Sveučilište u Zagrebu Fakultet organizacije i informatike
Tema br. 25: Metoda sekante za aproksimativno određivanje nultočaka I.
U Varaţdinu 07.svibnja 2011.
Marijan Stanković, G21
Sadržaj:
I.Zadatak ..................................................................................................................................... 2 1.Uvod ........................................................................................................................................ 3
2.Rješenje ................................................................................................................................... 3 3.Zaključak .................................................................................................................................. 8 4.Literatura ................................................................................................................................. 9
1
I.Zadatak
Metoda sekante za aproksi mativno određivanje nultočaka.I (secant method)
Opis metode sekante: ukoliko neprekidna funkcija f zadovoljava uvjet f (a) · f (b) < 0; tada ona
ima nultočku na zatvorenom intervalu [ a; b ] . Neka je x1 = a; x 2 = b. Ţ elimo li odrediti gdje se nultočka nalazi promatramo sekantu koja prolazi točkama ( x1; f ( x1)) i ( x2; f ( x2)). Pronađemo sjecište sekante s x-osi i označimo ga sa x3.Dalje postupak ponavljamo za sekantu koja prolazi točkama ( x2; f ( x2)) i ( x3; f ( x3)). Taj postupak ponavljamo sve dok ne postignemo traţenu točnost. (a)
Pokaţite da vrijedi: x n
x n 1
f ( xn1 )( xn1 x n 2 ) f ( x n1 ) f ( x n2 )
(b)
Skicirajte postupak određivanje nultočke
(c)
Aproksimativno odredite realan korijen jednadţbe : 3
2
3x +2x -3x-1=0
do na točnost od 0.006 .
(d) Aproksimativno odredite presjek krivulja f ( x) 2 cos x
i g ( x) x
2
2x 1.
2
1.Uvod
Ako graf funkcije f aproksimiramo sekantom, slično kao kod regule falsi ,
samo
ne zahtijevamo da nultočka funkcije f ostane “zatvorena” unutar posljednje dvije iteracije, dobili smo metodu sekante. Time smo izgubili svojstvo sigurne konvergencije,
ali se nadamo da će metoda, kad konvergira konvergirati brţe nego regula falsi .
2.Rješenje
a) Pokažite da vrijedi: xn
x n
1
f ( x n 1 )( x n
1
xn 2 )
f ( x n 1 ) f ( x n 2 )
Da bimo dokazali metodu sekante koristiti ćemo funkciju f (x) = 0 . Metoda sekante temelji se na iterativnoj Newton- Raphsonovoj
metodi pronalaţenja korijena
jednadţbi: x n1
x n
f ( x n )
za f (x)=0
f ' ( x n )
Polazimo od definicije derivacije: f ' ( x n )
f ( x n ) f ( xn 1 )
x n
x n
1
Kada umetnemo izraz u Newton-Raphsonovu metodu dobivamo: f ( x n ) x n 1
x n
f ( x n ) f ( x n 1 ) x n
x n 1
Mnoţenjem dvojnog razlomka dobivamo konačnu formulu za metodu sekante: x n
1
x n
f ( x n )( x n
x n 1 )
f ( x n ) f ( x n 1 )
odnosno : x n 1
x n 1
f ( x n 1 )( x n 1
x n 2 )
f ( x n 1 ) f ( x n 2 )
3
b) Skicirajte postupak određivanje nultočke
Slika 1.Metoda sekante
Počinjemo s dvije početne točke x0 i x1 i povlačimo sekantu kroz ( x0, f(x0)), (x1, f(x1)). Ta sekanta siječe os x u točki x2. Postupak nastavljamo povlačenjem
sekante kroz posljednje dvije točke ( x1, f(x1)) i (x2, f(x2)). Formule za metodu sekante dobivaju se iteriranjem početne formule za regulu falsi , tako da dobivamo x n
1
x n
f x n
x n
x n
1
f x n f x n
1
.
Moţemo primijetiti da je treća iteracija izaš la izvan početnog intervala, pa metoda sekante ne mora konvergirati. Jednako tako, da smo “prirodno” numerirali prve dvije toč ke, tako da je x 0 < x1, imali bismo konvergenciju prema rje šenju.
c) Aproksimativno odredite realan korijen jednadžbe: 3
2
3x +2x -3x-1=0
do na točnost od 0.006.
Graf 1. 3x3 +2x2-3x-1=0
4
Koristeći dvije proizvoljne vrijednosti x0=1 i x1=10,uvrštavamo te vrijednosti u formulu sekante te dobivamo nultočku x 2: i=1:
x2
x1
x2
10
x2
f ( x1 )( x1
x0 )
f ( x1 ) f ( xo ) (3 *10 (3 *10
3
3
2 * 10
2 *10
2
2
3 *10 1) * (10 1) 3
3 * 10 1) (3 *1
2
2 *1
3 *1 1)
0.997159091
Nakon toga postupak ponavljamo za x 3,x4,x5,x6, odnosno
dok ne dobijemo ţeljenu točnost:
i=2:
x3
x 2
f ( x 2 )( x 2
x1 )
f ( x 2 ) f ( x1 )
3
x 3
0,997159091
x3
(3 * 0,997159091 3
((3 * 0,997159091
2 2 * 0,997159091 3 * 0,997159091 1) * (0,997159091 10)
2 3 2 2 * 0,997159091 3 * 0,997159091 1) (3 *10 2 *10 3 *10 1)
0.9943977909
Nakon što smo izračunali dvije aproksimacije, moţemo početi izračunavati točnost. Zadana nam je točnost do koje moramo računati aproksimacije iznosi 0.006, a ona se računa tako da se izračuna razlika između sadašnje aproksimacije i njoj prethodne aproksimacije te preko formule: Vrijednost
| x n
x n 1 |
se odnosi na ţeljenu točnost, Xn na trenutačnu aproksimaciju, a x n
1
na aproksimaciju
izračunatu prije aproksimacije x n . Ako je uvjet zadovoljen, te ako je lijeva strana manja ili jednaka 5
desnoj tada je gotovo s izračunavanjem aproksimacija jer smo postigli ţeljenu točnost koja je zadana u zadatku. U ovom slučaju nakon što se vrijednosti unesu u jednadţbu to izgledala ovako: | x 3
x 2 |
| 0.9943977909- 0.997159091| 0.006
0,02761 0.006
Pošto uvjet nije ispunjen jer
0,02761 nije manje ili jednako 0.006
potrebno je izračunati
sljedeću aproksimaciju te i za nju provjeriti odgovara li ţeljenoj točnosti.
i=3: f ( x3 )( x3
x 2 )
x 4
x3
x4
0.8990818718
x5
x4
x5
0.8878225603
x6
x5
x6
0,8862226676
f ( x3 ) f ( x 2 )
i=4:
f ( x 4 )( x 4
x3 )
f ( x 4 ) f ( x3 )
i=5:
f ( x5 )( x5
x 4 )
f ( x5 ) f ( x4 )
Dobili smo da je razlika prethodnih aproksimacija 0.00159 , tj. manja od 0.006,
zadovoljava našu ţeljenu točnost, a to znači da ne moramo dalje računati aproksimacije.
6
što
Do izračuna aproksimacije sa ţeljenom točnošću dobili smo niz koji se sastoji od 5 aproksimacija koje se nalaze u sljedečoj tablici:
Tablica svih dobivenih vrijednosti: xn
vrijednost
f (x n )
x0
1
1
x1
10
3169
x2
0.997159091
0.9716796196
x3
0.9943977909
0.9443826137
x4
0.8990818718
0.09976448007
x5
0.8878225603
0.01241231277
x6
0.8862226676
0.000206132305
Dobivena točnost : x6 x5
0.006
0.8862226676 0.8878225603 0.006
0.00159
0.006
7
3.Zaključak
Ako graf funkcije f aproksimiramo sekantom, slično kao kod regule falsi ,
samo
ne zahtijevamo da nultočka funkcije f ostane “zatvorena” unutar posljednje dvije iteracije, dobili smo metodu sekante.
Kod metode sekante postoji nekoliko problema. Prvi je da
moţe divergirati ako
početne aproksimacije nisu dobro odabrane. Drugi problem se moţe javiti zbog kraćenja u brojniku i (posebno) nazivniku kvocijenta kad xn → α. Osim
x n
xn
1
f x n f x n
1
,
toga, budući da iteracije ne “zatvaraju” nultočku s obje strane
nije lako reći kad treba zaustaviti iterativni proces.
8
4.Literatura
1.
Bronštejn
I.N.,
Matematički
priručnik,Golden
marketing-Tehnička
knjiga,
Zagreb,2004. 2.
Kurepa S., Matematička analiza 2, Školska knjiga Zagreb 1997.
3. http://en.wikipedia.org/wiki/Secant_method#Derivation_of_the_method ,8.5.2011. 4. http://www.mathpath.org/Algor/squareroot/secant.pdf , 8.5.2011. 5. http://mathworld.wolfram.com/SecantMethod.html, 8.5.2011. 6. http://web.math.unizg.hr/nastava/unm/materijali/Hari%20--%20Numericka%20analiza%20%20osnovni%20udzbenik.pdf , 8.5.2011.
7. http://www.youtube.com/watch?v=qC9xnsfOd30 , 8.5.2011.
Graf je nacrtan u računalnom programu „Graph“, dok je slika 1 preuzeta iz pdf dokumenta koji se nalazi pod rednim brojem 6 u literaturi.
9
