (mm)
Año Pp (mm)
1911
39.9
1923
48.4
1935
41.8
1947
43.8
1959
41.3
1971
31.7
1912
31.0
1924
34.2
1936
41.1
1948
21.6
1960
46.0
1972
31.5
1913
42.3
1925
32.4
1937
31.2
1949
47.1
1961
44.3
1973
59.6
1914
42.1
1926
46.4
1938
35.2
1950
31.2
1962
37.8
1974
50.5
1915
41.1
1927
38.9
1939
35.1
1951
27.0
1963
29.6
1975
38.6
1916
28.7
1928
37.3
1940
49.3
1952
37.0
1964
35.1
1976
43.4
1917
16.8
1929
50.6
1941
44.2
1953
46.8
1965
49.7
1977
28.7
1918
34.1
1930
44.8
1942
41.7
1954
26.9
1966
36.6
1978
32.0
1919
56.4
1931
34.0
1943
30.8
1955
25.4
1967
32.5
1979
51.8
1920
48.7
1932
45.6
1944
53.6
1956
23.0
1968
61.7
1921
44.1
1933
37.3
1945
34.5
1957
56.5
1969
47.4
1922
42.8
1934
43.7
1946
50.3
1958
43.4
1970
33.9
6/29/2012
FIA DRAT-CAYO RAMOS
64
EJEMPLO Ajuste a una distribucion Normal
ntervalo rango
f (x)
F(x)
Z
F(x)
p(x)
X2c
1
<20
1
0.014
0.014
-2.141
0.016
0.016
0.012
2
20-25
2
0.029
0.043
-1.599
0.055
0.039
0.169
3
25-30
6
0.087
0.13
-1.058
0.145
0.09
0.008
4
30-35
14
0.203
0.333
- 0.516
0.303
0.158
0.89
5
35-40
11
0.159
0.493
0.025
0.51
0.207
0.762
6
40-45
16
0.232
0.725
0.567
0.715
0.205
0.253
7
45-50
10
0.145
0.87
1.109
0.866
0.152
0.02
8
50-55
5
0.072
0.942
1.65
0.951
0.084
0.116
9
55-60
3
0.043
0.986
2.192
0.986
0.035
0.132
10
>60
1
0.014
1
2.755
1
0.014
4E-04
69
1
1
2.362
total
6/29/2012
n
x
39.77
s
9.23 FIA DRAT-CAYO RAMOS
65
PRUEBA DE KOLMOGOROV • Determina la desviación máxima entre la frecuencia relativa observada determinada con Weibull F(m) y la frecuencia relativa esperada F(x) calculada por el desarrollo de la función de distribución teórica: max F (m) F ( x)
• Compararlo con la tabla con y N = nivel de significación y N numero de datos 6/29/2012
FIA DRAT-CAYO RAMOS
66
