2.5 Operator Diferensial

OPERATOR DIFERENSIAL

Operator ialah suatu transformasi yang mengubah suatu fungsi menjadi fungsi lain. Metode operasional memainkan peranan yang semakin penting di dalam matematika rekayasa. Pendiferensialan merupakan sebuah operator. Misalkan  D menyatakan pendiferensialan terhadap x, maka ditulis :

 D merupakan suatu operator yang mengubah y (yang diasumsikan terdiferensialkan) menjadi turunan (y′).

Contoh :

Dengan menerapkan  D dua kali, maka diperoleh turunan kedua  D(Dy) = D(y′) = y′′   2

Maka dapat ditulis  D(Dy) = D (y) = y′′ 

 D(y) = y′   2

 D(Dy) = D (y) = y′′   2

 3

 D (Dy) = D (y′) = y′′′ 

Maka

:  D menyatakan koefisien diferensial pertama  2

 D menyatakan koefisien diferensial kedua  3

koefisien diferensial ketiga  D menyatakan koefisien

Lebih umum lagi, ................................. ................................... (1)

Ini disebut operator diferensial ordo-kedua. Disini a dan b adalah konstanta. P melambangkan “polinom”. L melambangkan “linear” . Bila L diterapkan pada suatu fungsi y, maka akan dihasilkan :

.............................. ................................. ... (2)

L adalah operator linear. Menurut defenisi ini berarti bahwa :

Untuk sembarang konstanta α dan β dan sembarang fungsi y dan w yang terd iferensialkan dua kali.

Persamaan diferensial linear homogen

sekarang dapat dituliskan secara lebih

sederhana ................................. ............................................. ............ (3)

Misalnya :

................................. ............................................. ............ (4)

Karena :

Maka diperoleh dari (2) dan (3) .................. (5)

Berarti

ciri P(λ)=0.. Jika adalah solusi bagi (3) jika dan hanya jika λ adalah solusi persamaan ciri P(λ)=0

 P(λ) mempunyai dua akar yang berbeda, maka diperoleh suatu basis. Jika  P(λ) mempunyai akar kembar, dibutuhkan solusi lain yang bebas. Untuk memperoleh solusi tersebut, maka mendiferensialkan kedua ruas :

Lihat (5) terhadap

dan kemudian saling menukar pendiferensialan terhadap λ dan x, sehingga

diperoleh :

Dimana Untuk akar kembar, lain yang dicari.

, sehingga diperoleh

. Jadi,

adalah solusi

Merupakan P(λ) Merupakan  P(λ) suatu polinom di dalam λ, dalam gertian aljab penar penar biasa. Jika λ kita ganti dengan

 D, maka kita peroleh “polinom operator” P(D). Keuntungan “kalkulus operasional” ini ialah P(D) dapat diperlakukan seperti suatu besaran aljabar. Khususnya, dapat menfaktorkannya.

Pemfaktoran, solusi suatu persamaan diferensial soal Faktorkan

dan kemudian pecahkan

Penyelesaian , selanjutnya, menurut defenisi, Dengan demikian

Jadi pemfaktoran “boleh dilakukan” artinya memberikan hasil yang benar. Solusi bagi :

fungsi eksponensial

fungsi eksponensial

Masing-masing

dan

. Ini merupakan suatu basis bagi

pada

sembarang selang Metode operasional dapat juga digunakan untuk operator operator :

Dengan koefisien-koefisien  f  dan  g berupa fungsi dari x bukan konstanta, namun ini lebih sulit dan harus berhati-hati. Misalnya,

sebab : sedangkan