Pa b l o A m s t e r
APUNTE APUNTESS MATEMÁTICOS PARA LEER A LACAN 2. Lógica y teoría de conjuntos
Amster, Pablo Apuntes m atem áticos para leer a Lacan : 2. Lógica y teoría de conjuntos - Ia ed. - Buenos Aires: Letra Viva, 2010. 218 p . ; 22 x 14 cm. ISBN 978-950-649-271-7 1. Psicoanálisis. I. Título CDD 150.195 E d ic i ó n a l c u i d a d o d e L e a n d r o Sa l g a d o
© 2010, Letra Viva, Librería y Editorial Av. Coronel Díaz 1837, (1425) C. A. de Buenos Aires, Argentina
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Primera edición: marzo de 2010 Impreso en Argentina Argentina - Printed in Argentina Qu eda hecho el depósito que m arca la Ley 11.723 11.723
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Estoy convencido de que todo auténtico teórico es una especie de metafísico en estado de domesticidad, por muy “positivista”puro que se pueda tener a sí mismo. El metafísico tiene la creencia de que lo lógicamente sencillo es también lo real; el metafísico domesticado no cree que todo cuanto sea lógicamente sencillo haya de tomar cuerpo en la realidad sensible, pero sí que la totalidad de la experiencia sensorial puede “entenderse” a partir de un sistema conceptual construido sobre premisas de suma simplicidad. El escéptico dirá que esto es un “credo milagroso" Reconozcamos que así es, pero también se trata de un credo milagroso confirmado en asombrosa medida por el desarrollo de la ciencia. A l b e r t E i n
s t e in
Hay suficiente metafísica en no pensar en nada. A l b e r t o C a e i r o
In d i c e
Pr e f a c i o .........................................................................................9 .
Ca p ít
ulo
b á s ic a s d e l ó g i c a ............
1. N o c io n es
................... 13
1.Definición de la definición .............................. ................14 2.¿Qué significa “significar”? ......... ..............................15 3.Las leyes del pensamiento ................. ...18 4.Deducción, inducción, abducción. ................................ 21 5-Lógica aristotélica ............ .................................................25 ó.Enunciados categóricos....................................................31 7-Cuadrante de Peirce ........ .................................................33 8.Silogismos....................................... ............................. . 3 4 9.Sintaxis y semántica de los lenguajes formales ..........38 ío.Tablas de ve rd a d ............ ............................................4 0 u.Leyes lógicas..................................................................... 43 12.Variables libres y cuantificación ............................· · · 49 13.Álgebra de cla ses .............. ......................................... 5 4 .
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Ca p í t u l o 2. L a i n d u c c i ó n m a t e m á t i c a y e l s is t e m a d e Pe a n o ............................................................59 .
Ca p í t u l o 3. La s r e g l a s d e a l - ja b a r y F i b o n a c c i r o b a d o . 71 Fibonacci robado ............ .............. .....................................78 De los conejos áureos a lo imaginario .................................. .
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Ca p í t u l o 4. La d e m o s t r a c i ó n d i a g o n a l : 87 í.Un antecedente socrático ........................ 88 2.Las paradojas de la identificación ............ ......................90 3.... y sin embargo, se coordina ........................................92 4.EI bicho de lo no-numerable .......... .. 94
u n a c r u z a d a c a n t o r i a n a .............. ......................................
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............. 81
Ca p í t u l o 5. La v id a s i n l a b o l s a : AUTORREFERENCIA Y TEOREMAS DE GÓDEL........ ...................... ÍOI Uno. Breve referencia sobre Epiménides ........ .................. 101 Dos. Breve referencia sobre la referencia: Quine y Gódel ........ ............................................................ 103 Tres. Proposiciones indecidibles y teorema de G ó d e l ........................ ................................ . 107 Cuatro. ¿Cuál es el título de esta sección?. . .................110 Cinco. Los lenguajes formales ...........................................112 Seis. Un pase mágico ................................ .. .....................114 Siete. La liebre de M arzo .................... .............................118 Ocho. Autorretrato de mí m is m o .............. .....................122 Epílogo, y nueva gódelización........................................128 .
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Capítulo 6. Breve presentación de ........................ 135 Segundo caso. Un caso de inconsistencia..........................137 Tercer caso. Un caso de metonimia....................................141 Cuarto caso. Un caso de metáfora. ....................................147 Quinto caso. Un caso al margen ................................ .. 151 Sexto caso. Ramanujan, y otros casos. ...................... .160 c a s o s
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Capítulo 7. La religión,
o r d i n e
................... i 69 La creación ............................................................................... Ciencia, Matemática, Religión ............................ ............173 Un Dios tautológico ...................... ...................................177 Imagen y Semejanza .........................................................179 Consistencia, Inconsistencia. ..........................................186
M A TH EM A TI CA D EM O N ST R A T A .......................... .
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.189 Epílogo ........................................................................ .. 2x2
Ca p í t u l o 8. Pa s c a l , a h a r ó n
y l a po t e n c ia d e l d o s . ...
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Bib l io g r a f í a
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170
Pr e f a c i o
En este libro se presentan diversos temas de la Matemática; más precisamente, de Lógica, Teoría de Conjuntos y algunos aspectos de su filosofía. Los primeros cuatro capítulos se ocupan de las cuestiones m ás generales de la lógica, desde las primeras formulaciones aristotélicas hasta los desarrollos actuales de Boole, Peano, Frege, etcétera. Se habla también de la teoría de números naturales, el álgebra, y ciertos aspectos relacionados con los sistemas sintácticos introducidos por el psicoanalista francés Jacques Lacan en el Seminario sobre ‘La carta robada’. El siguiente capítulo comprende una exposición informal de los célebres teoremas de incompletitud de Gódel, y su incidencia en los más variados campos, en especial el del lenguaje y el Psicoanálisis. Esto lleva a reflexionar sobre ciertos temas que participan de modo esencial en dichos teoremas: en especial, el de la paradoja, de gran importancia en el desarrollo del pensamiento filosófico. A modo de conclusión se verá que, en cierto modo, la disyuntiva gódeliana entre incompletitud e inconsistencia puede ser contemplada desde la perspectiva de la lógica clásica como aquello que Lacan denominó una elección forzada. El capítulo posterior abarca, al modo de las presentaciones clínicas, una serie de "casos" matemáticos. Se plantean allí di-
Ló g i c a
y teoría de conjuntos
Pa b l o A m s t e r
ferentes asuntos, como el del infinito y los Alefs, el problema de la metáfora y la representación, para concluir con una pregunta: ¿cómo piensa un matemático? El título del capítulo 7 evoca a la Etica de Spinoza, y refiere una serie de puntos en común entre las teorías matemáticas y el texto bíblico. Dijo Yojanán Ben Zacai: “no hay verdad sin una fe sobre la que pueda apoyarse”; como veremos, en cierto sentido esta afirmación concierne tam bién a las verdades m atemáticas. Dios según Lacan, inconsciente se define en concordancia con la noción lógica de tautología. Por otra parte, la tradición sostiene que su Nombre es indecible; la teoría de conjuntos creada por el ruso Georg Cantor brinda argumentos capaces de sustentar este hecho. Finalmente, el último capítulo es quizá el que más resonancias despertará en el lector lacaniano; su lectura puede plantearse al modo de un ejercicio interpretativo. Por otra parte, se hace mención explícita de diferentes materias desarrolladas por La can, especialmente en los Seminarios XIX y XX: el triángulo de Pascal, la simetría y lo especular, y la lógica modal, muy conectada a la lógica temporal. Esto es algo que Lacan hace notar en sus conocidas fórmulas: no cesa de escribirse cesa de escribirse
no cesa de no escribirse cesa de no escribirse
Hay una frase del seminario ...ou pire que se ha hecho céle bre: “no hay enseñanza más que matemática, el resto es broma”. Al margen de las muy dispares valoraciones que existen sobre la enseñanza lacaniana, este trabajo busca -un poco en bromaapoyar esta postura, ofreciendo algunos elementos que ayuden a abordarla. El lector advertirá que determinados temas se repiten en dis tintos capítulos; tal repetición obedece a la finalidad de que cada sección se encuentre autocontenida y pueda ser así leída en for ma independiente. Para concluir estas líneas, vale la pena señalar que el ánimo que guía a esta obra es el de la Matemática entendida como una de las más grandes expresiones de la humanidad, fruto de las pasiones más encendidas y de la búsqueda incesante. Una búsque
Pr e f a c i o
Pablo Amster Junio 2009
Ca p í t u l o i
No c i o n e s
b á s i c a s d e l ó g ic a
En este capítulo describiremos algunos de los aspectos generales de la lógica, desde las primeras formulaciones aristotélicas hasta los desarrollos iniciados en el siglo XIX por autores como Boole, Peano y Frege, entre otros. Para empezar, es oportuno destacar que cualquier reflexión más o menos seria acerca del pensamiento obliga a justamente a pensar: muy especialmente, a pensar sobre el lenguaje. Según ciertos autores, de la escuela denom inada form alista, toda la Lógica no es más que un lenguaje bien hecho; por ejemplo, ese es el singular parecer de aquel grupo de matemáticos formalistas autodenominado Nicolás Bourbaki: ... la Lógica, en lo que como m atem áticos no s concierne, no es más que la gram ática del lenguaje que em pleam os, un lengu aje que tuvo que existir antes de q ue la gram ática pud iera ser construida...
Más allá de la Matemática, que Russell intentó presentar como un mero capítulo de la Lógica, el debate filosófico del siglo XX encontró a un Wittgenstein profundamente implicado en estas cuestiones: La filosofía es un a lucha contra el emb rujamiento de n uestra inteligencia por el lenguaje.
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Ló g i c a y t e o r í a d e c o n j u n t o s
Pa i i u ) Amst kk
Es claro que el lenguaje excede a la Lógica, hasta tal punto que el más completo de los sistemas, si es consistente, resulta infaliblemente burlado por el mecanismo gódeliano que permite construir una proposición indecidible y revelar así su incom pletitud1. Como sea, vale la pena hacer un breve recorrido por las principales consideraciones lógicas en torno al lenguaj e, en particular sobre la definición y algunos aspectos de la semántica. Comenzaremos por ocuparnos del razonamiento y el cálculo lógico. También efectuaremos algunos comentarios acerca de ciertos razonamientos m uy conocidos, inválidos pero sumam ente valiosos, como la inducción y especialmente aquella sugestiva forma introducida por Peirce: la abducción. Finalmente, veremos algunas nociones sobre el cálculo proposicional, las tablas de verdad, las leyes lógicas, la cuantificación y el álgebra de clases.
i. D e f i n i c i ó n d e l a d e f i n i c i ó n
En el lenguaje común, “definir” consiste en explicar el significado de un término. Pero la matemática y la lógica, o me jor dicho sus tropiezos, muestran que hace falta tener bastante más cuidado. Esto justifica quizás la anterior frase de Bourba ki, que postula la preexistencia del lenguaje a la construcción de la gramática. No profundizaremos aquí sobre este problema, aunque vale la pena señalar que la definición esconde alguna imposibilidad. Es lo que han probado los lógicos del siglo XX, aunque de alguna manera ya lo sabían los antiguos: definir implica delimitar, poner en el dominio de lo finito una infinitud de propiedades. Tales dificultades habían llevado a los filósofos platónicos a ensa yar aquella definición que se haría célebre: El hombre es un bípedo implume.
Una versión sin duda falaz cuenta la no menos célebre respuesta que a tan académica audiencia ofreció Diógenes el cínico, cuando arrojó al estrado un pollo desplum ado al tiempo que profería: i.
M
Ver capítulo 5 .
