Universidad de El Salvador Facultad de Ciencias Económicas Departamento de Matemática y Estadística
Estadística I Ciclo I-2012
Unidad I: Estadística Descriptiva Guía de Ejercicios
1.
Formule con sus palabras un concepto de estadística
2.
Diga cual es el campo de aplicación de la estadística
3.
Señale y comente sobre las bondades y limitaciones de la estadística como instrumento de investigación, análisis, planificación y toma de decisiones en el campo de las Ciencias Económicas
4.
Clasifique las siguientes variables, como cuantitativas (continuas o discontinuas) cualitativas (nominales u ordinales).
o
a) b) c) d) e) f) g) h) i)
El número de estudiantes que ingresan cada año________________________________________ El peso de camiones que llegan a una caseta____________________________________________ La probabilidad de graduarse de la UES (Alta, media y baja)_______________________________ La cantidad de vehículos que transitan frente a la UES entre 6 y 7 de la noche de cada día_______ El índice de precios al consumidor mensual.____________________________________________ El nivel académico de una población__________________________________________________ El porcentaje de preferencia de un jabón marca A-Z.______________________________________ Número de asignaturas aprobadas por estudiantes de este curso______________________________ curso_______ _______________________ Nivel de aceptación del plan Red Solidaria en la población (Muy de acuerdo, parcialmente de acuerdo, en desacuerdo) ________________________________ j) Cantidad de libros leídos por estudiantes de este curso.____________________________________ k) Horas dedicadas al estudio de estadística fuera de la clase._________________________________ l) Número de días lluviosos en los meses de invierno______________________________ invierno_ ______________________________________ _________ m) Índice de masculinidad (# hombres/ #mujeres)___________________________________________ n) Tasa de crecimiento de la economía en cada año._________________________________________ o) Esperanza de vida al nacer___________________________________________________________ p) Número de infectados de sida en cada año___________________________ año___ ____________________________________________ ____________________ q) Acceso a internet por parte de estudiantes_______________________________________________ r) Cantidad de llenado de gaseosa en una botella de 1 litro.____________________________________ 5.
Los datos que se presentan a continuación representan las edades de los pacientes admitidos en un hospital de San Salvador, el día 5 de marzo de 2012 85
75
66
43
40
88
80
56
56
67
89
83
65
53
75
87
83
52
44
78
1
a) Construya una distribución de clase y frecuencia con un ancho de clase de 8 años b) Calcule la media de edad de los pacientes para la serie simple c) Calcule la media de edad de los pacientes para la serie agrupada d) Compare las respuestas de b) y c)
6.
En una zona rural se cuenta con la siguiente información por familia: Número de manzanas en propiedad 0.25 0.50 1.00 2.00 5.00 8.00 15.00 a) b) c) d) e)
7.
Número de familias 30 50 40 25 10 5 2
¿Qué porcentaje de familias tienen en propiedad una manzana o menos? ¿Cuál en el promedio de tenencia de tierra? ¿Cuál es la moda de tenencia de tierra? Calcule e interprete el cuartil uno ¿Cuál es el número de manzanas que tienen en propiedad menos del 60% de las familias (o r g a n i z a n d o d a t o s c u a n t i t a t i v o s ) El director de marketing de una empresa telefónica
obtuvo los registros de los minutos consumidos por una muestra de 110 usuarios del plan más barato de la compañía (250 minutos mensuales). La tabla que se dispone a continuación contiene una lista de de los minutos consumidos por cada abonado de la muestra durante un mes. 271 247 264 268 273 294 274 252 266
236 282 263 255 281 288 252 231 269
294 224 247 272 267 245 252 265 236
252 263 225 271 263 251 256 269 276
254 267 281 291 244 269 254 235 248
263 254 279 263 249 256 269 275 298
266 271 238 242 252 264 234 288
222 278 252 288 256 252 285 294
262 263 242 252 263 232 275 263
278 262 248 226 252 275 263 247
288 288 263 263 261 284 263 252
262 247 255 269 245 252 246 269
237 252 294 227 252 263 294 261
a. Elabore una distribución de frecuencias por intervalos de amplitud 10, iniciando con 220 el primer intervalo. Obtenga, además las frecuencias relativas porcentuales, las frecuencias acumuladas ascendentes y descendentes (absolutas y porcentuales). b. Qué porcentaje de usuarios consumieron menos de 250 minutos? c. Cuántos usuarios consumieron más de 260 minutos? d. Elabore las gráficas histograma, polígono de frecuencias y ojivas. e. Observando las ojivas ascendentes y descendentes porcentuales, responda lo siguiente:
2
i. ii. 8.
Qué porcentaje de usuarios hablaron menos de 270 minutos? Qué porcentaje de usuarios hablaron más de 250 minutos?
organizando d a t o s c u a n t i t a t i v o s y c u a l i t at i v o s e n u n a t a b l a c r u z a d a ) Elabore una tabla (
cruzada (también conocida como tabla de doble entrada o tabla de contingencia) relacionando la calidad con los precios de 90 restaurantes del área metropolitana de San Salvador. Se sugiere que el precio se agrupe de $10 a < $20; $20 a < $30; $30 a < $40, y, $40 a < de $50. La calidad debe caracterizarse como Buena; Muy buena y Excelente. Datos sobre evaluación a restaurantes del AMSS y precios Resta urant
Quality Rating
Meal Price ($)
Resta urant
Quality Rating
Meal Price ($)
Resta urant
Quality Rating
Meal Price ($)
1
Good
18
31
Excellent
41
61
Excellent
27
2
Very Good
22
32
Very Good
35
62
Very Good
33
3
Good
28
33
Good
11
63
Very Good
37
4
Excellent
38
34
Good
18
64
Very Good
28
5
Very Good
33
35
Excellent
40
65
Good
24
6
Good
28
36
Very Good
48
66
Good
10
7
Excellent
34
37
Excellent
26
67
Very Good
36
8
Good
25
38
Excellent
35
68
Very Good
37
9
Good
22
39
Excellent
41
69
Very Good
25
10
Good
26
40
Good
28
70
Very Good
11
11
Excellent
17
41
Excellent
30
71
Good
11
12
Very Good
30
42
Very Good
31
72
Very Good
11
13
Good
19
43
Excellent
33
73
Good
10
14
Very Good
33
44
Excellent
32
74
Good
29
15
Very Good
22
45
Good
18
75
Very Good
14
16
Excellent
32
46
Good
27
76
Very Good
21
17
Excellent
33
47
Excellent
38
77
Good
28
18
Very Good
34
48
Very Good
23
78
Very Good
42
19
Very Good
38
49
Very Good
32
79
Very Good
30
20
Good
27
50
Very Good
25
80
Excellent
41
21
Good
27
51
Very Good
28
81
Good
22
22
Very Good
26
52
Good
19
82
Good
23
23
Very Good
34
53
Very Good
14
83
Very Good
27
24
Very Good
34
54
Very Good
19
84
Very Good
13
25
Very Good
31
55
Very Good
18
85
Very Good
28
26
Excellent
25
56
Very Good
16
86
Good
12
27
Good
22
57
Very Good
42
87
Excellent
23
28
Very Good
28
58
Very Good
12
88
Very Good
30
29
Good
10
59
Good
13
89
Good
29
30
Very Good
27
60
Very Good
32
90
Very Good
22
3
Cuadro de trabajo
9.
En la siguiente tabla cruzada se muestra el ingreso familiar Análisis de una tabla cruzada) ( de acuerdo con el nivel de estudios del jefe de familia.
Ingreso por familia ( en miles de dòlares) Nivel de estudios
No terminó secundaria
< de $25 25 a < de50 50 a < de 75 75 a < de 100
> de 100
Total
9285
4093
1589
541
354
15862
Terminó secundaria
10150
9821
6050
2737
2028
30786
Parte de bachillerato
6011
8221
5813
3215
3120
26380
Título universitario
2138
3985
3952
2698
4748
17521
813
1497
1815
1589
3765
9479
28397
27617
19219
10780
14015
100028
Postgrado Total
a) Obtenga los porcentajes por renglón.(complete el cuadro)
Ingreso por familia, en miles de dòlares ( porcentaje por renglón) Nivel de estudios
No terminó secundaria
< de $25
25 a < de50
Parte de bachillerato
31,16
Título universitario
22,74
Total
75 a < de 100
58,54
Terminó secundaria
Postgrado
50 a < de 75
19,65
8,89
22,56
15,40
> de 100
Total
2,23
100,00
6,59
100,00
14,01
100,00
8,58 28,39
4
b) Obtenga los porcentajes por columna.(complete el cuadro)
Ingreso por familia, en miles de dòlares ( porcentaje en columna) Nivel de estudios
< de $25
No terminó secundaria
25 a < de50
50 a < de 75
75 a < de 100
14,82
Terminó secundaria
35,74
25,39
Parte de bachillerato
21,17
29,82
Título universitario Postgrado Total
> de 100
Total
2,53
15,86
22,26
20,56 5,42
9,44
9,48 100,00
Además responda a lo siguiente: c) Elabore un histograma con la distribución porcentual del ingreso en los hogares en que el jefe de familia terminó secundaria y otro histograma para la distribución de hogares en que el jefe de familia tiene un título universitario. Comente. d) Qué porcentaje de los hogares que reciben $100 mil o más tienen como jefe de familia a una persona con posgrado? ¿Qué porcentaje de los hogares que tienen como jefe de familia a una persona con un posgrado perciben más de $100 mil? ¿por qué son diferentes estos porcentajes? e) Qué porcentaje de las familias en que el jefe de familia terminó secundaria gana $75 mil o más? ¿Qué porcentaje de las familias en el que el jefe de familia tiene un título universitario gana $75 mil o más?. f) Compare las distribuciones de frecuencias porcentual de aquellos hogares que perciben “menos de $25 mil”, “$100 mil o más” y del “total”. Haga un comentario sobre la relación entre ingreso familiar y nivel de estudios del jefe de familia. ( sugerencia: elabórelas tres gráficas). 10.
En una industria donde laboran 512 trabajadores/as, el salario medio alcanzó los $240.00 semanales. Qué sucede con este promedio si: a) Se aumentan todos los salarios en $60.00 b) Se aumentan todos los salarios en 25% c) Se aumentan los salarios en 15% más una cantidad de $24.00
11.
El promedio de notas en un curso de 30 estudiantes fue de 5.2, los primeros 6 obtuvieron un promedio de 8.0 y los últimos 10 obtuvieron 3.1. Calcule el promedio de los restantes alumnos.
12.
La empresa “A” tiene 100 empleados con un sueldo promedio semanal de $250.00 por empleado. La empresa “B” tiene200 empleados con un sueldo promedio semanal de $240.00. a) ¿Cuál es el sueldo promedio semanal de las dos empresas en conjunto?
5
b) Si a las dos empresas del ejercicio se le agrega una tercera empresa con 50 empleados y un sueldo promedio semanal de $300.00. ¿Cuál es el sueldo promedio semanal de las tres empresas, en conjunto? 13.
Un grupo de 100 atletas viajan en dos aviones. El primero lleva 40 atletas y el segundo los restantes. El peso promedio de los 100 atletas es de 85.7 Kg. Los del segundo avión pesan en promedio 4.6 menos que los del primero. ¿Cuál es el peso promedio de los atletas de cada avión?
14.
Los salarios de una empresa son, en promedio $500.00 al final de un período dado. Con posterioridad se incorpora a la empresa un grupo de trabajadores igual al 25% de los que estaban anteriormente. El nuevo grupo ingresa a la empresa con un salario medio igual al 60% de los antiguos: Dos meses más tarde se concede un aumento general de salarios de $30.00 a) ¿Cuál es el salario promedio del total de trabajadores? b) Si el aumento hubiese sido de 20% de todos los salarios. ¿Cuál habría sido la media de los salarios ajustados?
15.
Un país tiene en 2000, una población de 6.5 millones de habitantes, la que sube en el 2006 a 11.27 millones de habitantes. Calcular: a) Población media del período considerado. b) Porcentaje total de aumento de la población en el período. c) Tasa media anual de crecimiento geométrico del período 2000-2006
16.
A continuación se presentan las edades en años, de 50 miembros de un programa de servicio social: 83 51 66 61 82 65 54 56 92 60 65 87 68 64 51 70 75 66 74 68 44 55 78 69 98 67 82 77 79 68 38 88 76 99 84 47 60 42 66 74 91 71 83 80 68 65 51 56 73 55 Utilícelos para construir, primero, una distribución de frecuencias relativas mediante siete intervalos iguales. Suponga que la política estatal sobre programas de servicio social establece que aproximadamente 50% de los participantes en el programa sean mayores de 50 años. a) ¿Está el programa de acuerdo con la política del Estado? b) Suponga que el director del servicio social desea saber la proporción de participantes del programa que estén entre 56 y 74 años de edad. ¿Podría usted estimar la respuesta a partir de las distribuciones relativas? c) Calcular la media, mediana y la moda. Interprete los resultados.
17.
En una encuesta se preguntaba acerca de cuánto tiempo le dedican las personas que trabajan a la lectura de periódico del día, las respuestas en minutos, fueron: 0, 10, 10, 10, 15, 15, 15, 15, 25, 25, 30, 30, 30, 45, 45 y 45. Responda a lo siguiente: a) b) c)
Es representativo el promedio de tiempo de lectura. Comente. Haga un polígono de frecuencia y calcule el coeficiente de asimetría y curtosis. Qué número de minutos, le corresponde al 75% de los lectores que más leen.
6
d)
18.
Entre qué minutos de lectura se encuentra el 50% central de las lecturas. (Use cuartil tres menos cuartil uno)
En la tabla siguiente se han recogido las pérdidas o ganancias trimestrales de 75 empresas. Obtenga la media aritmética y comente.
Pérdidas o ganancias (en miles de $) -100 y menos de 0 0 y menos de 100 100 y menos de 200 200 y menos de 400 400 y menos de 800 800 y menos de 1,200
Porcentaje de empresas 20.5 17.5 19.8 14.6 13.1 14.5
19.
En un conjunto de datos se puede afirmar que el 95% de la información está comprendida entre 30 y 210. Determine: la media, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación.
20.
Un conjunto de datos de tamaño 5000, que no se comporta como como normal o simétrica, tiene una media aritmética de 500 y una desviación estándar de 25. ¿Cuántas desviaciones, como mínimo, están en el intervalo de 450 a 550?
21.
En una zona rural se cuenta con información muestral relativa al consumo de electricidad en KW-hora. La información se muestra en la tabla siguiente: Consumo en Kw - hora 0 - 40 40 - 80 80 - 120 120 – 200 200 – 500 500 – 800 800 - 1000
Número de familias 30 50 40 25 10 5 2
a. b. c. d. e. f.
g.
¿Cuál es el consumo representativo de electricidad? Elabore un polígono de frecuencias y comente en torno al tipo de sesgo que posee. ¿Cuál es el consumo máximo que posee a lo sumo un 50% de las familias? ¿Cuál es el consumo de electricidad más repetido en las familias? ¿Cuál es el porcentaje de dispersión relativa? ¿Es el promedio de consumo en KW-hora representativo o no del consumo de electricidad de las familias? fi( xi x) 0 Pruebe la propiedad de
h.
La municipalidad de esa zona propondrá a la compañía de electricidad una medida que incluya un subsidio al 20% de las familias que posean el menor consumo. Asimismo, se debe cobrar la tarifa establecida para los que estén entre el 20% y 85% de los consumos centrales; y, aplicar un cobro adicional de $20 al 15% de las familias de mayor consumo. Detalle los límites del consumo para la medida.
i.
Utilice la regla empírica para definir el consumo del 95% central de la población.
7
22.
La población del país de Ausgola, padece de una terrible epidemia desde hace años, de manera que la población pasó de 500 mil habitantes en 1995, a sólo 120 mil en 2004. a. ¿A qué tasa promedio creció la población en el período de referencia? b. Si la situación se mantiene igual, ¿a cuánto llegará la población en el 2006? c. ¿Cada cuántos años la población se está reduciendo a la mitad? (R/ a cada 4.37 años)
23.
Su jefe se dio cuenta que su nivel de conocimientos en estadística ha aumentado, por lo que le ha ascendido al nuevo puesto de jefe de Control de Calidad, en una fábrica de telas. Analizando el proceso de producción de la tela tipo “telilla”, su asistente técnico le ha informado que el número de defectos por yarda de tela en una muestra observada de 25 yardas, es la siguiente: 4, 2, 0, 4, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 3, 1, 5, 0, 6, 1, 3, 2, 3, 1, 3.. a. Cuáles son números medio y mediano de defectos por yarda? b. Cuántos son los defectos del 30% de las yardas con mayor defecto? c. Según la política de calidad actual de la empresa, el proceso debe ser revisado sí 10% o más de la tela producida, presenta dos o más defectos, ¿Ordenará la revisión?
24.
El gasto diario en transporte entre los estudiantes universitarios es una variable que se distribuye de la siguiente manera: Gasto diario en transporte 0.00-0.50 0.50-1.00 1.00-1.50 1.50-2.00 2.00-2.50 2.50-3.00 3.00-4.00
Número de estudiante 50 250 375 100 20 15 5
a) ¿Cuál es el promedio de gasto en transporte entre los estudiantes? b) Obtenga el percentil 60, e interprételo c) Si el pasaje aumenta en un 80%, ¿Cuanto se puede esperar que sea el nuevo promedio de gasto en transporte? Demuestre (con cálculos en el cuadro) que fi( xi x) 0 25.
El gasto diario en transporte entre los estudiantes universitarios es una variable cuyo comportamiento se distribuye de la siguiente manera: Gasto diario en transporte ($) 0.40 0.80 1.80 2.00 2.50 3.00 5.00
Número de estudiantes 50 250 375 100 20 15 5
a. ¿Es representativa la media? b. Elabore un polígono de frecuencias y comente en relación al tipo de sego c. Obtenga el coeficiente de asimetría y curtosis d. Posee esta distribución sesgo positivo, negativo o cero? e. Entre qué gasto de transporte está el 95% de los estudiantes f. Cuál es la mediana g. Cuál es la moda h. Cuál es el gasto límite del 20% de los que más gastan
8
26.
Los resultados de una investigación sobre el nivel académico de la población en San Salvador, según el ministerio de educación, fueron los siguientes. Obtenga la mediana y la moda del nivel académico de la población
Nivel académico De 0° Hasta 3° De 3° Hasta 6° De 6° Hasta 9° Bachillerato Universitario
Número de personas (en miles) 160 220 100 30 10
27.
Una encuesta pregunto cuanto tiempo le dedica a la lectura de periódicos del día, las respuestas en minutos, fueron: 0, 10, 10, 10, 15, 15, 15, 15, 25, 25 30, 30, 30, 45, 45 y 45. Obtenga: a) La media y la moda b) Debajo de cuantos minutos de lectura esta el 25% de los entrevistados c) Arriba de cuantos minutos de lectura esta el 10% de los entrevistados
28.
El PIB real de Hongulanga, un país tercermundista, ha tenido durante los últimos diez años una tasa de crecimiento de 1.75%. El PIB de 2000 fue de 520 millones de cacus hongulaneses. ¿En cuanto se podría estimar producción real de bienes en el 2005, si se mantiene ese ritmo de crecimiento?
29.
La población de zancudos Aedes aegipty, transmisor del dengue hemorrágico tiene una tasa de crecimiento del 25% mensual en época invernal. ¿En cuánto tiempo veremos triplicada la población de ese insecto?
30.
Usted es un asesor de inversiones en la Bolsa de Valores de El Salvador, una persona inversionista lo ha contratado para que le asesore en su próxima decisión de inversión. El inversionista planea invertir 5 millones de dólares en la empresa “Transportes del Sur”. Las rentabilidades mensuales observadas para las acciones de la empresa en referencia a los últimos 10 trimestres son las siguientes (en porcentajes): 22, 22, 18, 35, 17, 14, 21, 28, 35, y 7. Si la rentabilidad de las acciones permite una variabilidad relativa máxima del 10%, ¿Qué le recomendará usted al inversionista?
9
Miscelánea
1.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) Es posible obtener la moda en datos cualitativos b) La mediana no esta afectada por valores extremos c) La suma de desvíos entre cada dato y el promedio aritmético es cero en cualquier tipo de distribución d) Todas las anteriores son correctas
2.
En relación a la media aritmética a) Es el dato que se asume como representativo para todas las observaciones b) Es el dato que se encuentra en el centro de cualquier distribución c) Es igual que el promedio geométrico d) Ninguna es correcta
3.
Si la media de un conjunto de observaciones es 20 y a cada uno de las observaciones se le suma 10, entonces: a) La nueva media es 30 b) La desviación estándar se aumenta en 20 c) a) y b) son correctas
4.
El tiempo de espera de pacientes en la Unidad de Salud, se distribuye de la siguiente manera: Tiempo de espera 10 minutos 15 minutos 20 minutos 25 minutos 30 minutos
Número de pacientes 8 4 10 20 32
De acuerdo a la tabla anterior, se podría afirmar que: a) La mediana es 20 b) La mediana es 25 c) La moda es 32 e) Todas 5.
La población de Hontagua fue de 6.7 millones en el 2006, mientras que en el 2010 alcanzó los 5.5 millones. ¿A qué tasa como promedio anual creció la población de ese país? a) Al 5.1% cada año b) No creció sino disminuyo en 5.1% cada año c) Al 1.2 millones de habitantes c) Otra _______________________________
6.
En relación al problema de Hontagua, ¿Cuál es la población que se espera para el 2016? a) En el 2010, la población será de 7.4 millones de habitantes b) En el 2010, la población será de 4.1 millones de habitantes c) En el 2010, la población será de más de 12 millones de habitantes d) Ninguno de los anteriores es correcto
10
7.
Los salarios de trabajadores del Estado se presentan en la siguiente tabla: Salarios $320-$360 $360-$400 $400-$450 $450-$500
Trabajadores 10 20 40 20
(Nota: Los cálculos hágalos en la tabla) Por otra parte, se sabe que los trabajadores de Panmá tienen un promedio salarial de $390 con varianza de 900 (dólares) a) Se podría concluir que el nivel salarial es mejor en El salvador en relación a los de Panamá? b) Se podría concluir que el nivel salarial es mejor en Panamá en relación a los de El Salvador? c) En términos prácticos son iguales los niveles salariales? d) Hace falta información como para poder concluir 8.
Tomando de base la información del problema 7. a) Son más equitativos o igualitarios los salarios de El Salvador que los de Panamá b) Son más equitativos o igualitarios los salarios de Panamá que los de El Salvador c) No hay mayor diferencia en la forma de distribución de salarios de ambas d) Otra (escríbala)_______________________________________________
9.
La antigüedad en años, de empleados de la prestigiosa compañía “Petróleos Cuzcatlecos” ubicada en las cercanías del Picacho del volcán de San Salvador, son las siguientes: 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 14, 14, 15, 18 y 21 La compañía ha decidido aumentar el 30% del salario al 75% del personal más antiguo. ¿Cuántos son los años de antigüedad límites para aplicar la medida? a) A partir de los 12 años de antigüedad se le incrementara el 30% a los salarios b) A partir de los 15 años de antigüedad se le incrementara el 30% a los salarios c) A partir de los 13 años de antigüedad se le incrementara el 30% a los salarios d) Otra (escríbala)________________________________________________
10.
Deberá decidir orientar una inversión de $15,000 en acciones en una de dos empresas cuyas tasas de rentabilidad anual son: % de rentabilidad en acciones Pollo Pampero % de rentabilidad en accione Pollo Campesino
1%
3%
6%
9%
8%
5%
5%
2%
3%
6%
Recuerde que como inversionista usted debe orientarse por la empresa que le genere menor riesgo. En ese sentido, a) Debo decidirme en comprar acciones de Pollo Pampero b) Debo decidirme en comprar acciones de Pollo Campesino c) Es posible analizar el riesgo con la información proporcionada d) Otra (escríbala)_______________________________________________
11
11.
El 95% de los estudiantes tienen notas entre 3.5 y 8.5 entonces a) La media de la nota es 6 y la desviación estándar no se puede calcular b) El rango es 5 c) El número de desviación estándar en relación a la media es 3 d) Ninguna de las anteriores es correcta
12.
Entre que gastos de transporte de encuentra el 84% de los estudiantes, si la media es $1.2 y la desviación estándar es $0.25 a) El 84% de los estudiantes gastan entre $0.70 y $1.70 en transporte b) El 84% de los estudiantes gastan entre $0.58 y $1.83 en transporte c) El 84% es un porcentaje que no permite definir la pareja de gastos d) Otra (escríbala)___________________________________________
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