Modelos de Redes: Problema del flujo má ximo M. En C. Eduardo Bustos Farí as as
Problema del flujo máximo
2
Problema del flujo máximo
Este modelo se utiliza para reducir los embotellamientos entre ciertos puntos de partida y destino en una red. Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia un único lugar destino a través de arcos que conectan nodos intermedios Cada arco tiene una capacidad que no puede ser excedida La capacidad no debe ser necesariamente la misma para cada dirección del arco.
Considere una red con un nodo de entrada (o fuente) y un nodo de salida (o antifuente). El problema del flujo máximo pregunta: ¿Cuál es la cantidad máxima de vehí culos, culos, lí quido, quido, peatones o llamadas telef ónicas que pueden entrar y salir del sistema en un periodo determinado de tiempo?
4
En este tipo de problemas se intenta conducir el flujo por las ramas o arcos de la red en forma óptima, aunque dicho flujo está limitado por restricciones diversas tales como: condiciones de la carpeta asf áltica, diámetros de tuberí a, a, etc. Al lí mite mite máximo de flujo de una rama se le denominará capacidad de flujo.
5
Se quiere transportar la máxima cantidad de flujo desde un punto de partida (fuente) o un punto final (pozo) ie.
Al respecto diremos que existen muchos algoritmos especializados para dar solución a los P.F.M.
6
Observación: 1.Se debe considerar una red dirigida. 2.Tiene una fuente y un pozo. 3.Los otros nodos son de trasbordo. 4.Capacidad de los arcos. 5.El objetivo es determinar el patr ón factible de flujo a través de la red que maximice el flujo total desde la fuente de destino. 7
Definición del Problema - Existe un nodo origen (con el n úmero 1), del cual los flujos emanan. - Existe un nodo terminal (con el número n), en el cual todos los flujos de la red son depositados. - Existen n-2 nodos (númerados del 2, 3,....,n-1), en el cual el flujo que entra es igual al flujo que sale. - La capacidad Cij que transita del nodo i al nodo j, y la capacidad C ji para la dirección opuesta.
El objetivo es encontrar la máxima cantidad de flujo que salga del nodo 1 al nodo n sin exceder la capacidad de los arcos.
El problema consiste en encontrar la má xima cantidad de flujo total que puede circular a través de la red en una unidad de tiempo. El único requerimiento en ellos es que para cada nodo (que no sea la fuente o el destino) la relación de equilibrio debe cumplirse: flujo que sale = flujo que entra 10
Dicho en términos formales, siendo f = flujo, n = destino, l = origen: Maximizar f sujeto a:
= f, si i = 1
∑ j xij − ∑ j x ji
=
= -f, si j = n = 0 en otro caso
0 ≤ xij ≤ U ij ∀i, j
U
de la red 11
El algoritmo de flujo máximo se fundamenta en pasos de sentido común: encontrar un camino que inicie en la fuente y concluya en la antifuente, que tenga capacidad de flujo en el sentido deseado y mayor a cero para todas las ramas que integran el camino o ruta. Debemos continuar buscando caminos que vayan de fuentes a depósitos y que sigan teniendo capacidad mayor a cero para todas las ramas en el sentido del flujo. 12
PASOS DEL ALGORITMO
1. Encontrar un camino que vaya del origen al destino y que tenga capacidad mayor a cero en el sentido deseado. 2. Encontrar la rama de menor capacidad (Pf ) del camino seleccionado en el paso anterior y programar el enví o de dicha capacidad (Pf ). ). 3. Para el camino elegido en el paso 1 reducir la cantidad Pf en las ramas involucradas y aumentar dicha cantidad en el sentido contrario. 4. Repetir el procedimiento desde el paso 1. 13
EJEMPLO 1 Flujo máximo
14
Una ciudad es atravesada por una red interestatal de carreteras de norte a sur que le permite alcanzar un nivel de 15,000 vehí culos/hora culos/hora en el horario “pico” . Debido a un programa de mantenimiento general, el cual exige cerrar dichas v í as, as, un grupo de ingenieros ha propuesto una red de rutas alternas para cruzar la ciudad de norte a sur, la cual incorpora avenidas importantes. 15
La red propuesta es la siguiente. Incluye el número de vehículos (miles) que pueden circular por dichas vías. 16
1. ¿Puede la red propuesta dar cabida a un flujo máximo de 15,000 v/h de norte a sur? 2. ¿Cuál es el flujo máximo de vehí culos culos que permite la red cada hora? 3. ¿Qué flujo se debe canalizar sobre cada rama? 17
SOLUCIÓN
18
0
5
2
3
1. 1-2-5-7 3
19
0
5
2
0
1
1
3 6 1. 1-2-5-7 3 2. 1-3-6-7 6
20
0
5
2
0 3 6 1
1
1
0
4 4
1. 1-2-5-7 3 2. 1-3-6-7 6 3. 1-4-6-7 1
21
0
5
4
2
0 0 3 6 1 1
1
1
0
4 3 4
3
1. 2. 3. 4.
1-2-5-7 3 1-3-6-7 6 1-4-6-7 1 1-4-6-5-7 1
22
SOLUCIÓN FINAL 0
2
5
4 2
0
0
1 0
0 1
4 3 4 3+6+1+1+2=13
3
1
0
1. 2. 3. 4. 5.
1-2-5-7 3 1-3-6-7 6 1-4-6-7 1 1-4-6-5-7 1 1-2-3-5-7 2
23
0
4 2
0
0 2 3 6 1 1 2
5
1
0
1
0 4 3
4
2
0
3
3 5
1
6 2
1
6
6
2
2
7
24
EJERCICIO 2 Flujo máximo
25
La compañí a estatal de petróleo cuenta con una red de oleoductos que utiliza para transportar petr óleo desde su refinerí a (fuente) hasta diversos centros de almacenamiento. Una parte de la red de oleoductos es la siguiente:
26 ¿Cuál es el flujo máximo?
Como puede observarse, las capacidades de flujo son variables como resultado de los diversos di ámetros de los ductos caps. en miles de gal. por hora. 1. La empresa desea abastecer el almacén 7, ¿Cuál es el flujo máximo con el cual puede abastecerlo? 2. ¿Cuánto tiempo se requiere para satisfacer una demanda de 95,000 galones para el mismo almacén? 3. Si se presentará una ruptura o cierre en el ducto que va de 2-3, ¿Cuál serí a ahora el flujo máximo para el sistema? 27
SOLUCIÓN
28
0
2
3 3
3
1. 1-2-5-7 3
29
0
2
3 3 +
3+2
4
0 1. 1-2-5-7 3 2. 1-4-7 2
30
0
2
3 3 + +2
0
42
3
3+2+2
1 0 1. 1-2-5-7 3 2. 1-4-7 2 3. 1-4-3-6-7 2 31
0
21
3 1 3 + 2 + 2 + 1
42 1
0
3
3+2+2+1
0 1 0 1. 2. 3. 4.
1-2-5-7 3 1-4-7 2 1-4-3-6-7 2 1-4-3-5-7 1 32
0
21
3 1 3 + 2 + 2 + 1 + 1
42 1 0
0
32
3+2+2+1+
0 1 0 0 1. 2. 3. 4. 5.
1-2-5-7 3 1-4-7 2 1-4-3-6-7 2 1-4-3-5-7 1 1-4-6-7 1 33
0 1
210
32 1 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1
42 1 0
0 0
32
3+2+2+1+1
0 1 0 0 1. 2. 3. 4. 5. 6
1-2-5-7 3 1-4-7 2 1-4-3-6-7 2 1-4-3-5-7 1 1-4-6-7 1 1 23571
34
0 1
210
32 1 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1
42 1 0
0 0
32
0 1 0 0 1. 2. 3. 4. 5. 6.
1-2-5-7 3 1-4-7 2 1-4-3-6-7 2 1-4-3-5-7 1 1-4-6-7 1 1-2-3-5-7 1
El Flujo máximo es: 3+2+2+1+1+1=10
35
3 4
1
5
1 2
6
3
3
1 2 El Flujo máximo es: 3+2+2+1+1+1=10
36
Ejemplo 3 Flujo máximo
37
En una ciudad se va a construir una obra civil que inutilizará ví as as primarias durante una temporada. Los ingenieros proponen una red alterna formada por calles más pequeñas para distribuir el tránsito. Actualmente hay un flujo de 10 mil autos por hora en las horas pico. ¿La red de desviación tendrá la capacidad de canalizar este flujo?
38
0 21 6 0 2
0
41
0
6 0
4
61
1
0
6 3 0
31
0 4
1
0 51 2
39
SOLUCIÓN USANDO EL TORA
40
41
42
43
Deducción del modelo de programación lineal para el problema del flujo má ximo
44
El problema es enviar gas natural desde un campo de producción a una ciudad a través de gaseoductos.
45
El planteamiento con estos datos serí a: a: Má x f sujeto a: x12 ≤ 10
x12 + x13 = f x12 − x 23 − x 24 = 0 x13 + x 23 − x34 − x35 = 0 x 24 + x34 − x 45 = 0 x35 + x 45 = f
x13 ≤ 6 x 23 ≤ 3 x 24 ≤ 5 x34 ≤ 7 x35 ≤ 8 x 45 ≤ 8 x ≥ 0 ∀ij
46
Este planteamiento no se ajusta a la formulación estándar de programación lineal de costo mí nimo, nimo, puesto que se desconoce f y aparece simultáneamente en la función objetivo y en el lado derecho de las restricciones. Si se plantea así no es posible utilizar el algoritmo de programación lineal, por ello utilizaremos el artificio de agregar un arco ficticio entre los nodos inicial y final (x51), con ello ahora el planteamiento serí a: a: 47
48
x12 ≤ 10 x13 ≤ 6
x51 − x12 − x13 = 0 x12 − x 23 − x 24 = 0 x13 + x 23 − x34 − x35 = 0 x 24 + x34 − x 45 = 0 − x51 + x35 + x 45 = f
x 23 ≤ 3 x 24 ≤ 5 x34 ≤ 7 x35 ≤ 8 x 45 ≤ 8 xij ≥ 0, ∀ij 49
Ejemplo 4 COMPAÑÍ A A QUIMICA UNIDA Algoritmo de flujo m á á ximo
50
COMPAÑÍ A A QUIMICA UNIDA
Quí mica mica unida produce pesticidas y otros productos de control agrí cola. cola. El veneno quí mico mico necesario para la producción es depositado en grandes tambores. Una red de tubos y válvulas regula el flujo del quí mico mico de los tambores a las diferentes áreas de producción. El departamento de seguridad debe dise ñar un procedimiento que vací e los tambores de la forma más rápida posible dentro de los tubos del área de depósito, usando la misma red de tubos y v álvulas. El procedimiento debe determinar: - Qué válvulas deben abrirse y cerrarse - Estimar el tiempo total de descarga.
No se permite flujo de 4 a 2.
Datos
El máximo flujo de 2 a 4 es 8
0 2
0
4
8
7
3
6 1
10
0
1 Tambores con químico
2
6 4
10 1
0 3
0
3 0
2
7 0
4 2
12 0
8 5
Tubo de Seg.
Solución - Analogí a de un problema de programación lineal – Variables de decisión Xij - Flujo que viaja desde el nodo i hacia el nodo j a trav és del arco que conecta ambos nodos. – Función Objetivo - Maximizar el flujo que sale del nodo 1 Max X12 + X13 – Restricciones [Flujo total que sale del nodo 1] = [Flujo total que entra en el nodo 7] X12 +X13 = X47 + X57 + X67 [Para cada nodo intermedio: Flujo que entra = flujo que sale] Nodo 2: X12 + X32 = X23 +X24 + X26 Nodo 3: X13 +X23 + 63 = X32 +X35 + X36 Nodo 4: X24 +X64 = X46 + X47 Nodo 5: X35 +X65 = X56 + X57
EL flujo no puede exceder la capacidad de los arcos X23 >= 1; X24 >= 8; X26 >= 6; X12 >= 10; X13 >= 10; X32 >= 1; X35 >= 15; X36 >= 4; X46 >= 3; X47 >= 7; X56 >= 2; X57 >= 8; X63 >= 4; X64 >= 3; X65 >= 2; X67 >= 2;
Los flujos no pueden ser negativos: Todos Xij >= 0
Se debe tener presente que este problema es relativamente pequeño y la solución puede ser obtenida rápidamente usando el modelo de programación lineal. Sin embargo para problemas de mayor envergadura se aconseja usar el modelo de redes.
Solución- Analog Analogí a con un problema de redes - La idea básica es la siguiente: * Encontrara un camino de capacidad mí nimaen nimaen cada uno de sus arcos. * Aumentar el flujo de esos arcos por la mí nima nima capacidad de uno de los arcos de la ruta. * Repetir este procedimiento hasta completar la ruta de manera tal que todos los arcos tengan una capacidad residual positiva. *Designar un nodo origen y un nodo de flotaci ón * Definir las capacidades de todos los arcos en la red ( en ambos sentidos) * A continuación se muestra la solución obtenida usando WINQSB.
El El máximo máximo flujo flujo obtenido obtenido por por WINQSB WINQSB
8
4
7 2 7
7
Flujo Máximo= 17
1
6
Tambores con químico 10
2
7
2 3
8 8 5
Tubo de Seg.
Ejercicio para resolver Flujo máximo
57
Un conjunto de ví as as rápidas tiene las siguientes capacidades (miles de vehí culos/hora). culos/hora).
1.
Determinar el flujo máximo de vehículos/hora que pueden pasar por el sistema.58
SOLUCIÓN
59
4 3
1 3
5
6
2 3
3 2
ITERACIÓN
CAMINO SELECCIONADO
1 2 3 4 5
1-4-6 1-2-5-6 1-3-6 1-3-4-2-5-6 1-3-4-5-6
Pf (vehículos/hora) (1-4) 3,000 (1-2) 3,000 (3-6) 2,000 (2-5) 1,000 (3-4) 2 000
FLUJO TOTAL DESPUÉS DE LA ITERACIÓN
3,000 6,000 8,000 9,000 11 000
60
ITERACIÓN 1 2 3 4 5
CAMINO
Pf SELECCIONADO (vehículos/hora) 1-4-6 1-2-5-6 1-3-6 1-3-4-2-5-6 1-3-4-5-6
(1-4) 3,000 (1-2) 3,000 (3-6) 2,000 (2-5) 1,000 (3-4) 2,000
FLUJO TOTAL DESPUÉS DE LA ITERACIÓN
3,000 6,000 8,000 9,000 11,000
61
EJERCICIO PARA RESOLVER
62
El alcalde del distrito Florencia de Mora desea conocer a través de los 15 postes de la Mz A para el alumbrado eléctrico - que es proveí da da por una estación central perteneciente a Hidrandina , que dista de esta Mz entre los 4000 y 6000 mts.- , por donde circula la mayor cantidad de energí a, a, teniendo en cuenta que sus habitantes consumen la mayor cantidad de luz por las mañanas, a diferencia de los fines de semana que el mayor consumo se da por las noches . La siguiente red representa la capacidad de cada poste ;expresando dicha capacidad en Wats. ¿ Aplicar el algoritmo de flujo m áximo para saber por dónde fluye la mayor cantidad de energí a en esta red de distribución de alumbrado eléctrico de la Mz A perteneciente al distrito Florencia de Mora? 63
64
SOLUCIÓN
65
66
EJERCICIO PARA RESOLVER
67
El complejo hidroeléctrico de la cuenca del Rimac consta de 7 centrales hidroeléctricas que se encuentran en actual funcionamiento. La capacidad que genera es de 543000 Kw. La demanda que no se puede satisfacer de las centrales hidroeléctricas se obtiene de las plantas termoeléctricas (petróleo), la energí a es llevada a través de conductores eléctricos a hacia las ciudades. La figura resume los enlaces de la red junto con la capacidad de cada conducto. 68
69
SOLUCIÓN
70
Maximal flow = From
To
Arc Capacity
Flow Amount
110.0000 Residue
-------------------------------------------------------------------------------------- N1
N2
70.00
50.00
20.00
N1
N3
50.00
20.00
30.00
N1
N4
60.00
40.00
20.00
N1
N5
0.00
0.00
0.00
N1
N6
0.00
0.00
0.00
N1
N7
0.00
0.00
0.00
N2
N1
70.00
0.00
70.00
N2
N3
0.00
0.00
0.00
N2
N4
30.00
30.00
0.00
N2
N5
0.00
0.00
0.00
N2
N6
20.00
20.00
0.00 71
N2
N7
0.00
0.00
0.00
N3
N1
50.00
0.00
50.00
N3
N2
0.00
0.00
0.00
N3
N4
20.00
0.00
20.00
N3
N5
20.00
20.00
0.00
N3
N6
0.00
0.00
0.00
N3
N7
0.00
0.00
0.00
N4
N1
60.00
0.00
60.00
N4
N2
30.00
0.00
30.00
N4
N3
20.00
0.00
20.00
N4
N5
0.00
0.00
0.00
N4
N6
20.00
20.00
0.00
N4
N7
50.00
50.00
0.00
N5
N1
0.00
0.00
0.00
N5
N2
0.00
0.00
0.00
N5
N3
20.00
0.00
20.00
N5
N4
0.00
0.00
0.00
N5
N6
0.00
0.00
0.00
N5
N7
70.00
20.00
50.00
N6
N1
0.00
0.00
0.00
N6
N2
20.00
0.00
20.00
N6
N3
0.00
0.00
0.00
N6
N4
20.00
0.00
20.00
N6
N5
0.00
0.00
0.00
72
N6
N7
70.00
40.00
30.00
N7
N1
1.00
0.00
1.00
N7
N2
0.00
0.00
0.00
N7
N3
0.00
0.00
0.00
N7
N4
0.00
0.00
0.00
N7
N5
4.00
0.00
4.00
N7
N6
6.00
0.00
6.00
73
EJERCICIO PARA RESOLVER
74
Telef ónica quiere saber el flujo máximo que debe de salir de la ciudad 1 y llegar a la ciudad 12 pasando por otros nodos o puntos de transmisión de datos.
75
76
SOLUCIÓN
77
EJERCICIO PARA RESOLVER
78
79
TOTAL = 2 + 3 + 6 + 2 = 13
80
PROBLEMAS DE FLUJO M ÁXIMO CON GRAFOS ANEXO
81
Problemas de flujo en redes Supongamos un grafo dirigido G=(V, A) con pesos en las aristas. Los pesos de cada arista C(v, w) representa el n úmero máximo de unidades que pueden “fluir” desde el nodo v al w.
Por ejemplo: C(v, w) puede ser la cantidad m áxima de agua que puede ir por
Problema de flujo má ximo.
una tuberí a que comunica v con w, o el número de coches máximo que cabe en una calle.
Dado un nodo origen s y un nodo destino t en un grafo dirigido c on pesos, encontrar la cantidad máxima de flujo que puede pasar de s a t. 2
s
1 3
b
a
2
d
4 3
2
3
t c
2
s
b
0 3
a
2
d
3
1 2
t c
2
La suma de entradas para cada nodo interior debe ser igual a la suma de salidas. Los valores de flujo en cada arista no pueden superar los valore s máximos. 82
Problemas de flujo en redes
Algoritmo para calcular el flujo má ximo.
1. Inicializar un grafo de flujo Gf con los mismos nodos y aristas de G, pero con pesos 0. Este grafo guardar á el resultado del algoritmo. 2. Buscar un camino en G, desde s hasta t (camino creciente). Sea m el valor mí nimo nimo de los costes de las aristas por las que pasa el camino (por este camino pueden fluir hasta m unidades de flujo). 3. Para cada arista (v, w) del camino, añadir al costo de la arista correspondiente en Gf el valor m: Cf [v, w] = Cf [v, w] + m. 4. Decrementar el valor m en cada arista (v, w) del camino, en el grafo G. Si la arista toma el valor 0, eliminarla de G. 5. Volver al paso 2 mientras sigan existiendo caminos entre s y t en G.
Ejemplos:
– Caso 1: (s, b, d, t) con m=2; (s, a, c, t) con m=2; (s, a, d, t) con m=1. FIN – Caso 2: (s, a, d, t) con m=3. FIN
El algoritmo es no determinista y no garantiza una soluci ón óptima. Solución: en el paso 4 añadir una arista a G con costo m (para permitir deshacer los caminos). 83
EJEMPLO 5 FLUJO M ÁXIMO
84
Una ciudad es atravesada por una red de agua potable que le permite alcanzar un nivel de 10 mil litros por hora. Debido a un programa de mantenimiento general, hay que desviar el flujo por ciertas ví as. as. Un grupo de ingenieros propone una red de rutas alternas para abastecer la ciudad. ¿Puede la red propuesta dar cabida al flujo de 15 mil litros por hora? ¿Cuál es el flujo má ximo que permite la red cada hora? ¿Qué flujo debe canalizarse sobre cada rama? 85
86
SOLUCIÓN
87
88
