20-Proporcionalidad Directa La Forma y El Número

tl

t' t5 6 6 4

PROPORCIONATIDAT) DIRECTA. LA FORMA Y EL NÚMERO

26. Funcionesy gráficas Jordi Deulofeu Piquet, Carmen Azcárate Giménez

27. Azar y probabilidad Juan Díaz Godino, Carmen Batanero Bernabéu, M." JesúsCañizares Castellano

28. Encuestasy precios Andrés Nortes Checa

29. Heurlstica

PROPORCIONALIDAD DIRECTA.

FernandoCerdánPérez,Luis PuigEspinosa

30. Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso José A. Cajaraville Pegito

LA FORMA Y EL NÚMERO

31. Prensay matemáticas Cano,LuisRicoRomero AntonioFernández

M.u Lursn,Flor Mona Josrp M." FonruNy AyMEMÍ

32. Juegos y pasatiempos pera la enseñanzade la matemática elemental Josefa Fernández Sucasas,M." Inés Rodríguez Vela

33. Pensamiento algorítmico León Rodriguez Febles, Casiano Espinel Candelaria

34. Recursos en el aula de matemáticas ElisaCarrilloQuintela HernánSiguero, Francisco

Consejoeditor: Luis Rico Romero,JosepM." Fortuny Aymemi' Luis Puig Espinosa

EDTORNL

SINTESIS

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fto- cooigb ¿e-¡arias I

Fcrmadeadquisición, l-tffi $mnra Fechade adqursrción

Índice Donación Día

Ítq¡eedon

lntroducción l.

Hablando de proporcionalidad 1.1. Las matemáticasy el lenguaje 1.2. La proporcionalidad y el lenguaje 1.3. Lenguaje de relación niño-adulto

2. Marco teóricode la proporcionalidadentre magnitudes . octubre2000 PrimerareimPresión: Diserlode cubierta:JuanJoséYázquez Estáprohibido'bajolas todoslosderechos' Reservados

S' A. EditorialSíntesis, @ M." LuisaFiol Mora JosePM.nFortunuyAymemí O EDITORIALSÍNTESIS,S.A. 34'28015Madrid Vallehermoso, Teléfono9159320 98 http://www.sintesis.com Depósitolegal:M-36'058-2000 ISBN:84-7738-081-3 Impresoen España- Printedin Spain

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.

Magnitudesy medida Proporcionalidadentre magnitudes Constantede proporcionalidad Razonesentremagnitudes. Teoría de la proporción . Notas históricas. . y ejercicios.... Investigaciones

y aplicación :...".. Utilización 3.1. Geometria.Técnica.Economia 3.1.1. La proporcionalidadde segmentos. . . . . 3.1.2. Cálculode medidasindirectas 3.1.3. Cálculocomercial 3.2. Arte. Ciencia.Ecología 3.2.1. La divinaproporción 3.2.2. Las constantesfisicas 3.2.3. La densidadde población 3.3. Cálculonumérico.El númeroft . . . . 3.4. Astronomíay cálculosnuméricos Estimacióny cálculode dimensiones . .. .. . 3.5. Microcosmos. y ejercicios.... 3.6. Investigaciones 3.6.1. Talleresde medidasde distancias,inaccesibles ....

13 13 19 2l

29 29 31 33 36 38 40 4l 45 45 45 48 49 52 52 54 55 57 62 70 74 74

4.

Sintetizando fenómenos 4.1. El lenguaje funcional

4.2. Procesosde traslación 4.3. Gráltcaslineales 4.4. Dependencia lineal .

...' y ejercicios 4.5. Investigaciones 5.

Desarrollodel conocimiento . 5.1. Etapasen la psicologiagenética 5.2. La proporcionalidad.Un esquemaoperatorto 5.3. La investigaciónde Piagetsobreproporción. 5.4. Desarrollodel conocimientode proporcionalidad' posteriores.Una visión general' ' ' ' 5.5. Investigaciones

83 83 84 84 87 90 95 95 98 104

r 09 113

6. Aspectosdidácticos 6.1. ¿Por qué enseñarla proporcionalidad? 6.2. Propuestadidáctica 6.2.1. Partiendode aspectosgeométricos 6.2:2. Familiade rectángulos'.. 6.2.3. Compararotraslongitudes.. . 6.2.4. El PROP 6.2.5. Aplicaciones 6.3. Laboratorio de proPorcionalidad 6.4. Guia didáctica... 6.5. M apac on c e p tu a l ...... 6.6. Diagnósticode preconcePtos.

tt7 tt7 t2r r22 r24 t25 r27

Bibliografia

185

128 137 166 178 180

Introducción El trabajo de los que nos dedicamosa la Didácticade las Matemáticas tienedos aspectosbien diferenciados. En cierto aspectoesagradecido,ameno,agradable,instructivo,vivo, etc., puestoque para comprenderla relaciónenseñanza-aprendizaje nos vemos cadadía másy másabocadosa muchasy diversasreflexiones. Algunasveces centradasen el niño, otras en el concepto,su estructuramatemática,su estructurapsicológica,la utilizaciónque se hace del conceptoen la vida práctica,el lenguajeo los lenguajesutilizadosen la relaciónde transmisión de los alumnosentre sí o del maestro-alumno, la historia de las distintas situacionesa partir de la cual va tomandocuerpoel concepto,propuestas metodológicas a seguir,etc. En el polo opuestotenemosel otro aspecto.Son tantoslos cabosque hay que atar, tantasvariablesa teneren cuentaque a vecessetienela impresión que cuanto más se profundizaen el tema más preguntas-referidas sobre todo a la interrelaciónde las partes- van surgiendo.euedan así preguntas por contestar,temasintuidose insinuados,trabajospor realizar.Esperemos que, perfeccionando la investigación,ínsistiendoen el análisisy la síntesis podremosdesarrollary extenderalgunasde estascuestiones. Dicho esto,veamoscómo finalmenteha quedadoorganizadoel libro. Este,en realidad,tienesu célulaoriginariaen el capítulo6: y la
lircron surgiendo a lo largo del trabajo y linalmente las reflexionesposteriolus ir su publicación nos han llevado a una aproximación al concepto de ¡rro¡rorcionalidad desde diversos ángulos. lil concepto de proporcionalidad, que parte de la visualizacion del espacio rcal o de conceptos cotidianos como cambios de monedas, cambio de cscirlas,cuantihcación de mezclas,determinación de índices,etc., debe expresursc:primero cualitativamente,más adelante cuantitativamente.Esta expresitin pasa por un vehículo que es, en primer lugar el lenguaje cotidiano para incidir más adelante en el lenguaje gráfico (capítulo 1). La noción de proporcionalidad demanda una teoría matemática que cmpieza hablando de magnitudes y proporcionalidad de magnitudes (capítulo 2).La formalización continúa estudiando la función lineal (capítulo 4), una importante herramienta de síntesis. Tanto en la teoría matemática como en las aplicaciones tan diversas (capítulo 3), algunas vecesreferidas a determinacionesde constantes, otras centradas en índices antropométricos, económicos, cálculos astronómicos, etc. se nos desvela como un concepto potente, con un amplio espectro de aplicabilidad y de gran importancia en la matemática. Pero la proporcionalidad tiene importancia también desde el punto de vista epistemblógico, punto centrado en las investigacionesrealizadas por Piaget e Inhelder (capítulo 5). Seguramente,y posteriormente a su trabajo, lo más interesanteha sido el cambio de punto de vista desdedónde ésteempezó a desarrollarse.Se ha pasado de considerar el razonamiento proporcional como una manifestación de una estructura cognitiva global, a un trabajo más diferenciado centrado en el estudio de los procedimientos usados de forma espontáneapor los alumnos en la resolución de diversos problemas. Esto ha llevado a estudiar las soluciones dadas por los alumnos desde un punto de vista epistemológico (Piaget, 1955)y desdeun punto de vista de la educación matemática (Karplus, 1977;Hart, 1983,etc.),a estudiar sus estrategias de resolución sean éstascorrectas o no, y las variables que intervienen en esta resolución. El problema desde Didáctica de las Matemáticas, se nos presenta al querer relacionar investigación y aprendizaje. Cuando se quiere, no sólo obtener información de los alumnos. sino obtener esta información en un feed-bak de transmisión de ideas. En el fondo lo que se plantea es un problema de Metodología. La estructuración en la metodología (c4pítulo 6) que proponemos requiere hacer una brecha en el trabajo cotidiano en el aula. Hay que buscar los puntos centralesde un concepto, conectar con aspectos del entorno (sean geométricos, numéricos, fisicos...),graduar el trabajo según los procedimientos o habilidades que se requieran y hnalmente poner a los alumnos en situación de plantearse problemas y buscar respuestas. No sólo se trata de manipular material, aspectoque en cierta forma corre l0

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el peligro de resultar anecdótico, sino que lo más importante es que este material sirva de vehículo para que el alumno pueda poner palabras al conocimiento intuitivo del mundo que le rodea. se trata de establecerun puente de relación entre lo que se intuye con lo que puede llegar a explicitar a través de la manipulación y del trabajo en grupo, especialmente a través del lenguaje. Bien, he aquí pues, el libro. Al que ponemos en estos momentos punto final, ¡cuando, irónicamente, se nos han abierto tantas preguntas! Falta hablar de proporcionalidad en relación con la música, de la probabilidad, hablar más de la proporcionalidad inversa, quizás relacionar más la idea de proporción con los estudios realizados hasta el momento con fracciones,erc. Pero hay que acabar ya,para pasaros a vosotros, a ustedes,el gusto-disgusto de plantearse-resolverlas preguntas. Que los dioses os sean propicios.

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Hablandode proporcionalidad Raó s'entén de dues maneres: la una és agó per qué hom és home, e I'altra és la semblanga de la realitat la qual l'enteniment pren en sí mateix com entén alguna cosa.

(RamonLlull.)

1.I. LAS MATEMATICAS Y EL LENGUAJE El esfuerzopor entendery expresarnuestro {Jniverso,el mundo que nos rodea, empezí en los alboresde la historia. Desdelos más remotostiemposlas personas, en su intento de comprender el mundo que les rodeabafueron desarrollandoun lenguajepara describirlo. Al describirlos elementos,objetos,relacionesy fenómenosde la naturaleza fue surgiendo,poco a poco, la necesidadde crear un lenguajemás complejo con signos y reglas propias que resultó tener un gran poder de síntesis.Era el lenguajelógico-matemático. Su desarrolloseefectuóa medida que se sintieron nuevasnecesidades de interpretaciónde lo cotidiano.Desdelos cálculosde las dimensionesdel Universoconocidoa la iniciación a la Optica o la reflexiónsobrela estructura de la materia,por ejemplo. Paralelamentea la relaciónentrela Cienciay la Matemática,que resultaba cada vez más fértil, se hacían esfuerzospara estructurareste nuevo lenguaje,esta potenteherramienta.Así tenemos,por ejemplo,los trabajos realizadosen estesentido por Thales,Pitágoraso Euclides. Pasoa paso,al extenderseel conocimientocientífico,al ganar en profundidad. se ha necesitadouna herramientamatemáticacadavez más sohsticada. Y hnalmente,nos encontramosahora,que tras los últimos cien añosde desarrolloespectacular,lo que surgió básicamentea partir del desarrollode

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la Astronomía y de la Física ha podido aplicarse a otras Ciencias como son la Geologia y la Biologia, asi como a las Ciencias Económicas, Sociales,etc. Aunque, por otra parte, la metodologia para el estudio y descripción del mundo que nos rodea ha continuado siendo'básicamentela misma. Hay que: hallar principios cualitativos que parezcan ser propiedades fundamentales del fenómeno que se estudia; 2. hallar principios cuantitativos,y 3. relacionar estos datos englobándolos en un modelo matemático (axiomas, teoremas, ...) más amplio, que nos permitirá deducir más propiedades de otro fenómeno que se pueda estudiar desdeel mismo modelo. l.

Desde la Didáctica de las Matemáticas y considerandoel lenguaje lógicomatemático. es necesario hacer una diferencia entre las matemáticas como sistema sintáctico y/o semántico.

. Como un sistema sintáctico El lenguaje lógico-matemático tiene sus signos y reglas específicas,por tanto siempre cabe la posibilidad de interpretarlo como un sistema sintáctico, o sea un lenguaje en que los significadosson irrelevantes.Se dicen cosas, pero no interesa sobre qué se dicen cosas. Algunas personas dan este sentido a las Matemáticas, trabajan entonces con signos desligados de lo real que tienen unas reglas propias. Una vez abstraídaslas reglas que rigen las relacionesentre los elementosde la teoría (axiomas, teoremas, etc.) puede desarrollarse ésta sin tener la necesidadde dar un significado concreto, incluso más aún, intentando trascender un signifrcado concreto, inten tand o generalizar. Pero, en el polo opuesto de la cuestión está llegar a la conclusión de que los signos no dicen nada, no tienen ningún significado (aquí en sentido peyorativo) y las relaciones que se establecenentre ellos son mágicas, no tienen sentido, se interpretan . A nivel didáctico habrá que tener en cuenta que, aunque llegar a trabajar con el lenguaje lógico-matemático como sistema sintáctico puede ser para ciertos alumnos y en ciertos niveles deseable,desde párvulos hasta por lo menos el ciclo superior (adquisición de las operacionesformales)una formulación apresurada puede llevar a un bloqueo. Ocurre entoncesque el alumno considera la matemática como una fuente de conocimiento hermético que no puede utilizarse como vínculo de relación (lo que a la larga la situará en la categoria de materia ),se producen sentimientosde hostilidad y se vive como un lenguaje impuesto: ((como si me hablasenen chino>, o sea que no dice nada, que no expresa nada. l4

. Como un sistemasemántico Todo lenguaje,como sistemasemántico,ha nacido para decir, contar, expresaralgo. En el fondo éste es el sentido cotidiano que damos a la palabra lenguaje,un sistema semánticodonde cada signo, ya sea oral o gráfico,escrito o dibujado, tiene asignadoun significado(a cada signifrcante su significado). lncluso más, y según Piaget, el lenguaje(en términos generalesahora) está íntimamenterelacionadocon la asimilaciónde la experiencia,con la estructuración de lo real.Así ahrmaque adquiriday el lengua-la la experiencia je son factóresque, a lo largo de maduraciónbiológica ei niño van estructurándose simultáneamente. No se puedehablar de causay efecto. Wartofsky llega a decir: Por lo tanto: conocimientode lo real y lenguajefrente a frente,influyéndosemutuamenteen una relaciónsimétricaen su desarrollo. Es interesanteconsiderarque el lenguajey el pensamiento(o cognición) están íntimamenterelacionados.En cierta forma la índole de esta relación puededehnirsecomo determinista,partiendo de la basede que el lenguaje determinael pensamieñto,y además,como comunicador,en el sentido de que el lenguajereflejaylo comunica el pensamiento. Desde ambos puntos de vista el lenguajees un elementoesencialdel conocimientoy, por tanto, es una herramientabásicaen la investigacióny reflexiónde los fenómenos, y problemasque senosplanteanen la situaciones enseñanza-aprendizaj e. Ya a finalesde la décadade los cincuenta,la psicologíacognoscitivase habíaconvertidoen un campo activo de la investigaciónen el que el paradigma del tratamientode la información-paralelamente a lo que estaba sucediendo en AI (inteligencia artificial)- constituíaun bueninstrumentoen la investigacióir de los procesosde conocimiento. Antes,el lenguaje,habíasido tradicionalmente temade estudiosólo para los lingüistas,quienescentrabansusesfuerzos en discernir,por una parte sus elementos,y por la otra las reglasque se utilizabanpara combinar estos elementosa fin de cgnseguirun conjuntoestructurado. El trabajo de Chomsky(1957)representóun importanteadelantoen la comprensiónde las interrelaciones entrelenguay psicología. Actualmentela cienciaque estudiaestainterrelación-la Psicolingüística- tienetres camposbásicosde investigación: . Los procesosde comprensión.

t5

. La produccióndel lenguaje. . Su adquisición. Puntos que, desdela Didáctica de la Matemática resultan muy sugestivos, y más si se tiene en cuenta que en los procesosde comprensióndel lenguajehay que teneren cuentatres aspectos: . Entenderel lenguaje. . Comprenderla sintaxis. . Comprensiónsemántica,o sea,comprenderel signihcadodel lenguaje. Como preguntabásicanos queda,en estainterrelaciónentrelenguajey conocimiento,discerniren qué medidala formaciónde conceptosestárelacionadacon,y dependedel,desarrollodel lenguaje.Estapreguntaincluyeen sí misma otra: si el desarrollode la terminologíaes prerrequisito,o no, para el crecimientodel conocimiento. Es importantereflexionarsobre la manera cómo las matemáticasson y escritas. expresadas Si, volviendode nuevoal lenguajelógico-matemático, tenemosen cuenta que surgey es utilizado para descubrir,describirel mundo que nos rodea, propiedadesa partir no sólo de los objeque buscay estudiadeterminadas tos, sino especialmente de las accionesque se ejercensobre/entreellos, entoncesdesdela Didácticade las Matemáticasdeberemostrabajarenfatizando la relación entre el binomio experiencia-lenguaje. Pero además,no podemospretenderque surja un lenguajea partir de una experienciaen sentidopasivo,por ejemplomirar y manipular fisicamentediversosmateriales; sino más bien de una experiencia activaque uede pasa una forma constructiva,reflexivay que,por tanto pasapor expresarse, por un lenguajecomo sistemasemántico. Así que,resumiendo,debemosconsiderarlas matemáticas como un lenguajesintáctico,como un lenguajesemánticoy ademáshabrá que teneren cuentaque en la acciónenseñanza-aprendizaje utilizamosnuestrolenguaje cotidiano.Esto nos lleva a plantearnos,a dos nivelesdistintosy entreotros estosproblemas: e ¿Cómoorganizarel trabajo para que,por lo menosa nivel de hipótesis, la relaciónentre la experienciay la palabra o representación aseguremos simbólicaa fin de recorrerdiversostramosen el caminohaciala formalización? En realidad,la mayoría de laboratorios de matemáticas,tallereso rincones que proliferanestosúltimos años en primaria y secundariapretenden contestara esta pregunta a través de la utilizaciónde una metodología experimental(véaseesquema1.1). Hay que tener en cuenta que la estructura de laboratorio enfatiza el <.
Situación dada

Observación Percepción Intuición Exploraciónfenomenológica

Investigación Descubrimiento Readaptación Conflicto cognoscitivo Toma de decisiones Expresión

Formación

Integración Interconexión Reconstextualización Funcionalidad

Situación aprendida

Esquemal l

IIIitViRSiDADDISTRITAL DECALDñs JOSE TNNHCISiO ' BiBLlOfÉrtAS iiSü,tl'¡DE

t7

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focalizado en el proceso de aprendizaje,más que en un proceso de enseñanza> (Kidd y otros, 1970). Las experienciasson diseñadaspara ayudar al arumno a aprender manipulando (vista y tacto) y expresándose(hablando, dibujando y escribiendo) para que construya los conceptos de forma gradual y personal. . otro de los problemas planteados se reliere a las palabras que se utilizan. Es pues, una reflexión sobre el propio lenguaje. con frecuencia en matemáticas utilizamos palabras que también aparecen en el lenguaje coloquial, pero casi nunca con el mismo y único significado. Tomemos como ejemplo la palabra repartir. para un adulto o un niño suficientementealeccionado la palabra quiere decir <.Pero éste no es el sentido usual de la palabra. En la realidad, y a pesar de la fuerza con que queremos imponer nuestra abstracción, los repartos son desiguales.Y si intentamos repartir con un pequeño/a de un año y medio o dos años unos confites veremos que nunia . Puestos en el polo opuesto de la reflexión nos podemos encontrar con

son semejantesen 7'. Está claro que los alumnos reconocen los ángulos iguales, no hablan de proporcionalidad de los lados, pero saben que dos liguras son semejantescuando son dos figuras que tienen . Asi que el problema de las palabras utilizadas y a utilizar, presenta problemas nada triviaies. En una primera aproximación al problema habremos de tener en cuenta que, en una clase de matemáticas se utilizan palabras por lo menos a tres niveles: l. 2.

Palabras del lenguaje corriente con su significado habitual. Palabras del lenguaje cotidiano, pero con distinto signihcado. Así, por ejemplo:perteneceque indica posesión,ser de alguien o algo; razón que traduciendo la cita del principio del capítulo, según Ramón Llull, significa la facultad de discurrir y la facultad de discernir la verdad, etc. 3. Palabras del lenguaje propiamente lógico-matemático (axioma, tautología, cociente,etc.). Veamos qué ocurre en el caso concreto de las palabras que hacen referenciaal tema de la proporcionalidad.

r8

1.2. LA PROPORCIONALIDAD Y EL LENGUAJE Para expresarla noción de proporcionalidad,raz6n,proporción,etc., debemosdiferenciartres niveles: . Lenguajecotidiano. . Lenguajegráfico. . Lenguajeformal. . L,enguajecotidiano Las palabrasproporción,desproporción,razón, relación,aparecencon ciertafrecuenciaen los textosescritosmáscotidianos.Nos los encontramos en periódicos,revistaso libros tan disparescomo puedenserlos de Sigmund Freud o AgathaChristie. Tomemos,para empezar,algunaspalabrasdel diccionario , Madrid, 1988.En él se dice: De la palabra proporció,nque son sinónimos:armonia, conformidad, oportunidad.Y antónimo:desequilibrio. armonioso,equilibrado Da como sinónimosde la palabraproporcionado y comoantónimos,desigual.Sinónimosdeproporcionarsonajustar,adecuar, dice que equivalea quitar la suministrar,proveer y de desproporcionar porción a una cosa,sacarlesde reglay medida. Hay cuestiones realmentemuy curiosascomo la proximidadentredeterminadaspalabrascomo, por ejemplo:proporcionaly proporcionar.Otras la palabraproporción.Podeveceslo curiosose descubreal descomponer proporciónen: por (a favor) y porción(trozo)lo que no mos descomponer deja de conducira ideasrealmentemuy sugestivas. Encontramos,pues,alrededorde la palabraproporciónvariadossignifrcados.Algunasveceséstosestánmuy alejadosdel signifrcadoque le damos otras vecesel significadoes confluyente.Sin que pretendesdematemáticas, abriendocaminoen una posibleinterrelaciónentre damosser exhaustivos, veamosalgunosejemplosy una posibleclasiftcación, lengu'ay matemáticas, másalejadosa lo matemático,hacialos máscercanos. desdelos significados a) La palabra proporción puedesubstituirpalabrasde uso cotidiano como: a.l) Parte,trozo. a.2) De forma,de manera. a.3) Según. b) Otras vecesindica cualidado aspecto: b-l) En sentidogeneral. bien construidoo formado. b.2l Estéticamente l9

b.3) Tamaño. b.4) Cantidado medida. c) Como expresiónde una comparacióno relación. c.l) Acción de ¡. c.2) Entre dos números. c.3) Comparandofracciones. c.4) comparando dos magnitudes,seanéstasexplicitadaso no. c.5) Como tasa,índiceo tanto por ciento. (ver esquema1.2) . Lenguajegráfico En nuestracultura er lenguajegrárrco,a partir de dibujos, diagramas, esquemas...' es mucho más cotidiano de lo que nos puedepareceren una prirnerareflexiónsobreel tema. Nadie que vea de buenamañanauna foto del présidentepensaráque es así de pequeño(!).Lo mismo ocurresi hay una fotb de un baico en la costa de Mallorca, de unos grandesalmacenes,etc. Sin darse cuenta, de forma totalmenteautomática,interpretaque setrata de unasreproduccíones reducidas de objdtos que s_onmulho más grandes,y hasta es posible dar arguna información'aunqueéstaseaaproximada,de ius dimensiones. La interpretaciónde estasinformacionesa partir de reproducciones,sean estasfotos o dibujos,es tan inmediata,tan natural, que hasta nos resulta obvia. No olvidemosque el niño al mirar, desdelos primerosdías de su vida, aprendea ver. Este aprendizajerequiereunas condicionesy un tiempo. Desdelo que vemosdirectamente, a simplevista,a lo que u"-o, en rasfotos, hastalo que leemosen distintosgrálicoi hay una graáuación. Pero, ¿qué diferentes signos gráficos son utilizados para expresar la proporcionalidad? Podemosdiferenciarcuatro tipos de representaciones: a) El dibujo de lo real y la fotografia. b) La representaciónde magnitudesdistintas,continuas o discretas tomandoagrupaciones. c) Las magnitudesexpresadas a travésde otras. d) La representacióngráficade una función lineal en que prima la representaciónde la relación. a) El niño, mientras aprendea ver y aprendea ver dibujos, va aprenj diendoa dibujar. En ésteaprendera dibujar pasapo,rdiversaseiapashasta lograr, primero que los dibujos de sus objetosseanproporcionaáosen la relación de sus partes, segundoque aparezcaen ellos una determinada perspectiva. 20

b) El hecho de agrupar, tan importante en la elaboraciónde los sistemasde numeraciónaparecetambiéncomo primerosintentosen la representación grifrca proporcional, conectadacon la noción de cambio. seexpresana travésde signosconvencioAlgunasveceslas agrupaciones nales(Fig. 1.1),de coloresdistintos,etc. (áreaproporcionala la altura o a la c) Con los diagramasde frecuencia circulares(áreaproporcionalal arco)(Fig. 1.3),o base)(Fig. 1.2),consectores de diferentespolíla magnitudcon áreasproporcionales bien representando gonos(Fig. 1.4).Menciónapartemerecenlos mapas.Sólohay que notar que, puesto que la Tierra es casi esférica,no se puededar un mapa-mundi con total exactitud.Forzosamentehay que introducir algunasdistorsioneso Dos extremosde estasdistorsionesson: la proyecciónde modihcaciones. Mercator (1569)y la de Peters(1977).La proyecciónmás utilizada es el de Winkel que mantieneáreasigualesy es relativamenteproporcional. cartesianasde la d) A un nivel más formal tenemoslas representaciones relaciónentrevariablesproporcionales(Fig. 1.5). . Lenguajeformal Finalmentenos quedael lenguajeformal,que seráel tema de estudioen los tres próximoscapítulos.En éstosse recorreun amplio espectro.Desde los lenguajesmás formalizadosque empiezanhablando de magnitudesy proporcionalidadde magnitudespara pasarde los lenguajespropios de las aplicacionesprácticasdel conceptode proporcionalidad,a numerosísimas los lenguajesde relaciónque estudianla proporcionalidadcomo una función: la función lineal. Pero antesde abordar el aspectoformal queda un aspectoimportante al que no podemosdejar de hacerreferencia. 13. .LENGUAJE DE RELACIÓN NIÑO.ADULTO El lenguajecomo vehículode transmisiónjuega un papelfundamentalen el acto enseñanza-aprendizaje. Pero habiendo reflexionailo sobre el lenguaje cotidiano y el lenguaje gráficoy llegandoal lenguajeformal...,estáclaro que estamoshablandodel lenguajeo lenguajesde los adultos. Concretandoen el casode la proporcionalidad,no debeolvidarseque el niño estádesdelos primerosmomentosde su vida sumergidoen una realidad que tieneaspectostopológicos,pero tambiénaspectosmétricos.Poco a que recibea travésde sussentidos,a poco aprendea interpretarlos mensajes

2l

a.1)

Parte, trozo

(O. Harris & K. young: Antropología y feminismo.l a.2)

De forma, de manera

(4. C. Doyle: Sherlock Holmes. O_brascompletas (I), Grande.¡ maestros del crimen j ,irl"rio.l a.3)

proporcionar a su

#,.H:t:LXa";lasista,

rheorigin"ji¡!¡Hii,iii;,!)tff )ffií:i,i,i¡"':,2i1\ ó.1) En sentido general

Relativizar

<-¡Por Dios, Poirot! -exclamé¡se trata de un asunto de vida o muerte! ¿eué impor-ta lo. que pueda ocurrir a tus ropas? -No tienes el sentido de la propoición, Hasting. No podemos marcharnos de Londres a.ntes que salga el tren, y én iambio, el hecño de que me estropees un traje no evitará ningún crimen.> (Agatha Christie: El misterio de Ia guía de Ferrocarriles\ c.2) Entre dos números

Según

("' en tares sociedades "ra participación de la mujer con una parte fundamen*l del trabajo socialmenre necesario, no.tus'reffi esclavitud, rar como sucede en " "',ii'i,iiti,l"l sino qur 1.. propái"ioid#iáa", decisivo,

,

c l)

AMPLIACIÓN

DE CAPITAL

T POR 2

. Proporción: una acción nueva por cada dos antiguas. Los accionistas que no reúnan '-' dos¿cciones, podrán agruparse con otros accionistása efectos d;;;;.;ü¿;.Derecho pref€rente: A favor de ros accionistas, negociables en ta soiJ ¿; Madrid, mediante estamDillado. Desembolso:'800 por 100 del valor nominal, es decir,4.000 pesetas por acción. (De tm anuncio aparecido en La Vanguardia, el día I de iulio de l9gg.) c.3) Comparando fracciones

<
a"t"il...."a.g1áo;6;¿ij; h,bi,,";;álí;;.i;";;;?,?.;á,,tJ:,;.ffj:?:#l,n::j (Agatha Christie:El misteriode pale Horse.l b.2) Estéticamente bien construidoo formado
nqn industrial inquer parlant de la sobrassada diu: "Noltros seguim la mateixa .. rormula, res mateixes proporcions, el que passa és que Ia primera ma-[eria ja no és la matetxa...>) (Miguel Segura: >. Setze.l c.4) Comparando dos magnitudes (que sean explicitas) (8. Ortner: ¿Es Ia mujer con respecto al hombre lo que la naturaleza con respecto a la cultura?, en Antropología y feminismo.)

ó.3) Tamaño

c 5)


progresivo descensode la natalidad batió en 19g7 todos los réiords registrados, . El en tiempos de paz, en cataluña. La rasa de natalidad bajó hasta un 9,g por l.oóo eLfaiaao año. es decir. nacieron 2.500 niños menos que en 19b6. La tasa de natalidad bajó en 1987 hasia un 9,g por 1.000 frente al le2 del año anterior. El número de hijos.por pareja es en Cataluña de 1,35,es decir, se ha iguatado a Balsescomo Alemania, donde se ha registrado el índice menor en los últimos áiez años. (4. Jasanada, J. M.o de la Bellacasa:
ó.4) Cantidado medida r-r:^d icha^Bgrbie

no reunia_esascondiciones-connotaciones entre *o,lt?;rjil,::r",1 vampiricas y eróricas, "H:,1:" peroco-nfluía.;.;p;-;ü;.;:;"dü;,.,H:"":::,ffiiJ:i

cuerpo, que años después háproliferado h;$" il;;;"-; nas desmesuradasproporciones que se han reproducido sabiamente en er sosiasn'"1*rino de Barbie,e'amado "madelman" todo terreno que, Kez, un curiosamente,es el idolo de los niños y no de las niñis.> (J. Sandoval: <. La Vanguardia,

Como tasa, índice o tanto por ciento

5 de ocrubre ¿é tsas.j

Esquema1.2 Esquema 1.2 (continuación)

22 23

Nuclear 2,3 7o

ÁrricaW

Europa

Asia 8ffiffirr-r.*

América del norte

América Latina

óómmóffiómóóó

Oceania

ffiróm*l

U.R.S.S.

¡l||t

Mundo

¡ 2 nacimientos por u 1.000 habitantes

ffifm ffipffi ffifóffió ffiffiómóóóffi

Carbón 27,loA

p"1¡61¿s46yo

o 2 muertes oor I l.ooo habiüntes

. Gas Figura 1.1. Tasas de natalidad y mortalidad a escala continental y subcontinental (1974\.

natural

(1978)' Figura 1.3. Consumoenergéticomundial

PIRÁMIDE DE POBLACIÓN Hombres

+85

= 10 millones : l millón

%

109

8

7

6

5

4

3

2

|

0

012

Figura 1.2

24

3

4

5

6

7

8

910

%

de un la población mundial (1977). (Fragmento Figura 1.4. participación de los estados en mapa mundi.)

situacionesgeométricas de partir' entre otras' de procedimiento el Quizás en estesentido' uuc seanfácilmente"#;li'"b[t' á""vt+ á" n""ttro modelo didáctico iJipott* ,n",,'t"'i'íá"i' por es' l'lsta '" (crrpitulo6)' de la proporcio.--^^ a^'nomento,a estudiarel aspectoteórico pasemo:,:",1#i:^;;'"]

DESARROLLODEL CAMBIO

Pcro,

rrulidad, el lenguale to

20

N

60

120

80

140

1ó0

r80

2W

siguiente. "upiiuro

220

Figura 1.5. Desarrollosbásicos(km/h por cada 1.000rpm): l.^ 7,94;2.' 14,29;3." 21,00;4.' 28,5'l;5.^36,1.Régimenmínimo utilizable:1.500rpm Par máximo:3.500rpm. Potenciamáxi6.500rpm. ma: 5.600rpm. Limite momentáneo: FueNrs:Autopistanúm. 1319,27octubre1984.

identificarlos

y a compararlos.

Aprende

a ver lo que es importantísimo,

porque quiere decir que ademásde mirar debe interpretar la información que recibe. Deberá más adelante relacionar la información que ya posee con el lenguaje que desde el adulto se le pide. Debe poner palabras. Adecuar su conocimiento intuitivo de lo geométrico a las expresionescuantitativas. Y puesto que no basta decírselo,sino que debe asimilarlo, será necesario interiorizar estas ideas, relacionarlas con los conceptos que ya posee,contrastarlas y/o modificarlas, si es preciso. O sea, no se trata sólo de lo que dice el adulto sino también de lo que puede decir el niño, de lo que tiene significación para é1. Puesto que tanto en primaria como en secundaria, no se trata de dar defrniciones,el trabajo deberá centrarseen precisar signilicadosde una forma constructiva. Esto requiere un cierto margen de libertad en cuanto a las formas de expresión. Pasa a ser más importante expresarse,que expresarse bien. Unir el significado y el significante es una construcción de la mente humana nada trivial.

26

27

Marco teórico de la proporcionalidad entre magnitudes L'homme y passe d trauers desf6ret de symboles qui I'obseruent aaec des regards familiers (Ch. Baudelaire.)

2.I.

MAGNITUDES

Y MEDIDA

Por magnitud, entendemosun conjunto no vacío M con una relación de orden (<) y una operación interna (+) tal 9ue: (a ,b ,c e fu I) 1. Ordenación a
6

ó

a :b \*

b
Transitiua y

a< b

b<

c

i m Pl i c a q u e a< ' c

3. Propiedadasociatiua

(a+b)rc:a+(t+i) 4.

Simplificación a + c :b + c i mp l i c a Q u e a :b

29

5. Propiedadconmutatiua a*b:b+a 6. Diferencia a < bsi y sólo si existeun c tal que a * c : b 7. Diuisibilidad ParacadaaenMyn númeronaturalexiste un b, b e M,tal quea : n. b dondenb : b + ... + ó con z_sumanaos. con estascondicionesM admite la multiplicación y ra división por númerosnaturalesy en consecuencia por númerosracionalespositivosp+. 8. Postuladode Arquímedes Para cada c y d e M existeun número natural n tal que d < n.c. A los elementosde }1 los llamaremoscantidades. Elegimoson M un elementoe al que llamaremos unidad. cada a e M permitedividir a e* , áe acuerdocon su orden,en dos partes: Ct:{Qee*lq.ea} Estosdos conjuntosdeterminanlo que se llama una cortaduraen e+. Esta cortaduradeterminaun número,"ul , . R, de la ,igui"ni. _"n".u, r:

Sup {qee*lq.e

{ a} : Supl

es decir,r es la cota superiormínima de I Por definiciónr representaramedidade a con respectoa e. Es decir,er númeror puedetomarsecomo una representación de la cantidada. Como nomenclaturas formalesindicaremos: med"(a): ¡

; m"(4) : r ; a : r. e ; r :

cantidades) I Gurtnentre

. Si r es un número racional se dice que las cantidadesa y e son conmensurables (estoes,con medidacomún). Sea r :

T, ""

tiene entoncesque a contienez partes alícuotaso

L flivisiones n-ésimasde e. Recíprocamentea todo número racional "o.r"r(basta era.!racuntn consid número este es medida una cantidad, cuya ¡ron
2.2. PROPORCIONALIDAD

ENTRE MAGNITUDES

Diremos que dos magnitudes son proporcionales si se puede establecer un isomorfismo entre sus cantidadesf : M --+ N tal que: I. II. III.

Si a < á implica f(a) < f(b),la relación de orden es monótona' y f(a + b) : f(a) + f(b), es decir, se conserva el orden y la suma' Si la magnitud es continua la proporcionalidad f queda univocamente determinada dando la cantidad homóloga/(a) de una cantidad cualquiera y en particular las cantidades correspondientes/(a) de una cantidad cualquiera y en particular las cantidades corres: pondientes a una unidad. En efecto si a : r'e entoncesf(a) : rf(e)' f(r' e)

Así. las medidas de cantidades correspondientes,a, f(a) con unidades correspondientes,e, /(e) son iguales

e:re

; f(a):rf(e)

30

UNIVERSIDAD DISTR|,TAI FRAt*(l'co lo5[ Dt {Éi:i"' S i S T T AD 4A [ íJIBLiII;i

31

Basta para ello distinguir los sigurentescasos:

1. reN,

2. ree*,

,-n;

e=n.e:e+.1

1. Sirel/,

En efectotodas las operacionesde medida de ¿ con unidad e, se fundamentan en las relacionesde desigualdady suma las cuales se conservan íntegramenteen la correspondenciaestablecida.Por tanto, Ios resultados para medir ¿ con unidad e seránlos mismosque para medirf(al con la unidadf(e) y, por consiguiente,las medidasobtenidasserániguales. Este resultado permite reducir la medida de ciertas cantidadesa las de otras proporcionalesa ella, con lo cual se justifica Ia medida indhecta de cantidades.

3. reR*\e* .+,

y por tanto f(a) : f(e + .'i. + 2. SireQ+,

")

r:!:!*''

: .f(e) + .L + .f(e) : n..f(e)

2.3. CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD SeanM y N dós magnitudesproporcionalescontinuas,wa f la correspondenciaentre sendascantidadese y u dos unidadesrespectivasóe M y N.

*)

y como

f(e): tH: rG"+ !! .:):

rG). ::

.'G)

por tanto

4D:)n"t

,

-

k : lfl

Sea(cr, cr) la cortadurasobre los númerosracionalesdefinidapor r, si formamoslas clasesCr-.e, C, j .""'.i"rin""ción es una cortadura en el conjunto de las cantiáades " y a"nn" segúner axioma de continuidad,una única cantidad "án,nr*urJtl, ¿. r.p".á"ion. Tal cantidadtiene evidentementecomo medidael númerodado por (Cr, C). Por ranto,de ra monoronia def y'iirii condicionesI y II se verificará automáticamenre la condiciónIII,; á";;iiq: r.e entonces : -f(a) f(r.e)

n"i,.;il;áffi"que ra ;#?,;' j::l ll,Hl,l:o"r(, ";;ü l,¡¿"¿ 32

{r} {"}

Como las magnitudesM y ,lú puedenser descritascompletamentepor sus medidas ffi" y ffi- respectivamente,entoncesla proporcionalidadf pueóe expresarQe como una aplicacióng de R* en R*, específicarnente

;'f(e)

3. Si r e R+ \ O*, significaque a es inconmensurable con e.

e+u

Podemos escribir /(e) : k' u Diremos entonces que k es la constante de proporcionalided respecto de las unidades e y u.En estesentido la constante de la proporcionalidad es una representaciónde la correspondenciay por eso la denotaremos por:

y por tanto

tr,: \T "):,G" *!:**)):4: ) .:,.,G)

"+ N

f:M

E:

ffi u o fo m "r

asi g(r) : m"(f(r' e)1. Por lo tanto g satisfacela ecuaciónfuncionalde Cauchy(182U g(x + y) : S@)+ C0) con x,y€R

v.rl

y al ser g monótona, es decir que conserva el orden, admite como única solución, que caracteriza la proporcionalidad:

g(r):k'r

conreR*

33

para cualquierconstantek, g(r) : fr.r, satisfacela ecua_ . . Efectivamente, ción [2.1]. Recíprocamente, si g esmonótonay satisface la ecuación[2.1], dadosdos númerosnaturalesfr, fr ) 0 se cumple

son las cantidadeshomólogas respecto de una proporcionalidad/con medidas correspondientes {/y r'2, ttt, ..., r',} respecto de la unidad ¡l entonces se tiene

c(r): rH :rG*' ,.;):' ( ;)* ' r * , ( ; ): ", G ) por tanto

:'(:." * :'(;)* jr*,0 : r(T) ) ^,G):!s(r) es decir,para cualquiernúmeroracionalpositivo r : L n cV):k'r

con k:s0)

Por último, como todo número real vienedeterminadopor cortaduras sobrelos númerosracionalesdefinidosmediantela relacióndé orden,al serg monótonq,so cumplirá la expresiónanterior sobrelos númerosreales. La aplicacióng sellama la funciónlineal representante de la proporcionalidad.Secumpleque ft : g(1) : mlk), es precisamente la constanteen la proporcionalidadf. Evidentementelflr"x¡<", : l, lo cual significa que si para medir dos magnitudesproporcionales, seadoptanunidadescorrespondientes,en la proporcionalidadlas cantidadescorrespondientes tienen la mismamedida.en efecto: Seaa una cantidad de M y "f(a) e N la cantidadcorrespondiente a la proporcionalidadf.sea r la medidade ¿ con respectoa la unidade,e : r.e, entonces como f(a) : f(r. e) : rf(e), r también será la medida de la cantidadhomólogacon la unidad correspondiente. En contraposiciónsi la cantiadf(a) no se mide con la unidad correspondiente f(e) sino con otra unidada, su medidar' ya no serála mismar, sino éstamultiplicandopor k, siendok la constantede proporcionalidad,en efecto: 'f(a) : r' 'u f(ai : f?- e) : r.f(e) : r. k.u

f 't rL

entonces ¡4' - {a'r a'2,a\, ,..\ 34

/' 13

- ... : "u : ..- rn

kconstantede proporcionalidad

Estenúmerok. cocientede las medidasde la magnitudN por las medidas de la magnitudM es frja para cada proporcionalidad,pero varía de una a otra, y siive para caracterizatcada porporcionalidad.Dos proporcionalidadesse dicenigualescuandoson igualeslos cocientesk de la medidade las cantidadescorrespondientes. Este número k se puedea su vez tomar como medida de una nueva Si las unidadesde ambas magnitud Z que se llama razónentremagnifudes. simbólicamenteasi : !' son e y u, la nuevaunidad u se representará e ' es En el casoparticularde que las magnitudesM y N seanhomogéneas, de la independiente es proporcionalidad : de la constante N, decir,M elegida: unidad k : lfl*

: lff""para

cadae, u e M

En efecto,para cualquierunidad a la medidam con respectoa u cumplelas propiedades. siguientes ' .

I. II. III. IV. V.

m es una biyecciónentreM Y R+ a < bimplicam (a) < m(b) m(a * b\ : m(a) + m(b\ m(e) : 1 m(qa) : qm(a\para q e Q*

Estaspropiedadesaseguranque tn es una proporcionalidadentre M y f(e)' m(f(e)) R+ por tantó tas medidai de las cantidadescorrespondientes iguales' m son a e y m(e)respecto con unidadescorrespondientes

en conclusión| .u : r. u : r.k. u, de donde r, : k. r En generalsi M : {a¡, a2, at, _.} son cantidadesde M con medidas correspondientes respectode la unidad e, {ry 12, 13,...,r,\

- y '2 rz

med"f(e) : rted,1"¡ ^V@) Así

('))] med'r"r[",(f k : lfl"" : med"f'(e):

nV@ : #P med,(e) m(e) 35

Ahora si e :

r' E se tendrá que f(e) :

rf(u) y en consecuencia

*"d:!llÍI _ r.med,f(ul r t1J"" _ : =;LJ med"(r-u) r.medu mmo s€ quería dernostrar. En resurnenla constantede proporcionalidadentre dos rnagnitudeshomogéneas,es la razón de sus cantidadesy es igual a la de sus medidas tornadascon la misrna unidad.

Se cumple también que si u 1 r, f,rc(u) < f'p(r). Asi f,,o será una proporcionalidad en M La constante de proporcionalidad de fo,, coincidirá precisamentecon su razbn. En efectosea ft : lf",o),.,para u unidad en M.

'f"n@): k' u ahora por la definición de f",o se tendrá simbólicamente

2.{

RAZONES TNTRE MAGNITUDES

,,

A IO:-

Dadas dos cantidadesa, b, la raz6n entre ambas se puede definir sin L¡acer¡eferenciadirecta a la medida. Bastapara ello considerarla cortadura (p ,, p r) sobrelos númerosracionalespositivos;

Pn :

,

{T'

rn,n e ulna < mb}

Ku u

es decir que (a, b)y (ku, a) dehnen la misma cortadura y como la cortadura definida por (ku, u) es k, se concluye que k : r, razon de (a, b)' A más a más como la cortadura (Pr, Pr) es equivalentea la cortadura (Cr, Cr) donde Cr : {Q eQ *lq'b>a}

"

Cz: {qeQ lq'b
": { T t m ' n e u l n a > m b l entoncesel número real r que defineserala raz6nentredichascantidadesa v ú. Indicaremossimbólicamenteque alb:r To,da razón entre cantidadesdetermina una proporcionalidadentre las cantidadesde la rnisma magnitud. En efecto,definimosf"n@) : c si y sólo si

y como (Cr, Cr) defrne la medida de ¿ con respecto a á, podemos concluir que la razón alb coincidecon la medida de a respectoa b y por tanto con el cociente de sus medidas tomadas con la misma unidad*. Por otra parte con el anterior resultado podemos reducir a proporciones numéricas las proporciones entre cantidadesy aplicar a éstaslas denominaciones y propiedades de la Aritmética de las mismas. Así podemos determinar efectivamente la razón enfre dos cantidades a, b aplicando el mismo

alb : 9, para a, b, c, d en M d

dirernos que {a b, c" d} son proporcionales y a la cantid ad c La llamaremos la cvarta, proporcional. fap es va automorhsmo en M, efectivamente. O

Dt

sea - : out u2Q

t: 36

0,*a"

"U

a

:

D¡

Í

pata ur, Lt21u1. D2,de M, se tendrá que

portantof'pfut* uz): ut I ur: f"p{or)t f"tÁur)

* Con esta definición se recupara toda la teoría de razones descrito en el libro V de los Elementos de Euclides. En efecto,la definición 6 del libro V de Euclides dice que a y b esIánen la misma razón que c y 4 cuando, para todos los números naturales ny m,se tienen las implicacionessiguientessegún los tres casos posibles: Si na > nrá -Si na : mb --Si ¿a < mb

entonces nc > md. entonces nc : md. entonces nc < md.

Esta dehnición es equivalente a decir que (a, b; c, r/) son proporcionales, es decit, a y b tfcterminan la misma cortadura qw c y d. La cortadura determinada para dos cantidades a y ó sobre los números racionales positivos es: (P,, Pr), (véase[J Dhombres, 1978, págs. 28-56]) JI

esquema(algoritmode Euclides)que sirve para calcularel máximo común divisor de suscorrespondientes m;dida. u'r. " J1

t

s2

.t3

fl

r2

Sn- 2

J¡ -

fn- !

fn- 2

fn- 2

rn

J¡

1

fn-

J¡ *

I

rt

I

que cumple: L

P(a, b) :

,s,- cociente ri -

resto

Propiedad de simetría P(b, a), Para todo q, b e M.

Propiedad de semeianza

II.

P(ra, rb) :, P(a, b), Para todo r > 0 Y a, b e M

l
Aditiuidad

P(a, b + c) P(a, b\ * P(a, c) c siendoa, b, c e M. a4byá< si IV.

as -:-: bt

lim P(an, b,) :

Jr*

si ¿ :

P(a, b)

lim b,. tr+@

, ' lo

I

+

lim an, b : ¡+@

¡ +@

""

""*,

Como las cantidadss 11, 12; rr> ... van disminuyendo, pronto llegan a no ser apreciables'

I

Continuidad

si desprecia-oJpor ejempro ,"gurfoo;il; "i

P(a, b) > P(a, a) :

P(a, b) : P16,o¡

I

tenemos

rr -F _ como valor aproximado de la razón. s2

a

2.5. TEORIA DE LA PROPORCIÓN a ( b,a { c P(a, b) + P(a, c) :

Dadas dos cantidades a y á, se define la proporción de (a,ó) como el cociente

P(a,b): '

m4x(s'4

(a, b) -+

38

Iv

min (s, l)

siendos, r las medidasrespectivas de a y á en una unidad determinada. La proporciónes unaaplicaciónp qúe,a todo par de cantidades, asigna un númeromayor o igual que 1, es decir.P:M x M-

P(a, b + c)

¡¡.n--

P(d- b,) :

P(a, b)

(1, +o) p(a, b)

Figura 2.1.

39

En efecto,si se define: p(a, b') : máx (s, /)/min (s, t) 2 l. l. p(a, b) : máx (r, ,)/mín (s, r) : máx(t, s)/min (1,s¡ : p@, a) máx (rs, rt) max (s, t) rr tl. plra, rb) : :Z:- -: : p(a, b) si r > 0 min (rs, rt) mín (s, t) III. Si a ( mín (á, c) entoncesresulta

:t'l *Ít'1 ) + p ( a , b*) p ( a,c) =' r *rnír6,r) :;+;: mr"(rJ) -1 *Í" '1 )

t r r :P(a'b * c) "

si m(a) : s, m(b) : t, m(c) : y

tv.

lim p(an, bn) :

¡-@

n) 1i^máx !sn'

^ e*(n ^sn, \r+@

mln l.tr?,n)

(r-in

\ r +@

t i- r) r+@

/

,n, tim ,) 4r@

/

t?^ t) : : p@,b) Ít' mín (s, l) De hechoes.tas propiedades geométricas de la proporciónson esenciales, es decir, caracterizanla fórmula usual del cocientedi la dimensiónmayoi por la menor (véaseV. Alsina y E. Trillas, 1984,pág.259-260). Asi podemosconcluir que la proporciónde dos magnitudeses la razón entrela mayor y la menor. 2.6. NOTAS HISTÓRICAS La noción de proporción vieneasociadadesdela antiguedadcon la idea de precisarcuantitativamente la noción de semejanza, la cual bajo la forma del teoremade Thales(636 a 546a de c.) se remonta ala más alta antigüedady es de uso corrienteentrelos arqultectos. Estanociónvagade semejanza tienesusantecedentes en la de comparar cosasde la mismaespecie, de hallar sus razonesen el sentidocorrientedel término,es decir,de querermedir susmagnitudes. En los documentosbabilónicos,egipciosy chinos,seencuentransiempre las razonesy las proporcionesen situacionesparticulares,eventualmente llamadasmedidas(peoórr1g): - La proporciónde la medidageométrica(aual"oyr-a). a-b b-c

40

- La proporciónarmónica(de origenmusical): =

:

a b

- La proporción aritmé ri"ut fi Las,basesde la idea generalde raz6n son expuestosen el libro V de los Elementosde Euclides(300 a. de C.) utilizandoel método axiomáticodel y proporciones. Estametodoloencadenamiento de las axiomas,definiciones gía permitehacer una descripcióngeneralde las proporcionessin utilizar las nocionesaritméticasde los númerosracionalese irracionadirectamente les y las geométricasde la semejanza.Se obvian las nocionesde limite o de continuopara salvarsede las paradojasde Zen6n. La deliniciónesencialdel libro V es la núm. 6 transcritaen el lenguaje actual en la sección3 del presentecapítulo, que describela noción de proporción(i"óyoq).Esta complicadadeliniciónse mantienehastael siglo xx. Al final de la Edad Media sele da una connotaciónpráctica,entendiendo que hay proporción cuando existeuna misma parte .Esta versiónprácticaes retomadaen el inicio del sigloxx afirmandoque(a, b, c, d) forma una proporciónsi se cumpleque:

entonces fi4 :

t/t'

de alb, lo cual represenLo queconducea aceptarsólolos valoresracionales es Dedeta una seriaincomprensióndel texto de Euclides.Posteriormente quien dará su formulaciónactual vía las cortaduras,tal kind (1831-1916) como se describeen las anterioressecciones. En este rápido recorrido histórico sobre la evoluciónde las ideas de proporciónhay que mencionarlos tratadosmedievalesde Nicole Oresme (1323-1382) Algorismusproportionumy las de Lucas Pacioli (1,145-1514) Summade Arithmetica,Geometria,Proportioneet Proportionalitay De Diuina Proportioneespeciede enciclopediadel saber matemático de la época, donde se recogela teoria de las proporcionesde Euclides.

2.7. INVESTIGACIONES Y EJERCICIOS l. Comentar lassiguientes defrniciones de magnitud:

ab

b

b-

¿

a) (J.ReyPastor,1948, 4l

ó. c) (P. Puig Adam, 1947,pág. 98). d) (C. Chamorro y J. M. Belmonte, 1988, páe. 142).

2. Enumerar y justificar el cumplimiento de las propiedades(1) a (9) de la seccióp I para las siguientessituaciones: a) Sensacionesinternas (por ejemplo, el dolor hsico o moral). b) Sensaciones periféricas (táctiles, visuales, auditivas). c) Conjunto de las directrices de las rectas del plano. ü Conjunto de las clasesde segmentoscongruentes(longitud). e) Conjunto de las clasesde segmentoscongruentes(amplitud). La pensantez (cualidad genérica de los objetos que se equilibran en la f) balanza: pesos i guales). d Los números naturales como cardinales de los conjuntos frnitos. h) El conjunto de los números racionales. i) El conjunto'de los números reales. Conjunto de las clasesde hguras (o cuerpos) equivalentesen área (o volu)

menr. k) Las fuerzas. D La ertergia. m) La intensidadde la cargaeléctrica. n) El color. o) La temperatura. p) El tiempo horario. s) La velocidad. r) Los sucesosaleatorios.

3.

Deducir razonadamentela proporcionalidad o no de las siguientescorrespondenclas: a) Pesos de cuerpos homogéneos + volúmenes. b\ Coste postal de una mercancía + peso. número de quilates. c\ Costesjoyeros de un brillantes d) Cuerdas de una circunferencia + arcos correspondientes. e) Razones corporales de un bebé + razones corporales de un adulto. ángulos centralescorrespondientes. Arcos de una circunferencia n d Ley de la palanca: potencia y resistencia - brazos correspondientes. h) Dilatación del mercurio en un termómetro + temperatura.

4. En las relaciones proporcionales anteriores, determinar e interpretar las correspondientes constantes de proporcionalidad. 5.

Comprobar que las medidas de una misma cantidad con unidades dist'intasestán en razón inversa de dichas unidades. Deducir también que la nueva medida de una cantidad es igual a la antigua multiplicada por la medida de la nueva unidad con la antiqua.

Medir las siguientescantidades con las unidades que se indican. Completar la siguiente tabla.

Unidad

Cantidad

Longitud de la diagonal de un cuadrado.

Lado del cuadrado.

Amplitud del ángulo de un triángulo equilátero.

Angulo recto.

Medida

Grado centesimal. Peso en cm3 de agua destilada a 4" en Paris n

parte Diezmillonésima del cuadrantedel meridianoterrestre que pasapor París. Extensión del dodecaedro rómbico.

2 0

lkm

{ r , 2 .3 ,4 ,s ,6 )

6.340

t12

7. Calcular en forma de fracción continua las medidas del ejercicio anterior.

8. Comparar las medidasaritméticas,geométricay armónica,ordenándolasde menor a mayor. si y solo si es la 9. Demostrarque un rectángulotieneproporciónconmensurable reuniónde cuadradosigualesno solapantes.

43

42

Esta es la teoría matemática,el lenguaje formal, que utilizamos para hablar de proporcionalidad. Pasemosahora (capítulo 3) al estudio de la utilización y aplicación del conceptode proporcionalidadtanto en Ia técnicacomo en la ecónomi4 en el arte, etc.

Utilización y aptric&clon at

Paralelamentesetrabaja en el crilculonuméricodeterminandoel valor de algunos números irracionales espec'ialmenterelevanteso calculando distanciasinnaccesibles: grandesy pequeñasdistancias(por lo tanto con grandesy pequeñosnúmeros).


GEOMETRÍA, rÍCmc^r

Y ECONOIVIIA

Ll propor',ciondidad de segmentoe br longitudes son magnitudes muy importanteg ya que dan un modelo un tipo de rnagnitudes llarnadas magnitudes lineales. La magnitud viene determinada definiendo por superposición"sobre las atas€sde iguales,la suma y la ordenaciiin La stm¿ de las clasesse define, la clase del segmento suma de los segÍicotos, poniendoloe uno a del otro. Análogamente se,deline la ordcracióo, haciéndoloe en un mísmo extremo y eomparando la coincidencia o no del otro [¡ rproporciotalidad gEométdr;a que Ee establece entre longitudes es con eI clásiao Teoremade Thaks: dos rectas cortadas por un lwz fu paralelas, habrá un mhnero :iazan eorrstefie de proporcímclidad

entrc los $egmentos de una y

En efecto,comprobaremosque existe una correspondenciabiunívoea que la suma y el orden de dichos s€gm€otos: i r y / dss reciasñjas"Denotemospor ¡,1 ': lAB, CD, AM,...), lot determinados por lm puntos de intersección sob,re¡ las rectat AnrálogamenteM : {A'B', C'D', A,M,, ...}, serán la serie de determin¿dospor los puntos correspondientesen la otra recla / Fig. 3.1).

4

45

Defrnimos la correspondencia f : M --+M'

aritméticasde las proporfin general,teniendoen cuentalas propiedades cionesse cumplirá: AB ñ:

tal que f(AB) : A'B' entonces/cumplelas siguientes propiedades:

A'B' AB A'B' para todo A, B, C, D en r , 'fi : Eo_

Aunque el teoremade Thales sea la aplicaciónmás signihcativade la a la Geometría,su utilizaciónmás prácticaen estecampo, ¡rrgporcionalidad y sobretodo en la Técnicay la Ciencia(como veremosmás adelante),lo constituyelos siguientesresultados:

l. La correspondencia es biunivoca: si f(AB) : f(CD)

OB' (para todo A, B, P en r y A', B', P' en r' paralelaa r * por el puntofijo o)' PP" AA'y BB' pasando A'P' .y AP : ?,f OP OP' l)

entonces AB : CD puessi r y r'son paralelas setendrá AB : A'B', CD : C'D', y al ser A',B',: f(AB) : f(CD) : C',D' se siguequeAB : CD. Si r y r'no son paralelas,seefectúala traslacióndel trapecioABB'A' eu.ehacecoincidir AB con CD; el segmentoA'B' se transformaráen A" B" comprendido entre las palarelasCC" y DD' con lo que se tendráA'B' : A" B" (por y A"B" : C'D'(por segtraslación) mentos de paralelascomprendidos Figura 3.1 entreparalelas), con lo que sepuede repetirel razonamientodel casoanterior. 2. "f(AM + MB) : f(AM) + f(MB), puessi Mes interiora AB,la paralelapor M estaráen la bandalimitada por las paralelasAA, y BB,, por tanto M'será interior a A'B'. Así si lB : AM + MB

A'B' ;:

Al esquemagráhcode la figura 3.2,lo llamaremosesquemaPROP, de en el Laboumpliarepercusióndidácticacomo sedescribirádetalladamente ratorio de Proporcionalidad(capítulo6). Para comprobarlas proporciones1) y 2) trazaremospor B la paralela BB" a OAA'y apliquemosel teoremade Thalesa la conltguración(Fig. 3.3) que resultade girar la figura 3.2.Se tendrá A'B' OB' _ A'8" OB

f(AM) + f(MB) : f(AB) : A'B' : A'M' : f(AM) + f(MB) Figura 3.2

análogamente se verificará: 3. f(AM) < .f(AB) si AM < AB. En consecuencia f será una proporcionalidad(véasecapítulo 2), y por tanto existiráuna constantede proporcionalidad: , f(ABl k - ----:---_____ AB

46

Figura 3.3

permutany, por serA'8" : ,48 seseguirála proporción1)y análogamente, do los mediosresultarála proporción2). De la observacióndirectadel esquemaPROP se siguela determinación gráfrcade la longitud c cuarta proporcional de tres longitudesdadasa, b, d: a _ c. bd 47

Bastapara ello tomar los segmentosb : Op, a : Ap y d : Op, enla proporción 2) y observarla hgura 3.4. (Nóteseque la inclinación del segmentoa con respectoa á esarbitraria y en particular puedeser perpendicular.) El esquemaPROP (Fig. 3.2)admiteotra interpretacióndesdeel punto de vista de triángulos asociadosT y T':

med,(c) : !

^ed'(o')

siendo a' : f(a)

Figura3.4 Es eviderite; ue T y I, tienen sus ángulos asociadosiguales y sus lados asociados proporcionales, lo cual equivale a decir que los dos triángulos z y Z'son semejantesEn general, dados dos ternas de puntos (O, p, A) y (O,, p,, A,) en correspondenciatal que O ' P' o P:

P'A' p A:

A ' O' A o :*

queda determinado el concepto de semejanzacomo transformación s. Así dos figuras F, F'se dioen semejantessi existe una semejanzatal que J(Fr) : Fr. La relación <es de equivalencia y clasifica lJ familia de figuras del plano en clases de equivalencia, que se denominan formas del plano. En el caso particular de considerar los rectángulos, las clases o familias de rectángulos semejantestiene la misma p.oporciótr entre sus lados.

3.1.2, Cálculo de medidas indirectas El conocimiento de que entre dos magnitudes existe una proporcionalidad, permite operar con las cantidadesde una en lugar de hs óorréspondientes de la otra. Así las medidas de las cantidades de una magnitud pueden obtenerseindirectamente conociendo las medidas de las cantidades homólogas y la constante de proporcionalidad entre ambas magnitudes.Este princi48

3.1.3. Cálculo comercial es usual En las aplicacionesa la vida cotidiana,economía'sociedad"'' por magnitud misma una pr."iru, tu p.oporcionulidadentre cantidadesde 49

medio del tanto por ciento,esdecir, el producto de la constante de proporcionalidad por cien. L a ex pr es iónde l ta n to p o r c i e n to : n o í :1 0 0.k i ndi ca que ¡¿ es l a medida de la cantidad homóloga a la que tiene 100 como medida expresadas en la misma unidad. Formalminte se escribe: n :

mJ@)

tal que

, f:M-M

m"(a) :

s i e n d o k :l " ff._

1gg

a,eeM

Describimos a continuación el ejempro característicode tanto por ciento en cálculo comercial. En las situaciánes comercialesque conlrevan ahorro o .d entre el capital C (dinero invertido o ucido o recargado),dentro de ciertos roducen o reducen r unidades al año, tr ciento llamado rédito, se representa r por 106. Cada unidadr proouce , : es decir, el tanto por uno. 100_-, El interés,producido por un capital c al cabo de un año es por consiguiente:

ci:9 !

100

l,uboratorio de Proporcionalidad se analiza con detalle el tratamiento didáctico del tanto por ciento. Otro uso cotidiano y fundamental de la proporcionalidad, lo constituyen krs repartos proporcionales. Tal como el propio nombre indica, se trata de rcpartir una cierta cantidad de una determinada magnitud en cantidades prcfijadasde otra magnitud que se supone proporcional a la primera.Parala dcterminación de las cantidades correspondientesse hace uso de la linealitlad respecto a la suma y de la constante de proporcionalidad. Formalmente se da una cierta cantidad n de N que se quiere repartir proporcionalmente a varias cantidades conocidas, a¡ ..., e6 de otra magnitud M que se supone proporcional. Hay que determinar las cantidades correspondientesa las a,, es decir,f(ar) para (1 < t ( z). Tomando medidas cn ambas magnitudes y sin cambiar de notación, se tendrá

f(ar+..'ia^):n Por la linealidad."rp".to'd. la suma n: f(ar) + ... + f(a^): nt + ... + nn con n,: f(a) Por otra parte, seat la constantede proporcionalidadde I se tendrá paracada(l ( i ( ln)

y al cabode f años: Cil : ? 100

,- f(a,) ei

Esta flórmula sirve también para averiar el descuentoD de una letra de cambio, es decir, el dinero que óobra un banco comercial por negociarra:

50

n ar +. . . +an

ni

aL+. . '+an

100

últimocasosueleexpresarse€nmeses: t: ! oendías ,: ! Hacien_ do el adecuadocambiode variabre,e outieln2e .,0"r*""," Existen multitud de otras situacionescotidianas 'tanto "-r'"Í1""0,"",.. donde el por crentose utilizacomo índicede deducción,por ejempro de cuoü íntegradel lmpuestosobrela rentade las personasfisicis, comolmpuestosobreel valor añadido(IVA), como descuentben comprasy ventas, aumentosde salarios, tarifas,resultados,composrcrones, producción,etc. En capítulodedicadoal

a , I'..* a ^

asr

D :y't

donde N es el varor nominal o capital importe de ra letra de cambio.Er descuentoD sustituyeal interésaf cabo ie los ¡ años que faltan para el vencimiento.Er número ¡ de años puedeser entero o fraccionario;en este

f(at + '.. * o^)

e¡

de donde tt¡ : :--l------;--:-. Qr+ .. . +An

a¡

para cada

i tal que

I (

i ( z

Con lo que quedan unívocamente determinadas las cantidades correspondientes. Para su tratamiento didáctico se remite al lector al Laboratorio de Proporcionalidad.

5l

3.2. ARTE, CIENCIA Y ECOLOGÍA 3.2.t.

L¿ divina proporción

La proporcionalidad er el Arte y en la Arquitectura en particular tiene dos objetivos básicos:uno visual que consiste en crear un )aparente por repetición de figuras semejantesy otro formal basado en (relaciones) entre formas. El establecimientode deterrninadasproporciones viene condicionado por conceptos tradicionales,estéticos,morfológicog antropológicos, históricos, constructivog etc. La proporción más célebre en la historia del arte, que ha rcalzad,olos conceptos anteriores es sin duda la divina proporción o número de oro. un rectángulo de lados a y b se dice con proporción divina o áurea si p (a , b )

1+

/7

:

zz

226 |

JVA

,h'(\"'

' -.v -.se Ie di ce número de

oro y se le simboliza por la letra griega $. El rectángulo con proporción $ se construye a partir de un cuadrado, abatiendo sobre un lado, desdeel punto medio de éste el segmento que une dicho punto medio con un vértice cualquiera del cuadrado que no esté alineado con dicho punto (Fig. 3.5).Este rectángulo se llama áureo. Estadísticamente es el rectángulo reconocido como de proporciones más estéticas. El número de oro @se correspondecon la división áurea de un segmento, es decir, división en media y exrr€ma razón (Euclides II, 11) (Fig. 3.6).

140 /

A\.'',\

r-¡- f <

1 .6 1 8 ... A ta l n ú m e ro '

183

86J

Figure3,7 El uso aclual más significativo de las razones áureas en el diseño arquitectónico, es la fijación de las escalasde proporciones o por el arquitecto Le Corbusier. En el Modulor se hja la altura del hombre estándar cn 183cm, y se establece una escala o subdivisión de la ltgura humana jugando con razones áureas (Fig. 3.7). A través de dicha escalase puede dar una escalarelativa a las posiciones humanas más habituales,escalaque marca muy estrechamenteel nivel constructivo proyectual, tanto de la arquitectura como de los elementossupletorios incidentes con ella. Dicha escala permite cfear una arquitectr¡ra modular reproducible en serie (Fig. 3.8).

C

Figura 35

Figura 3.6

En efectosi el segmen to AB sedivide por un punto C de forma q"

:

#,ilamando

AC : a, CB : á,resulra

+

:

#

. l,"rhacemos ;:

1 resultala ecuaciónI + - : r, y por tanto la ecuaciónde segundogrado xz - x - 1 :0consoluciónpositiva *:t 52

*rJt

: ó:;:#

Figma 3.8

53

De hecho,al anarizartodas las medidasintroducidassepuede apreciarla coexistencia de dos seriesnuméricasconcretadas en basea la medidad : 183cm. Serieroja: 6, S, ll, 16,27,43,70,tt¡, tl¡, ffe, ... Serieazul: 12, lO, 22, 32, 54,96, l4O, 226,366,... La serieazul es doble de la roja y ambasson de Fibonacci, es decir, cumplenla regla generalUn: U,_t * Un_2.Se verifica ademásque TI

lim "j,*1 : 4 Un ¡+@

Mientras Itulcs iguales, por ejemplo, longitudes, que llamaremos internas' la que representa abstracto r¡uo [,s- ruroné, intérnás definen un número las la otra, a unidad como mcdida de una de las magnitudes tomando flttonos externas varían de un fenómeno a otro, así al variar el movimiento que rrrrihrrme,varía la velocidad, es decir, el número k. Los distintos valores magninueva una de medidas las como ¡rrrcdctomar k pueden considerarse será la iud. cn este caio la magnitud velocidad. La unidad de velocidad de la unidad recorre tiempo de unidad qu. .n una móvil vckrci
3.2.2. Las constantesflsicas

dad.

', :', tr

54

12

-.,.

- l¡

3.2.3. La densidad de Población Hasta ahora las magnitudes consideradaseran divisibles y continuas en el sentido de exigir las iondiciones (7) y (9) en su dehnición (véasesección 2.1). Si se prescinde de dichas condiciones, se obtiene lo que se llaman magnitudes-discretaspara las que sigue valiendo, con las oportunas modifrde los .u"tna., los resultadosexpuestosen el capítulo anterior. Tal es el caso que El ejemplo N' naturales números de elionjunto con sistemasisomorfos

55

,

$

0 t0

0

\

2

0

2

ll

2l0l

2

0

0

0

I

I

01013 3l

0 I

I

ll210 0

I

0

lm Figura 3.9

si cada hexágono tiene un área de 0,081 m2, la densidad estimada será de

10,01individuos por m2.

3.3. CÁLCULO

consisteen contar todos los individuos de una pequeña unidad de superhcie, por ejemplo un cuadrado, un hexágono, un rectángulo, o un trozo de una red de dichas figuras, que sea representativo del área total y del que se conoce con precisión su área y extrapolar el promedio al área total. En la figura 3.9 se puede visualizar la manera de obtener la densidad media de una población. Se toma como unidad de cálculo una malla formada por 37 hexágonos,el número interior de cada celda indica el número de individuos localizados en cada celdilla. Asi la densidad media será: d:

56

30 individuos : 0,811individuospor hexágono 37 hexágonos

NUMERICO.

EL N[.]MERO

'T

Por esto, y por otras razones,el concepto de número racional se convirtió, para ellos, en la base de la descripción del Universo. Relacionadas con esta idea surgieron dos generalizacionesimportantes: 1) a nivel de medida de longitudes: dos segmentoscualesquierason conmensurables,y 2) a nivel de interpretación del mundo: el espacio es discontinuo por naturaleza. La explicación fisica que los pitagóricos daban del Universo pronto fue acompañada y ampliada por explicacionesmetafisicas.Todo esto funcionó hasta el momento en que se dieron cuenta de que en un cuadrado, la diagonal y el lado no son conmensurables,o sea, no puede hallarse una unidad contenida un número entero de vecesen la diagonal y a la vez un número entero de vecesen el lado. El conocimiento del número irracional J2 y de otros como el número z indujo a realizar muchos cálculos y muchas reflexiones sobre lo finito y lo inlinito, la continuidad y la discontinuidad..'

" !xr" 'li$f;fi Fi{quoÁ?

Veamos un poco de la historia del número z. Cuando en el Antiguo Testamento (II Crónicas 4.1) se describe la construcción del templo de Salomón en Jerusalem se dice: Esto indica que los hebreos tomaban el 3 como valor de la raz6n de la longitud de la circunferencia al diámetro del círculo. Valor que tomaron durante años tanto babilonios como egipcios y chinos. Parece.ser que la razón numérica 213 representabala relación entre el Yin y el &ang y, por tanto, tenía un valor simbólico muy grande lo que parece explicar la permanencia a través del tiempo de la aproximación 3 para n. Así en el círculo de radio I perímetro del círculo

-

perímetro del hexágono _ 6

diámetro

diámetro

2

:3

aproximacién muy arcaica y que ya habían dado los clásicos de la dinastia Hans de China (entre u a. C. y u d. C.). En el papiro de Rhind, copiado hacia el 1800a. C. por un escriba egipcio llamado Ahmes (pareceser de un texto anterior en uno o dos siglos),se da el cálculo del área de un circulo con diámetro d y se llega a la expresiór

/8 )t

"\ t "/ '

La aproximación dada para z es de:

, *

3,1605valorPorexceso # -

Euclides(300a. C.) que escribiócon maestríasobrelas relacionesentre magnitudes,no entró en el cálculo numéricode los númerosirracionales, incluso en el libro X donde da una clasificaciónde éstos.Introdujo la cuestiónde la incommensurabilidad de la raz6nn en el libro XII. Asi en las dos primerasproposiciones de estelibro dice: l.

inscritosen un circulo tienen áreasque Dos polígonossemejantes estánen razón igual al cuadradode susdiámetroscorrespondientes Ad 2

v-a¿

Las áreas de dos círculos están en razón igual al cuadrado de sus diámetros C

d2

C'

d'z

Peropareceserque el cálculodel valor exactode z, relaciónentreel área tlc un círculoy el cuadradodel diámetro,no interesóa Euclidesy no aparece cn los Elementos.Hay que tener en cuenta que, por principio, Euclides ccntrósu trabajoen la teoríade las proporcioneslo que le permitiócompaestudiarlos casosde igualdadpero,en general, ror razonesy especialmente c$tono requeríaconcebirla raz6ncomo un valor numérico.A pesarde ello y conel métodoque utilizó preparóel terrenopara el cálculopor defectode zr. Es evidente,por otra parte,que tanto los egipcioscomo los babilónicos tcníanya una ciertaprácticasobreestoscálculosnuméricos,cálculosque sin duda eran familiaresa Euclides. Fue Arquímedes(237a 218 a. C.) que supo conjugaren sustrabajosla matemáticapura con la matemáticaaplicadaquienen su obra hizo un estudiodel valor numéricode z. En la segundaproposiciónde estelibro partió de la aproximaciónsegún ls cual el perímetrodel círculo es al diámetro como 22 es a 7. Esto le permitióestablecer que la superficiedel círculoes al cuadradodel diámetro como 11esa 14.(Setoman en amboscasosun valor de n por excesoigual a 3,t42857...) En la tercera proposicióndel tratado enunció:El perímetrode todo circulovaleel triple del diámetroaumentadoen menosde una séptimaparte, pero en más de diez setentay una parte del diámetro.Así:

t+fi.,

.t*+

lo que da la acotacióndecimal: 3,140
58 59

4+ E\E ++ ilr'1

?z 4m* ryzfth zffiz# p

4= E;Z-'rí,fr,E #f #v\ l¡ E# + - n');fi F A L fttñ x + Y)f' :I- x t4 , 4 # rfr ? t.l p,TxTr t3 J-\ I-Tf, s üt?. .t>tr¿ tTT H'-rh >

tvf

/V

u-E

Figura 3.10. Dibujo en el que se explica el método utilizado por Liu Hui hacia el año 264 d. C

y terminó inscribiendouno de 3.072lados. Esto le permitió calcular el valor d e z en 3, 14159. Más adelante,en el siglo v d. C. el matemático Zu Chong Zhi y su hijo Zu Keng Zhi hallaron, a partir de procedimientos de cálculo que se han perdido, una aproximación de z hasta la décima cifra decimal y obtuvieron 155 la famosa fracción ]]f ' Novecientos años más tarde (o sea hacia el año 1300) ll3 este valor fue confirmado por el matemático Zhao Yu Gin a partir de inscribir en un círculo un poligono de 16.384(!) lados (Fig. 3.11). Con el proceso de la geometria analitica y el cálculo en el siglo xvrr se desarrollaron nu€vos métodos, así el método de las series infinitas, para determinarvaloresdecimalesen la expresiónde z. Por estemétodo en 1699 60

Figura 3.11. Rosetón del templo de Diana en Nimes. A pesar de que puede pensarseque la rclación entre su área y el cuadrado del radio medio es una buena aproximación de z, al hacer l os cál cul osse encuen tran - 3.12

sc calculó la cifra decimal en el septuagésimolugar y en 1706 -un año despuésde que se adaptasela letra z, primera letra de la palabra perímetro cn griego, para expresar el número que estudiamos- se calculó la cifra del centésimoprimer lugar. Paralelamente se habían ido desarrollando otros métodos como, por ejemplo, el método que pone en evidencia la relación de n y la probabilidad, y que podemos llamar de la tarjeta y la aguja. Ya Buffon (1707-1788)había hablado del método. Éste consiste en lanzar agujas de longitud c sobre una tarjeta en la que se han señalado rectas paralelas a una distancia de 2¿. Se encontró que a medida que el número de lanzamientos crece,la razón entre cl número total de lanzamientos y el número de veces que la aguja toca a alguna de las líneas se acerca más y más a z. Actualmente el cálculo por ordenadores ha permitido hallar expresiones decimalesde z con una enorme precisión, asi por ejemplo en 1961 se halló el valor de z con 100.265cifras decimales,valor que presumiblementeen este momento ha sido superado.

6l

v cÁr,cur,osNuvrÉnrcos 3.4. ASTRoNoMf¡, Dijo entonces Dios.
Para los primitivos griegos la Tierra era un disco sobre un océano, sobre el cual estaba colocada una inmensa semiesfera:el Cielo. Así lo explican las obras de Homero y parece que estas ideas fueron aceptadas por lo menos hasta el siglo vl a. C. Pero este modelo de Universo presentaba serias dilicultades, entre ellas ¿cómo explicar qué sucedecon el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas cuando desaparecenhacia el oeste,en el horizonte? Ya los astrónomos egipcios se habían imaginado una solución a este problema. Creían que, por ejemplo, el Sol -representación del dios Atónrealizaba en una barca, y a escondidas, un viaje durante la noche de oeste a este, en dirección norte. Los griegos, durante años, creyeron algo parecido: los cuerpos celestesviajaban de una forma u otra en dirección norte desdeel horizonte occidental al oriental para volver a reaparecer y continuar sus caminos en la bóveda celeste,de día o de noche según correspondiese. Pero la creencia de que la Tierra era un disco sobre el océano tuvo finalmelte que ser modificada, ya que las estrellas vistas desde distintas latitudes no son las mismas, ni se las ve describir el mismo trayecto. Por ejemplo, así como la constelación de la Osa Mayor en Grecia se ve describiendo un círculo completo alrededor del polo Norte, desde Egipto se la ve hundirse en el desierto. Está claro que estasideas daban al traste con la idea de una Tierra plana, era necesarioque existieseuna determinada curvatura. Parece ser que fue Anaximandro (610-547 a. C.) el primero que ideó un nuevo modelo de la Tierra teniendo en cuenta el nuevo dato de la supuesta curvatura. Así que se la imaginó como un cilindro curvado hacia el norte y el sur, y esto ya que la diferencia entre Grecia y Egipto es especialmentede latitud. Parece ser que el primero que enseñó que la Tierra es como una esfera, fue un discípulo de Pitágoras: Parménides que vivió entre finales del siglo vI y principios del siglo v a. C. Dio como razón para su altrmación que un cuerpo que no fueseesféricocaeria hacia sí mismo, y que la esferaes la única forma de permanecer en equilibrio natural. A pesar de que esta idea daba una explicación sencilla a lo que sucediaa los astros despuésde ocultarse en el horizonte occidental, no fue aceptada de manera general hasta un siglo después,en la época de Platón. La raz6n que dio Platón (428-347a. C.) fue que la esferaes el cuerpo más perfecto y que por tanto la Tierra debía ser un esfera.A partir de este momento el pueblo griego creyó en la forma esférica

62

dc la Tierra,ideaque reafirmómásadelanteAristóteles(384-322a. C.) con el argumentode que.enlos eclipsesde Luna, la sombraque proyectala Tierra cr siemprecircular. Una vez determinadala forma de la Tierra, surgió el problema de dctcrminarsu tamaño,o inclusomás,de determinarel tamañodel Universo crlnocido.Una dificil pregunta. Alrededordel año 260 a. C. el astrónomoAristarco de Samosintentó lncdir las distanciasrelativasde la Tierra al Sol v a la Luna. Su métodofue tnuyingenioso(Fig. 3.12). Luna

/r\ Figura3.12 Cuando la Luna está en cuarto crecienteo en cuarto menguante se la ve desdela Tierra iluminada en la mitad exacta del disco. En este momento la dirección Tierra-Luna forma un ángulo recto con la dirección Luna-Sol. Aristarco midió el ángulo o(entre las direccionesTierra-Luna y Tierra-Sol y encontró un valor de 87'. Con este dato calculó que la distancia de la Tierra al Sol era más o menos 19 vecesla distancia de la Tierra a la Luna. dist. T-L

dis't.T$

-

I

t

En realidad el Sol está 400 vecesmás lejos que la Luna. Este gran error fuedebidoa la gran dificultaden hallar el valor exactopara el ánguloa. Así y todo hay que pensarque Aristarcoestabautilizandoun métodogenial:¡sin conocerlas distancias,pudo compararlas! Más adelanteAristarcoprogresóen su métodode comparación.Pasóa estudiarlos tamañosrelativosdel Sol,la.Tierra y la Luna. Su método,muy 63

gb Luna

Tierra

Figura 3.13

ingenioso,por cierto,fue el siguiente:Empecemos por elegirun punto cualquieraen el papel que hará de centrode la Tierra (Fig. 3.13). Hay que empezarpor considerarque en un eclipsede Luna, el Sol y la Luna estánen línea recta con la Tierra, pero en lados opuestos.Por otra parte tenemosla suertede que en el frrmamentoel Sol y la Luna nos aparecendel mismo tamaño,aproximadamente bajo un ángulo de medio grado,aunqueel Sol está 19 vecesmás lejos-siguiendo la estimacióndada inicialmentepor Aristarco- que la Luna. Por tanto continuemoscon el método que ren{ta ser básicamentede dibujo. Dibujemos2 lineasintersectandoen un ángulode 30' partiendodel punto que representa el centrode la Tierra.Entre estaslíneasy por un lado dibujar un círculoque representarálaLuna, por el lado opuestoy a una distancia19 vecesmayor deberemos dibujar otro círculo que representará el Sol. A partir de las observaciones hechasen eclipses, Aristarcoestimóque el tamañode la sombrade la Tierra que caesobrela Luna es2 vecesel tamaño de la Luna (en la actualidadse sabeque es de 2,7 veces).Si dibujamosesta sombra alrededorde la Luna, y a partir de ella dibujamos unas rectas tangentesa la sombra de la Tierra y al Sol, podremossituar el círculo correspondiente a la Tierra --ésta debeaparecerrepresentada por un círculo centradoen el punto tomadoal principiodel dibujo y tangentea las últimas rectastrazadas-. Sepuedeentoncesexpresarlas medidasrelativasdel Sol y la Luna en términosdel diámetrode la Tierra. A pesarde queel dibujo esdilicil especialmente por los pequeñosángulos y largaslineasque hay que trazar,el métodoessuficientemente sencillopara serreproducidosin dificultad.A partir de susfigurasAristarcoobtuvo queel diámetrode la Luna era una terceraparte del diámetrode la Tierra,Io que no estámuy lejos de Ia relaciónreal que es una cuartaparte (Fig.3.14). Ademásestimóque el diámetrodel Sol era 7 vecesmayor que el diámetrode 64

Flgura 3.14. El diámetrode la Luna es una cuarta parte del diámetro de la Tierra y el 100vecesel de la Tierra. diírmetrodel Sol es aproximadamente

la Tierra --+l diámetrodel Sol es 109vecesel diámetrode la Tierra-. Esta diferenciaentre el valor real y el valor hallado por Aristarcose debió a su primeraestimaciónrespectoa la relaciónentre la distanciaTierra-Lunay Tierra-Sol.Pero lo realmenteinteresantefue que había descubiertoque el Sol esun astromásgrandeque la Tierra,lo que apoyabasu hipótesisde que realmenteera el Sol el centrodel Universoconocido.Pero como sabemosy su idea de que la Tierra y los planetasdaban vueltas desgraciadamente, no fue admitida por los otros astrónomosy se continuó alrededordel Sol que Tierra era el centrodel Universo. la creyendo A partir de los cálculosrealizadospor Aristarco,los griegosdisponíande en términosdel diámetro de la Tierra, ¿pero variasdistanciasexpresadas cuál es el diámetrode la Tierra? en la Se considerahoy en dia que uno de los cálculosmás interesantes (275-195a. C.) haciael año 230 antigüedadfue el realizadopor Erastóstenes a. C. En efecto,para calcular el diámetro de la Tierra se sirvió de las sobrela sombraque proyectabauna varilla en dos ciudades observaciones distintasen un mismo dia y a la mismahora. Observóque en el solsticiode verano.el Sol al mediodíacaía verticalmentesobre la varilla en Syene (cercanaa Assuan,un poco al norte del actuallago Nassery prácticamente sobreel trópico de Cáncer),por el contrarioen Alejandría,entoncescentro consideróque culturaldel mundo,la varilla si arrojabasombra.Eratóstenes Alejandríaestabasobreel mismomeridianoque Syeneunos kilómetrosmás al norte. Medido el ángulo(Fig. 3.15)que formabala verticalde Alejandríacon la verticalen Syenecalculóque era de 7" 12',por tanto una cincuentavaparte del meridianoterrestre.Faltabasólo medir la distanciaentrelas dos ciudadesy multiplicarlapor 50. 65

. A nivel histórico. Como ya hemos visto Aristarco habia tenido ya la intuición de que el Sol era el centro del Universo. A pesar de ello, el mundo griego no aceptó estas ideas, y Tolomeo (100-170d. C.) insistió en la teoría gcocéntrica.Este sistema prevaleció durante toda la Edad Media. Se debió llegar al astrónomo polaco Copérnico (1473-1573)para recuper¡¡r la teoría heliocéntrica.Teoria que sería seguida y conftrmada a través de observacionessistemáticaspor el gran científico Galileo (1564-1642)quien t¡tilizando un pequeño telescopio habia descubierto cuatro satélitesde Júpitcr, el anillo de Saturno, etc. Más fácil que a Galileo le resultó a Kepler (t571-1630)mantener sus ideas heliocéntricasy a partir de sus geniales observacionescomo, por ejemplo, las que le dieron ocasión para determinar la verdadera órbita de Marte, enunció lo que se conoce por las 3 leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas. Figura3.15 Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol. 2.^ ley. Las áreas descritaspor el radio vector de un planeta en tiempo iguales son iguales. 3." ley. Los cuadrados de los tiempos de la revolución dé los planetas son proporcionalesa los cubos de su distancia media al Sol. 1." ley.

El cálculo resultó ser de tal exactitud que más adelante y durante años se discutió su autenticidad. Parece que se produjo la feliz circunstancia de que varios de los errores cometidos -por ejemplo, el ángulo entre las dos latitudes es 7o5'y no de 7" l2', Alejandría no está exactamenteal norte de Syene,etc.- se compensaron entre ellos. Pero volvamos al cálculo de la distancia entre las dos ciudades. para

Resultado muy preciso que fue utilizado durante años. A partir de este valor se calculó el diámetro de la Tierra con un error del orden de los 100 km respecto a Ios valores conocidos actualmente (meridiano terrestre 12j13.g km y ecuador 12J56,8 km). Así pues se conoció el tamaño de la Tierra. pero aun conocido el diámetro terrestre, como las razones entre las demás distancias no habían sido establecidascon precisión, no se tenia idea de la verdaderaescaladel universo. Se deben recorrer muchos años en la historia de la civilización para proseguir el hilo del pensamiento y los cálculos en este tema del macrocosmos. Tanto en el cálculo como en la concepción de las leyes que rigen el universo volvieron a tener importancia fundamental el conceptó de lá proporcionalidad entre magnitudes. He aqui un resumende lo más importante.

. A nivel de cálculo. Mientras se organizaba el Sistema Solar, ¿qué se sabía de las estrellas? Los antiguos habían considerado que todas las estrellasestaban clavadas cn la gran bóveda celestey que por tanto estaban a igual distancia. Pero desde el principio de la concepción heliocéntrica del Sistema Planetario se intuyó que las estrellas estaban a enormes distancias, imposibles, por otra parte de determinar. Para la determinación de la distancia a los planetas y a las estrellasmás cercanasal Sol se utilizó un método conocido con el nombre de paralaje. Se entiende por paralaje el cambio aparente de la posición de un objeto visto desde dos puntos de vista diferentes. Así, por ejemplo, un árbol parece moverse sobre las montañas en el horizonte cuando se le observa desdedos posicionesdistintas. Si conocemos el desplazamientoque hemos efectuado y el ángulo formado por el cambio de dirección en la observación del árbol, se puede determinar la distancia a éste. De forma análoga las diferentes posicionesde los planetas o de algunas cstrellassobre las estrellasmás lejanas vistas desdedistintas situacionesde la Tierra permite calcular su distancia. Y si se conoce la distancia de la Tierra a un planeta en un punto dado de la órbita de ambos se sabe algo más sobre la escaladel Sistema Solar y, por lo tanto, de la distancia Tierra-Sol. Así a partir del paralaje de Marte, Cassini en 1672 halló que la distancia de la Tierra al Sol es de 140.000.000

66

67

kilómetros(unosmillonesde kilómetrosmenosque la verdaderadistancia). ¿Pero,además,cuál era la distanciaa las estrellas? El astrónomoGregorien 1668estimóque la distanciaa la estrellaSirio, la más cercanaa nosotrosvista a simple vista desdeel hemisferioNorte, estaba83.000vecesmás lejosque el Sol. En 1685Newton estimóque estaba a 950.000distanciassolares. Los métodosno resultabanfácilesde utilizar. Se necesitóque pasasen unos añosmás y que seperfeccionasen y sobre los métodosde observación, todo, los instrumentosde medida. Asi el 3 de junio de 1769,34gruposde astrónomosrepartidosen distintos lugaresde la Tierra de estosgruposformabaparte de la expedición dirigida por Cook en las islas Tahití- y aprovechandoel paso de Venuspor delantedel Sol determinaronla distanciade la Tierra al Sol en 147.000.000 km, estimacióncorregidaen 1874aprovechando un pasosimilar del mismo planeta.La distanciaquedóestablecida en 148.000.000 de km, y despuésse han utilizado otros métodos pero sólo han representadoun perfeccionamiento. Es en realidad,pues,a partir del siglo xrx en el que se haceun catastro del SistemaSolar. En 1838Besseldeterminala paralajede la estrella61 de Cisneen 0,310" 1* 0,010",lo que equivalea onceañosluz (Fig. 3.16). Estrella lejana

rella próxima

Figura3.16

68

En 1838 fue determinada la paralaje de a de Centauro y en 1840 de la estrella Vega. Estos primeros resultados constituían una demostración de que la distancia de las estrellas a la Tierra era incomparablemente superior a las dimensiones del Sistema Planetario. Para expresar estas distancias no servía ni tan siquiera la unidad astronómica(distanciaTierra-Sol) ya que resultaban números tan enormes que apenas decían nada a la imaginación. Como unidad de distancias estelaresse introdujeron el año-luz que equivale a unos 9 billones de kilómetros y el parseg (paralaje de un segundo)que equivale a 3,23 años-luz. El éxito obtenido en estosprimeros paralajesestelaresfue animando a más y más astrónomos.Pronto se

los astrónomosy de la vio, no obstante,que a pesarde la habilidad de seobtenian pequeños, tan paralajes los nrccisiónde los instru."ntor, al ser se estaban que valores los que orden del mismo fi;";;;r;;r'prouuur", permitió, que lo fotografia, la tanto mientras Por suerte,apareció llr¡scando. más pequeños' utilizandoel mismoméiodo,medir paralajesmucho de estrellascuyo número el fotográficos' métodos l)ero a pesarde los de ello era muy pequeño'Consecuencia p,,rutu¡,sl poOiamedirdirectamente nosotros de que distan i',i.,po, una parte,darsecuentade que hay estrellas rlistanciasdemiles¿eaRosluzyademásquelamayoríadelasestrellasson parecidos,anuestroSol. c, términomedio,astrosde ruminosidady tamaño ScllegabaasíaloquehabíaintuidoGiordanoBrunoenelsigloxvl,nuestro S.rles una estrella,las estrellasson soles' Apartirdeahilosmétodosdebieronhacersemásymássutiles:elestudi de los espectrosestelares, dc las estrellas¿outes,áe los cúmulosglobulares, ctc. xtx hemospasado A partir de ellos y a ritmo vertiginosodesdeel siglo Y a preguntarnos Galaxias... y a otras dcl SisiemaSolara nuestraVia Láctea Universo' del *obreel tamaño,principio y hn los astrónoAl analizarla luz qui právienede las galaxiasmáspróximas, de bandasluminosasdebidasa e, áecir,colecciones moshallaron "rp".,ror, a los del Sol o a los de lasestrellasmás losdistintoselementosy compaiaUtes de la materia,no próximas.Esto demosi.ub" unu innegableuniformidad *ólo d.nt.o de la Vía Láctea,sino en todo el Cosmos' En|g2gHubblehizounsorprendentedescubrimiento.Lasbandasde ubsorcióndelasgalaxiasmáslejanasleparecencorridassistemáticamen haciael rojo. una semana, Tomanáofotografiasen (pose))que a vecesduraronincluso más de 150 1936 hasta estudiaron Hubble y su coliborador Humason ley: Y entoncesformularonuna galaxias. al alejamiento El corrimientode las bandashaciaél rojo esproporcional dc las galaxias. Losastrónomosvenenestecorrimientohaciaelrojolapruebadelafuga se manifiestaen todas dc las galaxiasmás t.¡unut, y ya que-el.fenómeno tienelugar habrá que\t"guí á la conclusiónque en el Universo direcciones dilatación. una gigantesca Alsondearconinstrumentoslasfronterasdelespacio,elanálisisespe gráficocontinuódernostrandounarigurosaproporcionalidadentredistanc formaque te terminócalculandolas y corrimientoO" ,uy"t .n .i "'p"ttto,-¿e sebasóen una distanciasde las galaxiasanalizandolos espectrol-!t 1{cu!o años-luz' 1'000'000 de velocidadde 24 im/seg para una distancia de forma indefinida' Peroseencontróque esteprocesono sepodia seguir en el desplazamiento el entre Admitiendola hipóteiisde tu propo."ionalidad una a que estén galaxias para cspectroy la distan;;u,t" Uü" a calcular' 69

distancia de 13.000millones de años-luz, que su velocidad de aleiamiento es igual a la velocidad de la luz. Pero actualmente consideramosque la velocidad de la luz representaun límite que ninqrln objeto material puede sobrepasar. por tantó, debemos admitir que el lllniversonació hace 13.000millonesde años de una gigantesca explosión que proyectó la materia de un núcleo originario y especial. Es lo que se conoce por el Big-Bang. También se trató de explicar el corrimiento hacia el rojo con otras teorías, por ejemplo: el cansancio de la luz, o el universo estático que defendió hace años Fred Hoyle, aunque implicaba admitir la creación continua de la materia. Hay quien añrma que la Astronomia es lo más vieja de las ciencias.y seguramentetiene razón. Es curioso cómo en cada etapa se avanza respecto a la etapa anterior, cómo se van fabricando instrumentos mejores, se desarrollan y perfeccionan Ios métodos y, por tanto, poco a poco se van haciendo más precisas las medidas y las posicionesen la esferaceleste.Alavez se perfeccionanlas leyes fisicas,pueden formularse nuevas conclusionesy quedan planteadas nuevas preguntas. Quizás para nosotros la parte más sugestivaresulte de la reflexión sobre la utilización de procedimientos matemáticos para determinar distancias, tamaños y formular leyes.vemos cómo el lenguaje matemático en su doble vertiente de dibujo geométrico y cálculo aritmético, se adapta al modelo que se tiene del cosmos y trata de explicarlo. El hecho de mirar no es sufrciente, ' hay que mirar con ojos reflexivos. Respecto al tema de proporcionalidad lo más signihcativo es que el hecho de comparar, que antecedeo sigue a cálculos diversos desde Aristaco de Samos, es fuente de preciosos descubrimiento.

3.5. EL MICROCOSMOS. DE DIMENSIONES

ESTIMACIÓN

Y CÁLCULO

En la pelicula se reduce el tamaño de un pequeño submarino y de sus cinco tripulantes a tamaño microscópico para viajar al cerebro de un sabio. El gran divulgador cientifico Isaac Asimov asesoró el guión de esta película de ficción. Además escribió un libro en el que explicaba los problemas con que se podia esperar se encontrarían los personajesde resultas del cambio de escala.Algunos de estos problemas están explicados en su ensayo en su libro . Realmente los cinco personajes no podrían nadar en sangre

lo

pucsto que, en su nuevo tamaño seria lo mismo que nadar en alquitrán, ndcmás las moléculas de oxígeno casi serían tan grandes como ellos lo que Iruría que fuese imposible respirar, etc. Es el mundo, no de lo pequeño que vemos, sino de lo pequeño que ya no vcrnosa simple vista, el mundo de lo microscópico... Si con lo que es muy grande hemos tenido y tenemosgrandes dificultades pura concebirlo, para hacernosuna idea, más dificultades pareceque presentn lo infinitamente pequeño (lo muy, muy pequeño). Con lo muy grande siempre tenemoscomo recurso,incluso con lo que no vcmos directamente -nebulosas, cúmulos estelares,etc.- extrepolar lo que vcrnos.El Sol es muy grande y está muy lejos,como una gran montaña que vcmospequeñasi nos alejamos...De ahí que podemosel Sol y la Via Láctea y las nebulosas...Si centramos nuestro pensamientoen algo nluy, muy grande,podemosllegar a tener alguna idea al respecto,aunque la cscalade las dimensionesrelativas sea casi tan diñcil de aprehender como el concebir los movimientos relativos de los cuerpos celestes. Así y todo, y a nivel global, parece que las dificultades son menores que cuando intentamos adentrarnosen el mundo de lo muy pequeño.¿Cómo imaginarnoslo que no vemos?,pero sobre todo ¿cómointentar vernos hacia ¡rdcntro:células,moléculas,átomos? Ya en la Grecia clásica los sabios reflexionaban sobre la estructura de la materia tratando de contestar a la pregunta, ¿de qué está hecha la realidad, cl ?,y ¿cuál es su estructura? Despuésde siglos de buscar respuestaa estas preguntas primero los lilósofosy luego los fisicosse ha ido progresandoen esteconocimiento. Para contestar a la primera pregunta, los lisicos de partículas necesitan hoy en día complejosinstrumentos. En los años treinta estabanpeocupadospor la composicióndel Sol. Pero ruhoraa partir de la fisicanuclear se sabecómo funciona el Sol y las estrellas y, de hecho, se conoce más sobre su composición que sobre el centro de la Tierra. actualmenteel Más allá de las moléculas,los átomos, los electrones..., tubjetivoes recrear en el laboratorio las condiciones iniciales (y aquí el que hicieron que la energiase microcosmosse junta con el macrocosmos...) transformaseen materia. Las partículas que se conocen hoy en dia son las que sobrevivieronal gran estallido(el Big Bang) puesto que consiguieronla cstabilidadnecesaria.Ahora se trata de estudiar las partículasque pueden gcnerarseen el laboratorio. Por ejemplo,esteverano (1989)se ha puesto en lnarcha una enorme máquina: el LEP que tiene 27 km de longitud, en el ('ERN o Laboratorio Europeo de Física de Partículasque conseguirácolisionesentre electronesy positrones.y permitirá profundizar en el conocinricnto de la materia. Para contestar a la segunda pregunta, de la estructura del Universo,

1l

/ durante siglos y ya desdela Grecia clásica se ha argumentado a vecesa favor de la discontinuidad y otros de la continuidad. Hoy parece que se vuelve a las ideas de Parménides (450 a. C.) que afirmó que la naturaleza es continua en su estructura y la discontinuidad aparece en la medida, aparecepues en el observador. Todo lo que hemos comentado se refiere a lo inanimado. Parececlaro que durante siglos no se pensó en la posibilidad de animales u otros seresvivos más pequeños que los que se veían. Aquí sí que se puede decir aquello de
Unidades

En milímetros

m

dm

cm

mm

[ 03

102

10r

I

l0 - 1 tu -

l0 - 3 l 0 - '

1 0 -s 10-6 10- 7 o

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Un ejemplo

o

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A

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3'8 =6

E

a

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q2 oo= '60 > aA

cd

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o'd

a simplevista

mlcroscoplo óptico

con lupa

72

microscopio+. electrónico otros tlpos de mlcroscoplos y por cálculos

Pero esto no es suficiente,y hay que ordenar por órdenes de magnitud, l¡uciendo grandes agrupacionessegún la escritura potencial de 10. Los dibujos representandocélulas aparecenmuchas vecessin perspectiva (como si fuesenláminas con dos dimensiones,y así no se puede uno imaginar una pared, un tejido, construidos con células,por ejemplo) y sin escala. A pesar de todo, ¿cómo descifrar realmente lo que la escala gráfica nos quiere dar a entender? A nivel didáctico debemos tener en cuenta que el problema se nos prcsenta a tres niveles: 1. Concebir la medida de la magnitud. 2. Cuantificarla. 3. Representarla. Normalmente el problema que se presenta a los alumnos es más bien de descifrarestos tres niveles de información, por otra parte tan interrelacionados. Ordenando el trabajo a hacer, disponemos en realidad de tres grandes rccursos: Comparando. . A través de dibujos unos reducidos,otros aumentados. Puesto que no podemos comparar lo que no se ve en directo' habrá que pasar por varias fases,partiendo de la representaciónde un objeto que nos resulta familiar y del cual conocemos sus dimensiones. . A partir de comparación con escalasgráftcas,también aumentadas. b\ Dando la escala gráfrca. c) Dar el aumento con el que se ha obtenido la foto.

a)

Como bajar hacia lo pequeño hemos visto que no es fácil, habrá en cada caso que verbalizar lo que el dibujo o esquema representa' Un recurso que suele facilitar la comprensión es: cambiar la unidad de rcferencia pero mantener la proporción o bien si se trata de aumentos, trabajar lo que esto representará sobre distintos elementos, incluso muy pequeños. Al observar objetos (animados o inanimados) y fenómenos de mayor o menor orden de magnitud que lo que podemos (ver a simple vistu y representarloshay que: -Tener una escala de representaciónpara comparar con lo conocido. - Dehnir nuevas unidades que sean más adecuadasal tamaño de lo que se describe. - Dar reglas para pasar de unas unidades a otras (escalasgráfrcas y escalasnuméricas),no sólo en los mapas, sino también en las representaciones de células.moléculas, átomos'..

73

3.6. IIWESTIGACIONFS Y EJERCICIOS Dentro del campode la utilización y aplicacionesde la noción de proporcionalidaduno de los aspectosen que el niño actúade forma más espontánea (véaseFreudenthal,1983y las páginasll9 y 120de estelibro) aplicandosus conceptosa nivel intuitivo es,sin duda, el empezara hacer estimacionesde medidasde objetos a los que no puedeaccederdirectamente. Estos ejerciciosde medida se relacionande forma natural con diversos aspectos,por otra parte muy interesantes,de Geometría,especialmentede semejanzade triángulos. Y aunque pueda parecer,en una primera visión, que estosproblemastienenuna única formulación,la realidadesmuy rica en matices. Estostalleresque presentamosa continuaciónson un ejemplode distintas situacionescon el común denominador de cálculo de medidasindirectas, pero con una graduación crecienteen el nivel geométricoen el que el alumno debe situarsepara concebirlas figuras semejantesque finalmentele pongan en buena situación para resolverel problema. 3.6.1. Talleres de medidasde distanci¡s inaccesibles . T¡ller I ¿Cómomedir la altura dc w arbol? Se tienen varios procedimientos: a) Situar al lado del árbol un objeto de altura conocida,por ejemplouna p€rson4 y hacer una estimaciónsobre el número de personasque se tendrían que colocar una sobre otra para llegar al extremo del árbol. b) Sujetar a una escuadrauna paja para refrescos(Fig. 3.17)con esparadrapo. Alejarse del árbol hasta ver la sima a través de la pajita.

Figura3J8

Si llamamos l¡: altura hasta el ojo del observadory ú, la distansia del observador al árbol (Fig. 3.18) resulta que la altura del árbol se obtiene sumando h + d. c) Desplazarselo que convenga para poner, con el brazo extendido, un lápiz en posición vertical de forma qu€ nos tape completamente el árbol desdela basedel tronco a la cirna de su copa. Sin moversedel sitio (Fig. 3.19)colocar ellápiz en posición horizontal de forma que

Lripiz horizontal Figür¡ 3.19

74

75

uno de sus extremoscoincida con la basedel árbol. Pedir a un amigo que desdeel tronco y en ángulo recto respectoal observador,camine lentamente.Tiene que pararseen el momento en que su posición coincidecon el otro extremodel lápiz. En estemomentosu distanciaal árbol nos dará la altura de éste. d) Si hacesol y podemosidentifrcarla sombradel árbol podemosaplicar el método que, se cuenta,aplicó Tales de Mileto (625a. C.) en Egipto para medir la altura de las pirámides.

Hay que empezar por hacer una escuadrade mira o sea una simple escuadrade 45' (Fig.3.21).Hacemosun agujeroen el ángulorectoy clavamos por él la escuadrasobreun palo que nos servirápara sostenerla.La escuadra debequedar móvil y por efectode su peso,la hipotenusadel triángulo permaneceráhorizontal.

En un principiobastaráclavaral sueloun bastóny esperarque su sombra tengauna longitud igual a su altura. En estemomentola altura del árbol es igual a la longitud de su sombra. Pero como nos cuenta Plutarco, Tales dijo más: (Fig. 3.20)

Luis Marta Figura 3.22

Figura 3.21

J

Figura3,20

Pedro

que Marta sostienela cometa,Pedrose colocaen la vertical Supongamos de la cometay Luis,que sostienela escuadraa la altura de su ojo, sedesplaza lentamentehasta que la cometaapareceen la prolongacióndel cateto.En este momento la distancia entre la cometa y la cabezade Pedro es igual a la distancia entre Pedro y Luis (Fig. 3.22).Para calcular la altura del cometa bastarásumarla altura a que se encuentrala escuadradel suelo. Estees un ejemplomuy parecidoal descritoen el taller Lb) paracalcularla altura del árbol. En amboscasossetrabaja con la semejanzade dos triángulos Pero la situaciónrelativa de los paresde triángulosque rectángulosisósceles. es distinta(Fig. 3.23). consideramos

Relaciónválida tambiénpara nuestroárbol. Notar que a nivel de conceptoes algo más complejoque los anterioresen los que suponíamos.Aquí hablamosde rayosdel sol paralelosy los triángulosno son isósceles, ni estánsuperpuestos.

. Taller 2 ¿Cómocalcularla altura de una cometa? Un métodosencilloparahaceruna medidaaproximadade la altura de una cometarequierela colaboraciónde dos ariigos dispuestos a hacerde ayudantes.Y suponemosque el terrenoes llano.

76

Figura 3.23

77

$

. Taller 3 ¿Cómo calcular el diómetro de la Luna? Uno de los métodos más sencillos nos puede permitir calcular el diámetro de la Luna. Supongamos que nos encontramos en una noche de Luna llena y que podemos observarla a través de una ventana. Sobre el cristal de esta ventana empezamos por pegar dos trozos de cinta opaca a una distancia de 2 cm. Tomemos ahora una tarjeta. Se hace en ella un agujero a través del cual observaremosla Luna. Realizaremos la observación a través del agujero de la tarjeta y entre las dos cintas. Bastará ahora alejarnos de la ventana hasta que se vea a la luna ocupando exactamenteel espaciocomprendido entre las dos cintas. Si consideramos que la Luna está a 3,8' 10s km de la Tierra, sólo nos falta medir la distancia de la tarjeta a la ventana, d, y llamando x al diámetro de la Luna tendremos (Fig. 3.2a)

2x ;:3f.roi¡

Figura3.25 lJnavez situadoel palo D, colocamosotro palo Ealineado con D y B. Construimosun nuevoángulorectoen E DEG situandoun nuevopalo en G. Y a partir de aquísesitúael palo Falineadocon A y D por una partey con por tanto los lados E y G por otra. Los triángulosABD y DEF sonsemejantes, son proporcionales: AB BD:

DE EF

Figura3.24 y puestoque podemosmedir ,BD,DE y EF esto nos permite conocerAB, la anchuradel río. Con otro procedimientomás técnico:Bastarámedir .BDy el ánguloBDA. al Llevandoestosdatossobreel papelpuedodibujar un triángulosemejante ABD (algoasícomo dibujar un mapadel triánguloque estamosconsiderando sobreel terreno).Pasamosasí del procedimientode calcularuna longitud, conocidasotrastres,al cálculode estalongitudconocidasólo una,que nos da y un ángulo.La solucióndel problemapuedepasarahora por la la utilizaciónde un instrumento---el telémetro- que mide y haceautomáticamenteel cálculonumérico,o por utilizar unastablastrigonométricas.

Esteprocedimientono puedeutilizarsecon el Sol ya que podria dañarnos la vista.¿Podríaemplearsepara determinarel tamañode una estrella?¿Por qué? he aqui Progresando en la utilizaciónde triángulosrectángulos semejantes un nuevométodo: . Talle¡ 4 ¿Cómomedir la anchurade un río? Supongamosque ,4 es un árbol, una roca o cualquierotro objeto fácily queremosmedir la distanciade A a I (Fig. 3.25). menteidentificable, Empezaremos alineandocon I dos palosen ,By C. Construimosen B un ángulo recto CBD.

78

r Ejercicios l.

Dados tres segmentos a, b, c, determinar grálicamente y razonadamente un segmento x tal que alb : clx.

79

Localizar un edificio de interés singular (histórico y/o artístico).Describir su orientación y situación en un plano de la zona a escala.Estudiar diferentes métodos para estimar indirectamentesus dimensionesprincipales:altura, ancho... Diseñar una propuesta didáctica para organaar una visita matemática con alumnos de doce a catorce años y de catorce a dieciséisaños a dicho edificio. 3. Localizardistintos anunciosde ofertasde Deuda Pública del Estadoo ComunidadesAutónomas,correspondientes a tres períodosdistintos de los tres últimos años. Analizar las informacionesimplícitas y explicitas que se comunican e interpretarlasen términos de proporcionalidad.Hacer un pequeñoestudioeconómico de las mismasresaltandosus aspectosfiscalesy financieros. 4. Aplicar el teorema de Thales para hallar un método razo¡ado que permita dividir un segmentoen partesproporcionalesa segmentosdados.Usar el anterior método para determinarpuntos de una recta por su razón de distanciasr desdeella. 5. Trazar gr{ficamentelos rectángulosde proporci on"t ,[2, ,f3, ,fr, ,fr, ...,,fr. Comprobar: a) que los rectángulosde proporción .r/2, son los únicos que se pueden obtener como reunión de n vecesdel rectángulo recíproco.á) Todo rectángulode idéntica proporción con cuyos vérticesse determina una espiral de lados rectos.c) Estudiar el dimensionadoprogresivode dicha espiral. 6. Comprobar que el número de oro cumple la igualdad ó : 2 cos nlí. Utilizar dicha igualdad geométricapara localizar la presenciadel número de oro en proporcionesentre elementosde los poligonos regulares:pentágono,decágono...,y en poliedosregulares:icosaedro,dodecaedro...

9. Diseñar una maneraefectivade estimar la población de larvas que viven en el suelo de un determinadojardín. Indicar detalladamentelos conceptosde proporcionalidadutilizados.Repetirel diseñopara la poblaciónde plantas.Estimar asimismola cantidadde materiaviva que hay (biomasa). 10. Con un aumentode 1.000veces,un pelo aparececomo una cuerdade 2 cm de diámetro, un glóbulo rojo como una pastilla de 7 mm y una molécula de hemoglobinatodavíano se vé. a) Comprobar que con un aumento de 100.000veces,un pelo será como el tronco de un gruesoárbol de 2 m de diámetro,un glóbulo rojo severácomo una rueda de camión de 70 crn de diámetroy una moléculade hemoglobina serácomo una cabezade alfiler de 0,6 mm. b) Comprobar que con 10.000.000aumentos,un pelo será como un enorrne depósito cilíndrico de 2ü) m de diámetro, un glóbulo rojo será como un disco de 70 m de diámetro,y una moléculade hemoglobinasepareceráa un dado parajugar de 6cm de lado. d Calcular cómo de grandeseverá un lápiz, una caja de cerillaso un insecto..., o nosotrosmismos.en cada caso. Visto el gran abanico de aplicaciones de la noción de proporcionalidad, volvamos al concepto desde un enfoque teórico. He aqui, en el capítulo 4, el lenguaje de función lineal como herramienta fundamental en la sintetización de fenómenos. En el camino del estudio teórico del concepto de proporcionalidad, sin duda el lenguaje funcional hace un papel especialmente sintetizador. La idea dc función lineal ayuda en la visualización de la relación entre dos variables, y en los experimentos científicos sean éstos de fisica, química o biología nos permite predecir comportamientos, definir relaciones de dependencia, etc.

7. A partir de las propiedadesaritméticas-geométricas de los rectángulosáureos construir una malla de rectángulosde proporcionesdeterminadaspor los pares de elementossucesivos de la serie:d, Qd,ó2d, Qtd, ótd,... tomandoa d como unidad. 8. Comentarla siguiente:<< (Discorsi,Galileo, 1638). Analizarla anterior definicióny teoremacon el conceptode razón dada en los Elementosde Euclides(3-V):
80

8l

Sintetizandofenómenos Y así era, en efecto: ahora tenía sólo diez pulgadas de altura...

(L. Carroll)

1.1. EL LENGUAJE FUNCIONAL Los términos de razón, proporción y proporcionalidadadquierenun signifrcadounihcado con la noción de función lineal. Esta noción es un y fenómemodeloque sintetizadiversoslenguajes,situaciones, expresiones nos. La función lineal puede considerarsecomo la matematizaciónde las nocionescotidianasy utilitariasde proporcionalidad. La función lineal representala estructurade la proporcionalidad,sirve para visualizarlos dilerentesestadosde variación,es decir expresasu comportamientocualitativo. La función lineal tiene su origen en el punto de vista geométricode la proporcionalidadcuyo esquemagráfrco base correspondeal esquema PROP. Secompruebaque la transformaciónmultiplicativa(multiplicarpor una constante)así como tambiénla comparaciónde rectángulossemejantes se puedenexpresarde esta forma. La construcciónmental del conceptode funciónlineal requiereuna fasepreviade experimentación de la variabilidad que favorezcael procesoabstractode relacionarmentalmentenúmerosque representan las medidas,de objetoso cantidades. La proporcionalidadentre dos magnitudespuedeinterpretarsebajo el conceptode funcióncomo una cantidadvariableque dependede otra cantidad variable. Esta definición del concepto función fue dada en 1749 por LeonhardEuler y espara nuestrospropósitossuficiente. En ella estánimplícitos los tres aspectosque caracterizana la noción de función:variación,

83

dependencia y correspondencia. En este sentido se pone de manifiesto, la esenciadel concepto de proporcionalidad como correspondenciaespecífica, entre cantidades conservándoseinvariante la noción de ru26n.

o ¡ 6o.ñ:

4.2. PROCESOS DE TRASLACIÓN

s

o

i¡

Desde esta perspectivafuncional, la descripción de una proporcionalidad puede realizarse dando diferentes modos de representación,así como los procesosde traslación de un modo a otro. En el cuadro de la página siguiente se esquematiza dicho proceso de traslación. En la metodología de resolución de problemas que se propone en el capítulo 6 se insiste que hay que trabajar sistemáticamenteen el proceso de traslación de un modo a otro, tanto directa: es el menos trabajado en los libros de texto a pesar de su alto interés didáctico de cara a favorecer diferentes estrategicasde aprendizaje. Cada modo de representación insiste en un aspecto especíhco de la proporcionalidad. Así por ejemplo las descripcionesverbales inciden en la formación del concepto, es decir, en su imagen mental.

! I'a L= :'i x

N

O pi bo F .\G9

óx

\l a

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L=

o

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ao 1l I

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€9 x! ? XA

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I 4.3. GRÁFICAS LINEALES a9? =L

Los gráficos cartesianosilustran el concepto de variación, caracterizando el cambio proporcional. Este cambio proporcional es lineal en el sentido de que los puntos de la gráfrca de la función de proporcionalidad están sobre una línea recta. En efecto, al elegir dos medidas en las magnitudes proporcionales la expresión de proporcionalidad es del tipo ! : kx siendo k la constante de proporcionalidad. Entonces la tabla de valores de las funciones / : kx dan pares de números (x, y) de los que obtenemos puntos de las gráficas de estas funciones en un sistema de coordenadas cartesianas.

->

ñd

=x

UF tl

I

o5

aoo

'i 'E oc) E9?

ñO

:x

o

&ñ

<ú tl

I

I

I

o

Como el par de valores (0, 0) aparece en todas ellas, las gráficas siempre pasan por el origen de coordenadas. Por otra parte sean Pr(rr'r'r), P2Q2,r\), ...,...,P,(r,, ri) los puntos de la 84

a?

F;

() C€

E

r'1

t,t'¡ ¡vrR5iDAD t]ISTRt TAL

85

FmÁi\¡Cls(0 JosE oEcrir,,r'; S|STÉMA

gráfica.Si Prx, P2x,..., P,x son las respectivasproyeccionessobre el eje x, se vcriflcará que las rectas OPr, OP2, ..., OP, tienen la misma inclinación rcspecto del eje x, ya que los ángulos

r00 fn 1ff\

lm

ro0 fn

9m

J mtl om

PróPrx, PróPrx, ..., pnóp,x Fig. 4.3.

son igualespor ser idénticossus respectivasamplitudes. r,I

r'2

rr

f2

4,4. DEPENDENCIA

En conclusiónlos puntos Pr, Pr,..., P,,..., estánalineadoso dicho de otra forma la gráfrrcade la función de proporcionalidad es una linea recta, por eso, dicha función se llama lineal (Fig. 4.1). El valor numérico de y es directamente proporcional al de x, la constante k es su constante de proporcionalidad y representael valor de y correspondiente a la unidad de la variable x. La función lineal y : kx es monótona; para valores positivos es monótona creciente, y para valores negativos en monótona deareciente.Geométricamente la constante k se puede interpretar como un gradiente, es decir, determina el cociente entre la diferencia de altura y la distancia horizontal para cada dos puntos de su gráfica (Fig. a.4. Se suele indicar con una fracción o escala (por ejemplo l:30, 3/150) o porcentaje(10% : 0,1,20 : 0,01).Por tanto, indica el grado de pendiente de la línea, es decir, lo que asciendela linea por unidad. La pendiente puede tomarse como medida del ángulo a que la línea hace con el eje horizontal fig. a.3). El gradiente o relación entre el incremento de altura h y la distancia horizontal e: hfe es una función del ángulo a, se le denomina función tangente del ángulo a. Un gradiente de 8 por 100 signihca entonces una diferencia de altura de 8 m sobre una distancia de 100 m. Así puede considerarseque la función lineal constituye el modelo matemático de la proporcionalidad.

LINEAL

En la práctica, el modelo de función lineal es sólo una aproximación al fcnómeno que modeliza. Es así que normalmente se dispone de una corresptlndenciaempírica entre los valoresry r2t...t t2, ...,y los r'r, r'r, r!, ...,en los que se observaquelos cocientes ",",..., rL 12

difierenpoco entre sí; tomando el

serepresenta la funciónque describe valork promedioentreestoscocientes, el fenómenopor la fórmulay : kx. En estecasodiremosqueel fenómenoen cuestiónobedecea una ley lineal. La fórmula J : kx, permite calcular a valoresde x comprendidosentrelos nuevosvaloresde y correspondientes datos;estecálculose llama interpolaciónlineal.Tambiénse puedecalcular a valoresde x exterioresal intervalode con estafórmula correspondiente valoresdados,y estaoperaciónse llama extrapolación,pero al alejarnosde los datoses muy posibleque cesela ley de proporcionalidad, y se obtengan unos resultadoserróneos.Gráhcamentese ve con toda claridad si una ley empíricapuede considerarsecomo lineal; basta representarlos pares de por puntosreferidosa dos ejescartesianos y ver si valorescorrespondientes puntos tales estánsensiblemente alineados, en tal casosetnazapor tanteoso por cálculonumérico,la rectade modo que las distanciasa ella seanmínimas. Parala dependencia de los valoresy : {rl, rL .." r,} respectode los x : rr,..., rn} existe una recta de regresióny : b - kx, dondelos coeficientes {rr, desconocidos b y k se calculanmedianteel métodode Gaussde cuadrados mínimos.Para la muestrade n paresde valores(r¡, r'r)(i : l, 2,..., n) se requiereque n

Lvt - v) ' :

n

\lrl - (b - kr,)ft seamínimo. lr

i= I

Diferencia de altura

Esto conducea

kFig.4.r.

b:F'-kF

Fig.4.2.

donder', r son las medidasaritméticasrespectivas de y y x.

86 87

El número k se denomina coehciente de regresión y se refiere a la dependenciade y respecto de x (Fig. a.a).

,í:') /z' /r { ,

x

Y: :

l/z

,

I

la

26

! - lo: k( x- xo)

altura 138

142

i46-x

Fig.4.4. Si se quiere medir cuantitativamente el grado de dependencia se puede calcular el coeficiente de correlación c x yÁado por lá siguiente fórmula: |

(rt - F)(rl -

cxy:

| : lo - k*o i kx : kx -l b función afin. Su gráfica es otra recta paralela u la función lineal y : áx que pasa por (0, ó) (Fig. 4.5). Se verifica que la pendienteo gradiente de dicha recta mide el ángulo E que forma con el eje x' Podemos calcular k:tas.rp:l z-l t

F')

t= I

l- lo x- xo

tlc donde

t0 ó .2+ l ,0 l 9 y

'

t34

,LY ^--- Ax

- 71, 38 + O,746x

.lG. ¡t

^ 1 o r: I

Asi la proporcionalidad es una dependencia general que evoluciona linealmcnte. Este comportamiento lineal no determina la dependenciaproporcion¡l entre los valores de y y los valores de x, hay que exigir la condición que Iu rccta pase por el origen, lo cual significa que no hay condiciones iniciales ¡rrlritrarias:(xo, y J. En efecto sea:

xz -

xt

x h; I2

Nótese que el crecimiento lineal no es aditivo, es decir que si incrementamos el valor de x con el incremento l¡ el valor correspondientede y no está incrementado con h, sino que lo's valores incremenüdos correspondientes están en proporción (de latín proportio, tanto como): Si x, :

xo *

hento n c e sy o * h * y t :

y o + khconkh

por tanto A,y n r:

88

tt - l o rr-^ :

k .h h

:*

* h

Fig.4.5. donde Pr(xr, yr) ! Pz(xz,yr) son dos puntos cualesquieraen la recta (Fig. 4.6). También b : lo - kro es la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje y. Asi la recta | : kx * á se obtiene a partir de la recta y : áx mediante un desplazamientoparalelo de á en la dirección del eje y. Luego, si se traza, una longitud k desdeel punto (1,0) a lo largo de la recta paralela al eje y a una distancia + 1, la recta desde el origen hasta el punto extremo

89

'

-Ley de Faraday: - Ley de Boyle: . inversamente

3. Estudiar cualitativamente(gráfica)y cuantitativamente(fórmula)la dependencia entre los siguientesvaloresde variables. con los a) Se ha medidola altura x (en cm) y el pesoy (en kg) de 10 escolares liguientesresultados:

x lr ¡ slr 45l r 3el uz l ntl ntl nql t¿ +j t¡ s l t¿ 0j y 12e,3 13s,2 134,s | 32,1 | 33,6 132,3 127,2 136,7 126,e 138,2 |

Fig. 4.6.

de estesegmentoes la recta| : kx. La rccta paralelaa éstapor el punto extremodel segmentode longitud á desdeel origen y sobreel eje y, es la y: kx + b. rectapedida

b) Para diez plantaciones de árbolesde pino de diferentesedadesse determina el diámetromedio x de los troncosde los árbolesy la altura mediay. Los valoresmedidosseordenansegúnsu magnitudcon respectoa .r en la siguiente tabla:

x I r o,ol14| r 8,rl B,2l 25l z a,+l z o,s l r z ,s l r 0,0l I +o,r

45,. INVESTTGACTÓNY EJERCICTOS

ll-8óllr¡ffiI8sIr:n1r4,t

l. Una experiencia ha dadolossiguientes datos: I (cm) M (er) a)

b) c) d) e)

19,8 100,8

25,7 200,0

30,3 300,3

36,2 400,0

40,8 500,8

Construir la grárficade Z en función de M. Identihca la fórmula. Identifica las constantesde la ecuaciónde la fórmula. Posiblesignificadofisico de las constantes. Estudiar valoresinterpoladosy extrapoladosdentro de un posible dominio de validez.

f. Analizar detalladamentelos diferentesprocesosde traslaciónque conectanentre sí los cuatro modosde representación de la proporcionalidad: Descripciónverbal, tablas de valores,gráficay fórmula. Ilustrar detalladamente el cuadro de doble entrada que se forma con las mismasa partir del siguientegráfico:(Fig. 4.7.

2. Diseñar experiencias,poniendo especialénfasisen el tratamiento de la función lineal. Se sugierenlos siguientescamposde aplicación: a) Decoración:Cantidadesy diversostonos (mezclados)de pintura para decorar una vivienda unifamiliar. Indicar presupuestos. b) Ecología:Estudiar diferentesfamilias de animalesutilizando la longitud del cuerpo . fazon : longitud de las patas c) Ciencias:Planihcar estudiosque ilustren la lineali{ad de las siguientesleyes: - Ley de Proust:

15o/o

I 10

20

40

50

60

80

90

100

Fig.4.7.

90

91

3.

Resolver gráhcamente el siguiente problema clásico:.Completar los procesosde traslación como en el ejerciclo antenor.

6.

Analizar todos los conceptos y extrategias de proporcionalidad que conlleva, el siguiente problema: Lectura del contador de sas Representada

Centenas" de m3 Fecha lectura: 15 de noviembre

J

Decenas de m3 +

Fecha lectura: 15 de diciembre

4

J

Fecha lectura: 15 de enero

5

4

Unidades de m3

7

Proporcionalidad extendida !- 4, - a, - . b bt b2

qf---1 h-

tl "[--l a

Combinadas

7

El precio de 1 m3 de gas es de 350 ptas. Al importe de la factura se añade un impuesto del 1,5 por 100 sobre el precio del gas. Calcular: a) Consumo medio diario en cada período. b) Dibujar la gráfica hasta 18 m3 de la función consumo-importe de la factura. c) A partir de la gráfica determinar el importe de cada período y predecir el importe anual. 7.

Comentar las ideas claves y las relaciones unificadoras del siguiente diagrama (Solomon, 1987)(véaseesquema4.1).

La proporcionalidad es un concepto importante tanto en el aspecto teórico como en el aspecto práctico de Matemáticas y unifica temas de

cálculo numérico, con cuestionesde Geometría, por ejemplo. Pero además la proporcionalidad es importante desde el punto de vista del desarrollo del conocimiento. Concepto básico en el desarrollo del conocimiento, Piaget lo consideró uno de los esquemasoperatorios a los que la persona humana debe acceder para pasar del estudio de las operaciones concretas al de las operacionesformales. Piaget que ya en los años 30-40 estudió, a través de muy diversas experiencias,el tema, ahrmaba que la proporción es una relación de relaciones y que requiere la construcción de la combinatoria propia de la lógica de las proposiciones. Siguiendo el camino por é1 iniciado, más o menos de acuerdo con sus ideas,se han hecho posteriormente muchos trabajos sobre proporción. Y así aparecen actualmente investigadores tan conocidos como Karplus, Freudenthal, Streefland,Hart y tantos otros. Veamos esta cuestión en el siguiente capítulo. 92

Triángulos semeJantes Da un

Llevan a

teorema de semejanza de triángulo

Teorema de Pitágoras

Esquema4.1.

93

Desarrollodel conocimiento <¿Comerón murciélagos los gatos?, ¿comerán murciélagos los gatos?>, y a t)ecestambién se le escapaba un <¿comerángatos los murciélagos?>pues como Deréis, ya que no sabía contestar a ninguna de las dos preguntas, no importaba cuál de las dos se hiciera.

(L. Carroll.)

5.I. ETAPAS EN LA PSICOLOGÍ,I CNNÉTTC,I Piagety sus colaúoradoresordenaronsus estudiosdescribiendolo que Ilamaronestadiosen la evoluciónintelectualdel niño. En su inmensabibliograña,no siempreestos estadiosy subestadios coincidenen la nomenclaturaque se utilizó para designarlos, incluso,algunasveces,hay unospequeñosintérvalos(medioaño)de diferenciaen la edad a ellasasignadas. Por ejemplo,en algunoslibros utilizan los númerosromanos:I, II, III y IV y en otros las letras:A, B y C. Algunasvecesinclusoestas nomenclaturas se utilizanjuntas aunquecon distinto signilicado(véasecuadro 5.1). Pasemos a resumirlas másimportantescaracterísticas de cadauno de los estadiosde la evoluciónintelectualdel niño segúnpiaget,empezandodesde el estadioII (dos a sieteaños). c En el estadioII. El conocimienJo del niño estáíntimamenterelacionado con lo que percibe por los ,"ltidor. Puesto frente a un material, instintivamentemanipula,sin duda observa.Para que estaobservaciónsea interiorizadaconvendráorientar las actividadesde maneraque llevena la comparación, clasificación y ordenaciónde objetosa partir de suspropiedades o atributos.Estosdebenestar referidosa los sentidos:forma, tamaño. temperatura,sonido,etc. 95

CUADRO 5.I Pre-operatorio

Operaciones concretas

2 a' 7

8 a 11

La géométrie spontanée de I'enfant (Piaget y otros, 1973).

IIA IIB

IIIA IIIB

IV

La représentationde I'espace chez I'enfant (Piagety Inhelder. 1948).

IIA IIB

IIIA IIIB

IV

La génesede I'idée de hasard chez I'enfant (Piagety Inhelder, l95l).

2A 2B

3A 3B

Epistemologie et Psychologie de la Fonction (Piaget y otros, 1968).

II III

IV

II

IIIA IIIB

Estadio

Libro

Edad

De la logique de I'enfant a la logique de I'adolescent (Inhelder y Piaget, 1955).

I

Operaciones formales

l1 a 14-151

. En el estadio 1/1 (siete a doce años). El niño es capaz de realizar la operación entendida como acción interiorizada que ha sido posible después de la acción real con los objetos y la reflexión sobre ella. Esto implica que las estructuras específicasde la inteligencia en esta época -la lorma de conocer, el pensamiento mismo- se han interiorizado suficientemente(por un lado las representacionesy por otro las acciones) como para realizar a nivel interno operaciones con imágenes de las cosas externas y sus acciones sobre éstas. Es característicode esteestadio un tipo de pensamiento atado siempre a la realidad fenoménica, a la cual necesita manipular directamente o con la imaginación, con una constatación de los fenómenos reales como única manera de entenderlos y sin posibilidad de operar mentalmente con los conceptos de estos fenómenos. Sin embargo, poseeya una cierta estructura lógica, caracterizadapor las
,9

fi ;

A lo largo de este estadio, va adquiriendo las nociones de ciertas can(idades fisicas, de ciertas cualidades del continuo (longitud, tiempo, masa, rirea, velocidad, fuerza,etc.) lo que presupone la adquisición de estasmagnit udes. Así llega a comparar e identificar variables que intervienen en un fenómeno y a iniciar la cuantificación de las cualidades.Aparece la posibilidad de medir. La operación con distintas cualidades lisicas del continuo y la adquisición y extensión de la noción de número natural lleva a desarrollar una primera noción de medida y de proporcionalidad. Ésta aparece en una primera idea de fracción como comparación entre dos números para expresar cambios de unidad y también como operadores,en la expresión de un cambio. . En el estadio IV (a partir de los once-doce años). En este estadio el niño no sólo opera con objetos concretos y con las relacionesentre objetos sino que intenta partir de hipótesisenunciadasde forma verbal. Se desprende pues de y sitúa en un conjunto de transformaciones. La realidad, que antes era punto de partida, se convierte poco a poco en una parte del conjunto de posibilidades mucho más amplio. Los hechos reales son concebidos como parte de todo un universo de transformacionesposibles. Por tanto hay un rasgo esencial propio de este estadio: la última separaciónen relación con lo concreto, frente a un progresivo egocentrismo del pensamiento. El pensamiento separadodel nivel de lo concreto se extiende con libertad al campo de lo posible a través de las nuevas operaciones de la lógica de proposiciones que se adquiere paulatinamente. Ante un fenómeno cualquiera, antes de hallar la causa concreta que lo produce, el niño se sitúa en un plano hipotético -deductivo y, mediante las operaciones proposicionales, va separando las hipótesis verdaderas de las que no lo son hasta dar con la específ,rca del caso que estudia. Hay que tener en cuenta que la deducción no trabaja sobre los datos que se ven, sino que trabaja sobre hipótesis. Este es el razonamiento hipotético-deductivo. A nivel de lenguaje,no sólo ha adquirido la posibilidad de formular más proposiciones (hacer más frases)sino de combinarlas entre sí (más frases y más relacionadas). Ahora el niño disocia la forma del contenido, y gracias a las operaciones proposicionales,puede combinarlos con todo el conjunto de posibilidades. Las operacionesformales son, como dice Piaget, operacionesde segunda potencia, o sea operacionessobre operacionesconcretas (así, por ejemplo la proporción es una relación de relaciones).Presuponen las operaciones del estadio anterior que quedan agrupadas en estructuras superiores que las integran en un solo conjunto. Hay que tener en cuenta que a pesar de que en el estadio IV el niño o

9l

pre-adolescentedispone teóricamente de estas capacidades,la situación real no es ésta para los alumnos de la 2., etapa de EGB. Así, por ejemplo, se han hecho estudios en Gran Bretaña (véaseWollman y Lawson, 1978)que muestran que mucho menos de la mitad de los adolescentes no han alcanzado el estadio de las operaciones formales. podemos considerar que sus datos pueden ser para nosotros más o menos f,rable,pero en realidad reafirman lo que se observa en los últimos cursos de EGB. La mayoría de los alumnos de 2." etapa no están en el estadio de las operaciones formales, sino quizás en las operacionesconcretas o en fase de transición de un estadio a otro. De todas formas vale la pena tener en cuenta que una persona puede ufllizar modos de pensamiento formal en relación a ideas que le son familiares y en cambio utilizar el razonamiento concrero en otras.

5.2. LA PROPORCIONALIDAD,

UN ESQUEMA OPERATORIO

En Inhelder y Piaget (1955) estos autores abordaron el estudio del paso de la lógica del niño a la lógica del adolescente. Mientras Inhelder se centraba en el problema principalmente desdeel punto de vista del razonamiento experimental, Piaget estudiaba los instrumentos para el análisis lógico de la interpretación de los resultados que se debian obtener. comentan que fue para ellos una agradable sorpresa darse cuenta a posteriori, en el momento de las comparacionesde conjunto y de las interpretacionesfinales, que los hechos recogidos y los mecanismos formales convergían en gran manera. Los datos recogidos gracias a este estudio del razonamiento experimental en el adolescenteson de gran interés. Interés centrado especialmenteen el hecho de que el razonamiento formal no consiste sólo en razonamientos verbales (desarrollo de la lógica de las proposiciones),sino que implica la formación de una serie de esquemasoperatorios como: probabilidades, dobles sistemasde referencia,proporciones,combinatoria, compensacionesmultiplicativas, correlaciones,etc. Estos esquemasoperatorios, a parte de la importancia que tienen en sí mismos, están absolutamente interrelacionados.Inhelder y piaget dicen que aparecen de forma sincrónica. Para explicar la aparición simultánea de estos esquemasoperatorios hay que recurrir no sólo a las operacionespropias de la lógica de las proposiciones, sino sobre todo y especialmentea las estructuras de conjunto que las fundamentan. Antes de entrar en detalles de esta estructura debe tenerseen cuenta que una acción básica en las construccionesde la inteligencia es la reversibilidad. 98

firta se presenta desde los primeros estadios bajo dos formas complementarirrs:l) la negacióno inversión,y 2)la reversibilidado compensación. Supongamosun niño situado en el punto I junto con un objeto. Si lleva Áe A a.B puede anular el movimiento llevando el objeto de B a A. trbjéto cf t I puededejar el objeto en -By moverse el mismo de A a B lo que le lleva a la el movimiento del objeto ¡t,,ii"ión inicial respecto al objeto, ha compensado ct,n el movimiento de su propio cuerpo (véase Fig. 5.1). Estas dos formas húsicasde la reversibilidad aparecencomplementariase irreducibles en todo cl desarrollo infantil hasta lograr una síntesisen un único sistemaal inicio de Ius operaciones formales. Esta estructura fundamental es la del grupo de Klcin de cuatro transformaciones:Identidad, 1; Negación, N; Reciprocidad, /l y Contrareciproca, C. De la estructura de grupo, a nivel de acción del pensamiento inteligente, nos interesan las cuatro propiedades siguientes: l. Dos accionespueden sustituirse por otra' 2. Una acción puede desarrollarseen dos entidos. O sea puede realizarse o suprimirse. 3. Cuando se vuelve al punto inicial, éste no ha sufrido modif,rcación. 4. Puede llegarse a un punto por diferentescaminos' Inicialmente pues, consideramosque: 1) la operación es interna, o sea,al operar elementos del grupo obtenemos un elemento de este grupo; 2) que cáda elemento es inverso de sí mismo; 3) existe elemento idéntico, y 4) se cumple la propiedad asociativa. : óados N y R estas condiciones implican NN : ¿ RR : I y NR recíproca la de la negación sea o : : RN c que es la contrarrecíproca es lo mismo que la recíproca de la negación. La tabla del grupo (/NRQ queda así: I

N

R

C

I

I

N

R

C

N

N

I

C

R

R

R

C

I

M

C

C

R

N

I

de la o sea que en el pensamientoformal, ademásde las operaciones implicación q la p o v la disyunción por ejemplo proposiciones, lai de lógica más generalesque modifican estas q, etc. eiisten tansformaciones pl y las relacionanentre sí. proposiciones 99

Si partimos de:

Realizando un movrmlento

Por ejemplo, a nivel lógico consideremosla operación:

AB

p

S implicación

Si negamos esta implicación tenemos: N( pFq) : p¡ 4 Si se permutan los términos o se conserva la forma pero con las proporciones negadas tenemos la reciproca:

R(pFd:sl-p:p-s Si en la expresión: p-

s:

@ ^ q) v (F ^ q) v lF n 4\

y v se obtiene la permutamosentre si las dos operacioneslógicas ^ va. correlati transformación

Na

c(plq):p¡q Y si se deja p I

q sin cambios se tiene la identidad: I ( pl-

RNa

Figura 5.1

r00

q) :

pl

q

El grupo INRC actúa sobre las 16 proposicioneslógicas que se obtienen al operar (con las distintas operacioneslógicas)p y s.Y por tanto las operacionesde la lógica de las proposiciones bivalentes dan tantos ejemplos como cuaternas podemos tomar de los elementos de su conjunto de las partes del conjunto de proposiciones. Para algunas de estas cuaternas se tendrá I : R , N : Co bien I : Cy N : Raunquenunca N : . L El interés psicológico de este grupo radica en que corresponde a ciertas estructurasfundamentalesdel pensamientoen el nivel formal. Esto porque la inversión N expresala negación y la reciprocidad R expresala simetría o sea transformacionesequivalentespero orientadas en sentido contrario (no olvidemos que también se les llama compensaciones). Pasemos a concretar más, estudiando el caso de la proyección de sombras (véasecapítulo 13 de Inhelder y Piaget, 1955). El experimento que estos autores llevaron a cabo consistió simplemente en: dados un foco luminoso y una pantalla hja, estudiar qué ocurre con las sombras obtenidas cuando se colocan entre el foco y la pantalla circulos de diferentesdiámetros a distancias variables del foco (véaseFig. 5.2).

101

También no variar el diámetro y cambiar la distancia al foco (d n t) o

variar el diámetroy no modificarla distancia(7 n t) corresponden a modihcaciónde la sombra,asi que: r

(dnl)v(iln¡)Fs*

ls.2l

I

lunque estamodificaciónse concretaen los dos sentidosdistintos: d n lf-s d n tl s

',

O sea en el fondo podemosobtener el mismo resultado(obtenerun determinadotamañode la sombra)aumentandoel diámetroo disminuyendo la distanciay recíprocamente. De(d n 7)l

J

De (il n t) l-

J

sededuce s-(d^t):ilv , sededuce s-(d^t):dv -

T

t

A partir de estasimplicacionesse llega al esquemacualitativo de la proporcionalidad. A partir de [5.1] se obtiene: Empezaremos por llamar s* a mantenerel tamañode la sombray sT a modificar el tamaño de la sombra. Esta modificaciónsa pude darseen dos sentidos:s aumento,s disminución. Asi que.sa: s v J. consideremosahora los distintos circuros,llamemos:d a aumentar el diámetlo-y 7 a disminuirlo,y sear el aumentode la distanciadel círculo al toco y t ta dlsminuciónde estadistancia. Si queremosir variandolos diámetrosy rasdistancias, pero de forma que el tamañode la sombraseconserve(tomandouno de los eiperimentos como punto de partida) deberáocurrir que las dos variablesaumenten a la vez o disminuyaa la vez,o sea: s*F(dnl)v(d"l) aunquela reciprocano es verdaderav así: (dnt)v(ilnt) puedeimplicarsor-, 102

15.11

(dnt):R(d¡ü y por tanto:

!dt: n !

ts.3l

y a partir de [5.2] se obtiene: (d ¡t):R(d¡t) y por tanto:

4:^4tt

[5.4]

*:'' proposición lógicaque corresponde a la proporciónaritmética!" y:n ny En el estadioIII el niño ya seda cuentade que un aumentode diámetro lo puedecompensarcon una disminuciónde las distancias,pero sólo consi-

r03

gue interpretar numéricamente las medidas que toma de forma aditiva y kr que intentará es mantener las diferenciasconstantes:(d - il : T - t). Asi parece que la comprensión de la proporcionalidad (estadio IV) es cl resultado de la comprensión de una compensación multiplicativa. En el caso que nos interesa Inhelder y Piaget afirman que la estructur¿r INRC interviene en el pensamiento de los niños no de forma sino , por lo que las proporciones [5.3] y [5.4] quedan explicadas así: Si suponemos que 1es el aumento de diámetro I : d, entoncesN : d, R : f ya que el aumento de la distancia del círculo al foco luminoso compensu el aumento del diámetro sin anularlo y para terminar C : t que es la negación de la recíproca. De ahi y teniendo en cuenta que en el grupo (I¡/RC) (véase tabla) 1N : CR, por tanto:

IC RN entoncesen este caso d td A td ' tt

5.3. LA INVESTIGACIÓN DE PIAGET SOBRE PROPORCIÓN A lo largo de sustrabajos,Piagetestudiódiversosaspectosy presentacionesdel conceptode proporcionalidad. Así, Piaget,en 1946estudiael movimientoy la velocidad.La nociónde proporciónintervienecuandosetrata de comparardos movimientossiendo distintoslos espaciosrecorridosy los tiemposempleados. Piagety Inhelder, en 1951estudiaronel desarrollode la noción de azaren el niño. La ideade probabilidadaparece,por ejemplo,cuandoseatribuyeel mismo valor a dos casosfavorablessobre cuatro posibleso a tres casosfavorablessobreseis posibles.En Piagety otros,1968,secentraronen el estudiode las funciones, y entre ellas el de la función lineal, estudiadaen unos ejemploshoy ya clásicos(pecesque comensegúnsu longitud),considerandoprimero ejemplos de magnitudesdiscontinuas,y en segundolugar,de magnitudescontinuas. Analizaron también la influenciade los números en los tipos de resolucióndados por los alumnos.En 1955,Inhelder y Piagetestudiaron, entre otros problemas,el del equilibrio de la balanza y el problema de la proyecciónde sombraspara llegar a formalizar acercade las proporciones como uno de los esquemasoperativosfundamentales (combinaciones, proporción, coordinación de los sistemasde referencia,probabilidad, etc.),que 104

hacenaccederal niño del estadiode las operacionesconcretasal de las operacionesformales. de I'espacechezI'enfant>,Piagety InhelderinvesEn (véasetambiénFreudenthal,1980). En realidad,el problemaessabercómola percepciónde las proporciones Y separtede que el quedaprolongadaen la inteligenciade las proporciones. modelo dado,en la medida proporcional a un niño sabrádibujar una ltgura semejantes. liguras en que sabereconocer el modeloutilizadofue: Básicamente, 1. En primer lugar, hacerdibujar un triángulorectángulosemejantea un triángulo rectángulodado. 2. En segundolugar, presentara los niños triángulosrecortadosen por familias,despuésde manipucartulina,que debenserclasihcados lación libre. l. En un principio,se da al niño un triángulo,y se le pide que dibuje otro semejanteal anterior,que contengael dado, con un lado común y el punto medio de estelado tambiéncomún (Fig. 5.3)'

Esta técnicase presentaprimero para triángulosequiláteros, después (Fig. 5.a). para triángulosisósceles 105

' . SerieA. 5 triángulosisósceles Altura

30 cm 20 cm 15 cm l0 cm 7cm

Figura5.4 También se dan distintos tipos de triángulos con dos de los lados prolongados (Figs. 5.5a y 5.5b)y se pide que dibujen un segundo triángulo semejante al dado. A los alumnos, se les presentantriángulos dibujados totalmente, y se pidc dibujar otro semejante,sin concretar método alguno. se termina esta serie con unos triángulos apareados,de los que hay que decir los que son semejantes y los que no lo son.

Base

9 cm 6 cm 4,5 cm 3 cm 2,1cm

:Al :A2 :43 :44 :45

obtusángulosy semejantes . SerieB. 3 triángulosisósceles Altura

Base

6,5 cm 3,2 cm 1,6cm

50 cm :B1 25 crn :82 10 cm :B3

no semejantes . SerieC. 3 triángulosisósceles

Altura 20 cm 20 cm 20 cm

Figura5.5 Dentro de esta técnica, se pasa a trabajar con rectángulos. Dibujar un rectángulo semejante a uno dado, de forma que su base coincida con la del anterior (Fig. 5.6). Puesto que se puede considerar un rectángulo como un doble triángulo, se considera oportuno pedir que el niño dibuje un rectángulo semejantea uno dado, al que se le ha prolongado la diagonal (Fig. 5.7).

. SerieD.

Base 5 cm :Cl 30 cm: C2 50 cm :C3

no semejantes 3 triángulosisósceles Altura

Base

3cm 13 cm 26 cm

15 cm :Dl 15 cm :D2 15 cm :D3

Altura

Base

. SerieE.

3cm Figura 5.6

Figura 5.7

2. El segundogrupo de preguntashacereferencia, otra vez,a la semejanzade triángulos,pero éstosrecortados,por tanto se puedenmanipular libremente.

T. escaleno T. isósceles T. equilátero T. rectángulo

4,5 cm 6cm 8,5cm

13,5cm 12 cm 8cm 16,5cm

Angulos 43" 107o, 30o 45o, 45",90" 60o, 60o, 60o 28", 62",90o

. SerieF. 8 triángulosequiláterosy otro que tiene un ángulode 60", (Fig' 5'8)' pero la baseestárecortada 107

r0 6

5.4. EL DESARROLLO DEL CONOCIMIENTO DE PROPORCIONALIDAD

Figura5.E Estasdos técnicashan puestoen evidenciaun cierto númerode estadios que van del IIA a IV. Con la técnical, el niño, puestoque no puedehacercoincidirlos ángulos tieneque utilizar las paralelas.En cambiocon la técnica2hace coincidirlos ángulosy no necesitarecurrir al paralelismo. Lo que pareceresultómássorprendente para Piagety suscolaboradores fue que,como media,a partir de los 7 añosy medio,con la técnical, el niño empiezaa descubrirel paralelismo,y con la técnica2, a descubrirla igualdad de los ángulosy, por tanto, a hacerabstracciónde la longitud de los lados, que es lo que tanto lía a los niñosmás pequeños. Los dos tipos de presentaciónpermitierona los autorescategorizarlas contestaciones de los alumnosen subestadios. En el libro que estamoscomentando,los númerosromanosque correspondena los diferentesestadios,corresponden de forma aproximadaa estas edades:IIA (cuatro a seisaños),IIB (seisa sieteaños),IIIA (sietea ocho años),IIIB (nuevea diez años),IV (oncea doceaños). Los resultadosque se obtuvieronpermitenafirmar:Los niños del subestadio IIA, al dibujar,no tienenen cuentani el paralelismo,ni la igualdadde los ángulos,sólo si el ánguloes hacenun ángulo (!),los rectánguloslos dibujan muy alargadosy no tienenen cuentalas diagonales. En el subestadioIIB, los niñospresentanuna ideade paralelismo intuitivo en algunoscasos.En generalhay más errorescon los rectángulos quecon los triángulos,y las diagonalesno tienenningúnefecto.En el estadio IIIA sedescubreel paralelismo(técnical), y por la superposición espontánea de las figuras(técnica2) se llegaa la igualdadde los ángulos. En general,el trabajocon los rectánguloscontinúasiendomásdificil que el trabajocon triángulos.En el estadioIIIB, los niños hacencomparaciones que llevan a la vez sobreel paralelismoy las razonesdimensionalessimples (1 es a 2). Y con la técnica2, muestranun esfuerzointeresante en relacionar los tres ángulosy el paralelismode los lados.En el estadioIV, aparecela verdaderaproporcionalidadpara todaslas relacionesdimensionales.

108

El estadiodel desarrollo,que empiezaa los once años,constitiyeuna culminaciónrespectoal estadioanterior (sietea once años),que es básicamente de elaboraciónde las operacionesconcretasdel niño, período de formaciónque culminaráen un períodode equilibrioalrededorde los catorce a quinceaños o quizásmás adelante. entrerelacciones, Ya que una proporciónesuna relaciónque Seestablece concretas.Pero las operaciones de estadio en el el niño no puedeconstruirla gradualmente: puede a -f b: c + d. a) Establecercompensacionesaditivas b) Compararpor diferenciaa - c : d - b' cualitativas,como por ejemplo:Lisboaes c) Formular las correlaciones a Portugalcomo Romaesa ltalia, o árbol esa bosquecomoabejaes a enjambre,o ladrido es a perro como maullido es a gato... la relaciónentrevariables,por ejemplo: d) Compararcualitativamente etc. menos... a más...más,o a menos... e inclusoen algunoscasoscomprenderla iguale) Concebirfracciones, dad de dos fracciones(uno es a dos,como cincuentaes a cien>' multiplicativasdel tipo xl : zu-Esto le n Iniciar las compensaciones de áreasde rectánguidea de conservación a la llevarámás adelante y del volumen de palanca, la de la ley de comprensión los, a la paralelepipedos, etc. La adquisiciónserámás o menostardia segúnlos factorespuestosen juego. multiplicativasse relaHay que teneren cuentaque las compensaciones cionan directamentecon la noción de proporción,puestoque si se tiene bi' : ,"ro, y como afirman ab : a'b'; tambiénse tiene por definició ": Inheldery Piaget(1955),desdeel punto de vista psicológico,comprenderla proporción empiezasiemprepor el descubrimientode una compensación, multiplicativano p"ró cambiopareceque comprenderuna compensación "n proporción' de la inicial por comprensión qué pasar la pot ti"n" a

b'

pasa por

- :- - - - - .- - +Ab :A'b ' g 'b no necesita

ab:A'b'---------iA:

A

b'

b

Por otra parte,la familiaridadde los niñoscon los números, multiplicativas les permite pasat con cierta familiaridada compensaciones del tipo abc : mnp. Pero,hay que teneren cuentaque cuandose trata de

t09

r En este sentido tenemos varios aspectosa considerar: J

máticas (tanto en el trabajo en clase, redeir avanzando en este cámino desde nen en los distintos fenómenos, y deter_ cuenta y cuáles de ellos ," unuiun po, relaciones cualitatiuas de dependencia lejos la pantalla, mayor la sombra de área de un rectánguío, siempre, claro rble/s fijals). e, con el material, para conseguir la xionando, posteriormente, sobre ello. ección dos varillas diferentesen el -de seguir la misma sombra de dos círcu_ )co, etc.

no un lenguaje semánüco, o sea que il0

u) Debe decirnos algo del mundo que nos rodea, de los fenómenos que

Ocurrena nuestroalrededor,o de los objetoscon los que nos encontramos, compararlos,ordenarlos,cuantificarlos, etc. , lyudando a clasilicarlos, En estecasonos interesaque la expresiónlinealde la relaciónentredos Yariablesaparezcacomo una relación operativarelacionadacon conocimientosanteriores. quejunto a los ejemplosde relacioneslineales,aparezEs recomendable no linealesentreotrasvariables,y seestudienen cadacasolas canrelaciones del modelo. vcntajasy desventajas b) La escriturapropia de las matemáticasdebe ir progresandoa lo largo de los años,a travésde los diferentesestadios.Así como no hemos aprendidoa hablar y a escribiren unos pocosdías,así tambiénla introducpara el ción y, en general,el tratamientode la escrituraalgebraica(necesaria deberárealizarsede forma muy manejode tantos conceptosmatemáticos), graduadaa lo largo de variosaños de escolaridad. Aquí conectamostambiéncon el punto siguiente: VI. Buscandouna prudentey progresiuautilizaciónde lasfórmulas. No puedepedirseque los niños plasmenlos resultadosobtenidosdurante el trabajo experimentalen fórmulas,o que deduzcanalgebraicamente unas fórmulasa partir de otras si antes (o quizása la vez),no se han hecho ejerciciosde codilicacióncomo: representarvariablesutilizando diversas letras,cambiode notaciónpara las variablesy expresiónde la interrelación entreellaspor un determinadoalgoritmo. La fórmulaque el alumno puedeobtenera partir de unosdatosnuméricos fruto de la experiencia,tiene que ser, necesariamente, muy sencilla.A pesarde todo llegaráde una maneramuy dirigida,ya que hemosde teneren se llega a cuentaque, en todos los casos,a partir de una experimentación generalizar, pero tomandocomo baseunos pocosdatos numéricos. Así como dar defrniciones es cuestiónde técnicasde lenguaje,lo mismo ocurre con .Deberá intentarseespecialmente en el período propio de las operacionesconcretas(que, tengamosen cuenta, puedellegarmás allá de los onceaños,especialmente en ciertosaspectos...) que el niño expliquelos fenómenosy las relacionesque se producenentre diversosobjetoscon suspropiaspalabras,intentandoque el lenguajesevaya perfeccionando más y más a lo largo de las sucesivas descripciones. Hay que teneren cuentaque una definiciónmuy perfectano quieredecir que el que la hacelo entiendamás que otro, y ademáscomo dice Novak (1985): que la ltl

personatieneya clasificadoy pararesolverro sólo debeaplicarel argoritm. En estecaso'sin duda,er algoritmode sabei aplicarla fórmula
b :a 'l ¿ :

at

+

a d :c b

Generalmente se piensa que, si ur entiende lo que es la proporción. pe

r, comprender el tipo de relación que se nplo si una crece aditivamente, que le

enelrondo comprender quéseestáhaciend"i|iH'rt:ift:ff#:íe, etc., ",razonamiento queda traducido Para^nosotros,¿qué parte de su . con este

lenguaje?

ro sentido, y esto porque durante años ue podríamos llamar el efecto de una especial,a partir de la lectura de los

se están utilizando procedimientos curl Lluaciónadecuados. re en diseñar estrategiasde enseñanza iere decir > contenidos.

IT.

INVESTIGACIONES POSTERIORES. UNA VISIÓN GENERAL

Reconociendo la proporcionalidadcomo uno de los conceptosbásicosen la educaciónobligatoria,presentala dualidadde apareceren un principio como un conceptosencilloy, sin embargo,se muestracomo una noción dilicil en las aplicaciones. Ya en la educaciónprimaria y desdela Aritméticaapareceen algunos trabajoscon las tablasde multiplicaro con razones,por el contrario,desde la Geometríasu estudio no se inicia hasta la educaciónsecundaria.Sin embargo,se da Ia contrapartidade que la presentación de mapas,o diagramas circularesy en barras de frecuenciase dan a partir de los libros de textos,por ejemplode CienciasSociales,inclusoantesdel 5.onivel. Pareceque la precipitaciónen extenderla noción de proporcionalidada casosnuevos,como puedeserla comparaciónde númerosno naturales.o la introducciónde algoritmos de cálculo que, en el mejor de los casosel alumnoutlliza de una maneraautomática,pero que no comprende,favorece a la larga la realizaciín de erroresde cálculo. uno de ellos,quizásel que se ha hechomáspopular es el llamadoerror aditivo,identif,rcado por Piagety trabajadorecientemente por muchosotros investigadores, como Hart, Karplus,etc. situar al alumno frente a problemasprácticosestructuradosde forma que lo sitúenfrentea estetipo de error suponemosque puedecontribuir a que se eviten. En realidad,pero el problema no es tan elemental.si el problemaesde estructura,relacionado,por tanto con lo que el niño-ya-sabe, no bastarála presentación de , sino que habráque introducirseen un estudioen profundidadsobre lo que quiere decir cometerun error y porquéésteseproduceen una determinadaforma y no en otra, con una tan alta frecuencia. sin duda el punto de partida para el modernointerésen el desarrollode proporciónhay que buscarloen el fértil trabajode piagety de suscolaboradores. No se puedeobviar que se han detectadodiversosproblemasen estos trabajosy que han quedadoabiertosdistintosinterrogantes. uno de elloses que entrela mayor parte de las tareasde razonamiento que utilizaron figuraban problemasde proporcionalidadinversajunto a problemasde proporcionalidaddirecta. Algunasinvestigaciones (véase, por ejemplo,Lovell, l96l) consideranque el razonamientode proporcionalidadinversase adquierenposteriormente a los catorceaños. Afirmación sorprendentepuesto que, por otra parte, la comprensiónde la compensación multiplicativaes algo anteriora la noción de proporción.De todasformasPiagety suscolaboradores situaronla edad de la utilizacióncorrectade la estrategiaproporcionalde los once a los

lt 2

113

catorce años. Sin embargo, otros investigadores(véaseKarplus y Peterson, 1970)y otros trabajos posteriores efectuados por Karplus y colaboradores pusieron en evidencia que un gran número de alumnos al hnal de la escuela secundaria e incluso en edad universitaria no han logrado adquirir un entendimiento funcional de la proporcionalidad. Esto nos lleva al segundo problema del trabajo de Piaget, sin duda estructuralmentemás importante. Lo que queda cuestionado es la teoría de los estadios.Por ejemplo Lunzer (1978)desechóla , Jawon, Karplus y Adi (1978) afirmaron que la lógica de Piaget no forma un todo estructural. Así mismo Driver (1979) se preguntó sobre los estadios piagetianos. Su conclusión fue que hay que resituar a Piaget como epistemólogoy replantear el problema desdeel punto de vista de la didáctica en el contenido de los problema más que en el estadio formal en que se encuentra o no el alumno. Sin embargo, no hay que perder de vista que a pesar de estas dificultades, en el trabajo de Piaget y colaboradores se halla una excelentedescripción del crecimiento del concepto de proporcionalidad. Otros investigadoreshan tendido a confirmar las observacionesconcernientesal espectrumdel crecimiento y han contribuido al cuadro con detalles interesantes. Dada la importancia de la proporcionalidad no debe extrañarnos que haya sido objeto de muchos estudios en los últimos treinta años. Seguramente lo más interesante durante estos años de investigación ha sido el cambio del punto de vista desde donde se llevaba a cabo. Se ha pasado de considerar el razonamiento proporcional como una manifestación de una estructura cognitiva o habilidad global, a un trabajo más diferenciado centrado en el estudio de los procedimientos usados de forma espontánea por los alumnos en la resolución,con éxito o sin, de los problemas de proporcionalidad, lo que lleva a estudiar diversas estrategias unas correctas, otras erróneas y las variables que intervienen en su resolución. Uno de los trabajos en los que se ha hecho un gran esfuerzopor sintetizar la investigación efectuada hasta el momento es el llevado a cabo por Tourniaire y Pulos (1985). Los problemas y trabajos que se habían presentado a los alumnos en los tests y en las entrevistasfueron clasificadospor Tourniaire en tres grupos: a) fisicos, b) de raz6n y proporción, y c) problemas de mezclas. a)

b)

ll 4

Entre los primeros cabe destacar los problemas de la balanza y la proyección de sombras de diversos círculos que hay que situar entre un foco y la pantalla (Inhelden y Piaget, 1955)y que hemos estudiado en 5.2. Entre los problemas de raz6n y proporción los más conocidos son los de (Piaget y otros, 1968)y el de
trabajosposteriores(Suarezy Rhonheimer,1974;Wollman y Lawson, 1978;Hart, 1980). (Karplusy otros, 1980)es un problemade c) Y el > mezcla.En estosproblemassepide algunasvecescompararrazones dadasy otrasbuscarel cuartovalor no conocidoen una proporción. Pero estaclasifrcación necesitaser completadaagregando: Algunos de los problemasplanteados d) Los problemasgeométricos. por Piagetque hemosvisto antes(5.3)quedarianen esteapartado. Su investigación secentróen el problemade la semejanza de triángulos y rectángulos. El principalobjetivofue explorarel paralelismode los ladoscomo un criteriode semejanza, asi como la relaciónde este criterio con la igualdadde los ángulos. Otros autoreshan trabajadocon problemasde geometría,asi por ejemplo el problemadel gigante(Streefland,1984)y otros (Freudenthal,1983). Actualmenteseestáterminandoun trabajotambiénen contextogeométrico (R. Clarkson,en fasede publicación). r Estrategiasde razonamiento proporcional dadaspor los alumnoshizo necesario El estudiode las contestaciones profundizaren: - Las estrategias correctasmásusuales.Seobservaque durantela infanmuchasrespuestas se dan sin utilizar estrategias cia y la adolescencia multiplicativa,si no lo que seha llamado buildingup estrategias(Hart, 1981). inapropiadas, - Las estrategias erróneas.Algunasvecesson estrategias como por ejemploutilizar la diferenciaentrelos valoresdados(estrategia aditivia),sin duda la estrategiaerróneamás común y también más cónocida.Otras vecesse trata de una buena estrategia,pero utilizadade forma parcial. seha intentadodar una secuencia de estrateEn algunasinvestigaciones cada vez más gias.De momento,se han logrado distintasclasificaciones, En detalladas, sin que se hayaconseguidopor otra parte una secuenciación. por tanto teóricas,no son a nivel de presentación, todo casolas secuencias a nivel práctico,a nivel de alumno.Inheldeny Piaget(1955)consideraronen primer lugar, los niños que parecenno entenderel problema,los que sólo utilizanparte de la información,los que relacionanlos datossólo de forma cualitativa,los alumnosque utilizan estrategiasequivocadas(aditivas,por ejemplo)y hnalmentelos que contestancomparandorazonesutilizandola estructuramultiplicativa. ll5

Posteriormentese han hechootros trabajosde clasihcaciónde estratc gias.son los más significativoslos de Karplus y otros (1977)y los de Har.r ( r 984). . Variablesque afectana la resoluciónde los problemas Al mismo tiempo que se estudiabanlas estrategiasde razonamiento proporcionalse realizabany ampliabantrabajoscentradosen el estudiodc

Aspectosdidácticos <¿Qué es el tiempo? Si me lo preguntais k¡ sé; ,si k¡ quiero explicar, no lo sés¡.

o no) y las variablesestructurales (estructurade los números,la presenciade una unidad,etc.),c) y quizásla más complejay menosestudiada:la relación entrela enseñanza y el aprendizaje. Algunosinvestigadores hemostrabajadoen estesentido.para algunosla enseñanza activa(wollman y Lawson, 1978),la utilizaciónde materialy la descripción(Almató y otros, 1986,véasecapitulo 6) y la importanciade proveerrepresentaciones simbólicaspara plantearel problemay para ayudar a los alumnosen la formulaciónde susrespuestas (Streefland, t-gs¿-tggs) parecetenerinfluenciaen el progresodel razonamientoproporcional.

(San Agustín)

6.1. ¿POR QUÉ ENSEÑ¡,n r,¡, PROPORCTONALIDAD? Desdela Didácticade las Matemáticashay dos preguntasbásicasque se nos planteancadavez de forma más acuciante: 1. ¿Quéprocedimientos espontáneos utilizamospara matematizar? 2. ¿Cómohacermatemáticas de forma que seaun lenguajesemántico,o seaque digan algo,que nos dé informaciónsobreel mundo que nos rodea? Son preguntasque sirvencomo marco de reflexión. La primera incide en los métodosque de forma espontánea, , utiliza el niño y utilizamosmuchasvecesnosotrospara resolverproblemas. La segundaquierehacernosreflexionarsobrelas matemáticascomo un lenguaje.Pero, debemosser prudentespuesto que esta expresiónse ha interpretadomuchasvecesde forma errónea. Hemosvivido,mejor dicho padecidotantasveceslas Matemáticascomo un juego de lenguajesintácticoy vacío de sentidoo seaque ,sólo atentaa suspropiasleyesde estructurainterna que cuestahacerotro tipo de lecturade la palabralenguaje.Sin embargo,nos referimosaquí a las Matemáticascomo un lenguajeen el más elementaly cotidianosentidode la palabra:un lenguajeque dicealgo,que nos dicealgo, que es transmisorde ideas,imágenes, etc.,en frn, a un lenguajede relacióna un lenguajesemántico.

n6

ll7

Tomando como referenciaestas reflexiones,podemos justilicar la importancia de la Proporcionalidad en la enseñanzapof las siguientesrazones: l.

Desde la Enseñanzade las Matemáticas y desdefinales de la Primaria y en todo el período de Secundaria, se puede considerar que el tema de la proporcionalidad es núcleo a partir del cual se unifican las líneas básicas de nociones como: -

2.

Razón y proporción. Fracción y número racional. Número decimal y problema de la medida. Cambio de unidades, cambio de escalas. Problemas de repartos proporcionales. Problemas de regla de tres. Porcentajes. Probabilidad. Gráhcas de funciones lineales. Teorema de Thales. Semejanzade figuras. Problemas de mezclas y aleaciones. Escalas,mapas y maquetas. Funciones trigonométricas. El número z.

En las Ciencias y la Técnica la proporcionalidad es uno de los instrumentos más importantes. Nos encontramos con que frecuentemente muchos de los conceptos de Física y Química son en realidad nombres dados a relacionesde proporcionalidad, como por ejemplo: la velocidad,la aceleración,la densidad,la presión, las concentraciones,las dilataciones...o la formulación de leyes como la ley de Ohm, la ley de Hooke o la ley de Proust. Incluso es la idea de proporcionalidad entre magnitudes la que da lugar a buena parte de los instrumentos de medida utilizado en estas Ciencias.

Aparte de estasconsideraciones,hay un hecho evidente:el niño ya desde los primeros años de su vida, para moverse en su entorno fisico, utiliza la noción de proporcionalidad, así en: estimar el tamaño real del objeto que está lejos o en interpretar imágenestan cotidianas como dibujos, fotos, cine, posters, carteles,etc. Y esto no sólo a nivel cualitativo, sino que también y muy pronto aparecen intentos de cuantihcación. He aqui unas anécdotas sobre esta cuestión: Freudenthal (1983) cuenta conversacionescon su nieto. En uno de sus paseosel pequeño (5 años) señala unas nubes y dice que son de lluvia. Freudenthal le dice que no, que las nubes que ve están muy altas y que las nubes de lluvia están más bajas (dando una altura aproximada). El niño, que entiende la respuesta,hace con las manos una reproducción de la situación a escala. Años despuésy durante otro paseo el niño (7 años y medio) pregunta por la altura de una torre. Al principio intenta dar él mismo una respuestaa la pregunta y estima que la altura de la torre es de 100 metros. Freudenthal le dice que no, que ni la torre de la catedral tiene esa altura y para ayudar en el cálculo se sitúa él al pie de la torre pegado a la pared. Pero este método sugerido,por comparación directa, no va bien al niño. Finalmente, y después de una pequeña conversaciónen que se sugierela utilización de un palo, el pequeño es capaz de plantear el problema (Fig. 6.1).Apoyando el palo sobre un muro bajo y calculando la distancia en pasos del muro a la torre se contesta a la pregunta: 40 m, aproximadamente. Otra situación familiar: Un domingo por la mañana la madre se encuentra en casa con dos de sus hijos. Kepa (7 años) mide a su hermana pequeña. Ha hecho que se ponga en el suelo, la mide con los pies y dice: <6 pies y medio de Kepu.

3. Además el concepto de proporcionalidad apareceincluso a finales de Primaria en el curriculum de Ciencias Socialesbajo distintas formas: densidad de población, tasa de natalidad, así como en la lectura de mapas y de diversos tipos de gráficos. 4.

I t8

Pero la proporcionalidad no es importante sólo desde el punto de vista de las Ciencias,sino que también tiene una importancia fundamental desdeel punto de vista del desarrollo de la inteligencia.Así la epistemologia genéticala considera uno de los esquemasoperativos fundamentales del estadio de las operaciones formales (Inhelder y Piaget, 1955).

Figura6.1

lr9

Más tarde en la terrazajuegan y toman el sol. De repente Kepa que está mirando la calle dice: r(Fig. 6.2) y l,r"go insiste: <... es un pulgar... y la ventana una uña y aquella ventani una- uña del dedo meñique...> Van den Brink y Streefland(1979) cuentan la conversación de un niño llamado Coen también de 7 años con su padre. Están en la habitación del pequeño mirando unas reproduccionesde barcos. Coen pregunta por las dimensionesde la hélice y el padre le contesta: . Entonces Coen muy contento dice: <¡Sí! En un libro que he visto en el colegio hay una foto de una hélice (señalacon los dedos unos 3 cm) y al lado se ve un hombre pequeño así (1 cm).> Figura 6.2 Pero continuando con Frendenthal (19g3) éste afirmaba que:
w lo) 1

- Un objetode su imagena cualquierescala.

F,z

/l

- Dos imágenesdel mismo objeto a escalasdiferentes.>

Estees,por tanto, un conceptoutilizadoen nuestroentorno cotidiano, pero que presentamuchasdificultadesa nivel de aplicacióny formulación como han comprobadodiversosinvestigadores, piagety com'opor otros (1968),Limmat (19i4),Karprusy otros (rg77),woilman "¡"Ápt-and Lawson (1978),Vergnaud (1983),Hart (19g4),etc., y seguramente la mayoría de nosotrosen nuestrotrabajo en la escuelay en generalen nuestro entorno. 120

6.2. PROPUESTA DIDACTICA PARA TRABAJAR LA PROPORCIONALIDAD Estapropuestafue diseñaday ampliamenteexperimentada por un grupo de profesores formadopor los propiosautoresy los maestros:Adolf Almató, IgnasiHosta y Joan Valldaura(véaseA. Almató, 1985). El trabajo estáplanteadocon un doble objetivo: l.

Introducir a los alumnosen un tema esencialen E.G.B.a travésde una metodologíaexperimental. 2. Ofrecera los profesoresuna seriede materialesde trabajo fácilesde manejar,que les permita: a) Crear un ambientede trabajo estimulante. b) Situarsecomo observadorde esta situaciónde apredizaje.Esta situacióndel profesor,que provocauna nuevainterrelaciónniñoadulto es la basepara facilitarnos(a los investigadores) la información deseada:los métodosde resoluciónutilizadospor los alumnos. Los puntos básicosdel método son: a) Trabajarel conceptode proporcionalidada partir de nocionesgeométricas,especialmente en la introducción. b) Y a nivel de la clasey el laboratoriopartir de la manipulaciónde materialy el trabajoen grupo para favorecerel intercambiode ideas entre los componentesdel mismo y la descripción.Los alumnos tienenque hablar,escribir,buscaresquemas, etc. Partimosdel hechode que el alumno de 12 a 14 años tiene múltiples experienciasfisicasdel concepto.lncluso algunasveceslo utiliza de forma espontáneapara resolverdeterminadosproblemas,pero no sabe generalizar, no puedeaplicarloa diversassituaciones. Nuestrahipótesisesque el trabajoen grupojunto con una buenautilización del material, que debepasar por el esfuerzode dar una buenadescripción de la experiencia,y por tanto, en buscar esquemascada vez más adecuados, ayuda a interiorizarel concepto. La estructuradel trabajo sigue,en general,el siguientemodelo: Se presentaa los alumnosun material y unas fichas.En las fichas se detalla: l. El materialque va a necesitar. 2. Cuál es el trabajo que debe realizarsey finalmentese le pide que: 3. Describalo que ha encontrado,sus descubrimientos y/o explique cómo ha llegadoa solucionarel problema. t2l

METODO DE TRABAJO I I I

¡r

rl t'

Partiendo de figuras geométricas:RECTANGULOS aspectoscuantitativos Aspectoscualitativos lado relación._ iado 2. FAMILIA de rectángulos Familia de triángulos+ haciala funciónlineal. l.

TRABAJO CON MANIPULACIÓN DE MATERIAL

I

I I

Taller

; I I

RESULTADOS

Sistematización Expresióngrálicay númerica Dificultades

I I

DESCUBRIMIENTOS

I I I I I L-

U O

I

I I

Expresiónescrita Métodos Definicionesoperativas

z

I I I I

&

F

3. Comparaciónde longitudesde dos figurassemejantes. lado que NO SON:,"-

z 4. Trabajo con el aparatoPROP longitud de la varilla Relación: '

o rl

z 0

l--

F

longitud de la proyección

l.

Porcentajes MAQUINA del tanto por ciento.

s v)

U)

APLICACIONES/AMPLIACIÓN

Cálculo comercial Escalas k2 Algunos temasde Ciencias Experimentales

z Q

O J

2. Trabajoscon mapa:ESCALA

o -

3. Superficies.ConstanteK2

^

4. Densidad

9)

5. Gulliver. Proporcionalidad y proporcionalidad
f.

ESQUEMA 6.1.

un aspectomuy importantede la propuestaessu ordenación,la graduación de las fichasy materialesteniendoen cuentalos distintosnivelesde dilicultad. La propuestadidácticaestádividida en dos grandesbloques:Introducción y aplicaciones (véaseEsquema6.2)que se presentandivididasen total en ocho talleresdistintos,tal como se indica: 6.2.1. Partiendode aspectosgeométricos Como decíaFredenthalen el III JAEM de Zaragoza(1983).<...Estoy convencido que es por culpa de una enseñanzamal organizadaque han recibido.A la edad en que sees más sensiblea la Geometría,no sele enseña más que cálculo aritmético.se ha ignorado la fuentegeométrica,el origende

r22

r¡t

ESQUEMAó.2

la proporcionalidady se ha perdido la ocasiónde hacer explícito y de de las ideasgeométricas.> verbalizarestetesoroimplícito e inconsciente Claro que Freudenthalserefiereal deciresoal curriculumescolar.Antes proporcionales es realizahabíainsistidoen que la apreciaciónde relaciones de visualizar el mundo por muy tempranas a nivel niño desde edades el da que le rodea. Ademásestá el trabajo efectuadopor Piagete Inhelder (1948).En su estudio de su interpretacióndel espaciopor el niño, estableceninterrelaciones entre el razonamientoproporcional numérico con la identificaciónde 123

figurassemejantesen el plano. primero a partir de dibujar o aparejar triángulos semejantesy más adelanterectángulossemejantes. Por ello creemos que es aconsejableempezarla propuesta didáctica utilizandoligurasgeométricas. El objetivoes que el alumno utilice materialgeométricoestructuradode gran sencillezyquea partir de él y de las ideasque el propio niño ya poseea nivel intuitivo puedair concretando, ampliandoy enriquéciendo su lénguaje matemático. A partir de ahí y como centro de nuestrotrabajo nos interesaespecialmenteconocerlos métodosde resoluciónque de forma espontáneautilizan los alumnosde estasedades.Algunasveces,sobretodo al principio sugeríamos algúnmétodode resolución,pero la mayoriade las veiesaóabaronpor sorprendernos con otros métodosdiversose imprevisibles.

Este apareamientono es trivial. Es curioso observarque, ya que el métodoque nosotrosproponemos-sostener el rectángulocon la mano izquierday el brazo extendidoe intentartaparlo exactamente con el otro rectángulosostenidocon la mano derecha-, no esfácil de aplicar,van apareciendopoco a poco y por tanteonuevosmétodos. Al pasara la cuantilicaciónla relaciónque nos interesaes: lado del rectángulo

largo

otro lado del rectángulo

ancho

6.2.2. Familia de rectángulos El primer materialque seda a los alumnosesuna colecciónde rectángulos (Fig. 6.3).Se les pide que los apareende forma que, aunque tengan distinto tamañotenganla mismaforma. Aunquese habia de semejanza,-no hay una definicióndel términoy lo que r" erpeiuesqueel alumnoagrupelos rectángulosde dos en dos segúnsu percepciónvisuáI.

Figura 6.4

F :1 5 cm x9 cm

A : 20 cm x 1 6 cm 11:l0cmx 8 cm

8 : l0 cr n x6 cm

6.2,3, Comparar otras longitudes

E:16c m x 16c m G:8c m x 8c m

J : 24c m x 1 5 c m D: 16c m x l 0 c m Figura 6.3

124

/:18cmx12cm C:6cmx 4cm

Puestoque las figurasrecortadasse mueven,superponen, etc.,convenimos en llamar al lado de mayor longitud y al lado más corto. Estacomparaciónentredos ladosdistintosde un mismo rectángulonos permitetrabajar,a partir de fraccionesequivalentes, lo que llamamosuna de rectángulos. familia La acciónde dividir los rectángulos de una mismafamiliapor una de sus diagonalesy situar una de cada mitad sobre unos ejes de coordenadas (Fig. 6.5)lleva de forma natural a una primeraaproximaciónde cartesianas la funciónlineal. Ademásproveeal alumno de un método fácil para construir otros rectángulos de la mismafamiliaque los dadosen el origende este problema.

Al pasardel estudiomanipulativode las dos variablesconsideradas en gráficasobreunos los rectángulos:lo largo y lo ancho a la representación 125

Pensar que la relación de proporcionalidad se mantiene si a las dos variablesse les suma la misma cantidad es un tipo de error frecuentemente Suárezy detectado(véasePiagety Inhelder,1967;Karplus y Peterson,197Q, cercade un 30 por 100 etc.),y tan común que representa Rhonheimer,1974, del total de alumnos en la resoluciónde algunosproblemas(véasepor ejemploHart, 1984).

6.2.4. El PROP relacioCon el aparatoPROP (Fig.6.7)sepretendenvisualizardiferentes y que de construir es fácil PROP son: del Las ventajas nesentre segmentos. en clase. fácil de utilizar Esquema(PROP))

Figura6.5 ejesde coordenadas, nos encontramoscon que las dos variablesrepresentadas por dos lados distintosde los rectánguloscoincidencon valoresde la 20 t5 10

1. La relaciónque se estudiaes lado/perímetro,y por tanto, éstasson las dos variablesque se representansobrelos eje'sde coordenadas. 2. Además y puesto que el material lo permite se trabaja la idea de adiciónrelacionadacon la proporcionalidad. se intenta aqvi, que el alumno compruebeque si tiene un rectángulo (x, y) (largo,ancho),para construir un rentángulosemejante(x,, y,) nó es .: un método generalizablesumar una unidad a cadauno dé los lados. x

v

I +t

+l

Figura ó.6

126

Figura 6.7

A pesarde esto hay que señalarque, a lo largo de la experienciase ha visto que la utilización de material lleva aparejadasalgunasdificultades.En efecto,no es lo mismo ,que realizamosrealmente,es aproximada y lo que esto significa. 127

Actualmenteen las orientacionesespeciñcas dadas desdelos Diseños CursicularesBasese insisteen que debe trabajarsejunto a la exactitud,la estimaciónen los cálculosy medidas.Lo realmentecomplejo resulta ser el mantenerun equilibrio efrcazy claro entre las dos. La exactitud,cuando y cómo es necesariay explicabley el cálculo aproximadoque permite cálculos mentalesa vecespor tanteodificilmenteexplicitables. En cuanto al aparato PROP (Fig. 6.8) y en un principio, un alumno miraba la variablel.Bdesde el punto O dela escalahorizontalC mientras que un compañero/aiba moviendoel dedo sobrela escalavertical.Hasta que el dedo y la punta de la varilla (8) se veían sobrela misma visual. Al considerar que los márgenesde error de los resultadosque así se obteníaneran demasiadograndes,substituimosel hechode mirar por colocar y tensarun hilo elásticodesdeC hastaD pasandopor .Blo que permitió actuarcon una mayor precisión. Finalmenteayuda el hecho de reproducir el aparato PROP a escala sobre papel milimetrado asi como las distintasvarillas,y estudiarlo que ocurrecon las medidasen el dibujo.

Escala Al trabajar la lectura de mapaslo hacemosa tres niveles. 1.o Ver que lo que nos interesaahora no esla relaciónentrelas longitudesde dos segmentos de una mismafigura,sino compararla longitud (por ejemploexpresadaen cm) de un segmentodado sobreun dibujo y la longitud> de un objetodado (expresada tambiénen cm). Hay que teneren cuentaque ya en el PROP se ha estudiadola relaciónentrela longitud de la proyeccióno de la varilla y la propia varilla. Ahora empezamos comparandolas longitudesde segmentos toy los correspondienmadossobreel dibujo reducidode una cassette tes sobreuna cassettereal. 2." Esto se concretautilizando una escalagráfica. 3.o Hay que acabar prescinciendode las unidadesde longitud para hablar de lo que se llama escala(o escalanumérica). 3. k2

B

Trabajarcon distintasfigurasplanasen el PROP puederesultarbastante complejo. Convieneque sedispongade una colecciónde liguras planassemejantes dos a dos (Fig. 6.9).Un ejercicioque puederesultarrentablea nivel didáctico es empezarpor preguntarse cómo dada una figura plana se puedeconstruir (recortar)otra semejante. Si se impone la rectricciónde que no sobra papel (sqsp)el ejercicio resultamás ameno.Son ejemplos:

Figura ó.8

6.2.5, Aplicaciones l.

Porcentajes

Acabada la introducción del concepto interesarelacionarlo con aplicaciones del mismo que reciben distintos nombres,y sobre todo, que en el curriculum han sido tradicionalmentetratados de forma aislada. Uno de ellos es la noción de porcentajes. Despuésdel trabajo con el PROP resultafácil conectarcon una primera aplicación del concepto de proporcionalidad: el trabajo con el tanto por ciento. Esto quedaconcretadocon una máquina-calculadoradel % (véaseLaboratorio de proporcionalidad)fácil de utilizar y que comporta la aplicaciónde las propiedadesft-lineales. 128

. Dado un triángulopor ejemplorectánguloy escaleno. a) Recortarotro triángulomás pequeñoy semejanteal dado. al b\ Recortarcuatro triángulosigualesmás pequeñosy semejantes dado (sqsp). . Dado un folio (rectángulo) a) Recortarun rectángulosemejanteal dado (que no sea la cuarta parte). al dado y dos que no lo sean b) Recortardos rectángulossemejantes (sqsp). entre sí (sqsp). c) Recortartres triángulosrectángulossemejantes Es importanteestudiarmétodosde ampliacióny reducciónde liguras también a través de dibujos. Insistir en los procedimientosde resolución (Fig.6.10). válidaspara un casode figuras,pero que no son generalizables 129

Procedimiento

Triángulo

Trazar una paralelaa uno de los lados

Trazar paralelasa cada uno de los lados

Trazar rectasdesdeun vértice del polígono,punto exterior o punto interior hacialos vértices

v...

si Figura ó.10

4. Densidad

aparecela noción de medida y aproximaciónde esta medida' Es un buen momentopara insistir en la reflexión. 5. Gullíuer

Figura 6.9 Figuras geométricaspara trabajar la proporcionalidadde superfircies

130

En
Como la resistencia de los huesos de las piernas es proporcional al área de su sección recta. la relación de resistenciaes:

En un segundoviaje Gulliver naufraga de nuevo y apareceen las costrr,, de Brobdingnag. En estepaís pasaexactamenteal revés:Gulliver es un enano. La escalarlt todas las cosases de un pie a una pulgada, por tanto, Gulliver es 12 vcccs menor que un habitante de este pais (Fig. 6.11). Así, al describir el primer hombre gigante que ve, Gulliver dice: ¡Un gigante de unos 20 metros de altura! Esta aventura fantástico-satíricafue escrita a principios del siglo xvtn. Sin duda, cuando J. Swift creaba un personaje que resultaba engrandecido o empequeñecido respecto a su entorno, tendria más que motivos cientifrcos:motivos de fábula y simbólicos. Es de suponer, de todas formas, que no le molestariael hecho de que nos aproplemos,por un momento de Gulliver, para que nos ayude a contestar a algunas de las preguntas que hemos formulado. Casi dos siglos antes (siglo xvt) de que J. Swift escribiesesu novela, Galileo ya habia Gulliver afirmado que los modelos ampliados o reduci--t dos de un hombre no son posibles. Así en una A tl t de sus obras uno de sus _lt__ personajesdice: ;pero otro personaje fisico le contesta: . Veamos por qué. Hay que considerar,en primer lugar, que la resistenciaa la rotura de una cuerda, alambre o columna es proporcional a la sección recta (Fig. 6.12). Luego la resistenciade los huesosde las piernas es proporcional al área de la sección recta. Veamos que ocurrirá en el gigante de Brodingnag que es 12 vecesmás alto. Tal como lo describeSwift los dos tienen igual constitución. En realidad los dos cuerpos son semejantesen sección y forma. La relación de las lonsitudes es:

longitud del gigante 12 longitud de Gulliver T t32

t22 área sección gigante =P:l área sección Gulliver

Figura 6.12

Por tanto, las piernas del gigante son 144 vecesmás resistentesque las piernas de Gulliver' Pueden,pues,aguantar más peso.¿Pero,cuánto más Peso? Debemos tener ahora en cuenta que el peso que las piernas deben soportar es proporcional de materia (carne,huesos"')que lo u lu "utriidud forman, por tanto, es proporcional al volumen' La relación de los Pesoses: volumen del gigante volumen de Gulliver

Figura6.13

144

:l r t23 :

1.728

I

Así que mientras la resistenciadel gigante ha aumentado 144 veces,su peso ha sufrido un aumento de 1.728veces.¡Su resistenciaes 12 vecesmenor que la de Gulliver! o dicho de otra forma, el hombre de Brobdingnag para aguantar su propio peso deberá hacer un esfuerzo análogo al que tendríamos que hacer nosotros caminando con 1l personas sobre los hombros (Fig. 6.13). Galileo había escrito: <." si se quisiera mantener en un gigante la misma proporción de miembros de un hombre normal o habría que utilizar un material más duro y fuerte para formar los huesos, o habría que admitir una disminución de su resistencia en comparación con la de un hombre de estatura mediana...> Está claro pues, que si pensamosen un gigante con la misma conltguración que un hombre normal habría que utilizar un material más resistentepara formar ius huesos' En caso contrario, al disminuir su resistenciaal aumentar la altura, acabaria por aplastado sobre si mismo. quedar ^ Tenemos diversos ejemplos en la naturaleza: el elefantetiene sus miembros muy gruesosy una ba-

I :¡:] {JtllVERSlDAD,DlSTRl.TA

u¡tAiDAs f FA$sscülüst fli üiBliolLr-;+: ';i5Tr&"R

llena,que es el más grandede los animales,no tiene los huesosproporcionalmente gruesos,vive soportada por el agua, su medio natural y en el caso cle quedar varada en la playa, muere bajo su propio peso. si por otra parte, nos frjamos en los edificios, éstos pueden ser construidos muy altos porque, entre otras consideracionessus materiales son mirs resistentesque los nuestros. Pero, así y todo no se puede construir, por ejemplo un edificio de 6 km de altura, como una montaña. Éstas son maciz¿rs y un material tan resistentepara realizar esta hazaña todavia no es conocido. Tampoco son viables las arañas u otros tipos de insectos gigantes como los que salen a veces en películas fantásticas. Si, por ejemplo, una araña aumentase en 100 vecessu altura, su peso aumentará en 1003 o sea que sc haría un millón de vecesmayor, sin embargo, como la seccióntransversalde sus patas aumentaria en solo 1002,o sea se haria diez mil vecesmayor, la araña tendría muchos problemas, incluso para ponerse de pie porque en realidad su fuerza relativa habría disminuido nada menos que 10b veces. De momento hemos visto qué ocurre cuando el tamaño aumenta, ¿y si disminuye? volviendo a Gulliver. Al naufragar la primera vez se encuentra frente a los liliputiensesque son personas l2 vecesmás pequeñas.¿cómo serian éstos en caso de existir? (Fig. 6.1a). Los animales pequeñosnos dan la impresión que se mueven mucho y que comen mucho también. ¿Qué comida necesitaria un liliputiense? El cuerpo humano y todo animal de sangre caliente desprendecalor especialmentea través de la piel. Y podemos considerar que sus necesidadesde alimento son proporcionales a su desprendimiento de calor, por tanto, proporcional al área de la superficie de su cuerpo. Hagamos la hipótesis de que Gulliver puede vivir con un pollo al día. El liliputiense necesitaráuna cantidad de comida proporcional aiu superficie,y

Ejemplo

rl

D

l: 2

I

ffil

f,'tf, l:8

Razón

K

K2

K3

Liliput

1: 12

1:1 4 4

l:1.728

Brodingnag

12: l Figura6.14

134'

E trl

144:l

1.728:1

por tanto, necesitaráuna cantidad de comida 144 vecesmenor que Gulliver. Pero un pollo en la escala de liliput pesará 1728 vecesmenos que el polllo que se coma Gulliver. Así pues el pequeño liliputiense para saciar su hambre nccesitaránada menos que 12 pequeños pollos. Si, en un día de calor, Gulliver y un liliputiense van a bañarse a la playa. ¿,Quéocurrirá? Tengamos en cuenta que, cuando salimos del mar chorreando agua, se puede considerar que la película que rodea el cuerpo es uniforme. Así que el agua que sacamos del mar es proporcional a la superhcie de nuestro cuerpo. Ya estamos de nuevo frente a diferencias importantes. La cantidad de agua que nosotros sacamosdel mar no nos pesa,no la notamos cn este sentido, o sea que tampoco Gulliver lo notaría ¿pero,qué le ocurre al hombre de Liliput? Las relacionesa considerar son:

pesoGulliver pesodel liliputiense

1 1.728

pesodel agua que sacaGulliver

I

peso del agua que saca el liliputiense

144

O sea que la relación entre el peso del liliputiense y el peso del agua que saca es

r.728 144

t2 I

Considerandola mismarelaciónen Gulliver como 1/1 para el liliputienseel agua que lleva encimaes como 12 vecesmayor. Si tomamos,por ejemplo, que Gulliver sacaun cuarto de litro de agua,el pesodel agua que sacael filiputienseserá12 vecesmayor, y por tanto: 3 kilos. varios.BastarecorEjemplosen la naturalezahemosvisto seguramente dar lo que ocurrecuandouna moscao una abejasemojan.Pareceque han quedadoatrapadasen el agua. Esto nos lleva a imaginarque los liliputienses(y las liliputiensitastamágilesy fuertesya que al tener bién)seríangentemuy hambrienta,estilizados, podrían lácilmente variasvecesun peso huesos muy resistentes aguantar los pero que sentiigual al suyo sobresí mismos(¡haríanmagníficoscastellets!) rían muy poca afrciónpor la natación. Si exageramosun poco más y nos imaginamosuna raza humana del aumentarían,asi: tamañode una hormiga.Las . No podríanencenderfuego,ya que una mínima llama establees mucho mayor que ellas.

r35

. No podrían servirsede herramientas. Un martillo en miniatura tienc una energiacinética incapazde clavar una tachuela. o No podrían fabricar libros, pueslas fuerzasintermolecularesno permitirian ni mover las hojas. r No podrían ducharse.Parecidoa lo que hemosdicho antes,por una parte, las gotas de la ducha golpearíana los hombres-hormigacomo proyectilesy por otra parte si se sumergenen una gota, la tensión superficialles haría muy diñcil salir de nuevo.

6.3. LABORATORIO DE PROPORCIONALIDAD Recopilacióndefichasgraduadasparaalumnosl2-l4años(A'Almató; M. L. Fiol: J. M. Fortuny; I. Hosta;J' Valldaura,1985)'

ÍuorcE: Modulo fundamental:

Por el contrario y como contrapartida: ¡ Podríanlevantarpesosmuy superioresal suyo propio. r Podriancaerde grandesalturassin hacersedaño.Nosotroslespareceríamosseresmedio adormecidos, casiparalizados. Vemos,pues,que el supuestocambio de tamañosen animalesque son geométricamente semejantes lleva a grandescambios. Algunos de estos cambiosdependende la longitud -/aunque la mayor partedependedel área,y por tanto,de la longitudal cuadrado-12y unoscuantosdel volumen,o sea,del cubo de la longitud-/.3. Pero esto,evidentemente, no ocurre sólo en el cambio de tamaño de animales,sino tambiénen el cambiode tamañode estructurasno vivas.Su estudio,por ejemplo,desdeingenieria,planteaproblemassimilares, queel estudiode la proporcionalidadacaba No puede,pues,considerarse cuando se han estudiadolos cambioslineales,sino que habrá que incidir que éstoscambioslinealesproducensobrela especialmente en la repercusión relaciónentrelas áreasy los volúmenes. Así y todo, ésto no es suficiente.Como acabamosde ver, uno es el comportamientomatemáticode las variablesy otro el comportamientode las variableslisicaso químicasal interactuarsegúnmodeloslineales. Seránecesariorelativizarel modelomatemático,poner ejemplosconcretos. De éstos,la variaciónen el tamañode los animalescon su influenciaen de subsistencia, esrico la estructura,comportamientoo inclusoposibilidades en maticesy sugerencias. He aquí un punto que precisaun tratamientode confluenciaen el aula entrelas Matemáticasv las Ciencias.

r36

Bloque1: Fichas1.1a 1.6. P-1' Problemas Bloque2: Fichas2.1 a 2.2. ProblemasP-2. Bloque3: Fichas3.1a 3.5' ProblemasP-3. Módulo de aPlicación: Cálculocomercial:hchasI a 8, con la lista de problemas' Escalas:Fichas I a 3, con la lista de problemas' densidad' Cienciasexperimentales: Literatura:Gulliver' Entretenimientos.

l-1 t

PROPORCIONALIDAD I.I.

Nombre:

Fecha:

Material:

Lzrgo Ancho

Diez rectángulos de formas y medidas diferentes, designados con las letras: A, B, C, D, E, F, G, H,I, J. Trabajo a realizar. Agrupa los rectángulos de dos en dos de manera que tengan diferente medida pero la misma forma, es decir, apareja los rectángulos semejantes. lJna manera de hacerlo es sostener un rectángulo (grande> con la mano izquierda y el brazo extendido y colocar delante de éste uno con la mano derecha, intentando que un rectángulo tape al otro. Cuando los tengas todos aparejados completa el siguiente cuadro.

Descubrimientos:

PROPORCIONALIDAD 1.3.

Nombre:

Fecha:

Material: A

B

c

D E F

c

H

I

J

Los rectángulosC e 1 de las fichasanteriores' Trabajo a realizar:

semeJantea Encima de la mesa, colocando un rectángulo sobre su pareja, intenta encontrar nuevos métodos para aparejarlos.

amplíala famide las frchasanteriores, los descubrimientos Aprovechando lia de los rectángulosC e I con dos miembrosmás. Explicalos métodosque has utilizado.

Descubrimientos:

Explicación:

PROPORCIONALIDADI.2.

PROPORCIONALIDAD I.4.

Nombre:

Fecha:

Nombre: Material:

Material:

que tú mismohasconstruidoen el ejercicioanterior.Hoja Los rectángulos de papel milimetrado con unos ejesde coordenadas.

Los diez rectángulosde la actividadanterior(1.1).

Trabajo a realizar:

Trabajo a realizar: Mide en centímetroslos lados de cada rectánguloy para cada parejade rectángulossemejantes completalas siguientes tablas: Nota: Convencionalmente, siemprellamaremosal lado de mayor longitud y al lado más corto.

oo

A

H

20cm

cm

l6 cm

cm

d

¡

138

1. Cogetodos los rectángulosy ordénalosde menora mayor' 2. Sobreel papelmilimetrado colocael rectángulomáspequeñode manera que la anchurase apoyesobreel eje horizontal x y la largura sobre el ejeverticaly. A continuación,resiguelos otros dos ladosde manera que el rectánguloquededibujado en el papel.Seguidamente,hazlo mismo con los otros rectángulos. 3. Observalos vértices.¿Quéha sucedido? 4. Dibuja sobrelos ejesde coordenadasun rectánguloque no seasemejante a los anteriores.¿Quésucedecon éste? Descubrimientos

139

PROPORCIONALIDAD I.5.

Nombre:

Fecha:

Material: Los rectángulosde la actividadanterior(1.4),cartulina,reglay tijeras. Trabajo a realizar: 1. Mide en centímetrosla anchuray la largurade todoslos rectángulos, ordenadosdel más pequeñoal más grande. Completala siguientetabla:

Fecha:

Nombre:

PROPORCIONALIDAD P-1.

1. Partiendodel rectángulolque como ya sabesmide 18cm de largo y 12 cm de ancho,haz los ejerciciossiguientes: a) Dibuja y recorta un rectánguloM, semejantea f, que tenga 6 cm de ancho.A continuación,completala tabla y la expresiónsiguientes:

{_n 126

183

Dibuja y recorta dos rectángulos de la misma familia que los anteriores, es decir, que sean semejantes. El primero ha de medir 10 cm de ancho y el segundo 21 cm de largo. Completa la siguiente expresión:

361 2 , - 4-T -

n

b) Dibuja y recorta un rectánguloN, semejantea I, quetenga3 cm de largo.

2. Dibuja y recorta un rectánguloK de 10 cm de largo y 8 cm de ancho.

12

10

tr

16 100

3. Explica todos los métodosque conozcaspara resolverla pregunta2. Explicación:

tr: n

a) Dibuja y recorta un rectánguloZ, semejantea K de 5 cm de largo. b) Dibuja y recorta un rectángulo Q, semejantea K, de 24 cm de ancho. Completa:

t 5

n PROPORCIONALIDAD 1.6.

Nombre:

Fecha:

T

Material: Los rectángulosde la actividad anterior (1.5),regla y tijeras.

- T10

24

3. Completa,1o más rápidamenteposible,las expresionessiguientes:

Trabajo a realizan 1. Recortatodos los rectángulospor la diagonal.Te quedarándos coleccionesde triángulos iguales. 2. Toma una de las coleccionesy tal como hicisteen la ficha 1.4 dibuja sobreunos ejesde coordenadastodos los triángulos,de maneraque la base(antes< del rectángulo)coincidacon el eje horizontal ¡. 3. Pegacada uno de los triángulos sobreel contornb correspondiente, de maneraque uno no tape totalementeal otro. 4. Pega la otra colecciónde triángulos haciendouna composicióna tu gusto.

r40

b)

a)

n

ü ol

.10

- :-

''2 0 2

i)

h)

k)

141

'1 0

n)

73 lÁ

o)

102

45 l5

Nombre:

Fecha:

Material:

618

s) 1 5 -:

PROPORCIONALIDAD 2.2.

t5

Unos 60 palillosy una hoja de papelmilimetrado. Trabajo a realizar:

PROPORCIONALIDAD 2.I.

Nombre:

Fecha:

Material: Unos 60 palillos y una hoja de papel milimetrado. Trabajo a realizan l.

a) Construyeun cuadradoque tenga un palillo por lado. ¿Cuántos palilloshas utilizado? b) Construyeotro cuadradoque tengados palillospor lado. ¿Cuántos palilloshas utilizado? c) Haz lo mismo con tres i cuatro palillos por lado. d) .Con los datosque tienescompletala tabla correspondiente. 2. Ahora haz exactamente lo mismo,pero en vezde construirrectángulos construyetriángulosequiláteros.

1. Construyeun rectángulode2 x 5 palillos.Sin desmontarloconstruye otro añadiendoun palillo a la larguray otro palillo a la anchura. al primero?¿Porqué? El nuevorectángulo,¿essemejante Dibuja estasituaciónen una hoja militrada. 2. Volviendo a partir del rectángulode 2 x 5 palillos, añade un solo palillo a la anchura. ¿Cuántospalillos has de añadir a la largura para que el nuevo rectángulo sea semejanteal primero?(Si lo creesconvenienterompe un palillo.) 3. Si añadesun solopalillo a la larguradel rectángulode2 x 5.¿Cuántos palillos has de añadir a la anchura para que también seasemejante? Dibuja sobreel papel milimetrado las situacionespresentadasen estos dos ejercicios. Descubrimientos: Podriashaberprevistoel resultadosin hacerel gráhco?

PROPORCIONALIDAD P.2.

Nombre:

Fecha:

Sobreel esquema(E-1)dibuja, tan sólo con la ayuda de la escuadra, un rectánguloS de 30 mm de ancho que seasemejantea R. 2. Sobreel mismo esquemay con la ayuda del mismo utensilio,dibuja un rectánguloT, de 33 mm de largo que seasemejanteal rectánguloR. l.

3. Sobre unos mismosejes de coordenadas,dibuja las dos gráficasque relacionanel lado con el perímetro,en el cuadrado y en el triángulo equilátero. Sobre el eje horizontal, coloca los lados y sobre el vertical los perímetros. Nota: Para que te quepadebestomar por cadapalillo el valor de I crn. Descubrimientos¡

r42

t43

3. Leyendoel esquema(E-l), completala siguientetabla: Largo en mm R

30

Ancho en mm

20

s T

4. De estaseriede etiquetasadhesivascompruebacuáresson semeiantes:

¿Quénúmeroresulta?(muy aproximadamente).

Son semejantes las etiquetas siguientes:

q2:

=

Coge una hoja que no sea DIN (folio por ejemplo)y compruebasi sucede lo mismo.

PROPORCIONALIDAD 3.I.

Nombre:

Fecha:

Material: El aparatoque llamaremosy varillasde largurasdiferentes: 5 cm, l0 cm. 15 cm. 5.

Las hojas de papel que normalmente tienes en las manos tienen unas medidas muy determinadas, ya que la industria de las artes gráhcas se ha puesto de acuerdo para que esto sea así. Incluso tieni nombre

Trabajo a realizar: Mantener la escalavertical hja a 50 cm del punto cero de la escala horizontal.Sitúala varillade l0 cm a 20 cm del punto cero.Colocala gomade maneraque, partiendodel punto cero,pasejusto por la punta de la varilla. Con la máxima precisiónposibleanota el resultadonuméricode la escala vertical. Haz lo mismocon las varillasde 5 y de 15 cm. Completala siguientetabla: Loneitud de la varilla

Pega los cinco rectángulos de manera que gráficamente quede demostrado que son semejantes. Completa la siguiente tabla: curiosidad: El cociente no da nunca exacto. saca 6 decimalesy elévalo al cuadrado.

r44

Descubrimientos: A partir de todo lo que has hecho, completa los esquemasde la hoja de papel milimetrado. Para que te quepa haz corresponder a cada 5 cm de la realidad I cm en el papel.

r45

PROPORCIONALIDAD 3.2.

Trabajo a realizar:

Nombre:

Colocala varilla de 5 cm en la división20 cm de la escalahorizontaly la varilla de l0 cm en la división40 cm. ¿Quédistanciahay del punto cero a los extremossuperioresde la varillas? Repiteel ejerciciocon las varillasde l0 y 15 cm.

Materi¡l: El mismode la frchaanterior. Trabajo a realizar: Sitúa la varilla de l0 cm, a 40 cm del punto cero. sabríasdecir -sin poner la goma- ¿En qué punto de la escalaserála proyección? Calcúlalo y despuésverificalocon la goma.

Explicación: Descubrimientos: ¿Quérelaciónhay entrelas distancias?

Explicación: Tal como has hechoen la ficha anterior,haz un esquemade la situación sobreel papelmilimetrado. Repite el procesocon las varillas de 5 cm y de 15 cm.

PROPORCIONALIDAD 3.5.

Nombre:

Fecha:

Material: El mismo de la ficha anterior.

PROPORCIONALIDAD 3.3.

Trabajo a realizar: Nombre:

Fecha:

Material: El mismode la ficha anterior. Trabajo a realizar: Mantenerla escalaverticalfija a 50 cm del punto ceroy la varillade l0 cm a 40 cm. Con la varilla de 5 cm harásuna predicción:¿En qué punto la tieneque colocar para que tape a la varilla de l0 cm? Es decir, para que la goma pase justamentepor encimade las dos varillas. Compruebasi la predicciónque has hechoes correcta. Repiteel ejercicioponiendoen primer lugar la varilla de l5 cm. Explicoción: Descubrimientos:

PROPORCIONALIDAD 3.4.

El mismode las hchasanterioresy una regla.

146

Colocala varilla de 5 cm en la división l0 cm de la escalahorizontal. Mide la distanciadesdeel punto superiorde la varilla al punto cerode la escalahorizontal. ¿Enqué divisiónde la escalahorizontalcolocarásla varilla de l5 cm para que la distanciadesdesu extremosuperioral punto cero seael triPle de la hallada anteriormente? Compruebasi tu predicciónes correcta Explicación: Descubrimientos:

PROPORCIONALIDAD P-3

Nombre:

Fecha:

Dado un triángulode l0 cm de basey 14cm de altura,calculala altura de un triángulo semejantea ésteque tenga 12 cm de base. ¿Cuáles la razón altura/base? ya sabes,la isla de Sicilia tiene una forma que 2. Como seguramente recuerdafácilmenteun triángulo rectángulo.En un Atlas observamos (costaEste)mide que la (base) (costaNorte) mide 7 cm y la < 4,5 cm. Por otra parte,nos informan que en la realidadla costaNorte mide calcularla longitudreal de la costa 280 km. Con estosdatos,¿sabrías Este? l.

t47

3. La hipotenusade un triángulo de 3 cm de basey 4 cm de altura mide 5 cm (puedescomprobarlo gráficamente). ¿Cuántomedirála hipotenusade un triángulosemejante a ésteque tenga 9 cm de base? ¿Québasey qué altura tendrá un triángulo semejantea los anterio_ res si su hipotenusamide 18 cm? Hazlo aritméticamentey, después,compruébalomedianteun dibu_ jo. 4. con los datos del problemaanterior has podido construir tres triángulos semejantes: de pequeñoa grandelos llamaremosTr, Try fr. Cof,ia en tu hoja la tabla siguientey complétalacon los datosque té pidin

r00

150

correspondientes ¿Cuáles la longitud de los segmentosperpendiculares a las divisiones50, 150 y 200 mm de la escalhorizontal? 2. ¿Cómose llaman estascantidades? 3. Utilizando el dibujo, ¿sabríasencontrarel 30 oAde 60,de I 10,de 140y de 160? Con el compássumaa cadacantidadsu 30 %. l.

5. Con la ayuda del compásresta a cada cantidad su 30 %.

Esto es un esquemaque te servirá de calculadora automática. Tan solo hacefalta adaptarla,es decir, poner los .Buscalos que seanadequados para los triángulos de este problema y ponlo en funcionamiento.

Descubrimientos¡

PROPORCIONALIDAD /2 Nombre: MÓDULO
200

Fecha:

M¡terial: Una hoja de papel milimetrado con dos ejesde la misma longitud (180mm x 180mm) y un segmentoseráel eje de los tantos por ciento como indica la ligura.

Nombre:

Material: Una hoja de papelmilimetrado,reglay compás. Trabajo ¡ realizan Dibuja un triángulorectángulocuyoscatetosmidan 100mm y 30 mm. Prolongalos ladostal como indica la figura.

t48

En el punto cero del eje horizontal,es necesarioponer con un encuadernador una tira de cartulina de unos26 cm de longitud de maneraque puedagirar sobreestepunto.

t49

¿Quéobservas? 4. Buscael 20oAde 30 oA de 2.400 50 % de 3.000

Se puede montar sobre un cartón o madera para proporcionarle mas consistencia. Trabajo a re¡lizan

Descubrimientos:

Buscaren el gráficoel 50 % de 70. PROPORCIONALIDAD >/4 Nombre:

Fecha:

Material: El de la ficha anteriorY un comPás. Ejemplo: ptas. si nos hacen ¿Cuánto habremos de pagar por un objeto que vale 160 oA? un descuento del 15

Descubrimientos:

PROPORCIONALIDAD /3 Nombre: M¡terial: El descritoen la ficha anterior. Primero,buscael 7o correspondiente. Segundo,con el compáshaz la resta.

Trabajo a realiz¡n l.

Buscael 50 % de 80

Trabajo a realizan 40%, de 30 2Oo/ode 90 l OY od e 4 5

2. Buscael 50oAde 120 4OYode 140 20'A de 160 10% de 180 Compara los resultadosgráficoscon los numéricos. ¿Quéobservas? 3. Buscael 10 % de 15 l0oA de l 0 Yo d e

150

1. Si el objeto anterior vale 70 ptas.,¿cuántohabremosde pagar? 2. ¿Y si vale 700 ptas.? 3. ¿Cuántocostaráun objeto de 200 ptas.si se aumentael 2Úo/o?¿Qué haráscon el compás? 4. ¿Cuantocostaráun objeto de 2.500ptas.si se aumentael 30oA? Descubrimientos:

PROPORCIONALIDAD /S Nombre:

Fecha:

Problemassobreporcentajes 1. Un chicotieneen su bibliotecaocholibros de texto,docede aventuras y cinco cuentos.Calcula qué tanto por ciento sobreel total representa cadatipo de libro. l5l

L

2. Si me dan el 50 %ode un pastel,¿quéparte me dan? ¿Y si me dan el 25 Yo? ¿Y si me d,anel 75oA? el 20oA? ¿Quéparte del pastelrepresenta ¿Y el 80 %? Dibuja cada una de las situaciones. Al comprar un televisor de 60.000ptas. me hacen un déscuentodel t 5 %. a) ¿Quétanto por ciento del precio habré de pagar? b) ¿Cuántaspesetasme ahorro? c) ¿Cuántohabré de pagar? Un comerciantecargasobre el precio de los articulos que compra al por mayor un 30 7o. a) ¿Porcuántaspesetasvenderáun artículoque le cuesta100? b) ¿Y uno que le cuesta1.000ptas.? c) ¿Y uno que tan sólo le cuesta50 ptas.? d) ¿Y uno que le cuesta1.150ptas? 5 . Cálculorápido l0% de 3ó0 : 5V" de 360 : l5Yo de 360 : 2O%ode 160 : 30% de 360 :

J.

Siguiendola rectaque hasdibujado,¿cuálesson las graduacionessobre a las graduaciones12, 18 y 30 mm del el eje vertical correspondientes eje horizontal? Á partir del dibujo, ¿sabríasrepartir 100caramelosentre tres amigossi de cada uno han sido de 12, 18 y 30 pesetas? lal aportaciones Si la letra x designael número de pesetasy la letra )' el número de caramelos,comPletalas máquinaslinealessiguientes.

X

lT -n

99 o/ode 4.200 : 99,5oAde 4.200 : 97,5o4de 4.200: 97'/o de 4.2O0: 95 "/o de 4.200 :

l_ J

18 ---a

G

)

60 --fi

ü

1-{

ü

tlneal

tr 1_I

30

100

60 Máquina []

tr

I

\18

[L ,,

90% de 360 : 95 oAd.e360 : 85% de3ó0 : 80% de 360 : 70oAde t6O :

12 *-€ Y

" r_( I

6. Cálcula: I'A de 4.200: 0,5 % de 4.2ffi = 2.5oA de 4.2ú : 3 Vo de 4.3ffi : 5 %. de 4.2ffi :

Y

X

Máquina l-[l lineal

PROPORCIONALIDAD
Nombre:

Fecha:

Problemassobrerepartosproporcionales: Cinco amigoscompran 100caramelospor 60 ptas.La aportaciónde tocana cadauno ha sidode I 5, 3, 12,18y 12 ptas.¿Cuántoscaramelos cada uno de ellos? 2. Cuatro amigosgananen las quinielas24.750pesetasy se las han de repartirde maneraproporcionala la cantidadapostadapor cadauno, que es la siguiente: L

PROPORCIONALIDAD /6 Nombre:

Fecha:

Material: Una hoja de papelmilimetradoy una regla. Trabajo a realizar: Dibuja dos ejesde coordenadas en un lado del papelmilimetrado. Marca sobreel eje horizontalel punto de graduación60 mm y sobreel verticalel punto 100mm. A continuacióntrazala rectaque une el origencon el punto de coordenadas(60, 100). 152

Jorge . Gloria ' Manuel Elvira .

200 Ptas' 100Ptas' 275 Ptas. 250 Ptas'

3. Una herenciade 600.000ptas.se reParteentretres hermanosproporcionalmentea susedades.Los dos menorestienendos y cinco añosy

153

sabemos que el que tiene dos años le corresponden 80.000 ptas. ¿Qué edad tiene el hermano mayor? ¿Cuánto le toca a cada uno? 4. A, B y C han fundado un negocio de manera que I tiene el doble de capital invertido que B, y B los 213 de C. Al cabo de un año han obtenido un benehcio de 72.000 ptas. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno? 5. La construcción de un puente cuesta 31.500.000ptas. El Estado subvenciona el 25oA de los gastos y la Autonomía un 15 o%.Los dos pueblos comunicados por el puente tienen que pagar el resto de manera proporcional al número de habitantes,que son 860 y 1.140respectivamente. Calcula la cantidad que debe pagar cada pueblo. Nota:

Para realizar estos problemas utiliza el siguiente esquema:

equivaUn francosuizo¿acuántaspesetasy a cuántosyensjaponeses siguiente: le?Rellenalos espaciosde la ¿A cuántosyensequivalen30 francossuizos? ¿A cuántosfrancossuizosequivalen2000yens?

Por 36.000pesetas, ¿cuántasliras italianasme darán? ¿Cuántovalela constantede conversión? Veinticincofrancosfranceses Com¿acuántaslirasitalianasequivalen? pleta la siguiente:

Incógnitas

v

J

MÓDULO ESCALAS Gtáfica x

Máquina[]

aq

k

Ficha 1: Actividadde introducción. Ficha 2: Actividadde consolidación. Ficha 314:Problemas.

PROPORCIONALIDAD /8 Nombre:

Fecha:

Problemassobrecambiosde monedas

PROPORCIONALIDAD

/l

Nombre:

Material: Una cinta de cassettey una regla graduada.

I Dólar USA . 175 ptas. I Franco suizo . 67 ptas. 100 Liras italianas 9 ptas. 100 Yensjaponeses 67 ptas. I Franco francés 18 ptas. 1. ¿Cuántosdólaresme daránen un bancose cambio35.000ptas?¿Qué valor tiene la constantede proporcionalidadpara pasarde pesetasa dólares? 2. ¿A cuántaspesetasequivalen100francossuizos? ¿Porqué númerohe de multiplicar? ¿A cuántaspesetasequivalen100yensjaponeses? ¿Cuántovale la constante?

r54

o

o

oo

o

Trabajo a realizar: En esta hcha hemos dibujado una cinta de cassettecomo la que se te pedía, pero al hacerlo hemos reducido sus dimensiones.Con la regla mide las dimensiones de Ia realidad y del dibujo y completa la tabla.

r55

4. Expresalos resultadosen el siguientecuadro: Largos reales Recuerda las primeras fichas de y contesta:¿Cómo son los dos entre si? ¿Por qué? Explicación:

Largosplanos

200m

|

cm

100m

lm

cm

cm 1 cm

cm

¡Ten cuidado en no equivocarte cuando cambies de

Descubrimientos:

¿Qué relación se estableceentre una dimensión del dibujo y su homóloga de la realidad? Fijate que ahora no comparamos diferentes dimensiones de un mismo rectángulo, sino que comparamos una misma dimensión y, por tanto, la relación que te da dibujo/realidad no tiene nada que ver con la razón (que sería la misma para los dos). Ya que la unidad del dibujo equivale a dos unidades de la realidad diremos que el dibujo lo hemos hecho a ESCALA l:2 (uno es a dos). Ejercicio:

Como un cm del plano equivalea ... cm de la realidad,podemosdecir que estádibujadoa ESCALA 1:El cuadro anterior sepuederepresentarde una maneramucho más sencilla y práctica mediantelo que se llama >. Se trata de dibujar un segmentocon las divisionesde centímetroy medio centimetro,e indicaral lado cuál es la distanciaque equivaleen la realidada todo el segmentodibujado. La escalagráfica del dibujo de la cinta de cassettedibujada en la ficha anteriorseríaésta: 0t--r-¡-r4

Dibuja la cinta cassettea escala l:3 y a l:4.

cm

Dibuja debajo del plano la escalagráficacorrespondiente. PROPORCIONALIDAD /2

Nombre:

Material: Una regla graduada, Mapa de la ciudad de

Trabajo a realizar: l. Buscaen el plano el PaseoVara del Rei. 2. Mide en cm su longitud sobreel plano. 3. Sabiendoque la longitudreal del paseoesde 200m, determinacuántas vecesmás pequeñasson las dimensiones sobreesteplano.

PROPORCIONALIDAD
Nombre:

Fecha:

Material: Un plano (l:50.000)de la costasudestede lbiza. de la isla de lbiza. Un plano (1:250.000) Una regla graduada. Trabajo a realizan 1. Sobrela escalagráficadel plano de la costasudestede Ibiza, mide la distanciadesdeel punto 0 al 1.000. ¿A cuántoscm equivalenen estecaso200 m? Utilizandoestaescala,calculala longitud real del PaseoVara del Rei. 2. Sobre la escalagráfica del plano de lbiza, calcula cuántoscm corresponden a 2ü) m. Expresatodos estosresultadosmediantela siguientetabla: Longit

156

157

Completa el cuadro-resumen siguiente: Escala grálica

0

Cuántas veces se corresponde una unidad del plano a la realidad

Escala numérica

4cm

0 r

En la maquetarecortabledel Nou Camp podemosmedir las dimensiones siguientes:

,

rl

.r

I

200m

0

1.000

2.000m

0

5

lO k m

PROPORCIONALIDAD /4

. cm Altura tribuna: cm Longitud total: cm Anchuratotal: Dimensionesdel terreno de juego: Sabiendoque la maqueta está realizadaa escala1:500,calcula las dimensionesreales. Calcula también cuántosmm habrá de medir la figura de un jugador que tengaun altura real de 1,80metros. 6. ¿Cuáles la distanciareal entreestasPoblaciones?

Nombre:

(escala1:1.000.000) Barcelona-Madrid (escala1:500.000) Lérida-Viella '.... 1: 2ü) . 000) . . . . . . Manr esa- Vic( escala

Fecha:

18,4cm 32,0cm l8'4cm

Problemasde escalas: 1. Buscaun atlaso un mapade carreteras que estédibujadoa una escala comprendidaentre 1:5.000.000 y 1:1.000.000. a) Con la reglay un curvímetro(o un cordelsi no tienes),mide las distancias que te piden en el cuadro siguiente.A continuación calculalas dimensiones reales.

MÓDULO

DE PROPORCIONALIDAD

Ficha 1: actividad de introducción. Ficha 2: Problemas.

PROPORCTONALIDADk'?ll Barcelona-Ibiza

Ibiza-Valencia

Valencia-Barcelona por autopista

DE SUPERFICIES G,)

Nombre:

Fecha:

Material:

hechas a escala1:2y planas,regulares e irregulares, Figurasgeométricas l:3.

Plano Realidad

Trabajo a realizar: b) ¿Cuáles la poblaciónde la costapeninsularque estámáscercade Ibiza? Expresala distanciaen millas marinás. (Una milla marina :

1.852metros)

Consulta el problema núm. 2 del P-3. ¿A qué escalaestá dibujada la isla de Sicilia? Calculala escalaen que ha sido construidoun cocheminiaturarespecto al de verdad si la distanciaentre los ejes'esde 2 cm y 280 cm respectivamente. 4. Haz un plano a escala1:20de tu habitación y de los elementosmás lmportantes.

158

1. Con cada una de las parejasde figurassemejantesrealizalo siguiente: mide los ladosde las dos hguras. 2. Buscacuál es la distanciasobrela escalahorizontalen que la hgura pequeñatapa la grande. 3. Halla la razón de semejanzaentre los lados. 4. Calcula cuántasvecesla hgura pequeñacabeen la grande. 5. Construyeuna tercerafrgura más pequeña,en la misma escalaque las antenores. 6. Halla cuántasvecesestahgura pequeñacabeen la medianay en la grande. Descubrimientos:

159

PROPORCIONALIDAD k'?l2

Nombre:

Fecha:

l. Sabiendo que un pentágono regular cabe dentro de otro 64 veces, calculadóndelo habréde colocarsobrela escalahorizontaldel pRop si el grandelo sitúo en la división80. 2. En una mapa de Catalunya,vemosla siguienteescalagráfica: Ir r lr r l

0

5

2. Con la ayuda de las balanzassustituyeel número de tuercaspor su peso.Haz la representacióngráfica y la tabla que relacionanlas dos magnitudes. Peso(gr)

10 15 20 25 30km

¿Quésignifica? Si Ia superficiede Catalunyaes de 32.000km2, ¿cuáles el áreadel mapa? ¿Porqué? 3. Un diseñadorgráficoha rcalizadoun cartel publicitario que mide l0 m de anchopor 5 m de alto. Posteriormente se han hechoreproducciones que miden 50 cm de anchopor 25 cm de alto. ¿A qué escalaestá hechoel cartel pequeñorespectoal grande? para tapar el grande? ¿Cuántoscartelespequeñosnecesitaríamos

Volumen (cm3)

calcularel pesodel tornillo? 3. Utilizandosólo la probeta,¿sabrías 4. En cualquierade los casos,¿cuáles el cocientePeso/Volumen? ). Toma cualquierotro materialhomogéneo(grava,aluminio,...)y estudia la relación Peso/Volumen.

Descubrimientos: PROPORCIONALIDAD Densidad/2

Nombre:

Fecha:

Problemassobredensidad: APLICACIONES A LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES Densidad

PROPORCIONALIDAD Densidad/l

Nombre:

Material: Una probetagraduada. Seistuercasde hierro y un tornillo (métrico8 o l0). Balanzade precisión. Hilo de nylón. Trabajo a realizan l.

Llena la probetade agua hastala mitad. Con cuidadoy ayudándote del hilo introducede una en una las tuercas. ¿Cuántosubeel nivel del agua? Completala siguientetabla: Numero de tuercas Volumen (cm3)

160

2

3

4

l. Calcula la densidadde un material del cual 30 cm3 pesan330 gr. 2. Calcula el volumen de 30 gr de zinc (densidad:7,1 grlcm3). Calcula el columende 50 kg de cemento(densidad:2,8 grlcm2). 3. A menudo,cuando se hacenpiezasgrandesde metal con la técnicadel fundido, quedanburbujas de aire. Conociendola densidadde un determinadometal,piensaun método para averiguar si en su interior hay burbujas de aire o por lo contrario es macizo del todo. 4. ¿Quéocuparámás volumen,1 kg de hierro (densidad7,9gr/cm3)o I kg de cobre (densidad8,9 gr/crn3)? 3. Una caja de cerillasde cocina tiene una capacidadde 96 cm3.Calcula con los materialessiguiencuánto pesarási la llenamossucesivamente tes: agua mercurio oro plomo aluminio

(densidadI grlcm3) (densidad13,6gr/cm3) (densidad19,3gr/cm3) (densidadll,3 grlcm3) (densidad 2,7 grlcms)

6. Sabiendoque la densidadmedianadel cuerpo humano es de 1,15 grfcm3calculael volumen de tu cuerpo.

l6l

PROBLEMAS SOBRE GULLIVER En Swift (1982)a partir de la página117sedescribeBrobdingnag.Puede resultarentretenidoplantearsey resolverlos siguientesproblemas: 1. Averiguaralgo más sobrela extensiónde Brobdingnag. 2.

¿Podrías comentar el mapa? Datos que pueden ayudar:

Milla terrestre: 1.609m. Area de Asia:44.186.000 km2. Area del O. Pacíhco:180.000.000 km2

4. ¿Corresponderealmente y a escalaa una ballena de nuestro mundo?

(Dato: una ballena puede medir unos 25 m de larga y pesa cerca de 1@ toneladas)

tamañono le satisfacía, 5. ¿Cómo de grande sería el palacio real? Completar los datos de la habitación.



6. ¿La torre del templo principal de la capital de Brobdingnag era mucho más baja que el campanario de Salisbury? (Dato: el campanario de la catedral de Salisbury mide 122 metros).

¿Cómo sería una cocina semejantea la descrita?

J.

Estudiar a qué montañas equivalen las descritas. ¿Son muy altas?

162

como a menudose sospecha

8. ¿ExageraSwift al hacer la descripción de los tamaños?¿O al contrario son proporcionales según la raz6n l2:l?

163

ENTRETENIMIENTOS Las excavadoras. Si 10 excavadoras en 10 horas cavan 10 metros de zanja, ¿cuántasexcavadoras serán necesarias para cavar en 100 horas, 100 metros de zanja? Los gatos: Una variación del anterior en cuanto a la redacción y también en cuanto a la forma de razonamiento necesariopara hallar la solución, viene dado por el siguiente enunciado: Si 3 gatos cazan 3 ratones en 3 minutos, ¿cuántosgatos serán necesariospara cazar 90 ratones en 90 minutos? IJn vasode agua y un vasode vino. Supongamosque tenemos dos vasos: Un vaso de agua y uno de vino. Tomamos una cucharada de agua del primer vaso y lo echamos en el vino, removiendo. Tomamos a continuación una cucharada de la mezcla y la echamos en el vaso de agua. ¿Hay más agua en el vaso de vino que vino en el vaso de agua? ¿o sucedeal revés? Reproduciendo la torre Eiffel. La torre Eiffel que mide 300 m de altura, está hecha toda de hierro y pesa 8.000 toneladas. Supongamos que reproducimos la torre. Si queremos hacer un modelo también de hierro que pese en total I kilo, ¿qué altura deberá tener? ¿Será más alta o más baja que un envase brick de leche? Menos 500 pesetas. Ana tiene el doble de dinero que Pedro. Ambos dan a Andrés 500 ptas. que es menos de la mitad de lo que tiene cada uno de ellos. ¿Continúa teniendo Ana el doble que Pedro? Hombre alto, hombre bajo. Imaginemos ahora dos hombres, uno mide dos metros de altura y el otro un metro. Si suponemosque ambos tienen las mismas proporciones anatómicas, o sea que son semejantesen sentido geométrico y que el alto puede levantar una carga de 120 kilos, ¿cuántoskilos podrá levantar el hombre bajo? El cartabón y el marco. En un cartabón de dibujo ¿los triángulos ex:erior e interior, son semejantes?y en un marco de un cuadro ¿son semejantes los rectángulos exterior e interior? Dos sandías. Se ponen a la venta dos sandías de igual longitud pero distinta anchura. Si suponemosque una de ellas es la cuarta parte más ancha que la otra que son de la misma calidad y que la más ancha cuesta una vez y media más cara, ¿cuál de las sandíases preferible comprar? Dos cacerolas. Tenemos dos cacerolas de acero inoxidable de igual forma y con las paredes del mismo espesor.Si suponemos que la capacidad de una de ellas es 8 vecesmayor que la otra, ¿cuántasveceses más pesadala mayor que la pequeña? 164

Dos calderas. Consideremos ahora dos calderas de distinto tamaño, pero igual forma y construidas con el mismo metal. Si suponemos que en este mismo instante acaban de llenarse de agua hirviendo y las dejamos enfriar ¿cuál de las dos se enfriará antes? Un día frío. Un día de mucho frío una persona mayor y un niño -quizás un padre y su hijo están dando una vuelta por el parque. Si suponemos que ambos van igualmente vestidos ¿cuál de los dos tiene más frío? La lente biconvexa. Con una lupa, que aumenta cinco veces,se están observando dos rectas que forman un ángulo de cinco grados. ¿Con que magnitud se ve el ángulo? La ración de comida. La norma que los liliputienses establecieronrespecto a la comida de Gulliver fue: . ¿En que cálculo se basaron para estableceruna ración tan grande? La bebida. . Cuenta también Gulliver que los cubos de los lihputienses(no eran mayores que un dedal grande nuestro)). Es posible que los barriles fuesen tan pequeños? Los animales de Liliput. Acerca de los animales Gulliver cuenta: y de los toros, cavas, etc., dice que se los metía en el bolsillo. ¿No son muchos caballos? ¿Es el tamaño descrito proporcionalmente correcto? Un duro colchón. Los liliputienses,muy amables,prepararon la cama a Gulliver que describe la preparación del colchón: . ¿ExageraGulliver al contar esto?

165

6.4. GUIA DIDÁCTICA FICHA

PROPORCIONALIDAD

Objetivos: L

Es importante, sin embargo, que ellos mismos se den cuenta de esta limitación, ya que esto los motiva para descubrir métodos más precisos. Expresión escrita: hay difrcultades de redacción a la hora de explicar los métodos utilizados. Ejemplo:

Descubrir mediante la manipulación, diferentes métodos geométricos que sirvan para o rectángulos semejantes.

Resultados a preveer: En relación al método propuesto en la ficha: La mayor parte de alumnos aparejan correctamente.Los errores se sitúan en aquellas parejas de rectángulos con una razón de semejanzacasi igual (C-I y D-J razón 312 y 815,respectivamente). Se descubren variantes de este mismo método. Colocar uno en el suelo con un foco haciendo sombra. Antes de utilizar ningún método ya hay una intuitiva de aquellas parejas más evidentes. Respecto a otros métodos, son frecuentes: a) . El rectángulo sobre el ,centrándolo de manera que las diagonales trazadas previamente coincidan (véasela Fig. 6.15). b) . Hacer coincidir los dos rectángulos sobre un vértice y véasecómo la diagonal coincide (véasela Fig. 6.16).

Centro en común

Vértice en común

(sic). <...poniendo una linea recta en diagonal del rectángulo grande, y se pone el pequeño mirando si sus puntas enlazan con las líneas del grande> (sic).

FICHA I.2.

PROPORCIONALIDAD

Objetivos: I 2.

Descubrir que, a partir de cada pareja de rectángulos semejantes,se obtiene una proporción numérica comparando sus dimensiones. Completar los métodos geométricos con recursos aritméticos.

Resultadosa preveer: En algunos casos descubren relaciones parcializadas; es decir, que las dimensionesde un rectángulo son el doble o bien el triple de las de su pareja. Asimismo, algunos alumnos encuentran un método que les sirve para todos los casos: el de . Este método es una aplicación de la propiedad de las fraccionesequivalentes.No obstante,los chicos no lo relacionan y el método encontrado no pasa de ser un truco que funciona. Observaciones: Espontáneamentealgunos chicos utilizan la palabra . Ejemplo: (sic).

c) Algunos alumnos comprueban cuántas vecesel rectángulo > está comprendido en el . En el caso de la pareja A-H, el resultado es exactamente4 veces.Ellos mismos se dan cuenta de que esto no es generalizable. d) Espontáneamentealgunos alumnos toman la regla y miden las dimensiones de los rectángulos. Curiosamente no comparan lo largo o lo ancho, sino que comparan por cociente las dos áreas hecho que no les lleva a ninguna conclusión.

En el espacio: [.

Aguantando los dos rectángulos (Fig. 6.17).

2. Apoyando el rectángulo grande en el suelo para conseguir más exactitud (Fig. 6.18).

Dificultades a tener en cuenta3 Respectoal material, hay una dificultad inherente al método propuesto: la poca precisión.

t66

t61

En el plano: 1. Haciendo coincidir los centros y las diagonales (Fig. 6.19).

Haciendo coincidir un vértice una diagonal (Fig. 6.20).

//

Además, algunos alumnos, según los rectángulos que hayan construido, observan los incrementos siempre iguales del crecimiento de la largura y la anchura. (sic). Dificultades a tener €n cuenta: De comprensión: La linea que une los vértices tiene que hacersesolamente con los rectángulos semejantes.El rectángulo que no es semejante se pone después.

Métodospara emparejar los rectángulos l8 cm

¡ FICHA 1.3.

PROPORCIONALIDAD

12cm

Objetivos: 1. Darse cuenta de que para construir una familia de rectángulos semejantes se puede utilizar una serie de fracciones equivalentes. 2. Proceder por inducción para pasar de una proporción a una serie de fracciones equivalentes. 3. Buscar definiciones operativas de rectángulos semejantes (multiplicar en cruz, cociente igual...). Resultados a preveer:

l8 cm

La colocación de los datos puede ayudar a la comprensión. Ejemplos de resolución:

3 2

Aplican las relaciones parciales descubiertasen la ficha anterior. Como no se les pide ninguna medida concreta aplican el método de multiplicar o dividir las dimensionesde los rectángulos dados por números naturales.

FICHA 1.4.

PROPORCIONALIDAD

Objetivos: 1. El objetivo se consigue de forma gráfrca:.que toda familia de rectángulos semejantesdefine la misma pendiente,razón entre las dos dimensiones. Resultados a preveer: La totalidad de los alumnos resuelvecorrectamentelo que se propone en la ficha.

r68

r69

FICHA 1.5.

PROPORCIONALIDAD

Objetivos: 1. Darse cuenta de que toda serie de fracciones equivalentes se puede representar mediante puntos del plano alineados. 2. Utilizar simultáneamenteel recurso gráfico y el aritmético para determinar relaciones de dependenciaentre dos variables.

a partir de la discusión de los métodos utilizados en las fichas anteriores. La expresión tiene que ser a la vez oral y escrita. Este es un primer nivel de explicación, teniendo en cuenta que no se pide una definición formal, sino una dehnición , es decir, formulada en su propio lenguaje y que permita la resolución de casos prácticos. Es convenientepara consolidar los conceptostrabajados hasta ahora resolver los problemas y el ejercicio de cálculo mental de la hcha P.1.

Resultados: La mayoria de los alumnos recurren a métodos geométricos,como el del centro en común, o bien aprovechan la ficha anterior para encontrar de una manera rápida la medida que se les pide. Algunos chicos aplican el método de
fr.

Algunos la resuelventomando como referenciala fracción j' l0

FICHA 2.1.

PROPORCIONALIDAD

Objetivos: 1. Hacer el paso directamente, sin soporte material, de una tabla de valores directamente proporcionales a la gráfrca correspondiente. Resultados a preveer: Completan la tabla sin ninguna dihcultad. Algunos alumnos observan que los cuadros son semejantes. Realizan correctamente la gráftca a partir de la tabla de datos, a pesar de que no cuentan con ningún refuerzo material. Efectivamente,hasta ahora los alumnos han trabajado con anchoJargo, lo cual les permitía trasladar el trabajo directamente sobre los ejes de coordenadas. Dificultades ¿ tener en cuenta: De material: Los palillos son de medidas desigualesentre sí y, además,es dificil mantener los ángulos de 90'en la construcción

FICHA 1.6.

PROPORCIONALIDAD

Objetivos: 1. Darse cuenta que para determinar la pendiente común de una serie de rectángulos semejantes basta con considerar la serie de triángulos que se obtienen cuando se parte en dos el rectángulo mediante una diagonal.

Lado

00

Resultados a preveer:

Perímetro PerímetroA

[:t

A

r-r [_=_i

¿'J

En general, los alumnos resuelvencorrectamente el trabajo propuesto. Dificultades a tener en cuenta: De comprensión: insistir en colocar el ángulo de 90' a la derecha del eje vertical, el triángulo grande primero y los otros encima para que se puedan ver todos. ¡Atención!: Es importante efectuar una puesta en común de los resultados obtenidos hasta ahora, para que los chicos expresenel concepto de rectángulo semejante

170

00{ 0[[[ //t\ 171

Antesde dibujar,es necesariomanipularlos palillos.

h

Ejemplode resolución

Ejemplode resolución:

FICHAS 3.1,3.2 y 3.3.

PROPORCIONALIDAD

Objetivos l. +:

FICHA 2.2.

un palillo

PROPORCIONALIDAD

Objetivos: 1. Aprovecharla gráficade Ia función lineal como una
r72

Familiarizarsecon el material(PROP) y utilizarlo como un instrumentodirectopara trabajarseriesde proporcionesnuméricas,haciendo referenciaal correspondiente soportegráfico. para encontrarla cuartaproporcional. Hacerpredicciones Comprobarlos resultadosde la predicciónutilizandoel materialProp. Resultadosa preveer: En general,lo hacenbien,ya que se trata de una fichadirigida,a pesarde que selespediauna esquematización reducidade la realidad. Utilizan el método geométricoy, además,por asociacióncon fichas anteriores,también utilizan el método numéricode
173

tanto se puedehablar de triángulossemejantes como de rectángulos semejantes. Es necesariotenerpresenteque para esquematizar la situación,se ha de reducira escala.Esto no comportaningunadificultadadicional.

FICHA I. Objetivos:

1. Aplicar la gráfica de la función lineal para resolver problemas de porcentaJes.

Ejemplode resolución: Familia 1 25c m 2 ' a t0 25 b2050

^. Simplificar la Drimerafracción

20cm 5¡". Familia

Resultadosy observaciones: A la mayor parte de alumnosles sorprendeestemétodopara encontrarel tanto por ciento.En algunoscasos,alumnoscon dificultadesde cálculotrabajan más seguroscon estemétodoque no implica ningún trabajo memorístico de cálculonumérico. Ejemplode resolución:

J

l)

4 37,5cm a 15 b2050

CÁLCULO COMERCIAL

Cinco amigos compran 100 caramelos por 60 pts. La contribución de cada uno ha sido de 15, 3, 12, 18 y 12 pts. ¿Cuántos caramelos tocan a cada uno?

Datos 5 amigos 100c-60 pts. Cadauno 15,3,12,18,12 p.c.u.

t7,5

Familia I a5 12,5cm ¡

b20

v

Incógnita N." de caramelos que tocan a cada uno de ellos xy

100c

_ r2,5 50

60

Operaciones

lo

el m 10

-5

6-

FICHAS 3.4 v 3.5

PROPORCIONALIDAD

t2

!z o

15

!r ,

l8

!r o

Obietivos: l.

3 121518

Introducir la hipotenusaen relacióna los catetosdel triángulo que forman, y generalizary consolidarla idea de proporción.

Result¡dosa preveen

6 0 p ts.

1!4¡ 452

t2

,'-\,'a.,'a¿'-

y 1 0 0 2 5 52 0 3 0

6

6

6 10 - 20 6

x 6 0 1 5 3 12 1 8 \--V---!!43 452

Al tratarsede una ficha bastantedirigida,lo resuelven correctamente.

Tocan25,5,20,30 y 20 caramelosresDectivamente

Observaciones: para continuar el trabajo. De Estas dos frchasno son imprescindibles hecho,son planteadascomo refuerzo.Tambiénse puedenutilizar como una primerainiciaciónal tema del Teoremade Thales. ¡Atención!: Aqui también es necesarioponer en común los resultadosy trabajar la consolidaciónresolviendolos problemasP-3.

174

FICHA 1,2,3 y 4.

CALCULO COMERCIAL

Objetivos l.

Aplicar la gráfrcade la función lineal para resolverproblemasde porcentaJes.

175

Resultados y observaciones:

FICHA 5.

CALCULO COMERCIAL

FICHA 6.

A la mayoría de alumnos les sorprende este método para hallar el tanto por ciento. En algunos casos,alumnos con dificultades de cálculo trabajan más seguros con este método que no implica ningún trabajo de cálculo numérico.

CALCULO COMERCIAL

't

Obietivos: 1. Utilizar la propiedad aditiva y multiplicativa de la función lineal. 2. Conseguirel procesoalgorítmico que comporta la función lineal (má' quina [l lineal y máquina [! lineal). Resultadosy observaciones:

Objetivos: 1. Extender la utilización de las hchas anteriores a situaciones diversaS, prestando especial atención al cálculo rápido. Relacionar el trabajo de tanto por ciento con otras fracciones equivalentessimplihcadas.

sobrelos ejesde coordeEn el momentode hacerla representación nadassurgendos manerasde colocar los datos:una parte siempredel origen,la otra va a continuacióny aplicaen realidadla propiedadde la máquina I lineal. Esquemaspropuestosparala resoluciónde problemas.

Relaciones y observaciones: En el ejercicio núm. 3 confunden un 7o de descuento sobre un producto, con el valor hnal que se ha de pagar. En el ejercicio núm. 5 y núm. 6, no se dan cuenta que los %ode las dos columnas son complementarios, con lo cual se les hubiera agilizado el cálculo. Se dan cuenta que cuando los tantos por ciento pedidos son múltiples o divisores también lo son los resultados una vez efectuado el o/o.

I-_= l-l I-xrt

fir -

I

Ejemplo de resolución: 1. Cinco amigos compran 100 caramelospara 60 personas,la contribución de cada uno ha sido de t5,3, 12, 18 y 12 pesetas. ¿Cuántoscaramelostocan a cada uno?

, I -x|_

tt

|

FICHAS 7 y 8.

CALCULO COMERCIAL

Objetivos: L Resolverproblemas de reparto proporcional utilizando simultáneamentemétodosgráficosy algorítmicosintroduciendo,además,la nomenclatura de FACTOR DE CONVERSIÓN. Resultadosy observaciones: Hemosobservadoque cuandose trabajacon la máquinade Factoresde Conversiónhay dihcultadesen el momento de hacer los inversos. Nota:

Máquina El üneal

Máquina @ lineal

r76

El esquemapropuesto para la resoluciónde problemasde aplicación al cálculo comercialse puedeextendera diversasáreasde las Matemáticasy de las CienciasExperimentalesy Sociales.Como ejemplo,presentamosun conjunto de hchasque el lector puedeutilizar para trabajar los temasde escalas, proporcionalidadde superficies,densidad,etc.

177

6.5. MAPA CONCEPTUAL

CONCEPTO

MAGNITUD A :B

SEGMENTOS

NÚMEROS

SUPERFICIES

Comparaciónde segmentos

Comparación por a:b c oc i e n t e
Comparaciónde áreasA : A'

SÓLIDOS Comparaciónde volúmenesZ: Z

P semejantea Q ORDEN DE RAZONES

A ;B < C :D

Area(P+M):Area(P+N) AreaM:Area N

Rectángulossemejantes triángulos semejantes:

alb < cld

J IGUALDAD DE DOS RAZONES

: cld . A' .8 : C :D A :C : B:D igual cociente B:A : D :C e tc . resto distinto . caso particular: relacionado con: A ;B : B;C ad= b c b2' : ac m€dio, terceray cuartaproporcional. . Propiedades (A+ B):B :(C + D ):D etc.

Teorema deta attura A \) Teorema del cateto

A \)t,

Ad 2

v =F

Triángulos de igual altura IGUALDAD DE VARIAS RAZONES

CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD

VARIABLES Y FUNCIÓN

A : B:C : D :E: F

tasa, índice, constante de, ...

. Comparar 2 series de números. . Comparar una serie con ella misma, Ej.: núms.de Fibonacci

k núm. racional. o/o

núm. real proporcionalidad directa.. ylx : alb proporcionalidad inversa: yx: ab

178

Are,aTlArea T':blb'

i

I

Familia de rectángulossemejantes. Familia de triángulos semejantes Medida indirecta . Segmentosconmensurables . Segmentosinconmensurables

k2

k3

Trigonometría . Teoremade Thales

179

TEST I\IVES]TTGACIÓN PROPORCIONALIDAD CrrP/l) *

6.6. DIAGNÓSTICO DE PRECONCEPTOS como resultadodel trabajo realizadoen el Laboratorio de proporcionalidad surgenvarias preguntas. una de ellashacereferenciaa los preconceptos sobreproporcionalidad que poseenlos niños menoresde 12 años. Presentamosa continuación el test diseñadopara el diagnósticode los preconceptos de proporcionalidaden alumnosde 7 a l l años. Previala realizaciónde 6 entrevistascon alumnosde estasedades,consideramoscomo puntos básicosa tener en cuenta los siguientesaspectos: -

multiplicación. escalas. movimiento-velocidad. densidad. tanto por ciento.

Pasadoel test y recogidauna primera muestra,el test fue codificado. Hay que tener en cuenta que las respuestasrequeridasen las distintas preguntasson,unas vecesnuméricas,puesto que respondena un cálculo, y otras son no numéricasya que piden sólo una identificación.Es en este sentidoque las codificaciones asignadasestándiferenciadas.

FECHA

NOMBRE ESCUELA. FECHA DE NACIMIENTO dia

l.

m es""'año

En la hucha tienes 50 monedas de 25 pesetas. Operaciones ¿Cuántaspesetastienes?

125pesetas, ¿Cuántosduros son?

Si l4 carreteraque hay desdeel pueblo A al B mide 24 km. ¿Cuántomide la carreteradel pueblo M al

Respuesta Operaciones Respuesta Operaciones

a

Respuesta 3. Si la ahuradel,niñoesde 120cm. ¿Cuálesla altura del árbol?

Operaciones

Respuesta

* (A. Almató; M. L. Fiol; J. M. Fortuny;L Hosta;J. Valldaura;1986).

r8 0

l8l

4. Para poderjugar un partido de fútbol son necesa- Operaciones rios dos equipos.¿Cuántosequiposson necesarios parajugar tres partidosal mismo tiempo? Resultado ¿Y parajugar diez partidos ala vez? ¿Y parajugar veintiocho? ¿Quéoperaciónestásrepitiendo?

Resultado Resultado Respuestas

5. ¿Cuántospartidosde fútbol puedesorganizarcon diez equipossi quieresque todosjueguenal mismo tiempo? -¿Y con veinticuatroequipos? -¿Y con treinta y cuatro equipos? ¿Quéoperaciónestásrepitiendo?

Operaciones

Resultado Resultado Respuesta

6. Hemosconstruidoun robot capazde recorrer100 Operaciones metrosen 10 segundos.Calculacuántossegundos tardará en recorrer las siguientesdistancias: +segundos 200 metros{QQpef¡es+segundos $Q0mst¡es+segundos I.QQQ ¡¡s1¡ss+segundos 7. Mirando la siguientegráfica. ¿Te parece que podrías sabercuántosmetros habrá recorrido al cabo de 60 segundos?

Operaciones Respuesta

40 seg 30 seg 20 seg 10 seg -

b) ¿En cuál están más apretados,en la -Bo en la A? c\ ¿En cuál estánmás apretados,en la C o en la D?

10. Despuésde un partido de baloncestohemosconfeccionado estecuadro de resultados: Jugador 4 44 A204 B206

Tipos

Operaciones Respuesta

A

B

c

Operaciones Resultado

Operaciones Resultado

+ i+ Fíjate bien en las cuatro peceras.Las llamamosl, B, c y D a) ¿En cuál estánmás apretados,en la A o en la

t82

Resultado

-1

+p n

Operaciones

12. A 4 de cada 10 alumnosde una claseles gustael Operaciones baloncesto. Si en estaclasehay 8 aficionadosa este Resultado deporte,¿cuántosalumnoshay en total?

D A

Respuesta ¿Por qué?

Canastas

11. Para hacer un pastelde manzanapara cuatro personasnecesitamoslos siguientesingredientes: -2 huevos. -4 mawanas. - 6 cucharadasde azúcar. Calcula qué cantidad necesitamosde cada uno de estosingredientespara hacer un pastelpara 8 personas.

Y si hubiesenl0? 9.

Respuesta ¿Porqué?

¿Cuálde los tresjugadoreses el mejor?

¿Y para 10 personas?

8. Calculacuántosrecorreríael robot si estuviesefuncionandodurante I hora.

Respuesta ¿Porqué?

13. En una tiendade deportesme hacenun descuento del l0 %. Calculacuantotendréque pagarpor una Operaciones pelota que vale 2.400pesetas. Resultado ¿Y si es del 12 por 100?

Respuesta ¿Por qué?

Operaciones Resultado

r 83

OBSERVACIONES Codificacionespara interpretarlas respuestasal test Respuestasnuméricas: Código 1. Procesoy resultadoscorrectos. Cídigo 2. Procesocorrecto,error de cálculo. Código 3. Operaciónerrónea( x en lugar de :). Código 4. Error de lecturade escala. Código 5. Resultadointuitivo, por aproximación. Código 6.
Habla de espacioy de cantidad. Sólo nombra la variableindependiente. Respuesta intuitiva. Sólo cuentaespacioso cuadritos. Sólo habla del tamaño de la pecera. Hace referenciaal número de peces. Contestaciones extrañas.

Bibliografía

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l8s

r84

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OTRAS COLECCIONES DE EDITORIAL SINTESIS

TRABAJOS PRACTICOS DE GEOGRAFIA Director: Rafael Puyol Antolln

U

74{7), se3-6r3.

APLICACIONES DE LA INFORMATICA A LA GEOMETRIA Y CIENCIAS SOCIALES I J. Bosque¡ J.A. Cebrián I B.C. Jiménezr A. Moreno r C. Muguruza r V. Rodríguezr F. Rojo ¡ J.M. Santos¡ M.J. Vidal

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ANALISIS DEL DESARROLLO DE LA POBLACION ESPAÑOLA EN EL PERIODO 1970-1986 ¡ Grupo de poblaciónde la A.G.E.

t88

Colección: CIENCIAS DE LA VIDA

Colección Geografía de EsPatña

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t. El conocimientogeográficode España

Tltulos publicados

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z. Españl, país de contr¡stes geográficos

l. Fuxolrmvros DEBIoToGIACELULAR BenjamínFernándezRuiz Enrique Muñiz Hernando

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EN EL ORGANISMO 2. LOS GENES QUE SON Y QUÉ' HACEN

¿. El clima y las aguas

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s. Biogeogralla.Paisajesvegetalesy vida animal

DE FISIOLOGTA VEGETAL

4. PNO¡I¡UIS

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o. La población esPañola

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z. Geograflaagraria. Introduccióna los paisajesrurales Manuel SáenzLorite

8. La pesca

9. ZOOLOGIA DE LOS VERTEBR'ADOS

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JoséLuis Tellería Jorge

9. Fuentesde energíay materiasprimas MercedesMolina lbáñez,Elena Chicharro Fernández

10. NUTVM

lo. Las actividadesindustriales

TECNOLOGIAS DE BIOMEDICINA

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Ricardo Méndez Gutiérrezdel Valle

tl. ComercioY transPortes

12. Flslot oclA ANIMAL.FuNcIoNEsvEGETATIVAS FranciscoPonz Piedrafita Ana María Barber Cárcamo

Rosario Piñeiro Peleteiro

t2. Geografíadel turismo José R. Diaz Alvatez

13. NnunorsloloclA FranciscoPonz Piedrafita Ana María Barber Cárcamo

13.Las ciudadesmorfologla y estrutura José EstébanezAlvarez t4. Geografía de la pobreza y la desigualdad Juan Córdoba Ordóñea JoséM." García Alvarado

15. Cnlrroclrvrll Javier FernándezDiez

15. La nueva situación regional

20. ECOIOG¡AI FranciscoDíaz Pineda

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16.El reto de Europa:Españaen la CEE Fernando ArroYo Ilera

Tttulos ile preParación

lz. Geografíaelectoral Joaquín Bosque Sendra

6. BIOFÍSICA

Carlos Vicente Córdoba M." Estrella Legaz González

18.La red urbana Andrés Precedo Ledo

Director: Rafael Puyol Antolín

7. Foro¡IoQI'IlMIcA Manuel Losada Villasante

13. Simetría dinámica

Colección: MATEMATICAS: CULTURA Y APRENDIZAJE

RafaelPérezGómez,ClaudiAlsinaCatalá,CeferinoRuizGarrido

14. Semejanza Ricardo Luengo González

l.

Area de conocimiento:didáctica de las matemáticas EnriqueVidalCosta

15. Poliedros Gregoria Guillén Soler, Angel Salar Gálvez

2. Números y operaciones Luis Rico Romero, Encarnación Castro Martínez, Enrique Castro Martínez

3. Numeracióny cálculo GómezAlfonso Bernardo

4. Fracciones La relación parte-todo Salvador Llinares Ciscar, M.' Victoria Sánchez García f,.

Números decimales

16. Metodologfa activa y lúdica de la geometrfa AngelMartínezRecio,Francisco JuanRivaya,Francisco JavierAguilaRuiz

17. El problema de la medida Carmen Chamorro Plaza, Juan M. Belmonte Gómez

18. Circunferenciay cfrculo Francisco Padilla Diaz, Arnulfo Santos Hernández, Fidela yelázquez Manuel, Manuel Fernández Reyes

Julia Centeno Pérez

6. Númerosenteros JoséL. GonzálezMari, M., DoloresIriarte Bustos,Alfonsoortiz comas, Inmaculada ManuelaJimenoPérez,Antonio Ortiz Villarejo,EstebanSanzJiménez Vargas-Machuca,

7. Divisibilidad Modesto Sierra Vázquez, Andrés Sánchez García, M." T. González Astudillo, Mario González Acosta

8. Problemasaritméticosescolares Luis Puig Espinosa,FernandoCerdánPérez

9.

Estimación

en cálculo y medida

castro Martínez,Enriquecastro Martínez,Luis Rico IsidoroSegoviaAlex,Encarnación Romero

10. Aritmética y calculadora

19. Superficie.Volumen M.' Angeles delOlmoRomero, Francisca MorenoCar¡etero, Francisco Gil Cuadra

20. Proporcionalidad directa. La forma y el número M." LuisaFiol Mora,JosepM." FortunyAymemi

21. Nudos y nexos: grafos en la escuela MoisésCoriatBenarroch, JuanaSanchoGil, AntonioMaríndel Moral,pilar GonzalvoMartinez

22. Por los caminos de la lógica InésSanzLerma,ModestoArrietaLiarramendi, ElisaPardoRuiz

23. Iniciación al álgebra Manuel Ma¡tín Socas Robayna,Matias Camacho Machín, M." Mercedespalarea Medina, JosefaHernándezDomingue?

FredericUdinai Abelló ll.

Materiales para construir la geometría ClaudiAlsinaCatalá,JosepM'" FortunyAymemi Flamerich, CarmeBurgués

t2. Invitación a la didáctica de la geometria Flamefich carmeBurgués claudiAlsinacatalá.JosepM." FortunyAymemi,

24. Ordenar y clasificar Gaspar Mayor Fort"eza,TeresaRiera Madurell

25. Códigm, símbolos,representación y coordenadas Francisco Vecino Rubio, Gerardo Montero García, Tomás Sierra Delgado