SEBASTIAN ESPINOSA DE LOS MONTEROS
MUESTREO DIGITAL DE SEÑALES
INTRODUCCION El muestreo digital es una de las partes que intervienen en la digitalización de las señales. Consiste en tomar muestras periódicas de la amplitud de una señal analógica, siendo el intervalo entre las muestras constante. El ritmo de este muestreo, se denomina frecuencia o tasa de muestreo y determina el número de muestras que se toman en un intervalo de tiempo. El muestreo está basado en el Teorema de Muestras, que es la base de la representación discreta de una señal continua en banda limitada. Es útil en la digitalización de señales (y por consiguiente en las telecomunicaciones) y en la codificación del sonido en formato digital. Independientemente del uso final, el error total de las muestras será igual al error total del sistema de adquisición y conversión más los errores añadidos por el ordenador o cualquier sistema digital. Para dispositivos incrementales, tales como motores paso a paso y conmutadores, el error medio de los datos muestreados no es tan importante como para los dispositivos que requieren señales de control continuas.
MARCO TEORICO Conversión analógica-digital La conversión analógica-digita analógica-digitall (CAD) consiste en la transcripción de señales analógicas en señales digitales, con el propósito de facilitar su procesamiento (codificación (codificación,compresión, ,compresión, etc.) y hacer la señal resultante (la digital) más inmune al ruido y otras interferencias a las que son más sensibles las señales analógicas.
Procesos de la conversión A/D.
Comparación de las señales analógica y digital
Una señal analógica es aquella cuya amplitud (típicamente tensión de una señal que proviene de un transductor y amplificador) puede tomar en principio cualquier valor, esto es, su nivel en cualquier muestra no está limitado a un conjunto finito de niveles predefinidos como es el caso de las señales cuantificadas. Esto no quiere decir que se traten, en la práctica, de señales de infinita precisión (un error muy extendido): las señales analógicas reales tienen todas un ruido que se traduce en un intervalo de incertidumbre. Esto quiere decir que obtenida una muestra de una señal analógica en un instante determinado, es imposible determinar cuál es el valor exacto de la muestra dentro de un intervalo de incertidumbre que introduce el ruido. Por ejemplo, se mide 4,3576497 V pero el nivel de esa muestra de la señal de interés puede estar comprendida entre 4,35 V y 4,36 V y no es físicamente posible determinar ésta con total precisión debido a la naturaleza estocástica del ruido. Sólo el más puro azar determina qué valores se miden dentro de ese rango de incertidumbre que impone el ruido. Y no existe (ni puede existir) ningún soporte analógico sin un nivel mínimo de ruido, es decir, de infinita precisión. Por otro lado, si se pudiera registrar con precisión infinita una señal analógica significaría, de acuerdo con la Teoría de la Información, que ese medio serviría para registrar infinita información; algo totalmente contrario a las leyes físicas fundamentales de nuestro universo y su relación con la entropía de Shannon. En cambio, una señal digital es aquella cuyas dimensiones (tiempo y amplitud) no son continuas sino discretas, lo que significa que la señal necesariamente ha de tomar unos determinados valores fijos predeterminados en momentos también discretos. Las señales analógicas no se diferencian, por tanto, de las señales digitales en su precisión (precisión que es finita tanto en las analógicas como en las digitales) o en la fidelidad de sus formas de onda (distorsión). Con frecuencia es más fácil obtener precisión y preservar la forma de onda de la señal analógica original (dentro de los límites de precisión impuestos por el ruido que tiene antes de su conversión) en las señales digitales que en aquéllas que provienen de soportes analógicos, caracterizados típicamente por relaciones señal a ruido bajas en comparación.
Sistema Analógico Digital.
Digitalización La digitalización o conversión analógica-digital (conversión A/D) consiste básicamente en realizar de forma periódica medidas de la amplitud (tensión) de una señal (por ejemplo, la que proviene de un micrófono si se trata de registrar sonidos, de un sismógrafo si se trata de registrar vibraciones o de una sonda de un osciloscopio para cualquier nivel variable de tensión de interés), redondear sus valores a un conjunto finito de niveles preestablecidos de tensión (conocidos como niveles de cuantificación) y registrarlos como números enteros en cualquier tipo de memoria o soporte. La conversión A/D también es conocida por el acrónimo inglés ADC (analogue to digital converter ).
En esta definición están patentes los cuatro procesos que intervienen en la conversión analógicadigital: 1. Muestreo: el muestreo (en inglés, sampling) consiste en tomar muestras periódicas de la amplitud de onda. La velocidad con que se toma esta muestra, es decir, el número de muestras por segundo, es lo que se conoce como frecuencia de muestreo. 2. Retención (en inglés, hold ): las muestras tomadas han de ser retenidas (retención) por un circuito de retención (hold), el tiempo suficiente para permitir evaluar su nivel (cuantificación). Desde el punto de vista matemático este proceso no se contempla, ya que se trata de un recurso técnico debido a limitaciones prácticas, y carece, por tanto, de modelo matemático. 3. Cuantificación: en el proceso de cuantificación se mide el nivel de voltaje de cada una de las muestras. Consiste en asignar un margen de valor de una señal analizada a un único nivel de salida. Incluso en su versión ideal, añade, como resultado, una señal indeseada a la señal de entrada: el ruido de cuantificación.
4. Codificación: la codificación consiste en traducir los valores obtenidos durante la cuantificación al código binario. Hay que tener presente que el código binario es el más utilizado, pero también existen otros tipos de códigos que también son utilizados. Durante el muestreo y la retención, la señal aún es analógica, puesto que aún puede tomar cualquier valor. No obstante, a partir de la cuantificación, cuando la señal ya toma valores finitos, la señal ya es digital. Los cuatro procesos tienen lugar en un conversor analógico-digital.
MUESTRO DIGITAL
Muestreo teórico: Sea la señal de banda limitada y paso-bajo (dominio de la frecuencia) es nulo para:
El producto de
. Sea también la onda:
es una onda formada por deltas de peso igual a las muestras
:
, que dará lugar a otro tren de deltas:
Función escala fs.
(dominio del tiempo) cuyo espectro
La transformada de
es la de
repetida y centrada en cada armónico de la frecuencia
de muestreo, exceptuando el término constante o la función escala
.
No se producirá solapamiento entre los espectros parciales de
si se
verifica que:
De la observación del espectro pasando
se deduce la posibilidad de recuperar
por un filtro paso-bajo cuya frecuencia de corte
simplemente
cumpla la condición:
Teorema de Muestras: Se considera la señal paso-bajo espectro
, que cumple:
para
, cuyo
se representa en la figura.
Es posible establecer un desarrollo en Serie de Fourier de
, limitado a
del
modo siguiente:
, en dónde los coeficientes
Ahora bien, si
del desarrollo vienen dados por:
es la transformada inversa de
:
, de dónde se infiere una relación inmediata entre los de
y valores particulares
, concretamente:
Así pues, puede escribirse el espectro propias muestras de
de
dados en la ecuación anterior:
de
en términos de las
sin más que sustituir los valores
Para hallar los términos de
bastará con calcular la transformada
inversa, resultando así:
Obsérvese que éste resultado es consecuencia de la limitación de banda de muestreo aparece en el curso de la especificación de
y que la operación
. De esta manera, se demuestra el
denominado Teorema de Muestras, el cual afirma que toda señal de banda limitada puede expresarse de modo único en función de sus muestras o valores puntuales tomados a intervalos
regulares
. El valor de
será tal que:
, siendo
la máxima frecuencia
espectral de la señal .
Este teorema es igualmente válido, adaptando ciertas condiciones para muestreo no uniforme y por supuesto para señales paso banda, dependiendo en éste caso de la frecuencia de muestreo de la anchura de banda de paso y de la frecuencia central de la señal . Como corolario del teorema, se
puede afirmar que dada la colección discreta de valores una de banda limitada a
existe una función
y sólo
que pasa por todos los puntos dados y se construye mediante la
última ecuación.
Muestreo práctico: El Teorema de muestreo no impone ninguna exigencia en cuanto al modo de obtener las muestras, por lo que la señal se podrá reconstruir a partir de algún método más susceptible de implementación práctica. El muestreo práctico difiere del teórico en tres aspectos principales:
La onda muestreadora está constituida por trenes de impulsos de duración no nula.
Los filtros prácticos de reconstrucción no son ideales.
Los mensajes a los que se aplica el teorema no están estrictamente limitados en banda, ni pueden, ya que se trata de señales limitadas en el tiempo.
Clases de muestreo práctico
Sea un impulso arbitrario cualquiera , tal que: se solapen los impulsos básicos) y sea la onda:
para
Una posible forma de transmitir las muestras
(lo que evita que
es utilizar las muestras como amplitud
del impulso m-ésimo, centrado en el instante del muestreo, es decir, formar la señal:
, que es un tren de impulsos, cada uno de los cuales viene afectado por un factor de escala ( peso oamplitud ) igual al valor instantáneo
. La señal anterior constituye un ejemplo
básico demuestreo práctico instantáneo. En el caso del muestreo práctico natural, en vez de afectar a cada impulso con un valor instantáneo de
se le multiplica punto a punto por cada uno de los valores de
intervalo de existencia, en otras palabras, se forma el producto genérico
. Sumando tales
productos se obtiene este tipo de muestreo, que se puede representar mediante la ecuación:
Muestreo práctico instantáneo.
en el
Muestreo práctico natural.
Fragmento del espectro de una señal muestreada.
El teorema de muestras práctico: Se puede resumir el enunciado del Teorema contemplando señales y métodos de muestreo reales, del modo siguiente: Si una señal
ha sido filtrada en paso-bajo de modo que tiene
componentes espectrales por encima de
, puede describirse adecuadamente para muchas
aplicaciones mediante muestras instantáneas o de duración no nula, separadas uniformemente en el tiempo por un intervalo
.
Si se ha muestreado la señal al régimen de Nyquist o mayor y las muestras se representan mediante impulsos periódicos cuya amplitud sea proporcional a sus valores, puede reconstruirse aproximadamente la señal a partir de sus muestras mediante un filtraje paso-bajo.
Ejemplo de digitalización Un ordenador o cualquier sistema de control basado en un microprocesador no puede interpretar señales analógicas, ya que sólo utiliza señales digitales. Es necesario traducir, o transformar en señales binarias, lo que se denomina proceso de digitalización o conversión de señales analógicas a digitales. En la gráfica inferior se observa una señal analógica, que para ser interpretada en un ordenador ha de modificarse mediante digitalización. Un medio simple es el muestreado o sampleado. Cada cierto tiempo se lee el valor de la señal analógica. 1. Si el valor de la señal en ese instante está por debajo de un determinado umbral, la señal digital toma un valor mínimo (0). 2. Cuando la señal analógica se encuentra por encima del valor umbral, la señal digital toma un valor máximo (1).
Digitalización por muestreado de una señal analógica.
El momento en que se realiza cada lectura es ordenado por un sistema de sincronización que emite una señal de reloj con un período constante. Estas conversiones analógico-digitales son habituales en adquisición de datos por parte de un ordenador y en la modulación digital para transmisiones y comunicaciones por radio. La música en el formato digital se almacena en el CD. Un sistema óptico de diodos láser lee los datos digitales del disco cuando éste gira y los transfiere al conversor digital-analógico. Este transforma los datos digitales en una señal analógica que es la reproducción eléctrica de la música original. Esta señal se amplifica y se envía al altavoz para poder disfrutarla.
Cuando la música original se grabó en el CD se utilizó un proceso que esencialmente, era el inverso del descrito aquí, y que utilizaba un conversor analógico-digital.
USOS DEL MUESTREO DIGITAL:
TELEVISION DIGITAL
FIBRA OPTICA
Voz sobre IP
Audiofrecuencia
Telefonía móvil
HD DVD, audio de alta definición para DVD y BD -ROM (Blu-ray Disc).
Televisión HD
Muestreo en matlab: Matlab trabaja con señales en tiempo discreto y no en tiempo continuo, por tanto todas las señales de matlab están ya discreteadas, para ti muestreadas. Ejemplo una señal sinusoide de este modo: x=sen(f*y) f= 2000; %Ejemplo de frecuencia de muestreo y=-5:1:5; %aquí metes tu frecuencia de muestreo, en este caso sería de 1Hz x=sin(f*y); %ya está realizado el muestreo de la señal seno %para ver el resultado tras el muestreo hacemos una interpolación en un dibujo plot(x,y,'r'); %el tercer parámetro es para pintar en rojo para que resalte mas, %no es necesario En este caso se cumple el teorema de Nyquist y por tanto la reconstrucción será igual a la señal original, para el caso contrario has de variar las frecuencias y subir a más de la mitad de la de la señal la de muestreo, entonces te saldrá algo que podrás explicar, busca el teorema de Nyquist en algún lado que venga bien explicado, es fácil.
CONCLUSION El muestreo digital de señales es un área de la ingeniería que ha estado creciendo rápidamente a través de las últimas décadas. Su rápido desarrollo es un resultado de avances significativos en el cómputo y fabricación de circuitos integrados. Hay muchas aplicaciones donde la frecuencia de muestreo de una señal
dada necesita ser
convertida a una señal equivalente con una diferente frecuencia de muestreo. Existen varios ejemplos y aplicaciones del muestro digital los cuales son:
Se utilizan 3 diferentes frecuencias de muestreo para audio digital: 32 Khz en radio fusión, 44.1 Khz en disco compactos y 48 Khz en audio tape.
En las aplicaciones de video las frecuencias de muestreo NTSC y de PAL son respectivamente 14.3181818 Mhz y 6.75Mhz.
Video Digital son 13.5 Mhz y 6.75 Mhz para la luminiscencia y la diferencia de color.
Estos teoremas de muestreo son esenciales en el ámbito de las telecomunicaciones ya que nos permiten tener una comunicación más eficaz y segura que las señales analógicas.
