5. Reúnanse en parejas para jugar memorama de potencias. El objetivo del juego es formar parejas de tarjetas que representen expresiones equivalentes. Para ello, coloreen por pares las tarjetas que cumplan la condición solicitada.
Propuestas didácticas Permita que participen en el memorama propuesto en la página. Luego plantee el siguiente juego de números triangulares. Observemos las siguientes figuras:
Cada triángulo tiene diferente número de círculos, y a esos números se les conoce como números triangulares. El primero es T 1 = 1, el segundo es T 2 = 3, T 3 = 6, T 4 = 10, T 5 = 15, etcétera, etc. Ahora, pregúnteles: ¿qué sucede si sumamos T 1 + T 2? 1 + 3 = 4 = 2². Si sumamos, ¿T 2 + T 3? 3 + 6 = 9 = 3². Y, ¿ T 3 + T 4? 4². Después, explíqueles que siempre que sumamos dos números triangulares consecutivos obtenemos el lugar del último de estos dos, elevado al cuadrado. Por ejemplo, T 12 + T 13 = 132 = 169.
Prohibida su venta
2×2× × 22× ×22× ×22==225
23 × 22 = = 25
23 × × 22 = 8 × 4 = 32
3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35
3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
32 × × 33 = 35
32 × × 33 = 9 × 27 = 243
4 × 4 × 4 = 64
4 × 4 × 4 = 43
42 × 41 = 43
42 × 41 == 16 × 4 = 64
53 × × 54 =
53 × × 54 == 78125 78125
53 × × 54 = 125 × 625
(5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5)
Socialicen sus experiencias en grupo, confronten sus estrategias y argumentos para formar los pares de tarjetas y registren sus conclusiones.
6. Resuelve las multiplicaciones de potencias. 32 × 34 = (3 × 3) × (3 × 3 × 3 × 3) = 3 6 a. 52×54= (5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5) = 5 6
Platee lo siguiente, si ahora sumamos los cuadrados de dos números triangulares consecutivos (T 12 + T 22), ¿qué obtenemos? 1 + 9 = 10 = T 4 = T 22; T 22 + T 32 = 45 = T 9 = T 32. Generalizando lo anterior, ¿cuánto vale T 62 + T 72 en términos de los números triangulares? T 72 = T 49. Concluya con el grupo que, para encontrar cuánto vale cada número triangular, se multiplica el número que está en el subíndice, por su consecutivo y se divide entre 2, entonces T 49 = 49 × 50 = 1 225. 2 Antes de abordar el tema de cocientes de potencias, plantee lo siguiente: de acuerdo con la forma de multiplicar fracciones, siempre que tenemos productos arriba y abajo, los podemos separar como queramos, por ejemplo: 2 × 3 × 4 × 5 = 2 × 4 × 3 × 5 . 6×7×8×9 6×8 7×9 Es decir, el orden de los factores no altera el producto, pero si tenemos un cociente de potencias con la misma base, entonces podemos agrupar, por ejemplo: 3 × 3 × 3 = 3 × 3 × 3 × 1 = 1 3×3×3×3 3 3 3 3 3 = 1. Hay que observar que aa = 1, como por ejemplo 25 25 Así, lo que está sucediendo es que los exponentes se restan. Es muy importante enfatizar en que esto es válido siempre y cuando se trate de la misma base, de lo contrario la generalización de la resta de exponentes no funciona. 52
2 × 2 × 2 × 22 × ×22==32 32
b. 23×24= (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 2 7 c. 5a×5b= 5a+b Comparen sus resultados en grupo y confronten las estrategias y los argumentos que consideraron para formar las parejas de tarjetas. Registren sus conclusiones sustentando sus ideas de lo que entienden por potenciación.
La regla de los exponentes para la multiplicación de potenciaciones de la misma base , indica que, en el producto, solo se suman los exponentes: ( an)(am) = an+m. Por ejemplo, (6 × 6 × 6 × 6) × (6 × 6 × 6 × 6 × 6) = 64 × 65 = 64 + 5 = 69
Cocientes de potencias 7. De manera individual reflexiona lo que se plantea y realiza lo que se indica. 4 En la división de potenciaciones 332 , el cociente puede representarse como 9 = 32. a. ¿Estás de acuerdo con lo que se afirma? Justifica tu respuesta. Sí. R. L. b. Representa las potenciaciones como el producto de su base considerando el exponente. Escribe el resultado como una potenciación.
81 9 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = = 32 = 32 1 3×3 9 c. ¿Coincide tu resultado con la afirmación del inicio? Sí d. ¿Qué relación hay entre el exponente del cociente y los exponentes del numerador y del denominador? Es igual a restarle, al exponente del numerador, el exponente del denominador. 4
