CENTRO UNIVERSITÁRIO PLANALTO DO DISTRITO FEDERAL – UNIPLAN CURSO: ENGENHARIA CIVIL PROFª: Mª BEATRIZ SENA BRIGNOL DISCIPLINA: CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS – CFVV Gradiente e suas várias aplicações : 1. Medida da declividade de um terreno. 2. Medida da variação de determinada característica de um meio (tais como a pressão atmosférica, a temperatura, etc.) de um ponto para outro desse meio. 3. Cálculo Vetorial: vetor resultante do produto do operador Nabla por uma função escalar de ponto. [Abrev.: grad.] 4. Eng. Civ. Linha que representa a diretriz de uma estrada, composta de uma sequência de retas com declividades permitidas, que o projetista traça sobre o perfil longitudinal do terreno. 5. Med. Coeficiente de modificação de temperatura, pressão, etc. 6. Met. Expressão numérica da diferença de pressão entre dois locais, expressa em milímetros, ou a distância entre esses dois lugares, expressa em graus de latitude. Gradiente termométrico vertical. Met. Decréscimo da temperatura em consequência das diferenças de altitude(contado de 100 em 100m). 7. Nabla: Operador vetorial que, multiplicado por uma função escalar, forma o gradiente da função, e por uma vetorial, o rotacional. 8. Arco: Geom. Seguimento de uma curva; medida linear de um segmento de curva. 9. Normal: Geom. Anal. Reta perpendicular a uma curva ou superfície. 10. Vetores Ortogonais: Cálc. Vet. Vetores cujo produto escalar é nulo. Num espaço tridimensional, as retas suportes desses vetores são ortogonais. 11. Vetor tangente: Geom. Anal. Vetor unitário t definido como a derivada
dr ds
onde r é o vetor posição de um ponto de uma curva de elemento de
arco ds. 12. Ortogonal: Geom. Que forma ângulos retos (90°). 13. Escalar: Diz-se de qualquer grandeza que pode ser caracterizada exclusivamente por um número, dimensional ou não.
DERIVADA DIRECIONAL E O GRADIENTE Consideremos uma função f(x,y) definida em D ⊂ ℜ2 e seja (x0,y0) um ponto de D; já sabemos calcular nesse ponto a taxa de variação de f em relação a �, mantido � fixo, e a taxa de variação de f em relação a � mantido � fixo. Estas taxas são as derivadas parciais de f em relação a � e a � respectivamente. 2. 3. Geometricamente elas descrevem o comportamento de f(x,y) (crescimento ou decrescimento) quando, a partir do ponto (x0,y0) caminhamos na direção do eixo � [fx(xo,yo)] e na direção do eixo �[fy(xo,yo)]. 4. 5. Assim, por exemplo, fx(xo,yo)= +3, isto significa que caminhando a partir de (x o,yo) na direção do eixo � no sentido positivo, veremos os valores de f(x,y) aumentar de aproximadamente 3 unidades para cada unidade de � percorrida; Se fy(xo,yo)= −4, isto significa que, a partir de (xo,yo) caminhando na direção do eixo � no sentido positivo, veremos os valores de f(x,y) diminuir aproximadamente de 4 unidades para cada unidade de � percorrida. y 6. y 1.
7.
r α
8.
r y0
y0
9.
r
10.
0
x0
x0
α
α
r
x
0
x
11. 4. Queremos agora descrever o comportamento de f(x,y) quando, a partir de (xo,yo), caminhamos numa direção qualquer determinada pela reta orientada � que forma com o eixo � o ângulo orientado α. A taxa de variação de f em relação à
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distância percorrida na direção de � será chamada derivada direcional de f(x,y) no ponto (x0,y0), na direção de α, e representaremos por fα(x0,y0). 12. 13. 5. Derivada pela Definição: Vamos definir, de um modo mais formal, a derivada direcional fα: Inicialmente, determinemos as equações paramétricas de �, tomando como parâmetro o comprimento 14. de arco �: 15. �= x=x 0 + Scosα ¿ α fixado , S ∈ R y= y 0 + Ssenα ¿ ¿ ¿ ¿ r α
y
S
Ssenα
16. Scosα
y
17. x
0
0
x0
18. Agora vamos calcular f(x,y) nos pontos da reta �, ou seja, vamos compor a função f(x,y) com a s funções x (s)=x 0 + Scosα x Então, quando � = {(¿ ¿(s), y(s) )=¿ f (x 0 +Scos α ; y 0 + Ssen α ) F(s )=f ¿ y (s)= y 0+ Ssenα ¿
19.
0, temos f(0) = f(x0,y0); a derivada de F(�) no ponto � = 0 é a Derivada Direcional de f(x,y) no ponto (x0,y0) e na direção α: F(s)−¿ F (0 )
S−0 ( ) F 0 =f α ( x0 , y 0 ) ou seja , lembrando que F ' ( 0 ) =lim ¿
20.
⇒
'
S→0
⇒ f α ( x 0 , y 0 )=lim
21.
S →0
f α ( x0 , y0 ) 22. 23. 24.
f ( x0 + S . cos α , y 0 + S . sen α ) −f (x 0 , y 0) Também é comum a notação: S
∂f = ∂ s (x 0 , y 0 ) .
6.
Exemplo 1. f 45 no ponto Calcular a (1,2) para a função 0
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f (x , y)
=
x2 y❑
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25.
{
�=
(
F(s) =f 1+
x=1+ S . cos 45 y=2+S . sen 45 0 ∴�=
Logo,
2 x=1+ √ S 2 √2 y =2+ S 2
⇒
2
√ 2 S , 2+ √ 2 S = 1+ √2 S .(2+ √2 S) ⇒ 2 2 2 2
)(
)
2
√2 √ 2 √2 √2 √2 2 1+ 2 S . 2 . 2+ 2 S + 1+ 2 S . 2
(
F ' (s) =¿
26.
{
0
f 45 no ponto 0
) (
)(
)
⇒
2 2 F ' (0)=2. √ .2+1. √ ≅2,12 . 2 2
(1,2) ≅2 , e isto significa que, se a partir do ponto (1,2)
caminharmos na direção da reta orienta � que forma 450 com o eixo �, então veremos os valores de f(x,y) aumentar de aproximadamente 2 unidades para cada unidade percorrida. 27.
7.
Método de Cálculo da Derivada Direcional: Necessitamos, agora,
de um método de cálculo da Derivada Direcional que nos dispense de ter que recorrer sempre à definição. Este método é estabelecido pelo seguinte Teorema: f(x,y) é diferenciável no ponto (xo,yo) então: f(x,y) tem derivadas direcionais neste ponto em qualquer direção α, e vale:
fα
(
x 0, y 0 ¿=f α ( x 0 , y 0 ) . cosα +f y ( x 0 , y 0 ) . senα
28. Obs.: O número que chamamos de derivada direcional de f(x,y) em (xo,yo) na direção α fornece, de fato, uma caracterização do comportamento de f(x,y) na direção e no sentido determinados por α, e α determina a direção e o sentido em que nos moveremos a partir de (xo,yo). 29.
8. Exemplo 2. A temperatura de uma chapa é dada por
T (x , y)=x 2+ y 2
onde
� e � são as coordenadas de um ponto, em cm, e T em 0C. Calcule de quanto varia, aproximadamente, a temperatura se caminharmos 1 cm a partir do ponto (3,4) na direção: (a) α = 300 30. 31.
32. 33. =3
(a) α = 300 T x ( 3,4 ) =2 x ⇒6 Temos T y ( 3,4 )=2 y ⇒ 8 ⇒
{
T 30
0
(3,4)= 6.cos300 + 8.sen300 = 6.
√ 3 + 4 ≅ 9,2
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√3 2
1 + 8. 2
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34.
T 30
∴
(3,4) ≅ 9,2 0c/cm; a temperatura deverá aumentar de 9,2 0c por cm
0
aproximadamente. 35. 36. (b) α’= 2100 T x ( 3,4 ) =2 x ⇒ 6 37. Temos T y ( 3,4 )=2 y ⇒ 8 ⇒
{
−1 2 38.
T 210
(3,4)= 6.cos2100 + 8.sen2100 = −6.
0
√3 2
+ 8.
= −5,19 −4 ≅ −9,2 T 210
∴
0
(3,4) ≅ −9,2 0c/cm; a temperatura deverá diminuir de 9,20c por cm
aproximadamente. 39. 40. 9. FORMA VETORIAL – O GRADIENTE: A partir de um ponto (x0,y0) estamos determinando uma direção(direção e sentido) através de um ângulo α. 41. r r α r r 42. y0 y0 y0 α y0 α 43. α 44. 45. 0 x0 x0 0 x0 0 0 x0 →
46.
Podemos determinar uma direção através de um vetor
v :
y
y →
→
yv
47. 48. yo
v
y
y0
yo
yo
49. →
→
v
v
50.
0
x0
0 0
x0
x0 0
x0
→
51.
Este vetor
v pode
ter um módulo qualquer (comprimento), mas é
comum indicarmos uma direção através de um vetor unitário (de módulo 1) MATERIAL DE ESTUDO PARA APLICAÇÃO DA NP2
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→
u , chamado versor da direção. Assim, o versor do eixo � é o vetor →
→
→
v xi
v =¿
representado por
→
j , e um vetor
versor do eixo � é o vetor
→
vy j
+
onde
i ,o
v
,qualquer, pode ser
vxe vy
são as componentes
→
de
v
nos eixos � e � respectivamente. →
52.
v
53.
yo j
54.
→
→
v =¿
v→
4 3 3 i
→
+4 j
yo
3
→
j
→
4
55.
i→
0 →
i→
x0
x0
→ → 3 i −4 j
v =¿
→
56.
O vetor unitário da direção de →
dividindo-se
Como
v
por
‖‖ → v
, onde
v
→
pode ser obtido a partir de →
→
‖‖
→ 2 2❑ =módulo de v =√ v x + v y❑ v
u→ tem módulo 1, as componentes de
v
→=
∴
{
u→ serão u x=1.cos α u y=1.sen α
v → v
‖‖
u
resultando
→
em: 57.
u→=cos α i + sen α j→ 10. A derivada Direcional de f(x,y) no ponto (xo,yo) e na direção
esta
direção
→
→
pode →
u =cos α i +sen α j , 58.
fα
(
ser
determinada
através
do
versor
temos:
x 0, y 0 ¿=f u ( x 0 , y 0 ) =f x ( x 0 , y 0 ) .cosα + f y ( x0 , y 0 ) . senα →
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u
→
α, onde
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59.
f x ( x 0 , y 0 ) .i →
O vetor
f y ( x 0 , y 0 ) . j→
+
é chamado GRADIENTE de f(x,y)
no ponto (xo,yo) e é representado por (grad f)(xo,yo) ou
→
❑
f(xo,yo) [lê-se
“nabla” f no ponto (xo,yo)]: →
❑
60.
→
f( x 0, y 0 ¿=f α ( x 0 , y 0 ) . i + f y ( x 0 , y 0 ) . j f u ( x0 , y0 )
derivada direcional do versor 61.
11.
→
→
Notamos, então que a
pode ser expressa em termos do gradiente e
u→ Lembrando que : →
do gradiente − ❑
f α +π ( x 0 , y 0 )=−f α ( x 0 , y 0 )
resulta que o vetor oposto
f(xo,yo), determina a direção em que a derivada
direcional é mínima, tendo valor simétrico ao da direção do gradiente: f u ( x 0 , y 0 ) =¿ →
derivada direcional máxima =
f −u ( x 0 , y 0 ) =¿
62.
‖❑→ f (x 0, y 0)‖
derivada direcional mínima =
→
−‖❑→ f (x 0, y 0)‖ . Portanto,
o gradiente indica, em cada ponto, a direção (e o sentido) em que a derivada direcional é máxima; o vetor oposto ao gradiente indica a direção em que a derivada direcional é mínima; nos dois casos, o módulo da derivada direcional é o módulo do gradiente. Por outro lado, em cada ponto (x 0,y0), o t
vetor unitário
→
, normal ao gradiente(perpendicular ao gradiente),
determina uma direção em que a derivada direcional é nula, pois: f t ( x 0 , y 0 )=¿ →
→
❑
→ → f( x 0, y 0 ¿ ∘t =‖❑ f ( x 0, y 0 )‖ cos 90° = 0.
Isto significa que,
nesta direção a taxa de variação de f(x,y) em relação à distância percorrida é nula, e que, caminhando nesta direção f(x,y) é praticamente constante. Então podemos dizer que, em cada ponto (x 0,y0), o vetor
t → normal ao
gradiente, é o vetor tangente à curva de nível de f(x,y) que passa pelo ponto (x0,y0). 63.
12. A temperatura de uma chapa plana é dada por x2+ y2
64.
(a)
T (x , y)
=
(T em OC , X e Y em cm¿ . Determine o gradiente da temperatura no ponto (3,4):
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65.
O gradiente de T(x,y) é o vetor: →
→
2 xi +2 yj
no ponto (3,4) temos:
❑ → ❑→ T (x , y )=T x(❑x, y) i→ +T y(x , y) j
❑→ T (3,4) =¿
→
=
❑→ T (x , y )=¿
→
6 i +8 j
66. (b) Determine, a partir do ponto (3,4), a direção em que a temperatura cresce o mais rapidamente possível, e qual a taxa de crescimento: 67. O gradiente indica a direção em que a taxa de variação da temperatura (derivada direcional) é máxima, logo: para a temperatura crescer o mais rapidamente possível devemos seguir, a partir de (3,4), na direção do →
u
gradiente, ou seja, na direção
=
❑→ T (3,4 )
‖❑→ T (3, 4)‖
6 i → +8 j → √ 62 +82
=
=
0,6 i →+0,8 j→ A derivada direcional nesta direção é igual ao módulo do gradiente:
f u ( 3,4 ) →
=
❑→ T (3,4) ∘
u→ =
‖❑→ T (3, 4)‖
= 10; Portanto, a taxa
de variação é 10°C por cm, aproximadamente. 68. 69. (c) Determine, a partir do ponto (3,4), a direção em que a temperatura decresce o mais rapidamente possível, e qual a taxa de decrescimento: 70. O vetor oposto do gradiente indica a direção em que a temperatura decresce o mais rapidamente possível (derivada direcional mínima): →
Direção de máximo decrescimento: − u
Taxa de decrescimento: f− u
→
→
→
−6 i −8 j
=
→
(3,4)=−f u
(3,4)= −10. A temperatura
decresce de aproximadamente 10°C por cm. 71. 72. (d) Determine, a partir do ponto (3,4), em que direção devemos seguir a fim de que a temperatura permaneça constante: 73.
Na direção do vetor
permanece constante:
t
→
, normal ao gradiente, a temperatura
t → ∘u→=0
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74.
t→
(pois
é perpendicular a
u→ ¿
→
∴ ( t x i +t y j
→
→ → )∘( 0,6 i +0,8 j ¿=0
∴
0,6 t x +0,8 t y =0
75.
∴
tx ty
−0,8 0,6
=
4 2 2 (− 3 t y ) + t y
76.
77.
=1∴
Segue que 0,8 i →−0,6 j →
=
tx
−4 3
Como
3 t y = =0,6 5
ou
‖‖
→ =¿ t
1;
t 2x
t 2y =1
+
e então
t' (¿¿ y=−0,6) . ¿
' ❑ = −0,8(ou t x =0,8) Então
→
t=−0,8i +0,6 j
→
ou
t '→ ¿
=
)
Os vetores
t → e t ' → são tangentes à curva de nível de T (x,y) que passa
pelo ponto (3,4): 78.
T(3,4) = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 ∴
2
2
x + y =25
(circunferência de centro
(0,0) e raio 5). 79.
(e)
Calcular T30°(3,4):
80.
Temos:
x⇒ 6 {fyfx=2 =2 y ⇒ 8
f 30 ( 3,4 )=6. cos 300 +8. sen 30 0
∴
o
⇒ 6.
√3 2
1 + 8. 2
≅
9,2 ℃/cm 81.
NOTA: T30°(3,4) <
Tu
→
(3,4)
82. 83. 84. 85.
13.
Derivada Direcional de um Campo Escalar:
86. Problema 01. Suponha que um pássaro esteja pousado em um ponto A de uma chapa R cuja temperatura T é função dos pontos dela. Se o pássaro se deslocar em uma determinada direção, ele vai “sentir” aumento ou diminuição de temperatura?
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87.
R
88.
89. A 90. A resposta a esta pergunta será encontrada mediante a análise da taxa de variação da temperatura em relação à distância, no ponto A, quando o pássaro se move na direção dada. Logo, devemos encontrar a derivada direcional da função temperatura. 91. Problema 2. Suponha que, em outra situação, podemos conhecer a temperatura do ar nos pontos do espaço por meio de uma função T(x,y,z). Um pássaro localizado em um ponto P deseja resfriar-se o mais rapidamente possível. Em que direção e sentido ele deve voar? 92. A resposta a esta pergunta será possível se, grad T ≠ 0 em P, para se resfriar o mais rápido possível, o pássaro deve voar na direção e sentido de – grad T(P). 93.
14.
Encontrar o gradiente dos campos escalares:
94.
(a)
f(x,y,z) 2( x + y
2
2
)−
z
2
(b)
g(x,y)
x+ e y 95. Utilizando a definição do vetor gradiente, para duas ou mais variáveis, obtemos: 96.
(a)
grad f =
∂f → ∂f → ∂f → i+ j+ k ∂x ∂y ∂z ∂f → ∂f → i+ j ∴ ∂x ∂y
→
→
→
→
i + ey j
97.
(b)
grad g =
98.
15.
Calcular o gradiente de f(�,�) = →
→
99.
∂f Temos ∂ x =4 x ⟹ grad f =4 x i + 2 y j
100.
16.
Seja f(x, y, z) =
→
4x i + 4 y j −2 z k
∴
2 x 2 + y 2 , em P(2,−1).
¿ → → ∂f ¿ =2 y ⟹ grad f (2,−1 )=8 i −2 j ¿ ∂y ¿
z❑ −x 2− y 2
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101.
(a)
Estando em (1, 1, 2), que direção e sentido devem ser tomados
para que f cresça mais rapidamente? 102.
Estando em (1, 1, 2), devemos tomar a direção e o sentido do vetor →
→
→
∇f(1, 1, 2) = −2 i −2 j + k
para que f cresça o mais rapidamente
possível. 103.
(b)
Qual é o valor máximo de
104.
105. (a) Seja
→
‖❑→ f ( 1,1,2 )‖ 17.
=
→
2
T ( x , y , z )¿ 10−x − y −z
2
→
−2 i −2 j + k
√(−2 )2+ (−2 )2 +12
PROBLEMAS 2
∂f ∂s
|∇ f (1, 1,2)| =
(1, 1, 2) é dado por ❑→ f (1,1,2 )
∂f ∂ s (1, 1, 2)? O valor máximo de
=
3
APLICADOS
RESOLVIDOS
uma distribuição de temperatura em uma região do
espaço. Uma partícula P1 localizada P1(2, 3, 5) necessita esquentar-se o mais rápido possível. Outra partícula P2 localizada em P2(0, -1, 0) necessita resfriar-se o mais rapidamente possível. Pergunta-se: 106. 107.
1º) Qual a direção e o sentido que P1 deve tomar? Solução: T (x , y , z)¿ 10−x 2− y 2−z 2 ∂T =−2 x ∂x →
→
→
⟹ grad T =−2 x i −2 y j −2 z k ∂T ¿ =−2 y ∂y 108. Temos:
→
→
→
⟹ grad T ( 2,3,5 ) =−4 i −6 j −10 k ∂T ¿ =−2 z ∂z ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
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109. Como P1 necessita esquentar-se o mais rapidamente possível , deve tomar a direção eo sentido do grad T ( 2,3,5 ) =(−4,−6,−10 ) . 110. 2º) 111.
Qual a direção e o sentido que P2 deve tomar?
Como P2 necessita resfriar-se o mais rapidamente possível , deve tomar a direção e o sentido do vetor−grad T ( 0,−1,0 )=−( 0,2, 0 ) =(0,−2, 0). →
112.
→
→
−grad T ( 0,−1, 0 )=0 i −2 y j 0 k
∴
−grad T ( 0,−1, 0 )=¿
→
−2 y j
3º) Qual é a taxa máxima de crescimento da temperatura em P1 e qual é a taxa máxima de decrescimento da temperatura em P2? 113.
A taxa máxima de crescimento da temperatura em P1 é dada por
|∇ T (2, 3,5)| = →
→
❑ T (2,3,5)
114.
=
‖❑→ T ( 2,3,5 )‖
→
→
−4 i −6 j −10 k √( 4 )2 + ( 6 )2 +(10)2
=
√ 16+36+100 = √ 152 .
A taxa máxima de decrescimento da temperatura em P2 é dada por
|∇ T (0,−1,0)| = 2.
115.
❑→ T (0,−1,0) ‖❑→ T ( 0,−1,0 )‖
→
=
→
→
0 i −2 y j +0 k √( 0 )2 +(−2 )2 +(0)2
=
√ 0+4 +0 = 2 .
(b)Um alpinista vai escalar uma montanha, cujo formato é aproximadamente o 2
z=25−x − y
do gráfico de
2
, com
❑
z ≥ 0.
Se ele parte do ponto P0(4, 3, 0),
determinar a trajetória a ser descrita, supondo que ele busque sempre a direção de maior aclive. 116.
Solução:
117.
Seja
→
r (t) = [x(t), y(t), z(t)] a equação da trajetória do alpinista. →
Inicialmente, vamos determinar a projeção
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r 1 ( t )=¿ [x(t), y(t), z(t)] de
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No plano xy , a direção de maior a clive
r ❑ (t ) sobre o plano xy . por ∇f, onde f = 25
da montanha é dada
−x 2 −y 2 . Como o alpinista deve se deslocar na direção →
de maior aclive, o ∇f deve ser tangente à projeção →
→
r 1 ' (t )
Fazemos, então:
= grad f[ r 1 ( t ) ¿
Resolvendo a equação, vem: x (t)¿ c 1 e−2 t❑ e
dx dt
r1 ( t )
da trajetória.
dx dy =[ dt , dt ]= [(−2x(t), −2y(t)].
= −2x(t) e
dy dt
= −2y(t) onde
y (t)¿ c 2 e−2 t . Particularizando as constantes C1 e C2,
lembramos que o ponto de partida do alpinista, correspondente a t = 0, é P0(4, 3, 0). Portanto, x(0) = 4 e y(0) = 3 e, desta forma, C1 = 4 e C2 = 3. Logo, a projeção de →
118.
r1 ( t )
=
−2 t❑
→
→
r1 ( t )
r (t) é
=
4e
¿
,
3 e−2 t ) e a trajetória é dada por:
−2 t
4e 2 (3 e−2t )2 ]= −2 t 3 e , 25−¿ ) −
4 e−2 t❑ , ¿
4 e−2 t❑ , ¿
−4 t
e −2 t ❑ 3 e , 25−25 ¿ ¿
119.
z
120.
25
121. 122. 123. 124. 125. 126.
5 x
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5
y
P0
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(c) O gráfico abaixo mostra as curvas de nível da temperatura T(x,y) da superfície do oceano de uma determinada região do globo terrestre. Supondo que T(x,y) é aproximadamente igual a
1 3 1 +1 ❑ x− x − y 2 , pergunta-se: 2 4 2
127. 1º) Qual é a taxa de variação da temperatura nos pontos P0(2,3) e P1(4,1), na direção nordeste? 128. A taxa de variação da temperatura é dada pela derivada direcional. Considerando que um vetor unitário na direção nordeste é(
1 √2
,
1 √2 ) e
1 2 1 ❑ que grad f = (1− 4 x , - 2 y ¿ , vem que:
129.
∂f ∂ s (Po)=
3
= − 2 √2
130.
∂f ∂ s (2,3)= ∇f(2,3). (
1 √2
1 , √2 ) =
∂f ∂ s (4,1)= ∇f(4,1). (
1 √2
,
1 1− .4 4 ¿ .3). ( ¿ ¿
1 √2
1 , √2 )
e
∂f ∂ s (P1)=
1 7 ) = − 2 √2 √2
131. 2º) Se não conhecermos a forma da função T(x,y), como poderemos encontrar um valor aproximado para a taxa de variação do item (1º)? 132. Se não conhecermos a forma da função T(x,y), poderemos calcular a taxa de variação média da temperatura na direção nordeste no ponto P 0. Basta observar a figura abaixo e assinalar as temperaturas a nordeste: - 1°, e a sudeste: 0°. A seguir faz-se o quociente
−1 °−0 ° 1 km
onde 1 km é a distância
aproximada entre os dois pontos cujas temperaturas foram observadas. Portanto, −1 grau/km é o valor aproximado da taxa de variação da temperatura, em P0, na direção nordeste. Analogamente, temos que −2 °−(−1 °) 0,4 km
= −2,5 grau/km é o valor aproximado da taxa de variação da
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temperatura em P1, na direção nordeste. Observamos que os valores encontrados em (1º) são aproximadamente os mesmos encontrados em (2º). 133. 3º) Qual é a taxa máxima de variação da temperatura em P0? 134.
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