1
2
Paket Rumus Matematika Dasar (Bilangan dan Perbandingan, Deret Matematika, Himpunan dan Peluang, Bangun Datar dan Bangun Ruang)
Bilangan Bilangan asli (A) A = {1,2,3,4,…} Himpunan bagian A antara lain: Himpunan bilangan ganjil = {1,3,5,7,…} Himpunan bilangan genap = {2,4,6,8,…} Himpunan bilangan prima = {2,3,5,7,…} Bilangan Cacah (C) C = {0,1,2,3,…} Bilangan Bulat (B) B={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} Bilangan Rasional Bentuk umum: , dimana a dan b adalah bilangan bulat Bilangan Irrasional Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam pembagian dua bilangan bulat Contoh : π, √2, log 3
Paket Rumus Matematika Dasar (Bilangan dan Perbandingan, Deret Matematika, Himpunan dan Peluang, Bangun Datar dan Bangun Ruang)
Bilangan Bilangan asli (A) A = {1,2,3,4,…} Himpunan bagian A antara lain: Himpunan bilangan ganjil = {1,3,5,7,…} Himpunan bilangan genap = {2,4,6,8,…} Himpunan bilangan prima = {2,3,5,7,…} Bilangan Cacah (C) C = {0,1,2,3,…} Bilangan Bulat (B) B={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} Bilangan Rasional Bentuk umum: , dimana a dan b adalah bilangan bulat Bilangan Irrasional Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam pembagian dua bilangan bulat Contoh : π, √2, log 3 Bilangan Riil Penggabungan bilangan rasional dan irrasional Contoh : ½, π, ¼, √2, log 3 Bilangan Imajiner Bilangan yang pada kenyataan nyata tidak bias terwujud Contoh : √(-1)
Pengukuran Ukuran Panjang km
Ukuran Berat Kg
hm
Hg Dam
dag m
g dm
dg cm
cg mm
mg
Standar lainnya:
3
Ukuran Berat dan Panjang 1 kuintal = 100kg 1 ton = 1,000kg 1 kg = 2 pon
1 kg =10 ons 1 ons = 1,000 gram 1 pon = 5 ons
1 inchi 1 kaki 1 yard 1 mil
= 2,54 cm = 12 inchi = 3 kaki = 1760 yard
1 hari 1minggu 1 warsa
1 lustrum = 5 tahun 1 dekade = 10 tahun 1 dasawarsa = 10 tahun 1 abad = 100 tahun
Ukuran waktu 1menit = 60 detik 1 jam = 60 menit 1jam = 3,6 00 detik
= 24 jam = 7 hari = 1 tahun
Ukuran luas Standar: dari km² → mm² tiap turun tangga dikali 100, tiap naik satu tangga dibagi 100 Lainnya:
1 hm
= 1 ha
²
1 dam = 1 are ²
1m
²
= 1 ca
Ukuran Volume Standar: dari km³ → mm³ tiap turun tangga dikali 1,000, tiap naik satu tangga dibagi 1,000 Lainnya:
1 liter
= 1 dm³
1 cc
= 1 cm³
Ukuran Jumlah 1 rim
= 500 lbr
1 kodi = 20 helai
1 lusin = 12 buah
1 gros = 144 buah = 12 lusin
Deret Deret Arimatika Suku ke-n = Jumlah n suku pertama
Deret Geometri Suku ke-n =
Jumlah n suku pertama
,r>1
= Sisipan pada barisan
,r<1
Beda baru =
Sisipan pada barisan Beda baru =
Banyaknya suku baru = Banyaknya suku baru = Suku tengah = Suku tengah =
Operasi hitung pada bilangan bulat a + b = a – (-b)
4
a – b = a + (-b) -a – b = -(a+b) -a + b = b – a
Eksponen . : =
Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat. 1. 2. apabila diketahui akar akarnya 3. , apabila diketahui titik puncak A(p,q) 4. Untuk persamaan kuadrat
, jika diketahui jumlah dan hasil kali akar-akarnya , berlaku hal sbb.
1. 2. 3. Nilai maksimum dan minimum. 1. Nilai maksimum diperoleh apabila a<0 2. Nilai minimum diperoleh apabila a>0 Besarnya nilai minimum atau maksimum, A(p,q) ditentukan sbb.
Perbandingan Perbandingan Senilai : jika suatu faktor dinaikan, maka faktor yg lain juga akan naik.
Perbandingan berbalik nilai: jika suatu faktor diturunkan, maka faktor yang lain akan naik. Skala dan peta : perbandingan antara jarak pada peta dengan jarak yang sebenarnya.
5
Kecepatan Rumus umum: v = kecepatan s = Jarak t = waktu
v=sxt
Saling menyusul dan saling berpapasan a. saling menyusul (dari arah yang sama) s1 = s2 b. saling berpapasan (dari arah yang berbeda) s1 + s2 = s total Bagian Pekerjaan Misalkan suatu pekerjaan apabila dikerjakan n orang memerlukan T waktu, dan apabila dikerjakan sendiri-sendiri t1,t2,t3,…,tn, maka akan terjadi hubungan T/t1 + T/t2 + T/t3 + … + T/tn = 1 Kecepatan rata-rata = (s1 +s2)/t total =(v1.t1 + v2.t2)/(t1 + t2)
Himpunan n(A B) = n (A) + n(B)
n(A B)
n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(B C) – n(A C) + n(A B C) n(A –B) = n(A) n(A B) n(A + B) = n(A B) – n(A B)
Peluang Menentukan jumlah cara Notasi faktorial
n faktorial diberi notasi n!=n(n-1)(n-2)(n-3)…3.2.1 contoh : 0!=1 Permutasi Suatu susunan dari suatu elemen elemen yang berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada elemen yang sama. 1. Permutasi n elemen nPn = n! Contoh: angka 1,2,3,4,5 akan disusun menjadi bilangan lima angka, maka banyak susunan yang dihasilkan adalah 5P5 = 5! = 120 bilang an 2. Permutasi r elemen dari n elemen nPr = Contoh: angka 1,2,3,4,5 akan disusun menjadi bilangan yang terdiri dari tiga angka, maka banyak bilangan yang terbentuk = 5P3 =
6
3. Permutasi n elemen apabila ada elemen yang sama P= 4. Permutasi siklis P=(n-1)! Kombinasi
Susunan dari beberapa atau semua elemen dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan elemen. nKr=
Menentukan Peluang 1. Peluang suatu Kejadian a. P(A)= A
= suatu kejadian
n(A)
= banyak elemen A
n(S)
= banyak elemen ruang sampel
b. 0
Kejadian majemuk
1.
= Komplemen dari A atau bukan A P(A)=P(
)=1
2. Peluang gabungan dua kejadian a. A dan B saling lepas P(A B)= P(A)+P(B) b. A dan B tidak saling lepas P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) 3. A dan B saling bebas P(A B) = P(A). P(B)
Statistik
Rata-rata(mean) Rata-rata gabungan Median Modus
data yang berada di tengah pada kumpulan yang sudah diurutkan data yang paling sering muncul, dan dalam suatu 7
kumpulan data bisa terdapat kebih dari satu modus
Bangun Datar dan Bangun Ruang
Bangun datar
Persegi Luas = sisi x sisi Keliling = 4 x sisi
Jajar Genjang Luas = alas x tinggi
Persegi Panjang Luas = panjang x lebar Keliling = 2 x (panjang + lebar)
Lingkaran Luas = Keliling = 2.
Segitiga Luas = x alas x tinggi
layang-layang Luas =
Keliling = sisi1+sisi2+sisi3 Trapesium Luas = x (jumlah panjang
belah ketupat Luas =
sisi sejajar) x tinggi
Bangun Ruang Kubus
Volume = Luas permukaan = Diagonal sisi = Diagonal ruang =
Balok
Volume = Luas permukaan = Diagonal sisi, ada tiga yaitu: = ; ; Diagonal ruang =
Limas
Volume = x luas alas x tinggi Luas permukaan = luas alas + luas sisi tegak
Kerucut
Volume = 8
Luas permukaan = Panjang garis pelukis =
Prisma
Volume = luas alas x tinggi Luas permukaan = (2 x luas alas) + luas sisi tegak Luas sisi tegak = keliling alas x tinggi
Tabung
Volume = Luas permukaan =
Bola
Volume = Luas permukaan =
9
Paket Rumus Matematika Analitis
LOGIKA MATEMATIKA Logika matematika merupakan materi yang berhubungan dengan pernyataan dan membentuk pernyataan yang benar dalam konteks matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan pernyataan dan menarik kesimpulan dari premis (pernyataan) yang ada. Dalam menghadapi tes CPNS wajib hukumnya memahami logika matematika. a.
Macam penggunaan Pernyataan i. Pernyataan tunggal : dinyatakan dengan p atau q ii. Ingkaran (negasi) pernyataan : dinyatakan dengan p ̴ atau q ̴ Contoh :
p = saya makan
̴p = saya tidak makan iii. Pernyataan gabungan 1. Konjungsi : Dan (Λ), contoh : p Λ q = saya makan dan saya kenyang 2. Disjungsi : Atau (V), contoh : p V q = saya makan atau saya kenyang 3. Implikasi : Jika-Maka (→), contoh : p → q = jika saya makan maka saya kenyang 4. Biimplikasi : JIka dan hanya jika (↔), contoh : p ↔ q = saya makan jika dan hanya jika saya kenyang b.
Konvers, Invers dan Kontraposisi dari Implikasi Jika diketahui operasi matematika p → q, maka berlaku : i. Konvers : q → p ii. Invers : p ̴ → q ̴ iii. Kontraposisi : q ̴ → p ̴ Dengan ekuivalensi : I. p → q ≡ ̴q → p ̴ II. q → p ≡ ̴p → q ̴
c.
Kesetaraan (de Morgan) i. ̴( p Λ q ) ≡ ̴p V ̴q ii. ̴( p V q ) ≡ ̴p Λ ̴q iii. ̴( p → q ) ≡ p Λ ̴q iv. ̴( p ↔ q ) ≡ (p Λ ̴q) V (q Λ ̴p) v. p → q ≡ ̴q → p ̴ vi. p → q ≡ ̴p V q
10
d.
Penarikan Kesimpulan 1.
Modus Ponens
2.
Modus Tollens
p →q
p →q
P Q e.
3.
Silogisme p →q
̴q
q→r
̴p
p→r
Pernyataan yang menunjukkan quantitas i. Semua, negasinya adalah = beberapa / ada ii. Ada, negasinya adalah = semua tidak/tidak ada yang
PENARIKAN KESIMPULAN (Silogisme) a.
Silogisme Kategorial Premis
Fungsi pada simpulan
Contoh
Premis Umum (Term Mayor)
Predikat
Semua manusia berkaki dua
Premis Khusus (Term Minor)
Subjek
Andi adalah manusia
Simpulan
Syarat :
Simpulannya : Hapuskan kata yang ada
di kedua Premis
1.
Kata manusia dihapus
2.
Simpulan :
Simpulan terdiri dari:
Andi berkaki dua
(Subjek) & Predikat
(subjek) & (Predikat)
i. Dari dua Premis yang negative (mempunyai unsur kata “tidak”) tidak dapat dihasilkan kesimpulan ii. Bila salah satu premis negative maka kesimpulan harus negatif iii. Jika kedua premis adalah Premis Khusus, maka tidak dapat dihasilkan kesimpulan iv. Jika Term Mayor bersifat khusus, dan Term Minor bersifat negati f, tidak dapat dihasilkan kesimpulan b.
Entimen Premis
Fungsi pada simpulan entimen
Contoh
Premis Umum (Term
Predikat
Semua manusia berkaki dua
Subjek
Andi adalah manusia
Entimen:
1.
Mayor) Premis Khusus (Term Minor) Simpulan
1.
Terdiri dari (Subjek)
Term Penengah = Manusia
(Predikat) KARENA (kata yang
2.
Entimen :
sama / Term Penengah)
Andi berkaki dua karena ia manusia
c.
Silogisme Hipotetik Premis
Bentuk
Contoh
Premis Umum (Term
Proposisi “Jika (antecedent)
Jika (hujan) maka (tanah akan
Mayor)
Maka (konsekuen)”
basah)
11
Premis Khusus (Term
Pernyataan Kategorik
Hari Hujan
Simpulan:
Simpulan :
Minor) Simpulan
1.
Jika Term Minor mengakui
“Tanah basah”
(antecedent), maka simpulan adalah (konsekuen) 2.
Jika Term Minor
1.
Jika Term Minor = Tanah
tidak basah
mengingkari (antecedent),
Simpulan:
maka simpulan adalah
Hari tidak hujan
ingkaran (konsekuen) 3.
d.
Begitu pula sebaliknya
Silogisme Disjungtif Premis
Bentuk
Contoh
Premis Umum (Term
Kemungkinan / Pilihan
Hasan Berbaju putih atau Merah
Premis Khusus (Term
Menerima / Menolak salah satu
Hasan Berbaju Merah
Minor)
Pilihan
Simpulan
Simpulan:
Simpulan :
1. Jika menerima salah satu
“Hasan tidak berbaju Putih”
Mayor)
pilihan, maka simpulan = menolak pilihan yang lain 2. Begitu pula sebaliknya
12
13
14
