Este artículo se publicó en la revista electrónica de Matemáticas del Instituto Tecnológico de Costa Rica. 2006. EL AÑO AÑO EN QUE SE DEMOSTRÓ DEMOSTRÓ LA CONJETURA CONJETURA DE POINCARÉ. Vernor Arguedas Troyo
En matemática las conjeturas juegan un papel importante, como también preguntas tales como: ¿qué pasa sí cambiamos esta hipótesis o es este el resultado más general ?. Las preguntas sobre los diferentes temas es esencial para avanzar en nuestra ciencia y de paso hacer cambios profundos en otras disciplinas. El arte de conjeturar y preguntar debe fomentarse, es uno de los pilares del pensamiento creativo. Junto a las conjeturas, las hipótesis, las paradojas, las generalizaciones, nos encontramos con una larga lista de ejemplos y contraejemplos, problemas abiertos o simples especulaciones. A veces una afirmación equivocada puede señalar un camino que habrá una puerta, Para la escuela pitagórica todos los números – en en nuestro lenguaje-eran racionales. Conmensurables usaban ellos. Pero, siempre hay un pero, apareció un número no conmensurable muy sencillo 2 . En el proceso de los pitagóricos llegar a esos números estaba en la etapa más alta del conocimiento. Estos números irracionales eran un verdadero dolor de cabeza. El siglo XIX y parte de d e los inicios del XX vivió esta novela matemática.
Algunos hechos sorprendentes para la época fueros los siguientes: había más números irracionales que racionales. Con Lebesgue y su teoría fundamental de la medida, se llegó a otro resultado, los números racionales tienen medida de Lebesgue cero. Cuando surgieron conceptos topológicos, los números n úmeros racionales tuvieron un papel esencial en el desarrollo. Constituían un conjunto denso numerable de los números reales. Este principio tan sencillo condujo a un u n paradoja matemática, monumental en la época, quizá comparable con la existencia de 2 para los pitagóricos. No era posible ” construir” a los números reales a partir de los racionales, esto enfrentó a dos titanes, gigantes de la matemáticas: Dedekind y Cantor, pero eso será otra historia. Los pleitos entre matemáticos y matemáticos han sido muy muy abundantes y en ocasiones han propiciado propiciado grandes avances y a veces cotilleos que perduran a través de los años, los lustros y a veces centurias. Algunos han tenido desenlaces fatales. Sin embargo la densidad de los números racionales en los números reales, condujo a un método de “ construcción matemático” vigente en nuestra
días: la completización vía sucesiones de Cauchy. Para Cauchy todas las funciones continuas eran uniformemente continuas, hasta que aparecieron los contraejemplos y un teorema clásico en la enseñanza básica del análisis: Si f : [a, b] R es continua entonces f es uniformemente continua. Cuando apareció el concepto de conjunto compacto el teorema anterior se generalizó como: una función continua con valores reales definida definida sobre un conjunto compacto es uniformemente continua. En el siglo XIX había una creencia popular, una conjetura en nuestro lenguaje: toda toda función continua definida sobre un intervalo intervalo tiene tiene puntos en que es derivable. Pero llegó Karl Weierstrass Weierstrass en 1872 y presentó su famoso ejemplo ejemplo de una función continua no derivable en ningún punto: n n f ( x) x) con ab 1 cos( a b n 0
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Hermite y su discípulo Poincaré, consideraron este ejemplo de Weierstrass, deplorable, una cosa infernal. Hermite consideraba estos ejemplos una plaga mortal y su discípulo Poincaré, decía algo como: Ayer, cuando se inventaba una función nueva, era para servir a un fin práctico, hoy en día sólo se presentan para rebatir los argumentos de nuestros padres.
No se puede olvidar que Weierstrass era alemán y Hermite y Poincaré eran franceses y que estos dos pueblos han tenidos más de una guerra y disputas de todo tipo. Sin quererlo Weierstrass había descubierto una mina riquísima: los fractales, su ejemplo es el primero conocido de un fractal y da origen a un método – que que se investiga hoy en día-. Por cierto cuando este señor tenía 70 años descubrió su célebre teorema de que toda función continua con valores reales, definida sobre un intervalo cerrado y acotado es el e l límite uniforme de polinomios. Poincaré hizo muchas cosas en matemática y su primo en política francesa. Nuestro objetivo, no es hablar de la obra de Poncaré en este artículo sino de su conjetura. Sin embargo debemos recordar que su geometría fue el modelo modelo usado en la teoría de la relatividad. En la biblioteca libre de la red r ed Wikipedia encontramos los siguientes datos sobre Henri Poincaré: http://es.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9 – † París Nancy,, Francia Francia,, 29 de abril de 1854 – † París,, 17 Jules Henri Poincaré (* Nancy de julio de 1912 1912), ), generalmente conocido como Henri Poincaré, fue un
prestigioso matemático matemático,, científico teórico y filósofo de la ciencia. ciencia. Poincaré es descrito a menudo como el último «universalista» (luego de Gauss Gauss)) capaz de entender y contribuir en todos los ámbitos de la disciplina matemática. En 1894 descubrió el grupo fundamental de un espacio topológico.. topológico En el campo de la mecánica elaboró diversos trabajos sobre las teorías de la luz y las ondas electromagnéticas, y desarrolló, desarro lló, junto a Albert Einstein y H. Lorentz,, la Teoría de la Relatividad restringida (también conocida como Lorentz Relatividad especial) especial). La conjetura de Poincaré es uno de los problemas recientemente resueltos más desafiantes de la topología algebraica, y fue el primero en considerar la posibilidad de caos en un sistema determinista, en su trabajo sobre órbitas planetarias. Este trabajo tuvo poco interés hasta que comenzó el estudio moderno de la dinámica caótica en 1963 1963.. En 1889 fue premiado por sus trabajos sobre el problema de los tres cuerpos. Algunos de sus trabajos más importantes incluyen los tres volúmenes de Los nuevos métodos de la mecánica celeste ( Les Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste ), publicados entre 1892 y 1899, y Lecciones de mecánica celeste ( Léçons Léçons de mécanique céleste , 1905). También escribió numerosas obras de epistemología epistemología,, propedéutica propedéutica,, metodología y divulgación científica que alcanzaron una gran popularidad,
como Ciencia e hipótesis (1901), Ciencia y método (1908) y El valor de la ciencia (1904). Además Poincaré y Einstein intercambiaron muchas veces informaciones, incluso hay anéctodatas que han pasado a nuestro imaginario. No sabemos si sucedieron o no, pero las recordamos una y otra vez. Caminaban Einsteinn y Poincaré juntos y se dio este diálogo: Einstein.:- Henri, al principio yo eetudiava matemática, pero me pasé a la física.Poincaré:- Ah..No sabía, Albert, y que pasó? Einstein:- Lo que pasó era muy simple, podía determinar cuales afirmaciones eran verdaderas o falsas, pero no podía determinar cuales eran importante. Poincaré:- Que curioso Albert, al principio me quise dedicar a la física, pero me pasé a las matemáticas. Einstein:- Cuál fue la razón? Poincaré:- Muy simple, podía determinar cuales eran importantes, pero no cuales eran verdaderas. En nuestro lenguaje actual la conjetura de Poincaré se podría enunciar como; Si una variedad 3 dimensional compacta compacta sin frontera es simplemente conexa entonces existe existe un homoemorfismo entre la variedad y la esfera de dimensión 3. O equivalente su una variedad 3 dimensionall es homotopa con la esfera de dimensión 3 entonces existe un homeomorfismo entre la variedad y la esfera. Para los estudiantes de matemática y matemáticos en: http://www.4shared.com/account/file.jsp?id=16541682&sId=4VQOqc1gA U6fm43H recopilé abundantes materiales sobre este tema. En el caso en que la liga no funcione, seleccione poincare en la sección de búsqueda de 4shared,com.
Para n= 4 el resultado fue demostrado por Freedman en 1982, lo que le hizo ganador de la medalla Fields en 1986. n=5 fue demostrado por Zeeman en 1961. Para n=6 Stalling dio un demostración en 1962.
El caso n>4 en general fue resuelto por Stephen Stephen Smale también también en 1961, quien recibió la Fields medal en 1966, por este trabajo y la involución de la esfera de dimensión mayor a 5. El teorema de Smale dice: Cualquier variedad de dimensión n>4 homotópicamente h omotópicamente equivalente a la esfera de de dimensión n es homoemorfa con la esfera de dimensión n. Stephen Smale (1930) es todo un personaje en el mundo matemático. Su página web http://math.berkeley.edu/~smale/ http://math.berkeley.edu/~smale/ es es un lugar de visita obligado para quienes deseen saber más de esta leyenda viviente de la matemática contemporánea. En el Institut for Advanced Study contaban la leyenda que cuando Smale estuvo ahí lo encontró aburridísimo y se fue a trabajar con Peixoto a Río de Janeiro porque las “garotas” brasileñas lo inspiraban.
La conjetura de Poincaré es uno de los problemas problemas del milenium del Clay Mathematical Institute dotado de un premio de un millón de dólares. En http://www.claymath.org/millennium/ se pueden consultar los 7 problemas. En su funcionamiento el Clay Institute requiere de dos años de tiempo, antes de anunciar oficialmente la solución de algunos de estos problemas.
En el caso de la conjetura de Poincaré una de las personas encargadas de este dictamen es John Milnor. Milnor. En agosto del 2006 se le concedió la medalla Fields a Grigori Perelman , matemático ruso de San Petesburgo por sus contribuciones a la geometría y su gran creatividad analítica para entender los flujos de Ricci. En otras palabras había resuelto en afirmativo la conjetura de Poincaré. Pero siempre hay un pero, Grisha no aceptó el premio y no viajó a España. En el famoso Instituto Steklov en San Petesburgo, con tristeza reconocen que Grisha los abandonó y se fue a vivir en la casa casa de su madre.
Incluso hay varios blogs en la red sobre este hecho. Por ejemplo: http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=77 con datos sobre Perelman. http://www.alteregoproductions.org/blog/2006/08/grisha_perelman_refuses _to_acc.htm En el periódioco El Mundo de España hicieron un reportaje reportaje sobre Perelman y su mundo o al menos como el periodista lo percibió. http://www.elmundo.es/suplementos/cronica/2006/565/1156629604.html El la enciclopedia Wikipedia http://es.wikipedia.org/wiki/Grigori_Perelman Las razones de Grisha son entendibles para algunos e incomprensibles para más. De alguna manera me recuerda a Robert Fischer cuando se negó a defender su corona de campeón mundial FIDE de ajedrez contra Anatoly Karpov y perdió su s u título tan brillantemente ganado contra Spasski. Antes de Grisha varios matemáticos chinos chinos habían afirmado que ellos habían resuelto la conjetura antes de Perelman.
Sylvia Nasar entrevistó a Perelman – la la única entrevista conocida- y escribió un artículo en en el The Newyorker Newyorker por el cual fue demandado por Shing-Tung Yau por considerar que dañaba su imagen. imagen.
El artículo se puede leer en línea en http://www.newyorker.com/archive/2006/08/28/060828fa_fact2 y se llama Manifold Destiny. Podríamos decir el destino de la variedad, ella y su colaborador escriben muy bien y el artículo es muy entretenido y lleno de anécdotas. No nos olvidemos que ella escribió: “A beautiful mind,.”Una mente hermosa, que es la historia del matemático John Nash y que fue llevada al cine y ganó un premio Oscar. El prof Shing-Tung Shing-Tung Yau ganó la medalla Fields en 1982 por sus extraorinarios aportes en ecuaciones diferenciales parciales y la conjetura de Calaba en geometría algebraica entre otras cosas. El prof Tau defiende el papel de Cao y Zhu en la demostración de la conjetura. Sin embargo esto dos científicos reconocen a Perelman como el autor de la demostración de la conjetura de Poincaré. En http://www.ims.cuhk.edu.hk/~ajm/vol10/10_2.pdf http://www.ims.cuhk.edu.hk/~ajm/vol10/10_2.pdf se se encuentra el artículo de ellos en donde queda completamente demostrada la conjetura y se establece sin dudas el papel esclarecedor de Grisha en el proceso. En http://www.doctoryau.com/9.18.06.pdf http://www.doctoryau.com/9.18.06.pdf se se puede leer la queja del prof Yau contra Sylvia Nasar y su colaborador. La revista Sciense Magazine declaró el resultado de Perelman el aporte científico más importante del 2006 y en su texto incluye posiblemente de la década. En http://www.sciencemag.org/cgi/content/full/314/5807/1848 se puede leer el texto completo.
En el número 8 del Notices de la AMS del 2006 Allyn Jackson nos indica que la conjetura de Poincaré dejó de existir y ahora es el teorema de Perelman Ver: http://www.ams.org/notices/200608/comm-perelman.pdf El teorema de Perelman Poincare en su forma de conjetura condujo a varios matemáticos a recibir la medalla medalla Fields y la conjetura abrió caminos nuevos en el quehacer matemático, cuyo final todavía esta lejos. Lo mismo ocurrió con el teorema de Fermat y su larga historia de demostraciones equivocadas hasta llegar a la demostración de Andrew Wiles en 1993 cuando demostró la conjetura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas semi estables. El artículo fue publicado en la famosa revista Annals of Mathematics, que edita la universidad de Princeton y el Institut for Advanced Study, en el Volume 141, No. 3 de 1995. Por cierto esta revista que está considerada como una de las mejores del mundo, tuvo que cambiar su línea editorial a raíz del trabajo de Hales sobre la conjetura de Kepler, en el cual hay una certeza superior al 95% de que los resultados son correctos. En el 2005 en el número 162, publicaron la parte no computacional del trabajo de Hales. Este afirma que se requiere unos 20 años para finalizar los cálculos correspondientes y verificar los resultados. El software que utiliza utiliza es el lenguaje lenguaje funcional Caml y el verificador de resultados es el programa Hol., información al respecto se encuentra en: http://caml.inria.fr/cgi-bin/hump.en.cgi?contrib=232 La página oficial de Caml es: http://caml.inria.fr/ . Ambos programas son gratuitos y de arquitectura abierta, no cajas negras, como sucede con la mayoría del software científico comercial. La discusión sobre el papel de las computadoras en los cálculos y demostraciones, ha dividido dividido a la comunidad matemática matemática al menos en dos bandos. Además que presenta el debate tan interesante de cual software se debe utilizar y bajo que condiciones es posible aceptar una demostración hecha con el ordenador. Por suerte hay suficientes conjeturas y problemas abiertos en el universo matemático, cuyos resultados pueden incluso cambiar el modo en que vivimos, como sucedió con los trabajos de Radon y Shannon en el siglo
XX, para no mencionar la cantidad extraordinaria de aportes a la humanidad, producida por los matemáticos y matemáticas que han revolucionado a la humanidad.
