ESTADO TRIAXIAL DE ESFUERZO
1. MARCO TEORICO 1.1.-INTRODUCCION. En los temas anteriores se desarrollaron métodos para determinar las distribuciones del esfuerzo en un miembro sometido a carga axial interna, a fuerza cortante, a momento flexionante o a momento torsionante. Sin embargo, la sección transversal de un miembro suele estar sometida simultáneamente a varios de estos tipos de cargas y, en consecuencia, el método de superposición, si es aplicable, puede usarse para determinar la distribución resultante del esfuerzo causado por las cargas. En aplicaciones primero se determina la distribución del esfuerzo debido a una carga y luego se superponen esas distribuciones para determinar la distribución resultante del esfuerzo. Hay cuatro combinaciones posibles de cargas: (1) axial y flexión, (2) axial y torsión, (3) torsión y flexión, y (4) axial, torsión y flexión. Se comenzará por el caso (1) combinación de esfuerzos axiales y por flexión, ya que es el más sencillo pues intervienen esfuerzos normales σ . En todos los demás casos intervienen esfuerzos normales y cortantes, por lo que requieren un mayor estudio.
1.3.- COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y POR FLEXIÓN. Cuando un elemento está sometido a cargas axiales y de flexión como se muestra en la figura 7-1 Entonces se debe tratar como una combinación de las dos cargas.
En este caso se considera flexión con tensión o compresión directa, es decir se presenta además de la flexión en el elemento, la presencia de fuerzas axiales normales a la sección transversal, y el esfuerzo normal combinado se calcula como: Esfuerzo = Esfuerzo normal + Esfuerzo por flexión Los esfuerzos combinados flexión-axial son calculados por la siguiente ecuación:
Los esfuerzos de tensión se consideran positivos, mientras que los esfuerzos de compresión son negativos. Esta convención de signos ayuda a determinar la naturaleza de los esfuerzos finales. El termino c en el factor Mc/I puede reemplazarse por la distancia general “ y “a partir del eje neutro, si se requiere el esfuerzo en un punto diferente al de las fibras extremas (externa)
1
Viga sometida a carga axial y de flexión.
Representación de los esfuerzos en la viga sometida a la combinación axial-flexión.
1.4.-VARIACION DEL ESFUERZO CON LA ORIENTACION DEL ELEMENTO La magnitud y el tipo de esfuerzo dependen de la orientación o inclinación del elemento a considerar. Como se puede ver en la figura 1-4a, se tiene un sólido sometido a la acción de fuerzas de equilibrio, en el cual se hacen pasar por el mismo punto dos secciones de exploración a-a y b-b, donde a-a es perpendicular a la dirección de la resultante R de P 1 y P2, como se indica en la figura 1-4b, y b-b esta inclinada con respecto a la resultante R, como se puede ver en la figura 1-4c. El elemento rayado de la figura 1-4b está sometido únicamente a esfuerzo normal, pero el elemento en el mismo punto que está en la figura 1-4c, está sometido a esfuerzos normal y cortante, producidos por N y T, respectivamente. Entonces se puede observar que para un mismo punto de un sólido que está sometido a un estado de esfuerzos (ubicados en la intersección de a-a y b- b), los esfuerzos varían según la dirección u orientación del elemento diferencial que se considere en dicho punto.
4
Sólido con dos secciones de exploración de diferente dirección en un mismo punto.
En las secciones siguientes se estudia cómo varían los esfuerzos con la orientación del elemento. Esto es muy importante y lo que se persigue es determinar en qué planos se representan los esfuerzos máximos y calcular sus valores.
1.5.- ESFUERZOS EN PLANOS DE CUALQUIER DIRECCIÓN. En forma general, se hace imposible hallar directamente los valores de los esfuerzos en un plano que tenga una dirección cualquiera. Por ejemplo en el caso de vigas, con la formula de flexión se pueden determinar los valores del esfuerzo normal que aparecen en el plano perpendicular al eje de la viga. También se puede calcular el esfuerzo cortante en estos dos planos. En el caso de torsión, con su correspondiente formula se obtiene el valor del esfuerzo cortante en planos perpendiculares al eje de la barra. Entonces cuando una barra está sometida simultáneamente a flexión y a torsión, como se muestra en la figura 1-5, se calculan los esfuerzos correspondientes a ambos tipos de esfuerzo, pero solamente si los elementos están orientados como se puede ver en esta figura. Pero existirá una determinada posición u orientación en donde el esfuerzo normal será máximo, como lo indica la figura 1-4. Existen dos métodos para determinar esta posición u orientación del elemento, y del valor del esfuerzo normal cuando es máximo. Los cuales son: el analítico usando expresiones matemáticas, y el otro método es el grafico utilizando el círculo de Mohr.
Barra sometida simultáneamente a flexión y a torsión. .
4
1.6.- ESFUERZO EN UN PUNTO. El esfuerzo en un punto define el esfuerzo medio uniformemente distribuido sobre un elemento diferencial de área. En la figura 1-6 se muestra el esfuerzo normal en la dirección X que existe en un punto de coordenadas x,y,z, el cual es el esfuerzo uniforme que actúa sobre el área diferencial dydz .
Esfuerzo en un punto.
Cuando el esfuerzo en un punto se define por las componentes que actúan en varias direcciones en el espacio, se puede representar por los esfuerzos que actúan sobre un elemento diferencial de volumen que rodee el punto considerado. Por ejemplo x , y y xy los esfuerzos en un punto. En la figura 1-7 se muestra las componentes del esfuerzo presentes en un elemento diferencial.
Componentes de un esfuerzo (estado de esfuerzos). En esta sección, solo se considera el estado plano o bidimensional de esfuerzos, en el que los esfuerzos actúan paralelamente a un plano, tal como el XY. En un estado tridimensional de esfuerzos la cara Z de un elemento queda sometida a la acción de un esfuerzo normal z , así como los esfuerzos cortantes xz, yz , que se producen en las caras X y Y, respectivamente, los esfuerzos xz y yz son numéricamente iguales.
14
2. MÉTODO ANALÍTICO PARA EL CÁLCULO DEL ESFUERZO EN UN PUNTO CUANDO VARÍA LA DIRECCIÓN DE LA SECCIÓN DE EXPLORACIÓN.
Los esfuerzos varían con la orientación de los planos que pasan por el punto, o lo que es lo mismo decir que los esfuerzos en las caras del elemento varían cuando lo hace la posición angular de este elemento. Para realizar el análisis de la variación del esfuerzo según la orientación del elemento, se procede a cortar el elemento inicial mediante un plano y se aplican las condiciones de equilibrio estático a cualquiera de las partes (figura).
.
Variación de las componentes del esfuerzo.
14
Dividiendo ambos miembros de esta ecuación entre el factor común A (área), y sabiendo que y son numéricamente iguales y utilizando las identidades trigonométricas siguientes:
Entonces las ecuaciones (a) y (b) se escriben en la forma
…..(2.1)
…..(2.2)
3. ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO. Si se deriva la expresión con respecto a normales máximo y mínimo.
Ө, y
se anula se obtienen los planos donde están los esfuerzos
…..(3.1)
Análogamente, los planos del esfuerzo cortante m áximo queda definido por:
…..(3.2)
La ecuación da dos valores de 2 θ que difieren en 180°, por lo que los planos de esfuerzo normal máximo y mínimo son perpendiculares entre sí. Lo mismo ocurre en la ecuación con los planos de esfuerzo cortante máximo, que están a 90°. Los esfuerzos normales máximo y mínimo se llaman esfuerzos principales. La ecuación (3-1) es reciproca y de signo contrario a la ecuación (3-2), lo cual significa que los valores de 2 θ definidos por ambas difieren en 90°, esto es, los planos de esfuerzo cortante máximo están inclinados 45° respecto de los planos de los esfuerzos principales. Sustituyendo los valores de 2θ de las ecuaciones (3-1) y (3-2) en la ecuación (2-1) y (2-2) se obtienen las siguientes expresiones de los esfuerzos principales y del esfuerzo cortante máximo:
14
3.1.- M TODO GR FICO (C RCULO DE MOHR) PARA EL C LCULO DEL ESFUERZO EN UN PUNTO CUANDO VARÍA LA DIRECCIÓN DE LA SECCIÓN DE EXPLORACIÓN. Para un caso de estado de esfuerzos bidimensionales pueden ser utilizadas las ecuaciones anteriormente deducidas, pero existe una interpretación grafica de estas formulas que hizo el ingeniero alemán Otto Mohr (1882) que evita tener que recordarlas. En esta interpretación se utiliza un círculo, por lo que se ha llamado circulo de Mohr. Realizando el dibujo a escala se pueden se pueden obtener los resultados gráficamente, aunque en general solo se puede utilizar un esquema, y los resultados se obtienen analíticamente como se verá más adelante. Las ecuaciones (2-1) y (2-2) son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia. Entonces:
Elevando al cuadrado, sumando y simplificando,
Pero , y son constantes que definen el estado plano de esfuerzos, las cuales son conocidas, y y son variables. Entonces es una constante C, que representa el centro de una circunferencia, y elsegundo miembro de la ecuación (a) es otra constante R, que representa el radio de una circunferencia, de manera que la ecuación (a) queda de la siguiente manera:
,
14
14
14
14
