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Investigación de Operaciones Método Simplex: Intr Introducción oducción
Instituto Institut o Ingeniería Civil Industrial y Sistemas
Prof. Prof. Ignacio I gnacio Morales:
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Introducción El método Simplex •
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Desarrollado por George Dantzig en 1947 es un método genérico de solución para problemas de programación lineal.
El método simplex es un procedimiento algebraico , sin embargo sus conceptos fundamentales son geométricos. Exceptuando problemas pequeños. El uso de computadora es esencial para resolver los problemas de programación lineal. Existen numerosos paquetes complejos de software que utilizan el método simplex dado que se ha comprobado su extraordinaria eficiencia . El método simplex, procede mediante una serie de iteraciones.
Método Simplex Presentación de problema ejemplo:
Max Z = 3X1 + 5X2 S.a: X1
≤ 4 2X2 ≤ 12 3X1 + 2X2 ≤ 18 X1, X2 ≥ 0
Fundamentos Geométricos •
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Cada restricción es una recta que forma parte de la frontera (límite) de la región factible. Los puntos de intersección entre restricciones son las soluciones factibles en el vértice (Soluciones FEV). En el caso de un problema con dos variables de decisión, cada solución en un vértice se encuentra en la intersección de dos fronteras de restricción.
De manera general, un problema de programación lineal con n variables de decisión, cada una de sus soluciones FEV se encuentra en la intersección de n fronteras de restricciones.
Método Simplex Prueba de optimalidad: (verificar si una solución FEV es óptima)
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Considere cualquier problema de programación lineal que posea al menos una solución óptima. Si una solución FEV no tiene soluciones FEV adyacentes que sean mejores (según el valor de Z), entonces ésa debe ser una solución óptima . Soluciones FEV adyacentes: En cualquier problema de programación lineal con n variable de decisión, dos soluciones FEV son adyacentes entre si cuando comparten (n-1) fronteras de restricción.
Requerimientos del método simplex Transición de la solución gráfica a la algebraica
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El procedimiento algebraico se basa en la solución de sistemas de ecuaciones . Por lo tanto, para el desarrollo de los cálculos mediante el método simplex se imponen dos requerimientos a los modelos de programación lineal: 1. Todas las restricciones (≤, ≥) deben ser expresadas como ecuaciones con lado derecho no negativo. 2. Todas las variables deben ser no negativas.
Requerimientos del método simplex 1. Conversiones de desigualdad a ecuaciones •
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En las restricciones de tipo ≤, el lado derecho se puede representar como el límite o disponibilidad de un recurso.
El lado izquierdo, representa el uso por todas las actividades modelo.
(variables) del
La diferencia entre ambos lados representa la cantidad no utilizada del recursos u holgura. Entonces, para convertir la restricción en ecuación, se agrega una variable de holgura en el lado izquierdo de la restricción.
Ejemplo: 6X1 + 4X2 ≤ 24
----------->
6X 1 + 4X2 + S1 = 24
Requerimientos del método simplex •
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En las restricciones de tipo ≥, el lado derecho normalmente representa un límite inferior de utilización de cierto recurso. El lado izquierdo, representa el uso por todas las actividades (variables) del modelo. La diferencia entre ambos lados representa la cantidad de exceso o superávit utilizado del recurso. Entonces, para convertir la restricción en ecuación, se debe restar una variable de exceso (no negativa) en el lado izquierdo de la restricción.
Ejemplo: 6X1 + 4X2 ≥ 24
---------->
6X 1 + 4X2 - S1 = 24
Lados derechos no negativas •
Si el lado derecho resulta negativo, el requerimiento se satisface multiplicando ambos lados de la ecuación por (-1). - 6X1 + 4X2 ≥ - 24
---------->
6X 1 - 4X2 + S1 = 24
Requerimientos del método simplex •
Al introducir variables de holgura y exceso en las restricciones funcionales del modelo de programación lineal, éste queda expresado en su forma aumentada.
Ejemplo:
Forma Original
Forma Aumentada
Max Z = 3X1 + 5X2
Max Z = 3X1 + 5X2
s.a:
s.a: X1
≤ 4
X1
+ X3
2X2 ≤ 12
2X2
3X1 + 2X2 ≤ 18
3X1 + 2X2
X1, X2 ≥ 0
= 4
+ X4
= 12 + X5 = 18
X1, X2 , X3 , X4, X5 ≥ 0
Requerimientos del método simplex 2. Todas las variables deben ser no negativas •
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En la mayoría de los problemas de programación lineal, las variables de decisión tienen un significado físico , por lo que es necesario incluir las restricciones de no negatividad. Sin embargo, esto no ocurre siempre. Puede darse que una variable, digamos X 1, represente el incremento de la tasa de producción (del producto 1) . En consecuencia, un valor negativo de X 1, indicaría que debe reducirse la fabricación del producto 1 , con lo que se permitirían valores negativos de X 1 en el modelo. El problema, es que el procedimiento para encontrar la variable básica de salida requiere que todas las variables tengan restricción de no negatividad . Por lo tanto, cualquier problema que contenga variables que puedan adquirir valores negativos deben convertirse en un problema equivalente que emplee solo variables no negativas antes de aplicar el método simplex. La modificación que requiere cada variable depende de que tenga o no una cota inferior (negativa) sobre los valores permitidos.
Requerimientos del método simplex 2. Todas las variables deben ser no negativas Variables con un cota sobre los valores negativos permitidos. •
Considere cualquier variable de decisión X j que puede tener valores negativos, pero nada mas aquellos que satisfacen una restricción de la forma
X j ≥ L j •
Donde L j es una constante negativa. Esta restricción se puede convertir en una de no negatividad al cambiar de variables : X j’ = X j - L j,
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entonces X j’ ≥ 0
Así X j’ + L j se sustituye por X j en el modelo y la nueva variable de decisión X j’ no puede ser negativa.
Ejemplo:
Requerimientos del método simplex 2. Todas las variables deben ser no negativas Variables sin una cota sobre los valores negativos permitidos. •
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En el caso de que X j no tenga una cota inferior en el modelo formulado , se requiere un cambio distinto: X j se sustituye en todo el modelo como por la diferencia de dos nuevas variables no negativas:
Cómo X j+ y X j- pueden tomar cualquier valor no negativo , la diferencia de éstas variables puede tomar cualquier valor (positivo o negativo). Después de éstas sustituciones, el método simplex puede proceder con variables que son no negativas.
Ejemplo:
Ejercicio •
Una compañía está planeando fabricar un producto para marzo abril, mayo y junio del próximo año. Las cantidades demandadas son 520, 720, 520 y 620 unidades respectivamente. La compañía tiene una fuerza de trabajo permanente de 10 empleados pero puede satisfacer las necesidades de producción fluctuantes contratando y despidiendo trabajadores temporales. Los costos adicionales de contratar y despedir un trabajador temporal en cualquier mes son $200 y $400 respectivamente. Un trabajador de planta produce 12 unidades por mes. Y uno temporal, que no tiene la misma experiencia, produce 10. La compañía puede producir más de lo necesario en cualquier mes y guardar el excedente para el mes subsiguiente a un costo de retención de $50 por unidad por mes. Desarrolle una política óptima de contratación y despido durante el horizonte de 4 meses.
Terminología de la forma aumentada En el método simplex, el espacio de soluciones está representado por m ecuaciones lineales simultaneas y n variables no negativas.
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Como n > m, se le debe asignar a (n - m) variables un valor (cero).
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Estas n - m se conocen como variables no básicas.
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Las m variables restantes se llaman variables básicas, y su solución obtenida resolviendo las m ecuaciones se conoce como solución básica.
Observación: •
Una solución básica es una solución en un vértice aumentada.
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Una solución básica factible (BF) es una solución FEV aumentada.
La única diferencia entre las soluciones básicas y las soluciones en un vértice aumentada (o entre las soluciones BF y soluciones FEV aumentada) es el hecho de que están incluidos los valores de las variables de holgura .
Propiedades Una solución básica tiene las siguientes propiedades: 1. Cada variable se designa ya sea como variable básica o como variable no básica. 2. El número de variables básicas es igual al número de restricciones funcionales (ahora ecuaciones). Por lo tanto, el número de variables no básicas es igual al número total de variables menos el número de restricciones funcionales .
3. Las variables no básicas se igualan a cero. 4. Los valores de las variables básicas se obtienen como la solución simultánea del sistema de ecuaciones (restricciones funcionales en la forma aumentada). (Con frecuencia se hace referencia al conjunto de variables básicas como la base). 5. Si las variables básicas satisfacen las restricciones de no negatividad, la solución básica es una solución BF.
Transición Método gráfico - Método algebraico
